Raqamlarni ko'paytirishda ko'rsatkichlar bilan nima sodir bo'ladi. Darajalar xossalari: formulalar, isbotlar, misollar. Salbiy asosli daraja

Matematika fanidan daraja tushunchasi 7-sinfdayoq algebra darsida kiritiladi. Kelajakda matematikani o'rganish davomida bu tushuncha turli xil shakllarda faol qo'llaniladi. Darajalar - bu juda qiyin mavzu bo'lib, u qadriyatlarni yodlashni va to'g'ri va tez hisoblash qobiliyatini talab qiladi. Matematik darajalar bilan tezroq va yaxshiroq ishlash uchun ular darajaning xususiyatlarini o'ylab topdilar. Ular katta hisob-kitoblarni qisqartirishga, ulkan misolni ma'lum darajada yagona raqamga aylantirishga yordam beradi. Xususiyatlari unchalik ko'p emas va ularning barchasini eslab qolish va amalda qo'llash oson. Shuning uchun maqolada darajaning asosiy xususiyatlari, shuningdek, ular qayerda qo'llanilishi muhokama qilinadi.

daraja xususiyatlari

Biz darajaning 12 ta xususiyatini, shu jumladan bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarning xususiyatlarini ko'rib chiqamiz va har bir xususiyatga misol keltiramiz. Ushbu xususiyatlarning har biri darajalar bilan bog'liq muammolarni tezroq hal qilishga yordam beradi, shuningdek sizni ko'plab hisoblash xatolaridan qutqaradi.

1- mulk.

Ko'p odamlar ko'pincha bu xususiyatni unutishadi, xato qilishadi, nol darajagacha raqamni nolga tenglashtiradilar.

2-chi mulk.

3-chi mulk.

Shuni esda tutish kerakki, bu xususiyat faqat raqamlarni ko'paytirishda ishlatilishi mumkin, u yig'indi bilan ishlamaydi! Va shuni unutmasligimiz kerakki, bu va quyidagi xususiyatlar faqat bir xil asosga ega kuchlarga tegishli.

4-chi mulk.

Agar maxrajdagi raqam manfiy darajaga ko'tarilsa, ayirishda keyingi hisob-kitoblarda belgini to'g'ri almashtirish uchun maxrajning darajasi qavs ichida olinadi.

Mulk faqat bo'lishda ishlaydi, ayirishda emas!

5-chi mulk.

6-chi mulk.

Bu xususiyat teskari tarzda ham qo'llanilishi mumkin. Raqamga ma'lum darajada bo'lingan birlik, bu raqam manfiy darajadir.

7-chi mulk.

Bu xususiyatni yig'indi va farqga qo'llash mumkin emas! Yig'indi yoki farqni darajaga ko'tarishda kuchning xususiyatlari emas, balki qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qo'llaniladi.

8-chi mulk.

9-chi mulk.

Bu xususiyat birga teng bo'lgan har qanday kasr daraja uchun ishlaydi, formula bir xil bo'ladi, faqat darajaning maxrajiga qarab ildiz darajasi o'zgaradi.

Bundan tashqari, bu xususiyat ko'pincha teskari tartibda ishlatiladi. Raqamning har qanday darajasining ildizi bu raqamning ildizning kuchiga bo'lingan birining kuchiga ko'rinishida ifodalanishi mumkin. Bu xususiyat sonning ildizi chiqarilmagan hollarda juda foydali.

10-chi mulk.

Bu xususiyat nafaqat kvadrat ildiz va ikkinchi daraja bilan ishlaydi. Agar ildizning darajasi va bu ildizning ko'tarilish darajasi bir xil bo'lsa, javob radikal ifoda bo'ladi.

11- mulk.

O'zingizni katta hisob-kitoblardan qutqarish uchun uni hal qilishda siz ushbu xususiyatni o'z vaqtida ko'rishingiz kerak.

12- mulk.

Ushbu xususiyatlarning har biri sizni vazifalarda bir necha marta uchratadi, u sof shaklda berilishi mumkin yoki ba'zi o'zgarishlarni va boshqa formulalardan foydalanishni talab qilishi mumkin. Shuning uchun, to'g'ri hal qilish uchun faqat xususiyatlarni bilish etarli emas, siz matematik bilimlarning qolgan qismini mashq qilishingiz va bog'lashingiz kerak.

Darajalar va ularning xossalarini qo'llash

Ular algebra va geometriyada faol qo'llaniladi. Matematika bo'yicha darajalar alohida, muhim o'rin tutadi. Ularning yordami bilan eksponensial tenglamalar va tengsizliklar echiladi, shuningdek, kuchlar ko'pincha matematikaning boshqa bo'limlari bilan bog'liq tenglamalar va misollarni murakkablashtiradi. Ko'rsatkichlar katta va uzoq hisoblardan qochishga yordam beradi, ko'rsatkichlarni kamaytirish va hisoblash osonroq. Ammo katta kuchlar yoki katta sonli kuchlar bilan ishlash uchun siz nafaqat darajaning xususiyatlarini bilishingiz, balki bazalar bilan malakali ishlashingiz, vazifangizni osonlashtirish uchun ularni parchalay olishingiz kerak. Qulaylik uchun siz kuchga ko'tarilgan raqamlarning ma'nosini ham bilishingiz kerak. Bu uzoq hisob-kitoblarga bo'lgan ehtiyojni yo'qotib, hal qilish uchun vaqtingizni qisqartiradi.

Logarifmlarda daraja tushunchasi alohida o‘rin tutadi. Chunki logarifm, mohiyatan, sonning kuchidir.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari kuchlardan foydalanishning yana bir misolidir. Ular darajalarning xususiyatlaridan foydalana olmaydilar, ular maxsus qoidalarga muvofiq parchalanadi, lekin har bir qisqartirilgan ko'paytirish formulasida har doim darajalar mavjud.

Darslar fizika va informatika fanlarida ham faol qo'llaniladi. SI tizimidagi barcha tarjimalar darajalar yordamida amalga oshiriladi va kelajakda muammolarni hal qilishda darajaning xususiyatlari qo'llaniladi. Informatika fanida raqamlarni hisoblash va idrok etishni soddalashtirish uchun ikkita kuch faol qo'llaniladi. O'lchov birliklarini konvertatsiya qilish yoki muammolarni hisoblash bo'yicha keyingi hisoblar, xuddi fizikada bo'lgani kabi, daraja xususiyatlaridan foydalangan holda amalga oshiriladi.

Darajalar astronomiyada ham juda foydali bo'lib, u erda siz kamdan-kam hollarda darajaning xususiyatlaridan foydalanishni topishingiz mumkin, ammo darajalarning o'zi turli miqdorlar va masofalarni yozishni qisqartirish uchun faol ishlatiladi.

Darajalar kundalik hayotda maydonlarni, hajmlarni, masofalarni hisoblashda ham qo'llaniladi.

Darajalar yordamida har qanday fan sohasida juda katta va juda kichik qiymatlar yoziladi.

ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar

Daraja xossalari aniq ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarda alohida o'rin tutadi. Bu vazifalar maktab kursida ham, imtihonlarda ham juda keng tarqalgan. Ularning barchasi daraja xususiyatlarini qo'llash orqali hal qilinadi. Noma'lum har doim darajaning o'zida bo'ladi, shuning uchun barcha xususiyatlarni bilgan holda, bunday tenglama yoki tengsizlikni echish qiyin bo'lmaydi.

Quvvatlarni qo'shish va ayirish

Shubhasiz, kuchga ega raqamlar boshqa miqdorlar kabi qo'shilishi mumkin , ularni belgilari bilan birma-bir qo'shish orqali.

Shunday qilib, a 3 va b 2 yig'indisi a 3 + b 2 ga teng.
3 - b n va h 5 -d 4 yig'indisi 3 - b n + h 5 - d 4 ga teng.

Imkoniyatlar bir xil o'zgaruvchilarning bir xil kuchlari qo'shish yoki ayirish mumkin.

Demak, 2a 2 va 3a 2 yig‘indisi 5a 2 ga teng.

Bundan tashqari, agar ikkita kvadrat a yoki uchta kvadrat a yoki besh kvadrat a ni oladigan bo'lsak, bu ham aniq.

Ammo darajalar turli o'zgaruvchilar va turli darajalar bir xil o'zgaruvchilar, ularning belgilariga qo'shish orqali qo'shilishi kerak.

Shunday qilib, 2 va 3 ning yig'indisi 2 + a 3 ning yig'indisidir.

Ko'rinib turibdiki, a ning kvadrati va a ning kubi a ning kvadratidan ikki marta emas, balki a ning kubidan ikki barobar kattadir.

3 b n va 3a 5 b 6 yig'indisi a 3 b n + 3a 5 b 6 ga teng.

Ayirish vakolatlar qo'shish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi, bundan mustasno, subtrahend belgilari mos ravishda o'zgartirilishi kerak.

Yoki:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 soat 2 b 6 - 4 soat 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Quvvatni ko'paytirish

Quvvatli sonlar boshqa miqdorlar kabi ularni birin-ketin yozish orqali, ular orasidagi ko'paytirish belgisi bilan yoki ko'paytirmasdan ko'paytirilishi mumkin.

Demak, a 3 ni b 2 ga ko'paytirish natijasi 3 b 2 yoki aaabb bo'ladi.

Yoki:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Oxirgi misoldagi natija bir xil o'zgaruvchilarni qo'shish orqali tartibga solinishi mumkin.
Ifoda quyidagi shaklni oladi: a 5 b 5 y 3 .

Bir nechta raqamlarni (o'zgaruvchilarni) darajalar bilan taqqoslab, biz ularning har qanday ikkitasi ko'paytirilsa, natijada quvvatga teng bo'lgan son (o'zgaruvchi) ekanligini ko'rishimiz mumkin. so'm atamalar darajalari.

Demak, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Bu erda 5 - ko'paytirish natijasining kuchi, 2 + 3 ga teng, atamalar vakolatlari yig'indisi.

Demak, a n .a m = a m+n.

a n uchun a koeffitsient sifatida n ning kuchi qancha bo'lsa, shuncha ko'p marta olinadi;

Va a m , koeffitsient sifatida qancha marta m darajaga teng bo'lsa, shuncha qabul qilinadi;

Shunday qilib, bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni darajalarni qo'shish orqali ko'paytirish mumkin.

Demak, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Va x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Yoki:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Ko'paytiring (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Javob: x 4 - y 4.
Ko'paytiring (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Bu qoida ko'rsatkichlari - bo'lgan sonlar uchun ham amal qiladi salbiy.

1. Demak, a -2 .a -3 = a -5 . Buni (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa shaklida yozish mumkin.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n.

Agar a + b a - b ga ko'paytirilsa, natija 2 - b 2 bo'ladi: ya'ni

Ikki sonning yig'indisini yoki farqini ko'paytirish natijasi ularning kvadratlari yig'indisiga yoki farqiga teng bo'ladi.

Ikki sonning yig'indisi va farqi ga ko'tarilsa kvadrat, natijada bu raqamlarning yig'indisi yoki farqiga teng bo'ladi to'rtinchi daraja.

Demak, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Darajalar bo'limi

Kuchli sonlarni boshqa sonlar kabi boʻluvchidan ayirish yoki kasr shaklida joylashtirish yoʻli bilan boʻlish mumkin.

Demak, a 3 b 2 b 2 ga bo'lingan holda a 3 bo'ladi.

3 ga bo'lingan 5 ni yozish $\fracga o'xshaydi $. Lekin bu 2 ga teng. Raqamlar qatorida
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
har qanday sonni boshqasiga bo'lish mumkin va ko'rsatkich teng bo'ladi farq bo'linadigan sonlarning ko'rsatkichlari.

Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi..

Demak, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ya'ni, $\frac = y$.

Va a n+1:a = a n+1-1 = a n. Ya'ni, $\frac = a^n$.

Yoki:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Qoida bilan raqamlar uchun ham amal qiladi salbiy daraja qiymatlari.
-5 ni -3 ga bo'lish natijasi -2 ga teng.
Shuningdek, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 yoki $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Quvvatlarni ko'paytirish va bo'lishni juda yaxshi o'zlashtirish kerak, chunki bunday amallar algebrada juda keng qo'llaniladi.

Raqamli sonlarni o'z ichiga olgan kasrli misollarni echishga misollar

1. $\frac $ da koʻrsatkichlarni qisqartiring Javob: $\frac $.

2. $\frac$ ko'rsatkichlarini kamaytiring. Javob: $\frac $ yoki 2x.

3. a 2 / a 3 va a -3 / a -4 ko'rsatkichlarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
a 2 .a -4 birinchi raqam -2 hisoblanadi.
a 3 .a -3 0 = 1, ikkinchi numerator.
a 3 .a -4 a -1 , umumiy son.
Soddalashtirilgandan keyin: a -2 /a -1 va 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 va 2 /a 4 darajalarini qisqartiring va umumiy maxrajga keltiring.
Javob: 2a 3/5a 7 va 5a 5/5a 7 yoki 2a 3/5a 2 va 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 ni (a - b)/3 ga ko'paytiring.

6. (a 5 + 1)/x 2 ni (b 2 - 1)/(x + a) ga ko'paytiring.

7. b 4 /a -2 ni h -3 /x va a n /y -3 ga ko'paytiring.

8. 4 /y 3 ni 3 /y 2 ga bo'ling. Javob: a/y.

daraja xususiyatlari

Ushbu darsda biz tushunganimizni eslatib o'tamiz daraja xususiyatlari tabiiy ko'rsatkichlar va nolga teng. Ratsional ko'rsatkichli darajalar va ularning xususiyatlari 8-sinf uchun darslarda muhokama qilinadi.

Tabiiy ko'rsatkichli ko'rsatkich bir qancha muhim xususiyatlarga ega bo'lib, ular ko'rsatkich misollarida hisoblarni soddalashtirishga imkon beradi.

№1 mulk
Quvvatlarning mahsuli

Bir xil asosga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishda asos o'zgarishsiz qoladi va darajalar qo'shiladi.

a m a n \u003d a m + n, bu erda "a" har qanday raqam va "m", "n" - har qanday natural sonlar.

Vakolatlarning bu xossasi uch yoki undan ortiq vakolatlar mahsulotiga ham ta'sir qiladi.

• Ifodani soddalashtiring.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Diplom sifatida taqdim eting.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Diplom sifatida taqdim eting.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

E'tibor bering, ko'rsatilgan mulkda gap faqat bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish haqida edi.. Bu ularning qo'shilishiga taalluqli emas.

Siz yig'indini (3 3 + 3 2) 3 5 bilan almashtira olmaysiz. Bu tushunarli, agar
hisoblang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 va 3 5 = 243

№2 mulk
Xususiy darajalar

Bir xil asosga ega bo'lgan darajalarni bo'lishda asos o'zgarishsiz qoladi va bo'linuvchining ko'rsatkichi dividendning ko'rsatkichidan chiqariladi.

• Ko'rsatkichni daraja sifatida yozing
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
• Hisoblash.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Misol. Tenglamani yeching. Biz qisman darajalar xususiyatidan foydalanamiz.
3 8: t = 3 4

Javob: t = 3 4 = 81

No1 va 2-sonli xususiyatlardan foydalanib, siz ifodalarni osongina soddalashtirishingiz va hisob-kitoblarni bajarishingiz mumkin.

Misol. Ifodani soddalashtiring.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5

Misol. Daraja xossalaridan foydalanib ifoda qiymatini toping.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

E'tibor bering, 2-mulk faqat bir xil asoslar bilan vakolatlarni taqsimlash bilan bog'liq.

Farqni (4 3 −4 2) 4 1 bilan almashtira olmaysiz. Agar siz (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 va 4 1 = 4 ni hisoblasangiz, buni tushunish mumkin.

№3 mulk
Koʻrsatkich koʻtarish

Quvvatni kuchga ko'targanda, quvvatning asosi o'zgarishsiz qoladi va ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.

(a n) m \u003d a n m, bu erda "a" har qanday raqam va "m", "n" - har qanday natural sonlar.

Sizga shuni eslatib o'tamizki, qism kasr sifatida ko'rsatilishi mumkin. Shuning uchun biz keyingi sahifada kasrni kuchga ko'tarish mavzusiga batafsil to'xtalib o'tamiz.

Quvvatlarni qanday ko'paytirish kerak

Quvvatlarni qanday ko'paytirish kerak? Qaysi kuchlarni ko'paytirish mumkin va qaysi biri mumkin emas? Raqamni kuchga qanday ko'paytirish mumkin?

Algebrada kuchlar mahsulotini ikki holatda topish mumkin:

1) agar darajalar bir xil asosga ega bo'lsa;

2) darajalar bir xil ko'rsatkichlarga ega bo'lsa.

Bir xil asosga ega darajalarni ko'paytirishda asos bir xil bo'lishi kerak va ko'rsatkichlar qo'shilishi kerak:

Darajani bir xil ko'rsatkichlar bilan ko'paytirishda umumiy ko'rsatkich qavs ichidan chiqarilishi mumkin:

Muayyan misollar bilan kuchlarni qanday ko'paytirishni ko'rib chiqing.

Ko'rsatkichdagi birlik yozilmagan, ammo darajalarni ko'paytirishda ular hisobga olinadi:

Ko'paytirishda darajalar soni har qanday bo'lishi mumkin. Shuni esda tutish kerakki, siz ko'paytirish belgisini harfdan oldin yoza olmaysiz:

Ifodalarda birinchi navbatda daraja ko'tariladi.

Agar siz raqamni darajaga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, avval ko'rsatkichni, keyin esa ko'paytirishni amalga oshirishingiz kerak:

Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish

Ushbu video darslik obuna orqali mavjud

Sizda allaqachon obuna bormi? Kirish uchun

Ushbu darsda biz bir xil asos bilan kuchlarni qanday ko'paytirishni o'rganamiz. Birinchidan, biz daraja ta'rifini eslaymiz va tenglikning haqiqiyligi bo'yicha teoremani shakllantiramiz . Keyin uning aniq raqamlarga qo'llanilishiga misollar keltiramiz va buni isbotlaymiz. Teoremani turli masalalarni yechishda ham qo‘llaymiz.

Mavzu: Tabiiy ko`rsatkichli daraja va uning xossalari

Dars: Bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirish (formula)

1. Asosiy ta’riflar

Asosiy ta'riflar:

n- ko'rsatkich,

— n-sonning darajasi.

2. 1-teoremaning bayoni

Teorema 1. Har qanday raqam uchun a va har qanday tabiiy n va k tenglik to'g'ri:

Boshqacha aytganda: agar a- istalgan raqam; n va k natural sonlar, keyin:

Shunday qilib, 1-qoida:

3. Vazifalarni tushuntirish

Xulosa: maxsus holatlar No1 teoremaning to'g'riligini tasdiqladi. Keling, buni umumiy holatda, ya'ni har qanday uchun isbotlaylik a va har qanday tabiiy n va k.

4. 1-teoremani isbotlash

Raqam berilgan a- har qanday; raqamlar n va k- tabiiy. Isbot qiling:

Dalil daraja ta'rifiga asoslanadi.

5. 1-teorema yordamida misollarni yechish

1-misol: Diplom sifatida taqdim eting.

Quyidagi misollarni yechish uchun biz 1-teoremadan foydalanamiz.

g)

6. 1-teoremani umumlashtirish

Mana umumlashma:

7. 1-teoremani umumlashtirish yordamida misollarni yechish

8. 1-teoremadan foydalanib, turli masalalar yechish

2-misol: Hisoblang (asosiy darajalar jadvalidan foydalanishingiz mumkin).

a) (jadvalga ko'ra)

b)

3-misol: 2-asos bilan kuch sifatida yozing.

a)

4-misol: Raqamning belgisini aniqlang:

, a - salbiy, chunki -13 da ko'rsatkich toq.

5-misol:( ) ni asosli quvvat bilan almashtiring r:

Bizda bor, ya'ni.

9. Xulosa qilish

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. va boshqalar Algebra 7. 6-nashr. M.: Ma'rifat. 2010 yil

1. Maktab yordamchisi (Manba).

1. Daraja sifatida ifodalang:

a B C D E)

3. 2-asos bilan daraja sifatida yozing:

4. Sonning ishorasini aniqlang:

a)

5. ( ) ni asosli sonning darajasi bilan almashtiring r:

a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6

Ko'rsatkichlar bir xil bo'lgan darajalarni ko'paytirish va bo'lish

Ushbu darsda biz bir xil darajali darajalarni ko'paytirishni o'rganamiz. Birinchidan, bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirish va bo'lish va kuchni bir darajaga ko'tarish haqidagi asosiy ta'rif va teoremalarni eslaylik. Keyin darajalarni bir xil ko'rsatkichlar bilan ko'paytirish va bo'lish teoremalarini tuzamiz va isbotlaymiz. Va keyin ularning yordami bilan biz bir qator tipik muammolarni hal qilamiz.

Asosiy ta'riflar va teoremalarni eslatish

Bu yerda a- daraja bazasi

— n-sonning darajasi.

Teorema 1. Har qanday raqam uchun a va har qanday tabiiy n va k tenglik to'g'ri:

Bir xil asos bilan kuchlarni ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi, asos o'zgarishsiz qoladi.

Teorema 2. Har qanday raqam uchun a va har qanday tabiiy n va k, shu kabi n > k tenglik to'g'ri:

Bir xil asosga ega darajalarni bo'lishda ko'rsatkichlar ayiriladi va asos o'zgarishsiz qoladi.

Teorema 3. Har qanday raqam uchun a va har qanday tabiiy n va k tenglik to'g'ri:

Yuqoridagi barcha teoremalar bir xil kuchlar haqida edi asoslar, bu darsda bir xil darajalar ko'rib chiqiladi ko'rsatkichlar.

Bir xil darajalar bilan darajalarni ko'paytirishga misollar

Quyidagi misollarni ko'rib chiqing:

Darajani aniqlash uchun iboralarni yozamiz.

Xulosa: Buni misollardan ko'rish mumkin , lekin bu hali ham isbotlanishi kerak. Biz teoremani shakllantiramiz va uni umumiy holatda, ya'ni har qanday uchun isbotlaymiz a va b va har qanday tabiiy n.

4-teoremaning bayoni va isboti

Har qanday raqamlar uchun a va b va har qanday tabiiy n tenglik to'g'ri:

Isbot Teorema 4 .

Darajaning ta'rifi bo'yicha:

Shunday qilib, biz buni isbotladik .

Bir xil darajali darajalarni ko'paytirish uchun asoslarni ko'paytirish va ko'rsatkichni o'zgarishsiz qoldirish kifoya.

5-teoremaning bayoni va isboti

Biz darajalarni bir xil ko'rsatkichlarga bo'lish teoremasini tuzamiz.

Har qanday raqam uchun a va b() va har qanday tabiiy n tenglik to'g'ri:

Isbot Teorema 5 .

Keling, daraja ta'rifi bo'yicha yozamiz:

Teoremalarning so'z bilan ifodalanishi

Shunday qilib, biz buni isbotladik.

Bir xil darajali darajalarni bir-biriga bo'lish uchun bir asosni boshqasiga bo'lish va ko'rsatkichni o'zgarishsiz qoldirish kifoya.

4-teoremadan foydalanib, tipik masalalarni yechish

1-misol: Kuchlar mahsuli sifatida ifoda eting.

Quyidagi misollarni yechish uchun biz 4-teoremadan foydalanamiz.

Quyidagi misolni hal qilish uchun formulalarni eslang:

4-teoremani umumlashtirish

4-teoremani umumlashtirish:

Umumlashtirilgan teorema 4 yordamida misollarni yechish

Oddiy muammolarni hal qilishda davom etish

2-misol: Mahsulot darajasi sifatida yozing.

3-misol: Ko'rsatkichi 2 bo'lgan daraja sifatida yozing.

Hisoblash misollari

4-misol: Eng oqilona tarzda hisoblang.

2. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. va boshqalar.Algebra 7 .M .: Ta'lim. 2006 yil

2. Maktab yordamchisi (Manba).

1. Kuchlar mahsuli sifatida taqdim etiladi:

a) ; b) ; in); G) ;

2. Mahsulot darajasi sifatida yozing:

3. Ko‘rsatkichi 2 bo‘lgan daraja ko‘rinishida yozing:

4. Eng oqilona usulda hisoblang.

"Kuchlarni ko'paytirish va bo'lish" mavzusida matematika darsi

Bo'limlar: Matematika

Pedagogik maqsad:

talaba o'rganadi darajalarni natural ko‘rsatkich bilan ko‘paytirish va bo‘lish xossalarini farqlay olish; bir xil asoslar holatida ushbu xususiyatlarni qo'llash;

talaba imkoniyatga ega bo'ladi turli asosli darajali transformatsiyalarni bajara olish va qo'shma topshiriqlarda transformatsiyalarni bajara olish.

Vazifalar:

ilgari o'rganilgan materialni takrorlash orqali talabalarning ishini tashkil etish;

har xil turdagi mashqlarni bajarish orqali ko'payish darajasini ta'minlash;

test orqali o‘quvchilarning o‘z-o‘zini baholashini tashkil etish.

Doktrinaning faoliyat birliklari: tabiiy ko'rsatkich bilan darajani aniqlash; daraja komponentlari; xususiy ta'rifi; ko'paytirishning assotsiativ qonuni.

I. O`quvchilar tomonidan mavjud bilimlarni o`zlashtirish ko`rgazmasini tashkil etish. (1-qadam)

a) bilimlarni yangilash:

2) Tabiiy ko'rsatkich bilan daraja ta'rifini shakllantirish.

a n \u003d a a a a ... a (n marta)

b k \u003d b b b b a ... b (k marta) Javobingizni asoslang.

II. Talabaning tegishli tajribaga egalik darajasi bo'yicha o'zini o'zi baholashni tashkil etish. (2-qadam)

O'z-o'zini tekshirish uchun test: (ikki versiyada individual ish.)

A1) 7 7 7 7 x x x hosilani daraja sifatida ifodalang:

A2) (-3) 3 x 2 darajasini hosila sifatida ifodalang

A3) Hisoblang: -2 3 2 + 4 5 3

Sinf darajasidagi tayyorgarlikka mos ravishda testdagi topshiriqlar sonini tanlayman.

Sinov uchun men o'z-o'zini sinab ko'rish uchun kalitni beraman. Mezon: o'tish - muvaffaqiyatsiz.

III. O'quv-amaliy vazifa (3-bosqich) + 4-bosqich. (talabalar o'zlari xossalarni tuzadilar)

hisoblang: 2 2 2 3 =? 3 3 3 2 3 =?

Soddalashtiring: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 =?

1) va 2) masalalarni yechish jarayonida o‘quvchilar yechim taklif qiladilar va men o‘qituvchi sifatida bir xil asoslar bilan ko‘paytirishda darajalarni soddalashtirish yo‘lini topish uchun dars tashkil qilaman.

O'qituvchi: bir xil asos bilan ko'paytirishda kuchlarni soddalashtirish usulini toping.

Klasterda yozuv paydo bo'ladi:

Dars mavzusi tuziladi. Quvvatlarni ko'paytirish.

O'qituvchi: darajalarni bir xil asoslarga bo'lish qoidasini o'ylab toping.

Fikrlash: bo'linishni qanday harakat tekshiradi? a 5: a 3 =? a 2 a 3 = a 5

Men sxemaga qaytaman - klaster va yozuvni to'ldiraman - ..bo'lishda dars mavzusini ayirish va qo'shish. ...va darajalar bo'linishi.

IV. Talabalarga bilim chegaralarini etkazish (minimal va maksimal darajada).

O'qituvchi: Bugungi dars uchun minimalning vazifasi - bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirish va bo'lish xususiyatlarini qo'llashni o'rganish va maksimal: ko'paytirish va bo'linishni birgalikda qo'llash.

Doskaga yozing : a m a n = a m + n; a m: a n = a m-n

V. Yangi materialni o'rganishni tashkil etish. (5-qadam)

a) Darslik bo`yicha: 403-son (a, v, e) turli matnli topshiriqlar

404-son (a, e, f) mustaqil ish, keyin o'zaro tekshirishni tashkil qilaman, kalitlarni beraman.

b) m ning qaysi qiymati uchun tenglik bajariladi? a 16 a m \u003d dan 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Vazifa: bo'lish uchun shunga o'xshash misollar keltiring.

c) № 417 (a), № 418 (a) Talabalar uchun tuzoqlar: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. O'rganilganlarni sarhisob qilish, diagnostika ishlarini olib borish (bu mavzuni o'rganishga o'qituvchilarni emas, balki talabalarni rag'batlantiradi) (6-bosqich)

diagnostika ishlari.

Sinov(kalitlarni testning orqa tomoniga qo'ying).

Vazifa variantlari: x 15 koeffitsientini daraja sifatida taqdim eting: x 3; hosilani quvvat sifatida ifodalaydi (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; buning uchun m tenglik a 16 a m = a 32 rost; h 0 ifodaning qiymatini toping: h 2 bilan h = 0,2; ifoda qiymatini hisoblang (5 2 5 0) : 5 2 .

Darsning xulosasi. Reflektsiya. Men sinfni ikki guruhga ajrataman.

I guruhning argumentlarini toping: darajaning xususiyatlarini bilish foydasiga va II guruh - xususiyatlarsiz ham qila olasiz, deb aytadigan argumentlar. Biz barcha javoblarni tinglaymiz, xulosa chiqaramiz. Keyingi darslarda siz statistik ma'lumotlarni taklif qilishingiz va "Bu mening boshimga to'g'ri kelmaydi!" Rubrikasini nomlashingiz mumkin.

O'rtacha bir kishi hayoti davomida 32 10 2 kg bodring iste'mol qiladi.

Arpa 3,2 10 2 km masofani to'xtovsiz parvoz qilishga qodir.

Shisha yorilib ketganda, yoriq taxminan 5 10 3 km / soat tezlikda tarqaladi.

Bir qurbaqa umri davomida 3 tonnadan ortiq chivin yeydi. Darajadan foydalanib, kg bilan yozing.

Eng ko'p ko'payadigani okean baliqlari - oy (Mola mola) bo'lib, u bitta urug'lantirishda diametri taxminan 1,3 mm bo'lgan 300 000 000 tagacha tuxum qo'yadi. Bu raqamni daraja yordamida yozing.

VII. Uy vazifasi.

Tarix ma'lumotnomasi. Qanday sonlar Fermat raqamlari deyiladi.

P.19. #403, #408, #417

Ishlatilgan kitoblar:

“Algebra-7” darsligi, mualliflar Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk va boshqalar.

7-sinf uchun didaktik material, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Matematika entsiklopediyasi.

"Kvant" jurnali.

Darajalar xossalari, formulalar, isbotlar, misollar.

Raqamning darajasi aniqlangandan so'ng, bu haqda gapirish mantiqan to'g'ri keladi daraja xususiyatlari. Ushbu maqolada biz barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlarga to'xtalib, son darajasining asosiy xususiyatlarini beramiz. Bu erda biz darajaning barcha xossalarini isbotlaymiz, shuningdek, bu xususiyatlar misollarni echishda qanday qo'llanilishini ko'rsatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Tabiiy ko'rsatkichlar bilan darajalarning xossalari

Tabiiy ko'rsatkichli kuchning ta'rifiga ko'ra, n ning kuchi har biri a ga teng bo'lgan n ta omilning mahsulotidir. Ushbu ta'rifga asoslanib, va foydalanish haqiqiy sonlarni ko‘paytirish xossalari, biz quyidagilarni olishimiz va asoslashimiz mumkin natural ko'rsatkichli daraja xossalari:

a m ·a n =a m+n darajaning asosiy xossasi, uning umumlashtirilishi a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

bir xil asosli qisman darajalar xossasi a m:a n =a m−n ;

mahsulot daraja xossasi (a b) n =a n b n, uning kengayishi (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n;

natura bo'yicha ko'rsatkich xususiyati (a:b) n =a n:b n ;

daraja (a m) n =a m n , uning umumlashtirilishi (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

darajani nolga solishtirish:

• agar a>0 bo'lsa, har qanday natural n uchun a n >0;
• a=0 bo'lsa, a n =0 ;
• a 2 m >0 bo'lsa, a 2 m−1 n bo'lsa;
• agar m va n natural sonlar m>n bo‘lsa, 0m n uchun, a>0 uchun esa a m >a n tengsizlik to‘g‘ri bo‘ladi.

Biz darhol barcha yozma tenglik ekanligini ta'kidlaymiz bir xil belgilangan sharoitlarda va ularning o'ng va chap qismlarini almashtirish mumkin. Masalan, a m a n = a m + n bilan kasrning asosiy xossasi ifodalarni soddalashtirish ko‘pincha a m+n = a m a n shaklida qo‘llaniladi.

Endi ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

Keling, bir xil asoslarga ega bo'lgan ikki daraja ko'paytmasining xususiyatidan boshlaylik, bu deyiladi darajaning asosiy xususiyati: har qanday haqiqiy a soni va har qanday natural m va n sonlar uchun a m ·a n =a m+n tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.

Keling, darajaning asosiy xususiyatini isbotlaylik. Tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra, a m a n ko'rinishidagi bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalar mahsulotini mahsulot sifatida yozish mumkin. . Ko'paytirishning xossalari tufayli hosil bo'lgan ifodani quyidagicha yozish mumkin , va bu ko'paytma tabiiy ko'rsatkichli m+n, ya'ni m+n ning kuchidir. Bu dalilni to'ldiradi.

Keling, darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlovchi misol keltiramiz. Bir xil asoslar 2 va natural darajalar 2 va 3 bo'lgan darajalarni olaylik, darajaning asosiy xususiyatiga ko'ra 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 tengligini yozishimiz mumkin. Keling, uning haqiqiyligini tekshirib ko'ramiz, buning uchun biz 2 2 · 2 3 va 2 5 ifodalarning qiymatlarini hisoblaymiz. Ko'rsatkichni bajarayotganda bizda 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 va 2 5 =2 2 2 2 2=32 bo'ladi, chunki biz teng qiymatlarni olamiz, keyin tenglik 2 2 2 3 = 2 5 rost va u darajaning asosiy xususiyatini tasdiqlaydi.

Ko'paytirishning xossalariga asoslangan darajaning asosiy xossasi bir xil asoslar va tabiiy ko'rsatkichlarga ega bo'lgan uch yoki undan ortiq darajalarning mahsulotiga umumlashtirilishi mumkin. Demak, n 1, n 2, …, n k natural sonlarning istalgan k soni uchun a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k tengligi to‘g‘ri bo‘ladi.

Masalan, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Tabiiy ko'rsatkich bilan darajalarning keyingi xususiyatiga o'tishingiz mumkin - bir xil asoslarga ega bo'lgan qisman vakolatlarning mulki: har qanday nolga teng boʻlmagan haqiqiy son va m>n shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy natural m va n sonlar uchun a m:a n =a m−n tenglik toʻgʻri boʻladi.

Ushbu xususiyatni isbotlashdan oldin, formuladagi qo'shimcha shartlarning ma'nosini muhokama qilaylik. a≠0 sharti nolga boʻlinmaslik uchun zarur, chunki 0 n =0 boʻlgani uchun va boʻlinish bilan tanishganimizda, nolga boʻlinib boʻlmaydi, degan fikrga keldik. Tabiiy ko'rsatkichlardan tashqariga chiqmaslik uchun m>n sharti kiritilgan. Darhaqiqat, m>n uchun a m−n ko‘rsatkichi natural son bo‘ladi, aks holda u nol (m−n bo‘lganda sodir bo‘ladi) yoki manfiy son (m m−n a n =a (m−n) + bo‘lganda sodir bo‘ladi) bo‘ladi. n = a m Olingan tenglikdan a m−n a n = a m va ko‘paytirishning bo‘linish bilan bog‘liqligidan a m−n a m va a n ning qisman kuchi ekanligi kelib chiqadi. Bu bir xil asoslarga ega bo‘lgan qisman darajalar xossasini isbotlaydi.

Keling, bir misol keltiraylik. Bir xil p asoslari va natural ko'rsatkichlari 5 va 2 bo'lgan ikkita darajani olaylik, darajaning ko'rib chiqilayotgan xossasi p 5 tengligiga mos keladi: p 2 = p 5−3 = p 3.

Endi o'ylab ko'ring mahsulot darajasi xususiyati: har qanday ikkita haqiqiy a va b sonlar koʻpaytmasining n natural darajasi a n va b n darajalar koʻpaytmasiga teng, yaʼni (a b) n =a n b n.

Darhaqiqat, tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra, biz bor . Ko'paytirishning xususiyatlariga asoslangan oxirgi mahsulot sifatida qayta yozilishi mumkin , bu a n b n ga teng.

Mana bir misol: .

Bu xususiyat uch yoki undan ortiq omillar mahsuloti darajasiga qadar tarqaladi. Ya'ni, k omillar ko'paytmasining n natural daraja xossasi (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n shaklida yoziladi.

Aniqlik uchun biz ushbu xususiyatni misol bilan ko'rsatamiz. Uch omilning 7 ning kuchiga ko'paytmasi uchun bizda mavjud.

Keyingi mulk tabiiy mulk: a va b , b≠0 haqiqiy sonlarning n natural darajaga bo‘lgan qismi a n va b n darajalarning ko‘rsatkichiga teng, ya’ni (a:b) n =a n:b n .

Tasdiqlash avvalgi xususiyat yordamida amalga oshirilishi mumkin. Demak (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n va (a:b) n b n =a n tengligidan (a:b) n a n ning b n ga bo‘linishi kelib chiqadi.

Keling, ushbu xususiyatni aniq raqamlar misolidan foydalanib yozamiz: .

Endi ovoz beramiz eksponentatsiya xossasi: har qanday haqiqiy a soni va har qanday natural sonlar m va n uchun a m ning n darajali darajasi m·n darajali a ning kuchiga teng, ya’ni (a m) n =a m·n .

Masalan, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Darajada quvvat xususiyatining isboti quyidagi tenglik zanjiri hisoblanadi: .

Ko'rib chiqilgan xususiyat daraja ichida darajaga qadar kengaytirilishi mumkin va hokazo. Masalan, p, q, r va s har qanday natural sonlar uchun tenglik . Aniqroq bo'lishi uchun aniq raqamlar bilan misol keltiramiz: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Darajani tabiiy ko'rsatkich bilan taqqoslash xususiyatlariga to'xtalib o'tish kerak.

Biz nol va kuchning taqqoslash xususiyatini tabiiy ko'rsatkich bilan isbotlashdan boshlaymiz.

Birinchidan, har qanday a>0 uchun a n >0 ekanligini asoslaylik.

Ikki musbat sonning mahsuloti ko'paytirishning ta'rifidan kelib chiqqan holda musbat sondir. Bu haqiqat va ko'paytirishning xususiyatlari bizga ijobiy sonlarning istalgan sonini ko'paytirish natijasi ham ijobiy son bo'lishini ta'kidlashga imkon beradi. Tabiiy ko‘rsatkichi n bo‘lgan a ning kuchi esa, ta’rifiga ko‘ra, har biri a ga teng bo‘lgan n ta omilning mahsulotidir. Bu argumentlar har qanday musbat a asosi uchun n ning darajasi musbat son ekanligini ta’kidlash imkonini beradi. Tasdiqlangan xususiyatga ko'ra 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 va .

Ko'rinib turibdiki, a=0 bo'lgan har qanday natural n uchun n ning darajasi nolga teng. Haqiqatan ham, 0 n =0·0·…·0=0 . Masalan, 0 3 =0 va 0 762 =0 .

Keling, salbiy asoslarga o'taylik.

Keling, ko'rsatkich juft son bo'lgan holatdan boshlaylik, uni 2 m deb belgilaymiz, bu erda m - natural son. Keyin . Manfiy sonlarni ko`paytirish qoidasiga ko`ra a a ko`rinishdagi mahsulotlarning har biri a va a sonlari modullarining ko`paytmasiga teng bo`lib, bu musbat son ekanligini bildiradi. Shuning uchun mahsulot ham ijobiy bo'ladi. va darajasi a 2 m. Mana misollar: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 va .

Nihoyat, a ning asosi manfiy son va ko‘rsatkichi toq son 2 m−1 bo‘lsa, u holda . Barcha a·a ko'paytmalari musbat sonlar bo'lib, bu musbat sonlarning ko'paytmasi ham musbat bo'lib, uni qolgan manfiy a soniga ko'paytirish manfiy songa olib keladi. Bu xossaga ko‘ra, (−5) 3 17 n n n ta haqiqiy tengsizlikning chap va o‘ng qismlarining ko‘paytmasi a. tengsizliklar xossalari, isbotlanayotgan tengsizlik a n n ko`rinishda bo`ladi. Masalan, bu xossa tufayli 3 7 7 va tengsizliklar .

Tabiiy ko'rsatkichlari bo'lgan kuchlarning oxirgi sanab o'tilgan xususiyatlarini isbotlash uchun qoladi. Keling, uni shakllantiramiz. Tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil musbat asoslari birdan kam bo'lgan ikki darajaning darajasi kattaroq, ko'rsatkichi kamroq; va tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil asoslari birdan katta bo'lgan ikki daraja, ko'rsatkichi katta bo'lgan daraja katta bo'ladi. Biz ushbu mulkning isbotiga murojaat qilamiz.

m>n va 0m n uchun buni isbotlaylik. Buning uchun a m − a n farqini yozamiz va uni nolga tenglashtiramiz. Qavs ichidan n olingandan keyin yozma farq a n ·(a m−n −1) ko‘rinishini oladi. Olingan mahsulot a n musbat son va a m−n −1 manfiy sonning ko‘paytmasi sifatida manfiy bo‘ladi (a n musbat sonning natural kuchi sifatida musbat va a m−n −1 farqi manfiy, chunki m−n >0 m>n boshlang'ich sharti tufayli, bundan kelib chiqadiki, 0m−n uchun u birdan kichik). Shuning uchun isbotlanishi kerak bo'lgan a m - a n m n. Masalan, biz to'g'ri tengsizlikni beramiz.

Mulkning ikkinchi qismini isbotlash uchun qoladi. m>n va a>1 uchun a m >a n haqiqat ekanligini isbotlaylik. Qavs ichidan a n olingandan keyin a m −a n farqi a n ·(a m−n −1) ko‘rinishini oladi. Bu ko'paytma musbat, chunki a>1 uchun n ning darajasi musbat son, a m−n −1 farqi esa musbat son, chunki boshlang'ich shartga ko'ra m−n>0, a>1 uchun esa, m−n ning darajasi bir dan katta. Demak, isbotlanishi kerak bo'lgan a m - a n >0 va a m >a n. Bu xossa 3 7 >3 2 tengsizlik bilan tasvirlangan.

Butun sonli darajalar xossalari

Musbat butun sonlar natural sonlar ekan, u holda musbat butun darajali darajalarning barcha xossalari avvalgi xatboshida sanab o‘tilgan va isbotlangan natural ko‘rsatkichli darajalarning xossalariga to‘liq mos keladi.

Biz manfiy butun koʻrsatkichli darajani, shuningdek, nol koʻrsatkichli darajani aniqladik, shunda tenglik bilan ifodalangan tabiiy koʻrsatkichli darajalarning barcha xossalari oʻz kuchida qoladi. Demak, bu xossalarning barchasi nol darajalar uchun ham, manfiy darajalar uchun ham amal qiladi, albatta, darajalar asoslari nolga teng emas.

Demak, har qanday haqiqiy va nolga teng bo‘lmagan a va b sonlar, shuningdek, m va n butun sonlar uchun quyidagilar to‘g‘ri bo‘ladi. darajalarning butun ko‘rsatkichli xossalari:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m−n ;
• (a b) n = a n b n;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m n;
• agar n musbat butun son bo'lsa, a va b musbat sonlar va a n n va a−n>b−n;
• agar m va n butun sonlar va m>n bo‘lsa, 0m n va a>1 uchun a m >a n tengsizlik bajariladi.

a=0 uchun a m va a n darajalar faqat m va n musbat butun sonlar, ya’ni natural sonlar bo‘lgandagina ma’noga ega bo‘ladi. Shunday qilib, hozirgina yozilgan xossalar a=0 va m va n sonlar musbat sonlar bo'lgan holatlar uchun ham amal qiladi.

Bu xossalarning har birini isbotlash qiyin emas, buning uchun natural va butun ko'rsatkichli daraja ta'riflaridan hamda haqiqiy sonlar bilan amallar xossalaridan foydalanish kifoya. Misol tariqasida, quvvat xossasi musbat butun sonlar uchun ham, nomusbat butun sonlar uchun ham amal qilishini isbotlaylik. Buning uchun, agar p nol yoki natural son va q nol yoki natural son bo'lsa, u holda (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , ekanligini ko'rsatishimiz kerak. (a p ) −q =a p (−q) va (a −p) −q =a (−p) (−q) . Qani buni bajaraylik.

Musbat p va q uchun (a p) q =a p·q tengligi oldingi kichik bo'limda isbotlangan. Agar p=0 bo'lsa, bizda (a 0) q =1 q =1 va a 0 q =a 0 =1 ga ega bo'lamiz, bundan (a 0) q =a 0 q . Xuddi shunday, agar q=0 bo'lsa, u holda (a p) 0 =1 va a p 0 =a 0 =1 , bundan (a p) 0 =a p 0 bo'ladi. Agar ikkala p=0 va q=0 bo'lsa, u holda (a 0) 0 =1 0 =1 va a 0 0 =a 0 =1 , bundan (a 0) 0 =a 0 0 .

Endi (a −p) q =a (−p) q ekanligini isbotlaylik. Salbiy butun ko'rsatkichli daraja ta'rifi bo'yicha, keyin . Darajada qismning xususiyatiga ko'ra, bizda mavjud . Chunki 1 p =1·1·…·1=1 va , u holda . Oxirgi ifoda, ta'rifiga ko'ra, a -(p q) ko'rinishining kuchi bo'lib, uni ko'paytirish qoidalariga ko'ra (−p) q shaklida yozish mumkin.

Xuddi shunday .

Va .

Xuddi shu printsipga ko'ra, darajaning barcha boshqa xususiyatlarini tenglik shaklida yozilgan butun ko'rsatkich bilan isbotlash mumkin.

Yozilgan xususiyatlarning oxirgi qismida a −n >b −n tengsizlik isbotiga to‘xtalib o‘tish joiz, bu har qanday manfiy butun son −n va har qanday musbat a va b uchun to‘g‘ri keladi. . Ushbu tengsizlikning chap va o'ng qismlari orasidagi farqni yozamiz va o'zgartiramiz: . Chunki shartga ko'ra a n n, demak, b n - a n >0. a n ·b n ko'paytma ham a n va b n musbat sonlarning ko'paytmasi sifatida musbat bo'ladi. Keyin olingan kasr b n - a n va a n b n musbat sonlar bo'limi sifatida musbat bo'ladi. Demak, isbotlanishi kerak bo'lgan a −n >b −n qaerdan kelib chiqqan.

Butun darajali darajalarning oxirgi xossasi tabiiy darajali darajalarning oʻxshash xossasi kabi isbotlanadi.

Ratsional darajali darajalar xossalari

Biz darajani kasr ko'rsatkichi bilan aniqladik, unga butun sonli darajaning xususiyatlarini kengaytirdik. Boshqacha qilib aytganda, kasr darajali darajalar butun darajali darajalar bilan bir xil xususiyatlarga ega. Aynan:

1. bir xil asosga ega bo'lgan kuchlar mahsulotining mulki a>0 uchun va agar va bo'lsa, a≥0 uchun;
2. bir xil asoslarga ega qisman vakolatlarning mulki a>0 uchun;
3. kasr mahsulot xususiyati a>0 va b>0 uchun, va agar va bo'lsa, a≥0 va (yoki) b≥0 uchun;
4. kasr darajasiga bo'linish xossasi a>0 va b>0 uchun va agar bo'lsa, a≥0 va b>0 uchun;
5. daraja xususiyati a>0 uchun va agar va bo'lsa, a≥0 uchun;
6. teng ratsional darajali darajalarni solishtirish xossasi: har qanday musbat a va b sonlar uchun, a 0 a p p tengsizlik o'rinli va p p >b p uchun;
7. darajalarni ratsional darajalar va teng asoslar bilan solishtirish xossasi: p va q ratsional sonlar uchun, p>q 0p q uchun, a>0 uchun esa a p >a q tengsizlik.

Kasr ko'rsatkichli darajalarning xossalarini isbotlash kasr ko'rsatkichli darajani aniqlashga, n-darajali arifmetik ildizning xususiyatlariga va butun darajali darajaning xususiyatlariga asoslanadi. Keling, dalil keltiraylik.

Kasr ko'rsatkichi bilan darajaning ta'rifi bo'yicha va , keyin . Arifmetik ildizning xossalari quyidagi tengliklarni yozish imkonini beradi. Bundan tashqari, butun ko'rsatkichli daraja xususiyatidan foydalanib, biz ni olamiz, bu erdan, kasr ko'rsatkichli darajani aniqlash orqali, biz , va olingan darajaning ko'rsatkichi quyidagicha o'zgartirilishi mumkin: . Bu dalilni to'ldiradi.

Kasr ko'rsatkichli darajalarning ikkinchi xossasi xuddi shunday isbotlangan:


Qolgan tengliklar shunga o'xshash printsiplar bilan isbotlangan:


Biz keyingi mulkning isbotiga murojaat qilamiz. Har qanday musbat a va b , a uchun ekanligini isbotlaylik 0 a p p tengsizlik o'rinli va p p >b p uchun. Biz p ratsional sonini m/n deb yozamiz, bu erda m butun son, n esa natural sondir. Bu holda p 0 shartlar mos ravishda m 0 shartlariga ekvivalent bo'ladi. m>0 va am m uchun. Bu tengsizlikdan, ildizlarning xossasi bo'yicha, biz bor va a va b musbat sonlar bo'lganligi sababli, darajani kasr ko'rsatkichi bilan belgilashga asoslanib, natijada hosil bo'lgan tengsizlikni, ya'ni a p p shaklida qayta yozish mumkin.

Xuddi shunday, m m >b m bo'lganda, qaerdan, ya'ni va a p >b p.

Ro'yxatga olingan xususiyatlarning oxirgisini isbotlash uchun qoladi. P va q ratsional sonlar uchun, 0p q uchun p>q, a>0 uchun esa a p >a q tengsizlik ekanligini isbotlaylik. Biz har doim p va q ratsional sonlarini umumiy maxrajga qisqartirishimiz mumkin, oddiy kasrlar va ni olamiz, bu erda m 1 va m 2 butun sonlar, n esa natural sondir. Bunda p>q sharti bir xil maxrajli oddiy kasrlarni solishtirish qoidasidan kelib chiqadigan m 1 >m 2 shartga mos keladi. Keyin, bir xil asoslar va natural ko'rsatkichlarga ega bo'lgan darajalarni taqqoslash xususiyatiga ko'ra, 0m 1 m 2 uchun va a>1 uchun a m 1 >a m 2 tengsizlik. Ildizlarning xususiyatlari bo'yicha bu tengsizliklar, o'z navbatida, qayta yozilishi mumkin va . Va ratsional ko'rsatkichli darajaning ta'rifi mos ravishda tengsizliklarga o'tishga imkon beradi. Bu erdan yakuniy xulosa chiqaramiz: p>q va 0p q uchun, a>0 uchun esa a p >a q tengsizlik.

Irratsional darajali darajalarning xossalari

Irratsional darajali daraja qanday aniqlanganidan xulosa qilishimiz mumkinki, u ratsional darajali darajalarning barcha xususiyatlariga ega. Shunday qilib, har qanday a>0, b>0 va p va q irratsional sonlar uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi irratsional darajali darajalarning xossalari:

1. a p a q = a p + q;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p;
4. (a:b) p =a p:b p;
5. (a p) q = a p q;
6. har qanday musbat sonlar uchun a va b , a 0 a p p tengsizlik o'rinli va p p >b p uchun;
7. irratsional sonlar uchun p va q , 0p q uchun p>q , a>0 uchun esa a p >a q tengsizlik.

Bundan xulosa qilish mumkinki, a>0 uchun har qanday haqiqiy darajali p va q darajalar bir xil xususiyatlarga ega.

• Algebra - 10-sinf. Trigonometrik tenglamalar "Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish" mavzusidagi dars va taqdimot Qo'shimcha materiallar Hurmatli foydalanuvchilar o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar […]
• “SOTuvchi – MASLAHATCHI” lavozimiga tanlov ochiq: Majburiyatlari: “Bilayn”, “Tele2” abonentlari uchun mobil telefonlar va uyali aloqa xizmati uchun aksessuarlar sotish, “Beeline” va “Tele2” tarif rejalari va xizmatlarini MTSga ulash, MTS konsalting [...]
• Formuladagi parallelepiped A parallelepiped - har biri parallelogramm bo'lgan 6 ta yuzli ko'pburchak. Kuboid - har bir yuzi to'rtburchak bo'lgan kuboid. Har qanday parallelepiped 3 [...] bilan tavsiflanadi.
• Ostona Iste'molchilar huquqlarini himoya qilish jamiyati veb-saytimizda ushbu hujjatga kirish uchun pin-kodni olish uchun GSM operatorlari (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) abonentlari raqamiga zan matnli SMS-xabar yuboring. xonaga SMS yuborish orqali […]
• N VA NN IMLOSI NUTQNING TURLI QISMLARIDA 2. Ushbu qoidalardan istisnolarni ayting. 3. -n- qo‘shimchasi bo‘lgan og‘zaki sifatdoshni […]
• Qarindoshlik uylari to'g'risidagi qonunni qabul qilish Rossiya Federatsiyasining har bir fuqarosiga yoki u erda qarindoshlik uylarini qurishni istagan fuqarolarning oilasiga quyidagi shartlarda bepul yer uchastkasi berish to'g'risidagi federal qonunni qabul qiling: 1. Er. uchun ajratilgan […]
• BRYANSK VILOYATI GOSTEXNADZOR INSPEKSIYASI Davlat boji to'langanligi to'g'risidagi kvitansiya (Yuklash-12,2 kb) Jismoniy shaxslar uchun ro'yxatdan o'tish uchun arizalar (Yuklash-12 kb) Yuridik shaxslar uchun ro'yxatdan o'tish uchun arizalar (Yuklash-11,4 kb) 1. Yangi avtomashinani ro'yxatdan o'tkazishda : 1.ariza 2.pasport […]
• Biz anchadan beri 1x1 turnirlarini o'ynamagan edik. Va bu an'anani qayta tiklash vaqti keldi. Biz 1v1 o'yinchilari uchun alohida zinapoya va turnirlar tashkil qilmagunimizcha, saytdagi jamoangiz profillaridan foydalanishni tavsiya qilamiz. O'yinlardagi o'yinlar uchun ochkolarni ayirish yoki qo'shish [...]

Avvalroq biz raqamning kuchi nima ekanligi haqida gapirgan edik. U muammolarni hal qilishda foydali bo'lgan ma'lum xususiyatlarga ega: biz ushbu maqolada tahlil qiladigan ular va barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlar. Ularni qanday isbotlash va amalda to‘g‘ri qo‘llash mumkinligini misollar bilan ham ko‘rsatamiz.

Oldinroq shakllantirgan tabiiy ko'rsatkichli daraja tushunchasini eslaylik: bu har biri a ga teng bo'lgan n-sonli omillarning mahsulotidir. Haqiqiy raqamlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni ham eslashimiz kerak. Bularning barchasi tabiiy ko'rsatkichli daraja uchun quyidagi xususiyatlarni shakllantirishga yordam beradi:

Ta'rif 1

1. Darajaning asosiy xossasi: a m a n = a m + n

Quyidagilarga umumlashtirish mumkin: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Asoslari bir xil bo‘lgan darajalar uchun qism xossasi: a m: a n = a m − n.

3. Mahsulot darajasi xossasi: (a b) n = a n b n

Tenglikni quyidagicha kengaytirish mumkin: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Natural daraja xossasi: (a: b) n = a n: b n

5. Biz quvvatni kuchga ko'taramiz: (a m) n = a m n,

Quyidagilarga umumlashtirish mumkin: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Darajani nol bilan solishtiring:

• agar a > 0 bo'lsa, har qanday natural n uchun a n noldan katta bo'ladi;
• 0 ga teng bo'lsa, a n ham nolga teng bo'ladi;
• a uchun< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• a uchun< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Tenglik a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. a m > a n tengsizlik, m va n natural sonlar, m n dan katta va a noldan katta va birdan kam bo‘lmagan holda to‘g‘ri bo‘ladi.

Natijada biz bir nechta tenglikni oldik; agar siz yuqorida ko'rsatilgan barcha shartlarga javob bersangiz, ular bir xil bo'ladi. Tenglikning har biri uchun, masalan, asosiy xususiyat uchun siz o'ng va chap qismlarni almashtirishingiz mumkin: a m · a n = a m + n - m + n = a m · a n bilan bir xil. Ushbu shaklda u ko'pincha iboralarni soddalashtirganda ishlatiladi.

1. Darajaning asosiy xususiyatidan boshlaylik: a m · a n = a m + n tengligi har qanday natural m va n va real a uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Ushbu bayonotni qanday isbotlash mumkin?

Tabiiy ko'rsatkichli kuchlarning asosiy ta'rifi bizga tenglikni omillar mahsulotiga aylantirish imkonini beradi. Biz shunday yozuvni olamiz:

Buni qisqartirish mumkin (ko'paytirishning asosiy xususiyatlarini eslang). Natijada m+n natural ko‘rsatkichli a sonining darajasiga ega bo‘ldik. Shunday qilib, a m + n , ya'ni darajaning asosiy xossasi isbotlangan.

Buni isbotlash uchun aniq bir misol keltiramiz.

1-misol

Shunday qilib, bizda 2 ta asosli ikkita kuch bor. Ularning tabiiy ko'rsatkichlari mos ravishda 2 va 3 ni tashkil qiladi. Biz tenglikni oldik: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Keling, ushbu tenglikning to'g'riligini tekshirish uchun qiymatlarni hisoblaylik.

Kerakli matematik amallarni bajaramiz: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 va 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Natijada, biz oldik: 2 2 2 3 = 2 5 . Mulk isbotlangan.

Ko'paytirishning xususiyatlaridan kelib chiqib, biz xossani uch yoki undan ortiq daraja shaklida shakllantirish orqali umumlashtirishimiz mumkin, ular uchun ko'rsatkichlar natural sonlar, asoslari esa bir xil. Agar n 1, n 2 va hokazo natural sonlar sonini k harfi bilan belgilasak, to‘g‘ri tenglikni olamiz:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k.

2-misol

2. Keyinchalik, qism xossasi deb ataladigan va bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarga xos bo'lgan quyidagi xususiyatni isbotlashimiz kerak: bu a m tengligi: a n = a m - n, har qanday natural m va n (va m) uchun amal qiladi. n)) va har qanday nolga teng bo'lmagan real a dan katta.

Boshlash uchun, keling, formulada aytib o'tilgan shartlarning ma'nosi nima ekanligini tushuntirib beraylik. Agar biz nolga teng bo'lsak, oxirida biz nolga bo'linishni olamiz, buni amalga oshirish mumkin emas (oxir-oqibat, 0 n = 0). Natural ko‘rsatkichlar ichida qolishimiz uchun m soni n dan katta bo‘lishi sharti zarur: m dan n ni ayirish orqali natural sonni olamiz. Agar shart bajarilmasa, biz salbiy son yoki nolga ega bo'lamiz va yana tabiiy ko'rsatkichlar bilan darajalarni o'rganishdan tashqariga chiqamiz.

Endi biz dalillarga o'tishimiz mumkin. Oldin o'rganilgan narsalardan biz kasrlarning asosiy xususiyatlarini eslaymiz va tenglikni quyidagicha shakllantiramiz:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m

Undan shunday xulosa chiqarishimiz mumkin: a m - n a n = a m

Bo'lish va ko'paytirish o'rtasidagi bog'liqlikni eslang. Bundan kelib chiqadiki, a m − n a m va a n darajalar qismidir. Bu ikkinchi darajali mulkning isbotidir.

3-misol

Ko'rsatkichlardagi aniqlik uchun maxsus raqamlarni almashtiring va p daraja asosini belgilang: p 5: p 2 = p 5 - 3 = p 3

3. Keyinchalik, mahsulot darajasining xususiyatini tahlil qilamiz: (a · b) n = a n · b n har qanday haqiqiy a va b va natural n uchun.

Tabiiy ko'rsatkichli darajaning asosiy ta'rifiga ko'ra, biz tenglikni quyidagicha qayta shakllantirishimiz mumkin:

Ko'paytirishning xususiyatlarini eslab, biz yozamiz: . Bu n · b n bilan bir xil ma'noni anglatadi.

4-misol

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Agar bizda uchta yoki undan ko'p omillar mavjud bo'lsa, unda bu xususiyat bu holatga ham tegishli. Biz omillar soni uchun k belgisini kiritamiz va yozamiz:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

5-misol

Muayyan raqamlar bilan biz quyidagi to'g'ri tenglikni olamiz: (2 (- 2 , 3) ​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 a

4. Shundan so'ng, ko'rsatkich xossasini isbotlashga harakat qilamiz: (a: b) n = a n: b n har qanday haqiqiy a uchun va b, agar b 0 ga teng bo'lmasa va n natural son bo'lsa.

Isbot uchun biz oldingi daraja xususiyatidan foydalanishimiz mumkin. Agar (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n va (a: b) n b n = a n bo‘lsa, u holda (a: b) n a n ni b n ga bo‘lish qismidir, degan xulosa kelib chiqadi.

6-misol

Misolni hisoblaymiz: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

7-misol

Darhol misol bilan boshlaylik: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Va endi biz tenglikning to'g'riligini isbotlaydigan tengliklar zanjirini shakllantiramiz:

Agar bizda misolda darajalar bo'lsa, bu xususiyat ular uchun ham to'g'ri keladi. Agar bizda p, q, r, s natural sonlari bo'lsa, u to'g'ri bo'ladi:

a p q y s = a p q y s

8-misol

Xususiyatlarni qo'shamiz: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Biz isbotlashimiz kerak bo'lgan tabiiy ko'rsatkichli darajalarning yana bir xossasi taqqoslash xususiyatidir.

Birinchidan, ko'rsatkichni nol bilan solishtiramiz. Nima uchun a 0 dan katta bo'lsa, a n > 0?

Agar biz bitta ijobiy sonni boshqasiga ko'paytirsak, biz ham ijobiy son olamiz. Bu haqiqatni bilib, bu omillar soniga bog'liq emasligini aytishimiz mumkin - har qanday miqdordagi ijobiy sonlarni ko'paytirish natijasi ijobiy sondir. Va raqamlarni ko'paytirish natijasi bo'lmasa, daraja nima? U holda musbat asos va natural ko'rsatkichga ega bo'lgan har qanday a n daraja uchun bu to'g'ri bo'ladi.

9-misol

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 va 34 9 13 51 > 0

Bundan tashqari, asosi nolga teng bo'lgan kuchning o'zi nolga teng ekanligi aniq. Qaysi kuchni biz nolga oshirsak, u shunday bo'lib qoladi.

10-misol

0 3 = 0 va 0 762 = 0

Agar daraja asosi manfiy raqam bo'lsa, unda isbotlash biroz murakkabroq, chunki juft/toq ko'rsatkich tushunchasi muhim bo'ladi. Keling, ko'rsatkich juft bo'lgan holatdan boshlaymiz va uni 2 · m bilan belgilaymiz, bu erda m - natural son.

Keling, salbiy sonlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni eslaylik: a · a mahsuloti modullarning mahsulotiga teng va shuning uchun u ijobiy son bo'ladi. Keyin a 2 · m darajasi ham ijobiydir.

11-misol

Masalan, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 va - 2 9 6 > 0

Manfiy asosli ko'rsatkich toq son bo'lsa-chi? Uni 2 · m − 1 deb belgilaymiz.

Keyin

Ko'paytirish xossalariga ko'ra barcha a · a ko'paytmalari musbat bo'lib, ularning hosilasi ham ijobiydir. Ammo agar biz uni qolgan yagona a soniga ko'paytirsak, yakuniy natija salbiy bo'ladi.

Keyin biz olamiz: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Buni qanday isbotlash mumkin?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

12-misol

Masalan, tengsizliklar to'g'ri: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Oxirgi xossani isbotlash biz uchun qoladi: agar bizda asoslari bir xil va musbat bo'lgan ikkita daraja bo'lsa va ko'rsatkichlari natural sonlar bo'lsa, unda ulardan biri katta, ko'rsatkichi kichik bo'ladi; va tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil asoslari birdan katta bo'lgan ikki daraja, ko'rsatkichi katta bo'lgan daraja katta bo'ladi.

Keling, bu da'volarni isbotlaylik.

Avvalo, m ekanligiga ishonch hosil qilishimiz kerak< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Qavslar ichidan n ni olamiz, shundan so'ng bizning farqimiz a n · (am - n - 1) ko'rinishini oladi. Uning natijasi salbiy bo'ladi (chunki musbat sonni manfiyga ko'paytirish natijasi salbiy). Darhaqiqat, dastlabki shartlarga ko'ra, m - n > 0, keyin a m - n - 1 salbiy va birinchi omil ijobiy asosga ega bo'lgan har qanday tabiiy kuch kabi ijobiydir.

Ma'lum bo'lishicha, a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Yuqorida ifodalangan gapning ikkinchi qismini isbotlash qoladi: a m > a m > n va a > 1 uchun to‘g‘ri. Farqni ko'rsatamiz va qavs ichidan n ni olamiz: (a m - n - 1) .Birdan katta bo'lgan n ning kuchi ijobiy natija beradi; va farqning o'zi ham boshlang'ich shartlar tufayli ijobiy bo'lib chiqadi va a > 1 uchun a m - n darajasi birdan katta. Ma’lum bo‘lishicha, a m − a n > 0 va a m > a n ni isbotlashimiz kerak edi.

13-misol

Muayyan raqamlarga misol: 3 7 > 3 2

Butun sonli darajalarning asosiy xossalari

Musbat butun ko'rsatkichli darajalar uchun xossalar o'xshash bo'ladi, chunki musbat butun sonlar tabiiydir, ya'ni yuqorida isbotlangan barcha tengliklar ular uchun ham amal qiladi. Ular ko'rsatkichlar manfiy yoki nolga teng bo'lgan holatlar uchun ham mos keladi (agar daraja asosining o'zi nolga teng bo'lmasa).

Shunday qilib, darajalarning xossalari har qanday a va b asoslar (agar bu sonlar haqiqiy bo'lsa va 0 ga teng bo'lmasa) va har qanday ko'rsatkichlar m va n (agar ular butun son bo'lsa) uchun bir xil bo'ladi. Biz ularni qisqacha formulalar shaklida yozamiz:

Ta'rif 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m - n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b - n musbat butun sonli n , musbat a va b , a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n va 0< a < 1 , при a >1 a m > a n.

Agar daraja asosi nolga teng bo'lsa, a m va n yozuvlari faqat tabiiy va musbat m va n holatlarida ma'noga ega bo'ladi. Natijada, yuqoridagi formulalar, agar boshqa barcha shartlar bajarilsa, nol asosga ega bo'lgan holatlar uchun ham mos kelishini aniqlaymiz.

Bu holda bu xususiyatlarning dalillari oddiy. Tabiiy va butun ko'rsatkichli daraja nima ekanligini, shuningdek, haqiqiy sonlar bilan harakatlarning xususiyatlarini eslab qolishimiz kerak.

Darajada daraja xossasini tahlil qilib, uning musbat butun sonlar uchun ham, nomusbat sonlar uchun ham to‘g‘ri ekanligini isbotlaymiz. Biz (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) va (a − p) − q = a (−) tengliklarini isbotlashdan boshlaymiz. p) (−q)

Shartlar: p = 0 yoki natural son; q - xuddi shunday.

Agar p va q qiymatlari 0 dan katta bo'lsa, biz (a p) q = a p · q ni olamiz. Biz allaqachon shunga o'xshash tenglikni isbotlagan edik. Agar p = 0 bo'lsa, u holda:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Demak, (a 0) q = a 0 q

q = 0 uchun hamma narsa bir xil:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Natija: (a p) 0 = a p 0 .

Agar ikkala ko'rsatkich ham nolga teng bo'lsa, u holda (a 0) 0 = 1 0 = 1 va a 0 0 = a 0 = 1, keyin (a 0) 0 = a 0 0 .

Yuqorida isbotlangan kuchdagi qismning xususiyatini eslang va yozing:

1 a p q = 1 q a p q

Agar 1 p = 1 1 … 1 = 1 va a p q = a p q bo‘lsa, u holda 1 q a p q = 1 a p q bo‘ladi.

Biz bu belgini ko'paytirishning asosiy qoidalariga ko'ra a (− p) · q ga o'zgartirishimiz mumkin.

Shuningdek: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

VA (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Darajaning qolgan xossalari xuddi shunday tarzda mavjud tengsizliklarni o'zgartirish orqali isbotlanishi mumkin. Biz bu haqda batafsil to'xtalib o'tirmaymiz, faqat qiyin tomonlarini ko'rsatamiz.

Oxirgidan oldingi xususiyatning isboti: esda tutingki, a - n > b - n har qanday manfiy butun son qiymatlari n va har qanday musbat a va b uchun to'g'ri bo'ladi, agar a b dan kichik bo'lsa.

Keyin tengsizlikni quyidagicha o'zgartirish mumkin:

1 a n > 1 b n

Biz o'ng va chap qismlarni farq sifatida yozamiz va kerakli o'zgarishlarni bajaramiz:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Eslatib o'tamiz, a shartida b dan kichik bo'lsa, u holda tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra: - a n.< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n ijobiy son bilan tugaydi, chunki uning omillari ijobiydir. Natijada, bizda b n - a n a n · b n kasr mavjud bo'lib, u ham oxirida ijobiy natija beradi. Demak, 1 a n > 1 b n qaerdan a - n > b - n, biz buni isbotlashimiz kerak edi.

Butun darajali darajalarning oxirgi xossasi tabiiy darajali darajalarning xossasi kabi isbotlangan.

Ratsional darajali darajalarning asosiy xossalari

Oldingi maqolalarda biz ratsional (kasr) ko'rsatkichli daraja nima ekanligini muhokama qildik. Ularning xossalari butun darajali darajalar bilan bir xil. Keling, yozamiz:

Ta'rif 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 uchun a > 0 va agar m 1 n 1 > 0 va m 2 n 2 > 0 bo‘lsa, u holda a ≥ 0 uchun (mahsulot xossalari vakolatlari) bir xil asos bilan).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, agar a > 0 bo‘lsa (bo‘lim xossasi).

3. a > 0 va b > 0 uchun a b m n = a m n b m n, va agar m 1 n 1 > 0 va m 2 n 2 > 0 bo‘lsa, a ≥ 0 va (yoki) b ≥ 0 uchun (kasr darajasidagi mahsulot xossasi).

4. a: b m n \u003d a m n: a > 0 va b > 0 uchun b m n, va agar m n > 0 bo‘lsa, u holda a ≥ 0 va b > 0 uchun (bo‘limning kasr darajasiga xosligi).

5. a > 0 uchun a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 va agar m 1 n 1 > 0 va m 2 n 2 > 0 bo‘lsa, u holda a ≥ 0 uchun (darajali xususiyat daraja).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; agar p< 0 - a p >b p (darajalarni teng ratsional ko'rsatkichlar bilan taqqoslash xususiyati).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q 0 da< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Ushbu qoidalarni isbotlash uchun kasr ko'rsatkichli daraja nima ekanligini, n-darajali arifmetik ildizning xususiyatlari qanday ekanligini va butun darajali darajaning xususiyatlari qanday ekanligini eslashimiz kerak. Keling, har bir mulkni ko'rib chiqaylik.

Kasr ko'rsatkichli daraja qanday bo'lishiga qarab, biz quyidagilarni olamiz:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 va a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, shuning uchun a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Ildizning xususiyatlari bizga tengliklarni chiqarishga imkon beradi:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Bundan kelib chiqadiki: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2.

Keling, aylantiramiz:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Ko'rsatkichni quyidagicha yozish mumkin:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Bu dalil. Ikkinchi xossa aynan shu tarzda isbotlangan. Keling, tenglik zanjirini yozamiz:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Qolgan tengliklarning dalillari:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Keyingi xususiyat: a va b ning 0 dan katta har qanday qiymatlari uchun a, b dan kichik bo‘lsa, a p bajarilishini isbotlaylik.< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Ratsional p sonni m n sifatida ifodalaymiz. Bunda m butun son, n natural sondir. Keyin shartlar p< 0 и p >0 m gacha uzaytiriladi< 0 и m >0 . m > 0 va a uchun< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Biz ildizlarning xossasidan foydalanamiz va hosil qilamiz: a m n< b m n

a va b qiymatlarining ijobiyligini hisobga olib, biz tengsizlikni a m n sifatida qayta yozamiz.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Xuddi shu tarzda, m uchun< 0 имеем a a m >b m, biz a m n > b m n ni olamiz, shuning uchun a m n > b m n va p > b p.

Biz uchun oxirgi mulkni isbotlash qoladi. 0 da p va q ratsional sonlar uchun p > q ekanligini isbotlaylik< a < 1 a p < a q , а при a >0 a p > a q to'g'ri bo'ladi.

Ratsional p va q sonlarni umumiy maxrajga keltirish va m 1 n va m 2 n kasrlarni olish mumkin.

Bu yerda m 1 va m 2 butun sonlar, n esa natural sondir. Agar p > q bo'lsa, u holda m 1 > m 2 (kasrlarni solishtirish qoidasini hisobga olgan holda). Keyin 0 da< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – tengsizlik a 1 m > a 2 m .

Ular quyidagi shaklda qayta yozilishi mumkin:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Keyin o'zgarishlarni amalga oshirishingiz va natijada olishingiz mumkin:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Xulosa qilish uchun: p > q va 0 uchun< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q.

Irratsional darajali darajalarning asosiy xossalari

Ratsional darajali daraja ega bo'lgan yuqorida tavsiflangan barcha xususiyatlarni shunday darajaga oshirish mumkin. Bu biz oldingi maqolalardan birida bergan uning ta'rifidan kelib chiqadi. Keling, ushbu xususiyatlarni qisqacha shakllantiramiz (shartlar: a > 0 , b > 0 , ko'rsatkichlar p va q irratsional sonlar):

Ta'rif 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p - q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, keyin a p > a q.

Shunday qilib, ko'rsatkichlari p va q haqiqiy sonlar bo'lgan barcha darajalar, a > 0 bo'lsa, bir xil xususiyatlarga ega.

Agar matnda xatolikni sezsangiz, uni ajratib ko'rsatish va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Sakkizinchi darajaga e'tibor bermasak, bu erda nimani ko'ramiz? Keling, 7-sinf dasturini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi! Biz olamiz:

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning noto'g'ri tartibi. Agar ular almashtirilgan bo'lsa, qoida amal qilishi mumkin edi.

Lekin buni qanday qilish kerak? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Atamalar sehrli tarzda joylarni o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin.

Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

butun natural sonlarni, ularning qarama-qarshi tomonlarini (ya'ni "" belgisi bilan olingan) va sonni nomlaymiz.

musbat butun son, va u tabiiydan farq qilmaydi, keyin hamma narsa avvalgi qismdagi kabi ko'rinadi.

Endi yangi holatlarga qaraylik. ga teng ko'rsatkichdan boshlaylik.

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng:

Har doimgidek, biz o'zimizga savol beramiz: nega bu shunday?

Baza bilan bir oz kuchni ko'rib chiqing. Masalan, oling va ko'paytiring:

Shunday qilib, biz raqamni ko'paytirdik va xuddi shunday bo'ldi -. Hech narsa o'zgarmasligi uchun qanday raqamni ko'paytirish kerak? To'g'ri, davom eting. anglatadi.

Biz ixtiyoriy raqam bilan ham shunday qilishimiz mumkin:

Keling, qoidani takrorlaymiz:

Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng.

Ammo ko'plab qoidalardan istisnolar mavjud. Va bu erda ham bor - bu raqam (asosiy sifatida).

Bir tomondan, u har qanday darajaga teng bo'lishi kerak - siz nolni o'z-o'zidan qancha ko'paytirsangiz ham, siz nolga erishasiz, bu aniq. Ammo boshqa tomondan, nol darajagacha bo'lgan har qanday raqam kabi, u teng bo'lishi kerak. Xo'sh, buning haqiqati nimada? Matematiklar aralashmaslikka qaror qilishdi va nolni nolga oshirishdan bosh tortishdi. Ya'ni, endi biz nafaqat nolga bo'linibgina qolmay, balki uni nol darajaga ko'tarishimiz mumkin.

Keling, oldinga boraylik. Butun sonlarga natural sonlar va raqamlardan tashqari manfiy sonlar ham kiradi. Salbiy daraja nima ekanligini tushunish uchun, keling, oxirgi marta xuddi shunday qilaylik: ba'zi bir normal sonni salbiy darajada bir xilga ko'paytiramiz:

Bu erdan kerakli narsani ifodalash allaqachon oson:

Endi biz olingan qoidani o'zboshimchalik darajasiga kengaytiramiz:

Shunday qilib, qoidani shakllantiramiz:

Raqamning manfiy darajaga tengligi bir xil sonning musbat darajaga teskarisidir. Lekin ayni paytda baza null bo'lishi mumkin emas:(chunki ajratish mumkin emas).

Keling, xulosa qilaylik:

I. Ifoda holda aniqlanmaydi. Agar, keyin.

II. Nolga teng bo'lgan har qanday raqam bittaga teng: .

III. Manfiy darajaga nolga teng bo'lmagan son bir xil sonning musbat darajaga teskari soni hisoblanadi:.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Odatdagidek, mustaqil yechim uchun misollar:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalarni tahlil qilish:

Bilaman, bilaman, raqamlar qo'rqinchli, lekin imtihonda siz hamma narsaga tayyor bo'lishingiz kerak! Ushbu misollarni yeching yoki ularning yechimini tahlil qiling, agar hal qila olmasangiz, imtihonda ular bilan qanday oson kurashishni o'rganasiz!

Keling, ko'rsatkich sifatida "mos" sonlar diapazonini kengaytirishni davom ettiraylik.

Endi o'ylab ko'ring ratsional sonlar. Qanday raqamlar ratsional deb ataladi?

Javob: kasr sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan hamma narsa, bu erda va butun sonlar.

Nima ekanligini tushunish uchun "kasr daraja" Keling, kasrni ko'rib chiqaylik:

Keling, tenglamaning ikkala tomonini bir darajaga ko'taramiz:

Endi qoidani eslang "darajali daraja":

Quvvat olish uchun qanday raqamni ko'tarish kerak?

Ushbu formula th daraja ildizining ta'rifidir.

Sizga eslatib o'taman: sonning () darajasining ildizi darajaga ko'tarilganda teng bo'lgan sondir.

Ya'ni, darajaning ildizi darajaga ko'tarishning teskari amalidir: .

Shunday bo'lib chiqdi. Shubhasiz, bu maxsus holat uzaytirilishi mumkin: .

Endi raqam qo'shing: bu nima? Javobni kuch-quvvat qoidasi bilan olish oson:

Lekin asos har qanday raqam bo'lishi mumkinmi? Axir, ildizni barcha raqamlardan chiqarib bo'lmaydi.

Yo'q!

Qoidani eslang: juft darajaga ko'tarilgan har qanday raqam ijobiy raqamdir. Ya'ni, manfiy sonlardan juft darajali ildizlarni ajratib bo'lmaydi!

Va bu shuni anglatadiki, bunday raqamlarni teng maxraj bilan kasr darajasiga ko'tarib bo'lmaydi, ya'ni ifoda mantiqiy emas.

Ifoda haqida nima deyish mumkin?

Ammo bu erda muammo paydo bo'ladi.

Raqam boshqa, qisqartirilgan kasrlar sifatida ifodalanishi mumkin, masalan, yoki.

Va ma'lum bo'lishicha, u mavjud, lekin yo'q va bu bir xil raqamning ikki xil yozuvi.

Yoki boshqa misol: bir marta, keyin uni yozib olishingiz mumkin. Ammo biz indikatorni boshqacha yozganimizdan so'ng, biz yana muammoga duch kelamiz: (ya'ni, biz butunlay boshqacha natijaga erishdik!).

Bunday paradokslardan qochish uchun o'ylab ko'ring faqat kasr ko'rsatkichli musbat asos ko'rsatkichi.

Shunday qilib, agar:

• - natural son;
• butun sondir;

Misollar:

Ratsional ko'rsatkichli kuchlar ildizli ifodalarni o'zgartirish uchun juda foydali, masalan:

5 ta amaliyotga misollar

Trening uchun 5 ta misol tahlili

1. Darajaning odatiy xususiyatlari haqida unutmang:

2. Bu erda biz darajalar jadvalini o'rganishni unutganimizni eslaymiz:

Axir - bu yoki. Yechim avtomatik ravishda topiladi: .

Xo'sh, endi - eng qiyin. Endi biz tahlil qilamiz irratsional darajali daraja.

Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli darajalar bilan bir xil, bundan mustasno.

Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ifodalanmaydigan sonlar bo'lib, bu erda va butun sonlardir (ya'ni, irratsional sonlar ratsional raqamlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkich bilan o'rganayotganda, biz har safar ma'lum bir "tasvir", "analogiya" yoki tanishroq so'zlarda tavsifni yaratamiz.

Masalan, natural ko'rsatkichli daraja o'z-o'zidan bir necha marta ko'paytiriladigan sondir;

...nol quvvat- bu go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytirilgan raqam, ya'ni u hali ko'paytirilmagan, bu raqamning o'zi hali paydo bo'lmaganligini anglatadi - shuning uchun natija faqat ma'lum bir "tayyorlash" dir. raqam”, ya’ni raqam;

...manfiy butun son ko‘rsatkichi- go'yo ma'lum bir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Darvoqe, fanda murakkab darajali daraja tez-tez ishlatiladi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas.

Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

QAYERGA BORISHINGIZGA ISHLAB CHIQAMIZ! (agar siz bunday misollarni qanday hal qilishni o'rgansangiz :))

Misol uchun:

O'zingiz qaror qiling:

Yechimlarni tahlil qilish:

1. Darajani darajaga oshirishning odatiy qoidasidan boshlaylik:

Endi hisobni ko'ring. U sizga biror narsani eslatadimi? Biz kvadratlar farqini qisqartirilgan ko'paytirish formulasini eslaymiz:

Ushbu holatda,

Ma'lum bo'lishicha:

Javob: .

2. Ko‘rsatkichli kasrlarni bir xil ko‘rinishga keltiramiz: ikkala o‘nli yoki ikkalasi ham oddiy. Biz, masalan, olamiz:

Javob: 16

3. Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llaymiz:

ILG'IY DARAJA

Darajaning ta'rifi

Daraja quyidagi shaklning ifodasidir: , bu yerda:

• — ilmiy daraja bazasi;
• - ko'rsatkich.

Tabiiy ko'rsatkichli daraja (n = 1, 2, 3,...)

Raqamni n natural darajasiga ko'tarish sonni o'z-o'zidan marta ko'paytirishni anglatadi:

Butun koʻrsatkichli quvvat (0, ±1, ±2,...)

Agar ko'rsatkich bo'lsa musbat butun son raqam:

erektsiya nol quvvatga:

Ifoda noaniqdir, chunki, bir tomondan, istalgan darajada bu, ikkinchi tomondan, th darajali istalgan son bu.

Agar ko'rsatkich bo'lsa manfiy butun son raqam:

(chunki ajratish mumkin emas).

Nulllar haqida yana bir bor: ifoda holatda aniqlanmagan. Agar, keyin.

Misollar:

Ratsional darajali daraja

• - natural son;
• butun sondir;

Misollar:

Darajaning xususiyatlari

Muammolarni hal qilishni osonlashtirish uchun, keling, tushunishga harakat qilaylik: bu xususiyatlar qaerdan paydo bo'lgan? Keling, ularni isbotlaylik.

Keling, ko'rib chiqaylik: nima va?

A-prior:

Shunday qilib, ushbu ifodaning o'ng tomonida quyidagi mahsulot olinadi:

Ammo ta'rifga ko'ra, bu ko'rsatkichli sonning kuchi, ya'ni:

Q.E.D.

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Qaror : .

Misol : Ifodani soddalashtiring.

Qaror : Bizning qoidamizda shuni ta'kidlash muhimdir albatta bir xil asosga ega bo'lishi kerak. Shuning uchun biz darajalarni baza bilan birlashtiramiz, lekin u alohida omil bo'lib qoladi:

Yana bir muhim eslatma: bu qoida - faqat kuchlar mahsulotlari uchun!

Hech qanday holatda buni yozmasligim kerak.

Oldingi xususiyatda bo'lgani kabi, daraja ta'rifiga murojaat qilaylik:

Keling, uni shunday tartibga keltiramiz:

Ma'lum bo'lishicha, ifoda bir marta o'z-o'zidan ko'paytiriladi, ya'ni ta'rifga ko'ra, bu sonning --chi darajasi:

Aslida, buni "indikatorni qavslash" deb atash mumkin. Lekin siz buni hech qachon umuman qila olmaysiz :!

Qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalarni eslaylik: biz necha marta yozmoqchi edik? Lekin bu haqiqat emas.

Salbiy asosga ega quvvat.

Shu paytgacha biz faqat nima bo'lishi kerakligini muhokama qildik ko'rsatkich daraja. Lekin asos nima bo'lishi kerak? dan darajalarda tabiiy ko'rsatkich asos bo'lishi mumkin har qanday raqam .

Darhaqiqat, biz har qanday raqamni bir-biriga ko'paytirishimiz mumkin, ular ijobiy, salbiy yoki hatto. Keling, qanday belgilar ("" yoki "") ijobiy va salbiy sonlarning darajalariga ega bo'lishini o'ylab ko'raylik?

Masalan, raqam ijobiy yoki salbiy bo'ladimi? LEKIN? ?

Birinchisi bilan hamma narsa aniq: biz bir-birimiz bilan qancha ijobiy sonlarni ko'paytirsak ham, natija ijobiy bo'ladi.

Ammo salbiy tomonlari biroz qiziqroq. Axir, biz 6-sinfdan oddiy qoidani eslaymiz: "minus marta minus ortiqcha beradi". Ya'ni, yoki. Ammo () ga ko'paytirsak - hosil bo'ladi.

Va shunga o'xshash ad infinitum: har bir keyingi ko'paytirish bilan belgi o'zgaradi. Siz oddiy qoidalarni shakllantirishingiz mumkin:

1. hatto daraja, - raqam ijobiy.
2. Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
3. Har qanday quvvatga ijobiy raqam ijobiy sondir.
4. Har qanday quvvat nol nolga teng.

Quyidagi iboralar qanday belgiga ega bo'lishini o'zingiz aniqlang:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Siz boshqardingizmi? Mana javoblar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Birinchi to'rtta misolda, umid qilamanki, hamma narsa aniqmi? Biz shunchaki asos va ko'rsatkichga qaraymiz va tegishli qoidani qo'llaymiz.

5-misolda), hamma narsa ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas: baza nimaga teng bo'lishi muhim emas - daraja teng, ya'ni natija har doim ijobiy bo'ladi. Xo'sh, baza nolga teng bo'lgan hollar bundan mustasno. Baza bir xil emas, shunday emasmi? Shubhasiz, yo'q, chunki (chunki).

6-misol) endi unchalik oddiy emas. Bu erda qaysi biri kamroq ekanligini bilib olishingiz kerak: yoki? Agar buni eslasangiz, bu aniq bo'ladi, ya'ni baza noldan kichikdir. Ya'ni, biz 2-qoidani qo'llaymiz: natija salbiy bo'ladi.

Va yana biz daraja ta'rifidan foydalanamiz:

Hammasi odatdagidek - biz darajalarning ta'rifini yozamiz va ularni bir-biriga ajratamiz, ularni juftlarga ajratamiz va olamiz:

Oxirgi qoidani tahlil qilishdan oldin, keling, bir nechta misollarni hal qilaylik.

Ifodalar qiymatlarini hisoblang:

Yechimlar :

Sakkizinchi darajaga e'tibor bermasak, bu erda nimani ko'ramiz? Keling, 7-sinf dasturini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, eslaysizmi? Bu qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, ya'ni kvadratlar farqi!

Biz olamiz:

Biz maxrajga diqqat bilan qaraymiz. Bu numerator omillardan biriga o'xshaydi, lekin nima noto'g'ri? Shartlarning noto'g'ri tartibi. Agar ular o'zgartirilsa, 3-qoida qo'llanilishi mumkin, ammo buni qanday qilish kerak? Ma'lum bo'lishicha, bu juda oson: maxrajning teng darajasi bu erda bizga yordam beradi.

Agar siz uni ko'paytirsangiz, hech narsa o'zgarmaydi, to'g'rimi? Ammo endi bu shunday ko'rinadi:

Atamalar sehrli tarzda joylarni o'zgartirdi. Ushbu "hodisa" har qanday iboraga teng darajada qo'llaniladi: biz qavs ichidagi belgilarni erkin o'zgartirishimiz mumkin. Ammo eslash muhim: barcha belgilar bir vaqtning o'zida o'zgaradi! Uni faqat bitta nomaqbul minusni o'zgartirish bilan almashtirib bo'lmaydi!

Keling, misolga qaytaylik:

Va yana formula:

Endi oxirgi qoida:

Biz buni qanday isbotlaymiz? Albatta, odatdagidek: daraja tushunchasini kengaytiramiz va soddalashtiramiz:

Xo'sh, endi qavslarni ochamiz. Qancha harf bo'ladi? marta multiplikatorlar bo'yicha - bu nimaga o'xshaydi? Bu operatsiya ta'rifidan boshqa narsa emas ko'paytirish: jami ko'paytiruvchilar bo'lib chiqdi. Ya'ni, ta'rifiga ko'ra, ko'rsatkichli sonning kuchi:

Misol:

Irratsional ko'rsatkichli daraja

O'rtacha daraja uchun darajalar haqidagi ma'lumotlarga qo'shimcha ravishda, biz darajani irratsional ko'rsatkich bilan tahlil qilamiz. Bu erda darajalarning barcha qoidalari va xususiyatlari ratsional ko'rsatkichli daraja bilan bir xil, bundan mustasno - axir, ta'rifga ko'ra, irratsional sonlar kasr sifatida ifodalanmaydigan sonlar bo'lib, bu erda va butun sonlar (ya'ni). , irratsional sonlar ratsional sonlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir).

Darajalarni tabiiy, butun va ratsional ko'rsatkich bilan o'rganayotganda, biz har safar ma'lum bir "tasvir", "analogiya" yoki tanishroq so'zlarda tavsifni yaratamiz. Masalan, natural ko‘rsatkich o‘ziga bir necha marta ko‘paytiriladigan sondir; nol darajagacha bo'lgan raqam, go'yo bir marta o'z-o'zidan ko'paytiriladigan son, ya'ni u hali ko'paytirilmagan, bu raqamning o'zi hali paydo bo'lmaganligini anglatadi - shuning uchun natija faqat ma'lum bir "raqamni tayyorlash", ya'ni raqam; butun sonli manfiy ko'rsatkichli daraja - go'yo ma'lum bir "teskari jarayon" sodir bo'lgan, ya'ni raqam o'z-o'zidan ko'paytirilmagan, balki bo'lingan.

Irratsional ko'rsatkichli darajani tasavvur qilish juda qiyin (xuddi 4 o'lchovli fazoni tasavvur qilish qiyin). To'g'rirog'i, bu matematiklar daraja tushunchasini butun sonlar fazosiga kengaytirish uchun yaratgan sof matematik ob'ektdir.

Darvoqe, fanda murakkab darajali daraja tez-tez ishlatiladi, ya'ni ko'rsatkich hatto haqiqiy son ham emas. Ammo maktabda biz bunday qiyinchiliklar haqida o'ylamaymiz, siz institutda ushbu yangi tushunchalarni tushunish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Agar irratsional ko'rsatkichni ko'rsak, nima qilamiz? Biz undan xalos bo'lishga harakat qilamiz! :)

Misol uchun:

O'zingiz qaror qiling:

1)

2)

3)

Javoblar:

1. Kvadratlar formulasining farqini eslang. Javob: .
2. Biz kasrlarni bir xil shaklga keltiramiz: ikkala o'nli kasr yoki ikkala oddiy. Biz, masalan: .
3. Hech qanday maxsus narsa yo'q, biz darajalarning odatiy xususiyatlarini qo'llaymiz:

BO'LIM XULOSASI VA ASOSIY FORMULA

Daraja shaklning ifodasi deyiladi: , bu yerda:

Butun sonli daraja

daraja, ko'rsatkichi natural son (ya'ni butun va musbat).

Ratsional darajali daraja

daraja, uning ko'rsatkichi manfiy va kasr sonlardir.

Irratsional ko'rsatkichli daraja

ko'rsatkichi cheksiz o'nli kasr yoki ildiz bo'lgan daraja.

Darajaning xususiyatlari

Darajaning xususiyatlari.

• Manfiy raqam ko'tarildi hatto daraja, - raqam ijobiy.
• Manfiy raqam ko'tarildi g'alati daraja, - raqam salbiy.
• Har qanday quvvatga ijobiy raqam ijobiy sondir.
• Nol har qanday quvvatga teng.
• Nolga teng bo'lgan har qanday raqam tengdir.

ENDI SIZDA SO'Z BOR...

Sizga maqola qanday yoqadi? Sizga yoqdimi yoki yo'qmi, quyidagi izohlarda menga xabar bering.

Quvvat xususiyatlari bilan tajribangiz haqida bizga xabar bering.

Balki savollaringiz bordir. Yoki takliflar.

Izohlarda yozing.

Va imtihonlaringizga omad!

Algebrada va haqiqatan ham barcha matematikada asosiy xususiyatlardan biri bu darajadir. Albatta, 21-asrda barcha hisob-kitoblar onlayn kalkulyatorda amalga oshirilishi mumkin, ammo miya rivojlanishi uchun buni o'zingiz qanday qilishni o'rganish yaxshiroqdir.

Ushbu maqolada biz ushbu ta'rif bilan bog'liq eng muhim masalalarni ko'rib chiqamiz. Ya'ni, biz umuman nima ekanligini va uning asosiy funktsiyalari nimadan iboratligini, matematikada qanday xususiyatlar mavjudligini tushunamiz.

Keling, hisob-kitob qanday ko'rinishga ega, asosiy formulalar qanday misollarni ko'rib chiqaylik. Biz kattaliklarning asosiy turlarini va ular boshqa funktsiyalardan qanday farq qilishini tahlil qilamiz.

Ushbu qiymatdan foydalanib, turli muammolarni qanday hal qilishni tushunamiz. Biz misollar bilan nol darajaga ko'tarishni, mantiqsiz, salbiy va hokazolarni ko'rsatamiz.

Onlayn eksponentatsiya kalkulyatori

Raqamning darajasi qanday

"Raqamni bir darajaga ko'tarish" iborasi nimani anglatadi?

a sonining n darajasi ketma-ket a n marta kattalik omillari hosilasidir.

Matematik jihatdan bu shunday ko'rinadi:

a n = a * a * a * …a n.

Misol uchun:

• Uchinchi bosqichda 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 qadamda. ikki = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 qadamda. to'rt = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 bosqichda 10 5 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 bosqichda 10 4 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Quyida 1 dan 10 gacha kvadratlar va kublar jadvali keltirilgan.

1 dan 10 gacha darajalar jadvali

Quyida tabiiy sonlarni ijobiy kuchlarga ko'tarish natijalari - "1 dan 100 gacha".

Ch-lo	2-sinf	3-sinf
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Darajaning xususiyatlari

Bunday matematik funktsiyaning o'ziga xos xususiyati nimada? Keling, asosiy xususiyatlarni ko'rib chiqaylik.

Olimlar quyidagilarni aniqladilar Barcha darajalarga xos belgilar:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Boshqa tomondan 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Xuddi shunday: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Aks holda 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Agar boshqacha bo'lsa-chi? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Ko'rib turganingizdek, qoidalar ishlaydi.

Lekin qanday bo'lish kerak qo'shish va ayirish bilan? Hammasi oddiy. Birinchi darajali daraja, keyin esa qo'shish va ayirish bajariladi.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ammo bu holda, avval qo'shimchani hisoblashingiz kerak, chunki qavs ichida harakatlar mavjud: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Qanday ishlab chiqarish murakkabroq holatlarda hisob-kitoblar? Buyurtma bir xil:

• qavslar bo'lsa, ular bilan boshlash kerak;
• keyin eksponentsiya;
• keyin ko'paytirish, bo'lish amallarini bajaring;
• qo'shish, ayirishdan keyin.

Barcha darajalarga xos bo'lmagan o'ziga xos xususiyatlar mavjud:

1. a sonidan m darajagacha bo'lgan n-darajaning ildizi quyidagicha yoziladi: a m / n .
2. Kasrni darajaga ko'tarishda: hisoblagich ham, uning maxraji ham ushbu protseduraga bo'ysunadi.
3. Turli raqamlarning ko'paytmasini bir darajaga ko'tarishda ifoda ushbu raqamlarning berilgan darajaga ko'paytmasiga mos keladi. Ya'ni: (a * b) n = a n * b n.
4. Raqamni manfiy quvvatga ko'tarishda siz 1 ni bir xil bosqichda raqamga bo'lishingiz kerak, lekin "+" belgisi bilan.
5. Agar kasrning maxraji manfiy darajali bo'lsa, bu ifoda musbat darajadagi pay va maxrajning ko'paytmasiga teng bo'ladi.
6. Har qanday raqam 0 = 1 kuchiga va qadamga. 1 = o'ziga.

Ushbu qoidalar alohida holatlarda muhim ahamiyatga ega, biz ularni quyida batafsilroq ko'rib chiqamiz.

Salbiy ko'rsatkichli daraja

Salbiy daraja bilan nima qilish kerak, ya'ni indikator salbiy bo'lsa?

4 va 5 xossalari asosida(yuqoridagi bandga qarang) chiqadi:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Va teskari:

1 / A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Agar kasr bo'lsa-chi?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Tabiiy ko'rsatkichli daraja

Bu ko'rsatkichlari butun sonlarga teng bo'lgan daraja sifatida tushuniladi.

Esda tutish kerak bo'lgan narsalar:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… va hokazo.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... va boshqalar.

Bundan tashqari, agar (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… boʻlsa, natija “+” belgisi bilan boʻladi. Agar salbiy raqam toq kuchga ko'tarilsa, aksincha.

Umumiy xususiyatlar va yuqorida tavsiflangan barcha o'ziga xos xususiyatlar ham ularga xosdir.

Fraksiyonel daraja

Ushbu ko'rinishni sxema sifatida yozish mumkin: A m / n. U quyidagicha o'qiladi: A sonining n-darajali ildizi m darajasiga.

Kasr ko'rsatkichi bilan siz hamma narsani qilishingiz mumkin: kamaytirish, qismlarga ajratish, boshqa darajaga ko'tarish va hk.

Irratsional ko'rsatkichli daraja

a irratsional son va A ˃ 0 bo‘lsin.

Bunday ko'rsatkich bilan darajaning mohiyatini tushunish uchun, Keling, turli xil holatlarni ko'rib chiqaylik:

• A \u003d 1. Natija 1 ga teng bo'ladi. Aksioma mavjud bo'lgani uchun - 1 barcha kuchlarda bittaga teng;

A r 1 ˂ A a ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 ratsional sonlar;

• 0˂A˂1.

Bu holda, aksincha: A r 2 ˂ A a ˂ A r 1 ikkinchi xatboshidagi kabi shartlar ostida.

Masalan, ko'rsatkich p sonidir. Bu mantiqiy.

r 1 - bu holda u 3 ga teng;

r 2 - 4 ga teng bo'ladi.

Keyin, A = 1 uchun, 1 p = 1.

A = 2, keyin 2 3 ˂ 2 p ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 p ˂ 16.

A = 1/2, keyin (½) 4 ˂ (½) p ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) p ˂ 1/8.

Bunday darajalar yuqorida tavsiflangan barcha matematik operatsiyalar va o'ziga xos xususiyatlar bilan tavsiflanadi.

Xulosa

Keling, xulosa qilaylik - bu qiymatlar nima uchun, bunday funktsiyalarning afzalliklari nimada? Albatta, birinchi navbatda, ular misollarni echishda matematiklar va dasturchilarning hayotini soddalashtiradi, chunki ular hisob-kitoblarni minimallashtirish, algoritmlarni qisqartirish, ma'lumotlarni tizimlashtirish va boshqalarga imkon beradi.

Bu bilim yana qayerda foydali bo'lishi mumkin? Har qanday ishchi mutaxassislik bo'yicha: tibbiyot, farmakologiya, stomatologiya, qurilish, texnologiya, muhandislik, dizayn va boshqalar.