Matematik statistika va uning usullari. Turli sohalar mutaxassislari uchun matematik statistika. Viborka uchun variatsion qator shaklga ega

Matematik statistika usullari

1.Kirish

Matematik statistika - bu tasodifiy ommaviy hodisalarning qonuniyatlarini o'rganish maqsadida eksperimental ma'lumotlarni olish, tavsiflash va qayta ishlash usullarini ishlab chiqadigan fan.

Matematik statistikada ikkita sohani ajratish mumkin: tavsiflovchi statistika va induktiv statistika (statistik xulosa). Ta'riflovchi statistika eksperimental ma'lumotlarni to'plash, tizimlashtirish va qulay shaklda taqdim etish bilan bog'liq. Ushbu ma'lumotlarga asoslangan induktiv statistik ma'lumotlar yig'iladigan ob'ektlar yoki ularning parametrlari bo'yicha aniq xulosalar chiqarishga imkon beradi.

Matematik statistikaning tipik yo'nalishlari:

1) namuna olish nazariyasi;

2) taxminlar nazariyasi;

3) statistik gipotezalarni sinovdan o'tkazish;

4) regressiya tahlili;

5) dispersiyani tahlil qilish.

Matematik statistika bir qator asosiy tushunchalarga asoslanadi, ularsiz eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlashning zamonaviy usullarini o'rganish mumkin emas. Ulardan birinchisi orasida umumiy aholi va tanlab olish tushunchasi mavjud.

Ommaviy sanoat ishlab chiqarishda, har bir ishlab chiqarilgan mahsulotni tekshirmasdan, mahsulot sifati standartlarga javob beradimi yoki yo'qligini aniqlash uchun ko'pincha zarur bo'ladi. Ishlab chiqarilayotgan mahsulotlar soni juda ko'p bo'lganligi yoki mahsulotlarni tekshirish uni yaroqsiz holga keltirish bilan bog'liqligi sababli, oz sonli mahsulotlar tekshiriladi. Ushbu chek asosida mahsulotlarning butun seriyasida xulosa qilish kerak. Albatta, ulardan birini tekshirish orqali 1 million donadan iborat barcha tranzistorlar yaxshi yoki yomon deb ayta olmaydi. Boshqa tomondan, sinov uchun namuna olish jarayoni va sinovning o'zi ko'p vaqt talab qiladigan va qimmatga tushishi mumkin bo'lganligi sababli, mahsulotni tekshirish doirasi shunday bo'lishi kerakki, u minimal hajmga ega bo'lgan holda, butun mahsulot partiyasini ishonchli namoyish eta oladi. Shu maqsadda biz bir qator tushunchalarni kiritamiz.

O'rganilayotgan ob'ektlarning yoki eksperimental ma'lumotlarning butun majmuasi umumiy populyatsiya deb ataladi. Biz umumiy sonni tashkil etadigan ob'ektlar sonini yoki ma'lumotlar miqdorini N bilan belgilaymiz. N qiymati umumiy populyatsiya hajmi deyiladi. Agar N \u003e\u003e 1, ya'ni N juda katta bo'lsa, unda odatda N \u003d ¥ hisobga olinadi.

Tasodifiy tanlov yoki oddiygina tanlov - bu umumiy populyatsiyaning tasodifiy tanlangan qismidir. "Tasodifiy" so'zi umumiy populyatsiya ichidan har qanday ob'ektni tanlash ehtimoli bir xil ekanligini anglatadi. Bu muhim taxmin, ammo uni amalda sinab ko'rish ko'pincha qiyin.

Tanlov hajmi - bu ob'ektlar soni yoki namunani tashkil etadigan ma'lumotlar miqdori va n ... Keyinchalik, biz namunaning elementlarini navbati bilan x 1, x 2, ... x n raqamli qiymatlarini tayinlash mumkin deb hisoblaymiz. Masalan, ishlab chiqarilgan bipolyar tranzistorlar sifatini nazorat qilish jarayonida bu ularning doimiy daromadini o'lchash bo'lishi mumkin.

2. Namunaning sonli xarakteristikalari

2.1 O'rtacha namuna

N o'lchamdagi ma'lum bir namuna uchun uning namunasi o'rtacha

nisbati bilan belgilanadi

bu erda x i - namunaviy elementlarning qiymati. Odatda, siz tasodifiy namunalarning statistik xususiyatlarini tavsiflashni xohlaysiz, ulardan biri emas. Bu shuni anglatadiki, biz n o'lchamdagi etarlicha ko'p miqdordagi namunalarni qabul qiladigan matematik modelni ko'rib chiqamiz. Bunday holda, namunaviy elementlar tasodifiy o'zgaruvchilar sifatida qaraladi X i, umumiy populyatsiyaning ehtimollik zichligi bo'lgan f (x) ehtimollik zichligi bilan x i qiymatlarini olib. So'ngra, o'rtacha namuna ham tasodifiy o'zgaruvchidir

teng

Ilgari bo'lgani kabi, biz tasodifiy o'zgaruvchilarni katta harflar bilan, tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlarini esa kichik harflar bilan belgilaymiz.

Namuna olingan umumiy populyatsiyaning o'rtacha qiymati umumiy o'rtacha deb nomlanadi va m x bilan belgilanadi. Shuni kutish mumkinki, agar tanlangan o'lchov muhim bo'lsa, unda tanlangan o'rtacha umumiy o'rtacha qiymatdan sezilarli darajada farq qilmaydi. O'rtacha namunaning tasodifiy o'zgaruvchisi bo'lgani uchun, matematik kutishni quyidagicha topish mumkin:

Shunday qilib, o'rtacha tanlamaning matematik kutilishi umumiy o'rtacha qiymatga teng. Bunday holda, o'rtacha o'rtacha namunani xolis baholash deyiladi. Keyinchalik bu muddatga qaytamiz. Tanlangan o'rtacha umumiy o'rtacha atrofida o'zgarib turadigan tasodifiy o'zgaruvchiga ega bo'lgani uchun, ushbu dalgalanmayı o'rtacha o'rtacha farqi yordamida baholash maqsadga muvofiqdir. O'lchami n umumiy populyatsiya N (n) kattaligidan sezilarli darajada past bo'lgan namunani ko'rib chiqing<< N). Предположим, что при формировании выборки характеристики генеральной совокупности не меняются, что эквивалентно предположению N = ¥. Тогда

X i va X j (i¹j) tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil deb hisoblanishi mumkin, shuning uchun

Ushbu natijani dispersiya formulasiga almashtiring:

bu erda s 2 - umumiy populyatsiyaning dispersiyasi.

Ushbu formuladan kelib chiqadiki, tanlama kattalashishi bilan namunadagi tebranishlar o'rtacha o'rtacha atrofida s 2 / n ga kamayadi. Keling, buni bir misol bilan tushuntiraylik. Matematik kutish va dispersiya bilan mos ravishda m x \u003d 10, s 2 \u003d 9 ga teng tasodifiy signal bo'lsin.

Signal namunalari t 1, t 2, ..., teng masofada olinadi.

X (t)
X 1

t 1 t 2. ... ... t n t

Namunalar tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lgani uchun ularni X (t 1), X (t 2) ,. ... ... , X (t n).

Signalning matematik kutilishini baholashning standart og'ishi uning matematik kutishining 1% dan oshmasligi uchun hisoblashlar sonini aniqlaylik. M x \u003d 10 bo'lgani uchun bunga ehtiyoj bor

Boshqa tomondan, shuning uchun yoki shundan biz $ n-900 $ namunalarini olamiz.

2.2 Namuna dispersiyasi

Namuna ma'lumotlari uchun nafaqat tanlangan o'rtacha, balki namunaviy qiymatlarning tanlab olingan o'rtacha atrofida tarqalishini ham bilish muhimdir. Agar namunaviy o'rtacha umumiy o'rtacha qiymatni baholasa, u holda namunaviy dispersiya umumiy dispersiyani baholashi kerak. Namuna dispersiyasi

tasodifiy o'zgaruvchilardan iborat namuna uchun quyidagicha aniqlanadi

Namuna dispersiyasining ushbu tasviridan foydalanib, uning matematik kutilishini topamiz

(E.P. Vrublevskiy, O.E. Lixachev, L.G. Vrublevskaya)

Tadqiqotda ma'lum usullarni qo'llagan holda, oxirida eksperimentator o'rganilayotgan hodisani tavsiflash uchun mo'ljallangan har xil sonli ko'rsatkichlarning katta yoki kichik to'plamini oladi. Ammo olingan natijalarni tizimlashtirmasdan va to'g'ri qayta ishlamasdan, dalillarni chuqur va har tomonlama tahlil qilmasdan, ulardagi ma'lumotlarni chiqarib olish, naqshlarni kashf etish va asosli xulosalar chiqarish mumkin emas. Matnda keltirilgan natijalarni matematik qayta ishlash usullari har bir talaba uchun eng boshlang'ich va tushunarli bo'lib, namoyish xarakteriga ega. Bu shuni anglatadiki, misollar u yoki bu matematik-statistik usulning qo'llanilishini aks ettiradi va uning batafsil talqinini bermaydi.

O'rtacha qiymatlar va o'zgarish ko'rsatkichlari1. Keyinchalik muhim narsalar haqida gapirishdan oldin, umumiy va tanlangan populyatsiya kabi statistik tushunchalarni tushunish kerak. Har qanday belgi bilan birlashtirilgan raqamlar guruhi to'plam deb ataladi . Ba'zi ob'ektlar bo'yicha o'tkazilgan kuzatuvlar o'rganilayotgan aholining barcha a'zolarini istisnosiz qamrab olishi yoki uning faqat ma'lum bir qismini o'rganish bilan cheklanishi mumkin. Birinchi holda, kuzatuv doimiy yoki to'liq, ikkinchidan - qisman yoki tanlangan deb nomlanadi. To'liq so'rovnoma juda kamdan-kam hollarda o'tkaziladi, chunki bir qator sabablarga ko'ra u amalda mumkin emas yoki amaliy emas. Masalan, yengil atletika bo'yicha barcha sport ustalarini tekshirish mumkin emas. Shuning uchun, aksariyat hollarda, doimiy kuzatuv o'rniga, so'rovda qatnashgan aholining bir qismi o'rganiladi, unga ko'ra uning ahvoli umuman baholanadi.

Birgalikda o'rganish uchun uning a'zolarining bir qismi tanlangan populyatsiya umumiy populyatsiya deb ataladi va bu populyatsiyaning u yoki bu tarzda tanlangan qismi tanlangan populyatsiya yoki oddiygina tanlab olinadi. Umumiy aholi tushunchasi nisbiy ekanligini aniqlashtirish kerak. Bir holda, bularning barchasi sportchilar, ikkinchisida - shaharlar, universitetlar. Masalan, umumiy aholi orasida barcha universitet talabalari bo'lishi mumkin, va namuna futbol ixtisosligi talabalari bo'lishi mumkin. Har qanday populyatsiyadagi ob'ektlar soni hajm deb ataladi (umumiy populyatsiya kattaligi N bilan belgilanadi va tanlangan hajmi n).

Tegishli ishonchga ega bo'lgan namuna, uning elementlari umumiy populyatsiya orasidan noaniq tarzda tanlangan taqdirdagina, umumiy populyatsiyani ifodalaydi deb taxmin qilinadi. Buning bir necha yo'li mavjud: tasodifiy sonlar jadvaliga muvofiq namunani tanlash, har biridan ma'lum miqdordagi ob'ekt tanlanganida umumiy populyatsiyani bir-birini takrorlamaydigan guruhlarga bo'lish.

Tanlov hajmiga kelsak, matematik statistikaning asosiy qoidalariga muvofiq, namuna qancha vakili (ko'proq vakili) bo'lsa, shunchalik to'liq bo'ladi. Tadqiqotchi, o'z ishining rentabelligiga intilib, minimal namunaviy hajmga qiziqadi va bunday vaziyatda namunada tanlangan ob'ektlar soni murosali echim natijasidir. Namunaning umumiy populyatsiyani namoyish etish uchun etarlicha ishonchli ekanligini bilish uchun bir qator ko'rsatkichlarni (parametrlarni) aniqlash kerak.

O'rtacha arifmetikani hisoblashTanlangan arifmetik o'rtacha, kuzatilgan holatlarda o'rganilayotgan tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining o'rtacha darajasini tavsiflaydi va o'rganilayotgan atributning individual qiymatlari yig'indisini kuzatuvlarning umumiy soniga bo'lish yo'li bilan hisoblanadi:

, (1)

qaerda x men - qator varianti;

n - aholi soni.

The yig'indisi undan o'ng tomonda joylashgan ma'lumotlar yig'indisini belgilash uchun ishlatiladi. Σ ning pastki va yuqori ko'rsatkichlari qo'shimchani qaysi raqamda boshlash kerakligini va qanday ko'rsatkichlar bilan yakunlanishini ko'rsatadi. Demak, tartib sonlariga ega bo'lgan barcha xlarni 1 dan to raqamlarga qo'shish zarurligini anglatadi p... Belgida birinchi x dan oxirgi ko'rsatkichgacha bo'lgan barcha xlarning yig'indisi ko'rsatilgan.

Shunday qilib, (1) formuladan foydalangan holda hisob-kitoblar quyidagi tartibni o'z ichiga oladi:

1. Qabul qilinganlarning hammasi x i, ya'ni

2. Topilgan miqdor - aholi soniga bo'linadi p.

Ko'rsatkichlar bilan ishlashning qulayligi va ravshanligi uchun jadval tuzish kerak, chunki ular qo'shilishi kerak x i birinchi raqamdan oxirgi raqamgacha takrorlangan.

Masalan, o'rtacha arifmetik quyidagi formula bilan aniqlanadi.

O'lchov natijalari 1-jadvalda keltirilgan.

1-jadval

Sportchilarning sinov natijalari

Eksperiment natijasida olingan ma'lumotlar o'zgaruvchanligi bilan ajralib turadi, bu tasodifiy xato tufayli kelib chiqishi mumkin: o'lchov moslamasining xatosi, namunalarning bir xilligi va boshqalar. Ko'p miqdordagi bir hil ma'lumotlarni o'tkazgandan so'ng, eksperimentator ko'rib chiqilayotgan qiymat haqida eng aniq ma'lumotlarni olish uchun ularni qayta ishlashi kerak. Tajriba davomida olinishi mumkin bo'lgan o'lchov ma'lumotlarining katta hajmlarini, kuzatuvlarni va boshqalarni qayta ishlash uchun foydalanish qulay matematik statistika usullari.

Matematik statistika ehtimollik nazariyasi bilan uzviy bog'liqdir, ammo bu fanlar o'rtasida sezilarli farq mavjud. Ehtimollar nazariyasi tasodifiy o'zgaruvchilarning allaqachon ma'lum bo'lgan taqsimotlaridan foydalanadi, ularning asosida hodisalar ehtimolligi, matematik kutish va boshqalar hisoblab chiqiladi. Matematik statistika muammosi - eksperimental ma'lumotlarga asoslanib tasodifiy o'zgaruvchining tarqalishi to'g'risida eng ishonchli ma'lumotlarni olish.

Odatda ko'rsatmalar matematik statistika:

• namuna olish nazariyasi;
• taxminlar nazariyasi;
• statistik gipotezalarni sinovdan o'tkazish;
• regressiya tahlili;
• dispersiyani tahlil qilish.

Matematik statistika usullari

Gipotezalarni baholash va sinash usullari ma'lumotlar kelib chiqishining ehtimollik va giper tasodifiy modellariga asoslangan.

Matematik statistika ulardan taqsimotlarning muhim xususiyatlarini (median, matematik kutish, standart og'ish, kvantil va boshqalar), zichlik va taqsimot funktsiyalarini va boshqalarni ifodalovchi parametrlar va funktsiyalarni taxmin qiladi.

Zamonaviy matematik statistika katta bo'limni o'z ichiga oladi - statistik ketma-ket tahlil, unda bitta massiv bo'yicha kuzatuvlar majmuasini shakllantirishga ruxsat beriladi.

Matematik statistikada ham umumiy mavjud gipotezani sinash nazariyasi va uchun juda ko'p sonli usul maxsus farazlarni sinovdan o'tkazish (masalan, taqsimotning simmetriyasi haqida, parametrlar va xususiyatlarning qiymatlari haqida, empirik taqsimot funktsiyasining berilgan taqsimot funktsiyasi bilan kelishuvi haqida, bir xillikni sinash gipotezasi (ikkita namunadagi xususiyatlar yoki taqsimot funktsiyalarining tasodifiyligi) va boshqalar).

O'tkazish orqali namunaviy tadqiqotlargipotezalarni baholash va sinash uchun etarli usullarni qurish bilan, turli xil namuna olish sxemalarining xususiyatlari bilan bog'liq bo'lgan matematik statistika bo'limi katta ahamiyatga ega. Matematik statistika usullari bevosita quyidagi asosiy tushunchalardan foydalanadi.

Namuna

Ta'rif 1

Namuna olish tajriba davomida olingan ma'lumotlar chaqiriladi.

Masalan, bir xil yoki bir xil turdagi qurollarni otish paytida o'q masofasining natijalari.

Empirik taqsimlash funktsiyasi

Izoh 1

Tarqatish funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchining barcha muhim xususiyatlarini ifodalashga imkon beradi.

Matematik statistikada tushuncha mavjud nazariy (oldindan ma'lum emas) va empirik tarqatish funktsiyalari.

Empirik funktsiya tajriba ma'lumotlaridan (empirik ma'lumotlar) aniqlanadi, ya'ni. namuna bo'yicha.

shtrixli grafik

Gistogrammalar noma'lum taqsimotni vizual, ammo taxminiy aks ettirish uchun ishlatiladi.

shtrixli grafik ma'lumotlar taqsimotining grafik tasviridir.

Yuqori sifatli gistogrammani olish uchun quyidagilarga rioya qiling qoidalar:

• Namunadagi elementlarning soni tanlangan hajmdan sezilarli darajada kam bo'lishi kerak.
• Bo'linish oraliqlari etarlicha miqdordagi namunalarni o'z ichiga olishi kerak.

Agar namuna juda katta bo'lsa, namuna elementlari oralig'i ko'pincha teng qismlarga bo'linadi.

Namuna o'rtacha va namunaviy farq

Ushbu tushunchalardan foydalanib, tarqatish funktsiyasi, gistogramma va boshqalarni tuzishga murojaat qilmasdan noma'lum taqsimotning zaruriy raqamli xususiyatlarini taxmin qilish mumkin.

RANDOM QADRIYATLARI VA ULARNING TAYYORLANISH QONUNLARI.

Tasodifiy tasodifiy holatlar tasodifiga qarab qiymatlarni qabul qiladigan qiymat deyiladi. Farqlash diskret va tasodifiy davomiy kattaliklar.

Diskretmiqdor, agar u hisoblanadigan qiymatlar to'plamini oladigan bo'lsa, deyiladi. ( Misol:shifokor qabulida bo'lgan bemorlar soni, sahifadagi harflar soni, berilgan hajmdagi molekulalar soni).

Davomiybu ma'lum bir oraliqda qiymatlarni qabul qila oladigan miqdor. ( Misol: havo harorati, tana og'irligi, odamning bo'yi va boshqalar)

Tarqatish qonuni Tasodifiy o'zgaruvchi - bu miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami va ushbu qiymatlarga mos keladigan ehtimolliklar (yoki paydo bo'lish chastotalari).

PRI menga R:

x	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
p	p 1	2-bet	p 3	4-bet	...	p n

x	x 1	x 2	x 3	x 4	...	x n
m	m 1	m 2	m 3	m 4	...	m n

RANDOM QADRIYATLARINING RAQIMI XUSUSIYATLARI.

Ko'pgina hollarda, tasodifiy o'zgaruvchining yoki uning o'rniga taqsimlash bilan bir qatorda ushbu miqdorlar to'g'risida ma'lumot raqamli parametrlar bilan ta'minlanishi mumkin. tasodifiy o'zgaruvchining sonli xarakteristikalari ... Eng keng tarqalganlari:

1 .Kutilayotgan qiymat - (o'rtacha qiymat) tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari mahsulotlarining ushbu qiymatlarning ehtimoli bo'yicha yig'indisi:

2 .Tarqoqlik tasodifiy o'zgaruvchi:

3 .O'rtacha kvadratik burilish :

"Uchta belgi" qoidasi - agar tasodifiy o'zgaruvchi normal qonun bo'yicha taqsimlansa, u holda bu qiymatning o'rtacha qiymatdan o'rtacha qiymatdan chetga chiqishi standart og'ishning uch baravaridan oshmaydi

GAUSS QONUNI - NORMAL TARQIQ QONUNI

Ko'pincha taqsimlangan miqdorlar mavjud normal qonun (Gauss qonuni). asosiy xususiyati : bu boshqa tarqatish qonunlari yaqinlashadigan cheklovchi qonun.

Tasodifiy o'zgaruvchi normal qonun bo'yicha taqsimlanadi, agar u bo'lsa ehtimollik zichligi kabi ko'rinadi:

M (X)- tasodifiy o'zgaruvchini matematik kutish;

sstandart og'ishdir.

Ehtimollik zichligi (tarqatish funktsiyasi) ehtimollikning intervalgacha qanday o'zgarishini ko'rsatadi dx miqdorning qiymatiga qarab tasodifiy o'zgaruvchi:

MATEMATIKA STATISTIKASINING ASOSIY TUSHUNCHALARI

Matematik statistika - ehtimollik nazariyasi bilan bevosita bog'liq amaliy matematikaning bo'limi. Matematik statistika va ehtimollar nazariyasining asosiy farqi shundaki, matematik statistikada tasodifiy o'zgaruvchilarning tarqalish qonunlari va sonli xarakteristikalari bo'yicha harakatlar emas, balki tajribalar natijalari asosida ushbu qonunlarni va sonli xarakteristikalarni topishning taxminiy usullari hisoblanadi.

Asosiy tushunchalar matematik statistika:

1. Umumiy aholi;

2. namuna;

3. variatsiya diapazoni;

4. moda;

5. o'rtacha;

6. foizli,

7. chastotali ko'pburchak,

8. shtrixli grafik.

Umumiy aholi- tadqiqot uchun ba'zi ob'ektlar tanlangan ko'plab statistik aholi

(Misol: butun mintaqa aholisi, ma'lum bir shahar universitetlari talabalari va boshqalar)

Namuna (aholi soni) - umumiy aholi orasidan tanlangan ob'ektlar to'plami.

Variatsion qator- variant (tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari) va mos keladigan chastotalardan tashkil topgan statistik taqsimot.

Misol:

X, kg

m

x - tasodifiy o'zgaruvchining qiymati (10 yoshdagi qizlarning vazni);

m- paydo bo'lish chastotasi.

Moda - paydo bo'lishning eng yuqori chastotasiga mos keladigan tasodifiy o'zgaruvchining qiymati. (Yuqoridagi misolda mod 24 kg qiymatiga to'g'ri keladi, u boshqalarga qaraganda tez-tez uchraydi: m \u003d 20).

Median - taqsimotni yarmiga bo'ladigan tasodifiy o'zgaruvchining qiymati: qiymatlarning yarmi medianing o'ng tomonida, yarmi (ko'pi yo'q) - chapda joylashgan.

Misol:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Misolda biz tasodifiy o'zgaruvchining 40 qiymatini kuzatamiz. Barcha qiymatlar ularning paydo bo'lish chastotasiga qarab ortib boruvchi tartibda keltirilgan. 40 qiymatning 20 (yarmi) ajratilgan 7 qiymatidan o'ng tomonda joylashganligini ko'rishingiz mumkin. Shuning uchun, 7 o'rtacha.

Tarqoqlikni xarakterlash uchun biz o'lchov natijalarining 25 va 75% dan oshmagan qiymatlarni topamiz. Ushbu qiymatlar 25 va 75-chi deb nomlanadi foizlar ... Agar mediana taqsimotning yarmini kamaytirsa, unda 25 va 75-foizlar to'rtdan biriga kesiladi. (Aytgancha, medianing o'zi 50-foizli deb hisoblanishi mumkin.) Misoldan ko'rinib turibdiki, 25 va 75-chi foizlar mos ravishda 3 va 8 ga teng.

Foydalanish diskret (nuqta) statistik taqsimot va davomiy (intervalli) statistik taqsimot.

Aniqlik uchun statistik taqsimotlar grafik tarzda tasvirlangan chastotali ko'pburchak yoki - gistogrammalar .

Chastotani ko'pburchagi- segmentlari nuqtalarni koordinatalari bilan bog'laydigan polilin ( x 1, m 1), (x 2, m 2), ..., yoki uchun nisbiy chastotalarning ko'pburchagi - koordinatalar bilan ( x 1, p * 1), (x 2, p * 2), ... (1-rasm).

m m i / n f (x)

Shakl 1 Shakl 2

Chastotalar gistogrammasi- bitta to'g'ri chiziq ustiga qurilgan qo'shni to'rtburchaklar to'plami (2-rasm), to'rtburchaklar asoslari bir xil va teng dx , va balandliklar chastotaning nisbatiga teng dx , yoki r * ga dx (ehtimollik zichligi).

Misol:

x, kg	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4
m

Chastotani ko'pburchagi

Nisbiy chastotaning interval kengligiga nisbati deyiladi ehtimollik zichligi f (x) \u003d m i / n dx \u003d p * i / dx

Gistogramma tuzishga misol .

Keling, avvalgi misoldan olingan ma'lumotlarni ishlatamiz.

1. Sinf intervallari sonini hisoblash

qaerda n - kuzatuvlar soni. Bizning holatlarimizda n = 100 ... Shuning uchun:

2. Interval kengligini hisoblash dx :

,

3. Intervalli qatorni tuzish:

dx	2.7-2.9	2.9-3.1	3.1-3.3	3.3-3.5	3.5-3.7	3.7-3.9	3.9-4.1	4.1-4.3	4.3-4.5
m
f (x)	0.3	0.75	1.25	0.85	0.55	0.6	0.4	0.25	0.05

shtrixli grafik

Matematik statistika usullari, qoida tariqasida, tadqiqot materiallarini tahlil qilishning barcha bosqichlarida aniq namunaviy ma'lumotlar asosida muammolarni hal qilish, natijalarni baholash strategiyasini tanlash uchun ishlatiladi. Materialni qayta ishlash uchun matematik statistika usullari ishlatilgan. Materiallarga matematik ishlov berish ob'ektiv ma'lumotlarning miqdoriy parametrlarini aniq aniqlash va baholash, ularni turli xil nisbatlarda va bog'liqlikda tahlil qilish va taqdim etishga imkon beradi. Ular ma'lum holatlar to'plami to'g'risidagi miqdoriy ma'lumotlarni o'z ichiga olgan yig'ilgan materiallardagi qiymatlarning o'zgaruvchanlik o'lchovini aniqlashga imkon beradi, ularning ba'zilari taxmin qilingan havolalarni tasdiqlaydi, ba'zilari esa ularni oshkor qilmaydi, tanlangan holatlar to'plami orasidagi miqdoriy farqlarning ishonchliligini hisoblaydi va faktlarni to'g'ri talqin qilish uchun zarur bo'lgan boshqa matematik xususiyatlarni oladi. ... Tadqiqot davomida olingan farqlarning ishonchliligi Studentning t-testi bilan aniqlandi.

Quyidagi qiymatlar hisoblab chiqilgan.

1. Tanlangan namunaning o'rtacha arifmetik qiymati.

Ko'rib chiqilayotgan populyatsiyaning o'rtacha qiymatini tavsiflaydi. O'lchov natijalarini belgilaymiz. Keyin:

bu erda Y - joriy indeks i 1 dan n ga o'zgarganda barcha qiymatlar yig'indisi.

2. Dispersiyani tavsiflovchi standart og'ish (standart og'ish), hisoblangan populyatsiyaning o'rtacha arifmetikka nisbatan tarqalishi.

\u003d (x max - x min) / k

standart og'ish qaerda

xmax - jadvalning maksimal qiymati;

xmin - jadvalning minimal qiymati;

k - koeffitsient

3. O'rtacha o'rtacha arifmetik xato yoki vakillik xatosi (m). O'rtacha arifmetik o'rtacha xatosi namunaviy arifmetik o'rtacha o'rtacha populyatsiya arifmetik o'rtacha qiymatidan chetlanish darajasini tavsiflaydi.

O'rtacha arifmetik standart xato quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

bu erda y - o'lchov natijalarining standart og'ishi,

n - namuna hajmi. Kichikroq m, natijalarning barqarorligi va barqarorligi qanchalik baland.

4. Talaba mezoni.

(numeratorda - ikki guruh vositalari o'rtasidagi farq, maxrajda - ushbu vositalarning standart xatolari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizi).

Tadqiqot natijalarini qayta ishlashda Excel to'plami bo'lgan kompyuter dasturi ishlatilgan.

Tadqiqotni tashkil etish

Tadqiqot biz tomonidan umumiy qabul qilingan qoidalar asosida amalga oshirildi va 3 bosqichda amalga oshirildi.

Birinchi bosqichda ko'rib chiqilgan tadqiqot muammosi bo'yicha olingan materiallar to'plandi va tahlil qilindi. Ilmiy tadqiqot mavzusi shakllandi. Ushbu bosqichdagi adabiyotlarni tahlil qilish tadqiqotning maqsadi va vazifalarini belgilashga imkon berdi. 30 metrga yugurish texnikasini dastlabki sinovlari o'tkazildi.<... class="gads_sm">

Uchinchi bosqichda ilmiy izlanishlar natijasida olingan materiallar tizimlashtirildi, tadqiqot muammosi bo'yicha mavjud bo'lgan barcha ma'lumotlar umumlashtirildi.

Eksperimental o'rganish "Lyaxovichi umumta'lim maktabi" davlat ta'lim muassasasi negizida olib borildi, jami 6 (11-12 yosh) sinflarning 20 o'quvchisidan iborat namunani tashkil etdi.

3-bob. Tadqiqot natijalarini tahlil qilish

Pedagogik eksperiment natijasida biz nazorat va tajriba guruhlari talabalari o'rtasida 30 metrga yugurish texnikasining boshlang'ich darajasini aniqladik (1-2-ilova). Olingan natijalarni statistik qayta ishlash quyidagi ma'lumotlarni olish imkonini berdi (6-jadval).

Jadval 6. Ishlash sifatining dastlabki darajasi

6-jadvaldan ko'rinib turibdiki, nazorat va tajriba guruhlaridagi sportchilar o'rtasida o'rtacha ball soni statistik jihatdan farq qilmaydi, tajriba guruhida o'rtacha ball 3,6 ballni, nazorat guruhida esa 3,7 ballni tashkil etadi. Ikkala guruhdagi T-test temp \u003d 0,3; P? 0,05, tcrit \u003d 2,1 da; Dastlabki sinov natijalari shuni ko'rsatdiki, ko'rsatkichlar mashg'ulotlarga bog'liq emas va tasodifiy xarakterga ega. Dastlabki sinovlarga ko'ra, nazorat guruhidagi ishlaydigan sifat ko'rsatkichlari tajriba guruhidagi ko'rsatkichlardan bir oz yuqori bo'lgan. Ammo guruhlarda statistik jihatdan ahamiyatli farqlar mavjud emas edi, bu nazorat va eksperimental guruhlar o'quvchilarining 30 metrga yugurish texnikasi kimligini tasdiqlaydi.

Ikkala guruhdagi tajriba davomida yugurish texnikasi samaradorligini tavsiflovchi ko'rsatkichlar yaxshilandi. Biroq, bu yaxshilanish eksperiment ishtirokchilarining turli guruhlarida turlicha edi. Trening natijasida nazorat guruhidagi ko'rsatkichlarning muntazam ravishda kichik o'sishi aniqlandi (3,8 ball). 2-ilovadan ko'rinib turibdiki, tajriba guruhida ko'rsatkichlarning katta o'sishi aniqlandi. Talabalar biz taklif qilgan dastur bo'yicha o'qishdi, bu ko'rsatkichlarni sezilarli darajada yaxshiladi.

Jadval 7. Eksperimental guruh sub'ektlari orasida ishlash sifatidagi o'zgarishlar

Tajriba davomida biz tajriba guruhidagi yuklarning ko'payishi nazorat guruhiga qaraganda tezlikni rivojlantirishda sezilarli yaxshilanishlarni berganligini aniqladik.

O'smirlik davrida harakatlarning chastotasini oshirishga qaratilgan jismoniy tarbiya vositalaridan ustun foydalanish orqali tezlikni rivojlantirish maqsadga muvofiqdir. 12-15 yoshlarda tezkorlik qobiliyatlari kuchayadi, asosan basketbol va yengil atletika sport bo'limida jismoniy tarbiya darslari va sinfdan tashqari mashg'ulotlarni o'tkazish jarayonida foydalanganmiz, asosan tezkorlik va kuch mashqlaridan foydalanish natijasida.

Eksperimental guruhdagi darslar davomida asoratning qat'iy bosqichlari va motor tajribasi kuzatildi. Xatolar o'z vaqtida tuzatildi. Haqiqiy ma'lumotlarning tahlili shuni ko'rsatdiki, eksperimental o'qitish usuli yugurish texnikasi sifatida sezilarli darajada o'zgargan (temp \u003d 2.4). Eksperimental guruhda olingan natijalarni tahlil qilish va ularni umumiy qabul qilingan o'qitish metodikasidan foydalangan holda nazorat guruhida olingan ma'lumotlar bilan taqqoslash biz taklif qilgan metodika o'quv samaradorligini oshiradi deb ta'kidlashga asos beradi.

Shunday qilib, maktabda 30 metrga yugurish metodikasini takomillashtirish bosqichida biz tajriba va nazorat guruhlarida sinov ko'rsatkichlari o'zgarishi dinamikasini aniqladik. Eksperimentdan so'ng texnika sifati eksperimental guruhda 4,9 ballgacha ko'tarildi (t \u003d 3.3; P? 0.05). Tajriba yakunida eksperimental guruhdagi yugurish texnikasi sifati nazorat guruhiga nisbatan yuqori bo'ldi.