Властивості статечної функції. Показова функція – характеристики, графіки, формули. Знаменник дробового показника – непарний

Функції у = ах, у = ax 2 , у = а/х - є приватними видами статечної функції n = 1, n = 2, n = -1 .

У разі якщо nдробове число p/ qз парним знаменником qта непарним чисельником р, то величина може мати два знаки, а у графіка з'являється ще одна частина внизу осі абсцис х, причому вона симетрична до верхньої частини.

Бачимо графік двозначної функції у = ±2х 1/2, тобто. представлений параболою з горизонтальною віссю.

Графіки функцій у = хnпри n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Ці графіки проходять через точку (1; 1).

Коли n = -1 отримуємо гіперболу. При n < - 1 графік статечної функції розташовується спочатку вище за гіперболу, тобто. між х = 0і х = 1, а потім нижче (при х > 1). Якщо n> -1 графік проходить навпаки. Негативні значень хта дробові значення nаналогічні для позитивних n.

Усі графіки необмежено наближаються як до осі абсцис х,так і до осі ординат у, не стикаючись з ними. Внаслідок схожості з гіперболою ці графіки називають гіперболами. n -гопорядку.

1. Ступенева функція, її властивості та графік;

2. Перетворення:

Паралельне перенесення;

Симетрія щодо осей координат;

Симетрія щодо початку координат;

Симетрія щодо прямої y = x;

Розтягування та стиснення вздовж осей координат.

3. Показова функція, її властивості та графік, аналогічні перетворення;

4. Логарифмічна функція, її властивості та графік;

5. Тригонометрична функція, її властивості та графік, аналогічні перетворення (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Функція: y = x\n - її властивості та графік.

Ступенева функція, її властивості та графік

y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/xі т. д. Всі ці функції є окремими випадками статечної функції, тобто функції y = x pде p - задане дійсне число.
Властивості та графік статечної функції істотно залежить від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, за яких значень xі pмає сенс ступінь x p. Перейдемо до такого розгляду різних випадків залежно від
показника ступеня p.

1. Показник p = 2n- парне натуральне число.

y = x 2n, де n- натуральне число, має такі властивості:

• область визначення - всі дійсні числа, тобто безліч R;
• безліч значень - невід'ємні числа, тобто y більше або 0;
• функція y = x 2nпарна, оскільки x 2n = (-x) 2n
• функція є спадною на проміжку x< 0 і зростаючою на проміжку x > 0.

Графік функції y = x 2nмає такий самий вигляд, як наприклад графік функції y = x 4.

2. Показник p = 2n - 1- непарне натуральне число

У цьому випадку статечна функція y = x 2n-1, де натуральне число, має такі властивості:

• область визначення - множина R;
• безліч значень - безліч R;
• функція y = x 2n-1непарна, тому що (- x) 2n-1= x 2n-1;
• функція є зростаючою на всій дійсній осі.

Графік функції y = x 2n-1 y = x 3.

3. Показник p = -2n, де n -натуральне число.

У цьому випадку статечна функція y = x -2n = 1/x 2nмає такі властивості:

• безліч значень – позитивні числа y>0;
• функція y = 1/х 2nпарна, оскільки 1/(-x) 2n= 1/x 2n;
• функція є зростаючою на проміжку x0.

Графік функції y = 1/х 2nмає такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y = 1/х 2.

4. Показник p = -(2n-1), де n- натуральне число.
У цьому випадку статечна функція y = x-(2n-1)має такі властивості:

• область визначення - множина R, крім x = 0;
• безліч значень - множина R, крім y = 0;
• функція y = x-(2n-1)непарна, тому що (- x) -(2n-1) = -x-(2n-1);
• функція є спадною на проміжках x< 0 і x > 0.

Графік функції y = x-(2n-1)має такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y = 1/x 3.

Ви знайомі з функціями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xі т. д. Всі ці функції є окремими випадками статечної функції, тобто функції y=x pде p - задане дійсне число.
Властивості та графік статечної функції істотно залежить від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, за яких значень xі pмає сенс ступінь x p. Перейдемо до такого розгляду різних випадків залежно від
показника ступеня p.

1. Показник p=2n-парне натуральне число.

y=x 2n, де n- натуральне число, має такі

властивостями:

• область визначення - всі дійсні числа, тобто безліч R;
• безліч значень - невід'ємні числа, тобто y більше або 0;
• функція y=x 2nпарна, оскільки x 2n=(- x) 2n
• функція є спадною на проміжку x<0 і зростаючою на проміжку x>0.

Графік функції y=x 2nмає такий самий вигляд, як наприклад графік функції y=x 4.

2. Показник p=2n-1- непарне натуральне число
У цьому випадку статечна функція y=x 2n-1, де натуральне число, має такі властивості:

• область визначення - множина R;
• безліч значень - безліч R;
• функція y=x 2n-1непарна, тому що (- x) 2n-1=x 2n-1;
• функція є зростаючою на всій дійсній осі.

Графік функції y=x 2n-1 має такий самий вид, як, наприклад, графік функції y=x 3 .

3.Показник p=-2n, де n -натуральне число.

У цьому випадку статечна функція y=x -2n =1/x 2nмає такі властивості:

• область визначення - множина R, крім x=0;
• безліч значень – позитивні числа y>0;
• функція y =1/x 2nпарна, оскільки 1/(-x) 2n=1/x 2n;
• функція є зростаючою на проміжку x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Графік функції y =1/x 2nмає такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y =1/x 2.

Ви знайомі з функціями y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xі т. д. Всі ці функції є окремими випадками статечної функції, тобто функції y=x pде p - задане дійсне число.
Властивості та графік статечної функції істотно залежить від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, за яких значень xі pмає сенс ступінь x p. Перейдемо до такого розгляду різних випадків залежно від
показника ступеня p.

1. Показник p=2n-парне натуральне число.

y=x 2n, де n- натуральне число, має такі

властивостями:

• область визначення - всі дійсні числа, тобто безліч R;
• безліч значень - невід'ємні числа, тобто y більше або 0;
• функція y=x 2nпарна, оскільки x 2n=(- x) 2n
• функція є спадною на проміжку x<0 і зростаючою на проміжку x>0.

Графік функції y=x 2nмає такий самий вигляд, як наприклад графік функції y=x 4.

2. Показник p=2n-1- непарне натуральне число
У цьому випадку статечна функція y=x 2n-1, де натуральне число, має такі властивості:

• область визначення - множина R;
• безліч значень - безліч R;
• функція y=x 2n-1непарна, тому що (- x) 2n-1=x 2n-1;
• функція є зростаючою на всій дійсній осі.

Графік функції y=x 2n-1 має такий самий вид, як, наприклад, графік функції y=x 3 .

3.Показник p=-2n, де n -натуральне число.

У цьому випадку статечна функція y=x -2n =1/x 2nмає такі властивості:

• область визначення - множина R, крім x=0;
• безліч значень – позитивні числа y>0;
• функція y =1/x 2nпарна, оскільки 1/(-x) 2n=1/x 2n;
• функція є зростаючою на проміжку x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Графік функції y =1/x 2nмає такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y =1/x 2.

10 клас

СТІПОВА ФУНКЦІЯ

Ступеневої називаєтьсяфункція, задана формулоюде, p – деяке дійсне число.

I . Показник- парне натуральне число. Тоді статечна функція деn

D ( y )= (−; +).

2) Область значень функції – безліч невід'ємних чисел, якщо:

безліч непозитивних чисел, якщо:

3) ) . Значить, функціяОй .

4) Якщо, то функція зменшується прих (-; 0] і зростає прих і убуває прих }