ХАРАКТЕРИСТИКИ РОЗБРОСУ

Від характеристик становища – математичного очікування, медіани, моди – перейдемо до характеристик розкиду випадкової величини X.дисперсії D(X)= а 2 середньому квадратичному відхилення а і коефіцієнту варіації v. Визначення та властивості дисперсії для дискретних випадкових величин розглянуті у попередньому розділі. Для безперервних випадкових величин

Середнє квадратичне відхилення – це невід'ємне значення квадратного кореня з дисперсії:

Коефіцієнт варіації – це відношення середнього квадратичного відхилення до математичного очікування:

Коефіцієнт варіації - застосовується при М(Х)> Про - вимірює розкид у відносних одиницях, тоді як середнє квадратичне відхилення - в абсолютних.

Приклад 6. Для рівномірно розподіленої випадкової величини Xзнайдемо дисперсію, середньоквадратичне відхилення та коефіцієнт варіації. Дисперсія дорівнює:

Заміна змінної дає можливість записати:

де з = ф – аУ2.

Отже, середнє квадратичне відхилення одно а коефіцієнт варіації такий:

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

За кожною випадковою величиною Xвизначають ще три величини – центровану Y,нормовану Vта наведену U.Центрована випадкова величина Y- це різниця між даною випадковою величиною Xта її математичним очікуванням М(Х),тобто. Y = X - М(Х).Математичне очікування центрованої випадкової величини Yодно 0, а дисперсія - дисперсії даної випадкової величини:

Функція розподілу Fy(x)центрованої випадкової величини Yпов'язана з функцією розподілу F(x) вихідної випадкової величини Xспіввідношенням:

Для щільностей цих випадкових величин справедлива рівність

Нормована випадкова величина V- це відношення даної випадкової величини Xдо її середнього квадратичного відхилення а, тобто. V = XIо.Математичне очікування та дисперсія нормованої випадкової величини Vвиражаються через характеристики Xтак:

де v - коефіцієнт варіації вихідної випадкової величини X.Для функції розподілу Fv(x)та щільності fv(x)нормованої випадкової величини Vмаємо:

де F(x)- функція розподілу вихідної випадкової величини X; fix)- її щільність імовірності.

Наведена випадкова величина U- Це центрована і нормована випадкова величина:

Для наведеної випадкової величини

Нормовані, центровані та наведені випадкові величини постійно використовуються як у теоретичних дослідженнях, так і в алгоритмах, програмних продуктах, нормативно-технічній та інструктивно-методичній документації. Зокрема, тому, що рівності M(U) = 0, D(lf) = 1 дозволяють спростити обґрунтування методів, формулювання теорем та розрахункові формули.

Використовуються перетворення випадкових величин та більш загального плану. Так, якщо У = аХ + Ь,де аі b- Деякі числа, то

Приклад 7. Якщо а= 1/G, b = -M(X)/G,то У - наведена випадкова величина, і формули (8) переходять у формули (7).

З кожною випадковою величиною Xможна пов'язати безліч випадкових величин, заданих формулою У = аХ + bпри різних а > 0 та Ь.Це безліч називають масштабно-зсувним сімейством,породженим випадковою величиною X.Функції розподілу Fy(x) складають масштабно-зсувне сімейство розподілів, породжене функцією розподілу F(x).Замість У = аХ+bчасто використовують запис

Число зназивають параметром зсуву, а число d- Параметром масштабу. Формула (9) показує, що X- результат виміру деякої величини - переходить у К - результат виміру тієї ж величини, якщо початок виміру перенести в точку с,а потім використовувати нову одиницю вимірювання, dразів більшу за стару.

Для масштабно-зсувного сімейства (9) розподіл Xназивають стандартним. У ймовірносно-статистичних методах прийняття рішень та інших прикладних дослідженнях використовують стандартний нормальний розподіл, стандартний розподіл Вейбулла-Гніденко, стандартне гамма-

розподіл та ін. (Див. нижче).

Застосовують інші перетворення випадкових величин. Наприклад, для позитивної випадкової величини Xрозглядають Y = IgX,де IgX- десятковий логарифм числа X.Ланцюжок рівностей

пов'язує функції розподілу Xі Y.

Вище ми познайомилися із законами розподілу випадкових величин. Кожен закон розподілу вичерпним чином визначає властивості ймовірностей випадкової величини та дає можливість обчислювати ймовірності будь-яких подій, пов'язаних із випадковою величиною. Однак у багатьох питаннях практики немає потреби в такому повному описі і часто достатньо вказати лише окремі числові параметри, що характеризують суттєві риси розподілу. Наприклад, середнє, навколо якого розкидані значення випадкової величини, якесь число, що характеризує величину цього розкиду. Ці числа покликані висловити у стиснутій формі найбільш суттєві риси розподілу, і називаються числовими характеристиками довільної величини.

Серед числових показників випадкових величин передусім розглядають показники, фіксують становище випадкової величини на числовій осі, тобто. деяке середнє значення випадкової величини, біля якого групуються її можливі значення. З показників становища теорії ймовірностей найбільшу роль грає математичне очікування, Яке іноді просто називають середнім значенням випадкової величини.

Припустимо, що дискретна СВ, приймає значення х ( , х 2 ,..., х пз ймовірностями р j, р 2 ,... у Ptvтобто. задана поруч розподілу

Можливо, що у цих дослідах значення х хспостерігалося N (раз, значення х 2 - N 2раз,..., значення х п - N nразів. При цьому + N 2 +... + N n = N.

Середнє арифметичне результатів спостережень

Якщо Nвелике, тобто. N-» оо, то

описує центр розподілу. Отримане в такий спосіб середнє значення випадкової величини назвемо математичним очікуванням. Дамо словесне формулювання визначення.

Визначення 3.8. Математичним очікуванням (МО) дискретної СВ % називається число, що дорівнює сумі творів всіх можливих її значень на ймовірності цих значень (позначення М;):

Тепер розглянемо випадок, коли кількість можливих значень дискретної СВ?, лічильно, тобто. маємо РР

Формула для математичного очікування залишається тією ж, тільки у верхній межі суми пзамінюється оо, тобто.

І тут отримуємо вже ряд, який може і розходитися, тобто. відповідна СВ^ може і не мати математичного очікування.

Приклад 3.8. СВ?, задана поруч розподілу

Знайдемо МО цієї СВ.

Рішення.За визначенням. тобто. Mt,не існує.

Таким чином, у разі лічильника значень СВ отримуємо наступне визначення.

Визначення 3.9. Математичним очікуванням, або середнім значенням, дискретної СВ,має лічильне число значень, називається число, рівне сумі низки творів всіх можливих її значень відповідні ймовірності, за умови що цей ряд сходиться абсолютно, тобто.

Якщо цей ряд розходиться або сходиться умовно, то кажуть, що СВ не має математичного очікування.

Перейдемо від дискретної СВ до безперервної із щільністю р(х).

Визначення 3.10. Математичним очікуванням, або середнім значенням, безперервний СВназивається число, рівне

за умови, що цей інтеграл сходиться абсолютно.

Якщо цей інтеграл розходиться чи сходиться умовно, то кажуть, що безперервна СВ, не має математичного очікування.

Зауваження 3.8.Якщо можливі значення випадкової величини J;

належать лише інтервалу ( а; Ь),то

Математичне очікування - єдина характеристика становища, застосовувана теоретично ймовірностей. Іноді застосовуються такі, наприклад, як мода та медіана.

Визначення 3.11. МодоюСВ^ (позначення Mot,)називається її найімовірніше значення, тобто. те, для якого ймовірність p iабо щільність ймовірності р(х)досягає найбільшого значення.

Визначення 3.12. МедіаноюСВ?, (позначення Met)називається таке її значення, для якого P(t> Met) = Р(?> Met) = 1/2.

Геометрично для безперервної СВ медіана - це абсцис тієї точки осі Ох,на якій площі, що лежать ліворуч і праворуч від неї, однакові та рівні 1/2.

Приклад 3.9. СВt,має ряд розподілу

Знайдемо математичне очікування, моду та медіану СВ

Рішення. МЪ,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. Л/о? = 2. Ме(?) немає.

Приклад 3.10. Безперервна СВ% має щільність

Знайдемо математичне очікування, медіану та моду.

Рішення.

р(х)досягає максимуму, то Очевидно, медіана також дорівнює так як площі праворуч і ліворуч від лінії, що проходить через точку рівні.

Крім показників положення теорії ймовірностей використовують ще ряд числових показників різного призначення. Серед них особливе значення мають моменти – початкові та центральні.

Визначення 3.13. Початковим моментом k-го порядку СВ?, називається математичне очікування k-йступеня цієї величини: =M(t>k).

З визначень математичного очікування для дискретної та безперервної випадкових величин випливає, що

Зауваження 3.9.Зрозуміло, початковий момент 1-го порядку - це математичне очікування.

Перед тим, як дати визначення центрального моменту, введемо нове поняття центрованої випадкової величини.

Визначення 3.14. Центрованої СВ називається відхилення випадкової величини з її математичного очікування, тобто.

Неважко переконатися, що

Центрування випадкової величини, очевидно, рівносильне перенесення початку відліку в точку М; Моменти центрованої випадкової величини називаються центральними моментами.

Визначення 3.15. Центральним моментом k-го порядку СВ % називається математичне очікування k-йступеня центрованої випадкової величини:

З визначення математичного очікування випливає, що

Очевидно, для будь-якої випадкової величини ^ центральний момент 1-го порядку дорівнює нулю: з х= М (? 0) = 0.

Особливого значення для практики має другий центральний момент з 2 .Він називається дисперсією.

Визначення 3.16. ДисперсієюСВ?, називається математичне очікування квадрата відповідної центрованої величини (позначення D?)

Для обчислення дисперсії можна отримати такі формули безпосередньо з визначення:

Перетворюючи формулу (3.4), можна отримати таку формулу для обчислення DL;

Дисперсія СВ є характеристика розсіювання, розкиданості значень випадкової величини при її математичному очікуванні

Дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини, що завжди зручно. Тому для наочності як характеристику розсіювання зручно користуватися числом, розмірність якого збігається з розмірністю випадкової величини. Для цього з дисперсії витягують квадратний корінь. Отриману величину називають середнім квадратичним відхиленнямдовільної величини. Позначатимемо його а: а = л/щ.

Для неотрицательной СВ, як характеристики іноді застосовується коефіцієнт варіації, рівний відношенню середнього квадратичного відхилення до математичного очікування:

Знаючи математичне очікування і середнє квадратичне відхилення випадкової величини можна скласти наближене уявлення про діапазон її можливих значень. У багатьох випадках вважатимуться, що значення випадкової величини % лише зрідка виходять межі інтервалу М; ± За. Це правило для нормального розподілу, яке ми обґрунтуємо надалі, носить назву правило трьох сигм.

Математичне очікування та дисперсія - найчастіше застосовувані числові характеристики випадкової величини. З визначення математичного очікування та дисперсії випливають деякі найпростіші та досить очевидні властивості цих числових характеристик.

Найпростішівластивості математичного очікування та дисперсії.

1. Математичне очікування невипадкової величини здорівнює самій величині з: М(с) = с.

Справді, оскільки величина зприймає лише одне значення з ймовірністю 1, то М(с) = з 1 = с.

2. Дисперсія невипадкової величини дорівнює нулю, тобто. D(c) = 0.

Справді, Dc = М(с - Мс) 2 = М(с- с) 2 = М( 0) = 0.

3. Невипадковий множник можна виносити за знак математичного очікування: М(с^) = сМ(?,).

Покажемо справедливість цієї якості з прикладу дискретної СВ.

Нехай СВ задана поруч розподілу

Тоді

Отже,

Аналогічно доводиться властивість і безперервної випадкової величини.

4. Невипадковий множник можна виносити за знак дисперсії у квадраті:

Чим більше моментів випадкової величини відомі, тим детальніше уявлення про закон розподілу ми маємо.

Теоретично ймовірностей та її додатках використовують ще дві числові характеристики випадкової величини, засновані на центральних моментах 3-го та 4-го порядків, - коефіцієнт асиметрії , або m x .

Для дискретних випадкових величин математичне очікування :

Сума значень відповідного значення на можливість випадкових величин.

Модою (Mod) випадкової величини Х називають її найімовірніше значення.

Для дискретної випадкової величини. Для безперервної випадкової величини.

Одномодальний розподіл

Багато модальний розподіл

У загальному випадку Mod і математичне очікування не

збігаються.

Медіаною (Med) випадкової величини Х називають таке значення, для якої ймовірність того, що P(X Med). Будь-який розподіл Med може бути лише один.

Med поділяє площу під кривою на 2 рівні частини. У разі одно-модального та симетричного розподілу

Моменти.

Найчастіше практично застосовуються моменти двох видів початкове і центральне.

Початковий момент. -го порядку дискретної випадкової величини Х називається сума виду:

Для безперервної випадкової величини Х початковим моментом порядку називається інтеграл Очевидно, що математичне очікування випадкової величини є першим початковим моментом.

Користуючись знаком (оператором) М, початковий момент-го порядку можна як мат. очікування -ой міри деякої випадкової величини.

Центрованої випадковою величиною відповідної випадкової величини Х називають відхилення випадкової величини Х від її математичного очікування:

Математичне очікування центрованої випадкової величини 0.

Для дискретних випадкових величин маємо:

Моменти центрованої випадкової величини звуться Центральних моментів

Центральний момент порядку випадкової величини Х називають математичним очікуванням -ого ступеня відповідної центрованої випадкової величини.

Для дискретних випадкових величин:

Для безперервних випадкових величин:

Зв'язок між центральними та початковими моментами різних порядків

З усіх моментів як характеристики випадкової величини найчастіше застосовують перший момент (мат. очікування) і другий центральний момент.

Другий центральний момент називають дисперсією довільної величини. Він має позначення:

Відповідно до визначення

Для дискретної випадкової величини:

Для безперервної випадкової величини:

Дисперсія випадкової величини є характеристикою розсіяності (розкиданості) випадкових величин Х при її математичному очікуванні.

Дисперсіяозначає розсіювання. Дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини.

Для наочної характеристики розсіювання зручніше використовувати величину, m y тієї, що розмірність випадкової величини. З цією метою з дисперсії вилучають корінь і одержують величину, яка називається - середньоквадратичним відхиленням (СКО) випадкової величини Х, при цьому вводять позначення: