Pifagor teoremasi bo'yicha tenglamalar. Pifagor teoremasini isbotlash usullari. Shunga o'xshash geometrik shakllar uch tomondan

Sizga berilgan uchburchak to'g'ri burchakli ekanligiga ishonch hosil qiling, chunki Pifagor teoremasi faqat o'ng burchakli uchburchaklar uchun qo'llaniladi. To'g'ri burchakli uchburchaklarda uchta burchakdan biri har doim 90 daraja bo'ladi.

• To'g'ri uchburchakda to'g'ri burchak, egri emas, balki kvadratning belgisi bilan ko'rsatiladi, bu oblique burchakdir.

Uchburchakning yon tomonlariga ko'rsatmalar qo'shing. Oyoqlarni "a" va "b" deb belgilang (oyoqlar - o'ng tomonlar bilan kesishadigan tomonlar) va gipotenuzani "c" (gipotenuz - eng katta tomon) o'ng uchburchakqarama-qarshi yotadi to'g'ri burchak).

Uchburchakning qaysi tomonini topmoqchi ekanligingizni aniqlang. Pifagor teoremasi to'g'ri uchburchakning har qanday tomonini topishga imkon beradi (agar boshqa ikki tomon ma'lum bo'lsa). Qaysi tomonni (a, b, c) topishingiz kerakligini aniqlang.

• Masalan, 5 ga teng gipotenuza berilgan bo'lsa va 3 ga teng oyoq berilgan bo'lsa, bu holda ikkinchi oyoqni toping. Keyinchalik bu misolga qaytamiz.
• Agar boshqa ikki tomon noma'lum bo'lsa, Pifagor teoremasini qo'llash uchun noma'lum tomonlardan birining uzunligini topish kerak. Buning uchun bazadan foydalaning trigonometrik funktsiyalar (agar sizga oblik burchaklaridan birining qiymati berilsa).

A 2 + b 2 \u003d c 2 formulasida siz bergan qiymatlarni (yoki siz topgan qiymatlarni) almashtiring. Esda tutingki, a va b - oyoqlar va c - gipotenuza.

• Bizning misolimizda yozing: 3² + b² \u003d 5².

Siz bilgan har bir tomonga kvadrat qo'ying. Yoki darajalarni qoldiring - keyin raqamlarni kvadrat qilishingiz mumkin.

• Bizning misolimizda yozing: 9 + b² \u003d 25.

Tenglamaning bir tomonidagi noma'lum tomonni izolyatsiya qiling. Buning uchun ma'lum qiymatlarni tenglamaning boshqa tomoniga o'tkazing. Agar siz gipotenuzani topsangiz, u holda Pifagor teoremasida u allaqachon tenglamaning bir tomonida izolyatsiya qilingan (shuning uchun hech narsa qilish kerak emas).

• Bizning misolimizda 9 ni noma'lum b² ni ajratish uchun tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazing. Siz b² \u003d 16 olasiz.

Ekstrakti kvadrat ildiz tenglamaning har ikki tomonidan Ushbu bosqichda, tenglamaning bir tomonida noma'lum (kvadrat), boshqa tomonida esa bepul atama (son) mavjud.

• Bizning misolimizda b² \u003d 16. Tenglamaning ikkala tomonining kvadrat ildizini oling va b \u003d 4 ni oling. Shunday qilib, ikkinchi oyoq 4 .

Kundalik hayotda Pifagor teoremasini ishlating, chunki uni har xil amaliy vaziyatlarda qo'llash mumkin. Buni amalga oshirish uchun kundalik hayotda to'g'ri burchakli uchburchaklar tanishni o'rganing - har qanday vaziyatda ikkita ob'ekt (yoki chiziqlar) to'g'ri burchak ostida kesishadi va uchinchi ob'ekt (yoki chiziq) birinchi ikkita ob'ektning (yoki chiziqlarning) ustki qismlarini (yoki chiziqlarini) bog'lab turadi. Noma'lum tomonni topish uchun Pifagor teoremasidan foydalaning (agar boshqa ikki tomon ma'lum bo'lsa).

• Masalan: binoga suyangan narvon. Narvonning pastki qismi devor tagidan 5 metr masofada joylashgan. Zinapoyalarning yuqori qismi erdan 20 metr balandlikda (devor bo'ylab). Zinapoyalar qancha davom etadi?
  • "Devor tagidan 5 metr" degani, a \u003d 5; "Erdan 20 metr masofada" degani, b \u003d 20 degan ma'noni anglatadi (ya'ni, sizga o'ng uchburchakning ikki oyog'i berilgan, chunki bino devori va Er yuzasi to'g'ri burchak ostida kesishadi). Zinapoyaning uzunligi noma'lum bo'lgan gipotenuzaning uzunligi.
    • a² + b² \u003d c²
    • (5) ² + (20) ² \u003d c²
    • 25 + 400 \u003d c²
    • 425 \u003d c²
    • c \u003d √425 ga teng
    • c \u003d 20,6 ga teng. Shunday qilib, narvonning taxminiy uzunligi 20,6 metr.

Pifagor teoremasida aytilgan:

To'g'ri burchakli uchburchakda, oyoqlarning kvadratlari yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng:

a 2 + b 2 \u003d c 2,

• a va b - to'g'ri burchak hosil qiladigan oyoqlar.
• dan - uchburchakning gipotenuzasi.

Pifagor teoremasining formulalari

• a \u003d \\ kvrt (c ^ (2) - b ^ (2))
• b \u003d \\ kvrt (c ^ (2) - a ^ (2))
• c \u003d \\ kvrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Pifagor teoremasining isboti

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi.

S \u003d \\ frak (1) (2) ab

O'zboshimchaliksiz uchburchakning maydonini hisoblash uchun maydon formulasi quyidagicha:

• p - yarim perimetr. p \u003d \\ frak (1) (2) (a + b + c),
• r Yozilgan aylananing radiusi. To'rtburchak uchun r \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

Keyin ikkala formulaning o'ng tomonini uchburchakning maydoni uchun tenglashtiramiz:

\\ frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 ab \u003d (a + b + c) (a + b-c)

2 ab \u003d \\ chap ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \\ o'ng)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Teskari Pifagor teoremasi:

Agar uchburchakning bir tomonining kvadrati boshqa ikki tomonning kvadratlari yig'indisiga teng bo'lsa, u holda uchburchak to'rtburchaklar shaklida bo'ladi. Ya'ni har qanday musbat sonlar uchun a, b va vshu kabi

a 2 + b 2 \u003d c 2,

oyoqlari bilan to'g'ri burchakli uchburchak mavjud a va b va gipotenuz v.

Pifagor teoremasi - to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatuvchi Evklid geometriyasining asosiy nazariyalaridan biri. Buni olim matematik va faylasuf Pifagor isbotlagan.

Teoremaning ma'nosi unda boshqa teoremalarni isbotlash va muammolarni echishda foydalanish mumkin.

Qo'shimcha materiallar:

Pifagor teoremasi: Oyoqlarga yotgan maydonlarning maydonlar yig'indisi ( a va b), gipotenuzaga qurilgan maydonning maydoniga teng ( v).

Geometrik shakllantirish:

Dastlab, teorema quyidagicha tuzilgan:

Algebraik shakllantirish:

Ya'ni, uchburchakning gipotenuzasi uzunligini belgilang v , va oyoqlarning uzunligi a va b :

a 2 + b 2 = v 2

Teoremaning har ikkala bayoni bir-biriga tengdir, ammo ikkinchi bayon ko'proq elementar bo'lib, maydon tushunchasini talab qilmaydi. Ya'ni, ikkinchi bayonotni maydon haqida hech narsa bilmasdan va faqat to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlarining uzunligini o'lchashsiz tekshirish mumkin.

Teskari Pifagor teoremasi:

Dalillar

Hozirgi paytda ilmiy adabiyotlarda ushbu teoremaning 367 ta isboti qayd etilgan. Pifagor teoremasi, ehtimol, bunday ta'sirchan dalillarga ega bo'lgan yagona teoremadir. Bu xilma-xillikni faqat geometriya haqidagi teoremaning asosiy ma'nosi bilan izohlash mumkin.

Albatta, kontseptual ravishda ularning barchasini oz sonli sinflarga bo'lish mumkin. Ulardan eng mashhurlari: maydon usuli bo'yicha dalillar, aksiomatik va ekzotik dalillar (masalan, differentsial tenglamalar yordamida).

Shunga o'xshash uchburchaklar orqali

Algebraik formulaning quyidagi isboti to'g'ridan-to'g'ri aksiomalardan qurilgan dalillarning eng oddiyidir. Xususan, u figuraning maydoni tushunchasidan foydalanmaydi.

Bo'lsin ABC to'g'ri burchakli uchburchak mavjud C... Keling, balandlikni chizamiz C va uning asosini belgilang H... Uchburchak ACH uchburchak kabi ABC ikki burchakda. Xuddi shunday, uchburchak CBH o'xshash ABC... Notation bilan tanishtirish

biz olamiz

Ekvivalent nima

Qo'shish, biz olamiz

Dalillar

Quyida keltirilgan dalillar, ularning ravshanligiga qaramay, unchalik oson emas. Ularning barchasi mintaqaning xususiyatlaridan foydalanadi, bu Pifagor teoremasini isbotlashdan ko'ra qiyinroq.

Teng to'ldiruvchilik isboti

1. 1-rasmda ko'rsatilgandek to'rtburchaklar teng to'rtburchaklar ajrating.
2. Tomonlar bilan to'rtburchak v Kvadrat, chunki ikkita o'tkir burchaklarning yig'indisi 90 ° va ochilmagan burchak 180 ° dir.
3. Butun rasmning maydoni, bir tomondan, to'rtburchaklar va ikkita ichki kvadratlarning yig'indisi (a + b) bo'lgan kvadratning maydoni.

Q.E.D.

Masshtablash orqali dalillar

O'zgartirish orqali oqlangan isbot

Bunday dalillardan birining namunasi o'ngdagi rasmda ko'rsatilgan, bu erda gipotenuzada qurilgan kvadrat permutatsiya orqali oyoqqa o'rnatilgan ikkita kvadratga aylantiriladi.

Evklidning isboti

Evklidning isboti uchun rasm chizish

Evklidning isboti uchun rasm

Evklidning isboti ortidagi fikr quyidagicha: gipotenuzaga qurilgan maydonning yarmi oyoqlarga qurilgan maydonlarning yarmining yig'indisiga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik, so'ngra katta va ikkita kichik kvadratlar tengdir.

Chapdagi rasmni ko'rib chiqing. Uning ustiga biz to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlariga kvadratlar qurdik va AB gipotenuzasiga perpendikulyar bo'lgan C burchak burchagidan nurlar chizdik, u gipotenuzaga qurilgan ABIK kvadratini mos ravishda ikkita to'rtburchaklar - BHJI va HAKJ ga ajratdi. Aniqlanishicha, bu to'rtburchaklar maydonlari mos keladigan oyoqlarda qurilgan maydonlarning maydoniga tengdir.

Keling, DECA kvadratining maydoni AHJK to'rtburchagining maydoniga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. Buning uchun biz yordamchi kuzatuvdan foydalanamiz: Uchburchakning balandligi va poydevori bir xil bo'lgan to'rtburchakning maydoni berilgan to'rtburchakning yarim maydoniga teng. Bu uchburchakning maydonini poydevor va balandlikning yarim mahsuloti sifatida aniqlash natijasidir. Ushbu kuzatuvdan kelib chiqadiki, ACK uchburchagining maydoni AHK uchburchagining maydoniga teng (rasmda ko'rsatilmagan), bu esa o'z navbatida AHJK to'rtburchagi maydonining yarmiga teng.

Keling, ACK uchburchagining maydoni ham DECA maydonining yarmiga teng ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun qilinishi kerak bo'lgan yagona narsa ACK va BDA uchburchaklar tengligini isbotlash (chunki BDA uchburchagining maydoni yuqoridagi xususiyatga ko'ra kvadrat maydonining yarmiga teng). Tenglik aniq, uchburchaklar ikki tomonga teng va ular orasidagi burchak. Aynan - AB \u003d AK, AD \u003d AC - CAK va BAD burchaklarining tengligini harakat usuli bilan isbotlash oson: biz CAK uchburchagini soat yo'nalishi bo'yicha 90 ° aylantiramiz, keyin ko'rib chiqilayotgan ikki uchburchakning mos tomonlari bir-biriga mos kelishi aniq (chunki maydonning uchida joylashgan burchak. 90 °).

BCFG kvadratining va BHJI to'rtburchagining maydonlari tengligi haqidagi mulohaza mutlaqo o'xshashdir.

Shunday qilib, gipotenuzaga qurilgan maydonning maydoni oyoqlarga qurilgan maydonlarning maydonlar yig'indisi ekanligini isbotladik. Ushbu dalilning g'oyasi yuqoridagi animatsiya bilan qo'shimcha ravishda ko'rsatilgan.

Leonardo da Vinchining isboti

Leonardo da Vinchining isboti

Isbotning asosiy elementlari simmetriya va harakatdir.

Simmetriyadan ko'rinib turganidek, chizmani ko'rib chiqing CMen kvadrat kesadi ABHJ ikkita bir xil qismga bo'ling (uchburchaklar beri) ABC va JHMen qurilish bo'yicha tengdir). Soat miliga qarama-qarshi 90 daraja aylantirib, soyali shakllar teng ekanligini ko'ramiz CAJMen va GDAB ... Endi soyali shaklning maydoni oyoqlarga qurilgan maydonlarning maydonlari va asl uchburchakning maydonlari yig'indisiga teng ekanligi aniq bo'ldi. Boshqa tomondan, bu gipotenuzaga qurilgan maydonning yarmiga va asl uchburchakning maydoniga teng. Isbotlashda oxirgi qadam o'quvchiga qoldiriladi.

Cheksiz minimal usul bilan isbotlash

Differentsial tenglamalar yordamida quyidagi dalil ko'pincha XX asrning birinchi yarmida yashagan mashhur ingliz matematiki Hardyga tegishli.

Rasmda ko'rsatilgan rasmga qarash va yon tomonning o'zgarishini kuzatish a, tomonlarning cheksiz kichik o'sishi uchun quyidagi nisbatni yozishimiz mumkin dan va a (uchburchaklarga o'xshashlikdan foydalanib):

Cheksiz minimal usul bilan isbotlash

O'zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanib, topamiz

Ikkala oyog'ining o'sishi holatida gipotenuzani o'zgartirish uchun umumiyroq ibora

Ushbu tenglamani integratsiyalash va undan foydalanish orqali dastlabki shartlar, olamiz

v 2 = a 2 + b 2 + doimiy.

Shunday qilib, biz kerakli javobni olamiz

v 2 = a 2 + b 2 .

Ko'rinib turibdiki, yakuniy formuladagi kvadratik bog'liqlik uchburchakning yon tomonlari va qo'shilishlar orasidagi chiziqli mutanosiblik tufayli paydo bo'ladi, yig'indisi esa har xil oyoqlarning o'sishidan kelib chiqadigan mustaqil ulushlar bilan bog'liq.

Agar oyog'ining biron bir burilishni boshdan kechirmasligini taxmin qilsak, sodda dalilni olish mumkin (bu holda, oyog'i) b ). Keyin integratsiyaning doimiyligi uchun biz olamiz

O'zgarish va umumlashtirish

• Agar kvadratchalar o'rniga biz boshqa shunga o'xshash raqamlarni oyoqlarda qursak, unda Pifagor teoremasining quyidagi umumlashuvi to'g'ri bo'ladi: To'g'ri burchakli uchburchakda, oyoqlarda qurilgan shunga o'xshash raqamlarning maydonlarining yig'indisi gipotenuzada qurilgan shaklning maydoniga teng. Jumladan:
  • Oyoqlarga qurilgan muntazam uchburchaklarning maydonlari yig'indisi gipotenuzaga qurilgan oddiy uchburchakning maydoniga teng.
  • Oyoqlarga qurilgan yarim doira doiralarining yig'indisi (diametrda bo'lgani kabi) gipotenuzada qurilgan yarim doira maydoniga teng. Ushbu misol ikki aylana yoylari bilan chegaralangan va gippokratik lunlar nomini olgan raqamlarning xususiyatlarini isbotlash uchun ishlatiladi.

Tarix

Chu-pei miloddan avvalgi 500-200 yillar. Chapdagi yozuv: balandlik va poydevor uzunliklarining kvadratlari yig'indisi gipotenuzaning uzunligiga teng.

Qadimgi Xitoyning Chu-Pei kitobida 3, 4 va 5-tomonlari bo'lgan Pifagor uchburchagi haqida aytilgan: o'sha kitobda Basharaning hind geometriyasi rasmlaridan biriga to'g'ri keladigan rasm chizilgan.

Cantor (nemis matematikasining eng katta tarixchisi) fikriga ko'ra 3 ² + 4 ² \u003d 5 ² tenglik misrliklarga miloddan avvalgi 2300 yillarda ma'lum bo'lgan. e., Qirol Amenemxat I davrida (Berlin muzeyining 6619 papirusiga binoan). Cantorning so'zlariga ko'ra, harpedonapts, yoki "arqon tortadi", 3, 4 va 5 tomonlari bo'lgan to'rtburchaklar yordamida to'g'ri burchaklarni qurdilar.

Ularning qurilish usulini takrorlash juda oson. 12 m uzunlikdagi arqonni oling va uni 3 m masofada rangli tasma bilan bog'lang. bir chetidan va boshqa tomondan 4 metr. To'g'ri burchak 3 va 4 metr uzunlikdagi tomlar orasiga o'rnatiladi. Harpedonapts, agar siz barcha duradgorlar tomonidan ishlatiladigan yog'och maydonchadan foydalansangiz, ularning qurish usullari ortiqcha bo'ladi, deb da'vo qilishi mumkin. Darhaqiqat, Misr chizmalarida bunday vosita topilganligi ma'lum, masalan, duradgorlik ustaxonasi tasvirlangan chizmalar.

Bobil Pifagor teoremasi haqida ko'proq ma'lumot mavjud. Bitta matnda Xammurabi davriga oid, ya'ni miloddan avvalgi 2000 yil. BC, to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasining taxminiy hisoboti keltirilgan. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, Mesopotamiyada ular qanday qilib to'g'ri burchakli uchburchaklar bilan hisob-kitob qilishni, hech bo'lmaganda, ba'zi hollarda hisob-kitob qilishni bilishgan. Bir tomondan Misr va Bobil matematikasi haqidagi hozirgi bilim darajasi, boshqa tomondan, Yunon manbalarini tanqidiy o'rganish asosida Van der Vaerden (Gollandiyalik matematik) quyidagi xulosaga keldi.

Adabiyot

Rus tilida

• Skopets Z.A. Geometrik miniatyuralar. M., 1990 yil
• Yelenskiy Sch. Pifagor izidan. M., 1961 yil
• Van der Waerden B.L. Uyg'onish ilmi. Qadimgi Misr, Bobil va Yunoniston matematikasi. M., 1959 yil
• Glazer G.I. Maktabdagi matematika tarixi. M., 1982 yil
• V. Litzman, "Pifagor teoremasi" M., 1960 yil.
  • Pifagor teoremasi to'g'risidagi sayt ko'pgina dalillarga ega, material V. Litsmanning kitobidan olingan, ko'plab rasmlar alohida grafik fayllar ko'rinishida taqdim etilgan.
• Pifagor va Pifagor teoremalari DV Anosovning "Matematikaga qarash va undan nimadir" kitobining bobini uch qismga bo'lishgan.
• Pifagor teoremasi va uni isbotlash usullari to'g'risida G.Gleyzer, Rossiya Ta'lim Akademiyasining akademigi, Moskva

Inzgliz tilida

• WolframMathWorld-dagi Pifagor teoremasi (eng.)
• "Pichoq teoremasi" bo'limi "Kut-The-Knot", 70 ga yaqin dalillar va ko'plab qo'shimcha ma'lumotlar

Vikimedia Jamg'armasi. 2010 yil.

Pifagor teoremasi O'zaro aloqani o'rnatgan Evklid geometriyasining asosiy nazariyalaridan biridir

to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini

Bu yunon matematik Pifagor tomonidan isbotlangan, deb nomlangan, deb ishoniladi.

Pifagor teoremasini geometrik shakllantirish.

Dastlab, teorema quyidagicha tuzilgan:

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga qurilgan maydonning maydoni kvadratchalar maydonining yig'indisiga teng,

oyoqlarga qurilgan.

Pifagor teoremasini algebraik shakllantirish.

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligi kvadratining uzunligi oyoqlarning uzunliklari kvadratining yig'indisiga teng.

Ya'ni, uchburchakning gipotenuzasi uzunligini belgilang v, va oyoqlarning uzunligi a va b:

Ikkala formulalar pifagor teoremalariekvivalentdir, ammo ikkinchi shakllantirish ko'proq elementar, shunday emas

maydon tushunchasini talab qiladi. Ya'ni, ikkinchi iborani ushbu hudud haqida hech narsa bilmasdan tekshirish mumkin

faqat to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini uzunligini o'lchash orqali.

Pifagoraning teskari teoremasi.

Agar uchburchakning bir tomonining kvadrati boshqa ikki tomonning kvadratlari yig'indisiga teng bo'lsa, u holda

to'rtburchaklar uchburchak.

Yoki boshqacha qilib aytganda:

Har qanday uchlik musbat sonlar uchun a, b va vshu kabi

oyoqlari bilan to'g'ri burchakli uchburchak mavjud a va bva gipotenuz v.

Izofa uchburchagi uchun Pifagor teoremasi.

Teng tomonli uchburchak uchun Pifagor teoremasi.

Pifagor teoremasining isbotlari.

Hozirgi paytda ilmiy adabiyotlarda ushbu teoremaning 367 ta isboti qayd etilgan. Ehtimol teorema

Pifagor bunday ta'sirchan isbotlarga ega bo'lgan yagona teoremadir. Bunday xilma-xillik

faqat geometriya haqidagi teoremaning asosiy ma'nosi bilan izohlanishi mumkin.

Albatta, kontseptual ravishda ularning barchasini oz sonli sinflarga bo'lish mumkin. Ulardan eng mashhurlari:

dalil maydon usuli, aksiomatik va ekzotik dalillar (masalan,

yordamida differentsial tenglamalar).

1. Pifagor teoremasining o'xshash uchburchaklar orqali isbotlanishi.

Algebraik formulaning quyidagi isboti qurilayotgan dalillarning eng oddiyidir

to'g'ridan-to'g'ri aksiomalardan. Xususan, u figuraning maydoni tushunchasidan foydalanmaydi.

Bo'lsin ABC to'g'ri burchakli uchburchak mavjud C... Keling, balandlikni chizamiz C va belgilang

uning asosi orqali H.

Uchburchak ACH uchburchak kabi ABIkki burchakda C. Xuddi shunday, uchburchak CBH o'xshash ABC.

Notation bilan tanishtirish:

biz olamiz:

,

mos keladi -

Qo'shish bilan a 2 va b 2, biz olamiz:

yoki isbotlash zarur bo'lganda.

2. Maydon usuli bo'yicha Pifagor teoremasini isbotlash.

Quyida keltirilgan dalillar, ularning ravshanligiga qaramay, unchalik oson emas. Ularning hammasi

pifagor teoremasining o'zini isbotlashdan ko'ra qiyinroq bo'lgan hududning xususiyatlaridan foydalaning.

• Teng to'ldirish orqali isbotlash.

To'rt teng to'rtburchaklar joylashtiring

rasmda ko'rsatilgandek uchburchak

o'ng tomonda.

Tomonlar bilan to'rtburchak v - kvadrat,

chunki ikkita o'tkir burchaklarning yig'indisi 90 °, va

kengaytirilgan burchak - 180 °.

Butun rasmning maydoni, bir tomondan,

yon tomoni bilan maydonning maydoni ( a + b), va boshqa tomondan, to'rtburchaklar sohalarining yig'indisi va

Q.E.D.

3. Pifagor teoremasining cheksiz minimal usuli bilan isbotlanishi.

​

Rasmda ko'rsatilgan rasmni hisobga olgan holda va

yon o'zgarishini kuzatisha, Biz qilolamiz

cheksiz ravishda quyidagi munosabatni yozing

kichik yon o'sishidan va a (o'xshashlikdan foydalanib)

uchburchaklar):

O'zgaruvchan ajratish usulidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:

Ikkala oyoqning o'sishi holatida gipotenuzani o'zgartirish uchun umumiyroq ibora:

Ushbu tenglamani birlashtirib va \u200b\u200bdastlabki shartlarni qo'llagan holda biz quyidagilarga erishamiz

Shunday qilib, biz kerakli javobni olamiz:

Ko'rinib turibdiki, oxirgi formuladagi kvadratik bog'liqlik chiziqli tufayli paydo bo'ladi

uchburchakning tomonlari va o'sishlar o'rtasidagi mutanosiblik, yig'indisi mustaqil bilan bog'liq

turli oyoqlarning o'sishi hissalari.

Oyoqlardan biri o'sishni boshdan kechirmasligini taxmin qilsak, yanada sodda dalilga erishish mumkin

(bu holda, oyoq) b). Keyin doimiy integratsiya uchun biz quyidagilarni olamiz:

Boshqa teoremalar va muammolarning taqdiri o'ziga xosdir ... Masalan, matematiklar va matematik havaskorlarning Pifagor teoremasiga bo'lgan bunday alohida e'tiborini qanday izohlash mumkin? Nega ularning ko'plari allaqachon isbotlangan dalillar bilan qanoatlanmaydilar, ammo taxminiy asrlarda yigirma besh asr ichida bir necha yuzlab dalillarning sonini keltirib chiqardilar?
Pifagor teoremasi haqida gap ketganda, g'ayrioddiy narsa uning nomi bilan boshlanadi. Pifagorani birinchi bo'lib yaratmagan deb ishoniladi. Shuningdek, uning unga dalil berganligi shubhali hisoblanadi. Agar Pifagor haqiqiy inson bo'lsa (ba'zilar bunga shubha qilishadi!), Keyin u VI-V asrlarda yashagan. Miloddan avvalgi e. U o'zi hech narsa yozmadi, o'zini faylasuf deb atadi, bu uning ma'nosida "donolikka intilish" degan ma'noni anglatadi, uning a'zolari musiqa, gimnastika, matematika, fizika va astronomiya bilan shug'ullanadigan Pifagor Ittifoqini tashkil qildi. Ko'rinishidan, u mohir notiq bo'lgan, buni Krotone shahrida bo'lganligi to'g'risidagi quyidagi afsonada tasdiqlash mumkin: "Pythagoraning Krotonadagi odamlar oldida birinchi bor paydo bo'lishi u yigitlarga qaratilgan nutq bilan boshlangan edi. U juda qattiqqo'l, ammo shu bilan birga juda ajoyib edi. yigitlarning vazifalari, shahar oqsoqollari ularni ko'rsatmalarisiz qoldirmasliklarini iltimos qilishdi. Ushbu ikkinchi nutqida u oilaning asosi sifatida qonuniylik va axloqiy poklikka ishora qildi; keyingi ikkitasida u bolalar va ayollarga murojaat qildi. Oqibati oxirgi nutq, u hashamatni qoralashda minglab qimmatbaho liboslar Geraning ma'badiga etkazilganligi, bundan buyon hech bir ayol ko'chada o'zini ko'rsatishga jur'at eta olmas edi ... "Shunga qaramay, miloddan avvalgi II asrda ham, ya'ni 700 yildan so'ng Pifagor ittifoqi ta'siri ostida bo'lgan va afsonaga ko'ra, Pifagorani yaratgan narsalarga katta hurmat ko'rsatgan juda aniq odamlar yashab, ishladilar.
Shubhasiz, teoremaga bo'lgan qiziqish, shuningdek, matematikada markaziy o'rinlardan birini egallashi va qiyinchiliklarni engib o'tgan dalillarning mualliflarining mamnunligi, ular haqida bizning davrimizga qadar yashagan Rim shoiri Quintus Horace Flaxus yaxshi so'zlagan: "Ma'lum bo'lgan dalillarni ifoda etish qiyin" ...
Dastlab, teorema gipotenuzaga va o'ng uchburchakning oyoqlariga qurilgan maydonlar orasidagi aloqani o'rnatdi:
.
Algebraik shakllantirish:
To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning uzunligi kvadratining uzunligi oyoqlarning uzunliklari kvadratining yig'indisiga teng.
Ya'ni, uchburchakning gipotenuzasi uzunligini c va oyoqlarning uzunligini a va b orqali belgilang: a 2 + b 2 \u003d c 2. Teoremaning har ikkala bayoni bir-biriga tengdir, ammo ikkinchi bayon ko'proq elementar bo'lib, maydon tushunchasini talab qilmaydi. Ya'ni, ikkinchi bayonotni maydon haqida hech narsa bilmasdan va faqat to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlarining uzunligini o'lchashsiz tekshirish mumkin.
Pifagoraning teskari teoremasi. A, b va c har qanday musbat sonlarning uchta uchun
a 2 + b 2 \u003d c 2, oyoqlari a va b va gipotenuza c bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak bor.

Dalillar

Hozirgi paytda ilmiy adabiyotlarda ushbu teoremaning 367 ta isboti qayd etilgan. Pifagor teoremasi, ehtimol, bunday ta'sirchan dalillarga ega bo'lgan yagona teoremadir. Bu xilma-xillikni faqat geometriya haqidagi teoremaning asosiy ma'nosi bilan izohlash mumkin.
Albatta, kontseptual ravishda ularning barchasini oz sonli sinflarga bo'lish mumkin. Ulardan eng mashhurlari: maydon usuli bo'yicha dalillar, aksiomatik va ekzotik dalillar (masalan, differentsial tenglamalar yordamida).

Shunga o'xshash uchburchaklar orqali

Algebraik formulaning quyidagi isboti to'g'ridan-to'g'ri aksiomalardan qurilgan dalillarning eng oddiyidir. Xususan, u figuraning maydoni tushunchasidan foydalanmaydi.
ABC to'g'ri burchakli C burchakli uchburchak bo'lsin. Balandlikni C dan oling va uning asosini H. Uchburchagi ACH bilan belgilang, ABC uchburchagiga o'xshaydi.
Xuddi shunday, CBH uchburchagi ABCga o'xshaydi. Notation bilan tanishtirish

biz olamiz

Ekvivalent nima

Qo'shish, biz olamiz

yoki

Dalillar

Quyida keltirilgan dalillar, ularning ravshanligiga qaramay, unchalik oson emas. Ularning barchasi mintaqaning xususiyatlaridan foydalanadi, bu Pifagor teoremasini isbotlashdan ko'ra qiyinroq.

Teng to'ldiruvchilik isboti

Rasmda ko'rsatilgandek to'rtburchaklar teng to'rtburchaklar joylashtiring.
2. tomonlari c bilan to'rtburchak, bu kvadratdir, chunki ikkita o'tkir burchaklarning yig'indisi 90 ° va kengaytirilgan burchak 180 °.
3. Butun rasmning maydoni, bir tomondan, to'rtburchaklar va ichki kvadratning maydonlarining yig'indisi (a + b), boshqa tomondan to'rtburchakning maydoni.



Q.E.D.

Masshtablash orqali dalillar

Bunday dalillardan birining namunasi o'ngdagi rasmda ko'rsatilgan, bu erda gipotenuzada qurilgan kvadrat permutatsiya orqali oyoqqa o'rnatilgan ikkita kvadratga aylantiriladi.

Evklidning isboti

Evklidning isboti ortidagi fikr quyidagicha: gipotenuzaga qurilgan kvadrat maydonining yarmi oyoqlarga qurilgan maydonlarning yarmining yig'indisiga, so'ngra katta va ikkita kichik kvadratlarning maydoni teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. Chapdagi rasmni ko'rib chiqing. Uning ustiga biz to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlariga kvadratlar qurdik va AB gipotenuzasiga perpendikulyar bo'lgan C burchak burchagidan nurlar chizdik, u gipotenuzaga qurilgan ABIK kvadratini mos ravishda ikkita to'rtburchaklar - BHJI va HAKJ ga ajratdi. Aniqlanishicha, bu to'rtburchaklar maydonlari mos keladigan oyoqlarda qurilgan maydonlarning maydoniga tengdir. Keling, DECA maydonining maydoni AHJK to'rtburchagining maydoniga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. Buning uchun biz yordamchi kuzatuvdan foydalanamiz: Uchburchakning balandligi va poydevori bir xil bo'lgan to'rtburchakning maydoni berilgan to'rtburchakning yarim maydoniga teng. Bu uchburchakning maydonini poydevor va balandlikning yarim mahsuloti sifatida aniqlash natijasidir. Ushbu kuzatuvdan kelib chiqadiki, ACK uchburchagining maydoni AHK uchburchagining maydoniga teng (rasmda ko'rsatilmagan), bu esa o'z navbatida AHJK to'rtburchagi maydonining yarmiga teng. Keling, ACK uchburchagining maydoni DECA maydonining yarmiga teng ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun qilinishi kerak bo'lgan yagona narsa ACK va BDA uchburchaklar tengligini isbotlash (chunki BDA uchburchagining maydoni yuqoridagi mulkka ko'ra kvadrat maydonining yarmiga teng). Tenglik aniq, uchburchaklar ikki tomonga teng va ular orasidagi burchak. Aynan - AB \u003d AK, AD \u003d AC - CAK va BAD burchaklarining tengligini harakat usuli bilan isbotlash oson: biz CAK uchburchagini soat yo'nalishi bo'yicha 90 ° aylantiramiz, keyin ko'rib chiqilayotgan ikki uchburchakning mos tomonlari bir-biriga mos kelishi aniq (chunki maydonning uchida joylashgan burchak. 90 °). BCFG kvadratining va BHJI to'rtburchagining maydonlari tengligi to'g'risida mulohaza mutlaqo o'xshashdir. Shunday qilib, gipotenuzaga qurilgan maydonning maydoni oyoqlarga qurilgan maydonlarning maydonlar yig'indisi ekanligini isbotladik.

Leonardo da Vinchining isboti

Isbotning asosiy elementlari simmetriya va harakatdir.

Rasmni ko'rib chiqing, simmetriyadan ko'rinib turibdiki, CI segmenti ABHJ kvadratini ikkita bir xil qismga ajratadi (chunki ABC va JHI uchburchaklar qurilishda tengdir). Soat miliga qarama-qarshi 90 daraja aylanishdan foydalanib, biz CAJI va GDAB soyali raqamlar teng ekanligini ko'ramiz. Endi soyali shaklning maydoni oyoqlarga qurilgan maydonlarning maydonlari va asl uchburchakning maydonlari yig'indisiga teng ekanligi aniq bo'ldi. Boshqa tomondan, bu gipotenuzaga qurilgan maydonning yarmiga va asl uchburchakning maydoniga teng. Isbotlashda oxirgi qadam o'quvchiga qoldiriladi.