Darajalar xususiyatlari: bayonotlar, dalillar, misollar. Darajalar xususiyatlari, formulalar, dalillar, misollar Tabiiy eksponent qoidalari bilan darajalarning xususiyatlari

Biz allaqachon raqamning darajasi haqida gaplashdik. Muammolarni hal qilishda foydali bo'lgan ma'lum xususiyatlarga ega: biz va ushbu maqolada tahlil qiladigan barcha eksponentlar. Biz ularni qanday qilib isbotlashimiz va amalda to'g'ri qo'llashimiz mumkinligini ham misollar bilan aniq ko'rsatib beramiz.

Oldinroq biz tomonidan shakllantirilgan daraja tushunchasini eslaylik: bu har bir a ga teng bo'lgan n-sonli omillarning samarasidir. Haqiqiy raqamlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni ham unutmasligimiz kerak. Bularning barchasi bizga quyidagi tabiiy xossalarni aniqlaydigan darajalarni aniqlashga yordam beradi:

1-ta'rif

1. Darajaning asosiy xossasi: a m · a n \u003d a m + n

Umumlashtirilishi mumkin: a n 1 · a n 2 ·… · a n k \u003d a n 1 + n 2 +… + n k.

2. Xuddi shu asosga ega bo'lgan darajalar uchun kvitantsiya xususiyati: a m: a n \u003d a m - n

3. Mahsulot darajasining mulki: (a b) n \u003d a n b n

Tenglikni quyidagicha kengaytirish mumkin: (a 1 a 2… a k) n \u003d a 1 n a 2 n… a k n

4. Ilovaning tabiiy darajasi: (a: b) n \u003d a n: b n

5. Quvvatni ko'taring: (a m) n \u003d a m · n,

Umumlashtirish mumkin: (((a n 1) n 2)…) n k \u003d a n 1 n 2… n k

6. Darajani nol bilan taqqoslang:

• agar a\u003e 0 bo'lsa, u holda har qanday natural n uchun n noldan katta bo'ladi;
• 0 ga teng bo'lgan holda, n ham nolga teng bo'ladi;
• da a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• da a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. tenglik a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Agar m va n natural sonlar bo'lsa, m n va n dan katta va noldan kattaroq bo'lsa va a dan kam bo'lmasa, m\u003e a n tengsizlik to'g'ri bo'ladi.

Natijada bir nechta tengliklarga ega bo'ldik; agar yuqorida ko'rsatilgan barcha shartlar bajarilsa, ular bir xil bo'ladi. Tengliklarning har biri uchun, masalan, asosiy xususiyat uchun, siz o'ng va chap tomonlarni almashtirishingiz mumkin: a m · a n \u003d a m + n - m + n \u003d a m · a n bilan bir xil. Shunday qilib, ko'pincha iboralarni soddalashtirish uchun ishlatiladi.

1. Darajaning asosiy xossasidan boshlaylik: a m · a n \u003d a m + n tenglik har qanday m va n va haqiqiy a uchun haqiqiy bo'ladi. Siz ushbu bayonotni qanday isbotlay olasiz?

Tabiiy eksponentlar bilan darajalarning asosiy ta'rifi bizga tenglikni omillar mahsulotiga aylantirishga imkon beradi. Biz bunday yozuvni olamiz:

Buni qisqartirish mumkin (ko'payishning asosiy xususiyatlarini eslang). Natijada m + n natural ko'rsatkich bilan a raqamining kuchiga ega bo'ldik. Shunday qilib, m + n, bu darajaning asosiy xususiyati isbotlanganligini anglatadi.

Buni tasdiqlovchi aniq bir misolni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Shunday qilib, bizda 2-darajali ikkita daraja mavjud. Ularning tabiiy ko'rsatkichlari mos ravishda 2 va 3 ga teng. Bizda tenglik bor: 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5 Keling, bu tenglik to'g'ri ekanligini tekshirish uchun qiymatlarni hisoblaylik.

Kerakli matematik operatsiyalarni bajaramiz: 2 2 2 3 \u003d (2 2) (2 2 2) \u003d 4 8 \u003d 32 va 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32

Natijada, biz oldik: 2 2 2 3 \u003d 2 5. Mulk isbotlangan.

Ko'paytirishning xususiyatlari tufayli, biz uchta yoki undan ko'p daraja shaklida shakllantirish orqali mulkni umumlashtira olamiz, ularning eksponentlari tabiiy sonlar va asoslari bir xil. Agar n 1, n 2, va boshqa natural sonlar sonini k harfi bilan belgilasak, to'g'ri tenglikni olamiz:

a n 1 · a n 2 ·… · a n k \u003d a n 1 + n 2 +… + n k.

2-misol

2. Keyingi, biz olinadigan narsa deb ataladigan va bir xil asoslarga ega darajalarga ega bo'lgan quyidagi xususiyatni isbotlashimiz kerak: bu tenglik am: an \u003d am - n, bu har qanday natural son m va n (n dan katta) va amaldagi nolga teng bo'lmagan haqiqiydir. ...

Boshlash uchun, tahrirda aytib o'tilgan shartlarning aniq ma'nosi nima ekanligini tushuntirib beraylik. Agar nolga teng bo'lsak, oxirida biz nolga bo'linamiz, bu amalga oshirilmaydi (0 n \u003d 0). M sonining n dan kattaroq bo'lishi shart bo'lgan shart, tabiiy eksponentlar ichida qolishimiz uchun zarur: m ni n dan aylantirsak, biz olamiz. natural son... Agar shart bajarilmasa, biz manfiy sonni yoki nolni tugatamiz va yana tabiiy ko'rsatkichlar bilan o'qish darajasidan chiqib ketamiz.

Endi isbotga o'tamiz. Oldin o'rganganimizdan kasrlar asosiy xususiyatlarini eslaymiz va tenglikni quyidagicha tuzamiz:

a m - n a n \u003d a (m - n) + n \u003d a m

Undan xulosa qilishingiz mumkin: a m - n a n \u003d a m

Keling, bo'linish va ko'paytirish o'rtasidagi bog'liqlikni eslaylik. Bundan kelib chiqadiki, m - n - bu m va n darajalarning bo'linishi. Bu darajaning ikkinchi xususiyatining isboti.

3-misol

Ko'rsatkichlar ravshanligi uchun aniq raqamlarni almashtiring va daraja asosini π: π 5: π 2 \u003d π 5 - 3 \u003d π 3 bilan belgilang.

3. Keyinchalik, mahsulot darajasining xususiyatini tahlil qilamiz: (a b) n \u003d a n b n har qanday haqiqiy a va b va natural n uchun.

Tabiiy eksponent bilan darajaning asosiy ta'rifiga ko'ra, biz tenglikni quyidagicha o'zgartirishimiz mumkin:

Ko'paytirish xususiyatlarini eslab, biz quyidagicha yozamiz: ... Bu n · b n bilan bir xil ma'noni anglatadi.

4-misol

2 3 - 4 2 5 4 \u003d 2 3 4 - 4 2 5 4

Agar bizda uchta yoki undan ko'p omillar mavjud bo'lsa, unda bu xususiyat ushbu holatga ham tegishli. Keling, k belgisini bir necha omillar uchun tanishtiramiz va yozamiz:

(a 1 a 2… a k) n \u003d a 1 n a 2 n… a k n

5-misol

Muayyan sonlar bilan quyidagi haqiqiy tenglikni olamiz: (2 (- 2, 3) a) 7 \u003d 2 7 (- 2, 3) 7 a

4. Shundan so'ng, biz berilgan qiymatni isbotlashga harakat qilamiz: (a: b) n \u003d a n: b n har qanday haqiqiy a va b uchun, agar b 0 ga teng bo'lmasa va n natural son bo'lsa.

Isbot qilish uchun siz darajaning oldingi xususiyatlaridan foydalanishingiz mumkin. Agar (a: b) n bn \u003d ((a: b) b) n \u003d an, va (a: b) n bn \u003d an bo'lsa, u holda (a: b) n sonning kvitenti bn ga bo'lish.

6-misol

Bir misolni hisoblaylik: 3 1 2: - 0. 5 3 \u003d 3 1 2 3: (- 0, 5) 3

7-misol

Darhol misoldan boshlaylik: (5 2) 3 \u003d 5 2 3 \u003d 5 6

Va endi biz tenglik rostligini isbotlaydigan tengliklar zanjirini tuzamiz:

Agar bizning misolimizda darajalar darajalari bo'lsa, unda bu xususiyat ular uchun ham to'g'ri keladi. Agar p, q, r, s natural sonlari bo'lsa, u to'g'ri bo'ladi:

a p q y s \u003d a p q y s

8-misol

Xususiyatlarni qo'shing: (((5, 2) 3) 2) 5 \u003d (5, 2) 3 2 5 \u003d (5, 2) 30

6. Biz isbotlashimiz kerak bo'lgan tabiiy eksponent darajalarining yana bir xususiyati taqqoslash xususiyatidir.

Birinchidan, darajani nol bilan taqqoslaymiz. Agar n 0 bo'lsa, 0 dan katta bo'lsa, nega?

Agar bitta musbat sonni boshqasiga ko'paytirsak, u holda musbat sonni ham olamiz. Ushbu haqiqatni bilib, shuni aytishimiz mumkinki, bu omillar soniga bog'liq emas - har qanday musbat sonni ko'paytirishning natijasi ijobiy sondir. Va sonlarni ko'paytirishning natijasi bo'lmasa, daraja nima? Har qanday darajada a n musbat bazaga va tabiiy ko'rsatkichga ega bo'lsa, bu to'g'ri bo'ladi.

9-misol

3 5\u003e 0, (0, 00201) 2\u003e 0 va 34 9 13 51\u003e 0

Nolga teng bo'lgan darajaning o'zi ham nolga teng ekanligi ravshan. Nolni qancha darajaga ko'tarmasak ham, u saqlanib qoladi.

10-misol

0 3 \u003d 0 va 0 762 \u003d 0

Agar eksponentning asosi manfiy son bo'lsa, unda isbot biroz murakkabroq, chunki juft / toq eksponent tushunchasi muhim ahamiyat kasb etadi. Avvaliga, eksponent teng bo'lganda ishni ko'rib chiqing va uni 2 m deb belgilang, bu erda m natural son.

Salbiy sonlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirish kerakligini eslaylik: a · a mahsuloti modullar ko'paytmasiga teng va shuning uchun u musbat son bo'ladi. Keyin va a 2 m darajasi ham ijobiydir.

11-misol

Masalan, (- 6) 4\u003e 0, (- 2, 2) 12\u003e 0 va - 2 9 6\u003e 0

Agar manfiy bazaga ega eksponent toq son bo'lsa? Biz buni 2 m - 1 deb belgilaymiz.

Keyin

Barcha mahsulotlar a · a, ko'paytirish xususiyatlariga ko'ra ijobiydir, ularning mahsuloti ham. Ammo agar biz uni bitta qolgan songa ko'paytirsak, natijada salbiy bo'ladi.

Keyin biz olamiz: (- 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Buni qanday isbotlash kerak?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

12-misol

Masalan, tengsizliklar to'g'ri: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Oxirgi xususiyatni isbotlash biz uchun qoladi: agar bizda ikki daraja bo'lsa, ularning asoslari bir xil va ijobiy va eksponentlar tabiiy sonlar bo'lsa, demak ularning kattaroqlari, eksponentlari kamroq; tabiiy ko'rsatkichlar va bir xil asoslar bilan ikki darajali, bittadan kattaroq bo'lsa, indikator kattaroq daraja bo'ladi.

Keling, bu gaplarni isbotlaymiz.

Birinchidan, biz ishonch hosil qilishimiz kerak m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Qavslar tashqarisida n ni chiqaramiz, shundan so'ng bizning farqimiz n n (a m - n - 1) shaklni oladi. Uning natijasi salbiy bo'ladi (chunki musbat sonni manfiy songa ko'paytirish natijasida manfiy bo'ladi). Axir, shunga ko'ra dastlabki shartlar, m - n\u003e 0, keyin m - n - 1 manfiy, va birinchi omil ijobiy asosga ega bo'lgan har qanday tabiiy darajadagi kabi musbatdir.

Aniqlanishicha, m - a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Yuqorida bayon qilingan bayonotning ikkinchi qismini isbotlash uchun qoladi: m\u003e a m\u003e n va a\u003e 1 uchun amal qiladi. Farqni ko'rsatamiz va n qavsni qavsning tashqarisiga qo'yamiz: (a m - n - 1). N dan kattaroq uchun n daraja ijobiy natija beradi; va farqning o'zi ham dastlabki shartlar tufayli ijobiy bo'ladi va a\u003e 1 uchun m - n darajasi bittadan kattaroqdir. Ma'lum bo'lishicha, m - a n\u003e 0 va m\u003e a n, bu biz isbotlashimiz kerak bo'lgan narsa.

13-misol

Muayyan raqamlar bilan misol: 3 7\u003e 3 2

Butun sonli ko'rsatkichlar bilan darajalarning asosiy xususiyatlari

Ijobiy butun son ko'rsatkichlari bo'lgan darajalar uchun xususiyatlar bir-biriga o'xshash bo'ladi, chunki musbat butun sonlar tabiiydir, ya'ni yuqorida isbotlangan barcha tengliklar ular uchun ham amal qiladi. Ular, shuningdek, eksponentlar manfiy yoki nolga teng bo'lgan holatlar uchun javob beradi (agar darajaning asosi nolga teng bo'lsa).

Shunday qilib, darajalar xususiyatlari har qanday a va b asoslar uchun bir xil (agar bu raqamlar haqiqiy bo'lsa va 0 ga teng bo'lmasa) va m va n har qanday eksponentlar (agar ular butun bo'lsa). Keling, ularni qisqacha formulalar shaklida yozaylik:

2-ta'rif

1.a m a n \u003d a m + n

2.a m: a n \u003d a m - n

3. (a b) n \u003d a n b n

4. (a: b) n \u003d a n: b n

5. (a m) n \u003d a m n

6.a n< b n и a − n > b - n musbat a n va b, a musbat butun sonni olsak< b

7.a m< a n , при условии целых m и n , m > n va 0< a < 1 , при a > 1 a m\u003e a n.

Agar darajaning asosi nolga teng bo'lsa, m va n izohlari tabiiy va musbat m va n bo'lsa, mantiqiy bo'ladi. Natijada, yuqorida keltirilgan formulalar, agar boshqa barcha shartlar bajarilsa, nol darajaga ega bo'lgan holatlar uchun ham mos kelishini topamiz.

Bu holda ushbu xususiyatlarning dalillari murakkab emas. Tabiiy va butun son ko'rsatkichlari bilan bir qatorda, shuningdek haqiqiy sonlar bilan bajariladigan harakatlarning xususiyatlarini eslab qolishimiz kerak.

Keling, daraja darajasining xususiyatini tahlil qilaylik va u ham musbat, ham ijobiy bo'lmagan butun sonlar uchun to'g'ri ekanligini isbotlaymiz. Biz tenglikni (ap) q \u003d ap q, (a - p) q \u003d a (- p) q, (ap) - q \u003d ap (- q) va (a - p) - q \u003d a isbotlashdan boshlaymiz. (- p) (- q)

Shartlar: p \u003d 0 yoki natural son; q - shunga o'xshash.

Agar p va q ning qiymatlari 0 dan katta bo'lsa, (a p) q \u003d a p q ni olamiz. Biz ilgari ham xuddi shunday tenglikni isbotlagan edik. Agar p \u003d 0 bo'lsa, u holda:

(a 0) q \u003d 1 q \u003d 1 a 0 q \u003d a 0 \u003d 1

Shuning uchun (a 0) q \u003d a 0 q

Q \u003d 0 uchun hamma narsa bir xil:

(a p) 0 \u003d 1 a p 0 \u003d a 0 \u003d 1

Natija: (a p) 0 \u003d a p · 0.

Agar ikkala eksponent nolga teng bo'lsa, (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 va 0 · 0 \u003d a 0 \u003d 1, bu esa (a 0) 0 \u003d a 0 · 0 degan ma'noni anglatadi.

Yuqorida aytib o'tilgan shaxsning mulkini eslang va yozing:

1 a p q \u003d 1 q a p q

Agar 1 p \u003d 1 1 ... 1 \u003d 1 va p q \u003d a p q bo'lsa, unda 1 q a p q \u003d 1 a p q

Ko'paytirishning asosiy qoidalariga ko'ra biz ushbu belgini a (- p) q ga aylantirishimiz mumkin.

Xuddi shunday: a p - q \u003d 1 (a p) q \u003d 1 a p q \u003d a - (p q) \u003d a p (- q).

Va (a - p) - q \u003d 1 a p - q \u003d (a p) q \u003d a p q \u003d a (- p) (- q)

Darajaning qolgan xossalari mavjud tengsizliklarni o'zgartirib, shunga o'xshash tarzda isbotlanishi mumkin. Biz bu haqda batafsil to'xtalmaymiz, biz faqat qiyin jihatlarni ko'rsatamiz.

Fazoviy xususiyatning isboti: a - n\u003e b - n har qanday salbiy butun sonlar uchun va a va b har qanday musbat musbat qiymatlar uchun to'g'ri ekanligini eslang, a dan b dan kichik bo'lsa.

Keyin tengsizlikni quyidagicha o'zgartirish mumkin:

1 a n\u003e 1 b n

O'ng va chap qismlarni farq sifatida yozamiz va kerakli o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

1 a n - 1 b n \u003d b n - a n a n b n

Eslatib o'tamiz, a b b dan kichik bo'lsa, u holda tabiiy ko'rsatkich bilan darajani aniqlash uchun: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n b b n musbat son bo'ladi, chunki uning omillari musbatdir. Natijada, biz b n - a n n b b n kasrga egamiz, natijada u ham ijobiy natija beradi. Demak 1 a n\u003e 1 b n qaerdan a - n\u003e b - n, buni isbotlashimiz kerak edi.

Belgilangan ko'rsatkichlar bilan darajalarning oxirgi xususiyati, tabiiy ko'rsatkichlar bilan darajalar xususiyatlariga o'xshash.

Ratsional ko'rsatkichlar bilan darajalarning asosiy xususiyatlari

Oldingi maqolalarda biz ratsional (kasr) ko'rsatkich bilan daraja nima ekanligini muhokama qildik. Ularning xususiyatlari butun son ko'rsatkichlari bilan darajalar bilan bir xil. Keling, yozamiz:

3-ta'rif

1.am 1 n 1 am 2 n 2 \u003d am 1 n 1 + m 2 n 2 a\u003e 0 uchun, va agar m 1 n 1\u003e 0 va m 2 n 2\u003e 0 bo'lsa, u holda ≥ 0 uchun (mahsulot xususiyati daraja bilan bir xil).

2.a m 1 n 1: b m 2 n 2 \u003d a m 1 n 1 - m 2 n 2, agar a\u003e 0 (berilgan narsaning mulki).

3.a bmn \u003d amn bmn a\u003e 0 va b\u003e 0 uchun, va agar m 1 n 1\u003e 0 va m 2 n 2\u003e 0 bo'lsa, u holda ≥ 0 va (yoki) b ≥ 0 uchun (mahsulot mulki kasr darajasi).

4.a: b m n \u003d a m n: b m n a\u003e 0 va b\u003e 0 uchun, va agar m n\u003e 0 bo'lsa, u holda a ≥ 0 va b\u003e 0 uchun (kasr kuchida ekvivalentning xususiyati).

5.am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 a\u003e 0 uchun, va agar m 1 n 1\u003e 0 va m 2 n 2\u003e 0 bo'lsa, u holda ≥ 0 uchun (daraja darajasi) daraja).

6.a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p > 0; agar p< 0 - a p > b p (darajalarni teng ratsional ko'rsatkichlar bilan taqqoslash xususiyati).

7.a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p > q 0 da< a < 1 ; если a > 0 - a p\u003e a q

Bu gaplarni isbotlash uchun kasr daraja ko'rsatkichi bilan daraja nima ekanligini, n-darajali arifmetik ildizning xususiyatlari va butun darajadagi eksponentlar bilan darajaning xususiyatlari qanday ekanligini eslab qolishimiz kerak. Keling, har bir mulkni ko'rib chiqaylik.

Fraktsiya ko'rsatkichi nima ekanligini ko'ra, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

a m 1 n 1 \u003d a m 1 n 1 va m 2 n 2 \u003d a m 2 n 2, shuning uchun m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d a m 1 n 1 a m 2 n 2

Ildiz xossalari tenglikni aniqlashga imkon beradi:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 \u003d a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Bundan biz quyidagini olamiz: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

O'zgartiraylik:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Eksponent quyidagicha yozilishi mumkin:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d m 1 n 1 + m 2 n 2

Bu isbot. Ikkinchi mulk aynan shu tarzda isbotlangan. Keling, tengliklar zanjirini yozaylik:

am 1 n 1: am 2 n 2 \u003d am 1 n 1: am 2 n 2 \u003d am 1 n 2: am 2 n 1 n 1 n 2 \u003d \u003d am 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d am 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d am 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 \u003d am 1 n 1 - m 2 n 2

Qolgan tengliklarning isboti:

a b m n \u003d (a b) m n \u003d a m b m n \u003d a m n b m n \u003d a m n b m n; (a: b) m n \u003d (a: b) m n \u003d a m: b m n \u003d \u003d a m n: b m n \u003d a m n: b m n; am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 \u003d \u003d am 1 m 2 n 1 n 2 \u003d am 1 m 2 n 1 n 2 \u003d \u003d am 1 M 2 n 2 n 1 \u003d am 1 m 2 n 2 n 1 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2

Keyingi xususiyat: a va b ning har qanday qiymatlari uchun 0 dan katta ekanligini isbotlaymiz, agar a dan b kichik bo'lsa, u holda p< b p , а для p больше 0 - a p > b p

Biz ratsional sonni m n sifatida ifodalaymiz. Bunday holda, m butun son, n tabiiydir. Keyin shartlar p< 0 и p > 0 m ga cho'ziladi< 0 и m > 0. M\u003e 0 va a uchun< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Ildiz va chiqish xususiyatidan foydalanamiz: a m n< b m n

A va b ning musbat qiymatlarini hisobga olib, tengsizlikni m n sifatida yozamiz< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Xuddi shu tarzda m uchun< 0 имеем a a m > b m, biz m n\u003e b m n ni olamiz, bu m n\u003e b m n va p\u003e b p degan ma'noni anglatadi.

So'nggi mulk haqida dalolat berish biz uchun qoladi. P va q, p\u003e q ratsional sonlari uchun 0 ga teng ekanligini isbotlaymiz< a < 1 a p < a q , а при a > 0 to'g'ri bo'ladi a p\u003e a q.

P va q ratsional sonlari umumiy bir qiymatga kamayishi va m 1 n va m 2 n kasrlar olinishi mumkin

Bu erda m 1 va m 2 butun sonlar va n tabiiydir. Agar p\u003e q bo'lsa, u holda m 1\u003e m 2 (kasrlarni taqqoslash qoidasini hisobga olgan holda). Keyin 0 da< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a > 1 - tengsizlik a 1 m\u003e a 2 m.

Ular quyidagicha qayta yozilishi mumkin:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Keyin siz o'zgarishlar qilishingiz va natijada olishingiz mumkin:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n > a m 2 n

Xulosa qilish uchun: p\u003e q va 0 uchun< a < 1 верно a p < a q , а при a > 0 - a p\u003e a q.

Irratsional ko'rsatkichlar bilan darajalarning asosiy xususiyatlari

Ratsional ko'rsatkichlar bilan bir daraja yuqorida tavsiflangan barcha xususiyatlar shu darajaga etkazilishi mumkin. Bu biz avvalgi maqolalarning birida bergan aniq ta'rifidan kelib chiqadi. Keling, ushbu xususiyatlarni qisqacha shakllantiraylik (shartlar: a\u003e 0, b\u003e 0, p va q ko'rsatkichlari irratsional sonlar):

4-ta'rif

1.a p a q \u003d a p + q

2.a p: a q \u003d a p - q

3. (a b) p \u003d a p b p

4. (a: b) p \u003d a p: b p

5. (a p) q \u003d a p q

6.a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p > b p

7.a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a > 0, keyin p\u003e a q.

Shunday qilib, p va q ko'rsatkichlari haqiqiy sonlarga ega bo'lgan barcha darajalar, a\u003e 0 shartlari bir xil xususiyatlarga ega.

Agar siz matnda xato ko'rsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

algebra 7-sinf

matematik o'qituvchi

mBOUTSOSH №1 filiali

poletaevo qishlog'ida I.P. Zueva

Poletaevo 2016 yil

Mavzu: « Tabiiy eksponent sinf xususiyatlari»

MAQSAD

1. "Tabiiy ko'rsatkich bilan darajaning xususiyatlari" mavzusida o'rganilgan materialni takrorlash, umumlashtirish va tizimlashtirish.
2. Ushbu mavzu bo'yicha talabalarning bilimlarini tekshirish.
3. Turli vazifalarni bajarishda olingan bilimlarni qo'llash.

MA'LUMOTLAR

mavzu :

mavzu bo'yicha bilimlarni takrorlash, umumlashtirish va tizimlashtirish; bilim va ko'nikmalarni o'zlashtirish ustidan nazorat qilish (o'zaro nazorat qilish) uchun sharoitlar yaratish;talabalarni mavzuni o'rganishga bo'lgan qiziqishini shakllantirishni davom ettirish;

meta-loyiha:

operatsion fikrlash uslubini rivojlantirish; birgalikda ishlash paytida talabalar bilan aloqa ko'nikmalarini egallashga ko'maklashish; ijodiy fikrlashni faollashtirish; Ptalabalarning samarali ijtimoiylashuviga yordam beradigan ma'lum bir kompetentsiyalarni shakllantirishni davom ettirish; o'z-o'zini tarbiyalash va o'z-o'zini o'qitish qobiliyatlari.

shaxsiy:

madaniyatni tarbiyalash, bir-birlariga, odamlarga, hayotga mehribon, bag'rikeng munosabatda bo'lishga qaratilgan shaxsiy fazilatlarni shakllantirishga ko'maklashish; tashabbuskorlik va faoliyatda mustaqillikka ko'maklashish; davlat yakuniy attestatsiyasiga muvaffaqiyatli tayyorgarlik ko'rish uchun o'rganilayotgan mavzuning zarurligini tushunish.

Dars darsi

umumlashtirish va tizimlashtirish darsi ZUN.

Uskunalar: kompyuter, proektor,proektsiyalash uchun ekran, doska, tarqatma materiallar.

Dastur: Windows 7 OS: MS Office 2007 yil (ariza talab qilinadi -Power Point).

Tayyorgarlik bosqichi:

prezentatsiya "Tabiiy ko'rsatkich bilan daraja xususiyatlari";

tarqatma;

sinf varaqasi.

Tuzilishi

Vaqtni tashkil qilish. Darsning maqsad va vazifalarini belgilash - 3 daqiqa.

Aktivizatsiya, asosiy bilimlarni tizimlashtirish - 8 daqiqa.

Amaliy qism -28 daqiqa.

Umumlashtirish, xulosa -3 daqiqa.

Uy vazifasi - 1 daqiqa.

Ko'zgu - 2 daqiqa.

Dars g'oyasi

Ushbu mavzu bo'yicha talabalar ZUNini qiziqarli va samarali tarzda tekshirish.

Darslarni tashkil qilish Dars 7-sinfda o'tkaziladi. Yigitlar juft-juft bo'lib, mustaqil ishlaydilar, o'qituvchi maslahatchi-kuzatuvchi sifatida ishlaydi.

Mashg'ulotlar paytida

O'tkazish vaqti:

Salom bolalar! Bugun bizda noodatiy o'yin darsi bor. Har biringizga o'zingizni ifoda etish, bilimingizni namoyish etish uchun ajoyib imkoniyat beriladi. Ehtimol, dars davomida siz kelajakda sizga foydali bo'lgan yashirin qobiliyatlarni o'zingiz ochib berasiz.

Sizda har biringiz uchun jadvallar va undagi vazifalarni bajarish uchun kartochkalar mavjud. Dars varaqasini oling, shunda sizga dars davomida o'zingizning bilimlaringizni baholash uchun kerak bo'ladi. Ro'yxatdan o'ting.

Shunday qilib, sizni darsga taklif qilaman!

Bolalar, ekranga qarang va she'rni tinglang.

1-slayd

Ko'paytirish va bo'linish

Bir darajaga ko'tarish uchun ...

Bu xususiyatlar bizga tanish.

Va ular uzoq vaqt davomida yangilik emas.

Bularning beshta oddiy qoidalari

Sinfda hamma javob berdi

Agar siz xususiyatlarni unutgan bo'lsangiz,

Siz hal qilmagan misolni ko'rib chiqing!

Maktabda muammosiz yashash uchun

Sizga bir nechta amaliy maslahat beraman:

Siz qoidani unutishni xohlaysizmi?

Faqat yodlashga harakat qiling!

Savolga javob bering:

1) Unda qanday harakatlar eslatib o'tilgan?

2) Sizningcha, bugungi darsda nimani muhokama qilamiz?

Shunday qilib, bizning darsimiz mavzusi:

"Tabiiy eksponentning xususiyatlari" (3-slayd).

Darsning maqsad va vazifalarini belgilash

Darsda "Tabiiy ko'rsatkich bilan darajaning xususiyatlari" mavzusida o'rganilgan materialni takrorlaymiz, umumlashtiramiz va tizimga keltiramiz.

Keling, kuchlarni bir xil asoslar bilan qanday ko'paytirish va ajratishni, shuningdek, kuchni qandaydir kuchga qanday ko'tarishni bilib olganingizni ko'rib chiqaylik

Asosiy bilimlarni yangilash. Nazariy materialni tizimlashtirish.

1) og'zaki ish

Og'zaki ishlaylik

1) Darajaning xususiyatlarini tabiiy eksponent yordamida aniqlang.

2) bo'sh joylarni to'ldiring: (4-slayd)

1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24

5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64

3) ifodaning qiymati nima:(5-9-slayd)

a m ∙ a n; (a m + n) a m: a n (a m-n); (a m) n; a 1; a 0.

2) Nazariy qismni tekshirish (1-karta raqami)

Endi 1-raqam kartasini olingbo'shliqlarni to'ldiring

1) Agar eksponent teng raqam bo'lsa, daraja qiymati har doim _______________ bo'ladi.

2) Agar eksponent toq son bo'lsa, daraja qiymati ____ belgisiga to'g'ri keladi.

3) darajalar mahsulotia n a k \u003d a n + k
Xuddi shu asoslar bilan darajalarni ko'paytirganda, taglik ____________, va eksponentlar ________ hisoblanadi.

4) Xususiy darajalara n: a k \u003d a n - k
Xuddi shu asoslar bilan darajalarni ajratishda sizga _____ bazasi va dividend indeksidan ____________________________ kerak.

5) kuchni kuchga ko'tarish (a n) k \u003d a nk
Bir darajani darajaga ko'tarishda, poydevor _______, va eksponentlar ______ bo'lishi kerak.

Javoblarni tekshirish. (Slaydlar 10-13)

Asosiy qism

3) Va endi biz daftarlarni ochamiz, 28.01 14g raqamini yozamiz, ajoyib ish

O'yin "Clapperboard » (14-slayd)

Daftarlardagi topshiriqlarni o'zingiz bajaring

Bosqichlarni bajaring: a)x11 ∙ x ∙ x2 b)x14 : x5 c) (a4 ) 3 d) (-Za)2 .

Ifodaning qiymatini nol bilan taqqoslang: a) (- 5)7 , b) (- 6)18 ,

4)11 . ( -4) 8 d) (- 5) 18 ∙ (- 5) 6 , d) - (- 4)8 .

Ifodaning qiymatini hisoblang:

a) -1 ∙ 3 2, b) (- 1 ∙ 3) 2 c) 1 ∙ (-3) 2, d) - (2 ∙ 3) 2, e) 1 2 ∙ (-3) 2

Javob noto‘g‘ri yoki noto‘g‘ri ekanligini tekshirib, bitta qo‘l silkitamiz.

Ballar sonini hisoblang va ularni hisob varag'iga kiriting.

4) Endi ko'z mashqlarini bajaramiz, stressni engillashtiramiz va ishlashni davom ettiramiz. Biz ob'ektlarning harakatini diqqat bilan kuzatamiz

Ishni boshlash! (15,16,17,18-slayd).

5) Endi ishimizning keyingi turiga o'tamiz. (2-karta)

Javobni asos bilan daraja sifatida yozing FROM va siz sonning kuchi tushunchasini birinchi bo'lib kiritgan buyuk frantsuz matematikining familiyasi va ismini bilib olasiz.

Olim matematik ismini toping.

1.	FROM 5 ∙ S 3	6.	FROM 7 : FROM 5
2.	FROM 8 : FROM 6	7.	(FROM 4 ) 3 ∙ S
3,	(FROM 4 ) 3	8.	FROM 4 ∙ FROM 5 ∙ S 0
4.	FROM 5 ∙ S 3 : FROM 6	9.	FROM 16 : FROM 8
5.	FROM 14 ∙ S 8	10.	(FROM 3 ) 5

HAQIDA javob: RENE DECART

R

Sh

M

YU

TO

H

VA

T

E

D

FROM 8

FROM 5

FROM 1

FROM 40

FROM 13

FROM 12

FROM 9

FROM 15

FROM 2

FROM 22

Endi talabalarning "Rene Dekart" haqidagi xabarini tinglang.

Rene Dekart 1596 yil 21 martda Tureynadagi La Gay shaharchasida tug'ilgan. Dekartlar jinsi johil byurokratik zodagonlarga tegishli edi. Rene bolaligini Tureenda o'tkazdi. 1612 yilda Dekart maktabni tugatdi. U bu erda sakkiz yarim yilni o'tkazdi. Dekart darhol hayotda o'z o'rnini topa olmadi. La Flixedagi kollejni tugatgach, aslzoda bir odam, Parijning yuqori hayotiga boshlaydi, keyin ilm uchun hamma narsadan voz kechadi. Dekart o'z tizimida matematikaga alohida o'rin ajratdi, u haqiqatni o'rnatish tamoyillarini boshqa fanlarga namuna sifatida ko'rdi. Dekartning ahamiyati shundaki, bugungi kungacha saqlanib qolgan qulay belgilar: noma'lum uchun lotin harflari x, y, z; a, b, c - koeffitsientlar uchun, darajalar uchun. Dekartning qiziqishlari nafaqat matematika, balki mexanika, optika, biologiyani ham o'z ichiga oladi. 1649 yilda Dekart uzoq davom etgan ikkilanishdan so'ng Shvetsiyaga ko'chib o'tdi. Ushbu qaror uning sog'lig'i uchun halokatli bo'lib chiqdi. Olti oy o'tgach, Dekart pnevmoniyadan vafot etdi.

6) taxtada ishlash:

1. Tenglamani yeching

A) x 4 ∙ (x 5) 2 / x 20: x 8 \u003d 49

B) (t 7 ∙ t 17): (t 0 ∙ t 21) \u003d -125

2. Ifodaning qiymatini hisoblang:

(5-x) 2 -2x 3 + 3x 2 -4x + x-x 0

a) x \u003d -1 uchun

b) mustaqil ravishda x \u003d 2 uchun

7) 3-raqamli kartani oling, sinovdan o'ting

Variant 1

2-variant.

1. Quvvat 2-bo'limini bajaring17 : 2 5 2 12 2 45 2. Quvvat (x + y) (x + y) \u003d shaklida yozing x 2 + y 2 (x + y) 2 2 (x + y) 3. almashtiring * tenglik abesh · * \u003d a 15 a 10 a 3 (a 7) 5? a) a 12 b) a 5 c) a 35 3 = 8 15 8 12 6 kasrning ma'nosini toping

1. 9 darajani bo'linishni bajaring9 : 9 7 9 16 9 63 2. Uni daraja (x-y) (x-y) \u003d ... shaklida yozing. x 2 -y 2 (x-y) 2 2 (x-y) 3. almashtiring * daraja, shunday qilib tenglikb 9 * \u003d b 18 b 17 b 1 1 4. Ifodaning qiymati nima(6 dan) 4? a) 10 dan b) 6 dan c) 24 dan 5. Taqdim etilgan variantlardan birini * (tenglik) o'rniga * o'rnini bosadigan birini tanlang.3 = 5 24 5 21 6 kasrning ma'nosini toping

Bir-biringizning ishingizni tekshiring va tengdoshlaringizni baho varag'iga qo'ying.

1-variant	va	b	b	dan	b	3
2-variant	va	b	dan	dan	va	4

Kuchli o'quvchilar uchun qo'shimcha vazifalar

Har bir topshiriq alohida baholanadi.

Ifodaning qiymatini toping:

8) Endi keling, darsimiz samaradorligini ko'raylik ( 19-slayd)

Buning uchun, topshiriqni bajarib, javoblarga mos keladigan harflarni kesib o'ting.

AOVSTLKRICHGNMO

Ifodani soddalashtiring:

1.	S 4 ∙ S 3	5.	(FROM 2 ) 3 ∙ FROM 5
2.	(C 5) 3	6.	FROM 6 ∙ FROM 5 : FROM 10
3.	C 11: C 6	7.	(FROM 4 ) 3 ∙ S 2
4.	S 5 ∙ S 5: S

Shifr: VA - 7dan IN- 15 dan G - FROM Va - 30 dan K - S 9 M - 14dan H - S 13 HAQIDA - 12 dan R - S 11 FROM - S 5 T - C 8 H - C 3

Qaysi so'zni oldingiz? JAVOB: AXLOQ! (20-slayd)

Xulosa qilish, saralash, saralash (21-slayd)

Keling, "Tabiiy ko'rsatkich bilan daraja xususiyatlari" mavzusidagi bilimlarni qanchalik muvaffaqiyatli takrorlaganimiz, umumlashtirganimiz va tizimlashtirganimiz haqida darsimizni xulosa qilamiz

Biz baho varaqalarini olib, ballarning umumiy sonini hisoblaymiz va yakuniy baholar qatoriga yozamiz

29-32 ball to'plagan kishi o'rnidan turing: hisob juda yaxshi

25-28 ball: baholash yaxshi

20-24 ball: baholash - qoniqarli

Kartalardagi topshiriqlarning to'g'riligini yana bir bor tekshiraman, natijalaringizni test varaqasidagi ballar bilan tekshiraman. Belgilarni jurnalga qo'yaman

Va baholash darsidagi faol ish uchun:

Bolalar, darsda harakatlaringizni baholashingizni so'rayman. Kayfiyat varag'iga belgi qo'ying.

Darajali varaq
Familiyasi Ism		Baholash
1. Nazariy qism
2. "Clapperboard" o'yini
3. Sinov
4. "Kod"
Qo'shimcha qism
Yakuniy baho:
Hissiy baholash	O'zim haqimda	Dars haqida
Xursand
Xafsalasi pir

Uy vazifasi (22-slayd)

DEGREE kalit so'zi bilan krossvordni yarating. Keyingi darsda biz eng qiziqarli asarlarni ko'rib chiqamiz.

№ 567

Ishlatilgan manbalar ro'yxati

1. "Algebra 7-sinf" darsligi.
2. She'r. http://yandex.ru/yandsearch
3. YO'Q Shchurkov. Zamonaviy dars madaniyati. Moskva: Rossiya pedagogika agentligi, 1997 yil.
4. A.V. Petrov. Shaxsni rivojlantiruvchi kompyuter ta'limi uslubiy va uslubiy asoslari. Volgograd. O'zgarish, 2001 yil.
5. A.S. Belkin. Muvaffaqiyat holati. Uni qanday yaratish kerak. M .: "Ta'lim", 1991 yil.
6. Informatika va ta'lim №3. Operatsion fikrlash uslubi, 2003 yil

Darslar jadvali

7-sinf 38-dars

Mavzu: Tabiiy eksponent bilan ilmiy daraja

1. Mavzu bo'yicha bilimlarni takrorlash, umumlashtirish va tizimlashtirishni ta'minlang, tabiiy ko'rsatkichga ega bo'lgan darajalarni o'z ichiga olgan oddiy iboralarni o'zgartirishning ko'nikmalarini birlashtiradi va yaxshilaydi, bilim va ko'nikmalarning o'zlashtirilishini nazorat qilish uchun sharoit yaratadi;

2. Asosiy narsalarni ta'kidlash, umumlashtirish, taqqoslash usullarini qo'llash ko'nikmalarini shakllantirishga, bilimlarni yangi vaziyatga o'tkazishga qiziqishni tarbiyalashga, matematik ufqlarni, nutqni, e'tiborni va xotirani rivojlantirishga, o'quv va bilim faoliyatini rivojlantirishga yordam berish;

3. Matematikaga, faoliyatga, tashkilotchilikka qiziqishni uyg'otish, ularning faoliyatini o'zaro nazorat qilish ko'nikmalarini rivojlantirish, o'qish uchun ijobiy motivatsiyani, aloqa madaniyatini shakllantirish.

Darsning asosiy tushunchalari

Daraja, daraja asosi, eksponent, daraja xususiyatlari, daraja mahsuloti, darajalarga bo'linish, darajani kuchga ko'tarish.

Rejalashtirilgan natija

Ular daraja tushunchasi bilan qanday ishlashni o'rganadilar, daraja shaklida raqam yozishning ma'nosini tushunadilar, darajalarni o'z ichiga olgan ifodalarni oddiy eksponentlarini tabiiy eksponent yordamida bajaradilar.

Ular tabiiy darajaga ega bo'lgan darajani o'z ichiga olgan butun sonlarning o'zgarishini qanday amalga oshirishni o'rganishlari mumkin

Mavzu ko'nikmalari, UUD

Shaxsiy UUD:

o'quv faoliyati muvaffaqiyat mezoni asosida o'zini o'zi baholash qobiliyati.

Kognitiv UUD:

o'z bilimlari va ko'nikmalariga ega bo'lgan tizimda harakat qilish qobiliyati: o'qituvchining yordami bilan avvalgidan ma'lum bo'lganni yangidan ajratib olish; darsda olingan ma'lumotlardan foydalangan holda savollarga javob toping.

O'quv materialini umumlashtirish va tizimlashtirish, darajani, almashtirishni ramziy yozuvi bilan ishlaydi, ta'lim muammosini hal qilish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlarni xotiradan ko'paytiradi.

UUD mavzusi:

Tabiiy eksponentlarni o'z ichiga olgan iboralarni o'zgartirish uchun daraja xususiyatlarini qo'llang

Normativ UUD:

O'qituvchi yordamida darsda maqsadni aniqlash va shakllantirish qobiliyati; darsdagi ishingizni baholang.Vazifalarni bajarishda o'zaro nazorat va o'zini o'zi boshqarish mashqlarini bajaring

Kommunikativ UUD:
O'z fikrlaringizni og'zaki va yozma ravishda shakllantirish, boshqalarning nutqini tinglash va tushunish qobiliyatiga ega bo'ling

Metasubject havolalari

Fizika, astronomiya, tibbiyot, kundalik hayot

Dars turi

Bilimlar va ko'nikmalarni takrorlash, umumlashtirish va qo'llash.

Ish shakllari va ish usullari

Old, bug 'xonasi, individual. Tushuntirish - tasviriy, og'zaki, muammoli vaziyat, seminar, o'zaro tekshirish, nazorat

Resurs bilan ta'minlash

EMC Makarychev darsligi komponentalari, proektor, ekran, kompyuter, taqdimot, talabalar uchun topshiriqlar, o'zini o'zi baholash varaqalari

Sinfda ishlatiladigan texnologiyalar

Semantik o'qish texnologiyasi, muammoni o'rganish, individual va differentsial yondashuv, AKT

Talabalarni mehnatga jalb qilish, diqqatni jalb qilish

Xayrli kun yigitlar. Xayrli kun, aziz hamkasblar! Bugun kechqurun yig'ilganlarga salom beraman ochiq dars... Bolalar, men sizga darsda samarali mehnat qilishingizni, berilgan savollarga berilgan javoblarni sinchkovlik bilan ko'rib chiqishni, shoshilmang, aralashmaslik, sinfdoshlarni va ularning javoblarini hurmat qilishni istayman. Va barchangizga faqat yaxshi baholarni tilayman. Omad sizga!

Darsning ish ritmiga kiritilgan

Ular darsda ishlash uchun zarur bo'lgan hamma narsaning mavjudligini, ob'ektlarni tartibga solish to'g'riligini tekshiradilar. O'zini tashkil qilish, ishlashga moslashish qobiliyati.

2. Asosiy bilimlarni aktuallashtirish va dars mavzusiga kirish

3. Og'zaki ish

Bolalar, har biringiz stolingizda ball varaqalari bor.Ularda siz darsdagi ishingizni baholaysiz. Bugun darsda sizga bitta emas, ikkita belgi olish imkoniyati beriladi: darsda ishlash uchun va mustaqil ish uchun.
Sizning to'g'ri, to'liq javoblaringiz ham "+" baholanadi, lekin men bu bahoni boshqa ustunga qo'yaman.

Ekranda siz bugungi darsning kalit so'zlari shifrlangan jumboqlarni ko'rasiz. Ularni ajratib oling. (1-slayd)

quvvat

takrorlash

umumlashtirish

Bolalar, siz jumboqlarni to'g'ri topdingiz. Ushbu so'zlar: daraja, takrorlash va umumlashtirish. Endi taxmin qilingan so'zlar - maslahatlar yordamida bugungi dars mavzusini shakllantirish.

To'g'ri. Daftarlarni oching va darsning raqamini va mavzusini yozing "" Tabiiy ko'rsatkich bilan daraja xususiyatlari "mavzusida takrorlash va umumlashtirish (Slayd 2)

Biz dars mavzusini aniqladik, ammo sizningcha, darsda nima qilamiz, oldimizga qanday maqsadlarni qo'yamiz? (3-slayd)

Ushbu mavzu bo'yicha bilimlarimizni takrorlang va umumlashtiring, mavjud bo'shliqlarni to'ldiring, keyingi "Monomiyalar" mavzusini o'rganishga tayyorlaning.

Bolalar, darajaning tabiiy eksponentli xususiyatlari ko'pincha ifoda qiymatlarini topishda, iboralarni o'zgartirganda ishlatiladi. Tabiiy eksponent bilan daraja xususiyatlariga bog'liq bo'lgan hisoblashlar va o'zgarishlarning tezligi ham USE ning kiritilishi bilan bog'liq.

Shunday qilib, bugun biz ushbu mavzu bo'yicha bilim va ko'nikmalaringizni ko'rib chiqamiz va umumlashtiramiz. Og'zaki ravishda siz bir qator muammolarni hal qilishingiz va tabiiy indikator bilan xususiyatlarni og'zaki guruhlash va darajani aniqlashni eslab qolishingiz kerak.

Epigraf buyuk rus olimi MV Lomonosovning so'zlariga "Kimdir matematikadan ilmiy darajalarni olib tashlashga harakat qilsin, shunda u ularsiz siz uzoqqa borolmasligingizni ko'radi"

(4-slayd)

Olim to'g'ri deb o'ylaysizmi?

Nima uchun bizga darajalar kerak?

Ular qayerda keng qo'llaniladi? (fizika, astronomiya, tibbiyotda)

To'g'ri, endi takrorlaymiz, daraja nima?

A va ismlari nima?n darajani yozishda?

Darajalar bilan qanday harakatlar qilish mumkin? (5-11-slaydlar)

Endi xulosa qilaylik. Ish stolingizda varaqalar mavjud .

1. Chapda - o'ngdagi ta'riflarning boshi, ta'riflarning oxiri. To'g'ri gaplarni chiziqlar bilan bog'lang (Slayd 12)

Ta'rifning tegishli qismlarini chiziqlar bilan bog'lang.

a) darajalarni bir xil asoslar bilan ko'paytirganda ...

1) daraja asosi

b) darajalarni bir xil asoslarga bo'lganda ....

2) Eksponent

c) A raqami chaqiriladi

3) har biri a ga teng bo'lgan n omillarning ko'paytmasi.

d) Ilmiy darajaga ko'tarishda ...

4) ... asos bir xil bo'lib qoladi va ko'rsatkichlar o'sib boradi.

e) n naturalidan n dan katta bo'lgan raqamning kuchi deyiladi

5) ... taglik bir xil bo'lib qoladi va ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.

e)Raqamnchaqirdi

6) daraja

g)A n chaqirdi

7) ... asos bir xil bo'lib qoladi va qiymatlar chegirib tashlanadi.

2.Hozirda ish stolingiz bilan qog'ozlarni almashtiring, uning ishini baholang va unga baho bering. Ushbu bahoni qaydnomangizga qo'ying.

Endi topshiriqni to'g'ri bajarganingizni tekshirib ko'ramiz.

Jumboqlarni toping, so'zlarni aniqlang - maslahatlar.

Dars mavzusini taqdim etishga urinishlar qilinmoqda.

Dars daftariga darsning raqami va mavzusini yozing.

Savollarga javob bering

Ular juft bo'lib ishlashadi. Topshiriqni o'qiydilar, eslaydilar.

Ta'riflarning qismlarini ulang

Daftarlarni almashish.

Ular natijalarni o'zaro tekshirishadi, stolda qo'shnilariga baholar berishadi.

4.Fizik mashg‘ulot

Qo'llarini ko'tarib silkitdi -

bular o'rmondagi daraxtlar,

Qurollar egilib, cho'tkalar silkindi -

Shamol barglarni yirtib tashlaydi.

Qo'lning ikki tomoniga ohista silkiting.

Qushlar janub tomon uchib ketishadi

Biz ular qanday o'tirganlarini jimgina ko'rsatamiz -

Qo'llar bukilgan!

Harakatlarni o'qituvchi bilan parallel ravishda bajaring

5. Ko'nikmalarni shakllantirish uchun olingan bilimlarni uzatish, ularni yangi yoki o'zgartirilgan sharoitda dastlabki qo'llash.

1. Men sizga quyidagi ishni taklif qilaman: stolingizda kartalaringiz bor. Siz vazifalarni bajarishingiz kerak, ya'ni. Javobni s darajali daraja bilan yozing, shunda siz hozirda qabul qilingan darajalarni belgilab bergan buyuk frantsuz matematikining familiyasi va ismini bilib olasiz (Slayd 14).

5

FROM 8 : FROM 6

(FROM 4 ) 3 FROM

(FROM 4 ) 3

FROM 4 FROM 5 FROM 0

FROM 5 FROM 3 : FROM 6

FROM 16 : FROM 8

FROM 14 FROM 8

10.

(FROM 3 ) 5

Javob: Rene Dekart.

Rene Dekartning tarjimai holi haqida hikoya (15 - 17 slaydlar)

Bolalar, endi navbatdagi vazifani bajaramiz.

2. Haqida qaysi javoblar to'g'ri va qaysi biri yolg'on ekanligini cheklang. (18 - 19-slayd)

haqiqiy javobni 1 va noto'g'ri javobni 0 bilan moslang.

buyurtma qilingan nol va nollarni to'plagan holda, siz to'g'ri javobni topasiz va birinchi rus ayolining - matematikning ismini va familiyasini aniqlaysiz.

va) x 2 x 3 \u003d x 5

b) s 3 s 5 s 8 = s 16

ichida) x 7 : x 4 \u003d x 28

d) (v+ d) 8 : ( v+ d) 7 = v+ d

e) (x 5 ) 6 = x 30

Uning ismini taniqli ayollarning to'rtta ismidan tanlang, ularning har biri nollar to'plamiga mos keladi:

Ada Augusta Lovelace - 11001

Sofi Germain - 10101

Ekaterina Dashkova - 11101

Sofiya Kovalevskaya - 11011

Sofiya Kovalevskayaning tarjimai holidan (Slayd 20)

Vazifani bajaring, frantsuz matematikining familiyasi va ismini aniqlang

Eshiting, slaydlarni ko'rib chiqing

Ular to'g'ri va noto'g'ri javoblarni belgilaydilar, paydo bo'lgan kodni yozadilar, bu birinchi rus ayolining - matematikning ismini belgilaydi.

6. Bilimni nazorat qilish va baholash O'qituvchi rahbarligida talabalarning mustaqil topshiriqlarini bajarish.

Va endi tekshirish ishlarini bajarish kerak. Oldin siz turli xil rangdagi vazifalarni bajaradigan kartalarsiz. Rang vazifaning qiyinchilik darajasiga mos keladi ("3", "4", "5" darajasida) O'zingiz uchun tanlang, qaysi sinf uchun bajarasiz va ishga kirishasiz. (21-slayd)

"3" da

1. Ishni daraja sifatida tasavvur qiling:

va) ; b) ;

ichida) ; d) .

2. Bosqichlarni bajaring:

( m 3 ) 7 ; ( k 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( m 3 ) 2 ; ( a x ) y

"4" da

1. Asarni daraja sifatida taqdim eting.

a) x 5 x 8 ; boo 2 da 9 ; 2 da 6 · 2 4 ; d)m 2 m 5 m 4 ;

e)x 6 ∙ x 3 ∙ x 7 ; e) (–7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .

2. Ajratilganlikni daraja sifatida tasavvur qiling:

va)x 8 : x 4 ; b) (–0.5) 10 : (–0,5) 8 ;

c) x 5 : x 3 ; d) da 10 : da 10 ; D 2 6 : 2 4 ; e);

"5" ga

1. Bosqichlarni bajaring:

a) a 4 · va · va 3 b) (7 x ) 2 c) b · r 2 · r 0

d) bilan · dan 3 · c e) t · t 4 · ( t 2 ) 2 · t 0

e) (2) 3 ) 7 : (2 5 ) 3 g) -x 3 · (– x ) 4

h) (r 2 ) 4 : r 5 va) (3 4 ) 2 · (3) 2 ) 3 : 3 11

2. Soddalashtiring:

va) x 3 ( x 2) 5 c) ( a 2) 3 ( a 4 ) 2

b) ( a 3) 2 a 5 g) ( x 2) 5 ( x 5 )

Mustaqil ish

Daftarlarda vazifalarni bajarish

7. Darsning qisqacha mazmuni

Darsda olingan ma'lumotlarni umumlashtirish.Ishlarni tekshirish, belgilarni tayinlash. Darsda duch kelgan qiyinchiliklarni aniqlash

8. Ko'zgu

Bir daraja tushunchasiga nima bo'ldiXVII asr, siz va men o'zimizni taxmin qilishimiz mumkin. Buni amalga oshirish uchun savolga javob berishga harakat qiling: raqamni salbiy kuchga yoki kasrga ko'tarish mumkinmi? Ammo bu bizning kelajakdagi o'rganishimiz mavzusi.

Dars baholari

Bolalar, men quyidagi masal bilan darsimizni tugatmoqchiman.

Masal. Bir donishmand yurgan edi, uni uch kishi kutib oldi, ular issiq quyosh ostida qurilish uchun tosh aravalarni ko'tarib yurishgan edi. Dafna to'xtab, har biriga savol berdi. Birinchisi: "Kun bo'yi nima qilding", deb so'radi. Va u kun bo'yi la'nati toshlarni haydab yuborganini miyig'ida javob berdi. Boqich ikkinchisidan so'radi: "Kun bo'yi nima qilding" va u javob berdi: "Ammo men o'z vazifamni vijdonan qildim". Uchinchi jilmayib qo'ydi, yuzi quvonch va zavq bilan porlab ketdi: "Men ma'badni qurishda qatnashdim!"

Bolalar, javob bering, bugun darsda nima qildingiz? Buni faqat o'zingizning baho varag'ingizda qiling. Sizga tegishli bo'lgan iborani har bir ustunga o'rab oling.

O'z-o'zini baholash varag'ida siz uchta sohada o'quvchining ishini tavsiflovchi iboralarni ta'kidlashingiz kerak.

Darsimiz tugadi. Darsdagi ishlaringiz uchun barchangizga rahmat!

Savollarga javob bering

Sinfdagi ishlarini baholang.

Darsdagi ishlarini tavsiflovchi iboralarni kartadagi belgilar bilan belgilaydilar.