Приймаючи ймовірність. Теорія ймовірності. Імовірність події, випадкові події (теорія ймовірності). Незалежні та несумісні події в теорії ймовірності. Приклади розв'язування задач на класичну ймовірність

то кажуть, що випадкова величина ξ має густина розподілу ймовірності f(x).

Визначення.Нехай. Для безперервної функції розподілу F теоретичною α-квантиллюназивається рішення рівняння.

Таке рішення може бути не єдиним.

Квантиль рівня ½ називається теоретичною медіаною , квантили рівнів ¼ і ¾ -нижньою та верхньою квартилями відповідно.

В актуарних додатках важливу роль відіграє нерівність Чебишева:

за будь-якого

Математичне очікування символ.

Читається так:ймовірність того, що модуль більше менше або дорівнює математичному очікуванню величини модуль , поділеному на .

Час життя як випадкова величина

Невизначеність моменту смерті є основним фактором ризику страхування життя.

Щодо моменту смерті окремої людини не можна сказати нічого певного. Однак якщо ми маємо справу з великою однорідною групою людей і не цікавимося долею окремих людей цієї групи, то ми знаходимося в рамках теорії ймовірностей як науки про масові випадкові явища, що володіють властивістю стійкості частот.

Відповідно, ми можемо говорити про тривалість життя як про випадкову величину Т.

Функція виживання

Теоретично ймовірностей описують стохастичну природу будь-якої випадкової величини Тфункцією розподілу F(x),яка визначається як ймовірність того, що випадкова величина Тменше, ніж число x:

.

В актуарній математиці приємно працювати не з функцією розподілу, а з додатковою функцією розподілу . Щодо тривалого життя - це ймовірність того, що людина доживе до віку xроків.

називається функцією виживання(survival function):

Функція виживання має такі властивості:

У таблицях тривалості життя зазвичай вважають, що існує деякий граничний вік (limiting age) (як правило, років) і відповідно при x>.

При описі смертності аналітичними законами зазвичай вважають, що життя необмежено, проте підбирають вигляд і параметри законів те щоб ймовірність життя понад деякого віку була зневажливо мала.

Функція виживання має простий статистичний зміст.

Припустимо, що ми спостерігаємо за групою з новонароджених (як правило), яких ми спостерігаємо і можемо фіксувати моменти їхньої смерті.

Позначимо кількість живих представників цієї групи у віці через . Тоді:

.

Символ Eтут і нижче використовується для позначення математичного очікування.

Отже, функція виживання дорівнює середній частці новонароджених, що дожили до віку з деякої фіксованої групи.

В актуарної математики часто працюють не з функцією виживання, а з щойно введеною величиною (зафіксувавши початковий розмір групи).

Функція виживання може бути відновлена ​​за щільністю:

Характеристики тривалості життя

З практичної точки зору важливі такі характеристики:

1 . Середнєчас життя

,
2 . Дисперсіячасу життя

,
де
,

Наведені на даний момент у відкритому банку завдань ЄДІ з математики (mathege.ru), вирішення яких засноване на одній лише формулі, що є класичним визначенням ймовірності.

Зрозуміти формулу найпростіше на прикладах.
приклад 1.У кошику 9 червоних кульок та 3 синіх. Кулі відрізняються лише кольором. Навмання (не дивлячись) дістаємо один із них. Яка ймовірність того, що обрана таким чином куля виявиться синього кольору?

Коментар.У завданнях з теорії ймовірності відбувається щось (у разі наша дія з витягування кулі), що може мати різний результат - результат. Потрібно помітити, що результат можна дивитися по-різному. "Ми витягли якусь кулю" - теж результат. "Ми витягли синю кулю" - результат. "Ми витягли саме ось цю кулю з усіх можливих куль" - такий найменш узагальнений погляд на результат називається елементарним результатом. Саме елементарні результати маються на увазі у формулі для обчислення ймовірності.

Рішення.Тепер обчислимо можливість вибору синьої кулі.
Подія А: "вибрана куля виявилася синього кольору"
Загальна кількість всіх можливих результатів: 9+3=12 (кількість всіх куль, які ми могли б витягнути)
Число сприятливих для події А результатів: 3 (кількість таких результатів, при яких подія А сталася, тобто кількість синіх куль)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Відповідь: 0,25

Порахуємо для тієї ж задачі можливість вибору червоної кулі.
Загальна кількість можливих наслідків залишиться тим же, 12. Число сприятливих наслідків: 9. Шукана ймовірність: 9/12=3/4=0,75

Імовірність будь-якої події завжди лежить у межах від 0 до 1.
Іноді у повсякденному мовленні (але не теоретично ймовірності!) ймовірність подій оцінюють у відсотках. Перехід між математичною та розмовною оцінкою здійснюється шляхом множення (або поділу) на 100%.
Отже,
При цьому ймовірність дорівнює нулю у подій, які не можуть статися – неймовірні. Наприклад, у нашому прикладі це була б можливість витягнути з кошика зелену кулю. (Кількість сприятливих результатів дорівнює 0, Р(А)=0/12=0, якщо вважати за формулою)
Імовірність 1 мають події, які абсолютно точно відбудуться без варіантів. Наприклад, ймовірність того, що «обрана куля виявиться або червоною або синьою» - для нашого завдання. (Кількість сприятливих результатів: 12, Р(А)=12/12=1)

Ми розглянули класичний приклад, що ілюструє визначення ймовірності. Усі подібні завдання ЄДІ з теорії ймовірності вирішуються застосуванням цієї формули.
На місці червоних та синіх куль можуть бути яблука та груші, хлопчики та дівчатка, вивчені та невивчені квитки, квитки, що містять та не містять питання з якоїсь теми (прототипи , ), браковані та якісні сумки або садові насоси (прототипи , ) – принцип залишається тим самим.

Дещо відрізняються формулюванням завдання теорії ймовірності ЄДІ, де потрібно обчислити ймовірність випадання якоїсь події на певний день. ( , ) Як і попередніх завданнях потрібно визначити, що є елементарним результатом, після чого застосувати ту ж формулу.

приклад 2.Конференція триває три дні. Першого і другого дня виступають по 15 доповідачів, третього дня – 20. Яка ймовірність того, що доповідь професора М. випаде на третій день, якщо порядок доповідей визначається жеребкуванням?

Що є елементарним результатом? – Присвоєння доповіді професора одного з усіх можливих порядкових номерів для виступу. У жеребкуванні бере участь 15+15+20=50 осіб. Таким чином, доповідь професора М. може отримати один із 50 номерів. Значить, і елементарних результатів лише 50.
А які результати сприятливі? – Ті, за яких виявиться, що професор виступатиме третього дня. Тобто останні 20 номерів.
За формулою ймовірність P(A)=20/50=2/5=4/10=0,4
Відповідь: 0,4

Жеребкування тут є встановленням випадкової відповідності між людьми і впорядкованими місцями. У прикладі 2 встановлення відповідності розглядалося з погляду того, яке з місць могла б зайняти конкретна людина. Можна до тієї ж ситуації підходити з іншого боку: хто з людей з якою ймовірністю міг би потрапити на конкретне місце (прототипи , , , ):

приклад 3.У жеребкуванні беруть участь 5 німців, 8 французів та 3 естонці. Яка ймовірність того, що першим (/другим/сьомим/останнім – не важливо) виступатиме француз.

Кількість елементарних результатів - кількість всіх можливих людей, які могли б по жеребкуванню потрапити на дане місце. 5+8+3=16 осіб.
Сприятливі наслідки – французи. 8 людей.
Шукана ймовірність: 8/16=1/2=0,5
Відповідь: 0,5

Трохи відрізняється прототип. Залишилися завдання про монети () та гральні кістки (), дещо творчіші. Вирішення цих завдань можна переглянути на сторінках прототипів.

Наведемо кілька прикладів на кидання монети чи кубика.

приклад 4.Коли підкидаємо монету, якою є ймовірність випадання решки?
Виходів 2 – орел чи решка. (Вважається, що монета ніколи не падає на ребро) Сприятливий результат - решка, 1.
Можливість 1/2=0,5
Відповідь: 0,5.

Приклад 5.А якщо підкидаємо монету двічі? Яка ймовірність того, що обидва рази випаде орел?
Головне визначити, які елементарні результати розглядатимемо під час підкидання двох монет. Після підкидання двох монет може вийти один із наступних результатів:
1) PP – обидва рази випала решка
2) PO – перший раз решка, вдруге орел
3) OP – вперше орел, вдруге решка
4) OO – обидва рази випав орел
Інших варіантів немає. Отже, елементарних результатів 4. Сприятливий їх лише перший, 1.
Імовірність: 1/4 = 0,25
Відповідь: 0,25

Яка ймовірність того, що із двох підкидань монети один раз випаде решка?
Кількість елементарних результатів те саме, 4. Сприятливі результати – другий і третій, 2.
Можливість випадання однієї решки: 2/4=0,5

У таких завданнях може стати в нагоді ще одна формула.
Якщо при одному киданні монети можливих варіантів результату у нас 2, то для двох кидання результатів буде 2 · 2 = 2 2 = 4 (як у прикладі 5), для трьох кидання 2 · 2 · 2 = 2 3 = 8, для чотирьох: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N кидання можливих результатів буде 2·2·...·2=2 N .

Так, можна знайти можливість випадання 5 решок з 5 кидань монети.
Загальна кількість елементарних результатів: 25 =32.
Сприятливі результати: 1. (РРРРР – всі 5 разів решка)
Імовірність: 1/32 = 0,03125

Те ж саме і для гральної кістки. При одному киданні можливих результатів тут 6. Значить, для двох кидань: 6 · 6 = 36, для трьох 6 · 6 · 6 = 216, і т. д.

Приклад 6.Кидаємо гральну кістку. Якою є ймовірність, що випаде парне число?

Усього результатів: 6, за кількістю граней.
Сприятливих: 3 результати. (2, 4, 6)
Імовірність: 3/6 = 0,5

Приклад 7.Кидаємо дві гральні кістки. Яка ймовірність, що у сумі випаде 10? (округлити до сотих)

Для одного кубика 6 можливих наслідків. Значить, для двох, за вищезгаданим правилом, 6 · 6 = 36.
Які результати будуть сприятливими у тому, щоб у сумі випало 10?
10 треба розкласти у сумі двох чисел від 1 до 6. Це можна зробити двома способами: 10=6+4 і 10=5+5. Отже, для кубиків можливі варіанти:
(6 на першому та 4 на другому)
(4 на першому та 6 на другому)
(5 на першому та 5 на другому)
Разом, 3 варіанти. Шукана ймовірність: 3/36=1/12=0,08
Відповідь: 0,08

Інші типи завдань B6 будуть розглянуті в одній із таких статей «Як вирішувати».

ймовірність (probability)- Число від 0 до 1, яке відображає шанси того, що випадкова подія відбудеться, де 0 - це повна відсутність ймовірності походження події, а 1 означає, що подія, що розглядається, безумовно відбудеться.

Імовірність події E є числом від 1 до 1.
Сума ймовірностей взаємовиключних подій дорівнює 1.

емпірична ймовірність- ймовірність, яка порахована як відносна частота події у минулому, вилучена з аналізу історичних даних.

Імовірність дуже рідкісних подій не можна вважати емпірично.

суб'єктивна ймовірність- ймовірність, заснована на особистій суб'єктивній оцінці події безвідносно історичних даних. Інвестори, які приймають рішення про купівлю та продаж акцій, часто діють саме виходячи з міркувань суб'єктивної ймовірності.

апріорна ймовірність -

Шанс 1 з ... (odds) те, що подія відбудеться через поняття ймовірності. Шанс появи події виражається через можливість так: P/(1-P).

Наприклад, якщо ймовірність події 0,5, то шанс події 1 із 2 т.к. 0,5/(1-0,5).

Шанс того, що подія не відбудеться, обчислюється за формулою (1-P)/P

Неузгоджена можливість- наприклад, у ціні акцій компанії А на 85% враховано можливу подію E, а в ціні акцій компанії Б лише на 50%. Це називається неузгоджена ймовірність. Відповідно до теореми голландських ставок, неузгоджена можливість створює можливості для отримання прибутку.

Безумовна ймовірність- це відповідь на запитання «Яка ймовірність того, що подія станеться?»

Умовна ймовірність- це відповідь на запитання: «Яка ймовірність події A, якщо подія Б відбулася». Умовна ймовірність позначається як P(A|B).

Спільна ймовірність- ймовірність того, що події А та Б відбудуться одночасно. Позначається як P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Правило підсумовування ймовірностей:

Імовірність того, що станеться або подія A або подія B -

P (A або B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Якщо події A та B взаємовиключні, то

P (A або B) = P(A) + P(B)

Незалежні події- події A та B незалежні якщо

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Тобто це послідовність результатів, де значення ймовірності завжди від одного події до іншого.
Кидок монети – приклад такої події, – результат кожного наступного кидка не залежить від результату попереднього.

Залежні події- Це такі події, коли ймовірність появи одного залежить від ймовірності появи іншого.

Правило множення ймовірностей незалежних подій:
Якщо події A та B незалежні, то

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Правило повної ймовірності:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S і S" - взаємовиключні події

математичне очікування (expected value)Довільною змінною є середнє можливих наслідків випадкової величини. Для події X маточування починається як E(X).

Допустимо у нас є 5 значень взаємовиключних подій з певною ймовірністю (наприклад, дохід компанії склав таку суму з такою ймовірністю). Маточенням буде сума всіх результатів помножених на їхню ймовірність:

Дисперсія випадкової величини - маточкування квадратних відхилень випадкової величини від її маточіння:

s 2 = E(2) (6)

Умовне маточування (conditional expected value) - маточіння випадкової величини X за умови того, що подія S вже відбулася.

З практичної точки зору, ймовірність події- це відношення кількості тих спостережень, у яких дана подія настала, до загальної кількості спостережень. Таке трактування допустиме у разі досить великої кількості спостережень чи дослідів. Наприклад, якщо серед людей, що зустріли на вулиці, приблизно половина - жінки, то можна говорити, що ймовірність того, що зустрінута на вулиці людина виявиться жінкою, дорівнює 1/2. Інакше кажучи, оцінкою ймовірності події може бути частота його наступу тривалої серії незалежних повторень випадкового експерименту .

Ймовірність у математиці

У сучасному математичному підході класична (тобто квантова) ймовірність задається аксіоматикою Колмогорова. Імовірністю називається міра P, яка задається на безлічі X, Називається імовірнісним простором . Цей захід повинен мати такі властивості:

Із зазначених умов випливає, що імовірнісний захід Pтакож має властивість адитивності: якщо множини A 1 та A 2 не перетинаються, то . Для підтвердження потрібно покласти все A 3 , A 4 , … рівними порожньому множині і застосувати властивість лічильної адитивності.

Імовірнісний захід може бути визначений не для всіх підмножин множини X. Достатньо визначити її на сигма-алгебри, що складається з деяких підмножин множини X. При цьому випадкові події визначаються як вимірні підмножини простору Xтобто як елементи сигма-алгебри .

Імовірність сенсі

Коли ми знаходимо, що підстави для того, щоб якийсь можливий факт стався насправді, переважують протилежні підстави, ми вважаємо цей факт ймовірним, в іншому випадку - неймовірним. Ця перевага позитивних підстав над негативними, і навпаки, може становити невизначену кількість ступенів, внаслідок чого ймовірність(і неймовірність) буває більшоюабо меншою .

Складні поодинокі факти не допускають точного обчислення ступенів своєї ймовірності, але й тут важливо встановити деякі великі підрозділи. Приміром, у сфері юридичної , коли підлягає суду особистий факт встановлюється виходячи з показань свідків, він завжди залишається, строго кажучи, лише ймовірним, і потрібно знати, наскільки ця ймовірність значна; у римському праві тут приймалося четверне поділ: probatio plena(де ймовірність практично переходить у достовірність), далі - probatio minus plena, Потім - probatio semiplena majorі наостанок, probatio semiplena minor .

Окрім питання про ймовірність справи, може виникати, як у галузі права, так і в галузі моральної (за відомої етичної точки зору) питання про те, наскільки ймовірно, що цей приватний факт є порушенням загального закону. Це питання, що є основним мотивом у релігійній юриспруденції Талмуда, викликало і в римсько-католицькому моральному богослов'ї (особливо з кінця XVI століття) дуже складні систематичні побудови та величезну літературу, догматичну та полемічну (див. Пробабілізм).

Поняття ймовірності допускає певний чисельний вираз у застосуванні лише до таких фактів, що входять до складу певних однорідних рядів. Так (у найпростішому прикладі), коли хтось кидає сто разів поспіль монету, ми знаходимо тут один загальний або великий ряд (сума всіх падінь монети), що складається з двох приватних або менших, у даному випадку чисельно рівних, рядів (падіння « орлом» та падіння «решкою»); Імовірність, що в цей раз монета впаде рішкою, тобто цей новий член загального ряду належатиме до цього з двох менших рядів, дорівнює дробу, що виражає чисельне відношення між цим малим рядом і великим, саме 1/2, тобто однакова ймовірність належить до того чи іншого із двох приватних рядів. У менш простих прикладах висновок може бути виведено з даних самої завдання, а вимагає попередньої індукції . Так, наприклад, питається: яка ймовірність існує для новонародженого дожити до 80 років? Тут має скласти загальний, або великий, ряд із відомої кількості людей, народжених у подібних умовах і вмираючих у різному віці (це число має бути досить велике, щоб усунути випадкові відхилення, і досить мало, щоб зберігалася однорідність ряду, бо для людини, народженого, наприклад, у Санкт-Петербурзі в забезпеченому культурному сімействі, все мільйонне населення міста, значна частина якого складається з осіб різноманітних груп, які можуть померти раніше часу - солдатів, журналістів, робітничих небезпечних професій, - представляє групу занадто різнорідну для справжнього визначення ймовірності) ; нехай цей загальний ряд складається із десяти тисяч людських життів; до нього входять менші ряди, що становлять число тих, хто доживає до того чи іншого віку; один із цих менших рядів представляє число тих, що доживають до 80 років. Але визначити чисельність цього меншого ряду (як і всіх інших) неможливо a priori; це робиться суто індуктивним шляхом, за допомогою статистики. Припустимо, статистичні дослідження встановили, що з 10 000 петербуржців середнього класу до 80 років доживають лише 45; таким чином, цей менший ряд відноситься до великого, як 45 до 10000, і ймовірність для цієї особи належати до цього меншого ряду, тобто дожити до 80 років, виражається дробом 0,0045. Дослідження ймовірності з математичної точки зору становить особливу дисципліну – теорію ймовірностей.

Див. також

Примітки

Література

Wikimedia Foundation. 2010 .

Антоніми:

Дивитись що таке "Вірогідність" в інших словниках:

Загальнонаукова та філос. категорія, що позначає кількісний рівень можливості появи масових випадкових подій за фіксованих умов спостереження, що характеризує стійкість їх відносних частот. У логіці семантичний ступінь. Філософська енциклопедія

Імовірність, число в інтервалі від нуля до одиниці включно, що представляє можливість здійснення даної події. Імовірність події визначається як відношення кількості шансів того, що подія може статися, до загальної кількості можливих… Науково-технічний енциклопедичний словник

Словник російських синонімів і подібних за змістом висловів. під. ред. Н. Абрамова, М.: Російські словники, 1999. Можливість можливість, можливість, шанс, об'єктивна можливість, маза, допустимість, ризик. Ant. неможливість… … Словник синонімів

ймовірність- Міра того, що подія може статися. Математичне визначення ймовірності: «дійсне число в інтервалі від 0 до 1, що відноситься до випадкової події». Число може відображати відносну частоту в серії спостережень. Довідник технічного перекладача

Ймовірність- «математична, числова характеристика ступеня можливості появи будь-якої події у тих чи інших певних, які можуть повторюватися необмежену кількість разів умов». Якщо виходити з цього класичного… Економіко-математичний словник

- (probability) Можливість настання якоїсь події чи певного результату. Може бути представлена ​​у вигляді шкали з поділками від 0 до 1. При нульовій ймовірності події його настання неможливе. При ймовірності, що дорівнює 1, наступ … Словник бізнес-термінів

У завданнях ЄДІ з математики зустрічаються і більш складні завдання на ймовірність (ніж ми розглядали в частині 1), де доводиться застосовувати правило додавання, множення ймовірностей, розрізняти спільні та несумісні події.

Отже, теорія.

Спільні та несумісні події

Події називаються несумісними, якщо поява одного з них унеможливлює появу інших. Тобто, може відбутися лише одна певна подія або інша.

Наприклад, кидаючи гральну кістку, можна назвати такі події, як випадання парного числа очок і випадання непарного числа очок. Ці події несумісні.

Події називаються спільними, якщо настання одного з них не виключає настання іншого.

Наприклад, кидаючи гральну кістку, можна виділити такі події, як випадання непарного числа очок і випадання числа очок, кратних трьом. Коли випадає три, реалізуються обидві події.

Сума подій

Сумою (або об'єднанням) кількох подій називається подія, що полягає в настанні хоча б однієї з цих подій.

При цьому сума двох несумісних подій є сума ймовірностей цих подій:

Наприклад, ймовірність випадання 5 або 6 очок на гральному кубику при одному кидку буде , тому що обидві події (випадання 5, випадіння 6) несумісні і ймовірність реалізації однієї чи другої події обчислюється наступним чином:

Імовірність ж суми двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без урахування їхньої спільної появи:

Наприклад, у торговому центрі два однакові автомати продають каву. Імовірність того, що до кінця дня в автоматі закінчиться кава, дорівнює 0,3. Імовірність того, що кава закінчиться в обох автоматах, дорівнює 0,12. Знайдемо ймовірність того, що до кінця дня кава закінчиться хоча б в одному з автоматів (тобто або в одному або в іншому, або в обох відразу).

Імовірність першої події «кава закінчиться в першому автоматі» так само як і ймовірність другої події «кава закінчиться в другому автоматі» за умовою дорівнює 0,3. Події є спільними.

Імовірність спільної реалізації перших двох подій за умовою дорівнює 0,12.

Значить, ймовірність того, що до кінця дня кава закінчиться хоча б в одному з автоматів.

Залежні та незалежні події

Дві випадкові події А і В називаються незалежними, якщо настання одного з них не змінює ймовірність наступу іншого. В іншому випадку події А та В називають залежними.

Наприклад, при одночасному кидку двох кубиків випадання одному з них, скажімо 1, і другому 5, – незалежні події.

Добуток ймовірностей

Твором (або перетином) кількох подій називається подія, що полягає у спільній появі всіх цих подій.

Якщо відбуваються два незалежні подіїА і В з ймовірностями відповідно до Р(А) і Р(В), то ймовірність реалізації подій А і В одночасно дорівнює добутку ймовірностей:

Наприклад, нас цікавить випадання на гральному кубику двічі поспіль шістки. Обидві події незалежні і можливість реалізації кожного з них окремо – . Імовірність того, що відбудуться обидві ці події, буде обчислюватися за зазначеною вище формулою: .

Добірку завдань на відпрацювання теми дивіться.