Що називається коефіцієнтом одночлена. Визначення одночлена: супутні поняття, приклади. Приведення одночлена до стандартного вигляду

1. Цілий позитивний коефіцієнт. Нехай маємо одночлен + 5a, так як позитивне число +5 вважається збігається з арифметичним числом 5, то

5a \u003d a ∙ 5 \u003d a + a + a + a + a.

Також + 7xy² \u003d xy² ∙ 7 \u003d xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; + 3a³ \u003d a³ ∙ 3 \u003d a³ + a³ + a³; + 2abc \u003d abc ∙ 2 \u003d abc + abc і так далі.

На підставі цих прикладів ми можемо встановити, що цілий позитивний коефіцієнт показує, скільки раз буквений множник (або: твір буквених множників) одночлена повторюється складовою.

До цього слід звикнути до того, щоб в уяві відразу уявлялося, що, наприклад, в многочлене

3a + 4a² + 5a³

зводиться справу до того, що спочатку a² повторюється 3 рази складовою, потім a³ повторюється 4 рази складовою і потім a повторюється 5 раз складовою.

Також: 2a + 3b + c \u003d a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ \u003d x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ і т. п.

2. Позитивний дробовий коефіцієнт. Нехай маємо одночлен + a. Так як позитивне число + збігається з арифметичним числом, то + a \u003d a ∙, а це значить: треба взяти три четвертих частини від числа a, т. Е.

Тому: дробовий позитивний коефіцієнт показує, скільки разів і яка частина літерного множника одночлена повторюється складовою.

многочлен має без труднощів уявити собі у вигляді:

і тому подібне.

3. Негативний коефіцієнт. Знаючи множення відносних чисел, ми легко встановимо, що, наприклад, (+5) ∙ (-3) \u003d (-5) ∙ (+3) або (-5) ∙ (-3) \u003d (+5) ∙ (+ 3) або взагалі a ∙ (-3) \u003d (-a) ∙ (+3); також a ∙ (-) \u003d (-a) ∙ (+) і т. п.

Тому, якщо візьмемо одночлен з негативним коефіцієнтом, наприклад, -3a, то

-3a \u003d a ∙ (-3) \u003d (-a) ∙ (+3) \u003d (-a) ∙ 3 \u003d - a - a - a (-a взято доданком 3 рази).

З цих прикладів ми бачимо, що негативний коефіцієнт показує, скільки раз літерна частина одночлена, або його певна частка, взята зі знаком мінус, повторюється складовою.

У цьому уроці ми дамо суворе визначення одночлена, розглянемо різні приклади з підручника. Згадаймо правила множення ступенів з підставами. Дамо визначення стандартного вигляду одночлена, коефіцієнта одночлена і його буквеної частини. Розглянемо два основних типових дії над одночленной, а саме приведення до стандартного вигляду та обчислення конкретного чисельного значення одночлена при заданих значеннях вхідних в нього буквених змінних. Сформулюємо правило приведення одночлена до стандартного вигляду. Навчимося вирішувати типові завдання з будь-якими одночленной.

Тема:Одночлени. Арифметичні операції над одночленной

урок:Поняття одночлена. Стандартний вид одночлена

Розглянь деякі приклади:

3. ;

Знайдемо загальні риси для наведених виразів. У всіх трьох випадках вираз є твором чисел і змінних, зведених в ступінь. На підставі цього дамо визначення одночлена : Одночленной називають таке вираження алгебри, яке складається з твору ступенів і чисел.

Тепер наведемо приклади виразів, які не є одночленной:

Знайдемо відміну цих виразів від попередніх. Воно полягає в тому, що в прикладах 4-7 є операції додавання, віднімання або ділення, тоді як в прикладах 1-3, є одночленной, цих операцій немає.

Наведемо ще кілька прикладів:

Вираз під номером 8 є одночленной, так як цей твір ступеня на число, тоді як приклад 9 не є одночленной.

тепер з'ясуємо дії над одночленной .

1.Упрощеніе. Розглянемо приклад №3 ; І приклад №2 /

У другому прикладі ми бачимо тільки один коефіцієнт -, кожна змінна зустрічається тільки один раз, тобто змінна « а»Представлена \u200b\u200bв єдиному екземплярі, як« », аналогічно змінні« »і« »зустрічаються тільки один раз.

У прикладі №3 навпаки, є два різних коефіцієнта - і, змінну «» ми бачимо двічі - як «» і як «», аналогічно змінна «» зустрічається два рази. Тобто, цей вислів слід спростити, таким чином, приходимо до першої дії, що виконується над одночленной - приведення одночлена до стандартного вигляду . Для цього наведемо до стандартного вигляду вираз з прикладу 3, потім визначимо цю операцію і навчимося приводити до стандартного вигляду будь-одночлен.

Отже, розглянемо приклад:

Першою дією в операції приведення до стандартного вигляду завжди потрібно перемножити всі числові множники:

;

Результат цієї дії буде називатися коефіцієнтом одночлена .

Далі необхідно перемножити ступеня. Перемножимо ступеня змінної « х»Згідно з правилом множення ступенів з підставами, в якому говориться, що при множенні показники ступеня складаються:

тепер перемножимо ступеня « у»:

;

Отже, наведемо спрощене вираз:

;

Будь-одночлен можна привести до стандартного вигляду. сформулюємо правило приведення до стандартного вигляду :

Перемножити всі числові множники;

Поставити отриманий коефіцієнт на перше місце;

Перемножити всі ступені, тобто отримати буквенную частина;

Тобто, будь-який одночлен характеризується коефіцієнтом і буквеної частиною. Забігаючи наперед, відзначимо, що одночлени, що мають однакову буквену частину, називаються подібними.

Тепер потрібно напрацювати техніку приведення одночленним до стандартного вигляду . Розглянь приклади з підручника:

Завдання: привести одночлен до стандартного вигляду, назвати коефіцієнт і буквену частину.

Для виконання завдання скористаємося правилом приведення одночлена до стандартного вигляду та властивостями ступенів.

1. ;

3. ;

Коментарі до першого прикладу: Для початку визначимо, чи дійсно цей вислів є одночленной, для цього перевіримо, чи є в ньому операції множення чисел і ступенів і чи немає в ньому операцій додавання, віднімання або ділення. Можемо сказати, що цей вислів є одночленной, так як вищевказане умова виконується. Далі, згідно з правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, перемножимо чисельні множники:

- ми знайшли коефіцієнт заданого одночлена;

; ; ; тобто, отримана літерна частина виразу :;

запишемо відповідь:;

Коментарі до другого наприклад: За правилом виконуємо:

1) перемножити числові множники:

2) перемножити ступеня:

Змінні і представлені в єдиному екземплярі, тобто їх перемножити ні з чим не можна, вони переписуються без змін, ступінь перемножується:

запишемо відповідь:

;

В даному прикладі коефіцієнт одночлена дорівнює одиниці, а буквена частина.

Коментарі до третього наприклад: аналогічная попереднім прикладам виконуємо дії:

1) перемножити чисельні множники:

;

2) перемножити ступеня:

;

випишемо відповідь:;

В даному випадку коефіцієнт одночлена дорівнює «», а буквена частина .

тепер розглянемо другу стандартну операцію над одночленной . Оскільки одночлен це вираз, що складається з буквених змінних, які можуть приймати конкретні числові значення, то ми маємо арифметичне числове вираження, яке слід обчислити. Тобто, наступна операція над многочленами складається в обчисленні їх конкретного числового значення .

Розглянемо приклад. Заданий одночлен:

даний одночлен вже приведений до стандартного вигляду, його коефіцієнт дорівнює одиниці, а буквена частина

Раніше ми говорили, що алгебраїчне вираз не завжди можна обчислити, тобто змінні, які в нього входять, можуть приймати не будь-яке значення. У разі одночлена ж входять в нього змінні можуть бути будь-якими, це є особливістю одночлена.

Отже, в заданому прикладі потрібно обчислити значення одночлена при,,,.

Одночлени є одним з основних видів виразів, що вивчаються в рамках шкільного курсу алгебри. У цьому матеріалі ми розповімо, що це за висловлення, визначимо їх стандартний вид і покажемо приклади, а також розберемося з супутніми поняттями, такими як ступінь одночлена і його коефіцієнт.

Що таке одночлен

У шкільних підручниках зазвичай дається таке визначення цього поняття:

визначення 1

До одночленной відносяться числа, змінні, а також їх ступеня з натуральним показником і різні види творів, складені з них.

Виходячи з цього визначення, ми можемо навести приклади таких виразів. Так, все числа 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 ставитимуться до одночленной. Всі змінні, наприклад, x, a, b, p, q, t, y, z теж будуть за визначенням одночленной. Сюди ж можна віднести ступеня змінних і чисел, наприклад, 6 3, (- 7, 41) 7, x 2 і t 15, А також вирази виду 65 · x, 9 · (- 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z і т.д. Зверніть увагу, що до складу одночлена може входити як одне число або змінна, так і декілька, причому вони можуть бути згадані кілька разів в складі одного многочлена.

Такі види чисел, як цілі, раціональні, натуральні теж відносяться до одночленной. Також сюди можна включити дійсні і комплексні числа. Так, вирази виду 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 теж будуть одночленной.

Що таке стандартний вид одночлена і як привести вираз до нього

Для зручності роботи всі одночлени спочатку призводять до особливого виду, званого стандартним. Сформулюємо конкретно, що ж це означає.

визначення 2

Стандартним видом одночлена називають такий його вид, в якій він вдає із себе твір числового множника і натуральних ступенів різних змінних. Числовий множник, також званий коефіцієнтом одночлена, зазвичай записують першим з лівого боку.

Для наочності підберемо декілька одночленним стандартного виду: 6 (це одночлен без змінних), 4 · a, - 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Сюди ж можна віднести вираз x · y (Тут коефіцієнт дорівнюватиме 1), - x 3 (Тут коефіцієнт дорівнює - 1).

Тепер наведемо приклади одночленним, які потрібно привести до стандартного вигляду: 4 · a · a 2 · a 3 (Тут потрібно об'єднати однакові змінні), 5 · x · (- 1) · 3 · y 2 (Тут потрібно об'єднати зліва числові множники).

Зазвичай у разі, коли одночлен має кілька змінних, записаних літерами, літерні множники записують в алфавітному порядку. Наприклад, краще запис 6 · a · b 4 · c · z 2, ніж b 4 · 6 · a · z 2 · c. Однак порядок може бути й іншим, якщо цього вимагає мета обчислення.

Привести до стандартного вигляду можна будь-одночлен. Для цього потрібно виконати всі необхідні тотожні перетворення.

Поняття ступеня одночлена

Дуже важливим є супутнє поняття ступеня одночлена. Запишемо визначення даного поняття.

визначення 3

ступенем одночлена, Записаного в стандартному вигляді, є сума показників ступенів всіх змінних, які входять в його запис. Якщо жодної змінної в ньому немає, а сам одночлен відмінний від 0, то його ступінь буде нульовий.

Наведемо приклади ступенів одночлена.

приклад 1

Так, одночлен a має ступінь, рівну 1, оскільки a \u003d a 1. Якщо у нас є одночлен 7, то він буде мати нульову ступінь, оскільки в ньому немає змінних і він відмінний від 0. А ось запис 7 · a 2 · x · y 3 · a 2 буде одночленной 8-го ступеня, адже сума показників всіх ступенів змінних, включених в нього, буде дорівнює 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Одночлен, приведений до стандартного вигляду, і вихідний многочлен матимуть однаковий ступінь.

приклад 2

Покажемо, як підрахувати ступінь одночлена 3 · x 2 · y 3 · x · (- 2) · x 5 · y. У стандартному вигляді його можна записати як - 6 · x 8 · y 4 . Обчислюємо ступінь: 8 + 4 = 12 . Значить, ступінь вихідного многочлена також дорівнює 12.

Поняття коефіцієнта одночлена

Якщо у нас є одночлен, приведений до стандартного вигляду, який включає в себе хоча б одну змінну, то ми говоримо про нього як про твір з одним числовим множником. Цей множник називають числовим коефіцієнтом, або коефіцієнтом одночлена. Запишемо визначення.

визначення 4

Коефіцієнтом одночлена називають числовий множник одночлена, приведеного до стандартного вигляду.

Візьмемо для прикладу коефіцієнти різних одночленним.

приклад 3

Так, у виразі 8 · a 3 коефіцієнтом буде число 8, а в (- 2, 3) · x · y · zїм буде − 2 , 3 .

Особливу увагу треба приділити коефіцієнтам, що дорівнює одиниці і мінус одиниці. Як правило, в явному вигляді їх не вказують. Вважається, що в одночленной стандартного виду, в якому немає числового множника, коефіцієнт дорівнює 1, наприклад, у виразах a, x · z 3, a · t · x, оскільки їх можна розглядати як як 1 · a, x · z 3 - як 1 · x · z 3 і т.д.

Точно так же в одночленной, в яких немає числового множника і які починаються зі знака мінус, ми можемо вважати коефіцієнтом - 1.

приклад 4

Наприклад, такий коефіцієнт буде у виразів - x, - x 3 · y · z 3, оскільки вони можуть бути представлені як - x \u003d (- 1) · x, - x 3 · y · z 3 \u003d (- 1) · x 3 · y · z 3 і т.д.

Якщо у одночлена взагалі немає жодного літерного множника, то говорити про коефіцієнт можна і в цьому випадку. Коефіцієнтами таких одночленним-чисел будуть самі ці числа. Так, наприклад, коефіцієнт одночлена 9 дорівнюватиме 9.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Урок на тему: "Стандартний вигляд одночлена. Визначення. Приклади"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Електронний навчальний посібник "Зрозуміла геометрія" для 7-9 класів
Мультимедійний навчальний посібник "Геометрія за 10 хвилин" для 7-9 класів

Одночлен. визначення

одночлен - це математичний вираз, який представляє собою твір простого множника і однієї або декількох змінних.

До одночленной відносяться всі числа, змінні, їх ступеня з натуральним показником:
42; 3; 0; 6 2, 2 3, b 3; ax 4; 4x 3; 5a 2; 12xyz 3.

Досить часто буває важко визначити, чи відноситься дана математичний вираз до одночленной чи ні. Наприклад, $ \\ frac (4а ^ 3) (5) $. Це одночлен чи ні? Щоб відповісти на це питання треба спростити вираз, тобто представити у вигляді: $ \\ frac (4) (5) * а ^ 3 $.
Ми можемо точно сказати, що цей вислів - одночлен.

Стандартний вид одночлена

При обчисленнях бажано привести одночлен до стандартного вигляду. Це найбільш коротка і зрозуміла запис одночлена.

Порядок приведення одночлена до стандартного вигляду наступний:
1. Перемножити коефіцієнти одночлена (або числові множники) і отриманий результат помістити на перше місце.
2. Вибрати всі ступені з однаковим літерним підставою і перемножити їх.
3. Повторювати пункт 2 для всіх змінних.

Приклади.
I. Привести заданий одночлен $ 3x ^ 2zy ^ 3 * 5y ^ 2z ^ 4 $ до стандартного вигляду.

Рішення.
1. Перемножимо коефіцієнти одночлена $ 15х ^ 2y ^ 3z * y ^ 2z ^ 4 $.
2. Тепер наведемо подібні доданки $ 15х ^ 2y ^ 5z ^ 5 $.

II. Привести заданий одночлен $ 5a ^ 2b ^ 3 * \\ frac (2) (7) a ^ 3b ^ 2c $ до стандартного вигляду.

Рішення.
1. Перемножимо коефіцієнти одночлена $ \\ frac (10) (7) a ^ 2b ^ 3 * a ^ 3b ^ 2c $.
2. Тепер наведемо подібні доданки $ \\ frac (10) (7) a ^ 5b ^ 5c $.