Daraja va uning xususiyatlari. To'liq qo'llanma (2020). Dars "Ko'paytirish va kuchlarni bo'lish" Bir xil kuchga ega bo'lgan raqamlarni ko'paytirish

Oldingi maqolada biz monomiallar nima haqida gapirgan edik. Ushbu materialda biz misollar va ular ishlatiladigan muammolarni qanday hal qilishni tahlil qilamiz. Bu erda ayirish, qo'shish, ko'paytirish, monomlarni bo'lish va ularni natural ko'rsatkichli darajaga ko'tarish kabi amallarni ko'rib chiqamiz. Biz bunday operatsiyalar qanday aniqlanganligini ko'rsatamiz, ularni amalga oshirishning asosiy qoidalarini va natija qanday bo'lishi kerakligini ko'rsatamiz. Barcha nazariy qoidalar, odatdagidek, echimlar tavsifi bilan muammolar misollari bilan tasvirlanadi.

Monomiallarning standart yozuvlari bilan ishlash eng qulaydir, shuning uchun biz maqolada ishlatiladigan barcha iboralarni standart shaklda taqdim etamiz. Agar ular dastlab boshqacha o'rnatilgan bo'lsa, birinchi navbatda ularni umumiy qabul qilingan shaklga keltirish tavsiya etiladi.

Monomiylarni qo'shish va ayirish qoidalari

Monomiallar bilan bajarilishi mumkin bo'lgan eng oddiy amallar ayirish va qo'shishdir. Umumiy holda, bu harakatlarning natijasi polinom bo'ladi (ba'zi bir maxsus holatlarda monomial mumkin).

Monomiallarni qo'shganda yoki ayirganda, avvalo, umumiy qabul qilingan shaklda mos keladigan yig'indi va farqni yozamiz, shundan so'ng biz hosil bo'lgan ifodani soddalashtiramiz. Agar shunga o'xshash shartlar mavjud bo'lsa, ular berilishi kerak, qavslar ochilishi kerak. Keling, misol bilan tushuntiramiz.

1-misol

Vaziyat:- 3 · x va 2, 72 · x 3 · y 5 · z monomlarini qo'shing.

Yechim

Keling, asl iboralar yig'indisini yozamiz. Qavslar qo'shing va ular orasiga ortiqcha belgisi qo'ying. Biz quyidagilarni olamiz:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Qavslarni kengaytirsak, biz - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z ni olamiz. Bu standart shaklda yozilgan polinom bo'lib, bu monomlarni qo'shish natijasi bo'ladi.

Javob:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Agar bizda uch, to'rt yoki undan ko'p atama bo'lsa, biz bu harakatni xuddi shu tarzda bajaramiz.

2-misol

Vaziyat: ko'phadlar bilan berilgan amallarni to'g'ri tartibda bajaring

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Yechim

Qavslarni ochishdan boshlaylik.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Natijadagi ifodani shunga o'xshash atamalarni qisqartirish orqali soddalashtirish mumkinligini ko'ramiz:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Bizda polinom bor, bu harakatning natijasi bo'ladi.

Javob: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Asosan, biz ikkita monomialni qo'shish va ayirishni ba'zi cheklovlar bilan bajarishimiz mumkin, shuning uchun biz monomial bilan yakunlaymiz. Buning uchun atamalar va ayirma monomiallarga oid ba'zi shartlarga rioya qilish kerak. Bu qanday amalga oshirilganligini alohida maqolada tasvirlab beramiz.

Monomiylarni ko'paytirish qoidalari

Ko'paytirish harakati ko'paytiruvchilarga hech qanday cheklovlar qo'ymaydi. Natija monomial bo'lishi uchun ko'paytiriladigan monomlar hech qanday qo'shimcha shartlarga javob bermasligi kerak.

Monomiallarni ko'paytirish uchun siz quyidagi amallarni bajarishingiz kerak:

1. Parchani to'g'ri yozib oling.
2. Olingan ifodadagi qavslarni kengaytiring.
3. Iloji bo'lsa, bir xil o'zgaruvchan va raqamli omillarga ega bo'lgan omillarni alohida guruhlang.
4. Raqamlar bilan kerakli harakatlarni bajaring va qolgan omillarga bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish xususiyatini qo'llang.

Keling, bu amalda qanday amalga oshirilganini ko'rib chiqaylik.

3-misol

Vaziyat: 2 · x 4 · y · z va - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 monomiallarni ko'paytiring.

Yechim

Keling, asarning kompozitsiyasidan boshlaylik.

Undagi qavslarni ochib, biz quyidagilarni olamiz:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa birinchi qavslardagi raqamlarni ko'paytirish va ikkinchisiga quvvat xususiyatini qo'llashdir. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Javob: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14.

Agar bizda uch yoki undan ortiq ko'phad mavjud bo'lsa, biz ularni aynan bir xil algoritm yordamida ko'paytiramiz. Biz monomiallarni ko'paytirish masalasini alohida materialda batafsil ko'rib chiqamiz.

Monomialni kuchga ko'tarish qoidalari

Bizga ma'lumki, bir xil sonli omillarning ko'paytmasi natural ko'rsatkichli daraja deb ataladi. Ularning soni indeksdagi raqam bilan ko'rsatiladi. Ushbu ta'rifga ko'ra, monomialni kuchga ko'tarish bir xil monomiallarning ko'rsatilgan sonini ko'paytirishga teng. Keling, bu qanday amalga oshirilganini ko'rib chiqaylik.

4-misol

Vaziyat: monomial - 2 · a · b 4 ni 3 ning kuchiga ko'taring.

Yechim

Ko'rsatkichni 3 ta monomni - 2 · a · b 4 ni ko'paytirish bilan almashtirishimiz mumkin. Keling, yozamiz va kerakli javobni olamiz:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 b 4) b 4) = − 8 a 3 b 12

Javob:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Ammo daraja katta ko'rsatkichga ega bo'lsa-chi? Ko'p sonli multiplikatorlarni yozib olish noqulay. Keyin, bunday masalani hal qilish uchun biz darajaning xossalarini, ya'ni mahsulot darajasining xususiyatini va darajadagi darajaning xususiyatini qo'llashimiz kerak.

Keling, yuqorida keltirilgan muammoni ko'rsatilgan tarzda hal qilaylik.

5-misol

Vaziyat:- 2 · a · b 4 ni uchinchi darajaga ko'taring.

Yechim

Darajada darajaning xususiyatini bilib, biz quyidagi shaklning ifodasiga o'tishimiz mumkin:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

Shundan so'ng, biz kuchga - 2 ga ko'taramiz va eksponent xususiyatini qo'llaymiz:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Javob:− 2 · a · b 4 = - 8 · a 3 · b 12.

Biz monomialni kuchga ko'tarishga alohida maqola bag'ishladik.

Monomiallarni bo'lish qoidalari

Ushbu materialda biz tahlil qiladigan monomiallar bilan oxirgi harakat monomialni monomialga bo'lishdir. Natijada, biz ratsional (algebraik) kasrni olishimiz kerak (ba'zi hollarda monomial olish mumkin). Darhol aniqlaylikki, nol monomialga bo'linish aniqlanmagan, chunki 0 ga bo'linish aniqlanmagan.

Bo'linishni amalga oshirish uchun ko'rsatilgan monomiallarni kasr shaklida yozishimiz va iloji bo'lsa, uni kamaytirishimiz kerak.

6-misol

Vaziyat: monomial - 9 x 4 y 3 z 7 ni - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 ga bo'ling.

Yechim

Keling, monomlarni kasr shaklida yozishdan boshlaylik.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Bu fraktsiyani kamaytirish mumkin. Buni qilgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Javob:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5.

Monomiylarni bo'lish natijasida monomialni olish shartlari alohida maqolada keltirilgan.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Quvvat formulalari murakkab ifodalarni qisqartirish va soddalashtirish jarayonida, tenglama va tengsizliklarni yechishda foydalaniladi.

Raqam c hisoblanadi n-sonning darajasi a Qachon:

Darajalar bilan operatsiyalar.

1. Darajalar bir xil asosga ko'paytirilsa, ularning ko'rsatkichlari yig'iladi:

a ma n = a m + n.

2. Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi:

3. 2 yoki undan ortiq omillarning ko'paytmasi darajasi ushbu omillarning darajalari ko'paytmasiga teng:

(abc…) n = a n b n c n…

4. Kasrning darajasi dividend va bo'luvchi darajalarining nisbatiga teng:

(a/b) n = a n/b n.

5. Kuchni bir darajaga ko'tarib, ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:

(am) n = a m n.

Yuqoridagi har bir formula chapdan o'ngga va aksincha yo'nalishda to'g'ri.

Masalan. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Ildizlar bilan operatsiyalar.

1. Bir necha omillar hosilasining ildizi ushbu omillarning ildizlari mahsulotiga teng:

2. Nisbatning ildizi dividend va ildizlarning bo‘luvchi nisbatiga teng:

3. Ildizni bir darajaga ko'tarishda ildiz raqamini shu darajaga ko'tarish kifoya:

4. In ildizining darajasini oshirsak n bir marta va bir vaqtning o'zida ko'taring n th - bu radikal raqam, u holda ildizning qiymati o'zgarmaydi:

5. In ildizining darajasini kamaytirsak n bir vaqtning o'zida ildiz n radikal sondan th daraja, keyin ildizning qiymati o'zgarmaydi:

Salbiy ko'rsatkichli daraja. Ijobiy bo'lmagan (butun) ko'rsatkichga ega bo'lgan sonning darajasi musbat bo'lmagan ko'rsatkichning mutlaq qiymatiga teng ko'rsatkichga ega bo'lgan bir xil sonning darajasiga bo'lingan daraja sifatida aniqlanadi:

Formula a m:a n = a m - n uchungina emas, balki foydalanish mumkin m> n, lekin ayni paytda m< n.

Masalan. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formulaga a m:a n = a m - n da adolatli bo'ldi m=n, sizga nol daraja mavjudligi kerak.

Nol ko'rsatkichli daraja. Nol ko'rsatkichli har qanday nolga teng bo'lmagan sonning kuchi birga teng.

Masalan. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kasr ko'rsatkichli daraja. Haqiqiy raqamni oshirish uchun A darajaga qadar m/n, siz ildizni chiqarib olishingiz kerak n ning darajasi m bu raqamning kuchi A.

Sakkizinchi darajaga e'tibor bermasak, bu erda nimani ko'ramiz? Keling, 7-sinf dasturini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi! Biz olamiz:

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning noto'g'ri tartibi. Agar ular almashtirilgan bo'lsa, qoida amal qilishi mumkin edi.

Lekin buni qanday qilish kerak? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Atamalar sehrli tarzda joylarni o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin.

Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

butun natural sonlarni, ularning qarama-qarshi tomonlarini (ya'ni "" belgisi bilan olingan) va sonni nomlaymiz.

musbat butun son, va u tabiiydan farq qilmaydi, keyin hamma narsa avvalgi qismdagi kabi ko'rinadi.

Endi yangi holatlarga qaraylik. ga teng ko'rsatkichdan boshlaylik.

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng:

Har doimgidek, biz o'zimizga savol beramiz: nega bu shunday?

Baza bilan bir oz kuchni ko'rib chiqing. Masalan, oling va ko'paytiring:

Shunday qilib, biz raqamni ko'paytirdik va xuddi shunday bo'ldi -. Hech narsa o'zgarmasligi uchun qaysi raqamni ko'paytirish kerak? To'g'ri, davom eting. vositalari.

Biz ixtiyoriy raqam bilan ham shunday qilishimiz mumkin:

Keling, qoidani takrorlaymiz:

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng.

Ammo ko'plab qoidalardan istisnolar mavjud. Va bu erda ham bor - bu raqam (asosiy sifatida).

Bir tomondan, u har qanday darajaga teng bo'lishi kerak - siz nolni o'z-o'zidan qancha ko'paytirsangiz ham, siz nolga erishasiz, bu aniq. Ammo boshqa tomondan, nol darajagacha bo'lgan har qanday raqam kabi, u teng bo'lishi kerak. Xo'sh, buning haqiqati nimada? Matematiklar aralashmaslikka qaror qilishdi va nolni nolga oshirishdan bosh tortishdi. Ya'ni, endi biz nafaqat nolga bo'linibgina qolmay, balki uni nol darajaga ko'tarishimiz mumkin.

Keling, oldinga boraylik. Butun sonlarga natural sonlar va raqamlardan tashqari manfiy sonlar ham kiradi. Salbiy daraja nima ekanligini tushunish uchun, keling, oxirgi marta xuddi shunday qilaylik: ba'zi bir normal sonni salbiy darajada bir xilga ko'paytiramiz:

Bu erdan kerakli narsani ifodalash allaqachon oson:

Endi biz olingan qoidani ixtiyoriy darajada kengaytiramiz:

Shunday qilib, qoidani shakllantiramiz:

Raqamning manfiy darajaga tengligi bir xil sonning musbat darajaga teskarisidir. Lekin ayni paytda baza null bo'lishi mumkin emas:(chunki ajratish mumkin emas).

Keling, xulosa qilaylik:

I. Ifoda holda belgilanmaydi. Agar, keyin.

II. Nolga teng bo'lgan har qanday son birga teng: .

III. Manfiy darajaga nolga teng bo'lmagan son bir xil sonning musbat darajaga teskari soni hisoblanadi:.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Odatdagidek, mustaqil yechim uchun misollar:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalarni tahlil qilish:

Bilaman, bilaman, raqamlar qo'rqinchli, lekin imtihonda siz hamma narsaga tayyor bo'lishingiz kerak! Ushbu misollarni yeching yoki yechimini tahlil qiling, agar hal qila olmasangiz, imtihonda ular bilan qanday qilib osonlikcha shug'ullanishni o'rganasiz!

Keling, ko'rsatkich sifatida "mos" raqamlar oralig'ini kengaytirishni davom ettiraylik.

Endi o'ylab ko'ring ratsional sonlar. Qanday raqamlar ratsional deb ataladi?

Javob: kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan barcha narsalar, bu erda va butun sonlar.

Nima ekanligini tushunish uchun "kasr daraja" Keling, kasrni ko'rib chiqaylik:

Keling, tenglamaning ikkala tomonini bir darajaga ko'taramiz:

Endi qoidani eslang "darajali daraja":

Quvvat olish uchun qanday raqamni ko'tarish kerak?

Ushbu formula th daraja ildizining ta'rifidir.

Sizga eslatib o'taman: sonning () darajasining ildizi darajaga ko'tarilganda teng bo'lgan sondir.

Ya'ni, darajaning ildizi ko'rsatkichning teskari amalidir: .

Ma'lum bo'ladiki. Shubhasiz, bu maxsus holat uzaytirilishi mumkin: .

Endi hisoblagichni qo'shing: bu nima? Javobni kuch-quvvat qoidasi bilan olish oson:

Lekin asos har qanday raqam bo'lishi mumkinmi? Axir, ildizni barcha raqamlardan chiqarib bo'lmaydi.

Yo'q!

Qoidani eslang: juft darajaga ko'tarilgan har qanday raqam ijobiy raqamdir. Ya'ni, manfiy sonlardan juft darajali ildizlarni ajratib bo'lmaydi!

Va bu shuni anglatadiki, bunday raqamlarni teng maxraj bilan kasr darajasiga ko'tarib bo'lmaydi, ya'ni ifoda mantiqiy emas.

Ifodasi haqida nima deyish mumkin?

Ammo bu erda muammo paydo bo'ladi.

Raqam boshqa, qisqartirilgan kasrlar sifatida ifodalanishi mumkin, masalan, yoki.

Va ma'lum bo'lishicha, u mavjud, lekin yo'q va bu bir xil raqamning ikki xil yozuvi.

Yoki boshqa misol: bir marta, keyin uni yozishingiz mumkin. Ammo biz indikatorni boshqacha yozganimizdan so'ng, biz yana muammoga duch kelamiz: (ya'ni, biz butunlay boshqacha natijaga erishdik!).

Bunday paradokslardan qochish uchun o'ylab ko'ring kasr ko'rsatkichli faqat musbat asos ko'rsatkichi.

Shunday qilib, agar:

• - natural son;
• butun sondir;

Misollar:

Ratsional ko'rsatkichli kuchlar ildizli ifodalarni o'zgartirish uchun juda foydali, masalan:

5 ta amaliyotga misollar

Trening uchun 5 ta misol tahlili

1. Darajaning odatiy xususiyatlari haqida unutmang:

2. Bu erda biz darajalar jadvalini o'rganishni unutganimizni eslaymiz:

Axir - bu yoki. Yechim avtomatik ravishda topiladi: .

Xo'sh, endi - eng qiyin. Endi biz tahlil qilamiz irratsional darajali daraja.

Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli darajalar bilan bir xil, bundan mustasno.

Darhaqiqat, ta'rifiga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ifodalanmaydigan sonlar bo'lib, bu erda va butun sonlardir (ya'ni, irratsional sonlar ratsional raqamlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkich bilan o'rganayotganda, har safar biz ma'lum bir "tasvir", "o'xshashlik" yoki ko'proq tanish bo'lgan tavsifni yaratamiz.

Masalan, natural ko’rsatkich o’ziga bir necha marta ko’paytiriladigan sondir;

...nol quvvat- bu go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytirilgan raqam, ya'ni u hali ko'paytirilmagan, bu raqamning o'zi hali paydo bo'lmaganligini anglatadi - shuning uchun natija faqat ma'lum bir "bo'sh raqam" , ya'ni raqam;

...manfiy butun son ko‘rsatkichi- go'yo ma'lum bir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Aytgancha, fan ko'pincha murakkab ko'rsatkichli darajadan foydalanadi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas.

Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

QAYERGA BORISHINGIZGA ISHONCH ETAMIZ! (agar siz bunday misollarni qanday hal qilishni o'rgansangiz :))

Masalan:

O'zingiz qaror qiling:

Yechimlarni tahlil qilish:

1. Darajani darajaga oshirishning odatiy qoidasidan boshlaylik:

Endi hisobni ko'ring. U sizga biror narsani eslatadimi? Biz kvadratlar farqini qisqartirilgan ko'paytirish formulasini eslaymiz:

Ushbu holatda,

Ma'lum bo'lishicha:

Javob: .

2. Ko‘rsatkichli kasrlarni bir xil ko‘rinishga keltiramiz: ikkala o‘nli yoki ikkalasi ham oddiy. Biz, masalan, olamiz:

Javob: 16

3. Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llaymiz:

ILG'IY DARAJA

Darajaning ta'rifi

Daraja quyidagi shaklning ifodasidir: , bu erda:

• — daraja bazasi;
• - ko'rsatkich.

Tabiiy ko'rsatkichli daraja (n = 1, 2, 3,...)

Raqamni n tabiiy darajaga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:

Butun koʻrsatkichli quvvat (0, ±1, ±2,...)

Agar ko'rsatkich bo'lsa musbat butun son raqam:

erektsiya nol quvvatga:

Ifoda noaniqdir, chunki, bir tomondan, istalgan darajada bu, ikkinchi tomondan, th darajali istalgan son bu.

Agar ko'rsatkich bo'lsa manfiy butun son raqam:

(chunki ajratish mumkin emas).

Nulllar haqida yana bir bor: ifoda ishda aniqlanmagan. Agar, keyin.

Misollar:

Ratsional darajali daraja

• - natural son;
• butun sondir;

Misollar:

Darajaning xususiyatlari

Muammolarni hal qilishni osonlashtirish uchun, keling, tushunishga harakat qilaylik: bu xususiyatlar qaerdan paydo bo'lgan? Keling, ularni isbotlaylik.

Keling, ko'rib chiqaylik: nima va?

A-prior:

Shunday qilib, ushbu ifodaning o'ng tomonida quyidagi mahsulot olinadi:

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning kuchi, ya'ni:

Q.E.D.

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : .

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Yechim : Bizning qoidamizda shuni ta'kidlash kerak Majburiy bir xil asosda bo'lishi kerak. Shuning uchun biz darajalarni baza bilan birlashtiramiz, lekin alohida omil bo'lib qolamiz:

Yana bir muhim eslatma: bu qoida - faqat kuchlar mahsulotlari uchun!

Hech qanday holatda buni yozmasligim kerak.

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Keling, uni shunday tartibga keltiramiz:

Ma'lum bo'lishicha, ifoda o'z-o'zidan bir marta ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu sonning --chi darajasi:

Aslida, buni "indikatorni qavslash" deb atash mumkin. Lekin siz buni hech qachon umuman qila olmaysiz :!

Qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalarni eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik? Lekin bu haqiqat emas.

Salbiy asosga ega quvvat.

Shu paytgacha biz faqat nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik indeks daraja. Lekin asos nima bo'lishi kerak? dan darajalarda tabiiy ko'rsatkich asos bo'lishi mumkin har qanday raqam .

Darhaqiqat, biz har qanday raqamni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto. Keling, qanday belgilar ("" yoki "") ijobiy va salbiy sonlarning darajalariga ega bo'lishini o'ylab ko'raylik?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiy bo'ladimi? A? ?

Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz bir-birimiz bilan qancha ijobiy sonlarni ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy tomonlari biroz qiziqroq. Axir, biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus marta minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo () ga ko'paytirsak, biz - bo'lamiz.

Va shunga o'xshash ad infinitum: har bir keyingi ko'paytirish bilan belgi o'zgaradi. Siz oddiy qoidalarni shakllantirishingiz mumkin:

1. hatto daraja, - raqam ijobiy.
2. Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
3. Har qanday quvvatga ijobiy raqam ijobiy sondir.
4. Har qanday quvvat nol nolga teng.

Quyidagi iboralar qanday belgiga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Siz boshqardingizmi? Mana javoblar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Birinchi to'rtta misolda, umid qilamanki, hamma narsa aniqmi? Biz shunchaki asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

5-misolda), hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi. Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan hollar bundan mustasno. Baza bir xil emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas. Bu erda qaysi biri kamroq ekanligini bilib olishingiz kerak: yoki? Agar buni eslasangiz, bu aniq bo'ladi, ya'ni baza noldan kichikdir. Ya'ni, biz 2-qoidani qo'llaymiz: natija salbiy bo'ladi.

Va yana biz daraja ta'rifidan foydalanamiz:

Hammasi odatdagidek - biz darajalarning ta'rifini yozamiz va ularni bir-biriga ajratamiz, ularni juftlarga ajratamiz va olamiz:

Oxirgi qoidani tahlil qilishdan oldin, keling, bir nechta misollarni hal qilaylik.

Ifodalar qiymatlarini hisoblang:

Yechimlar :

Sakkizinchi darajaga e'tibor bermasak, bu erda nimani ko'ramiz? Keling, 7-sinf dasturini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi!

Biz olamiz:

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning noto'g'ri tartibi. Agar ular o'zgartirilsa, 3-qoida qo'llanilishi mumkin, ammo buni qanday qilish kerak? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Agar siz uni ko'paytirsangiz, hech narsa o'zgarmaydi, to'g'rimi? Ammo endi bu shunday ko'rinadi:

Atamalar sehrli tarzda joylarni o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin. Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi! Uni faqat bitta nomaqbul minusni o'zgartirish bilan almashtirib bo'lmaydi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

Endi oxirgi qoida:

Biz buni qanday isbotlaymiz? Albatta, odatdagidek: daraja tushunchasini kengaytiramiz va soddalashtiramiz:

Xo'sh, endi qavslarni ochamiz. Qancha harf bo'ladi? marta multiplikatorlar bo'yicha - bu nimaga o'xshaydi? Bu operatsiya ta'rifidan boshqa narsa emas ko'paytirish: jami ko'paytiruvchilar bo'lib chiqdi. Ya'ni, ta'rifga ko'ra, ko'rsatkichli sonning kuchi:

Misol:

Irratsional ko'rsatkichli daraja

O'rtacha daraja uchun darajalar haqidagi ma'lumotlarga qo'shimcha ravishda, biz darajani irratsional ko'rsatkich bilan tahlil qilamiz. Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli daraja bilan bir xil, bundan mustasno - axir, ta'rifga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ko'rsatilmaydigan sonlar, bu erda va butun sonlar (ya'ni). , irratsional sonlar ratsional sonlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkich bilan o'rganayotganda, har safar biz ma'lum bir "tasvir", "o'xshashlik" yoki ko'proq tanish bo'lgan tavsifni yaratamiz. Masalan, natural ko’rsatkich o’ziga bir necha marta ko’paytiriladigan sondir; nol darajagacha bo'lgan raqam, go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytirilgan son, ya'ni u hali ko'paytirilmagan, ya'ni raqamning o'zi hali paydo bo'lmagan - shuning uchun natija faqat ma'lum bir "raqamni tayyorlash", ya'ni raqam; butun sonli manfiy ko'rsatkichli daraja - go'yo ma'lum bir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Irratsional ko'rsatkichli darajani tasavvur qilish juda qiyin (xuddi 4 o'lchovli fazoni tasavvur qilish qiyin). To'g'rirog'i, bu matematiklar daraja tushunchasini butun sonlar fazosiga kengaytirish uchun yaratgan sof matematik ob'ektdir.

Aytgancha, fan ko'pincha murakkab ko'rsatkichli darajadan foydalanadi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas. Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Agar irratsional ko'rsatkichni ko'rsak, nima qilamiz? Biz undan xalos bo'lishga harakat qilamiz! :)

Masalan:

O'zingiz qaror qiling:

1)

2)

3)

Javoblar:

1. Kvadratlar formulasining farqini eslang. Javob: .
2. Biz kasrlarni bir xil shaklga keltiramiz: ikkala o'nli yoki ikkala oddiy. Biz, masalan: .
3. Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llaymiz:

BO'LIM XULOSASI VA ASOSIY FORMULA

Daraja shaklning ifodasi deyiladi: , bu yerda:

Butun sonli daraja

daraja, ko'rsatkichi natural son (ya'ni butun va musbat).

Ratsional darajali daraja

daraja, ko'rsatkichi manfiy va kasr sonlardir.

Irratsional ko'rsatkichli daraja

ko'rsatkichi cheksiz o'nli kasr yoki ildiz bo'lgan daraja.

Darajaning xususiyatlari

Darajaning xususiyatlari.

• Manfiy raqam ko'tarildi hatto daraja, - raqam ijobiy.
• Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
• Har qanday quvvatga ijobiy raqam ijobiy sondir.
• Nol har qanday quvvatga teng.
• Nolga teng bo'lgan har qanday raqam tengdir.

ENDI SIZDA SO'Z BOR...

Sizga maqola qanday yoqadi? Sizga yoqdimi yoki yo'qmi, quyidagi izohlarda menga xabar bering.

Quvvat xususiyatlari bilan tajribangiz haqida bizga xabar bering.

Balki savollaringiz bordir. Yoki takliflar.

Izohlarda yozing.

Va imtihonlaringizga omad!

Oxirgi video darsda biz ma'lum bir asosning darajasi ko'rsatkichga teng miqdorda olingan asos va o'zining mahsuloti bo'lgan ifoda ekanligini bilib oldik. Keling, vakolatlarning eng muhim xususiyatlari va operatsiyalarini o'rganamiz.

Masalan, bir xil asosga ega bo'lgan ikkita turli darajani ko'paytiramiz:

Keling, ushbu qismni to'liq ko'rib chiqaylik:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Ushbu ifodaning qiymatini hisoblab, biz 32 raqamini olamiz. Boshqa tomondan, xuddi shu misoldan ko'rinib turibdiki, 32 ni 5 marta olingan bir xil asosning (ikki) ko'paytmasi sifatida ko'rsatish mumkin. Va haqiqatan ham, agar hisoblasangiz, unda:

Shunday qilib, ishonch bilan xulosa qilish mumkin:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Ushbu qoida har qanday ko'rsatkichlar va har qanday asoslar uchun muvaffaqiyatli ishlaydi. Darajani ko'paytirishning bu xususiyati mahsulotdagi o'zgarishlar paytida iboralar ma'nosini saqlash qoidasidan kelib chiqadi. Har qanday a asosi uchun ikkita (a) x va (a) y ifodalarning hosilasi a (x + y) ga teng. Boshqacha qilib aytganda, bir xil asosga ega har qanday iboralar ishlab chiqarilganda, yakuniy monomial birinchi va ikkinchi ifodalarning darajasini qo'shish orqali hosil bo'lgan umumiy darajaga ega bo'ladi.

Taqdim etilgan qoida bir nechta ifodalarni ko'paytirishda ham ajoyib ishlaydi. Asosiy shart - hamma uchun asoslar bir xil bo'lishi. Masalan:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Darajalar qo'shish va umuman, ifodaning ikkita elementi bilan, agar ularning asoslari boshqacha bo'lsa, har qanday kuch qo'shma harakatlarini amalga oshirish mumkin emas.
Videomizdan ko'rinib turibdiki, ko'paytirish va bo'lish jarayonlarining o'xshashligi tufayli mahsulot davomida kuchlarni qo'shish qoidalari bo'linish tartibiga mukammal tarzda o'tkaziladi. Ushbu misolni ko'rib chiqing:

Keling, iborani to'liq shaklga aylantiramiz va dividend va bo'luvchidagi bir xil elementlarni kamaytiramiz:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Ushbu misolning yakuniy natijasi unchalik qiziq emas, chunki uni hal qilish jarayonida ifodaning qiymati ikkining kvadratiga teng ekanligi aniq. Va bu ikkinchi ifodaning darajasini birinchisining darajasidan ayirish orqali olingan ikkilikdir.

Bo'lim darajasini aniqlash uchun dividend darajasidan bo'linuvchining darajasini ayirish kerak. Qoida barcha qadriyatlar va barcha tabiiy kuchlar uchun bir xil asosda ishlaydi. Abstrakt shaklda bizda:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Nol darajaning ta'rifi bir xil asoslarni kuchlar bilan bo'lish qoidasidan kelib chiqadi. Shubhasiz, quyidagi ifoda:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Boshqa tomondan, agar biz vizual tarzda ajratsak, biz quyidagilarni olamiz:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Kasrning barcha ko'rinadigan elementlarini kamaytirishda har doim 1/1 ifodasi olinadi, ya'ni bitta. Shuning uchun, nol kuchga ko'tarilgan har qanday baza birga teng ekanligi odatda qabul qilinadi:

a qiymatidan qat'iy nazar.

Biroq, agar 0 (har qanday ko'paytirish uchun hali ham 0 beradi) qandaydir tarzda birga teng bo'lsa, bu bema'nilik bo'ladi, shuning uchun (0) 0 (noldan nol darajaga) kabi ifoda oddiygina mantiqiy emas va (a) formulasi. 0 \u003d 1 shart qo'shing: "agar a 0 ga teng bo'lmasa".

Keling, mashq qilaylik. Ifodaning qiymatini topamiz:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Baza hamma joyda bir xil va 34 ga teng bo'lganligi sababli, yakuniy qiymat daraja bilan bir xil bazaga ega bo'ladi (yuqoridagi qoidalarga muvofiq):

Boshqa so'zlar bilan aytganda:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Javob: ifoda birga teng.

Algebrada va haqiqatan ham barcha matematikada asosiy xususiyatlardan biri bu darajadir. Albatta, 21-asrda barcha hisob-kitoblar onlayn kalkulyatorda amalga oshirilishi mumkin, ammo miya rivojlanishi uchun buni o'zingiz qanday qilishni o'rganish yaxshiroqdir.

Ushbu maqolada biz ushbu ta'rif bilan bog'liq eng muhim masalalarni ko'rib chiqamiz. Ya'ni, biz umuman nima ekanligini va uning asosiy funktsiyalari nimadan iboratligini, matematikada qanday xususiyatlar mavjudligini tushunamiz.

Keling, hisob-kitob qanday ko'rinishga ega, asosiy formulalar qanday misollarni ko'rib chiqaylik. Keling, kattaliklarning asosiy turlarini va ularning boshqa funktsiyalardan qanday farq qilishini tahlil qilaylik.

Ushbu qiymatdan foydalanib, turli muammolarni qanday hal qilishni tushunamiz. Biz misollar bilan nol darajaga, mantiqsiz, salbiy va hokazolarni ko'rsatamiz.

Onlayn eksponentatsiya kalkulyatori

Raqamning darajasi qanday

"Raqamni bir darajaga ko'tarish" iborasi nimani anglatadi?

a sonining n darajasi ketma-ket a n marta kattalik omillari hosilasidir.

Matematik jihatdan bu shunday ko'rinadi:

a n = a * a * a * …a n.

Masalan:

• Uchinchi bosqichda 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 qadamda. ikki = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 qadam. to'rt = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 bosqichda 10 5 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 bosqichda 10 4 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Quyida 1 dan 10 gacha kvadratlar va kublar jadvali keltirilgan.

1 dan 10 gacha darajalar jadvali

Quyida tabiiy sonlarni ijobiy kuchlarga ko'tarish natijalari - "1 dan 100 gacha".

Ch-lo	2-sinf	3-sinf
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Darajaning xususiyatlari

Bunday matematik funktsiyaning o'ziga xos xususiyati nimada? Keling, asosiy xususiyatlarni ko'rib chiqaylik.

Olimlar quyidagilarni aniqladilar Barcha darajalarga xos belgilar:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Boshqa tomondan, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Xuddi shunday: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Aks holda 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Agar boshqacha bo'lsa-chi? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Ko'rib turganingizdek, qoidalar ishlaydi.

Lekin qanday bo'lish kerak qo'shish va ayirish bilan? Hammasi oddiy. Birinchi darajali daraja, keyin esa qo'shish va ayirish bajariladi.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ammo bu holda, avval qo'shimchani hisoblashingiz kerak, chunki qavs ichida harakatlar mavjud: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Qanday ishlab chiqarish murakkabroq holatlarda hisob-kitoblar? Buyurtma bir xil:

• qavslar mavjud bo'lsa, siz ulardan boshlashingiz kerak;
• keyin eksponentatsiya;
• keyin ko'paytirish, bo'lish amallarini bajaring;
• qo'shish, ayirishdan keyin.

Barcha darajalarga xos bo'lmagan o'ziga xos xususiyatlar mavjud:

1. a sonidan m darajagacha bo'lgan n-darajaning ildizi quyidagicha yoziladi: a m / n .
2. Kasrni darajaga ko'tarishda: hisoblagich ham, uning maxraji ham ushbu protseduraga bo'ysunadi.
3. Turli raqamlarning ko'paytmasini bir darajaga ko'tarishda ifoda ushbu raqamlarning berilgan darajaga ko'paytmasiga mos keladi. Ya'ni: (a * b) n = a n * b n.
4. Raqamni manfiy kuchga ko'tarishda siz 1 ni bir xil bosqichda raqamga bo'lishingiz kerak, lekin "+" belgisi bilan.
5. Agar kasrning maxraji manfiy darajali bo'lsa, bu ifoda musbat darajadagi pay va maxrajning ko'paytmasiga teng bo'ladi.
6. Har qanday raqam 0 = 1 kuchiga va qadamga. 1 = o'ziga.

Ushbu qoidalar alohida holatlarda muhim ahamiyatga ega, biz ularni quyida batafsilroq ko'rib chiqamiz.

Salbiy ko'rsatkichli daraja

Salbiy daraja bilan nima qilish kerak, ya'ni indikator salbiy bo'lsa?

4 va 5 xossalari asosida(yuqoridagi nuqtaga qarang) chiqadi:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Va teskari:

1 / A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Agar kasr bo'lsa-chi?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Tabiiy ko'rsatkichli daraja

Bu ko'rsatkichlari butun sonlarga teng bo'lgan daraja sifatida tushuniladi.

Esda tutish kerak bo'lgan narsalar:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… va hokazo.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... va boshqalar.

Bundan tashqari, agar (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… boʻlsa, natija “+” belgisi bilan boʻladi. Agar salbiy raqam toq kuchga ko'tarilsa, aksincha.

Umumiy xususiyatlar va yuqorida tavsiflangan barcha o'ziga xos xususiyatlar ham ularga xosdir.

Fraksiyonel daraja

Ushbu ko'rinishni sxema sifatida yozish mumkin: A m / n. U shunday o'qiladi: A sonining n-darajali ildizi m darajasiga.

Kasr ko'rsatkichi bilan siz hamma narsani qilishingiz mumkin: kamaytirish, qismlarga ajratish, boshqa darajaga ko'tarish va hk.

Irratsional ko'rsatkichli daraja

a irratsional son va A ˃ 0 bo‘lsin.

Bunday ko'rsatkich bilan darajaning mohiyatini tushunish uchun, Keling, turli xil mumkin bo'lgan holatlarni ko'rib chiqaylik:

• A \u003d 1. Natija 1 ga teng bo'ladi. Aksioma mavjud bo'lgani uchun - 1 barcha kuchlarda bittaga teng;

A r 1 ˂ A a ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 ratsional sonlar;

• 0˂A˂1.

Bu holda, aksincha: A r 2 ˂ A a ˂ A r 1 ikkinchi xatboshidagi kabi shartlar ostida.

Masalan, ko'rsatkich p sonidir. Bu mantiqiy.

r 1 - bu holda u 3 ga teng;

r 2 - 4 ga teng bo'ladi.

Keyin, A = 1 uchun, 1 p = 1.

A = 2, keyin 2 3 ˂ 2 p ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 p ˂ 16.

A = 1/2, keyin (½) 4 ˂ (½) p ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) p ˂ 1/8.

Bunday darajalar yuqorida tavsiflangan barcha matematik operatsiyalar va o'ziga xos xususiyatlar bilan tavsiflanadi.

Xulosa

Keling, xulosa qilaylik - bu qiymatlar nima uchun, bunday funktsiyalarning afzalliklari nimada? Albatta, birinchi navbatda, ular misollarni echishda matematiklar va dasturchilarning hayotini soddalashtiradi, chunki ular hisob-kitoblarni minimallashtirish, algoritmlarni qisqartirish, ma'lumotlarni tizimlashtirish va boshqalarga imkon beradi.

Bu bilim yana qayerda foydali bo'lishi mumkin? Har qanday ishchi mutaxassislik bo'yicha: tibbiyot, farmakologiya, stomatologiya, qurilish, texnologiya, muhandislik, dizayn va boshqalar.