Raqamlar uchun bo'linish sinovlari- bu qoidalar, bu sonni bo'linmasdan turib, berilgan songa qoldiqsiz ajratish mumkinligini tez aniqlash uchun imkon beradigan qoidalar.
Ba'zi bo'linish mezonlari juda oddiy, biroz qiyinroq. Ushbu sahifada siz ikkala asosiy raqamlarning bo'linish mezonlarini, masalan, 2, 3, 5, 7, 11 va kompozit raqamlarning bo'linish mezonlarini topasiz, masalan, 6 yoki 12.
Ushbu ma'lumotlar siz uchun foydali bo'ladi deb umid qilaman.
Baxtli o'rganish!

2 ga bo'linish

Bu eng oddiy bo'linish mezonlaridan biridir. Bu shunday tuyuladi: agar natural sonning yozilishi juft raqamda tugasa, u teng (2 ga bo'linadi, qoldiqsiz) va agar raqamni yozish g'alati raqam bilan tugasa, unda bu raqam g'alati bo'ladi.
Boshqacha aytganda, agar raqamning oxirgi raqami bo'lsa 2 , 4 , 6 , 8 yoki 0 - son 2 ga bo'linadi, agar bo'lmasa, u bo'linmaydi
Masalan, raqamlar: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 ikkiga bo'linadi, chunki ular tengdir.
Va raqamlar: 23 5 , 137 , 2303
ikkiga bo'linmaydi, chunki ular g'alati.

3 ga bo'linish

Ushbu bo'linish mezoni mutlaqo boshqacha qoidalarga ega: agar sonning raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linsa, u holda bu raqam ham 3 ga bo'linadi; agar sonning raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linmasa, ularning soni 3 ga ham bo'linmaydi.
Shunday qilib, sonning 3 ga bo'linishini tushunish uchun uning sonlarini qo'shib qo'yish kifoya.
Bunga o'xshaydi: 3987 va 141 sonlari 3 ga bo'linadi, chunki birinchi holda 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - ostaksiz 3 ga bo'linadi) va ikkinchisida 1 + 4 + 1 \u003d 6 (6: 3 \u003d 2 - shuningdek 3 ga bo'linadi ostaksiz).
Ammo 235 va 566 raqamlari 3 ga bo'linmaydi, chunki 2 + 3 + 5 \u003d 10 va 5 + 6 + 6 \u003d 17 (va biz bilamizki, 10 dan 17 gacha bo'lgan qism qoldiqsiz 3 ga bo'linmaydi).

4 ga bo'linish

Ushbu bo'linish mezoni yanada murakkabroq bo'ladi. Agar sonning oxirgi 2 ta raqami 4 ga bo'linadigan yoki 00 ni tashkil etadigan raqamni hosil qilsa, u holda 4 ga bo'linadi, aks holda bu raqam 4 ga bo'linmaydi, qoldiqsiz.
Masalan: 1 00 va 3 64 4 ga bo'linadi, chunki birinchi holda, raqam tugaydi 00 , va ikkinchisida yoqilgan 64 , bu esa o'z navbatida qoldiqsiz 4 ga bo'linadi (64: 4 \u003d 16)
3 raqamlari 57 va 8 86 4 ga bo'linmaydi, chunki ikkalasi ham 57 ham 86 4 ga bo'linmaydi, demak ular berilgan bo'linish mezoniga to'g'ri kelmaydi.

5 ga bo'linish

Va yana bizda juda oddiy bo'linish belgisi bor: agar natural sonning yozuvi 0 yoki 5 raqamlari bilan tugasa, bu raqam 5 ga tengsiz bo'linadi. Agar raqamning yozuvi boshqa raqam bilan tugasa, u holda qolgan sonlarsiz 5 ga bo'linmaydi.
Bu raqamlar bilan tugaydigan har qanday raqamlar degan ma'noni anglatadi 0 va 5 masalan, 1235 5 va 43 0 , qoidaga muvofiq tushadi va 5 ga bo'linadi.
Va, masalan, 1549 3 va 56 4 5 yoki 0 bilan tugamang, demak, qoldiqsiz 5 ga bo'linish mumkin emas.

6 ga bo'linish

Bizdan oldin 6 va 2 raqamlari hosil bo'lgan kompozitsion raqam mavjud, shuning uchun 6 ga bo'linish ham kompozitdir: raqamni 6 ga bo'lish uchun, bir vaqtning o'zida ikkita bo'linish xususiyatiga mos kelishi kerak: 2 ga bo'linish xususiyati va 3 ga bo'linish xususiyati. Shu bilan birga, 4 kabi kompozit sonning alohida bo'linish belgisi borligiga e'tibor bering, chunki u 2 raqamining mahsulidir. Ammo 6 mezon bo'yicha bo'linishga qaytamiz.
138 va 474 raqamlari teng va bo'linish mezonlariga mos ravishda 3 ga bo'linadi (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 va 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), demak ular 6 ga bo'linadi. va 447 bo'lsa-da, ular 3 ga bo'linadi (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 va 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), ammo ular g'alati, ya'ni ular bo'linish mezoniga 2 ga mos kelmaydi. va shuning uchun 6 ga bo'linish mezoniga to'g'ri kelmaydi.

7 ga bo'linish

Ajratishning bu belgisi yanada murakkab: agar ushbu sonning o'nlab sonlaridan oxirgi sonni 7 ga bo'lish natijasida 7 ga bo'linsa yoki 0 ga teng bo'lsa, raqam 7 ga bo'linadi.
Juda chalkash, ammo amalda oddiy. O'zingiz ko'rib chiqing: raqam 95 9, chunki 7 ga bo'linadi 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 ta qoldiqsiz 7 ga bo'linadi). Bundan tashqari, agar transformatsiya paytida olingan son bilan bog'liq qiyinchiliklar yuzaga kelsa (uning kattaligi sababli uni 7 ga bo'ladimi yoki yo'qligini tushunish qiyin bo'lsa, demak, ushbu protsedura kerakli deb hisoblaganingizcha necha marta davom ettirilishi mumkin).
Misol uchun, 45 5 va 4580 1da 7 ga bo'linish belgilari mavjud. Birinchi holda, hamma narsa juda oddiy: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. Ikkinchi holda, biz buni qilamiz: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Agar buni tushunish qiyin bo'lsa 457 8 dan 7 gacha, shuning uchun jarayonni takrorlaymiz: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. Va yana biz bo'linish mezonidan foydalanamiz, chunki bizda uch xonali son mavjud 44 1. Shunday qilib, 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, ya'ni. 42 qoldiqsiz 7 ga bo'linadi, demak 45801 7 ga bo'linadi.
Ammo raqamlar 11 1 va 34 5 ni 7 ga bo'linmaydi, chunki 11 -2 * 1 \u003d 11 - 2 \u003d 9 (9 7 ga teng bo'linmaydi) va 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 teng 7 ga bo'linmaydi).

8 ga bo'linish

8 ga bo'linish quyidagicha: agar oxirgi 3 ta raqam 8 yoki 000 ga bo'linadigan sonni hosil qilsa, demak, berilgan raqam 8 ga bo'linadi.
1 raqamlari 000 yoki 1 088 8 ga bo'linadi: birinchisi tugaydi 000 , ikkinchi 88 : 8 \u003d 11 (qoldiqsiz 8 ga bo'linadi).
Ammo 1 raqamlari 100 yoki 4 757 sonlar 8 ga bo'linmaydi, chunki sonlar 100 va 757 teng ravishda 8 ga bo'linmaydi.

9 ga bo'linish

Bu bo'linish belgisi 3 ga bo'linish belgisiga o'xshaydi: agar raqamning raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linsa, demak, son 9 ga bo'linadi; agar sonning raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linmasa, u holda 9 ga bo'linmaydi.
Masalan: 3987 va 144 sonlari 9 ga bo'linadi, chunki birinchi holda 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - ostaksiz 9 ga bo'linadi) va ikkinchisida 1 + 4 + 4 \u003d 9 (9: 9 \u003d 1 - shuningdek 9 ga bo'linadi ostaksiz).
Ammo 235 va 141 raqamlari 9 ga bo'linmaydi, chunki 2 + 3 + 5 \u003d 10 va 1 + 4 + 1 \u003d 6 (va biz bilamizki, na 10, na 6 ni 9 ga bo'linmaydigan qoldiqsiz).

10, 100, 1000 va boshqa bit birliklarga bo'linish

Men ushbu bo'linish belgilarini birlashtirdim, chunki ularni xuddi shunday tavsiflash mumkin: agar sonning oxiridagi nollarning soni berilgan bit birliklaridagi nollarning sonidan ko'p yoki unga teng bo'lsa, raqam bit birligiga bo'linadi.
Boshqacha aytganda, masalan, bizda bunday raqamlar mavjud: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... ularning barchasi 1 ga bo'linadi 0 ; 46400 va 867 000 ham 1 ga bo'linadi 00 ; va ulardan faqat bittasi - 867 000 1 ga bo'linadi 000 .
Bitta birlikka qaraganda oxirida nolga ega bo'lgan har qanday raqamlar, masalan, bit birligiga bo'linmaydi, masalan 600 30 va 7 93 bo'linmas 1 00 .

11 ga bo'linish

Raqam 11 ga bo'linishini aniqlash uchun siz ushbu raqamning juft va toq raqamlari yig'indisi o'rtasidagi farqni topishingiz kerak. Agar bu farq 0 ga teng bo'lsa yoki qoldiqsiz 11 ga bo'linsa, sonning o'zi qoldiqsiz 11 ga bo'linadi.
Aniqroq bo'lishi uchun men misollarni ko'rib chiqishni taklif qilaman. 2 35 4 ni 11 ga bo'linadi, chunki ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 ham 11 ga bo'linadi, chunki ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Ammo 1 1 1 yoki 4 35 4 ni 11 ga bo'linmaydi, chunki birinchi holda biz olamiz (1 + 1) - 1 \u003d 1, ikkinchisida ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12 ga bo'linish

12 raqami aralash. Uning bo'linish mezoni bu bir vaqtning o'zida 3 va 4 ga bo'linish mezonlariga muvofiqligi.
Masalan, 300 va 636 bo'linish belgilariga 4 ga bo'linadi (oxirgi 2 raqamlari nolga teng yoki 4 ga bo'linadi) va bo'linish belgilari 3 ga bo'linadi (raqamlar yig'indisi va birinchi va uch marta uchta raqamga bo'linadi) va znit, qolganlarsiz 12 ga bo'linadi.
Ammo 200 yoki 630 raqamlari 12 ga bo'linmaydi, chunki birinchi holda bu raqam faqat 4 ga bo'linish belgisiga to'g'ri keladi, ikkinchisida - faqat 3 ga bo'linish belgisiga to'g'ri keladi, lekin ikkala belgi bir vaqtning o'zida emas.

13 ga bo'linish

13 ga bo'linish belgisi shundan iboratki, agar ushbu sonning birliklari bilan qo'shilgan o'nlab sonlar soni 4 ga ko'paytirilsa, 13 ga ko'paytirilsa yoki 0 ga teng bo'lsa, demak, sonning o'zi 13 ga bo'linadi.
Masalan olaylik 70 2. Shunday qilib, 70 + 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 bo'linadi, 13 bo'linadi), bu degani 70 2 qoldiqsiz 13 ga bo'linadi. Yana bir misol - bu raqam 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. 130 raqami qoldiqsiz 13 ga bo'linadi, ya'ni belgilangan raqam 13 ga bo'linish mezoniga to'g'ri keladi.
Agar raqamlarni olsak 12 5 yoki 21 2, keyin olamiz 12 + 4 * 5 \u003d 32 va 21 Mos ravishda + 4 * 2 \u003d 29 va na 32, na 29 ni 13 ga bo'linmasin, bu qoldiqlarsiz 13 ga teng bo'linmasligini anglatadi.

Raqamlarning bo'linishi

Yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki, har qanday uchun ham shunday deb taxmin qilish mumkin natural sonlar agar siz raqam bir nechta turli raqamlarning sonidan ko'p bo'lsa, siz o'zingizning shaxsiy bo'linish xususiyatingizni yoki "kompozit" xususiyatini tanlashingiz mumkin. Ammo amaliyot shuni ko'rsatadiki, umuman olganda, son qancha ko'p bo'lsa, uning belgisi shunchalik murakkabroq. Ehtimol, bo'linish mezonini tekshirishga sarflangan vaqt bo'linishning o'zi yoki undan ko'p bo'lishi mumkin. Shuning uchun biz odatda eng oddiy bo'linish mezonlaridan foydalanamiz.

Maqolada butun sonlarni qoldiqlarga bo'lish tushunchasi muhokama qilinadi. Qolgan butun sonlarning bo'linishi haqidagi teoremani isbotlaymiz va dividendlar va bo'linuvchilar o'rtasidagi bog'liqlikni, to'liq bo'lmagan kvotalar va qoldiqlarni ko'rib chiqamiz. Misollar bilan batafsil ko'rib chiqib, butun sonlarni qoldiqlarga bo'lish paytida qoidalarni ko'rib chiqamiz. Yechim oxirida tekshirib ko'ramiz.

Qolgan butun sonni tushunish

Qolgan butun sonlarni bo'linishi natural sonlar qoldig'i bilan umumlashtirilgan bo'linma hisoblanadi. Buning sababi, tabiiy sonlar butun sonlar uchun ajralmasdir.

Ixtiyoriy sonning qoldig'i bilan bo'linish a butun nolga teng bo'lmagan b raqamiga bo'linishini anglatadi. Agar b \u003d 0 bo'lsa, unda qolgan bo'linish amalga oshirilmaydi.

Qolgan qism bilan natural sonlarning bo'linishi, a va b butun sonlarni bo'linishi, agar b noldan farqli bo'lsa, c va d bilan bajariladi. Bunday holda, a va b dividend va bo'linuvchi deb nomlanadi va d - bo'linishning qolgan qismi, c - butun son yoki to'liq bo'lmagan qo'shtirnoq.

Agar qoldiq manfiy bo'lmagan butun son deb faraz qilsak, uning qiymati b raqamining modulidan ko'p emas. Keling, shunday yozamiz: 0 ≤ d ≤ b. Ushbu tengsizliklar zanjiri 3 yoki undan ortiq raqamlarni taqqoslashda qo'llaniladi.

Agar c to'liq bo'lmagan bo'linuvchi bo'lsa, unda d - butun sonni b ga bo'linishning qolgan qismi, siz qisqacha tuzatishingiz mumkin: a: b \u003d c (qolgan d).

A sonini b ga bo'lganda qoldiq nolga teng bo'lishi mumkin, ular a ni b ga butunlay bo'linadi, ya'ni qoldiqsiz deyishadi. Qolmasdan bo'linish bo'linishning alohida holati hisoblanadi.

Agar biron-bir songa nolni ajratsak, natijada nolga ega bo'lamiz. Bo'limning qolgan qismi ham nolga teng bo'ladi. Buni nolni butun son bilan bo'lish nazariyasiga qaytish mumkin.

Endi butun sonlarni qoldiqlarga bo'lishning ma'nosini ko'rib chiqamiz.

Ma`lumki, musbat butun sonlar tabiiydir, keyin qoldiq bilan bo'lganda, natural sonlarni qoldiq bilan bo'lganda ham shunday bo'ladi.

Salbiy butun sonni a musbat b ga bo'lganda mantiqiy bo'ladi. Bir misolni ko'rib chiqaylik. B odamlar tomonidan to'lanishi kerak bo'lgan miqdordagi qarzimiz bo'lgan vaziyatni tasavvur qilish. Bu har bir kishidan bir xil hissa qo'shishni talab qiladi. Har biri uchun qarz miqdorini aniqlash uchun siz xususiy s miqdoriga e'tibor qaratishingiz kerak. Qolgan d-da, qarzlar to'langanidan so'ng, narsalar soni ma'lum bo'lganligi aytiladi.

Olma bilan misol olaylik. Agar 2 kishiga 7 ta olma kerak bo'lsa. Agar har kim 4 ta olmani qaytarishi kerak deb hisoblasangiz, to'liq hisob-kitobdan keyin ularda 1 ta olma bo'ladi. Buni tenglik shaklida yozaylik: (- 7): 2 \u003d - 4 (1 nuqta bilan).

Har qanday raqamni butun son bilan bo'lishning ma'nosi yo'q, lekin bu variant sifatida mumkin.

Qolgan butun sonlar uchun bo'linish teoremasi

A - dividend, keyin b - bo'linuvchi, c - to'liq bo'lmagan bo'linuvchi va d - qoldiq ekanligini topdik. Ular bir-biri bilan bog'liq. A \u003d b c + d tenglik yordamida bu ulanishni ko'rsatamiz. Ularning orasidagi aloqa qolgan bo'linish teoremasi bilan tavsiflanadi.

Teorema

Har qanday butun sonni faqat shu tarzda b va nol bo'lmagan sonlar orqali ko'rsatish mumkin: a \u003d b q + r, bu erda q va r ba'zi bir butun sonlar. Bu erda biz 0 ≤ r ≤ b.

A \u003d b q + r ning mavjudligini isbotlaymiz.

Dalillar

Agar a va b ikkita son bo'lsa va a qoldiqsiz b ga bo'linadigan bo'lsa, ta'rif a \u003d b q bo'lgan to'g'ri bo'lgan q soni borligini anglatadi. Keyin tenglikni haqiqiy deb hisoblash mumkin: a \u003d b q + r uchun r \u003d 0.

B tengsizlik bilan berilgan q ni olish kerak< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Bizda a - b q ifodasining qiymati noldan katta va b raqamining qiymatidan katta emasligi, r \u003d a - b q. A sonini a \u003d b q + r shaklida ifodalash mumkinligini aniqlaymiz.

Endi b ning manfiy qiymatlari uchun a \u003d b q + r ifodalash imkoniyatini ko'rib chiqish kerak.

Raqamning absolyut qiymati musbat bo'lib chiqadi, keyin a \u003d b q 1 + r, bu erda q 1 qiymati - butun son, r - 0 ≤ r shartiga javob beradigan butun son.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

O'ziga xoslik isboti

A \u003d bq + r, q va r haqiqiy holati 0 ≤ r bo'lgan butun sonlar deylik< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 va r 1 ba'zi raqamlar, qaerda q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1< b .

Tengsizlik chap va o'ng tomonlardan chiqarilganda, biz r \u003d r 1 \u003d b · q 1 - q ga teng bo'lgan 0 \u003d b · (q - q 1) + r - r 1 ni olamiz. Modul ishlatilganligi sababli r - r 1 \u003d b q 1 - q tenglikni olamiz.

Berilgan shart 0 ga teng deb aytadi< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qva q 1- butun sonlar va q ≠ q 1, keyin q 1 - q ≥ 1. Demak b b 1 - q ≥ b. Olingan tengsizliklar r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Demak, a raqamini boshqa har qanday shaklda ifodalash mumkin emas, a \u003d b q + r kabi bunday belgisi bundan mustasno.

Dividend, bo'linuvchi, to'liq bo'lmagan kvitansiya va qolganlar o'rtasidagi munosabatlar

A \u003d b c + d tenglikdan foydalanib, b to'liq bo'lmagan c va d qoldiqlari bilan b bo'linuvchini bilganingizda, noma'lum dividendni topishingiz mumkin.

1-misol

Dividendni aniqlang, agar bo'linishda - 21, to'liq bo'lmagan 5 va qolgan 12 bo'lsa.

Qaror

A dividendini ma'lum bo'lgan bo'linuvchi bilan b \u003d - 21, to'liq bo'lmagan s \u003d 5 va d \u003d 12 qoldig'ini hisoblash kerak. A \u003d b c + d tenglikka murojaat qilishimiz kerak, undan a \u003d (- 21) 5 + 12 bo'ladi. Harakatlarni bajarish tartibiga qarab, 21 ga 5 ga ko'payamiz, shundan so'ng (- 21) 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93 bo'ladi.

Javob: - 93 .

Ajratuvchi va tugallanmagan bo'linuvchi va qolgan o'rtasidagi bog'liqlik tengliklardan foydalanib ifodalanishi mumkin: b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b va d \u003d a - b c. Ularning yordami bilan biz bo'linuvchi, qisman bo'linuvchi va qolgan qismini hisoblashimiz mumkin. Bu butun sonni a ga b dan ma'lum dividend, bo'linuvchi va to'liq bo'lmagan bo'linuvchi bilan bo'lgandan keyin qoldiqni doimiy ravishda topishga olib keladi. Formulada d \u003d a - b c qo'llaniladi. Yechimni batafsil ko'rib chiqaylik.

2-misol

19 ni butun son bilan 3 ga bo'linib, ma'lum bo'lmagan to'liq bo'linmas sonni - 7 ga bo'lishning qolgan qismini toping.

Qaror

Bo'linmaning qolgan qismini hisoblash uchun d \u003d a - b · c kabi formulani qo'llang. Shartga ko'ra, barcha ma'lumotlar a \u003d - 19, b \u003d 3, c \u003d - 7 ga ega. Bundan d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (farq 19 - (- 21) bo'ladi. Ushbu misol ayirish qoidasi bo'yicha hisoblanadi) butun son manfiy son.

Javob: 2 .

Barcha musbat butun sonlar tabiiydir. Demak, bo'linish barcha bo'linish qoidalariga muvofiq natural sonlar qoldig'i bilan amalga oshiriladi. Natural sonlarning qolgan qismiga bo'linish tezligi juda muhimdir, chunki nafaqat ijobiylarni bo'linish, balki ixtiyoriy butun sonlarni bo'lish qoidalari ham shunga asoslanadi.

Bo'linishning eng qulay usuli - bu ustun, chunki to'liq bo'lmagan yoki shunchaki qism bilan qolgan qismini olish osonroq va tezroq. Yechimni batafsil ko'rib chiqaylik.

3-misol

14671 ni 54 ga bo'ling.

Qaror

Ushbu bo'linma ustunda bajarilishi kerak:

Ya'ni, to'liq bo'lmagan qo'shtirnoq 271 ga, qolgan qismi esa 37 ga aylanadi.

Javob: 14 671: 54 \u003d 271. (37-to'xtash)

Salbiy butun sonni musbat sonning qoldig'i bilan bo'linish qoidasi, misollar

Salbiy butun son bilan musbat qoldiq bilan bo'lish uchun siz qoida tuzishingiz kerak.

1-ta'rif

A musbat sonni b sonining manfiy soniga b bo'lishidan to'liq bo'lmagan kvitantsiya a sonining absolyut qiymatlarini b ga bo'lishidan to'liq bo'lmagan kvitantsiyaga qarshi bo'lgan raqamni olamiz. Qolgan qismi b ga bo'lganda qoldiqqa teng bo'ladi.

Demak, musbat sonni butun sonni musbat songa bo'lishning to'liq bo'lmagan kvanti musbat bo'lmagan butun son deb hisoblanadi.

Biz algoritmni olamiz:

• bo'linuvchi modulni bo'luvchining moduli bilan ajratamiz, shunda biz to'liq bo'lmagan sonni olamiz va
• qolgan qismi;
• olingan raqamga qarama-qarshi raqamni yozamiz.

Ijobiy butun sonni manfiy songa bo'lish algoritmining misolini ko'rib chiqamiz.

4-misol

17 dan 5 gacha bo'lgan qism bilan bo'ling.

Qaror

Salbiy butun sonni musbat butun son bilan qolgan algoritmni olamiz. 17 dan 5 gacha modulni ajratishingiz kerak. Bundan aniqlanishicha, to'liq bo'lmagan son 3 ga, qolgan qismi 2 ga teng.

Kerakli sonni 17 ga bo'linib, 5 dan - \u003d 3 ga, qolgan qismini 2 ga bo'lishidan olamiz.

Javob: 17: (- 5) \u003d - 3 (dam olish 2).

5-misol

45 ga bo'ling - 15.

Qaror

Modulni raqamlarga bo'lish kerak. 45 raqamini 15 ga bo'ling, biz 3 sonini qoldiqsiz olamiz. Bu 45 raqami qoldiqsiz 15 ga bo'linishini anglatadi. Javobda biz olamiz - 3, chunki bo'linish modulli tarzda amalga oshirildi.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Javob: 45: (− 15) = − 3 .

Qolgan holda bo'linish qoidasini shakllantirish quyidagicha.

2-ta'rif

Salbiy butun sonni musbat b ga bo'lganda, to'liq bo'lmagan c sonini olish uchun siz bu sonning teskari tomonini qo'llashingiz va undan 1ni chiqarib tashlashingiz kerak, keyin qolgan d formulasi bo'yicha hisoblab chiqiladi: d \u003d a - b · c.

Qoidaga asoslanib, bo'linish paytida manfiy bo'lmagan butun sonni olamiz degan xulosaga kelishimiz mumkin. Eritmaning aniqligi uchun a ni b ni qoldiq bilan bo'lish algoritmi qo'llaniladi:

• dividend va bo'linuvchi modullarini toping;
• modul bo'yicha ajratish;
• qarama-qarshi sonni yozing va 1ni ayting;
• qolgan qismi uchun formuladan foydalaning d \u003d a - b · c.

Ushbu algoritm qo'llaniladigan echimning misolini ko'rib chiqamiz.

6-misol

To'liq bo'lmagan sonni va bo'linmaning qolgan qismini toping - 17 dan 5 gacha.

Qaror

Berilgan raqamlarni modulga bo'ling. Bo'linishni 3 ga bo'lganda, qolganini 2 ga bo'lganda olamiz. Biz 3 ni olganimizdan, buning teskarisi 3 ga teng. Siz 1 raqamini olib tashlashingiz kerak.

− 3 − 1 = − 4 .

Biz kerakli qiymatni - 4 ga tenglashtiramiz.

Qolgan qismini hisoblash uchun sizga a \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, keyin d \u003d a - b c \u003d - 17 - 5 (- 4) \u003d - 17 - (- - 20) \u003d - 17 + 20 kerak. \u003d 3.

Bu shuni anglatadiki, bo'linishning to'liq bo'lmagan qismi bu raqam - 4, qolgan qismi 3 ga teng.

Javob: (- 17): 5 \u003d - 4 (dam olish. 3).

7-misol

1404 manfiy butun sonni musbat 26 ga bo'ling.

Qaror

Ustun va xachirga bo'lish kerak.

Biz sonlarning mutlaq qiymatlarini qoldiqsiz bo'linishga ega bo'ldik. Bu shuni anglatadiki, bo'linish qoldiqsiz amalga oshiriladi va kerakli bo'linish \u003d - 54.

Javob: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Salbiy butun sonlar qoldig'i bilan taqsimot qoidasi, misollar

Salbiy butun sonlar qoldig'i bilan bo'linish qoidasini shakllantirish kerak.

3-ta'rif

Salbiy musbat sonni a b ning butun manfiy salbiy b ga bo'lishidan to'liq bo'lmagan kvititani olish uchun modul bilan hisoblash kerak, so'ngra 1 ni qo'shib, d \u003d a - b · c formuladan foydalanib hisob-kitoblarni bajarishimiz mumkin.

Demak, manfiy sonlarni bo'linishning to'liq bo'lmagan kvanti musbat son bo'ladi.

Ushbu qoidani algoritm shaklida tuzaylik:

• dividend va bo'linuvchi modullarini toping;
• to'liq bo'lmagan kvitani olish uchun bo'linuvchi modulni bo'linuvchi moduli bilan ajratish.
• qolgan qismi;
• tugallanmagan qo'shtirnoqqa 1 qo'shilishi;
• d \u003d a - b · c formulalar asosida qoldiqni hisoblash.

Keling, ushbu algoritmni misol yordamida ko'rib chiqamiz.

8-misol

Tugallanmagan sonni va bo'lingan qismni toping - 17 dan 5 gacha.

Qaror

Yechimning to'g'riligi uchun qoldiq bilan bo'linish algoritmini qo'llaymiz. Birinchidan, raqamlarni modulga ajrating. Bu erda biz to'liq bo'lmagan kotirovka \u003d 3, qolgan qismi 2 ga teng ekanligini aniqlaymiz. Qoidaga ko'ra, tugallanmagan sonni va 1 ni qo'shish kerak. Biz bu 3 + 1 \u003d 4 ni olamiz. Bulardan biz berilgan sonlarning bo'linmas qismining 4 ga tengligini aniqlaymiz.

Qolgan qismini hisoblash uchun biz formuladan foydalanamiz. Gipoteza bo'yicha bizda a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, formuladan foydalanib, d \u003d a - b c \u003d - 17 - (- -) - 4 \u003d - 17 - (- - 20). \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Kerakli javob, ya'ni qolgan qismi 3 va to'liq bo'lmagan kotirovka 4 ga teng.

Javob: (- 17): (- 5) \u003d 4 (qolgan 3).

Butun sonlarni qoldiq bilan bo'lish natijasini tekshirish

Qolgan raqamlar bilan bo'linishni amalga oshirgandan so'ng, siz tekshirishingiz kerak. Ushbu tekshirish 2 bosqichni o'z ichiga oladi. Birinchidan, d ning qolgan qismi negegativlik uchun tekshiriladi, 0 ≤ d shart< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

9-misol

Bo'linish amalga oshirildi - 521 tomonidan - 12. Ko`rsatilgan raqam 44 ga, qolgan qismi 7 ga teng. Tekshirish

Qaror

Qolgan qismi musbat son bo'lganligi sababli, uning qiymati bo'linuvchi modulidan kam. Ajratuvchi bu - 12, demak uning moduli 12 ga teng. Keyingi nazorat punktiga o'tishingiz mumkin.

Gipoteza bo'yicha bizda a \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7. Bu erda biz b c + d ni hisoblaymiz, bu erda b c + d \u003d - 12 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. Demak, tenglik rost ekan. Tasdiqlash o'tdi.

10-misol

Bo'linishni tekshiring (- 17): 5 \u003d - 3 (dam olish - 2). Tenglik rostmi?

Qaror

Birinchi bosqichning mohiyati shundaki, qolgan sonlar bilan butun sonlarni bo'linishini tekshirish kerak. Bundan ayon bo'ladiki, harakat noto'g'ri bajarilgan, chunki qolgan qismi 2 ga teng berilgan. Qolganlari salbiy emas.

Bizda ikkinchi shart qoniqarli, ammo bu ish uchun etarli emas.

Javob: emas.

11-misol

Raqam - 19 ga bo'linadi - 3. Tugallanmagan kotirovka - 7, qolgan qismi - 1. Hisoblashning to'g'riligini tekshiring.

Qaror

1 ning qolgan qismi berilgan. U ijobiy. Bu ajratuvchi moduldan kamroq, ya'ni birinchi bosqich bajarilishini anglatadi. Ikkinchi bosqichga o'tamiz.

B c + d ifoda qiymatini hisoblaylik. Gipoteza bo'yicha bizda b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, shuning uchun raqamli qiymatlarni almashtirishda b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20 bo'ladi. Demak, a \u003d b c + d tenglik saqlanmaydi, chunki shart a \u003d - 19 ni beradi.

Shunday qilib, bo'linish xato bilan qilingan degan xulosaga kelish mumkin.

Javob: emas.

Agar siz matnda xato ko'rsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Ushbu maqolada biz tahlil qilamiz qolgan sonlar bilan butun sonlarni bo'lish... Butun sonlarni qolgan qismga bo'lishning umumiy printsipidan boshlaylik, qolgan butun bilan butun sonlarning bo'linishi haqidagi teoremani tuzamiz va isbotlaymiz, dividend, bo'linuvchi, to'liq bo'lmagan son va qoldiq o'rtasidagi bog'liqlikni izlaymiz. Keyingi, qolgan sonlar bilan butun sonlarni bo'linishini amalga oshiradigan qoidalar haqida gaplashamiz va misollarni echishda ushbu qoidalarning qo'llanilishini ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng, butun sonlarni qoldiqlarga bo'lish natijasini qanday tekshirishni bilib olamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Qolgan butun sonlarni bo'linishini tushunish

Qolgan butun sonlarni bo'linishni natural sonlar qoldig'i bilan bo'linishni umumlashtirish sifatida ko'rib chiqamiz. Bu natural sonlar butun sonlarning ajralmas qismi ekanligiga bog'liq.

Keling, tavsifda ishlatiladigan atamalar va belgilar bilan boshlaylik.

Natural sonlarni qoldiq bilan bo'lishiga o'xshab, a va b (b (b) nolga teng bo'lmagan butun sonlar qoldig'i bilan bo'linish natijasi c va d ikkita butun sonni olishini taxmin qilamiz. A va b raqamlari chaqiriladi bo'linadigan va bo'linuvchi mos ravishda d - qolgan qismi a ni b ga bo'lishdan va c butun son deyiladi to'liqsiz xususiy (yoki oddiygina xususiyagar qoldiq nol bo'lsa).

Qolgan qismi manfiy bo'lmagan butun son va uning qiymati b dan oshmaydi, deb taxmin qilishga rozi bo'lamiz (ya'ni uch yoki undan ortiq butun sonlarni taqqoslash haqida gaplashganda bunday tengsizlik zanjirlarini uchratdik).

Agar c soni to'liq bo'lmagan son bo'lsa va d raqami a butun sonni b butun soniga bo'lishning qolgan qismi bo'lsa, biz bu faktni a: b \u003d c (qolgan d) shaklining tengligi sifatida qisqacha yozamiz.

Esda tutingki, a butun sonni b butun soniga bo'lganda, qolgan qismi nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday holda a ga b ga bo'linadi deyiladi qoldiqsiz (yoki butunlay). Shunday qilib, butun sonlarni qoldiqsiz bo'lish bu butun sonlarni qoldiq bilan bo'lishning alohida holidir.

Shuni ham ta'kidlash kerakki, nolni qandaydir butun songa bo'lganda, biz har doim qoldiqsiz bo'linish bilan shug'ullanamiz, chunki bu holda son nolga teng bo'ladi (nolni butun songa bo'lish nazariyasi bo'limiga qarang) va qolgan qismi ham nolga teng bo'ladi.

Terminologiya va belgilarni aniqlashga qaror qildik, endi butun sonlarni qoldiq bilan bo'lish ma'nosini bilib olamiz.

Salbiy butun sonni a musbat b ga bo'linishi ham ma'qul bo'lishi mumkin. Buning uchun manfiy sonni qarz sifatida ko'rib chiqing. Keling, quyidagi vaziyatni tasavvur qilaylik. Qarzlar, buyumlarni tashkil etadi, xuddi shu hissa qo'shgan b odamlar tomonidan to'lanishi kerak. Mutlaq qiymat bu holda to'liq bo'lmagan xususiy c, ushbu odamlarning har birining qarz miqdorini aniqlaydi, qolgan d esa qarzni to'lashdan keyin qancha buyum qolganligini ko'rsatadi. Keling, misol keltiraylik. Aytaylik, 2 kishiga 7 ta olma kerak. Agar ularning har biriga 4 ta olma qarzdor deb hisoblasak, qarzni to'lagandan keyin ularda 1 ta olma bo'ladi. Bu holat tenglikka ()7) to'g'ri keladi: 2 \u003d −4 (qolgan 1).

Ixtiyoriy butun sonni a sonining salbiy soniga bo'lish uchun biz hech qanday ma'no bermaymiz, lekin uni mavjud bo'lish huquqi bilan qoldiramiz.

Qolgan butun sonlar uchun bo'linish teoremasi

Natural sonlarni qoldiq bilan bo'lish haqida gaplashganda, a, b bo'linuvchi, to'liq bo'lmagan c va d dividendlar a \u003d b c + d tenglik bilan bog'liqligini aniqladik. A, b, c va d butun sonlari bir xil munosabatda bo'ladi. Ushbu ulanish quyidagilar tomonidan tasdiqlangan qolgan bo'linish teoremasi.

Teorema.

A har qanday butun sonni a \u003d b q + r shaklida n va nol bo'lmagan butun sonlar orqali noyob tarzda ko'rsatish mumkin, bu erda q va r - bu butun sonlar, va.

Dalillar.

Birinchidan, a \u003d b q + r ni ifodalash mumkinligini isbotlaymiz.

Agar a va b butun sonlar bo'lsa, a ga b ga teng bo'linadigan bo'lsa, unda a \u003d b q bo'lgan butun son mavjud. Bunday holda, a \u003d b q + r tenglik r \u003d 0 uchun saqlanadi.

Endi b musbat butun son deb taxmin qilamiz. B q mahsuloti a dan oshmasligini va b (q + 1) mahsulot a dan katta bo'lsa, butun sonni tanlang. Ya'ni q ni tengsizliklar b q ga tenglashtiramiz

Salbiy b uchun a \u003d b q + r ifodalash mumkinligini isbotlash kerak.

Bu holda b sonining moduli musbat son bo'lganligi uchun, q 1 - bu butun son, r esa shartlarni qondiruvchi butun son. Keyin, q \u003d 1q 1 ni olsak, b uchun salbiy b uchun zarur bo'lgan a \u003d b q + r ifodani olamiz.

Biz noyoblikning isbotiga o'tamiz.

Aytaylik, a \u003d bq + r, q va r sonlardan tashqari butun sonlar bor va a \u003d bq 1 + r 1 yana boshqa bir ko'rinish mavjud, bu erda q 1 va r 1 ba'zi bir butun sonlar, va q 1 ≠ q va.

Birinchi tenglikning chap va o'ng tomonlaridan, mos ravishda ikkinchi tenglikning chap va o'ng tomonlaridan ajratib olingandan so'ng, r \u003d r 1 \u003d b (q 1 −q) tenglikka teng bo'lgan 0 \u003d b (q - q 1) + r - r 1 olinadi. ... Keyin shaklning tengligi , va son modulining xususiyatlari tufayli tenglik .

Shartlardan kelib chiqib, shunday xulosaga kelishimiz mumkin. Q va q 1 butun sonlar va q ≠ q 1 bo'lganligi sababli, biz bundan xulosa qilamiz ... Olingan tengsizliklardan va bundan kelib chiqadiki, shaklning tengligi bizning taxminimiz bo'yicha imkonsiz. Demak, a \u003d b q + r dan boshqa sonning boshqa tasviri yo'q.

Ajratuvchi, bo'linuvchi, to'liq bo'lmagan bo'linuvchi va qolgan o'rtasidagi munosabatlar

A \u003d b c + d tenglik sizga b bo'linuvchi, to'liq bo'lmagan c va qolgan d ni bilsangiz, noma'lum dividendni topishga imkon beradi. Bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Agar −21 butun songa bo'linsa, 5 ga teng bo'lmagan va 12 ning qolgan qismida 12 ga teng bo'lgan dividend qanday bo'ladi?

Qaror.

B \u003d −21 bo'luvchini, qisman c \u003d 5 va qolgan d \u003d 12 ni bilganimizda, biz dividendni hisoblashimiz kerak. A \u003d b c + d tenglikka o'girilib, a \u003d (- 21) 5 + 12 bo'ladi. Kuzatib, avval signs21 va 5 sonlarini turli xil belgilari bo'lgan butun sonlar uchun ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytiramiz, so'ngra turli xil belgilar bilan butun sonlarni qo'shamiz: (−21) 5 + 12 \u003d −105 + 12 \u003d −93.

Javob:

−93 .

Dividend, bo'linuvchi, qisman bo'linuvchi va qoldiq o'rtasidagi bog'liqliklar b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b va d \u003d a - b · c shakllarining tengliklari bilan ham ifodalanadi. Ushbu tengliklar sizga mos ravishda bo'linuvchi, qisman son va qolganlarni hisoblash imkonini beradi. D \u003d a - b · c formulasidan foydalanib, dividend, bo'linuvchi va qisman bo'linuvchi ma'lum bo'lganida, biz butun sonni b butun butun soniga bo'lishning qolgan qismini topishga to'g'ri keladi. Boshqa savollarga duch kelmaslik uchun, qolganini hisoblash misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

To'liq bo'lmagan sonning −7 ekanligini bilsangiz, −19 sonini 3 butun songa bo'lishning qolgan qismini toping.

Qaror.

Bo'linmaning qolgan qismini hisoblash uchun d \u003d a - b · c formulasidan foydalanamiz. Shartdan kelib chiqib, bizda barcha kerakli ma'lumotlar bor a \u003d −19, b \u003d 3, c \u003d −7. Biz d \u003d a - b c \u003d −19−3 (−7) \u003d −19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 olamiz (−19 - (- 21) farq salbiy butun sonni olish uchun qoida bo'yicha hisoblangan) ).

Javob:

Ijobiy butun sonlar qoldig'i bilan taqsimlash, misollar

Biz bir necha bor ta'kidlaganimizdek, musbat sonlar natural sonlardir. Shuning uchun musbat sonlarni qoldiqlari bilan bo'lish barcha bo'linish qoidalariga muvofiq natural sonlar qoldig'i bilan amalga oshiriladi. Tabiiy sonlar qoldiqlari bilan bo'linishni osonlikcha bajarish juda muhim, chunki aynan bu bo'linish nafaqat ijobiy sonlarni bo'linishini, balki ixtiyoriy butun sonlar bilan bo'linish barcha qoidalarining asosini tashkil etadi.

Bizning fikrimizcha, uzoq bo'linishni amalga oshirish eng qulaydir, bu usul ikkala tugallanmagan (yoki shunchaki so'rovchi) va qolgan qismini olishga imkon beradi. Ijobiy butun sonlar qoldig'i bilan bo'linish misolini ko'rib chiqing.

Misol.

Qolgan qismi bilan 14 671 ni 54 ga bo'ling.

Qaror.

Bu musbat butun sonlarni ustunga bo'laylik:

To'liq bo'lmagan qo'shtirnoq 271 bo'lib, qolgan qismi esa 37 ga teng.

Javob:

14 671: 54 \u003d 271 (dam olish 37).

Salbiy butun sonni musbat sonning qoldig'i bilan bo'linish qoidasi, misollar

Salbiy butun sonni musbat sonning qoldig'i bilan bo'linishni amalga oshirishga imkon beradigan qoida ishlab chiqamiz.

Salbiy b ni musbat sonni b ning to'liq bo'lmagan qismiga bo'lish b ning moduli bo'yicha bo'linishning to'liq bo'lmagan to'liq sonining teskari tomoni, a ga b ni bo'lishning qolgan qismi bo'linishning qolgan qismiga tengdir.

Ushbu qoidadan, musbat butun sonni manfiy songa bo'lishning to'liq bo'lmagan kvanti musbat bo'lmagan butun son ekanligi kelib chiqadi.

Keltirilgan qoidani musbat butun sonni musbat butun songa bo'linish algoritmiga o'zgartiramiz:

• Bo'linuvchining modulini bo'luvchining moduli bilan ajratamiz, to'liq bo'lmagan qism va qolgan qismini olamiz. (Agar qoldiq nolga teng bo'lsa, u holda asl raqamlar qoldiqsiz bo'linadi va qarama-qarshi belgilar bilan butun sonlarni bo'lish qoidasiga binoan kerakli son modulo bo'linishining bo'linish qismiga teskari bo'lgan raqamga teng bo'ladi.)
• Olingan to'liq bo'lmagan kotirovka qarshisidagi raqamni, qolganini esa yozamiz. Bu sonlar mos ravishda istalgan son va manfiy sonning asli musbat butun sonni bo'lish qismidir.

Ijobiy butun sonni manfiy songa bo'lish algoritmidan foydalanishga misol keltiramiz.

Misol.

17 ga teng musbat sonni musbat er5 ga bo'lining.

Qaror.

Salbiy butun sonni musbat butun son bilan qolgan algoritmdan foydalanaylik.

Ajratish

3 ning teskari tomoni −3. Shunday qilib, 175 ga bo'lingan 17 ning zaruriy qismli qismi −3, qolgan qismi 2 ga teng.

Javob:

17: (- 5) \u003d - 3 (qolgan 2).

Misol.

Bo'lmoq 45 dan -15 gacha.

Qaror.

Dividend moduli va bo'linuvchi mos ravishda 45 va 15 ga teng. 45 raqami 15 ga bo'linadi, qolgan qismi esa 3 ga teng. Demak, 45 ga teng musbat son butun qoldiqsiz the15 manfiy songa bo'linadi, natijada tenglama qarama-qarshi 3 ga, ya'ni −3 ga teng bo'ladi. Darhaqiqat, butun sonlarni turli xil belgilar bilan bo'lish qoidasiga ko'ra bizda mavjud.

Javob:

45:(−15)=−3 .

Salbiy butun sonni qoldiqlarini musbat butun songa bo'lish, misol

Salbiy butun sonni musbat butun son bilan qoldiq bilan bo'lish qoidasini shakllantirishni keltiramiz.

Salbiy butun sonni musbat b ga bo'linmasidan c to'liq bo'lmagan kvitansiyani olish uchun, siz to'liq bo'lmagan kvitantsiyani asl raqamlarning mutlaq qiymatlarini ajratishdan farqli ravishda olib, undan bitta sonni olib tashlashingiz kerak, shundan keyin qolgan d d \u003d a - b c formulasi bilan hisoblanadi.

Ushbu bo'linish qoidasidan qoldiq bilan musbat butun sonni ajratishning to'liq bo'lmagan kvanti musbat butun son ekanligi kelib chiqadi.

A musbat sonning qoldig'i bilan musbat b sonini musbat b ga teng bo'lish algoritmi aytilgan qoidadan kelib chiqadi:

• Dividend va bo'linuvchi modullarini toping.
• Bo'linuvchining modulini bo'luvchining moduli bilan ajratamiz, to'liq bo'lmagan qism va qolgan qismini olamiz. (Agar qoldiq nolga teng bo'lsa, u holda dastlabki butun sonlar qoldiqsiz bo'linadi va kerakli son modulo bo'linmasining qarshisidagi songa teng bo'ladi.)
• Olingan to'liq bo'lmagan songa qarama-qarshi raqamni yozamiz va undan 1 raqamini olamiz. Hisoblangan raqam - bu manfiy sonni musbat butun songa bo'lish uchun to'liq bo'lmagan to'liq son.

Keling, qolgan qism bilan yozma bo'linish algoritmidan foydalangan holda, misol echimini tahlil qilaylik.

Misol.

Salbiy butun sonni -17 ga musbat son 5 ga bo'linishning to'liq bo'lmagan sonini va qolgan qismini toping.

Qaror.

Dividend moduli 17 ga, 17 ga bo'linuvchi modul 5 ga teng.

Ajratish 17 dan 5 gacha, biz to'liq bo'lmagan 3-sonni olamiz va 2-qoldiqni olamiz.

3 ning teskari tomoni −3. One3 dan birini oling: :3−1 \u003d −4. Demak, talab qilinmagan to'liq bo'lmagan ient4 ga teng.

Qolgan qismini hisoblash uchun qoladi. Bizning misolimizda a \u003d −17, b \u003d 5, c \u003d −4, keyin d \u003d a - b c \u003d −17−5 (−4) \u003d −17 - (- - 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Shunday qilib, manfiy sonni -17 ga musbat 5 ga bo'linishning qisman kvitenti -4 ga teng, qolgan 3 ga teng.

Javob:

(−17): 5 \u003d −4 (qolgan 3).

Misol.

Salbiy sonni -1404 ga musbat 26 ga qo'ying.

Qaror.

Dividend moduli - 1 404, bo'linuvchi moduli - 26.

1 404 ni 26 ga ustun bilan ajrating:

Dividend moduli bo'luvchining moduli bilan qoldiqsiz bo'linganligi sababli, dastlabki butun sonlar qoldiqsiz bo'linadi va istalgan bo'linma qarama-qarshi 54 ga, ya'ni is54 ga teng bo'ladi.

Javob:

(−1 404):26=−54 .

Salbiy butun sonlar qoldig'i bilan taqsimot qoidasi, misollar

Bo'linish qoidasini salbiy sonlarning qolgan qismi bilan tuzamiz.

Salbiy musbat sonni a b sonining manfiy soniga bo'lishdan to'liq bo'lmagan c sonini olish uchun, siz to'liq bo'lmagan kvitani asl raqamlarning modulini bo'lishidan hisoblashingiz va unga qo'shishingiz kerak, keyin qolgan qismini d \u003d a - b c formulasi bilan hisoblang.

Ushbu qoidadan kelib chiqadiki, manfiy sonlarni bo'linishning to'liq bo'lmagan qismi musbat butun sondir.

Keltirilgan qoidalarni manfiy sonlarni bo'lish algoritmi sifatida qayta yozamiz:

• Dividend va bo'linuvchi modullarini toping.
• Biz bo'linuvchi modulni bo'luvchining moduli bilan ajratamiz, to'liq bo'lmagan sonni va qolgan qismini olamiz. (Agar qoldiq nolga teng bo'lsa, u holda asl butun sonlar qoldiqsiz bo'linadi va istalgan bo'linuvchi modulni bo'linuvchining moduliga bo'lingan bo'linishga teng bo'ladi.)
• Olingan to'liq bo'lmagan kvitantsiyaga bittasini qo'shamiz, bu son asli manfiy butun sonlarni bo'lishidan kerak bo'lgan to'liq bo'lmagan bo'linuvchi.
• Qolgan qismini d \u003d a - b · c formula bo'yicha hisoblaymiz.

Masalanni echishda salbiy sonlarni bo'lish algoritmidan foydalanishni ko'rib chiqing.

Misol.

Salbiy musbat sonni -17 ga manfiy sonni -5 ga bo'lgandan so'ng, qisman qisman va qoldiqni toping.

Qaror.

Qolgan algoritm bilan tegishli bo'linishni ishlataylik.

Dividend moduli - 17, bo'linuvchining moduli - 5.

Bo'linish 17 dan 5 gacha to'liq bo'lmagan 3 va 2 ning qolgan qismi beriladi.

3 ni 3: 3 + 1 \u003d 4 tugallanmagan songa qo'shamiz. Demak, −17 ni 5 ga bo'lish kerak bo'lgan to'liq bo'lmagan kvant 4 ga teng.

Qolgan qismini hisoblash uchun qoladi. Ushbu misolda a \u003d −17, b \u003d −5, c \u003d 4, keyin d \u003d a - b c \u003d −17 - (- - 5) 4 \u003d −17 - (- - 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Shunday qilib, manfiy sonni -17 ga manfiy sonni -5 ga bo'lishning to'liq bo'lmagan kvanti 4 ga teng, qolgan 3 ga teng.

Javob:

(17): (- 5) \u003d 4 (qolgan 3).

Butun sonlarni qoldiq bilan bo'lish natijasini tekshirish

Butun sonlarni qolgan qismga bo'lgandan so'ng, natijani tekshirish foydalidir. Tekshirish ikki bosqichda amalga oshiriladi. Birinchi bosqichda d qoldiqning manfiy bo'lmagan raqam ekanligi tekshiriladi va uning holati ham tekshiriladi. Agar tekshiruvning birinchi bosqichining barcha shartlari bajarilgan bo'lsa, siz tekshirishning ikkinchi bosqichiga o'tishingiz mumkin, aks holda qolgan qism bilan bo'linish paytida biron bir joyda xatolik yuz bergan deb da'vo qilish mumkin. Ikkinchi bosqichda a \u003d b c + d tenglikning yaroqliligi tekshiriladi. Agar bu tenglik to'g'ri bo'lsa, unda qoldiq bilan bo'linish to'g'ri amalga oshirilgan, aks holda biron bir joyda xato qilingan.

Butun sonlarni qoldiqlarga bo'lish natijasi tekshirilgan misollar echimini ko'rib chiqing.

Misol.

21521 sonini −12 ga bo'lganda, siz to'liq bo'lmagan 44 va 7 sonini qoldingiz, natijani tekshiring.

Qaror. B \u003d −3, c \u003d 7, d \u003d 1 uchun −2. Bizda ... bor b c + d \u003d −3 7 + 1 \u003d −21 + 1 \u003d −20... Shunday qilib, a \u003d b c + d tenglik noto'g'ri (bizning misolimizda a \u003d −19).

Shuning uchun, qolgan qismi bilan bo'linish noto'g'ri amalga oshirildi.