سيتم تعريف التعبير a n (القوة ذات الأس الصحيح) في جميع الحالات، باستثناء الحالة التي يكون فيها a = 0 وn أقل من أو يساوي الصفر.

خصائص الدرجات

الخصائص الأساسية للدرجات ذات الأس الصحيح:

أ م * أ ن = أ (م+ن) ;

أ م: أ ن = أ (م-ن) (مع ألا يساوي الصفر)؛

(أ م) ن = أ (م*ن) ;

(أ*ب) ن = أ ن *ب ن ;

(أ/ب) ن = (أ ن)/(ب ن) (مع بلا يساوي الصفر)؛

أ 0 = 1 (مع ألا يساوي الصفر)؛

ستكون هذه الخصائص صالحة لأي أرقام a وb وأي أعداد صحيحة m وn. ومن الجدير بالذكر أيضًا الخاصية التالية:

إذا كانت m>n، فإن m > a n، لـ a>1 وm

يمكننا تعميم مفهوم درجة العدد على الحالات التي تكون فيها الأعداد النسبية بمثابة الأس. وفي الوقت نفسه، أود أن تتحقق جميع الخصائص المذكورة أعلاه، أو على الأقل بعضها.

على سبيل المثال، إذا تم استيفاء الخاصية (a m) n = a (m*n)، فستكون المساواة التالية:

(أ (م/ن)) n = أ م .

تعني هذه المساواة أن الرقم a (m/n) يجب أن يكون الجذر النوني للرقم a m.

قوة عدد ما أ (أكبر من الصفر) مع الأس النسبي ص = (م/ن)، حيث م هو عدد صحيح ما، ن هو عدد طبيعي أكبر من واحد، هو الرقم ن√(أ م). بناءً على التعريف: أ (م/ن) = ن√(أ م).

لجميع r الإيجابية، سيتم تحديد قوة الصفر. حسب التعريف، 0 r = 0. لاحظ أيضًا أنه بالنسبة لأي عدد صحيح، أي m وn طبيعي وموجب أالمساواة التالية صحيحة: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

على سبيل المثال: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

من تعريف الدرجة ذات الأس العقلاني، يتبع ذلك مباشرة أنه بالنسبة لأي موجب a وأي عقلاني r، فإن الرقم a r سيكون إيجابي.

الخصائص الأساسية للدرجة ذات الأس العقلاني

بالنسبة لأي أرقام منطقية p وq وأي a>0 وb>0 فإن المساواة التالية صحيحة:

1. (أ ع)*(أ ف) = أ (ع+ف) ;

2. (أ ع):(ب ف) = أ (ع-ف) ;

3. (أ ع) ف = أ (ع*ف) ;

4. (أ*ب) ع = (أ ع)*(ب ع);

5. (أ/ب) ع = (أ ع)/(ب ع).

هذه الخصائص تتبع من خصائص الجذور. كل هذه الخصائص تم إثباتها بطريقة مماثلة، لذا سنقتصر على إثبات واحدة منها فقط، على سبيل المثال، الأولى (أ ع)*(أ ف) = أ (ع + ف) .

دع p = m/n، و q = k/l، حيث n، l هي بعض الأعداد الطبيعية، و m، k هي بعض الأعداد الصحيحة. ثم عليك أن تثبت أن:

(أ (م/ن))*(أ (ك/ل)) = أ ((م/ن) + (ك/ل)) .

أولاً، دعونا نجمع الكسور m/n k/l إلى قاسم مشترك. نحصل على الكسور (m*l)/(n*l) و (k*n)/(n*l). دعونا نعيد كتابة الجانب الأيسر من المساواة باستخدام هذه الرموز ونحصل على:

(أ (م/ن))*(أ (ك/ل)) = (أ ((م*ل)/(ن*ل)))*(أ ((ك*ن)/(ن*ل)) ).

(أ (م/ن))*(أ (ك/ل)) = (أ ((م*ل)/(ن*ل)))*(أ ((ك*ن)/(ن*ل)) ) = (n*l)√(أ (م*ل))*(n*l)√(أ (ك*ن)) = (n*l)√((أ (م*ل))*(أ (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /ن)+(ك/ل)) .

يحتوي درس الفيديو "الأس ذو الأس العقلاني" على مادة تعليمية مرئية لتدريس درس حول هذا الموضوع. يحتوي درس الفيديو على معلومات حول مفهوم الدرجة ذات الأس العقلاني، وخصائص هذه الدرجات، بالإضافة إلى أمثلة تصف استخدام المواد التعليمية لحل المشكلات العملية. الغرض من هذا الدرس المرئي هو عرض المادة التعليمية بشكل واضح وواضح وتسهيل تطويرها وحفظها لدى الطلاب وتنمية القدرة على حل المشكلات باستخدام المفاهيم المستفادة.

تتمثل المزايا الرئيسية لدرس الفيديو في القدرة على إجراء التحويلات والحسابات بشكل مرئي، والقدرة على استخدام تأثيرات الرسوم المتحركة لتحسين كفاءة التعلم. تساعد المرافقة الصوتية على تطوير الكلام الرياضي الصحيح، وتجعل من الممكن أيضًا استبدال شرح المعلم، وتحريره للقيام بعمل فردي.

يبدأ درس الفيديو بتقديم الموضوع. عند ربط دراسة موضوع جديد بمادة تمت دراستها مسبقًا، يُقترح أن نتذكر أن n √a يُشار إليه بخلاف ذلك بـ 1/n لـ n الطبيعي وa الموجب. يتم عرض تمثيل n-root على الشاشة. بعد ذلك، نقترح النظر في ما يعنيه التعبير a m/n، حيث a هو رقم موجب وm/n عبارة عن كسر. تعريف الدرجة ذات الأس العقلاني كما هو موضح في m/n = n √a m، مظلل في الإطار. من الملاحظ أن n يمكن أن يكون عددًا طبيعيًا، وm يمكن أن يكون عددًا صحيحًا.

وبعد تعريف الدرجة بالأس الكسرى يظهر معناها من خلال الأمثلة: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. ويعرض أيضًا مثالًا يتم فيه تحويل القوة الممثلة برقم عشري إلى كسر ليتم تمثيله كجذر: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 و مثال بقوة سلبية: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

يشار بشكل منفصل إلى خصوصية الحالة الخاصة عندما يكون أساس الدرجة صفرًا. تجدر الإشارة إلى أن هذه الدرجة تكون منطقية فقط مع وجود أس كسري موجب. وفي هذه الحالة تكون قيمته صفر: 0 m/n =0.

هناك ميزة أخرى للدرجة ذات الأس العقلاني - أنه لا يمكن اعتبار الدرجة ذات الأس الكسرى ذات الأس الكسرى. يتم إعطاء أمثلة على التدوين غير الصحيح للدرجة: (-9) -3/7، (-3) -1/3، 0 -1/5.

بعد ذلك، في درس الفيديو، نناقش خصائص الدرجة ذات الأس النسبي. تجدر الإشارة إلى أن خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح ستكون صالحة أيضًا للدرجة ذات الأس العقلاني. يُقترح التذكير بقائمة الخصائص الصالحة أيضًا في هذه الحالة:

1. عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه، فإن أسسها تكون مجمعة: a p a q =a p+q.
2. يتم تقليل تقسيم الدرجات ذات الأساس نفسه إلى درجة ذات أساس معين والفرق في الأسس: a p:a q =a p-q.
3. إذا رفعنا الدرجة إلى قوة معينة، فسننتهي بدرجة ذات أساس معين وحاصل ضرب الأسس: (a p) q =a pq.

كل هذه الخصائص صالحة للقوى ذات الأسس المنطقية p، q والقاعدة الإيجابية a>0. كما تظل تحويلات الدرجات عند فتح الأقواس صحيحة:

1. (ab) p =a p b p - عند رفع ناتج رقمين إلى قوة ما بأس عقلاني، يتم تقليل حاصل ضرب رقمين، كل منهما مرفوع إلى قوة معينة.
2. (a/b) p =a p /b p - رفع الكسر إلى قوة ذات أس نسبي يتم تقليله إلى الكسر الذي يكون بسطه ومقامه مرفوعًا إلى قوة معينة.

يناقش الفيديو التعليمي حل الأمثلة التي تستخدم الخصائص المدروسة للقوى ذات الأس العقلاني. يطلب منك المثال الأول إيجاد قيمة تعبير يحتوي على متغيرات x بقوة كسرية: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). على الرغم من تعقيد التعبير، باستخدام خصائص القوى، يمكن حله بكل بساطة. يبدأ حل المشكلة بتبسيط التعبير، الذي يستخدم قاعدة رفع قوة ذات أس كسري إلى قوة، وكذلك ضرب القوى ذات الأساس نفسه. بعد استبدال القيمة المعطاة x=8 في التعبير المبسط x 1/3 +48، من السهل الحصول على القيمة - 50.

في المثال الثاني، تحتاج إلى تبسيط الكسر الذي يحتوي بسطه ومقامه على قوى ذات أس كسري. باستخدام خصائص الدرجة، نستخرج من الفرق العامل × 1/3، والذي يتم بعد ذلك تخفيضه في البسط والمقام، وباستخدام صيغة فرق المربعات، يتم تحليل البسط، مما يعطي المزيد من التخفيضات للمتماثلة العوامل في البسط والمقام. نتيجة هذه التحولات هي الكسر القصير × 1/4 +3.

يمكن استخدام درس الفيديو "الأس ذو الأس العقلاني" بدلاً من قيام المعلم بشرح موضوع الدرس الجديد. يحتوي هذا الدليل أيضًا على معلومات كاملة كافية للطالب للدراسة بشكل مستقل. يمكن أن تكون المادة مفيدة أيضًا للتعلم عن بعد.

تعبير بالصيغة a (m/n)، حيث n هو عدد طبيعي ما، وm هو عدد صحيح وقاعدة الدرجة a أكبر من الصفر، تسمى درجة ذات أس كسري.علاوة على ذلك، فإن المساواة التالية صحيحة. n√(أ م) = أ (م/ن) .

كما نعلم بالفعل، فإن الأعداد التي على الصورة m/n، حيث n هو عدد طبيعي وm عدد صحيح، تسمى أرقامًا كسرية أو نسبية. ومن كل ما سبق نحصل على أن الدرجة محددة لأي أس كسري وأي أساس موجب للدرجة.

بالنسبة لأي أرقام منطقية p,q وأي a>0 وb>0 فإن المساواة التالية صحيحة:

• 1. (أ ع)*(أ ف) = أ (ع+ف)
• 2. (أ ع):(ب ف) = أ (ع-ف)
• 3. (أ ع) ف = أ (ع*ف)
• 4. (أ*ب) ص = (أ ع)*(ب ع)
• 5. (أ/ب) ص = (أ ع)/(ب ع)

تُستخدم هذه الخصائص على نطاق واسع عند تحويل التعبيرات المختلفة التي تحتوي على قوى ذات أسس كسرية.

أمثلة على تحويلات التعبيرات التي تحتوي على قوى ذات أس كسري

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة التي توضح كيف يمكن استخدام هذه الخصائص لتحويل التعبيرات.

1. احسب 7 (1/4) * 7 (3/4) .

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = ض (1/4 + 3/4) = 7.

2. احسب 9 (2/3) : 9 (1/6) .

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. احسب (16 (1/3)) (9/4) .

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. احسب 24 (2/3) .

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. احسب (8/27) (1/3) .

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. بسّط التعبير ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

• ((أ (4/3))*ب + أ*ب (4/3))/(3√أ + 3√ب) = (أ*ب*(أ (1/3) + ب (1/3 )))/(1/3) + ب (1/3)) = أ*ب.

7. احسب (25 (1/5))*(125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. تبسيط التعبير

• (أ (1/3) - أ (7/3))/(أ (1/3) - أ (4/3)) - (أ (-1/3) - أ (5/3))/( أ (2/3) + أ (-1/3)).
• (أ (1/3) - أ (7/3))/(أ (1/3) - أ (4/3)) - (أ (-1/3) - أ (5/3))/( أ (2/3) + أ (-1/3)) =
• = ((أ (1/3))*(1-أ 2))/((أ (1/3))*(1-أ)) - ((أ (-1/3))*(1- أ 2))/ ((أ (-1/3))*(1+أ)) =
• = 1 +أ - (1-أ) = 2*أ.

كما ترون، باستخدام هذه الخصائص، يمكنك تبسيط بعض التعبيرات التي تحتوي على قوى ذات أسس كسرية بشكل ملحوظ.

التعبيرات، تحويل التعبير

تعبيرات القوة (التعبيرات ذات القوى) وتحولها

سنتحدث في هذه المقالة عن تحويل التعبيرات ذات الصلاحيات. أولاً، سنركز على التحويلات التي يتم إجراؤها باستخدام العبارات من أي نوع، بما في ذلك عبارات القوة، مثل فتح الأقواس وإحضار المصطلحات المتشابهة. وبعد ذلك سنقوم بتحليل التحويلات المتأصلة على وجه التحديد في التعبيرات ذات الدرجات: العمل مع الأساس والأس، واستخدام خصائص الدرجات، وما إلى ذلك.

التنقل في الصفحة.

ما هي تعبيرات القوة؟

مصطلح "تعبيرات القوة" لا يظهر عمليا في كتب الرياضيات المدرسية، ولكنه يظهر في كثير من الأحيان في مجموعات المسائل، وخاصة تلك المخصصة للتحضير لامتحان الدولة الموحدة واختبار الدولة الموحدة، على سبيل المثال. بعد تحليل المهام التي من الضروري فيها تنفيذ أي إجراءات ذات تعبيرات القوة، يصبح من الواضح أن تعبيرات القوة تُفهم على أنها تعبيرات تحتوي على صلاحيات في مدخلاتها. لذلك، يمكنك قبول التعريف التالي لنفسك:

تعريف.

تعبيرات القوةهي تعبيرات تحتوي على درجات.

هيا نعطي أمثلة على تعبيرات القوة. علاوة على ذلك، سنعرضها بحسب كيفية حدوث تطور وجهات النظر من درجة ذات أس طبيعي إلى درجة ذات أس حقيقي.

كما هو معروف، نتعرف أولاً على أس العدد ذي الأس الطبيعي، وفي هذه المرحلة، يتم التعرف على أبسط تعبيرات الأس من النوع 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 تظهر −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 إلخ.

وبعد ذلك بقليل تتم دراسة أس العدد ذو الأس الصحيح، مما يؤدي إلى ظهور تعبيرات الأس ذات الأس الصحيح السالب، مثل ما يلي: 3 −2, , أ −2 +2 ب −3 +ج 2 .

في المدرسة الثانوية يعودون إلى الدرجات العلمية. هناك يتم تقديم درجة ذات أس عقلاني، مما يستلزم ظهور تعبيرات القوة المقابلة: , , وما إلى ذلك وهلم جرا. وأخيرا، تعتبر الدرجات ذات الأسس غير المنطقية والعبارات التي تحتوي عليها: , .

لا يقتصر الأمر على تعبيرات القوة المذكورة: علاوة على ذلك، يخترق المتغير الأس، وعلى سبيل المثال، تظهر التعبيرات التالية: 2 × 2 +1 أو . وبعد التعرف على ، تبدأ التعبيرات ذات القوى واللوغاريتمات في الظهور، على سبيل المثال، x 2·lgx −5·x lgx.

لذلك، تعاملنا مع مسألة ما تمثله تعبيرات القوة. بعد ذلك سوف نتعلم تحويلها.

الأنواع الرئيسية لتحولات تعبيرات القوة

باستخدام تعبيرات الطاقة، يمكنك إجراء أي من تحويلات الهوية الأساسية للتعبيرات. على سبيل المثال، يمكنك فتح الأقواس، واستبدال التعبيرات الرقمية بقيمها، وإضافة مصطلحات مماثلة، وما إلى ذلك. وبطبيعة الحال، في هذه الحالة، من الضروري اتباع الإجراء المعتمد لتنفيذ الإجراءات. دعونا نعطي أمثلة.

مثال.

احسب قيمة تعبير القوة 2 3 ·(4 2 −12) .

حل.

وفقًا لترتيب تنفيذ الإجراءات، قم أولاً بتنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين. هناك، أولاً، نستبدل القوة 4 2 بقيمتها 16 (انظر إذا لزم الأمر)، وثانيًا، نحسب الفرق 16−12=4. لدينا 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

في التعبير الناتج، نستبدل القوة 2 3 بقيمتها 8، وبعد ذلك نحسب حاصل الضرب 8·4=32. هذه هي القيمة المطلوبة.

لذا، 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

إجابة:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

مثال.

تبسيط التعبيرات مع القوى 3 أ 4 ب −7 −1+2 أ 4 ب −7.

حل.

من الواضح أن هذا التعبير يحتوي على مصطلحات متشابهة 3·a 4 ·b −7 و 2·a 4 ·b −7 ، ويمكننا تقديمها: .

إجابة:

3 أ 4 ب −7 −1+2 أ 4 ب −7 =5 أ 4 ب −7 −1.

مثال.

التعبير عن التعبير بالصلاحيات كمنتج.

حل.

يمكنك التعامل مع المهمة من خلال تمثيل الرقم 9 كقوة 3 2 ثم استخدام صيغة الضرب المختصر - فرق المربعات:

إجابة:

هناك أيضًا عدد من التحولات المتطابقة المتأصلة على وجه التحديد في تعبيرات القوة. سنقوم بتحليلها أكثر.

العمل مع القاعدة والأس

هناك درجات لا يكون أساسها و/أو أسها مجرد أرقام أو متغيرات، بل بعض التعبيرات. على سبيل المثال، نعطي المدخلات (2+0.3·7) 5−3.7 و (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

عند العمل مع مثل هذه التعبيرات، يمكنك استبدال كل من التعبير الموجود في قاعدة الدرجة والتعبير الموجود في الأس بتعبير متساوٍ تمامًا في ODZ لمتغيراته. بمعنى آخر، وفقًا للقواعد المعروفة لدينا، يمكننا تحويل أساس الدرجة بشكل منفصل والأس بشكل منفصل. ومن الواضح أنه نتيجة لهذا التحول، سيتم الحصول على تعبير مساوٍ تمامًا للتعبير الأصلي.

تتيح لنا مثل هذه التحولات تبسيط التعبيرات ذات القوى أو تحقيق أهداف أخرى نحتاجها. على سبيل المثال، في تعبير القوة المذكور أعلاه (2+0.3 7) 5−3.7، يمكنك إجراء عمليات باستخدام الأرقام الموجودة في الأساس والأس، مما سيسمح لك بالانتقال إلى الأس 4.1 1.3. وبعد فتح الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة إلى قاعدة الدرجة (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)، نحصل على تعبير قوة بشكل أبسط a 2·(x+ 1) .

استخدام خصائص الدرجة

إحدى الأدوات الرئيسية لتحويل التعبيرات بالقوى هي المساواة التي تعكس . دعونا نتذكر أهمها. بالنسبة لأي أرقام موجبة a وb وأعداد حقيقية عشوائية r وs، فإن خصائص القوى التالية صحيحة:

• أ ص ·أ ق =أ ص+س ;
• أ ص:أ ق =أ ص−س ;
• (أ·ب) ص =أ ص ·ب ص ;
• (أ:ب) ص =أ ص:ب ص ;
• (أ ص) ث =أ ص·س .

لاحظ أنه بالنسبة للأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والموجبة، فإن القيود المفروضة على الأرقام a وb قد لا تكون صارمة جدًا. على سبيل المثال، بالنسبة للأعداد الطبيعية m وn، فإن المساواة a m ·a n =a m+n صحيحة ليس فقط بالنسبة للموجب a، ولكن أيضًا بالنسبة للسالب a، وبالنسبة لـ a=0.

في المدرسة، ينصب التركيز الأساسي عند تحويل تعبيرات القوة على القدرة على اختيار الخاصية المناسبة وتطبيقها بشكل صحيح. وفي هذه الحالة، تكون أسس الدرجات عادة موجبة، مما يسمح باستخدام خصائص الدرجات دون قيود. الأمر نفسه ينطبق على تحويل التعبيرات التي تحتوي على متغيرات في قواعد القوى - نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات عادة ما يكون بحيث تأخذ القواعد قيمًا موجبة فقط عليها، مما يسمح لك باستخدام خصائص القوى بحرية . بشكل عام، عليك أن تسأل نفسك باستمرار ما إذا كان من الممكن استخدام أي خاصية للدرجات في هذه الحالة، لأن الاستخدام غير الدقيق للخصائص يمكن أن يؤدي إلى تضييق القيمة التعليمية ومشاكل أخرى. تمت مناقشة هذه النقاط بالتفصيل ومع الأمثلة في المقالة تحويل التعبيرات باستخدام خصائص الدرجات. وهنا سنقتصر على النظر في بعض الأمثلة البسيطة.

مثال.

عبر عن التعبير a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 كقوة ذات الأساس a.

حل.

أولاً، نحول العامل الثاني (a 2) −3 باستخدام خاصية رفع قوة إلى قوة: (أ 2) −3 =أ 2·(−3) =أ −6. تعبير القوة الأصلي سوف يأخذ الشكل a 2.5 ·a −6:a −5.5. من الواضح أنه يبقى استخدام خصائص ضرب وقسمة القوى بنفس الأساس الذي لدينا
أ 2.5 · أ −6:أ −5.5 =
أ 2.5−6:أ −5.5 =أ −3.5:أ −5.5 =
أ −3.5−(−5.5) =أ 2 .

إجابة:

أ 2.5 ·(أ 2) −3:أ −5.5 =أ 2.

يتم استخدام خصائص القوى عند تحويل تعبيرات الطاقة من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار.

مثال.

أوجد قيمة تعبير القوة.

حل.

المساواة (a·b) r =a r ·b r، المطبقة من اليمين إلى اليسار، تسمح لنا بالانتقال من التعبير الأصلي إلى منتج النموذج وأكثر من ذلك. وعند ضرب القوى ذات الأساس نفسه، فإن الأسس تضيف ما يلي: .

كان من الممكن تحويل التعبير الأصلي بطريقة أخرى:

إجابة:

.

مثال.

بالنظر إلى تعبير الطاقة a 1.5 −a 0.5 −6، أدخل متغيرًا جديدًا t=a 0.5.

حل.

يمكن تمثيل الدرجة a 1.5 على أنها 0.5 3 وبعد ذلك، بناءً على خاصية الدرجة إلى الدرجة (a r) s =a r s، المطبقة من اليمين إلى اليسار، قم بتحويلها إلى الشكل (a 0.5) 3. هكذا، أ 1.5 −أ 0.5 −6=(أ 0.5) 3 −أ 0.5 −6. الآن أصبح من السهل إدخال متغير جديد t=a 0.5، نحصل على t 3 −t−6.

إجابة:

ر 3 −t−6 .

تحويل الكسور التي تحتوي على القوى

يمكن أن تحتوي تعبيرات القوة على أو تمثل كسورًا ذات قوى. أي من التحويلات الأساسية للكسور المتأصلة في الكسور من أي نوع تنطبق بالكامل على هذه الكسور. أي أنه يمكن اختزال الكسور التي تحتوي على قوى، واختزالها إلى مقام جديد، والعمل بشكل منفصل مع بسطها وبشكل منفصل مع المقام، وما إلى ذلك. لتوضيح هذه الكلمات، فكر في حلول عدة أمثلة.

مثال.

تبسيط التعبير عن السلطة .

حل.

تعبير القوة هذا عبارة عن كسر. دعونا نعمل مع البسط والمقام. في البسط نفتح الأقواس ونبسط التعبير الناتج باستخدام خصائص القوى، وفي المقام نقدم مصطلحات مشابهة:

ولنغير أيضًا إشارة المقام بوضع علامة ناقص أمام الكسر: .

إجابة:

.

يتم تنفيذ اختزال الكسور التي تحتوي على قوى إلى مقام جديد بشكل مشابه لاختزال الكسور المنطقية إلى مقام جديد. وفي هذه الحالة، يتم أيضًا العثور على عامل إضافي ويتم ضرب بسط الكسر ومقامه به. عند تنفيذ هذا الإجراء، تجدر الإشارة إلى أن التخفيض إلى قاسم جديد يمكن أن يؤدي إلى تضييق VA. ولمنع حدوث ذلك، من الضروري ألا يصل العامل الإضافي إلى الصفر لأي قيم للمتغيرات من متغيرات ODZ للتعبير الأصلي.

مثال.

اختصر الكسور إلى مقام جديد: أ) إلى المقام أ، ب) إلى القاسم.

حل.

أ) في هذه الحالة، من السهل جدًا معرفة المضاعف الإضافي الذي يساعد على تحقيق النتيجة المرجوة. هذا مضاعف 0.3، حيث أن 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. لاحظ أنه في نطاق القيم المسموح بها للمتغير a (هذه هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة)، لا تختفي قوة 0.3، لذلك يحق لنا ضرب البسط والمقام لمعطى معين الكسر بهذا العامل الإضافي:

ب) بإلقاء نظرة فاحصة على المقام، ستجد ذلك

وضرب هذا التعبير في سيعطي مجموع المكعبات و . وهذا هو المقام الجديد الذي علينا تبسيط الكسر الأصلي إليه.

وهكذا وجدنا عاملاً إضافياً. في نطاق القيم المسموح بها للمتغيرين x و y، لا يختفي التعبير، لذلك يمكننا ضرب بسط الكسر ومقامه به:

إجابة:

أ) ، ب) .

كما أنه لا جديد في اختزال الكسور التي تحتوي على قوى: يتم تمثيل البسط والمقام بعدد من العوامل، ويتم اختزال نفس عوامل البسط والمقام.

مثال.

تقليل الكسر: أ) ، ب) .

حل.

أ) أولاً، يمكن اختزال البسط والمقام بالرقمين 30 و45، وهو ما يساوي 15. ومن الواضح أيضًا أنه من الممكن إجراء تخفيض بمقدار x 0.5 +1 وبواسطة . وهنا ما لدينا:

ب) في هذه الحالة، العوامل المتطابقة في البسط والمقام ليست مرئية على الفور. للحصول عليها، سيتعين عليك إجراء التحولات الأولية. في هذه الحالة، تتمثل في تحليل المقام باستخدام صيغة فرق المربعات:

إجابة:

أ)

ب) .

يتم استخدام تحويل الكسور إلى مقام جديد وتصغير الكسور بشكل أساسي للتعامل مع الكسور. يتم تنفيذ الإجراءات وفقًا للقواعد المعروفة. عند جمع (طرح) الكسور، يتم اختزالها إلى قاسم مشترك، وبعد ذلك يتم إضافة (طرح) البسط، ولكن يبقى المقام كما هو. والنتيجة هي كسر بسطه حاصل ضرب البسطين، ومقامه حاصل ضرب المقامين. القسمة على الكسر هي الضرب على معكوسه.

مثال.

اتبع الخطوات .

حل.

أولًا، نطرح الكسور الموجودة بين قوسين. للقيام بذلك، نأتي بهم إلى قاسم مشترك، وهو ، وبعد ذلك نطرح البسطين:

الآن نضرب الكسور:

من الواضح أنه من الممكن التخفيض بقوة x 1/2، وبعد ذلك لدينا .

يمكنك أيضًا تبسيط تعبير القوة في المقام باستخدام صيغة فرق المربعات: .

إجابة:

مثال.

تبسيط تعبير القوة .

حل.

من الواضح أنه يمكن اختزال هذا الكسر بمقدار (x 2.7 +1) 2، وهذا يعطي الكسر . من الواضح أنه يجب القيام بشيء آخر باستخدام صلاحيات X. للقيام بذلك، نقوم بتحويل الكسر الناتج إلى منتج. وهذا يتيح لنا فرصة الاستفادة من خاصية تقسيم القوى على نفس الأسس: . وفي نهاية العملية ننتقل من المنتج الأخير إلى الكسر.

إجابة:

.

ودعنا نضيف أيضًا أنه من الممكن، ومن المرغوب فيه في كثير من الحالات، نقل العوامل ذات الأسس السالبة من البسط إلى المقام أو من المقام إلى البسط، مما يؤدي إلى تغيير إشارة الأس. غالبًا ما تعمل مثل هذه التحولات على تبسيط الإجراءات الإضافية. على سبيل المثال، يمكن استبدال تعبير الطاقة بـ .

تحويل التعبيرات مع الجذور والقوى

في كثير من الأحيان، في التعبيرات التي تتطلب بعض التحويلات، تكون الجذور ذات الأسس الكسرية موجودة أيضًا جنبًا إلى جنب مع القوى. لتحويل مثل هذا التعبير إلى الشكل المطلوب، يكفي في معظم الحالات الانتقال إلى الجذور فقط أو إلى القوى فقط. ولكن بما أنه أكثر ملاءمة للعمل مع القوى، فإنها عادة ما تنتقل من الجذور إلى القوى. ومع ذلك، فمن المستحسن إجراء مثل هذا الانتقال عندما يسمح لك ODZ للمتغيرات الخاصة بالتعبير الأصلي باستبدال الجذور بالصلاحيات دون الحاجة إلى الرجوع إلى الوحدة النمطية أو تقسيم ODZ إلى عدة فترات (ناقشنا هذا بالتفصيل في انتقال المقال من الجذور إلى القوى والعودة بعد التعرف على الدرجة ذات الأس الكسرى يتم تقديم درجة ذات أس غير عقلاني، مما يسمح لنا بالحديث عن درجة ذات أس حقيقي اعتباطي، وفي هذه المرحلة تبدأ المدرسة في يذاكر وظيفة الأسية، والتي يتم إعطاؤها تحليليًا بواسطة قوة، أساسها رقم، والأس متغير. لذلك نحن نواجه تعبيرات القوة التي تحتوي على أرقام في أساس القوة، وفي الأس - تعبيرات ذات متغيرات، ومن الطبيعي أن تنشأ الحاجة إلى إجراء تحويلات لمثل هذه التعبيرات.

يجب أن يقال أن تحويل التعبيرات من النوع المحدد عادة ما يتم إجراؤه عند الحل المعادلات الأسيةو عدم المساواة الأسية، وهذه التحويلات بسيطة للغاية. في الغالبية العظمى من الحالات، تعتمد على خصائص الدرجة وتهدف، في معظمها، إلى إدخال متغير جديد في المستقبل. المعادلة سوف تسمح لنا بإظهارها 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

أولاً، يتم استبدال القوى، التي في أسسها مجموع متغير معين (أو تعبير مع متغيرات) ورقم، بالمنتجات. ينطبق هذا على الحدين الأول والأخير من التعبير الموجود على الجانب الأيسر:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

بعد ذلك، يتم تقسيم طرفي المساواة بالتعبير 7 2 x، والذي يأخذ قيمًا موجبة فقط في ODZ للمتغير x للمعادلة الأصلية (هذه تقنية قياسية لحل المعادلات من هذا النوع، نحن لسنا كذلك نتحدث عنه الآن، لذلك ركز على التحولات اللاحقة للتعبيرات مع القوى ):

الآن يمكننا إلغاء الكسور ذات القوى، وهو ما يعطي .

وأخيرًا، يتم استبدال نسبة القوى التي لها نفس الأسس بقوى العلاقات، مما يؤدي إلى المعادلة ، وهو ما يعادل . تتيح لنا التحويلات التي تم إجراؤها إدخال متغير جديد، مما يقلل من حل المعادلة الأسية الأصلية إلى حل المعادلة التربيعية

I. V. Boykov، L. D. Romanovaمجموعة من المهام للتحضير لامتحان الدولة الموحدة. الجزء 1. بينزا 2003.

الدرس رقم 30 (الجبر والتحليل الأساسي الصف الحادي عشر)

موضوع الدرس: درجة مع الأس العقلاني.

هدف الدرس: 1 . توسيع مفهوم الدرجة، وإعطاء مفهوم الدرجة مع الأس العقلاني؛ تعليم كيفية تحويل الدرجة ذات الأس العقلاني إلى جذر والعكس صحيح؛ حساب القوى مع الأس العقلاني.

2. تنمية الذاكرة والتفكير.

3. تشكيل النشاط.

"دع شخصًا ما يحاول الشطب

من درجة الرياضيات، وسوف يرى،

أنك لن تصل بعيدًا بدونهم."إم في لومونوسوف

خلال الفصول الدراسية.

I. بيان الموضوع والغرض من الدرس.

ثانيا. تكرار وتوحيد المواد المغطاة.

1. تحليل الأمثلة المنزلية التي لم يتم حلها.

2. الإشراف على العمل المستقل:

الخيار 1.

1. حل المعادلة: √(2س - 1) = 3س - 12

2. حل المتراجحة: √(3س – 2) ≥ 4 – س

الخيار 2.

1. حل المعادلة: 3 – 2س = √(7س + 32)

2. حل المتراجحة: √(3x + 1) ≥ x - 1

ثالثا. تعلم مواد جديدة.

1 . دعونا نتذكر التوسع في مفهوم الأرقام: N є Z є Q є R.

وأفضل تمثيل لذلك هو الرسم البياني أدناه:

طبيعي (ن)

صفر

أرقام غير سلبية

أرقام سلبية

أرقام كسرية

الأعداد الصحيحة (ي)

غير منطقي

عقلاني (س)

أرقام حقيقية

2. في الصفوف الدنيا، تم تعريف مفهوم قوة الرقم مع الأس الصحيح. أ) تذكر تعريف الأس أ) مع الأس الطبيعي، ب) مع عدد صحيح سالب، ج) مع الأس صفر.التأكيد على أن التعبير أن من المنطقي بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة n وأي قيم لـ a، باستثناء a=0 وn≥0.

ب) اذكر خصائص الدرجات ذات الأس الصحيح.

3. العمل الشفهي.

1). احسب: 1 -5؛ 4 -3 ; (-100 ؛ (-5) -2 ; (1/2) -4 ؛ (3/7) -1 .

2). اكتبها كقوة ذات أس سالب:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/× 7 ؛ 1/أ9 .

3).قارن مع الوحدة: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . الآن أنت بحاجة إلى فهم معنى التعبيرات 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 إلخ. للقيام بذلك، من الضروري تعميم مفهوم الدرجة بحيث يتم استيفاء جميع خصائص الدرجات المدرجة. تأمل المساواة (أم/ن ) ن = أ م . إذن، من خلال تعريف الجذر n، فمن المعقول افتراض أن أم / ن سيكون الجذر n لـ aم . ويرد تعريف للدرجة مع الأس العقلاني.

5. النظر في المثالين 1 و 2 من الكتاب المدرسي.

6. دعونا نقدم عددًا من التعليقات المتعلقة بمفهوم الدرجة ذات الأس العقلاني.

ملاحظة 1 : لأي رقم >0 ورقم منطقي r، الرقم aص >0

ملاحظة 2 : من خلال الخاصية الأساسية للكسور، يمكن كتابة العدد النسبي m/n بالشكل mk/nk لأي عدد طبيعي k. ثمقيمة الدرجة لا تعتمد على شكل كتابة العدد العقلاني،بما أن a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

ملاحظة 3: عندما دعونا نشرح ذلك بمثال. اعتبر (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. ومن ناحية أخرى: 1/3 = 2/6 ثم (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. نحصل على التناقض.