To'pni o'lchang. Sfera Perelman ko'p o'lchovli musiqa. Boshqa manbalardan ba'zi foydali ilovalar
Bir muncha vaqt oldin, arXiv.org saytida birdaniga ikkita maqola paydo bo'ldi, ular 8 va 24 o'lchamdagi bo'shliqlarda to'plarni eng yaqin qadoqlash muammosiga bag'ishlangan. Hozirgacha shunga o'xshash natijalar faqat 1, 2 o'lchamlar uchun ma'lum edi. va 3 (va bu erda hamma narsa juda oddiy emas, lekin quyida ko'proq). Yutuq - va biz haqiqiy inqilobiy yutuq haqida gapiramiz - u Ukrainada tug'ilgan, hozir Germaniyada ishlayotgan matematik Marina Vyazovskayaning ishi tufayli amalga oshirildi. Ushbu yutuq haqida biz o'nta hikoyada aytib beramiz.
1.
16-asrda Angliyada mashhur saroy arbobi va shoir ser Valter Roli yashagan. U, eng avvalo, bir marta qirolichaning oyoqlarini iflos qilmasligi uchun qimmatbaho choponini ko'lmakka tashlagani bilan mashhur edi. Ammo bu bizni qiziqtirayotganining sababi emas.
Ser Valter Rolining ishtiyoqi bor edi - u ispan kemalarini o'g'irlashni va El Doradoni qidirishni juda yaxshi ko'rardi. Va bir kuni Roli kemada bir dasta to'plangan o'qlarni ko'rdi. Va men o'yladim (bu Britaniya saroylari bilan sodir bo'ldi), ular aytishadi, agar siz ularni hisoblamasdan, bir uyumda qancha yadro borligini bilsangiz yaxshi bo'lardi. Bunday bilimlarning afzalliklari, ayniqsa siz ispan flotini talon-taroj qilishni yoqtirsangiz, aniq.
Valter Roli
Ralining o'zi matematikada unchalik yaxshi emas edi, shuning uchun u bu masalani yordamchisi Tomas Xarriotga berdi. U, o'z navbatida, matematikada kuchli edi (Aytgancha, Xarriot ">" va "belgilarining ixtirochisi.<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.
Sharhlar uchun u o'z davrining mashhur matematigi Yoxannes Keplerga murojaat qildi - o'sha paytda Tycho Brahening yordamchisi. Kepler javob bermadi, lekin u muammoni esladi. 1611 yilda u kichik risolani nashr etdi, unda u to'rtta savolni muhokama qildi: nega asalarilarning olti burchakli taroqlari bor, nega gul barglari ko'pincha beshta to'planadi? Kepler, ehtimol, faqat nazarda tutganpushti - taxminan. N+1), nega anor donalari dodekaedrlarga o'xshaydi (tartib bo'lmasa ham) va nima uchun, nihoyat, qor parchalari olti burchakli shaklga ega.
Iogannes Kepler
Risola sovg'a sifatida mo'ljallangan edi, shuning uchun u haqiqiy ilmiy ishdan ko'ra ko'proq falsafiy va qiziqarli o'qish edi. Kepler birinchi savolga javobni ikkita shart bilan bog'ladi - hujayralar o'rtasida bo'shliqlar bo'lmasligi kerak va hujayra maydonlarining yig'indisi minimal bo'lishi kerak. Muallif ikkinchi savolni Fibonachchi raqamlari bilan bog'ladi va qor parchalari haqidagi suhbat Keplerni atom simmetriyalari haqida fikr yuritishga undadi.
Uchinchi savol gipotezani keltirib chiqardi olti burchakli yaqin qadoqlash(quyidagi rasmda) eng zich (bu matematik ma'noda ham pastroq degan ma'noni anglatadi). Albatta, Kepler Xarriotga murojaat qilishni zarur deb hisoblamadi. Shuning uchun bu bayonot Kepler gipotezasi deb ataladi. Stigler qonuni - aka Arnold printsipi - amalda.
Ha, bu risola chop etilganidan 7 yil o'tib ser Valter Rolining boshi kesilgan. Biroq, bu zich qadoqlash muammosi bilan hech qanday aloqasi yo'q edi.
2.
Zamonaviy standartlarga ko'ra, Xarriot hal qilgan vazifa qiyin emas edi. Shuning uchun biz uni batafsilroq tahlil qilamiz. Va shu bilan birga, olti burchakli yaqin qadoqlash qanday ishlashini yaxshiroq tushunamiz.
Shunday qilib, asosiy shart - pitching paytida yadrolar to'plami aylanmasligi. Shunday qilib, yadrolarni kemaning ustiga bir qatorga qo'ying. Keyingi qatorda biz yadrolarni qo'yamiz, shunda to'plar birinchi qatorning sharlari orasidagi bo'shliqlarga joylashtiriladi. Agar birinchi qatorda n ta to'p bo'lsa, ikkinchisida n - 1 bo'ladi (chunki to'plar o'rtasida to'plarning o'ziga qaraganda bir kam bo'shliq bor). Keyingi qatorda bitta kam yadro bo'ladi. Va shunga o'xshash uchburchakni olmagunimizcha (agar siz yuqoridan tartibni ko'rsangiz):
Arifmetik progressiya nima ekanligini eslaganlar, agar birinchi qatorda n ta shar bo'lsa, bunday uchburchakda n (n + 1)/2 to'p borligini osongina hisoblab chiqadi. Yuqoridan qaralganda, to'plar orasida qulay chuqurliklar mavjud. U erda biz to'plarning ikkinchi qatlamini qo'shamiz. Bu birinchisi kabi tashkil etilgan uchburchakka olib keladi, faqat yon tomonda bitta kam to'p bo'ladi. Shunday qilib, biz qoziqqa yana n (n - 1)/2 to'p qo'yamiz.
Biz bitta to'p qatlamini olmaguncha qatlamlarni yotqizishni davom ettiramiz. Biz yadrolarning uchburchak piramidasini oldik. Uning nechta yadrosi borligini bilish uchun har bir qatlamdagi yadrolar sonini qo'shish kerak. Agar birinchi qatlam n tomoni bilan bo'lsa, biz n ta qatlamni olamiz, ular jami n (n + 1) (n + 2)/6 ni beradi. Qiziquvchan o'quvchi bu aynan C 3 n + 2 binomial koeffitsienti ekanligini payqaydi. Ushbu kombinatoriy tasodif sababsiz emas, lekin biz buni batafsil ko'rib chiqmaymiz.
Aytgancha, bu vazifaga qo'shimcha ravishda, Xarriot, agar kub uchun ikkinchisining shaklini oladigan bo'lsak, etarlicha katta idishda yadrolar taxminan qanday ulushni egallashini aniqlay oldi. Bu nisbat p/(3√2) ≈ 0,74048 ekanligi ma’lum bo’ldi.
3.
So'z nimani anglatadi eng zich muammo bayonotida? Roli, Xarriot va hatto Keplerning o'zi ham bunga aniq javob bermadi. O'rtacha ma'noda eng zichligi nazarda tutilgan. Biroq, bu formula matematika uchun mos emas. Bunga aniqlik kiritish kerak.
Keling, avval quyidagi o'lchamga tushamiz va hamma narsa samolyotda qanday ishlashini ko'rib chiqamiz. Ikki o'lchovli holat uchun muammo quyidagicha bo'ladi: ichki qismda kesishmaydigan (lekin, ehtimol, teginish - ya'ni chegarada umumiy nuqtaga ega) aylanalarning cheksiz to'plami berilsin. samolyot. Keling, kvadrat chizamiz. Kvadrat ichiga tushgan doiralar bo'laklarining maydonlari yig'indisini hisoblaymiz. Keling, bu yig'indining kvadrat maydoniga nisbatini olaylik va nisbatning o'zgarishiga qarab, kvadratning yon tomonini oshiramiz.
Biz funktsiyani olamiz f(a), qayerda a- kvadrat tomoni. Agar omadimiz bo'lsa, bu o'sish bilan ishlaydi argument qandaydir songa asimptotik tarzda yaqinlashadi. Bu raqam berilgan o'ramning zichligi deb ataladi. Funktsiyaning o'zi bir nuqtada zichlikdan kattaroq qiymat berishi muhim. Haqiqatan ham, agar kvadrat kichik bo'lsa, unda u butunlay aylanaga to'g'ri keladi va aniq nisbat 1 ga teng. Lekin biz o'rtacha zichlik bilan qiziqamiz, ya'ni norasmiy ravishda "etarli darajada katta tomoni bo'lgan kvadrat uchun".
Barcha bunday zichliklar orasida maksimalni topish mumkin. Aynan u, shuningdek, uni amalga oshiradigan qadoqlash eng zich deb nomlanadi.
“Eng zich qadoqlash har doim ham noyob bo'lishi shart emas (asimptotik ma'noda). 3 o'lchovli fazoda cheksiz ko'p eng zich paketlar mavjud va buni hatto Kepler ham bilar edi, - deydi Braunsvildagi Texas universitetidan Oleg Musin.
Eng zich qadoqlash kontseptsiyasini aniqlaganimizdan so'ng, bunday ta'rifni ixtiyoriy o'lchamli n bo'shliqqa osongina kengaytirish mumkinligini tushunish oson. Haqiqatan ham, keling, aylanalarni mos keladigan o'lchamdagi to'plar bilan almashtiraylik, ya'ni nuqtalar to'plami, ular orasidagi masofa (markaz deb ataladi) to'pning radiusi deb ataladigan ma'lum bir qiymatdan oshmaydi. Yana, keling, ularni shunday tartibga keltiramizki, har qanday ikkitasi eng yaxshi teginish, eng yomoni - umuman umumiy nuqtalar bo'lmaydi. Biz oldingi holatda bo'lgani kabi, n o'lchovli kub hajmini va mos keladigan n o'lchovli to'plar hajmlari yig'indisini olish orqali bir xil funktsiyani aniqlaymiz.
4.
Shunday qilib, biz Keplerning taxmini uch o'lchovli kosmosda uch o'lchamli to'plarning eng yaqin o'rash muammosi ekanligini tushundik. Va samolyot haqida nima deyish mumkin (biz u bilan boshlaganimizdan beri)? Yoki to'g'ridan-to'g'ri? To'g'ri chiziq bilan hamma narsa oddiy: to'g'ri chiziqdagi to'p - bu segment. To'g'ri chiziq uchlarida kesishgan bir xil segmentlar bilan to'liq qoplanishi mumkin. Ushbu qamrov bilan, funksiya f(a) doimiy va 1 ga teng.
Samolyotda hamma narsa biroz murakkabroq bo'lib chiqdi. Shunday qilib, keling, samolyotdagi nuqtalar to'plamidan boshlaylik. Biz aytamizki, bu nuqtalar to'plami, agar v va w vektorlari juftligini topsak, barcha nuqtalar N*v + M*w ko'rinishida olinadi, bu erda N va M butun sonlardir. Xuddi shunday, panjara o'zboshimchalik bilan katta o'lchamdagi bo'shliqda aniqlanishi mumkin - faqat ko'proq vektor talab qilinadi.
Panjara ko'p sabablarga ko'ra muhim (masalan, qattiq materiallar haqida gap ketganda, atomlar panjara joylarida joylashishni afzal ko'radi), lekin matematiklar uchun ular yaxshi, chunki ular bilan ishlash juda qulay. Shuning uchun, barcha o'rashlardan, to'plarning markazlari panjara tugunlarida joylashgan sinf alohida ajralib turadi. Agar biz bu holat bilan cheklanib qolsak, unda samolyotda faqat besh turdagi panjara mavjud. Ularning eng zich o'rami nuqtalar oddiy olti burchakli burchaklar cho'qqilarida - asalarilardagi chuqurchalar yoki grafendagi atomlar kabi joylashtirilgan tarzda olinadi. Bu haqiqatni 1773 yilda Lagrange isbotlagan. Aniqrog'i: Lagranjni zich o'ramlar qiziqtirmasdi, balki kvadratik shakllarga qiziqardi. Ikki o'lchovli panjaralar uchun qadoqlash zichligi bo'yicha natija uning proformaviy natijalaridan kelib chiqishi 20-asrda allaqachon ma'lum bo'ldi.
1831 yilda Lyudvig Siber uchlik kvadrat shakllar haqida kitob yozdi. Ushbu kitobda panjarali o'ramlar uchun Kepler gipotezasiga ekvivalent bo'lgan faraz ilgari surilgan. Siberning o'zi o'z gipotezasining faqat zaif shaklini isbotlay oldi va uni ko'plab misollar uchun sinab ko'rdi. Bu kitob buyuk Karl Fridrix Gauss tomonidan ko'rib chiqilgan. Ushbu sharhda Gauss 40 qatorga to'g'ri keladigan chinakam ajoyib dalilni taqdim etadi. Bu, biz hozir aytganimizdek, o'rta maktab o'quvchisi uchun tushunarli bo'lgan "Olimpiada" dalilidir. Ko‘pgina matematiklar Gauss isbotida yashirin ma’no topishga harakat qilishdi, ammo hozircha hech kim muvaffaqiyatga erisha olmadi”, - deydi Oleg Musin.
Biroq, agar mash holati bekor qilinsa nima bo'ladi? Bu erda ishlar biroz murakkablashadi. Ushbu ishni hal qilish uchun birinchi to'liq urinish norvegiyalik matematik Axel Thue tomonidan amalga oshirildi. Agar siz Vikipediyadagi Tuega bag'ishlangan sahifani ko'rsangiz, u erda biz qattiq qadoqlash haqida hech narsa topa olmaymiz. Bu tushunarli - Thue oddiy matematik qog'ozlardan ko'ra ko'proq insholarni eslatuvchi ikkita maqolani nashr etdi, unda u zich qadoqlash muammosini butunlay hal qildi. Yagona muammo shundaki, uning fikriga Tuening o'zidan boshqa hech kim ishonmadi.
Laslo Fejes Tot
Danzer, Lyudvig / Wikimedia Commons
Muammoni nihoyat 1940 yilda vengriyalik matematik Laslo Fejes Tot hal qildi. Aytgancha, eng zich qadoqlashni amalga oshiradigan samolyotda doiralarning joylashishi o'ziga xos ekanligi ma'lum bo'ldi.
5.
Kontakt raqami muammosi yaqin qadoqlash muammosi bilan chambarchas bog'liq. Keling, yana tekislikdagi doirani ko'rib chiqaylik. Uning atrofida bir xil radiusdagi nechta aylana o'rnatilishi mumkin, shunda ularning barchasi markaziy qismga tegadi? Javob oltita. Haqiqatan ham, bizning markaziy bilan aloqada bo'lgan ikkita qo'shni doirani ko'rib chiqaylik. Keling, markaziy aylananing markazidan bu ikkalasining markazlarigacha bo'lgan masofani ko'rib chiqaylik. Bu teng 2R, qayerda R aylana radiusi. Qo'shni doiralarning markazlari orasidagi masofa oshmaydi 2R. Kosinus teoremasiga ko'ra markaziy aylananing markazidagi burchakni hisoblab chiqsak, u 60 darajadan kam emasligini olamiz. Barcha markaziy burchaklarning yig'indisi 360 gradusni berishi kerak, ya'ni bunday burchaklar soni 6 tadan oshmasligi kerak.Biz oltita burchakli doiralarning joylashishini bilamiz.
Olingan raqam samolyotning aloqa raqami deb ataladi. Shunga o'xshash savol har qanday o'lchamdagi bo'shliqlar uchun berilishi mumkin. Samolyotdagi yechimning soddaligi o'quvchini chalg'itmasin - aloqa raqamlari muammosi, agar zich qadoqlash muammosidan oddiyroq bo'lsa, unchalik ko'p emas. Ammo bu yo'nalishda ko'proq natijalarga erishildi.
Uch o'lchovli makon uchun aloqa raqami 1694 yilda Isaak Nyutonning o'zi va Jeyms Gregori o'rtasida ommaviy bahs mavzusiga aylandi. Birinchisi, aloqa raqami 12, ikkinchisi esa 13 bo'lishi kerak deb hisoblardi. Gap shundaki, markaziy to'pning atrofida 12 ta to'pni joylashtirish qiyin emas - bunday to'plarning markazlari oddiy ikosahedrning uchlarida yotadi ( unda faqat 12 tasi bor). Ammo bu to'plar tegmaydi! Bir qarashda, ular yana bitta, 13-to'p o'tib ketishi uchun ko'chirilishi mumkindek tuyuladi. Bu deyarli to'g'ri: agar to'plar bir-biridan biroz uzoqlashtirilsa, ularning markazlari va markaziy markaz o'rtasidagi masofa 2R, lekin faqat 2.06R, keyin 13 ta to'p allaqachon mos keladi. Ammo to'plarga tegishda Gregori noto'g'ri edi - bu haqiqatni 1953 yilda van der Vaarden va Shyutte isbotlagan.
4-o'lchov uchun bu muammo 2003 yilda Oleg Musin tomonidan hal qilingan. U erda aloqa raqami 24 bo'lib chiqdi.
6.
Ushbu 1, 2, 3 va 4 o'lchamlarga qo'shimcha ravishda 8 va 24 o'lchamlarda aloqa raqamlari ham ma'lum. Nima uchun bu o'lchamlar? Gap shundaki, ular uchun E8 va Leech panjaralari deb nomlangan juda qiziqarli panjaralar mavjud.
Shunday qilib, biz allaqachon panjara nima ekanligini aniqladik. Matematika uchun panjaraning muhim xususiyati uning simmetriyasidir. Simmetriya deganda, albatta, biz sub'ektiv hislarni emas (va kim, masalan, bu panjarani to'rtta o'lchamda taqdim etadi?), Lekin bu panjarani o'ziga aylantiradigan kosmosning turli xil harakatlarining sonini nazarda tutamiz. Keling, misol bilan tushuntiramiz.
Samolyotdagi eng zich o'rashni amalga oshiradigan bir xil olti burchakli panjarani olaylik. Ta'rifda bo'lgan v va w vektorlari tomonidan siljitsa, panjara o'ziga aylanishini tushunish oson. Ammo, qo'shimcha ravishda, panjara olti burchakli markaz atrofida aylanishi mumkin. Va 6 ta bunday aylanish mavjud: 0, 60, 120, 180, 240, 300 daraja. Bundan tashqari, panjara birikma olti burchakli simmetriyaning har qanday o'qiga nisbatan nosimmetrik tarzda ko'rsatilishi mumkin. Bir oz mashq shuni ko'rsatadiki, smenalarni hisobga olmaganda, biz 12 ta o'zgarishlarni olamiz. Boshqa panjaralarda bunday o'zgarishlar kamroq bo'ladi, shuning uchun biz ular kamroq simmetrik deb aytamiz.
Endi E8 va Leach panjaralari ajoyib simmetrik panjaralardir. E8 8 o'lchovli fazoda joylashgan. Ushbu panjara 1877 yilda rus matematiklari Korkin va Zolotarev tomonidan ixtiro qilingan. U vektorlardan iborat bo'lib, ularning barcha koordinatalari butun sonlar va ularning yig'indisi juft. Bunday panjara, minus siljishlar, 696,729,600 o'zgarishlarga ega. Leach Grid yigirma to'rt o'lchovda mavjud. U butun koordinatali vektorlardan iborat va shart - koordinatalar yig'indisi minus har qanday koordinatani 4 ga ko'paytirilsa, 8 ga bo'linadi. U juda ko'p simmetriyaga ega - 8 315 553 613 086 720 000 dona.
Shunday qilib, 8 o'lchovli va 24 o'lchovli fazoda xuddi shu panjaralarning uchlarida joylashgan sharlar mos ravishda 240 va 19650 to'plarga tegadi. Ajablanarlisi shundaki, mos keladigan o'lchamdagi bo'shliqlar uchun aynan shunday aloqa raqamlari (5-bandga qarang).
7.
Endi uch o'lchovli holatga va Kepler gipotezasiga qaytaylik (biz boshida gapirganimiz). Bu vazifa avvalgilariga qaraganda bir necha marta qiyinroq bo'lib chiqdi.
Keling, olti burchakli zich bilan bir xil zichlikka ega bo'lgan cheksiz ko'p paketlar mavjudligidan boshlaylik. Biz olti burchakli panjaraning tugunlarida yotqizilgan to'plardan boshlab, uni yotqizishni boshladik. Lekin siz buni boshqacha qilishingiz mumkin: masalan, birinchi darajada, to'plarni kvadratga katlayın, ya'ni to'plarning tepalari allaqachon kvadrat panjaraning tugunlarida joylashganki. Bunday holda, har bir to'p to'rtta qo'shniga tegadi. Ikkinchi qatlam, olti burchakli holatda bo'lgani kabi, yuqoridan birinchi qatlamning to'plari orasidagi bo'shliqlarga joylashtiriladi. Bunday paket deyiladi yuzga markazlashtirilgan kubik qadoqlash. Aytgancha, bu kosmosdagi yagona eng zich panjarali qadoqlash.
Bir qarashda, bu o'rash yomonroq bo'lishi kerakdek tuyuladi, chunki birinchi qatlamdagi to'rtta to'p orasidagi bo'shliqlar olti burchakli zich o'rashdagi bo'shliqlarga qaraganda ancha katta (sezgilarga ko'ra). Ammo, biz ikkinchi qatorni qo'yganimizda, to'plar - aniq bo'shliqlar kattaroq bo'lgani uchun - chuqurroq cho'kib ketadi. Natijada, ma'lum bo'lishicha, zichlik avvalgidek bo'ladi. Darhaqiqat, albatta, hiyla-nayrang shundaki, agar olti burchakka boshqa burchakdan qaralsa, bunday qadoqlash olinadi.
Ma'lum bo'lishicha, uch o'lchovli fazoda, masalan, tekislikdagi olti burchakli yoki 8 o'lchovli fazoda E8 kabi go'zal noyob panjaralar yo'q. Bir qarashda, uch o'lchamli kosmosda eng zich o'rashni qanday izlash mutlaqo tushunarsiz.
8.
Kepler gipotezasi yechimi bir necha bosqichda tug'ildi.
Birinchidan, samolyotda zich qadoqlash muammosini hal qilgan o'sha venger Feysz Tot quyidagi taxminni aytdi: o'rash zich yoki zich emasligini tushunish uchun to'plarning cheklangan klasterlarini ko'rib chiqish kifoya. Biz aniqlaganimizdek, samolyotdan farqli o'laroq, markaziy to'p 12 ta qo'shniga tegsa, ular orasida bo'shliqlar mavjud. Shuning uchun Feyesh Tot markaziy to'p, uning qo'shnilari va qo'shnilarning qo'shnilaridan tashkil topgan klasterlarni o'rganishni taklif qildi.
Gap shundaki, bu taxmin o'tgan asrning 60-yillarida qilingan. Va bunday klasterning hajmini minimallashtirish muammosi, aslida, taxminan 150 o'zgaruvchidan iborat funktsiya uchun chiziqli bo'lmagan optimallashtirish muammosidir (har bir to'pning markazi bor, u uchta koordinata bilan berilgan). Taxminan aytganda, bunday funktsiya ba'zi qo'shimcha sharoitlarda minimalni topishi kerak. Bir tomondan, vazifa cheklangan bo'lib qoldi, biroq boshqa tomondan, bu odam uchun hisoblash nuqtai nazaridan butunlay chidab bo'lmas. Ammo Feyesh Tot xafa bo'lmadi va tez orada kompyuterlar kerakli hisoblash kuchiga ega bo'lishini aytdi. Ular yordam berishadi.
Matematiklarga Fejes Totning gipotezasi juda yoqdi va ular bu yo'nalishda faol ishlay boshladilar. 1990-yillarning boshlariga kelib, uch o'lchamli kosmosda sharlarning maksimal zichligi bo'yicha hisob-kitoblar asta-sekin pasayib bordi. G'oya shundan iborat ediki, bir nuqtada hisob-kitob yuz markazlashtirilgan kub o'rashning zichligiga teng bo'ladi va shuning uchun Keplerning taxmini isbotlanadi. Bu vaqt ichida matematik Tomas Xeyls o'zining qadoqlash bo'yicha birinchi maqolalarini nashr etdi. Ish uchun u Delaunay yulduzlari deb nomlangan ob'ektni tanladi (Sovet matematigi Boris Delaunay sharafiga). Bu jasoratli qadam edi - o'sha paytda qadoqlash muammosini o'rganish uchun bunday ob'ektlarning samaradorligi shubhali edi.
Faqat 8 yillik mashaqqatli mehnatdan so'ng, 1998 yilda Xeyls Kepler gipotezasini isbotlashni yakunladi. U dalilni Delaunay yulduzlari kabi turli xil tuzilmalarning cheklangan kombinatoriy ro'yxatiga qisqartirdi. Har bir bunday kombinatsion tuzilma uchun zichlikni maksimal darajada oshirish kerak edi. Kompyuter faqat butun sonlar bilan normal ishlaganligi sababli (shunchaki matematikada raqamlar cheksiz kasrlar bo'lganligi sababli), har bir holat uchun Delaunay avtomatik ravishda ramziy ratsional hisob-kitoblardan foydalangan holda yuqoridan yaqinlashishni quradi (agar siz ularni o'nli kasrga aylantirmasangiz, ratsional sonlar). kasrlar, faqat bir nechta tamsayı). Ushbu yaqinlashish bilan u maksimal zichlik uchun yuqori bahoni oldi. Natijada, barcha hisob-kitoblar yuz markazlashtirilgan kubik qadoqlash tomonidan berilganidan kamroq bo'lib chiqdi.
Biroq, ko'plab matematiklar, taxminiy hisoblash uchun kompyuter qurilgan vaziyatdan chalkashdilar. Dalilning kompyuter qismida xatolik yo'qligini isbotlash uchun Hales kompyuter yordamida rasmiylashtirish va tekshirishni oldi. Etarlicha katta xalqaro jamoa ishlagan bu ish 2014-yil avgust oyida yakunlandi. Dalilda hech qanday xato topilmadi.
9.
8 va 24 o'lchovlar uchun dalillar kompyuterni talab qilmaydi va biroz soddaroq. Bir muncha vaqt oldin, ushbu o'lchamlarda maksimal qadoqlash zichligini baholash uchun juda yaxshi hisob-kitoblar olingan. Bu 2003 yilda matematiklar Kohn va Elkies tomonidan amalga oshirilgan. Aytgancha, bu taxmin (u Kohn-Elkies chegarasi deb ham ataladi) bir necha yil oldin Kohn va Elkiesning o'zlari Tuladan rus matematigi Dmitriy Gorbachev tomonidan topilgan. Biroq, u bu asarini rus tilida va Tula jurnalida nashr etdi. Kon va Elkies bu ish haqida bilishmagan va ularga aytilganda, ular, aytmoqchi, unga murojaat qilishgan.
"Kohn-Elkies chegarasi Jan Frederik Delsarte va ajoyib matematiklarimiz Grigoriy Kabatyanskiy va Vladimir Levenshteynning ishlari asosida paydo bo'ldi. Kabatyanskiy va Levenshteyn tomonidan olingan n-o'lchovli fazoda to'plar o'ramlarining zichligi uchun asimptotik (kosmik o'lcham bo'yicha) smeta 1978 yildan beri "ushlab kelinmoqda". Aytgancha, bu Levenshtein va mustaqil ravishda amerikaliklar Odlyjko va Sloan 1979 yilda 8 va 24 o'lchamdagi aloqa raqamlari muammosini hal qilishdi. Ular to'g'ridan-to'g'ri Delsarte-Kabatyanskiy-Levenshteyn usulidan foydalanganlar, - deydi Oleg Musin.
Kohn va Elkies hisob-kitoblari aslida barcha o'ramlar uchun to'g'ri, ammo 8 va 24 o'lchamlarda ular juda yaxshi taxminiylikni beradi. Misol uchun, matematikning taxmini sakkiz o'lchovdagi E8 zichligidan atigi 0,0001 foizga kattaroqdir. Shu sababli, ushbu smetani yaxshilash vazifasi paydo bo'ldi - axir, yechim yaqinda bo'lib tuyuladi. Bundan tashqari, 2012 yilda o'sha Dmitriy Gorbachev Dynasty Foundation grantiga ariza topshirgan (va yutgan). Arizada u sakkiz o'lchovli fazoda E8 ning qadoqlash zichligini isbotlashni rejalashtirganligini aniq aytdi.
Aytishlaricha, boshqa bir matematik Andrey Bondarenko Gorbachyovni shunday dadil bayonot berishga undagan, aslida 8 o'lchovli fazo uchun muammoni hal qilgan (va hammuallifi) Marina Vyazovskayaning ustozi, ilmiy rahbarlaridan biri. 24 o'lchovli fazo). Aynan Bondarenkoga u o'zining ajoyib ishining oxirida minnatdorchilik bildiradi. Shunday qilib, Bondarenko va Gorbachev muvaffaqiyatsizlikka uchradi, lekin Vyazovskaya muvaffaqiyatga erishdi. Nima sababdan?
Marina Vyazovskaya
Berlin Gumboldt universiteti
Kohn-Elkies taxmini qadoqlash zichligini mos keladigan to'plamdagi ba'zi funktsiyalarning xususiyatiga bog'laydi. Taxminan aytganda, har bir bunday funktsiya uchun smeta tuziladi. Ya'ni, asosiy vazifa - mos keladigan funktsiyani topish, natijada olingan taxmin bizga kerak bo'lgan narsaga aylanadi. Shunday qilib, Vyazovskaya qurilishining asosiy tarkibiy qismi modulli shakllardir. Biz ularni Fermaning oxirgi teoremasining isboti bilan bog'liq holda aytib o'tgan edik, buning uchun . Bu matematikaning turli sohalarida doimo paydo bo'ladigan juda nosimmetrik ob'ekt. Aynan shu asboblar to'plami kerakli funktsiyani topishga imkon berdi.
24 o'lchovli fazoda xuddi shu tarzda taxmin qilingan. Bu ishda ko'proq mualliflar bor, lekin Vyazovskayaning xuddi shu yutug'iga asoslangan (albatta, biroz moslashtirilgan bo'lsa ham). Aytgancha, qog'ozda yana bir ajoyib fakt isbotlangan: Leach panjarasi noyob davriy eng zich qadoqlashni amalga oshiradi. Ya'ni, boshqa barcha davriy o'rashlar bundan kamroq zichlikka ega. Oleg Musinning so'zlariga ko'ra, davriy qadoqlash uchun shunga o'xshash natija 4 va 8 o'lchamlarda to'g'ri bo'lishi mumkin.
10.
Ilovalar nuqtai nazaridan, yuqori o'lchamli bo'shliqlarda zich qadoqlash muammosi, birinchi navbatda, xatolarni tuzatish bilan optimal kodlash muammosi.
Tasavvur qiling-a, Elis va Bob radio signallari yordamida muloqot qilishga harakat qilmoqdalar. Elisning aytishicha, u Bobga 24 xil chastotadan iborat signal yuboradi. Bob har bir chastotaning amplitudasini o'lchaydi. Natijada, u 24 amplitudali to'plamni oladi. Ular, albatta, 24 o'lchovli fazoda nuqta qo'yishadi - axir, ularning 24 tasi bor. Bob va Elis, aytaylik, Dahl lug'atini olishadi va har bir so'zning o'ziga xos 24 amplituda to'plamini tayinlaydilar. Ma'lum bo'lishicha, biz Dahl lug'atidagi so'zlarni 24 o'lchovli fazoning nuqtalari bilan kodlaganmiz.
Ideal dunyoda boshqa hech narsa kerak emas. Ammo haqiqiy ma'lumotlarni uzatish kanallari shovqin qo'shadi, ya'ni dekodlash paytida Bob hech qanday so'zlarga mos kelmaydigan amplitudalar to'plamini olishi mumkin. Ammo keyin u shifrlangan versiyaga eng yaqin so'zga qarashi mumkin. Agar mavjud bo'lsa, ehtimol shundaydir. Buni har doim amalga oshirish uchun fazo nuqtalari bir-biridan iloji boricha uzoqroqda joylashgan bo'lishi kerak. Ya'ni, masalan, shovqin darajasi natijani eng ko'p bir uzunlik vektoriga siljitadigan buzilish sodir bo'ladigan bo'lsa, u holda ikkita kod nuqtasi bir-biridan kamida ikkitasi bo'lishi kerak. Keyin, hatto buzilishlar bo'lsa ham, Bobning natijasi har doim bitta so'zga - kerakli so'zga yaqin bo'ladi.
Shu bilan birga, men juda ko'p so'zlarni to'ldirishni xohlamayman - bizda ma'lumot uzatish imkoniyati juda cheklangan. Aytaylik, agar Elis va Bob rentgen nurlarida muloqot qila boshlasa, g'alati (va unchalik samarali emas). Shuning uchun, ideal holda, qo'shni kod so'zlari orasidagi masofa aniq ikki bo'lishi kerak. Va bu shuni anglatadiki, so'zlar 24 o'lchovli bo'shliqda zich joylashgan 1 radiusli to'plarning tepalarida joylashgan.
Men yaqinda 3D-sahnalar uchun oddiy ray tracer yaratdim. U JavaScript-da yozilgan va unchalik tez emas edi. Qiziqish uchun men C tilida raytracer yozdim va unga 4D renderlash rejimini berdim - bu rejimda u 4D sahnani tekis ekranga aks ettirishi mumkin. Kesish ostida siz ba'zi videolar, ba'zi rasmlar va ray tracer kodini topasiz.
Nima uchun 4D sahnani chizish uchun alohida dastur yozish kerak? Siz oddiy ray-traserni olishingiz, unga 4D sahna qo'yishingiz va qiziqarli rasm olishingiz mumkin, ammo bu rasm umuman ekrandagi butun sahnaning proyeksiyasi bo'lmaydi. Muammo shundaki, sahna 4 o'lchamga ega, ekran esa atigi 2 o'lchamga ega va nur izlovchisi ekran orqali nurlar chiqarganda, u faqat 3 o'lchovli pastki bo'shliqni qamrab oladi va 4 o'lchovli sahnaning faqat 3 o'lchovli bo'lagi bo'ladi. ekranda ko'rinadigan bo'lsin. Oddiy o'xshashlik: 3D-sahnani 1D segmentiga proyeksiya qilib ko'ring.
Ma'lum bo'lishicha, 2 o'lchovli ko'rish qobiliyatiga ega 3 o'lchovli kuzatuvchi 4 o'lchovli sahnani to'liq ko'ra olmaydi - eng yaxshi holatda u faqat kichik qismini ko'radi. 4 o'lchovli sahnani 3 o'lchovli ko'rish bilan ko'rish qulayroq deb taxmin qilish mantiqan to'g'ri: ma'lum bir 4 o'lchovli kuzatuvchi qandaydir ob'ektga qaraydi va uning 3 o'lchovli analogida 3 o'lchovli proyeksiya hosil bo'ladi. to'r pardasi. Mening dasturim ushbu 3D proyeksiyani ray-trace qiladi. Boshqacha qilib aytganda, mening ray tracerim 4D kuzatuvchisi o'zining 3D ko'rishi bilan ko'rgan narsani tasvirlaydi.
3D ko'rishning xususiyatlari
Tasavvur qiling-a, siz ko'z oldingizda turgan qog'oz doirasiga qarayapsiz - bu holda siz doirani ko'rasiz. Agar siz ushbu doirani stolga qo'ysangiz, siz ellipsni ko'rasiz. Agar siz bu doiraga uzoqdan qarasangiz, u kichikroq ko'rinadi. Xuddi shunday uch o'lchovli ko'rish uchun: to'rt o'lchovli to'p kuzatuvchiga uch o'lchovli ellipsoid sifatida ko'rinadi. Quyida bir nechta misollar keltirilgan. Birinchisida 4 ta bir xil o'zaro perpendikulyar tsilindr aylanadi. Ikkinchisida 4 o'lchovli kubning ramkasi aylanadi.
Keling, mulohazalarga o'tamiz. Ko'zgu yuzasiga ega bo'lgan to'pga (masalan, Rojdestvo bezaklari) qaraganingizda, aks ettirish shar yuzasiga chizilgandek bo'ladi. Shuningdek, 3D ko'rish uchun: siz 4D to'pga qarayapsiz va akslar xuddi uning yuzasida chizilgan. Faqat hozir 4 o'lchovli to'pning yuzasi uch o'lchovli, shuning uchun biz to'pning 3 o'lchovli proyeksiyasini ko'rib chiqsak, aks ettirishlar sirtda emas, balki ichkarida bo'ladi. Agar biz nurli kuzatuvchini nur chiqaradigan qilib qo'ysak va to'pning 3D proyeksiyasi bilan eng yaqin kesishgan joyni topsak, biz qora doirani ko'ramiz - 3D proyeksiyaning yuzasi qora bo'ladi (bu Fresnel formulalaridan kelib chiqadi). Bu shunday ko'rinadi:
3D ko'rish uchun bu muammo emas, chunki buning uchun butun 3D to'p ko'rinadi va ichki nuqtalar sirtdagi kabi ko'rinadi, lekin men bu effektni qandaydir tarzda tekis ekranda etkazishim kerak, shuning uchun men qo'shimcha qildim. uch o'lchamli ob'ektlarni tutunli deb hisoblaganda nur izlovchi rejimi: nur ular orqali o'tadi va asta-sekin energiyani yo'qotadi. Bu shunday chiqadi:
Xuddi shu narsa soyalar uchun ham amal qiladi: ular sirtga emas, balki 3D proyeksiyalari ichiga tushadi. Ma’lum bo‘lishicha, 3 o‘lchamli shar ichida – 4 o‘lchamli sharning proyeksiyasi – 4 o‘lchamli kubning proyeksiyasi ko‘rinishidagi qoraygan maydon bo‘lishi mumkin, agar bu kub sharga soya tashlasa. Men bu effektni tekis ekranda qanday etkazishni tushunmadim.
Optimallashtirish
4D sahnasini raytracing 3Dga qaraganda qiyinroq: 4D holatida siz tekis emas, balki 3D maydonining ranglarini topishingiz kerak. Agar siz "peshonaga" nur izlovchini yozsangiz, uning tezligi juda past bo'ladi. 1000x1000 tasvirni ko'rsatish vaqtini bir necha soniyagacha qisqartirishi mumkin bo'lgan bir nechta oddiy optimallashtirishlar mavjud.
Bunday rasmlarni ko'rganingizda birinchi navbatda ko'zingizni tortadigan narsa - bu qora piksellar to'plami. Agar siz nurni kuzatuvchi nur kamida bitta ob'ektga tegadigan joyni tasvirlasangiz, u quyidagicha ko'rinadi:
Ko'rinib turibdiki, taxminan 70% qora piksellardir va oq maydon ulangan (u 4D sahnasi ulanganligi sababli ulangan). Siz piksellarning ranglarini tartibsiz hisoblashingiz mumkin, lekin bitta oq pikselni taxmin qiling va undan to'ldiring. Bu faqat oq piksellar + oq maydonning 1 pikselli chegarasini ifodalovchi bir nechta qora piksellarni radiatsiya bilan kuzatib boradi.
Ikkinchi optimallashtirish raqamlar - to'plar va silindrlarning konveks bo'lishidan olinadi. Bu shuni anglatadiki, bunday rasmdagi har qanday ikkita nuqta uchun ularni bog'laydigan segment ham butunlay rasm ichida yotadi. Agar nur qavariq jismni kesib o'tsa, A nuqta ob'ekt ichida yotsa va B nuqta tashqarida bo'lsa, B tomondan nurning qolgan qismi ob'ektni kesib o'tmaydi.
Yana bir nechta misol
Bu erda kub markaz atrofida aylanadi. To'p kubga tegmaydi, lekin 3D proyeksiyada ular kesishishi mumkin.
Ushbu videoda kub harakatsiz va 4 o'lchovli kuzatuvchi kub orqali uchib o'tadi. Kattaroq ko'rinadigan uch o'lchovli kub kuzatuvchiga yaqinroq, kichikroq bo'lgan kub esa uzoqroq.
Quyida 1-2 va 3-4 o'qlari tekisliklarida klassik aylanish ko'rsatilgan. Bunday aylanish ikkita Givens matritsasi ko'paytmasi bilan beriladi.
Mening ray tracerim qanday ishlaydi
Kod ANSI C 99 da yozilgan. Uni yuklab olishingiz mumkin. Men ICC+Windows va GCC+Ubuntu da sinab ko'rdim.
Dastur sahna tavsifi bilan matnli faylni kiritish sifatida qabul qiladi.
Sahna = ( ob'ektlar = -- sahnadagi ob'ektlar ro'yxati ( guruh -- ob'ektlar guruhi tayinlangan affin konvertatsiyaga ega bo'lishi mumkin ( o'q1, eksa2, eksa 3, eksa 4 ) ), chiroqlar = -- chiroqlar ro'yxati ( yorug'lik((0,2,) 0.1, 0.4, 0.7), 1), yorugʻlik((7, 8, 9, 10), 1), ) ) eksenelr = 0.1 -- silindr radiusi oʻqi1 = silindr ( (-2, 0, 0, 0), ( 2, 0, 0, 0), eksa silindr, material = (rang = (1, 0, 0))) eksa2 = silindr ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), axiscylr, material = (rang = (0, 1, 0)) ) axiscyl3 = silindr ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), eksa silindr, material = (rang = (0) , 0, 1)) ) eksa 4 = silindr ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), eksa silindr, material = (rang = (1, 1, 0)) )
Shundan so'ng, u ushbu tavsifni tahlil qiladi va uning ichki tasvirida sahna yaratadi. Fazoning o'lchamiga qarab, u sahnani ko'rsatadi va misollarda yuqoridagi kabi to'rt o'lchovli tasvirni yoki oddiy uch o'lchamli tasvirni oladi. 4D ray tracerni 3D ray tracerga aylantirish uchun vec_dim parametrini vector.h faylida 4 dan 3 ga o‘zgartirish kerak.Shuningdek, uni kompilyator uchun buyruq qatori parametrlarida ham o‘rnatishingiz mumkin. GCC ga kompilyatsiya qilish:
CD / uy / foydalanuvchi nomi/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt
Test sinovi:
/uy/ foydalanuvchi nomi/rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp
Agar siz raytracerni vec_dim = 3 bilan kompilyatsiya qilsangiz, u cube3d.scene sahnasi uchun oddiy kub hosil qiladi.
Video qanday yaratilgan
Buning uchun men Lua skriptini yozdim, u har bir kadr uchun aylanish matritsasini hisoblab chiqdi va uni mos yozuvlar sahnasiga qo'shdim.
O'qlar = ( (0,933, 0,358, 0, 0), -- o'q 1 (-0,358, 0,933, 0, 0), -- o'q 2 (0, 0, 0,933, 0,358), -- o'q 3 (0, 0) , -0,358, 0,933) -- o'q 4 ) sahna = (ob'ektlar = ( guruh ( o'qlar = o'qlar, o'q1, eksa 2, o'q3, eksa 4 ) ), )
Guruh ob'ekti ob'ektlar ro'yxatiga qo'shimcha ravishda ikkita affin transformatsiya parametrlariga ega: o'qlar va kelib chiqish. O'qlarni o'zgartirish orqali siz guruhdagi barcha ob'ektlarni aylantirishingiz mumkin.
Keyin skript kompilyatsiya qilingan raytracerni chaqirdi. Barcha freymlar tasvirlanganda, skript menkoder deb nomlandi va u alohida rasmlardan video to'pladi. Video shunday qilinganki, uni avtomatik takrorlashga qo'yish mumkin edi - ya'ni. Videoning oxiri boshi bilan bir xil. Skript quyidagicha ishlaydi:
Luajit animate.lua
Va nihoyat, ushbu arxivda 1000 × 1000 o'lchamdagi 4 ta avi fayl mavjud. Ularning barchasi tsiklik - siz uni avtomatik takrorlashga qo'yishingiz mumkin va siz oddiy animatsiyaga ega bo'lasiz.
Teglar:
- nur izlovchi
- to'rt o'lchovli fazo
Birinchi kurs talabasi bo‘lganimda ham kursdoshlarimdan biri bilan qattiq janjallashib qoldim. U to'rt o'lchovli kubni hech qanday shaklda tasvirlab bo'lmasligini aytdi va men uni juda aniq tasvirlash mumkinligiga ishontirdim. Keyin men hatto qog'oz qisqichlardan uch o'lchamli makonimizga giperkubning proektsiyasini ham qildim ... Ammo keling, hamma narsa haqida tartibda gaplashaylik.
Giperkub va to'rt o'lchovli fazo nima
Bizning odatiy makonimizda uchta o'lchov mavjud. Geometrik nuqtai nazardan, bu unda uchta o'zaro perpendikulyar chiziqni ko'rsatish mumkinligini anglatadi. Ya'ni, har qanday chiziq uchun siz birinchisiga perpendikulyar bo'lgan ikkinchi chiziqni topishingiz mumkin va juftlik uchun birinchi ikkita perpendikulyar uchinchi chiziqni topishingiz mumkin. Mavjud uchta chiziqqa perpendikulyar bo'lgan to'rtinchi to'g'ri chiziqni endi topish mumkin bo'lmaydi.
4D maydoni biznikidan faqat yana bir qo'shimcha yo'nalishi borligi bilan farq qiladi. Agar sizda allaqachon uchta o'zaro perpendikulyar chiziq bo'lsa, to'rtinchisini topishingiz mumkin, shunda u uchtasiga perpendikulyar bo'ladi.
giperkub bu faqat to'rt o'lchovli kub.
To'rt o'lchovli fazo va giperkubni tasavvur qilish mumkinmi?
Bu savolga o'xshaydi: "Leonardo da Vinchi (1452-1519)ning xuddi shu nomdagi (1495-1498) rasmiga qarab, oxirgi kechki ovqatni tasavvur qilish mumkinmi?"
Bir tomondan, albatta, siz Iso nimani ko'rganini tasavvur qila olmaysiz (u tomoshabinga qarab o'tiradi), ayniqsa siz derazadan tashqaridagi bog'ning hidini va dasturxondagi taomning ta'mini sezmaysiz, qushlarning ovozini eshitmaysiz. qo'shiq aytish ... Siz o'sha oqshom sodir bo'lgan voqealar haqida to'liq tasavvurga ega bo'lmaysiz, lekin siz yangi hech narsa o'rganmaysiz va rasm qiziq emas deb aytish mumkin emas.
Vaziyat giperkub haqidagi savolga o'xshaydi. Buni to'liq tasavvur qilishning iloji yo'q, lekin nima ekanligini tushunishga yaqinlashishingiz mumkin.
Giperkubni qurish
0 o'lchamli kub
Keling, boshidan boshlaylik - 0 o'lchamli kub bilan. Bu kub 0 ta o'zaro perpendikulyar yuzlarni o'z ichiga oladi, ya'ni bu shunchaki nuqta.
1 o'lchovli kub
Bir o'lchovli fazoda biz faqat bitta yo'nalishga egamiz. Biz nuqtani shu yo'nalishda siljitamiz va segmentni olamiz.
Bu bir o'lchamli kub.
2 o'lchamli kub
Bizda ikkinchi o'lcham bor, biz bir o'lchovli kubimizni (segmentni) ikkinchi o'lchov yo'nalishi bo'yicha siljitamiz va kvadrat olamiz.
Bu ikki o'lchamli kub.
3 o'lchamli kub
Uchinchi o'lchamning paydo bo'lishi bilan biz ham xuddi shunday qilamiz: kvadratni siljitamiz va odatdagi uch o'lchamli kubni olamiz.
4 o'lchovli kub (giperkub)
Endi bizda to'rtinchi o'lchov bor. Ya'ni, bizning ixtiyorimizda oldingi uchtasiga perpendikulyar yo'nalish mavjud. Keling, xuddi shu tarzda foydalanaylik. 4D kubi shunday ko'rinadi.
Tabiiyki, uch o'lchamli va to'rt o'lchamli kublarni ikki o'lchovli ekran tekisligida tasvirlab bo'lmaydi. Men chizgan narsalar prognozlardir. Prognozlar haqida biroz keyinroq gaplashamiz, ammo hozircha bir nechta yalang'och faktlar va raqamlar.
Cho'qqilar, qirralar, yuzlar soni
E'tibor bering, giperkubning yuzi bizning oddiy 3D kubimizdir. Agar siz giperkubning chizilgan rasmiga diqqat bilan qarasangiz, aslida sakkizta kubni topishingiz mumkin.
To'rt o'lchovli fazoda yashovchining proektsiyalari va ko'rinishi
Ko'rish haqida bir necha so'z
Biz uch o'lchovli dunyoda yashayapmiz, lekin biz uni ikki o'lchovli deb bilamiz. Bu bizning ko'zimizning to'r pardasi faqat ikki o'lchamga ega bo'lgan tekislikda joylashganligi bilan bog'liq. Shuning uchun biz ikki o'lchovli rasmlarni idrok eta olamiz va ularni haqiqatga o'xshash topamiz.
(Albatta, turar joy tufayli ko'z ob'ektgacha bo'lgan masofani taxmin qilishi mumkin, ammo bu allaqachon ko'zimizga o'rnatilgan optika bilan bog'liq yon ta'sirdir.)
To'rt o'lchovli fazoda yashovchining ko'zlari uch o'lchamli retinaga ega bo'lishi kerak. Bunday jonzot darhol uch o'lchamli shaklni to'liq ko'rishi mumkin: uning barcha yuzlari va ichki qismlari. (Xuddi shunday, biz ikki o'lchamli figurani, uning barcha yuzlari va ichki qismlarini ko'rishimiz mumkin.)
Shunday qilib, ko'rish a'zolarimiz yordamida biz to'rt o'lchovli kubni to'rt o'lchovli fazoda yashovchi uni idrok qilganidek idrok eta olmaymiz. Afsuski. Yaxshiyamki, jismoniy cheklovlarga ega bo'lmagan aqlning ko'ziga va fantaziyasiga tayanishgina qoladi.
Biroq, tekislikda giperkubni tasvirlashda men uni ikki o'lchovli fazoga proyeksiya qilishim kerak. Chizmalarni o'rganishda buni yodda tuting.
Chet kesishmalar
Tabiiyki, giperkubning qirralari kesishmaydi. Kesishmalar faqat raqamlarda ko'rinadi. Biroq, bu ajablanarli emas, chunki raqamlardagi oddiy kubning qirralari ham kesishadi.
Qovurgi uzunligi
Shuni ta'kidlash kerakki, to'rt o'lchamli kubning barcha yuzlari va qirralari tengdir. Rasmda ular faqat ko'rish yo'nalishi bo'yicha turli burchaklarda joylashganligi uchun teng emas. Biroq, barcha proyeksiyalar bir xil uzunlikka ega bo'lishi uchun giperkubni ochish mumkin.
Aytgancha, bu rasmda giperkubning yuzlari bo'lgan sakkiz kub aniq ko'rinadi.
Giperkub ichi bo'sh
Bunga ishonish qiyin, lekin giperkubni bog‘lab turgan kublar orasida qandaydir bo‘sh joy (to‘rt o‘lchamli fazoning bo‘lagi) bor.
Buni yaxshiroq tushunish uchun keling, oddiy 3D kubning 2D proyeksiyasini ko'rib chiqaylik (men uni ataylab eskiz qildim).
Undan kub ichida biroz bo'sh joy borligini taxmin qilish mumkinmi? Ha, lekin faqat tasavvur bilan. Ko'z bu bo'shliqni ko'rmaydi.
Buning sababi shundaki, uchinchi o'lchamda joylashgan qirralar (tekis chizmada tasvirlab bo'lmaydi) endi chizma tekisligida yotgan segmentlarga aylandi. Ular endi hajmni ta'minlamaydi.
Kubning bo'sh joyini bog'lagan kvadratchalar bir-birining ustiga chiqdi. Ammo tasavvur qilish mumkinki, asl rasmda (uch o'lchamli kub) bu kvadratlar rasmda ko'rinib turganidek, bir tekislikda bir-birining ustiga emas, balki turli tekisliklarda joylashgan.
Xuddi shu narsa giperkub uchun ham amal qiladi. Giperkubning kub yuzlari proyeksiyada bizga ko'rinib turganidek, bir-biriga to'g'ri kelmaydi, lekin to'rt o'lchovli fazoda joylashgan.
Reymerlar
Shunday qilib, to'rt o'lchovli fazoning rezidenti uch o'lchamli ob'ektni bir vaqtning o'zida har tomondan ko'rishi mumkin. Biz bir vaqtning o'zida har tomondan uch o'lchamli kubni ko'ra olamizmi? Ko'z bilan, yo'q. Ammo odamlar bir vaqtning o'zida uch o'lchamli kubning barcha yuzlarini tekis chizmada tasvirlash usulini o'ylab topishdi. Bunday tasvirga supurish deyiladi.
3D kubni ochish
Uch o'lchamli kubning ochilishi qanday shakllanishini hamma biladi. Ushbu jarayon animatsiyada ko'rsatilgan.
Aniqlik uchun kub yuzlarining qirralari shaffof bo'ladi.
Shuni ta'kidlash kerakki, biz bu ikki o'lchovli rasmni faqat tasavvur tufayli idrok eta olamiz. Agar biz ochilish bosqichlarini faqat ikki o'lchovli nuqtai nazardan ko'rib chiqsak, unda jarayon g'alati tuyuladi va umuman vizual emas.
Bu buzuq kvadratlarning konturlarining asta-sekin paydo bo'lishiga o'xshaydi, keyin esa kerakli shaklni bir vaqtning o'zida qabul qilish bilan ularning joyiga tarqaladi.
Agar siz ochiladigan kubni uning yuzlaridan birining yo'nalishi bo'yicha qarasangiz (shu nuqtai nazardan, kub kvadratga o'xshaydi), unda rivojlanishning shakllanish jarayoni unchalik aniq emas. Har bir narsa boshlang'ich kvadratdan (ochilmagan kub emas) kvadratchalardan sudralib chiqayotganga o'xshaydi.
Lekin vizual emas uchun faqat tozalash ko'z.
4 o'lchovli fazoni qanday tushunish mumkin?
Faqat tasavvur tufayli, undan ko'p ma'lumotlarni olish mumkin.
4D kubni ochish
Giperkubning jonlantirilgan jarayonini hech bo'lmaganda biroz vizual qilish mumkin emas. Ammo bu jarayonni tasavvur qilish mumkin. (Buni amalga oshirish uchun siz unga to'rt o'lchovli mavjudotning ko'zi bilan qarashingiz kerak.)
Tarqatish quyidagicha ko'rinadi.
Giperkubni chegaralovchi sakkiz kubning hammasi shu erda ko'rinadi.
Yuzlar bir xil ranglar bilan bo'yalgan, ular katlanayotganda hizalanishi kerak. Juftlanganlar ko'rinmaydigan yuzlar kul rangda qoldiriladi. Katlangandan so'ng, yuqori kubning eng yuqori yuzi pastki kubning pastki yuziga to'g'ri kelishi kerak. (Shunga o'xshab, uch o'lchamli kubning rivojlanishi buziladi.)
E'tibor bering, katlamadan keyin sakkiz kubning barcha yuzlari tegib, giperkubni yopadi. Va nihoyat, katlama jarayonini tasavvur qilayotganda, katlama paytida kublar bir-birining ustiga qo'yilmasligini, balki ma'lum (giperkubik) to'rt o'lchamli maydonga o'ralganligini unutmang.
Salvador Dali (1904-1989) xochga mixlanishni ko'p marta tasvirlagan va uning ko'plab rasmlarida xochlar uchraydi. "Xochga mixlanish" (1954) kartinasi giperkubni tozalashdan foydalanadi.
Fazoviy vaqt va Evklid to'rt o'lchovli fazo
Umid qilamanki, siz giperkubni tasavvur qila oldingiz. Ammo biz yashayotgan to'rt o'lchovli fazo-vaqt qanday ishlashini tushunishga yaqinlasha oldingizmi? Afsuski, aslida emas.
Bu erda biz Evklidning to'rt o'lchovli fazosi haqida gapirdik, ammo fazo-vaqt juda boshqacha xususiyatlarga ega. Xususan, har qanday aylanishda segmentlar har doim 45 darajadan kam burchak ostida yoki 45 darajadan kattaroq burchak ostida vaqt o'qiga moyil bo'lib qoladi.
Men fazo-vaqt xususiyatlariga bir qator eslatmalarni bag'ishladim.
3D tasvir
Dunyo uch o'lchovli. Uning tasviri ikki o'lchovli. Rasm va hozirda fotografiyaning muhim vazifasi kosmosning uch o'lchovliligini etkazishdir. Rimliklar allaqachon ba'zi texnikalarni o'zlashtirgan, keyin ular unutilgan va Uyg'onish davri bilan klassik rasmga qaytishni boshlagan.
Rassomlikda uch o'lchamli makonni yaratishning asosiy usuli - bu istiqbol. Tomoshabindan uzoqlashadigan temir yo'l relslari vizual ravishda tor. Rasmda relslar jismonan torayishi mumkin. Fotosuratda istiqbol avtomatik ravishda paydo bo'ladi: kamera relslarni ko'z ko'rganidek tor qiladi. Biroq, uni deyarli yopishiga yo'l qo'ymang: u endi istiqbolga o'xshamaydi, balki g'alati figuraga o'xshaydi; relslar, ko'chaning yon tomonlari, daryo qirg'oqlari o'rtasida sezilarli bo'shliqni saqlash kerak.
Chiziqli istiqbol dunyoni etkazishning eng ibtidoiy, real usuli ekanligini tushunish muhimdir.
Post navigatsiyasi
Uning tashqi ko'rinishi teatr sahnasi bilan bog'liqligi bejiz emas (Florenskiy, Teskari istiqbol). An'anaviylik, kichik chuqurlikdagi teatr sahnasini o'tkazish qulayligi rasmda mavjud bo'lgan turli xil texnikalardan mahrum bo'lgan suratga olish uchun juda mos keladi.
Chiziqli nuqtai nazardan ko'ra qiziqarliroq istiqbollar mavjud. Xitoylik ustalarning asarlarida ob'ektlar bir vaqtning o'zida pastdan, yuqoridan va old tomondan tasvirlangan suzuvchi istiqbol mavjud. Bu qobiliyatsiz rassomlarning texnik xatosi emas edi: ushbu texnikaning afsonaviy muallifi Guo Xi, bunday namoyish dunyoni butunligida anglash imkonini beradi, deb yozgan. Rus ikonkalarini chizish texnikasi shunga o'xshash bo'lib, unda tomoshabin bir vaqtning o'zida qahramonning yuzini va orqa qismini ko'rishi mumkin. G'arbiy Evropa rassomlari orasida ham mavjud bo'lgan piktogrammaning qiziqarli usuli bu teskari nuqtai nazar edi, bunda uzoqdagi ob'ektlar, aksincha, yaqin ob'ektlardan kattaroq bo'lib, ularning ahamiyatini ta'kidlaydi. Faqat bizning kunlarda bunday nuqtai nazarning to'g'ri ekanligi aniqlandi: uzoqdagi ob'ektlardan farqli o'laroq, oldingi plan haqiqatan ham teskari nuqtai nazardan qabul qilinadi (Rauschenbach). Photoshop-dan foydalanib, siz fon ob'ektlarini kattalashtirish orqali teskari istiqbolga erishishingiz mumkin. Fotosurat qonunlariga o'rganib qolgan tomoshabin uchun bunday tasvir g'alati ko'rinadi.
Devorlari har ikki yo'nalishda ajralib turadigan ramkaga binoning burchagini kiritish izometrik istiqbol ko'rinishini yaratadi. Miya devorlarning to'g'ri burchak ostida ekanligini tushunadi va shunga mos ravishda tasvirning qolgan qismini joylashtiradi. Bunday nuqtai nazar frontaldan ko'ra ko'proq dinamik va oldingi uchun tabiiyroqdir. Ob'ektlar va yaqin joylashgan binolarning oxirgi burchaklarini ramkaga kiriting.
Kengayish tufayli izometrik istiqbol asosiy hisoblanadi, bu klassik portret uchun kamdan-kam hollarda mos keladi. Torayganligi sababli chiziqli istiqbol kichik his-tuyg'ularni yaxshiroq etkazadi.
Rasmga tushirish bosqichida fotosuratchiga istiqbolni ta'kidlash uchun bir qator vositalar mavjud. Masofaga kiradigan teng kenglikdagi ob'ektlar (yo'l, ko'cha, ustunlar, jo'yaklar) torayishi va hatto oddiygina uzoqlashishi bilan tomoshabinga makonning uch o'lchovliligini ko'rsatadi. Perspektivning buzilishini kuchaytirish uchun past burchakdan otish paytida effekt kuchliroq bo'ladi. Bu landshaftni suratga olish uchun etarli, ammo ichki suratga olishning kichik tasvir chuqurligi bilan ta'sir deyarli sezilmaydi. Tasvirning yuqori qismini toraytirib (Transform Perspective) keyingi ishlov berishda uni biroz yaxshilash mumkin. Biroq, hatto landshaftda ham, gipertrofiyalangan istiqbol qiziqarli ko'rinishi mumkin.
Chuqurlik tasvirning ma'nosida aniq bo'lishi mumkin: binolar ko'cha yoki daryo bilan ajralib turadi. Diagonal uch o'lchamlilikni ta'kidlaydi; daryo ustidagi ko'prik kabi.
Orqa fonda tomoshabinga ma'lum bo'lgan o'lchamdagi ob'ektlar masshtabni o'rnatadi va shunga mos ravishda istiqbolni tashkil qiladi. Landshaft fotografiyasida bunday ob'ekt avtomobil bo'lishi mumkin, ammo portret fotosuratida oyog'ingizni stul ostiga (kameradan uzoqroqda) egib, egib ko'ring, shunda u ko'rinadigan bo'lsa-da, kichikroq ko'rinadi. Siz hatto keyingi ishlov berishda bu oyog'ingizni biroz qisqartirishingiz mumkin.
Ornament elementlarni vizual ravishda qisqartirish orqali istiqbolni etkazadi. Bunga misol qilib, yo'lda chiziqlarni belgilovchi poldagi katta plitkalar bo'lishi mumkin.
Gipertrofiyalangan old fonning texnikasi mavjud. Nomutanosib ravishda katta, u tasvir chuqurligini yaratadi. Oldingi va modelning masshtabini taqqoslab, ko'z model ko'rinadiganidan ancha uzoqroq degan xulosaga keladi. Tasvir xato sifatida qabul qilinmasligi uchun gipertrofiya nozik bo'lib qolishi kerak. Ushbu uslub nafaqat keyingi ishlov berish uchun, balki tortishish uchun ham mos keladi: 35 yoki 50 mm linzalar bilan tortishish paytida nisbatlarni buzing. Keng burchakli ob'ektiv bilan suratga olish bo'shliqni cho'zadi, nisbatlarning buzilishi tufayli uning uch o'lchamliligini oshiradi. Agar siz modelni yaqin masofadan o'qqa tutsangiz, ta'sir kuchliroq bo'ladi, lekin grotesk nisbatlardan ehtiyot bo'ling: faqat diniy tasvirlar mualliflari binodan kattaroq odamni tasvirlashlari mumkin.
Krossover ajoyib ishlaydi. Agar olma nokni qisman qoplagan bo'lsa, unda miya xato qilmaydi: olma nokning oldida. Mebelni qisman qoplaydigan model, shunday qilib, interyerning chuqurligini yaratadi.
Yorug'lik va qorong'u nuqtalarning almashinishi ham tasvirga chuqurlik beradi. Miya yaqin atrofdagi ob'ektlar taxminan bir xil yoritilganligini tajribadan biladi, shuning uchun u har xil yoritilgan narsalarni turli masofalarda joylashgan deb talqin qiladi. Ushbu effekt uchun dog'lar istiqbol o'qi yo'nalishi bo'yicha almashadi - tasvirning bo'ylab emas, balki chuqurroqda. Misol uchun, qorong'i ramkada kameradan uzoqda yotgan modelni suratga olayotganda, yorug'likning yorqin joylarini dumba va oyoqlar yaqiniga qo'ying. Qayta ishlashdan keyingi hududlarni yoritish/qoraytirish mumkin.
Borgan sari qorong'i ob'ektlar ketma-ketligi kamayib borayotgani seziladi. Ob'ektlarni faol chiziq bo'ylab asta-sekin soya qilib, siz nozik nuqtai nazarga ega bo'lishingiz mumkin. Xuddi shunday, chuqurlik yorug'likni susaytirish orqali uzatiladi: mebel yoki polda yorug'lik chizig'ini o'tkazing.
Uch o'lchamli tasvirni nafaqat yorug'lik, balki rang kontrasti tufayli ham olish mumkin. Ushbu uslub flamand rassomlariga ma'lum bo'lib, ular o'zlarining natyurmortlariga yorqin rangli dog'larni joylashtirdilar. Qizil anor va sariq limon yonma-yon, hatto tekis frontal yoritishda ham uch o'lchamli ko'rinadi. Ular binafsha uzumning fonida ayniqsa yaxshi ajralib turadi: sovuq fonda issiq rang. Yorqin rangli yuzalar natyurmortga xos zaif yorug'lik bilan ham zulmatdan yaxshi chiqib ketadi. Rang kontrasti asosiy ranglardan ko'ra qizil, sariq, ko'k ranglar bilan yaxshiroq ishlaydi.
Qora fonda sariq oldinga, ko'k orqaga yashirinadi. Oq fonda - aksincha. Rangning to'yinganligi bu ta'sirni kuchaytiradi. Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? Sariq rang hech qachon qorong'i emas, shuning uchun miya sariq ob'ektni yorug'lik bilan emas, balki qorong'i fonga botirish mumkinligiga ishonishdan bosh tortadi. Boshqa tomondan, ko'k qorong'i.
Post-qayta ishlashda istiqbolni yaxshilash atmosferani idrok etishni taqlid qilish bilan bog'liq: uzoqdagi ob'ektlar bizga engilroq, loyqa, yorqinligi, to'yinganligi va ohangida kontrastning pasayishi bilan ko'rinadi.
Uzoq masofalarga qo'shimcha ravishda, atmosfera effektlari tabiiy ravishda ertalab tuman, tuman, tutunli barda ko'rinadi. Ob-havoni ko'rib chiqing: bulutli kunda yoki qorong'uda, oldingi va fon o'rtasida sezilarli farq bo'lishi mumkin emas.
Faktorlarning eng kuchlisi yorqinlikdagi kontrastdir. Sozlamalarda bu odatiy kontrast. Uzoq ob'ektlarning kontrastini kamaytiring, oldingi planning kontrastini oshiring - va tasvir bo'rtib chiqadi. Bu oldingi va fon o'rtasidagi kontrast haqida emas, balki oldingi fonning kontrastidan pastroq bo'lishi kerak bo'lgan fonning kontrasti haqida. Bu usul nafaqat landshaftlar va janrli fotografiya uchun, balki studiya portretlari uchun ham mos keladi: yuzning old qismidagi kontrastni ko'taring, sochlar va yonoq suyaklari, kiyimdagi kontrastni kamaytiring. Portret filtrlari shunga o'xshash ishlarni bajaradi, ob'ektning terisini xiralashtiradi va ko'zlari va lablarini o'tkir qiladi.
Kontrastni sozlash tasvirni 3D qayta ishlashning eng oson usuli hisoblanadi. Boshqa jarayonlardan farqli o'laroq, tomoshabin o'zgarishlarni deyarli sezmaydi, bu esa maksimal tabiiylikni saqlaydi.
Loyqalanish kontrastni kamaytirishga o'xshaydi, lekin ular turli jarayonlardir. Rasm aniqligicha qolganda past kontrastli bo'lishi mumkin. Maydon chuqurligi cheklanganligi sababli, uzoqdagi ob'ektlarni xiralashtirish fotografiyada uch o'lchovlilikni etkazishning eng mashhur usuli bo'lib qolmoqda va uni keyingi ishlov berishda fonni xiralashtirish orqali yaxshilash oson. Shuning uchun, fonda kamroq tafsilotlarni joylashtirish kerak - miya uzoqdan ajralib turadigan narsalarni kutmaydi. Shu bilan birga, kontrastni pasaytirish tabiiy idrokga ko'proq mos keladi: uzoqdagi tog'lar past kontrast bilan ko'rinadi, loyqa emas, chunki landshaftni skanerlashda ko'z doimo diqqatni o'zgartiradi, bu maydon chuqurligi muammosiga begona. Fonni xiralashtirish orqali siz bir vaqtning o'zida oldingi fonni aniqlashtirishingiz mumkin. Bundan tashqari, oldingi planda siz tasvirning chiziqlarini oshirishingiz mumkin (High Pass Filter yoki Clarity). Bu yuqori sifatli linzalar tasvirining xarakterli bo'rtib chiqishini tushuntiruvchi oldingi fonning yuqori aniqligi. E'tibor bering: uch o'lchamlilikni biroz oshirish uchun siz tasvirni juda qattiq qilishingiz mumkin.
Yengilroq narsalar uzoqroq ko'rinadi. Buning sababi shundaki, tabiatda biz yorug'lik tarqaladigan havoning qalinligi orqali uzoqdagi narsalarni ko'ramiz; uzoqdagi tog'lar yorqin ko'rinadi. Shuning uchun landshaft fotografiyasida yorug'lik ob'ektlarining oldingi holatiga ehtiyot bo'lish kerak.
Uzoqdagi narsalarni yoritib turing. Qanchalik uzoqroq bo'lsa, ular osmonning yorqinligi va ohangi bilan birlashadi. E'tibor bering, gorizontal ob'ektlar (quruqlik, dengiz) vertikal ob'ektlarga (devorlar, daraxtlar) qaraganda yaxshiroq yoritilgan, shuning uchun ikkinchisini yoritish bilan uni haddan tashqari oshirmang. Qanday bo'lmasin, ob'ektlar osmondan sezilarli darajada kamroq yorqin bo'lib qolishi kerak.
Xo'sh, agar siz yorug'lik fon yorqinligidagi kontrastni kamaytirishning yana bir usuli ekanligini sezsangiz. Bo'rtiq effektini kuchaytirish uchun oldingi fonni biroz qoraytiring.
Ichki makonda buning aksi ko'rinadi. Agar ko'chada ko'z masofa yorug' bo'lishiga odatlangan bo'lsa, unda xonada yorug'lik ko'pincha odamga qaratiladi va ichki makon zulmatga botiriladi; miya fonda emas, balki oldingi fonda yoritishga o'rganib qolgan.
Sayoz sahna chuqurligi bo'lgan ichki tasvirlarda, landshaft tasvirlaridan farqli o'laroq, yoritilgan model qorong'i fondan chiqib turadi. Ammo qarama-qarshi omil ham bor: evolyutsiyasining 99 foizida odam ochiq maydonda istiqbolni kuzatgan va xonalar paydo bo'lishi bilan miya hali qayta tashkil etishga ulgurmagan. Vermeer portretlar uchun engil fonni afzal ko'rdi va ular haqiqatan ham qavariq. Fotosuratda tavsiya etilgan vertikal fonning yoritilishi nafaqat modelni undan ajratibgina qolmay, balki fonni yoritish orqali tasvirga bir oz uch oʻlchamlilikni ham beradi. Bu erda biz miyaning ob'ektlarning joylashishini bir necha omillarga ko'ra tahlil qilishiga duch kelamiz va ular ziddiyatli bo'lishi mumkin.
Studiya yoritgichi qiziqarli ko'rinadi, unda yorug'lik dog'lari modelning kameradan uzoqda joylashgan joylarida yotadi. Masalan, kameradan uzoqroqda joylashgan ko'krak qafasi ta'kidlangan.
Uzoq ob'ektlarda ranglarning to'yinganligini pasaytiring: bizni ajratib turadigan havo qalinligi tufayli uzoq tog'lar deyarli monoxrom darajasiga to'yingan va ko'k tuman bilan qoplangan. Old fonning to'yinganligini oshirish mumkin.
Sariq rang ochiq, ko'k va qizil esa qorong'i bo'lgani uchun rang kontrasti ham yorqinlik kontrasti hisoblanadi.
Uzoq fonni to'yingan holda, uning ko'zdan g'oyib bo'lishiga yo'l qo'ymang. Ko'pincha, aksincha, uni tashqariga chiqarish uchun fonning to'yinganligini oshirish kerak. Bu uch o'lchovlilikdan ko'ra muhimroqdir.
3D suratga olish bo'yicha ko'plab maslahatlar harorat kontrasti haqida. Aslida, bu ta'sir juda zaif, yorqinlikdagi kontrast bilan osongina uziladi. Bundan tashqari, harorat kontrasti zerikarli, hayratlanarli.
Juda uzoq ob'ektlar sovuqroq ko'rinadi, chunki issiq to'q sariq nur havo tomonidan so'riladi. Plyajdagi modelni fonda ufqda kemalar bilan suratga olayotganda, keyingi ishlov berishda uzoq dengiz va kemalarning rang haroratini pasaytiring. Moviy dengizdan qizil mayo kiygan model, ko'k rangli alacakaranlıktadan ko'cha chiroqining sariq nurida model paydo bo'ladi.
Bu alohida tonlama: biz modelni issiqroq, fonni sovuqroq qilamiz. Miya bir tekislikda turli xil rang harorati yo'qligini tushunadi va bunday tasvirni uch o'lchovli sifatida qabul qiladi, unda model fondan chiqib ketadi. Alohida tonlama landshaftlarga chuqurlik qo'shadi: oldingi fonni issiqroq, fonni sovuqroq qiling.
Tonlamani ajratish uchun muhim istisno: quyosh chiqishi va quyosh botishida uzoq fon umuman sovuq emas, balki issiq, sariq va qizil-to'q sariq ranglar bilan. Aniq yechim - binafsha rangli suzish kostyumida oq modeldan foydalanish - ishlamaydi, chunki quyosh botishi nuri modelning tanasiga ham iliq rang beradi.
Xulosa qilib aytadigan bo'lsak, atmosfera effektlari asosida fotosuratga uch o'lchovlilik berish uchun old va fonni kontrast qilish kerak. Asosiy qarama-qarshilik odatiy kontrastdir: oldingi fon kontrastli, fon past kontrastli. Ikkinchi qarama-qarshilik aniqlikda: oldingi fon aniq, fon loyqa. Uchinchi qarama-qarshilik engillikka ko'ra: oldingi fon qorong'i, fon yorug'lik. To'rtinchi qarama-qarshilik to'yinganlik bo'yicha: oldingi fon ranglari to'yingan, fon ranglari to'yingan. Beshinchi qarama-qarshilik haroratda: oldingi fon issiq, fon sovuq.
Bu omillar ko'pincha ko'p qirrali. Sariq ko'kdan yorqinroq va yorug'lik ob'ektlari qorong'udan ko'ra uzoqroq ko'rinadi. Sariqning chekinishini va ko'kning tomoshabinga yaqinlashishini kutish tabiiydir. Aslida, buning aksi: sovuq fondan issiq rang paydo bo'ladi. Ya'ni, rang yorqinlikdan ko'ra kuchliroq omil bo'lib chiqadi. Bu, o'ylagancha, ajablanarli emas: sariq va qizil ranglar faqat yaqin masofada aniq ajralib turadi va tomoshabin ularni uzoq masofada kutib olishni kutmaydi.
Xulosa: fonni past kontrastli, yuvilgan, engil, to'yinmagan, mavimsi tuting. Gipertrofiyalangan 3D filmlarga o'rganib qolgan tomoshabin siz yaratgan uch o'lchamlilikni deyarli sezilmaydigan yoki yo'qligini topishiga tayyor bo'ling.
Portretda, isbotlangan chiaroscuro effektiga, ob'ektning yuzidagi yorug'lik va soyaning o'ynashiga tayangan ma'qul, bu tasvirni sezilarli darajada yorqin qiladi. Janr fotografiyasida istiqbol eng sezilarli uch o'lchovli effekt beradi. Natyurmortda asosiy omil ob'ektlarning kesishishi (qoplamasi) bo'ladi.
Istiqbolga berilib ketmang; Bu sizning tasviringiz titraydigan frontal tekislik uchun faqat fon. Zamonaviy rangtasvirda realizmdan uzoqda, istiqbolga katta e'tibor berilmaydi.
Butun kitobni yuklab oling: pdfepubazw3mobifb2lit Mundarija
|
|||||||||||||||||||||
|
1904 yilda Anri Puankare uch o'lchovli sharning ma'lum xususiyatlariga ega bo'lgan har qanday uch o'lchamli ob'ektni 3-sferaga aylantirish mumkinligini taklif qildi. Bu farazni isbotlash uchun 99 yil kerak bo'ldi. (Diqqat! Uch oʻlchamli shar siz oʻylagandek emas.) Rus matematigi Grigoriy Perelman bundan yuz yil avval tuzilgan Puankare taxminini isbotlab, uch oʻlchamli fazolar shakllari katalogini yaratishni yakunladi.
Puankare 3-sferaning yagona ekanligini va boshqa hech qanday ixcham 3-manifoldning (ixcham bo'lmagan kollektorlar cheksiz yoki qirralari bor. Keyinchalik, faqat ixcham kollektorlar hisobga olinadi) uni soddalashtiradigan xususiyatlarga ega ekanligini taklif qildi. Murakkab 3-manifoldlar chegaralari g'isht devoriga o'xshab turadi yoki ba'zi hududlar o'rtasida bir nechta ulanishlar mavjud, masalan, vilkalar va qayta bog'langan o'rmon yo'li. 3-sferaning xususiyatlariga ega bo'lgan har qanday uch o'lchovli ob'ekt 3-sferaning o'ziga aylantirilishi mumkin, shuning uchun topologlar uchun bu shunchaki uning nusxasi. Perelmanning isboti bizga uchinchi savolga javob berishga va barcha mavjud 3-manifoldlarni tasniflashga imkon beradi.
3-sferani tasavvur qilish uchun sizga etarlicha tasavvur kerak. Yaxshiyamki, u 2-sfera bilan juda ko'p umumiyliklarga ega, uning odatiy misoli dumaloq sharning kauchukidir: u ikki o'lchovli, chunki uning har qanday nuqtasi faqat ikkita koordinata - kenglik va uzunlik bilan berilgan. Agar biz uning etarlicha kichik qismini kuchli kattalashtiruvchi oyna ostida ko'rib chiqsak, u tekis varaqning bir qismiga o'xshaydi. Balonda sudralayotgan mayda hasharotga u tekis sirtdek ko'rinadi. Ammo agar booger to'g'ri chiziqda etarlicha uzoq harakat qilsa, u oxir-oqibat o'zining boshlang'ich nuqtasiga qaytadi. Xuddi shunday, biz koinotimiz o'lchamidagi 3 sferani "oddiy" uch o'lchovli makon sifatida qabul qilamiz. Har qanday yo'nalishda etarlicha uzoqqa uchib, biz oxir-oqibat uning ustida "dunyoni aylantiramiz" va boshlang'ich nuqtaga qaytamiz.
Siz taxmin qilganingizdek, n o'lchovli shar n-sfera deb ataladi. Masalan, 1-sfera hamma uchun tanish: bu shunchaki aylana.
Yuqori o'lchamli bo'shliqlar haqidagi teoremalarni isbotlovchi matematiklar o'rganish ob'ektini tasavvur qilishlari shart emas: ular mavhum xususiyatlar bilan shug'ullanadilar, ular kamroq o'lchamli analogiyalarga asoslangan sezgilar tomonidan boshqariladi (bunday o'xshashliklarga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lish kerak va so'zma-so'z qabul qilinmasligi kerak). Bundan tashqari, biz kichikroq o'lchamli ob'ektlarning xususiyatlariga asoslangan 3-sferani ko'rib chiqamiz.
1. Keling, aylana va uning chegaradosh doirasini ko'rib chiqishdan boshlaylik. Matematiklar uchun aylana ikki o'lchovli shar, aylana esa bir o'lchovli shardir. Bundan tashqari, har qanday o'lchamdagi to'p tarvuzga o'xshash to'ldirilgan ob'ektdir, shar esa uning yuzasi, ko'proq sharga o'xshaydi. Doira bir o'lchovli, chunki undagi nuqtaning o'rnini bitta raqam bilan aniqlash mumkin.
2. Ikki doiradan biz ikki o'lchovli sharni qurishimiz mumkin, ulardan birini Shimoliy yarim sharga, ikkinchisini esa janubga aylantiramiz. Ularni yopishtirish qoladi va 2-sfera tayyor.
3. Tasavvur qiling-a, chumoli Shimoliy qutbdan nol va 180-meridian (chapda) hosil qilgan katta doira ichida sudralib ketmoqda. Agar biz uning yo'lini ikkita asl doiraga (o'ngda) chizsak, biz hasharotning to'g'ri chiziq bo'ylab (1) shimoliy doiraning (a) chetiga o'tishini, so'ngra chegarani kesib o'tishini va chiziqdagi mos keladigan nuqtaga tegishini ko'ramiz. janubiy aylana boʻylab toʻgʻri chiziq boʻylab harakatlanishda davom etadi (2 va 3). Keyin chumoli yana chetiga (b) etib boradi, uni kesib o'tadi va yana shimoliy aylanada topilib, boshlang'ich nuqtaga - Shimoliy qutbga (4) yuguradi. E'tibor bering, 2-sferada dunyo bo'ylab sayohat paytida, bir doiradan ikkinchisiga o'tishda harakat yo'nalishi teskari bo'ladi.
4. Endi bizning 2-sfera va undagi hajmni (3D to'p) ko'rib chiqing va ular bilan aylana va aylana bilan xuddi shunday qiling: to'pning ikkita nusxasini oling va ularning chegaralarini bir-biriga yopishtiring. To'plarning to'rt o'lchamda qanday buzilganligini va yarim sharlarning analogiga aylanishini aniq ko'rsatish mumkin emas va kerak emas. Sirtlardagi mos keladigan nuqtalarni bilish kifoya, ya'ni. 2-sharalar xuddi aylanalardagi kabi o'zaro bog'langan. Ikki to'pni birlashtirish natijasi 3-sfera - to'rt o'lchovli to'pning yuzasi. (3-sfera va 4-to'p mavjud bo'lgan to'rt o'lchovda ob'ektning yuzasi uch o'lchovli bo'ladi.) Keling, bir sharni shimoliy yarim shar, ikkinchisini janubiy yarim shar deb ataylik. Doiralarga o'xshab, qutblar endi to'plarning markazlarida joylashgan.
5. Tasavvur qiling-a, ko'rib chiqilayotgan to'plar fazoning katta bo'sh joylari. Aytaylik, kosmonavt Shimoliy qutbdan raketada chiqib ketdi. Vaqt o'tishi bilan u ekvatorga (1) etib boradi, bu hozir shimoliy globusni o'rab turgan sfera. Uni kesib o'tib, raketa janubiy yarim sharga kiradi va uning markazi - Janubiy qutb orqali ekvatorning qarama-qarshi tomoniga (2 va 3) to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi. U erda shimoliy yarim sharga o'tish yana sodir bo'ladi va sayohatchi Shimoliy qutbga qaytadi, ya'ni. boshlang'ich nuqtasiga (4). Bu 4 o'lchovli to'p yuzasida dunyo bo'ylab sayohat qilish stsenariysi! Ko'rib chiqilgan uch o'lchovli sfera Puancare gipotezasida ko'rsatilgan bo'shliqdir. Ehtimol, bizning koinotimiz faqat 3-sferadir.
Mulohaza yuritishni besh o'lchovga kengaytirish va 4-sfera qurish mumkin, ammo buni tasavvur qilish juda qiyin. Ikkita n-to‘pni ularni o‘rab turgan (n-1)-sferalar bo‘ylab yopishtirsak, (n+1)- sharni chegaralovchi n-sfera hosil bo‘ladi.
Puankare gipotezasi asossizlanguncha yarim asr o'tdi. 60-yillarda. 20-asr matematiklar besh yoki undan ortiq o'lchamli sferalar uchun shunga o'xshash bayonotlarni isbotladilar. Har bir holatda, n-sfera haqiqatan ham yagona va eng oddiy n-manifolddir. Ajablanarlisi shundaki, ko'p o'lchovli sferalar uchun natijaga erishish 3 va 4 sferalarga qaraganda osonroq bo'ldi. To'rt o'lchovning isboti 1982 yilda paydo bo'lgan. Va faqat 3-sfera haqidagi dastlabki Puankare taxmini tasdiqlanmagan.
2002 yil noyabr oyida Matematika institutining Sankt-Peterburg bo'limining matematiki Grigoriy Perelman tomonidan hal qiluvchi qadam qo'yildi. Steklov www.arxiv.org saytiga maqola yubordi, unda butun dunyodan kelgan fiziklar va matematiklar o'zlarining ilmiy faoliyati natijalarini muhokama qilishadi. Topologlar rus olimining ishi va Puankare gipotezasi o'rtasidagi bog'liqlikni darhol aniqladilar, garchi muallif bu haqda to'g'ridan-to'g'ri eslatib o'tmagan bo'lsa ham.
Aslida, Perelmanning isboti, uning to'g'riligiga hali hech kim shubha qila olmagan, haqiqiy Puankar gipotezasiga qaraganda ancha kengroq savollarni hal qiladi. Kornel universitetidan Uilyam P. Tyurston tomonidan taklif qilingan geometriklashtirish protsedurasi 3-sferaga asoslangan 3-manifoldlarni to'liq tasniflash imkonini beradi, bu o'zining ajoyib soddaligi bilan noyobdir. Agar Puankar gipotezasi noto'g'ri bo'lsa, ya'ni. agar shardek oddiy bo'shliqlar ko'p bo'lsa, u holda 3-manifoldlarning tasnifi cheksiz murakkabroq narsaga aylanadi. Perelman va Tyurston tufayli bizda matematika tomonidan ruxsat etilgan uch o'lchovli fazoning barcha shakllarining to'liq katalogi bor, bizning koinotimiz olishi mumkin (agar biz faqat vaqtsiz makonni hisobga olsak).
Puankare gipotezasi va Perelmanning isbotini yaxshiroq tushunish uchun topologiyani yaqindan ko'rib chiqish kerak. Matematikaning bu bo'limida narsaning shakli muhim emas, go'yo u xamirdan yasalgan, uni har qanday usulda cho'zish, siqish va bukish mumkin. Nega biz xayoliy sinovdan narsalar yoki bo'shliqlar haqida o'ylashimiz kerak? Gap shundaki, ob'ektning aniq shakli - uning barcha nuqtalari orasidagi masofa - geometriya deb ataladigan struktura darajasini bildiradi. Ob'ektni sinovdan o'rganish orqali topologlar uning geometrik tuzilishga bog'liq bo'lmagan asosiy xususiyatlarini ochib beradilar. Topologiyani o'rganish har qanday alohida shaxsga aylantirilishi mumkin bo'lgan "plastik odam" ga qarab odamlarning eng keng tarqalgan xususiyatlarini izlashga o'xshaydi.
Ommaviy adabiyotda topologiya nuqtai nazaridan kubok donutdan farq qilmaydi, degan noto'g'ri fikr ko'pincha mavjud. Haqiqat shundaki, bir chashka xamirni oddiygina materialni maydalash orqali donutga aylantirish mumkin, ya'ni. hech narsa yopishmaydi yoki teshik qilmaydi. Boshqa tomondan, to'pdan donut qilish uchun, albatta, unda teshik qilish yoki uni silindrga o'rash va uchlarini ko'r qilish kerak, shuning uchun to'p umuman donut emas.
Topologlarni ko'proq shar va donut sirtlari qiziqtiradi. Shuning uchun, qattiq jismlar o'rniga, sharlarni tasavvur qilish kerak. Ularning topologiyasi hali ham boshqacha, chunki sharsimon sharni halqali sharga aylantirib bo'lmaydi, bu torus deb ataladi. Birinchidan, olimlar turli topologiyalarga ega bo'lgan qancha ob'ektlar mavjudligini va ularni qanday tavsiflash mumkinligini aniqlashga qaror qilishdi. Biz sirtlarni chaqirishga odatlangan 2-manifoldlar uchun javob oqlangan va oddiy: hamma narsa "teshiklar" soni yoki shunga mos ravishda tutqichlar soni bilan belgilanadi. XIX asr oxiriga kelib. matematiklar sirtlarni qanday tasniflashni aniqladilar va ularning eng oddiyi shar ekanligini aniqladilar. Tabiiyki, topologlar 3-manifold haqida o'ylay boshladilar: 3-sfera o'zining soddaligi bilan noyobmi? Javob izlashning ko'p asrlik tarixi noto'g'ri qadamlar va noto'g'ri dalillarga to'la.
Anri Puankare bu masalaga jiddiy kirishdi. U 20-asr boshlarining ikkita eng kuchli matematiklaridan biri edi. (ikkinchisi Devid Xilbert edi). U oxirgi generalist deb ataldi - u sof va amaliy matematikaning barcha bo'limlarida muvaffaqiyatli ishladi. Bundan tashqari, Puankare samoviy mexanika, elektromagnetizm nazariyasi, shuningdek, fan falsafasining rivojlanishiga katta hissa qo'shdi va u haqida bir nechta mashhur kitoblar yozdi.
Puankare algebraik topologiyaning asoschisi bo'ldi va uning usullaridan foydalangan holda 1900 yilda ob'ektning gomotopiya deb ataladigan topologik xarakteristikasini shakllantirdi. Manifoldning gomotopiyasini aniqlash uchun unga yopiq halqani aqliy ravishda botirish kerak. Shundan so'ng, biz halqani manifold ichida siljitish orqali uni biron bir nuqtaga qisqartirish mumkinmi yoki yo'qligini aniqlashimiz kerak. Torus uchun javob salbiy bo'ladi: agar siz torusning atrofiga halqa qo'ysangiz, uni bir nuqtaga qisqartirish mumkin bo'lmaydi, chunki donutning "teshigi" xalaqit beradi. Gomotopiya - bu pastadirning qisqarishiga to'sqinlik qiladigan turli xil yo'llar soni.
n-sferada har qanday, hatto murakkab tarzda burilgan halqa har doim yechilib, bir nuqtaga tortilishi mumkin. (Ko'chadan o'z-o'zidan o'tishga ruxsat beriladi.) Puankare 3-sfera har qanday halqani bir nuqtaga qisqartirish mumkin bo'lgan yagona 3-manifold deb faraz qildi. Afsuski, u hech qachon o'z taxminini isbotlay olmadi, keyinchalik bu taxmin Puankare gipotezasi deb nomlandi.
Perelmanning 3-manifold tahlili geometriklashtirish protsedurasi bilan chambarchas bog'liq. Geometriya endi xamirdan emas, balki keramikadan yasalgan narsalar va manifoldlarning haqiqiy shakli bilan shug'ullanadi. Misol uchun, chashka va simit geometrik jihatdan farq qiladi, chunki ularning sirtlari turlicha egilgan. Kubok va donut turli geometrik shakllar berilgan topologik torusning ikkita namunasi ekanligi aytiladi.
Perelman nima uchun geometriklashtirishdan foydalanganligini tushunish uchun 2-manifoldlarning tasnifini ko'rib chiqing. Har bir topologik sirtga o'ziga xos geometriya beriladi, uning egriligi manifold bo'ylab bir tekis taqsimlanadi. Masalan, shar uchun bu mukammal sharsimon sirtdir. Topologik sfera uchun yana bir mumkin bo'lgan geometriya tuxumdir, lekin uning egriligi hamma joyda bir xil taqsimlanmagan: o'tkir uchi to'mtoqdan ko'ra ko'proq egri.
2-manifoldlar uchta geometrik turni hosil qiladi. Sfera ijobiy egrilik bilan tavsiflanadi. Geometrik torus tekis va nol egrilikka ega. Ikki yoki undan ortiq "teshik" bo'lgan boshqa barcha 2-manifoldlar salbiy egrilikka ega. Ular egarga o'xshash sirtga to'g'ri keladi, u old va orqa tomondan yuqoriga, chapga va o'ngga pastga egiladi. 2-manifoldlarning ushbu geometrik tasnifi (geometrizatsiyasi) Puancare tomonidan Pol Koebe va Feliks Klein bilan birgalikda ishlab chiqilgan bo'lib, Klein shishasi nomini olgan.
3-manifoldga o'xshash usulni qo'llashning tabiiy istagi bor. Ularning har biri uchun egrilik butun manifold bo'ylab teng taqsimlanadigan shunday noyob konfiguratsiyani topish mumkinmi?
Ma'lum bo'lishicha, 3-manifoldlar ikki o'lchovli hamkasblariga qaraganda ancha murakkabroq va ularning ko'pchiligini bir hil geometriya bilan bog'lab bo'lmaydi. Ular sakkizta kanonik geometriyadan biriga mos keladigan qismlarga bo'linishi kerak. Ushbu protsedura sonning asosiy omillarga bo'linishiga o'xshaydi.
Qanday qilib kollektorni geometriyaga solish va unga hamma joyda bir xil egrilik berish mumkin? Siz har xil o'simtalar va chuqurchalar bilan o'zboshimchalik bilan geometriyani olishingiz kerak, so'ngra barcha burmalarni tekislang. 90-yillarning boshlarida. 20-asr Gamilton matematik Gregorio Ricci-Kurbastro nomi bilan atalgan Ricci oqim tenglamasidan foydalangan holda 3-manifoldlarni tahlil qila boshladi. Bu issiqlik tenglamasiga biroz o'xshaydi, u notekis isitiladigan jismda uning harorati hamma joyda bir xil bo'lguncha oqadigan issiqlik oqimlarini tavsiflaydi. Xuddi shu tarzda, Ricci oqim tenglamasi manifoltning egri chizig'idagi o'zgarishni belgilaydi, bu esa barcha to'siqlar va depressiyalarning tekislanishiga olib keladi. Misol uchun, agar siz tuxumdan boshlasangiz, u asta-sekin sharsimon bo'ladi.
Perelman Ricci oqim tenglamasiga yangi atama qo'shdi. Bu o'zgarish yakkalik muammosini bartaraf etmadi, balki ancha chuqurroq tahlil qilish imkonini berdi. Rossiyalik olim dumbbell shaklidagi kollektorda "jarrohlik" operatsiyasini bajarish mumkinligini ko'rsatdi: paydo bo'lgan chimchining har ikki tomonida yupqa naychani kesib oling va sharsimon qopqoqlar bilan sharsimon to'plardan chiqib turgan ochiq naychalarni yoping. Keyin Ricci oqim tenglamasiga muvofiq "ishlatilgan" kollektorni o'zgartirishni davom ettirishingiz kerak va yuqoridagi protsedurani barcha paydo bo'lgan chimchilashlarga qo'llang. Perelman shuningdek, sigaret shaklidagi xususiyatlar paydo bo'lishi mumkin emasligini ko'rsatdi. Shunday qilib, har qanday 3-manifold bir xil geometriyaga ega bo'lgan qismlar to'plamiga qisqartirilishi mumkin.
Ricci oqimi va "jarrohlik" barcha mumkin bo'lgan 3-manifoldlarga qo'llanilganda, ulardan har biri, agar u 3-sfera kabi oddiy bo'lsa (boshqacha qilib aytganda, bir xil gomotopiyaga ega bo'lsa), albatta bir xil bir xil geometriyaga kamayadi. , qaysi va 3-sfera. Demak, topologik nuqtai nazardan ko'rib chiqilayotgan manifold 3-sferadir. Shunday qilib, 3-sfera noyobdir.
Perelman maqolalarining ahamiyati nafaqat Puankar gipotezasini isbotlashda, balki tahlilning yangi usullarida hamdir. Butun dunyo olimlari allaqachon rus matematigi tomonidan olingan natijalarni o'z ishlarida qo'llamoqda va u tomonidan ishlab chiqilgan usullarni boshqa sohalarda qo'llamoqda. Ma'lum bo'lishicha, Ricci oqimi zarrachalarning to'qnashuv energiyasiga qarab o'zaro ta'sirlarning kuchi qanday o'zgarishini aniqlaydigan renormalizatsiya guruhi deb ataladigan guruh bilan bog'liq. Masalan, past energiyalarda elektromagnit o'zaro ta'sirning kuchi 0,0073 (taxminan 1/137) raqami bilan tavsiflanadi. Biroq, ikkita elektron deyarli yorug'lik tezligida to'qnashganda, bu kuch 0,0078 ga yaqinlashadi. Jismoniy kuchlarning o'zgarishini tavsiflovchi matematika manifoldning geometriklanishini tavsiflovchi matematikaga juda o'xshaydi.
To'qnashuv energiyasini oshirish qisqa masofalarda o'rganish kuchiga teng. Shuning uchun renormalizatsiya guruhi o'zgaruvchan kattalashtirish omiliga ega mikroskopga o'xshaydi, bu jarayonni turli darajadagi tafsilotlarda o'rganish imkonini beradi. Xuddi shunday, Ricci oqimi manifoldlarni ko'rish uchun mikroskopdir. Bir kattalashtirishda ko'rinadigan o'simtalar va chuqurliklar boshqasida yo'qoladi. Plank uzunligi shkalasida (taxminan 10-35 m) biz yashayotgan makon murakkab topologik tuzilishga ega bo'lgan ko'pikka o'xshaydi. Bundan tashqari, tortishish xususiyatlarini va koinotning keng ko'lamli tuzilishini tavsiflovchi umumiy nisbiylik tenglamalari Ricci oqim tenglamasi bilan chambarchas bog'liq. Ajablanarlisi shundaki, Gamilton tomonidan qo'llanilgan iboraga Perelman qo'shilgan atamasi tortishishning kvant nazariyasi deb da'vo qilingan simlar nazariyasida paydo bo'ladi. Rus matematigining maqolalarida olimlar nafaqat mavhum 3-manifoldlar, balki biz yashayotgan makon haqida ham foydaliroq ma'lumotlarni topishlari mumkin.
