صيغ نظرية الاحتمالية وأمثلة لحل المشكلات. الرياضيات للمبرمجين: نظرية الاحتمالات ما هو p a في نظرية الاحتمالات

"الحوادث ليست صدفة"... يبدو الأمر كما قال أحد الفلاسفة، لكن في الحقيقة، دراسة العشوائية هي قدر علم الرياضيات العظيم. في الرياضيات، يتم التعامل مع الصدفة من خلال نظرية الاحتمالات. سيتم عرض صيغ وأمثلة للمهام وكذلك التعريفات الأساسية لهذا العلم في المقالة.

ما هي نظرية الاحتمالات؟

نظرية الاحتمالية هي أحد التخصصات الرياضية التي تدرس الأحداث العشوائية.

ولجعل الأمر أكثر وضوحًا، دعونا نعطي مثالًا صغيرًا: إذا رميت عملة معدنية للأعلى، فيمكن أن تستقر على الصورة أو الكتابة. وبينما تكون العملة في الهواء، فإن كلا هذين الاحتمالين ممكنان. أي أن احتمال العواقب المحتملة هو 1:1. إذا تم سحب واحدة من مجموعة مكونة من 36 بطاقة، فسيتم الإشارة إلى الاحتمال على أنه 1:36. يبدو أنه لا يوجد شيء يمكن استكشافه والتنبؤ به هنا، خاصة بمساعدة الصيغ الرياضية. ومع ذلك، إذا قمت بتكرار إجراء معين عدة مرات، فيمكنك تحديد نمط معين، وبناء عليه، التنبؤ بنتيجة الأحداث في ظروف أخرى.

لتلخيص كل ما سبق فإن نظرية الاحتمالات بالمعنى الكلاسيكي تدرس إمكانية حدوث أحد الأحداث المحتملة بقيمة عددية.

من صفحات التاريخ

ظهرت نظرية الاحتمال والصيغ وأمثلة المهام الأولى في العصور الوسطى البعيدة، عندما ظهرت محاولات التنبؤ بنتائج ألعاب الورق لأول مرة.

في البداية، لم يكن لنظرية الاحتمالات أي علاقة بالرياضيات. وقد تم تبريره من خلال الحقائق التجريبية أو خصائص حدث يمكن إعادة إنتاجه في الممارسة العملية. ظهرت الأعمال الأولى في هذا المجال كنظام رياضي في القرن السابع عشر. المؤسسون هم بليز باسكال وبيير فيرما. لقد درسوا المقامرة لفترة طويلة ورأوا أنماطًا معينة قرروا إخبار الجمهور عنها.

تم اختراع نفس التقنية من قبل كريستيان هويجنز، على الرغم من أنه لم يكن على دراية بنتائج أبحاث باسكال وفيرمات. وقد قدم مفهوم "نظرية الاحتمالية" والصيغ والأمثلة التي تعتبر الأولى في تاريخ هذا التخصص.

كما أن أعمال جاكوب برنولي ونظريات لابلاس وبواسون ليست ذات أهمية كبيرة. لقد جعلوا نظرية الاحتمالات أشبه بالتخصص الرياضي. تلقت نظرية الاحتمالات والصيغ وأمثلة المهام الأساسية شكلها الحالي بفضل بديهيات كولموغوروف. ونتيجة لكل هذه التغيرات، أصبحت نظرية الاحتمالات أحد فروع الرياضيات.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. الأحداث

المفهوم الرئيسي لهذا الانضباط هو "الحدث". هناك ثلاثة أنواع من الأحداث:

• موثوق.تلك التي ستحدث على أي حال (سوف تسقط العملة).
• مستحيل.أحداث لن تحدث تحت أي ظرف من الظروف (ستظل العملة معلقة في الهواء).
• عشوائي.تلك التي ستحدث أو لن تحدث. يمكن أن تتأثر بعوامل مختلفة يصعب التنبؤ بها. إذا تحدثنا عن عملة معدنية، فهناك عوامل عشوائية يمكن أن تؤثر على النتيجة: الخصائص الفيزيائية للعملة، وشكلها، وموضعها الأصلي، وقوة الرمي، وما إلى ذلك.

تتم الإشارة إلى جميع الأحداث في الأمثلة بأحرف لاتينية كبيرة، باستثناء P، الذي له دور مختلف. على سبيل المثال:

• أ = "جاء الطلاب لإلقاء المحاضرة".
• Ā = "لم يحضر الطلاب إلى المحاضرة."

في المهام العملية، عادة ما يتم تدوين الأحداث بالكلمات.

من أهم خصائص الأحداث هو تساوي احتمالاتها. وهذا يعني أنه إذا رميت عملة معدنية، فإن جميع أشكال السقوط الأولي تكون ممكنة حتى تسقط. ولكن الأحداث أيضا ليست ممكنة على قدم المساواة. يحدث هذا عندما يؤثر شخص ما عمدا على النتيجة. على سبيل المثال، أوراق اللعب أو النرد "المميزة" التي يتم فيها إزاحة مركز الثقل.

يمكن أيضًا أن تكون الأحداث متوافقة وغير متوافقة. الأحداث المتوافقة لا تستبعد حدوث بعضها البعض. على سبيل المثال:

• أ = "جاء الطالب إلى المحاضرة".
• ب = "جاء الطالب إلى المحاضرة".

وهذه الأحداث مستقلة عن بعضها البعض، ولا يؤثر وقوع أحدهما على وقوع الآخر. يتم تعريف الأحداث غير المتوافقة من خلال حقيقة أن حدوث أحدها يلغي وقوع حدث آخر. إذا تحدثنا عن نفس العملة، فإن فقدان "الذيول" يجعل من المستحيل ظهور "الرؤوس" في نفس التجربة.

الإجراءات على الأحداث

يمكن مضاعفة الأحداث وإضافتها، وبناء على ذلك، يتم إدخال الروابط المنطقية "AND" و"OR" في التخصص.

يتم تحديد المبلغ من خلال حقيقة أن الحدث A أو B أو الحدثين يمكن أن يحدثا في وقت واحد. إذا كانت غير متوافقة، فإن الخيار الأخير مستحيل؛ سيتم طرح إما A أو B.

مضاعفة الأحداث تتمثل في ظهور A و B في نفس الوقت.

يمكننا الآن تقديم عدة أمثلة لتذكر الأساسيات ونظرية الاحتمالات والصيغ بشكل أفضل. أمثلة على حل المشكلات أدناه.

التمرين 1: تشارك الشركة في مسابقة للحصول على عقود لثلاثة أنواع من العمل. الأحداث المحتملة التي قد تحدث:

• أ = "ستحصل الشركة على العقد الأول."
• أ 1 = "لن تحصل الشركة على العقد الأول."
• B = "ستحصل الشركة على عقد ثان."
• ب 1 = "الشركة لن تحصل على عقد ثان"
• C = "ستحصل الشركة على عقد ثالث."
• ج1 = "لن تحصل الشركة على عقد ثالث."

باستخدام الإجراءات على الأحداث، سنحاول التعبير عن المواقف التالية:

• K = "سوف تتلقى الشركة جميع العقود."

في الصورة الرياضية، ستكون المعادلة بالشكل التالي: K = ABC.

• M = "لن تحصل الشركة على عقد واحد."

م = أ 1 ب 1 ج 1.

لنجعل المهمة أكثر تعقيدًا: H = "ستحصل الشركة على عقد واحد". نظرًا لأنه من غير المعروف أي عقد ستحصل عليه الشركة (الأول أو الثاني أو الثالث)، فمن الضروري تسجيل سلسلة الأحداث المحتملة بأكملها:

ح = أ 1 ق 1 υ أ ب 1 ج 1 υ أ 1 ب 1 ج.

و1 ق 1 عبارة عن سلسلة من الأحداث حيث لا تحصل الشركة على العقد الأول والثالث، بل تحصل على العقد الثاني. تم تسجيل الأحداث المحتملة الأخرى باستخدام الطريقة المناسبة. يشير الرمز υ في التخصص إلى الرابط "OR". إذا قمنا بترجمة المثال أعلاه إلى لغة بشرية، فستحصل الشركة إما على العقد الثالث، أو الثاني، أو الأول. وبطريقة مماثلة، يمكنك كتابة شروط أخرى في تخصص "نظرية الاحتمالية". ستساعدك الصيغ والأمثلة لحل المشكلات الموضحة أعلاه على القيام بذلك بنفسك.

في الواقع، الاحتمال

ربما، في هذا التخصص الرياضي، احتمال وقوع حدث هو المفهوم المركزي. هناك ثلاثة تعريفات للاحتمال:

• كلاسيكي.
• إحصائية؛
• هندسي.

ولكل منها مكانها في دراسة الاحتمال. تستخدم نظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة (الصف التاسع) التعريف الكلاسيكي بشكل أساسي، والذي يبدو كما يلي:

• احتمالية الموقف (أ) تساوي نسبة عدد النتائج التي تؤيد حدوثه إلى عدد جميع النتائج المحتملة.

تبدو الصيغة كما يلي: P(A)=m/n.

A هو في الواقع حدث. إذا ظهرت حالة معاكسة لـ A، فيمكن كتابتها كـ Ā أو A 1 .

م هو عدد الحالات المواتية المحتملة.

ن - جميع الأحداث التي يمكن أن تحدث.

على سبيل المثال، A = "ارسم بطاقة بدلة القلب." هناك 36 بطاقة في المجموعة القياسية، 9 منها على شكل قلوب. وبناء على ذلك فإن صيغة حل المشكلة ستكون كما يلي:

ف(أ)=9/36=0.25.

ونتيجة لذلك، فإن احتمال سحب بطاقة بدلة القلب من المجموعة سيكون 0.25.

نحو الرياضيات العليا

الآن أصبح من غير المعروف ما هي نظرية الاحتمالية والصيغ والأمثلة لحل المشكلات التي تظهر في المناهج الدراسية. ومع ذلك، توجد نظرية الاحتمالات أيضًا في الرياضيات العليا التي يتم تدريسها في الجامعات. غالبًا ما تعمل باستخدام تعريفات هندسية وإحصائية للنظرية والصيغ المعقدة.

نظرية الاحتمال مثيرة جدا للاهتمام. من الأفضل أن تبدأ بدراسة الصيغ والأمثلة (الرياضيات العليا) بشكل صغير - مع التعريف الإحصائي (أو التكراري) للاحتمال.

لا يتعارض النهج الإحصائي مع النهج الكلاسيكي، ولكنه يوسعه قليلا. إذا كان من الضروري في الحالة الأولى تحديد احتمال حدوث حدث ما، فمن الضروري في هذه الطريقة الإشارة إلى عدد مرات حدوثه. هنا يتم تقديم مفهوم جديد لـ "التردد النسبي"، والذي يمكن الإشارة إليه بالرمز W n (A). الصيغة لا تختلف عن الصيغة الكلاسيكية:

إذا تم حساب الصيغة الكلاسيكية للتنبؤ، فسيتم حساب الصيغة الإحصائية وفقا لنتائج التجربة. لنأخذ مهمة صغيرة على سبيل المثال.

يقوم قسم المراقبة التكنولوجية بفحص المنتجات للتأكد من جودتها. ومن بين 100 منتج، تبين أن 3 منها ذات نوعية رديئة. كيفية العثور على احتمالية التردد لمنتج عالي الجودة؟

أ = "مظهر المنتج عالي الجودة."

دبليو ن (أ)=97/100=0.97

وبالتالي، فإن تكرار المنتج عالي الجودة هو 0.97. من أين حصلت على 97؟ من بين 100 منتج تم فحصها، تبين أن 3 منها ذات نوعية رديئة. نطرح 3 من 100 ونحصل على 97، هذه هي كمية البضائع عالية الجودة.

قليلا عن التوافقيات

طريقة أخرى لنظرية الاحتمالات تسمى التوافقيات. مبدأها الأساسي هو أنه إذا كان من الممكن إجراء اختيار معين A بطرق مختلفة، ويمكن إجراء اختيار B بطرق مختلفة، فيمكن إجراء اختيار A وB عن طريق الضرب.

على سبيل المثال، هناك 5 طرق تؤدي من المدينة أ إلى المدينة ب. هناك 4 مسارات من المدينة B إلى المدينة C. بكم طريقة يمكنك الانتقال من المدينة أ إلى المدينة ج؟

الأمر بسيط: 5x4=20، أي يمكنك الانتقال من النقطة "أ" إلى النقطة "ج" بعشرين طريقة مختلفة.

دعونا تعقيد المهمة. كم عدد الطرق المتاحة لوضع البطاقات في لعبة السوليتير؟ هناك 36 بطاقة في المجموعة - هذه هي نقطة البداية. لمعرفة عدد الطرق، تحتاج إلى "طرح" بطاقة واحدة في كل مرة من نقطة البداية والضرب.

أي أن 36x35x34x33x32...x2x1= لا تظهر النتيجة على شاشة الآلة الحاسبة، لذلك يمكن ببساطة تحديدها بالرقم 36!. لافتة "!" بجوار الرقم يشير إلى أن سلسلة الأرقام بأكملها مضروبة معًا.

في التوافقيات هناك مفاهيم مثل التقليب والتنسيب والجمع. كل واحد منهم لديه صيغة خاصة به.

تسمى المجموعة المرتبة من عناصر المجموعة بالترتيب. يمكن تكرار المواضع، أي أنه يمكن استخدام عنصر واحد عدة مرات. وبدون تكرار، عندما لا تتكرر العناصر. n هي جميع العناصر، m هي العناصر التي تشارك في التنسيب. ستبدو صيغة التنسيب بدون تكرار كما يلي:

أ ن م = ن!/(ن-م)!

تسمى اتصالات العناصر n التي تختلف فقط في ترتيب المواضع بالتباديل. في الرياضيات يبدو الأمر كما يلي: P n = n!

مجموعات n من عناصر m هي تلك المركبات التي من المهم فيها تحديد العناصر الموجودة فيها وما هو العدد الإجمالي لها. ستبدو الصيغة كما يلي:

ا ن م =ن!/م!(ن-م)!

صيغة برنولي

في نظرية الاحتمالات، كما هو الحال في كل تخصص، هناك أعمال لباحثين بارزين في مجالهم والذين ارتقوا بها إلى مستوى جديد. إحدى هذه الأعمال هي صيغة برنولي، والتي تسمح لك بتحديد احتمالية حدوث حدث معين في ظل ظروف مستقلة. يشير هذا إلى أن حدوث A في التجربة لا يعتمد على حدوث أو عدم حدوث نفس الحدث في تجارب سابقة أو لاحقة.

معادلة برنولي:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

الاحتمال (ع) لحدوث الحدث (أ) ثابت لكل تجربة. سيتم حساب احتمال حدوث الموقف بالضبط m مرات في عدد n من التجارب من خلال الصيغة الموضحة أعلاه. وعليه فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو كيفية معرفة الرقم q.

إذا حدث الحدث A لعدد مرات، وفقًا لذلك، فقد لا يحدث. الوحدة عبارة عن رقم يُستخدم لتعيين جميع نتائج الموقف في أحد التخصصات. لذلك، q هو رقم يشير إلى احتمال عدم وقوع حدث ما.

الآن أنت تعرف صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية). سننظر في أمثلة حل المشكلات (المستوى الأول) أدناه.

المهمة 2:سيقوم زائر المتجر بإجراء عملية شراء باحتمال 0.2. دخل 6 زوار المتجر بشكل مستقل. ما هو احتمال قيام الزائر بإجراء عملية شراء؟

الحل: نظرًا لأنه من غير المعروف عدد الزوار الذين يجب عليهم إجراء عملية شراء، واحد منهم أو الستة جميعًا، فمن الضروري حساب جميع الاحتمالات الممكنة باستخدام صيغة برنولي.

أ = "سيقوم الزائر بالشراء".

في هذه الحالة: ع = 0.2 (كما هو موضح في المهمة). وبناء على ذلك، ف=1-0.2 = 0.8.

ن = 6 (حيث يوجد 6 عملاء في المتجر). سيختلف الرقم m من 0 (لن يقوم عميل واحد بالشراء) إلى 6 (سيشتري جميع زوار المتجر شيئًا ما). ونتيجة لذلك نحصل على الحل:

ف 6 (0) = ج 0 6 ×ص 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

لن يقوم أي من المشترين بإجراء عملية شراء باحتمال 0.2621.

كيف يتم استخدام صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية)؟ أمثلة على حل المشكلات (المستوى الثاني) أدناه.

بعد المثال أعلاه، تطرح أسئلة حول أين ذهب C وr. بالنسبة إلى p، فإن الرقم أس 0 سيكون مساويًا لواحد. أما بالنسبة لـ C فيمكن إيجادها بالصيغة:

ج ن م = ن! /م!(ن-م)!

حيث أنه في المثال الأول m = 0، على التوالي، C = 1، وهو ما لا يؤثر من حيث المبدأ على النتيجة. باستخدام الصيغة الجديدة، دعونا نحاول معرفة احتمال قيام زائرين بشراء البضائع.

ف 6 (2) = ج 6 2 ×ص 2 ×ف 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

نظرية الاحتمالية ليست بهذا التعقيد. إن صيغة برنولي، والأمثلة المعروضة أعلاه، هي دليل مباشر على ذلك.

صيغة بواسون

تُستخدم معادلة بواسون لحساب المواقف العشوائية ذات الاحتمالية المنخفضة.

الصيغة الأساسية:

ف ن (م)=  م /م! × ه (-ẫ) .

في هذه الحالة lect = n x p. هنا صيغة بواسون بسيطة (نظرية الاحتمالية). سننظر في أمثلة حل المشكلات أدناه.

المهمة 3: أنتج المصنع 100.000 قطعة. حدوث جزء معيب = 0.0001. ما هو احتمال وجود 5 أجزاء معيبة في الدفعة؟

كما ترون، الزواج هو حدث غير محتمل، وبالتالي يتم استخدام صيغة بواسون (نظرية الاحتمالية) للحساب. لا تختلف أمثلة حل المشكلات من هذا النوع عن المهام الأخرى في التخصص، فنحن نستبدل البيانات الضرورية في الصيغة المحددة:

A = "الجزء الذي تم اختياره عشوائيًا سيكون معيبًا."

ع = 0.0001 (حسب شروط المهمة).

ن = 100000 (عدد الأجزاء).

م = 5 (الأجزاء المعيبة). نستبدل البيانات في الصيغة ونحصل على:

100000 ر (5) = 10 5 /5! X ه -10 = 0.0375.

تمامًا مثل صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية)، وأمثلة الحلول المستخدمة المذكورة أعلاه، تحتوي معادلة بواسون على e غير معروف، في الواقع، يمكن العثور عليها من خلال الصيغة:

e -π = lim n ->∞ (1-/n) n .

ومع ذلك، هناك جداول خاصة تحتوي على جميع قيم e تقريبًا.

نظرية دي موافر لابلاس

إذا كان عدد التجارب في مخطط برنولي كبيرًا بدرجة كافية، وكان احتمال وقوع الحدث A في جميع المخططات هو نفسه، فيمكن العثور على احتمال وقوع الحدث A لعدد معين من المرات في سلسلة من الاختبارات بواسطة صيغة لابلاس:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

لتتذكر صيغة لابلاس (نظرية الاحتمالية) بشكل أفضل، توجد أمثلة للمسائل أدناه للمساعدة.

أولاً، دعونا نعثر على X m، ونستبدل البيانات (جميعها مذكورة أعلاه) في الصيغة ونحصل على 0.025. باستخدام الجداول نجد الرقم ϕ(0.025) وقيمته 0.3988. يمكنك الآن استبدال كافة البيانات في الصيغة:

ف 800 (267) = 1/√(800 × 1/3 × 2/3) × 0.3988 = 3/40 × 0.3988 = 0.03.

وبالتالي، فإن احتمال أن تعمل النشرة بالضبط 267 مرة هو 0.03.

صيغة بايز

صيغة بايز (نظرية الاحتمالية)، أمثلة على حل المشكلات التي سيتم تقديم المساعدة بها أدناه، هي معادلة تصف احتمالية حدث ما بناءً على الظروف التي يمكن أن ترتبط به. الصيغة الأساسية هي كما يلي:

P (A|B) = P (B|A) × P (A) / P (B).

A و B حدثان محددان.

P(A|B) هو احتمال مشروط، أي أن الحدث A يمكن أن يقع بشرط أن يكون الحدث B صحيحًا.

P (B|A) - الاحتمال الشرطي للحدث B.

لذا، فإن الجزء الأخير من الدورة القصيرة "نظرية الاحتمالية" هو صيغة بايز، وفيما يلي أمثلة لحلول المشكلات.

المهمة 5: تم إحضار هواتف من ثلاث شركات إلى المستودع. وفي الوقت نفسه، تبلغ حصة الهواتف التي يتم تصنيعها في المصنع الأول 25%، وفي الثاني 60%، وفي الثالث 15%. ومن المعروف أيضًا أن متوسط ​​​​نسبة المنتجات المعيبة في المصنع الأول 2٪ وفي الثاني 4٪ وفي الثالث 1٪. أنت بحاجة إلى إيجاد احتمال أن يكون الهاتف الذي تم اختياره عشوائيًا معيبًا.

A = "الهاتف الذي تم اختياره عشوائيًا."

ب1- الهاتف الذي أنتجه المصنع الأول. وعليه سيظهر التعريف ب2 وب3 (للمصنعين الثاني والثالث).

ونتيجة لذلك نحصل على:

ف (ب 1) = 25%/100% = 0.25؛ ف(ب 2) = 0.6؛ P (B 3) = 0.15 - وهكذا وجدنا احتمال كل خيار.

أنت الآن بحاجة إلى إيجاد الاحتمالات الشرطية للحدث المطلوب، أي احتمال وجود منتجات معيبة في الشركات:

ف (أ/ب 1) = 2%/100% = 0.02؛

ف(أ/ب 2) = 0.04؛

ف (أ/ب 3) = 0.01.

الآن دعونا نستبدل البيانات في صيغة بايز ونحصل على:

ف (أ) = 0.25 × 0.2 + 0.6 × 0.4 + 0.15 × 0.01 = 0.0305.

تقدم المقالة نظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة لحل المشكلات، ولكن هذا ليس سوى غيض من فيض من نظام واسع. وبعد كل ما تم كتابته، سيكون من المنطقي طرح سؤال ما إذا كانت هناك حاجة إلى نظرية الاحتمال في الحياة. من الصعب على الشخص العادي الإجابة، فمن الأفضل أن تسأل شخصًا استخدمها ليفوز بالجائزة الكبرى أكثر من مرة.

تعد دورة الرياضيات الكثير من المفاجآت لأطفال المدارس، واحدة منها هي مشكلة نظرية الاحتمالات. يواجه الطلاب مشاكل في حل مثل هذه المهام في ما يقرب من مائة بالمائة من الحالات. لفهم وفهم هذه المشكلة، تحتاج إلى معرفة القواعد والبديهيات والتعاريف الأساسية. لفهم النص الموجود في الكتاب، عليك أن تعرف كل الاختصارات. نحن نقدم لتعلم كل هذا.

العلم وتطبيقاته

وبما أننا نقدم دورة مكثفة في "نظرية الاحتمالية للدمى"، نحتاج أولاً إلى تقديم المفاهيم الأساسية ومختصرات الحروف. في البداية، دعونا نحدد مفهوم "نظرية الاحتمالية". ما هو نوع هذا العلم ولماذا هو مطلوب؟ نظرية الاحتمالية هي أحد فروع الرياضيات التي تدرس الظواهر والكميات العشوائية. كما أنها تأخذ في الاعتبار الأنماط والخصائص والعمليات التي يتم إجراؤها باستخدام هذه المتغيرات العشوائية. لما هذا؟ انتشر العلم على نطاق واسع في دراسة الظواهر الطبيعية. لا يمكن لأي عمليات طبيعية وفيزيائية الاستغناء عن وجود الصدفة. حتى لو تم تسجيل النتائج بأكبر قدر ممكن من الدقة أثناء التجربة، إذا تم تكرار نفس الاختبار، فمن المرجح ألا تكون النتيجة هي نفسها.

سننظر بالتأكيد إلى أمثلة المهام، يمكنك أن ترى بنفسك. وتعتمد النتيجة على العديد من العوامل المختلفة التي يكاد يكون من المستحيل أخذها بعين الاعتبار أو تسجيلها، ولكن مع ذلك لها تأثير كبير على نتيجة التجربة. وتشمل الأمثلة الحية مهمة تحديد مسار الكواكب أو تحديد توقعات الطقس، واحتمال مقابلة شخص مألوف أثناء السفر إلى العمل، وتحديد ارتفاع قفزة الرياضي. توفر نظرية الاحتمالية أيضًا مساعدة كبيرة للوسطاء في البورصات. إن المشكلة في نظرية الاحتمالات، والتي كان حلها يحتوي على العديد من المشكلات في السابق، ستصبح مجرد تافه بالنسبة لك بعد ثلاثة أو أربعة أمثلة مذكورة أدناه.

الأحداث

وكما ذكرنا سابقاً فإن العلم يدرس الأحداث. نظرية الاحتمالية، سننظر إلى أمثلة على حل المشكلات بعد قليل، وندرس نوعًا واحدًا فقط - عشوائيًا. ولكن مع ذلك عليك أن تعلم أن الأحداث يمكن أن تكون على ثلاثة أنواع:

• مستحيل.
• موثوق.
• عشوائي.

نقترح مناقشة كل واحد منهم قليلاً. حدث مستحيل لن يحدث أبدا، تحت أي ظرف من الظروف. ومن الأمثلة على ذلك: تجميد الماء في درجات حرارة أعلى من الصفر، وسحب مكعب من كيس الكرات.

يحدث دائمًا حدث موثوق به مع ضمان بنسبة 100% إذا تم استيفاء جميع الشروط. على سبيل المثال: لقد حصلت على راتب مقابل العمل المنجز، وحصلت على دبلوم التعليم المهني العالي إذا درست بضمير حي، واجتازت الامتحانات ودافعت عن شهادتك، وما إلى ذلك.

كل شيء أكثر تعقيدًا بعض الشيء: قد يحدث ذلك أم لا أثناء التجربة، على سبيل المثال، سحب الآس من مجموعة البطاقات بعد إجراء ما لا يزيد عن ثلاث محاولات. يمكنك الحصول على النتيجة إما من المحاولة الأولى أو لا تحصل عليها على الإطلاق. هو احتمال وقوع حدث يدرسه العلم.

احتمالا

وهذا، بالمعنى العام، تقييم لإمكانية التوصل إلى نتيجة ناجحة للتجربة التي يقع فيها حدث ما. ويتم تقييم الاحتمالية على المستوى النوعي، خاصة إذا كان التقييم الكمي مستحيلاً أو صعباً. تتضمن المشكلة في نظرية الاحتمالات التي لها حل، أو بشكل أكثر دقة مع تقدير، إيجاد تلك الحصة المحتملة جدًا من النتيجة الناجحة. الاحتمال في الرياضيات هو الخصائص العددية لحدث ما. يأخذ قيمًا من صفر إلى واحد، يُشار إليه بالحرف P. إذا كانت P تساوي صفرًا، فلا يمكن أن يقع الحدث، وإذا كان واحدًا، فسيقع الحدث باحتمال مائة بالمائة. كلما اقتربت P من الواحد، زادت احتمالية النتيجة الناجحة، والعكس صحيح، إذا كانت قريبة من الصفر، فسيحدث الحدث باحتمالية منخفضة.

الاختصارات

قد تحتوي مشكلة الاحتمالية التي ستواجهها قريبًا على الاختصارات التالية:

• ف و ف(X)؛
• أ، ب، ج، الخ؛

البعض الآخر ممكن أيضًا: سيتم تقديم توضيحات إضافية حسب الضرورة. ونقترح أولاً توضيح الاختصارات الموضحة أعلاه. أول واحد في قائمتنا هو مضروب. ولتوضيح الأمر نعطي أمثلة: 5!=1*2*3*4*5 أو 3!=1*2*3. بعد ذلك، تتم كتابة المجموعات المحددة بين قوسين متعرجين، على سبيل المثال: (1;2;3;4;..;n) أو (10;140;400;562). التدوين التالي هو مجموعة الأعداد الطبيعية، والتي توجد غالبًا في المهام المتعلقة بنظرية الاحتمالات. كما ذكرنا سابقًا، P هو احتمال، وP(X) هو احتمال وقوع حدث X. تتم الإشارة إلى الأحداث بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية، على سبيل المثال: A - تم التقاط كرة بيضاء، B - أزرق ، ج - أحمر أو على التوالي. الحرف الصغير n هو عدد جميع النتائج المحتملة، وm هو عدد النتائج الناجحة. من هنا نحصل على قاعدة إيجاد الاحتمال الكلاسيكي في المسائل الأولية: P = m/n. ربما تقتصر نظرية الاحتمالية "للدمى" على هذه المعرفة. الآن، للدمج، دعنا ننتقل إلى الحل.

المشكلة 1. التوافقيات

تتكون المجموعة الطلابية من ثلاثين شخصًا، ومن الضروري اختيار رئيس ونائبه وزعيم نقابي. من الضروري العثور على عدد الطرق للقيام بهذا الإجراء. قد تظهر مهمة مماثلة في امتحان الدولة الموحدة. قد تتضمن نظرية الاحتمال، وحل المشكلات التي ندرسها الآن، مشاكل من مسار التوافقيات، وإيجاد الاحتمال الكلاسيكي، والاحتمال الهندسي، ومشاكل في الصيغ الأساسية. في هذا المثال، نقوم بحل مهمة من دورة التوافقيات. دعونا ننتقل إلى الحل. هذه المهمة هي الأبسط:

1. n1=30 - الرؤساء المحتملون لمجموعة الطلاب؛
2. n2=29 - من يمكنه تولي منصب النائب؛
3. n3=28 شخصًا يتقدمون لوظيفة نقابي.

كل ما علينا فعله هو إيجاد العدد الممكن من الخيارات، أي مضاعفة جميع المؤشرات. ونتيجة لذلك نحصل على: 30*29*28=24360.

سيكون هذا هو الجواب على السؤال المطروح.

المشكلة 2. إعادة الترتيب

هناك 6 مشاركين يتحدثون في المؤتمر، ويتم تحديد الترتيب عن طريق القرعة. علينا إيجاد عدد خيارات السحب الممكنة. في هذا المثال، نحن نفكر في تبديل ستة عناصر، أي أننا بحاجة إلى العثور على 6!

وفي فقرة الاختصارات سبق أن ذكرنا ماهيتها وكيفية حسابها. في المجموع، اتضح أن هناك 720 خيار رسم. للوهلة الأولى، المهمة الصعبة لها حل قصير وبسيط للغاية. هذه هي المهام التي تأخذها في الاعتبار نظرية الاحتمالات. سننظر في كيفية حل المشكلات ذات المستوى الأعلى في الأمثلة التالية.

المشكلة 3

يجب تقسيم مجموعة مكونة من خمسة وعشرين طالبًا إلى ثلاث مجموعات فرعية مكونة من ستة وتسعة وعشرة أشخاص. لدينا: ن=25، ك=3، ن1=6، ن2=9، ن3=10. يبقى استبدال القيم في الصيغة المطلوبة، نحصل على: N25(6,9,10). بعد حسابات بسيطة، نحصل على الجواب - 16360143800. إذا كانت المهمة لا تقول أنه من الضروري الحصول على حل عددي، فيمكن إعطاؤها في شكل مضروب.

المشكلة 4

ثلاثة أشخاص خمنوا الأرقام من واحد إلى عشرة. أوجد احتمالية تطابق أرقام شخص ما. أولًا، علينا معرفة عدد جميع النتائج، وهو في حالتنا ألف، أي عشرة أس ثلاثة. والآن دعونا نوجد عدد الخيارات عندما يخمن الجميع أرقامًا مختلفة، وللقيام بذلك نضرب عشرة، وتسعة، وثمانية. من أين أتت هذه الأرقام؟ الأول يخمن رقمًا، ولديه عشرة خيارات، والثاني لديه تسعة بالفعل، والثالث يحتاج إلى الاختيار من بين الثمانية المتبقية، لذلك نحصل على 720 خيارًا ممكنًا. كما حسبنا سابقًا، هناك 1000 خيار في المجموع، وبدون تكرار هناك 720، لذلك نحن مهتمون بالـ 280 المتبقية. الآن نحن بحاجة إلى صيغة لإيجاد الاحتمال الكلاسيكي: P = . لقد تلقينا الجواب: 0.28.

يمكن تقسيم الأحداث التي تحدث في الواقع أو في خيالنا إلى 3 مجموعات. هذه أحداث معينة ستحدث بالتأكيد، وأحداث مستحيلة، وأحداث عشوائية. تدرس نظرية الاحتمالات الأحداث العشوائية، أي. الأحداث التي قد تحدث أو لا تحدث. ستقدم هذه المقالة بإيجاز نظرية صيغ الاحتمالية وأمثلة لحل المشكلات في نظرية الاحتمالات، والتي ستكون في المهمة 4 من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (مستوى الملف الشخصي).

لماذا نحتاج إلى نظرية الاحتمالات؟

تاريخيًا، ظهرت الحاجة إلى دراسة هذه المشكلات في القرن السابع عشر فيما يتعلق بتطور واحتراف المقامرة وظهور الكازينوهات. وكانت هذه ظاهرة حقيقية تتطلب دراستها وبحثها.

خلق لعب الورق والنرد والروليت مواقف حيث يمكن أن يحدث أي عدد محدود من الأحداث المحتملة بشكل متساوٍ. وكانت هناك حاجة إلى إعطاء تقديرات عددية لاحتمال وقوع حدث معين.

في القرن العشرين، أصبح من الواضح أن هذا العلم الذي يبدو تافهًا يلعب دورًا مهمًا في فهم العمليات الأساسية التي تحدث في العالم المصغر. تم إنشاء نظرية الاحتمال الحديثة.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات

موضوع دراسة نظرية الاحتمالات هو الأحداث واحتمالاتها. إذا كان الحدث معقدًا، فيمكن تقسيمه إلى مكونات بسيطة يسهل العثور على احتمالاتها.

يُطلق على مجموع الأحداث A و B الحدث C، والذي يتكون من حقيقة أن الحدث A، أو الحدث B، أو الحدثين A و B قد حدثا في وقت واحد.

حاصل ضرب الحدثين A وB هو الحدث C، مما يعني أن كلا من الحدث A والحدث B قد وقعا.

يُطلق على الحدثين A وB غير المتوافقين إذا لم يمكن حدوثهما في وقت واحد.

يسمى الحدث A مستحيلاً إذا لم يكن من الممكن حدوثه. يشار إلى مثل هذا الحدث بالرمز.

الحدث A يسمى مؤكد إذا كان مؤكد الحدوث. يشار إلى مثل هذا الحدث بالرمز.

دع كل حدث A يرتبط برقم P(A). يُسمى هذا الرقم P(A) باحتمالية الحدث A إذا تم استيفاء الشروط التالية مع هذه المراسلات.

هناك حالة خاصة مهمة وهي الحالة التي تكون فيها النتائج الأولية محتملة بشكل متساوٍ، وتكون هذه النتائج عشوائية من الأحداث A. في هذه الحالة، يمكن إدخال الاحتمال باستخدام الصيغة. الاحتمال المقدم بهذه الطريقة يسمى الاحتمال الكلاسيكي. يمكن إثبات أنه في هذه الحالة يتم استيفاء الخصائص من 1 إلى 4.

ترتبط مشكلات نظرية الاحتمالية التي تظهر في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بشكل أساسي بالاحتمالات الكلاسيكية. مثل هذه المهام يمكن أن تكون بسيطة للغاية. مشاكل نظرية الاحتمالات في الإصدارات التوضيحية بسيطة بشكل خاص. من السهل حساب عدد النتائج الإيجابية، حيث يتم كتابة عدد جميع النتائج بشكل صحيح في الحالة.

نحصل على الجواب باستخدام الصيغة.

مثال على مشكلة من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات حول تحديد الاحتمال

هناك 20 فطيرة على الطاولة - 5 مع الملفوف، 7 مع التفاح و 8 مع الأرز. مارينا تريد أن تأخذ الفطيرة. ما هو احتمال أن تأخذ كعكة الأرز؟

حل.

هناك 20 نتيجة أولية متساوية الاحتمال، أي أن مارينا يمكنها أن تأخذ أيًا من العشرين فطيرة. لكننا نحتاج إلى تقدير احتمال أن تأخذ مارينا فطيرة الأرز، حيث A هو اختيار فطيرة الأرز. وهذا يعني أن عدد النتائج الإيجابية (اختيارات فطائر الأرز) هو 8 فقط. ثم سيتم تحديد الاحتمال بالصيغة:

أحداث مستقلة ومتعاكسة وتعسفية

ومع ذلك، بدأ العثور على مهام أكثر تعقيدًا في بنك المهام المفتوح. ولذلك دعونا نلفت انتباه القارئ إلى قضايا أخرى تمت دراستها في نظرية الاحتمالات.

يقال إن الحدثين A وB مستقلان إذا كان احتمال كل منهما لا يعتمد على وقوع الحدث الآخر.

الحدث B هو أن الحدث A لم يحدث، أي. الحدث B معاكس للحدث A. احتمال الحدث المعاكس يساوي واحدًا ناقص احتمال الحدث المباشر، أي. .

احتمال الجمع ونظريات الضرب والصيغ

بالنسبة للأحداث العشوائية A وB، فإن احتمال مجموع هذه الأحداث يساوي مجموع احتمالاتها دون احتمال الحدث المشترك، أي. .

بالنسبة للحدثين المستقلين A وB، فإن احتمال وقوع هذين الحدثين يساوي حاصل ضرب احتمالاتهما، أي. في هذه الحالة .

تسمى العبارتان الأخيرتان نظريتي جمع وضرب الاحتمالات.

إن حساب عدد النتائج ليس بهذه البساطة دائمًا. في بعض الحالات يكون من الضروري استخدام الصيغ التوافقية. الشيء الأكثر أهمية هو حساب عدد الأحداث التي تستوفي شروطًا معينة. في بعض الأحيان يمكن أن تصبح هذه الأنواع من الحسابات مهامًا مستقلة.

بكم طريقة يمكن أن يجلس 6 طلاب في 6 مقاعد فارغة؟ سيحصل الطالب الأول على أي من الأماكن الستة. يتوافق كل خيار من هذه الخيارات مع 5 طرق ليأخذ الطالب الثاني مكانًا فيه. بقي 4 أماكن خالية للطالب الثالث، 3 للرابع، 2 للخامس، والسادس سيأخذ المركز الوحيد المتبقي. للعثور على عدد جميع الخيارات، تحتاج إلى العثور على المنتج، الذي يشار إليه بالرمز 6! ويقرأ "ستة مضروب".

في الحالة العامة، يتم تقديم الإجابة على هذا السؤال من خلال صيغة عدد التباديل للعناصر n.

دعونا الآن نفكر في حالة أخرى مع طلابنا. بكم طريقة يمكن أن يجلس طالبان في 6 مقاعد فارغة؟ سيحصل الطالب الأول على أي من الأماكن الستة. يتوافق كل خيار من هذه الخيارات مع 5 طرق ليأخذ الطالب الثاني مكانًا فيه. للعثور على عدد جميع الخيارات، تحتاج إلى العثور على المنتج.

بشكل عام، يتم الحصول على إجابة هذا السؤال من خلال صيغة عدد مواضع العناصر n على عناصر k

في حالتنا هذه .

والحالة الأخيرة في هذه السلسلة. بكم طريقة يمكنك اختيار ثلاثة طلاب من أصل ستة؟ يمكن اختيار الطالب الأول بـ 6 طرق، والثاني بـ 5 طرق، والثالث بأربع طرق. ولكن من بين هذه الخيارات، يظهر نفس الطلاب الثلاثة 6 مرات. للعثور على عدد جميع الخيارات، تحتاج إلى حساب القيمة: . بشكل عام، يتم تقديم الإجابة على هذا السؤال من خلال صيغة عدد مجموعات العناصر حسب العنصر:

في حالتنا هذه .

أمثلة على حل المسائل من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات لتحديد الاحتمالية

المهمة 1. من المجموعة التي تم تحريرها بواسطة. ياشينكو.

يوجد 30 فطيرة في الطبق: 3 باللحم، و18 بالملفوف، و9 بالكرز. تختار ساشا فطيرة واحدة بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن ينتهي به الأمر بالحصول على حبة كرز.

.

الجواب: 0.3.

المهمة 2. من المجموعة التي تم تحريرها بواسطة. ياشينكو.

في كل دفعة مكونة من 1000 مصباح كهربائي، يوجد في المتوسط ​​20 مصباحًا معيبًا. أوجد احتمال أن يعمل المصباح الكهربي المأخوذ عشوائيًا من المجموعة.

الحل: عدد المصابيح العاملة هو 1000-20=980. ثم احتمال أن يعمل المصباح الكهربائي المأخوذ عشوائيًا من الدفعة:

الجواب: 0.98.

احتمال أن يحل الطالب U أكثر من 9 مسائل بشكل صحيح أثناء اختبار الرياضيات هو 0.67. احتمال أن يحل U. أكثر من 8 مسائل بشكل صحيح هو 0.73. أوجد احتمال أن تحل U 9 مسائل بشكل صحيح.

إذا تخيلنا خط الأعداد ووضعنا علامة على النقطتين 8 و 9 عليه، فسنرى أن الشرط "U. سوف يحل بالضبط 9 مسائل بشكل صحيح" مدرج في الشرط "U. سوف يحل أكثر من 8 مسائل بشكل صحيح"، ولكن لا ينطبق على الشرط "U. سوف يحل أكثر من 9 مشاكل بشكل صحيح.

ومع ذلك، فإن الشرط "U. سوف يحل أكثر من 9 مسائل بشكل صحيح" موجود في الشرط "U. سوف يحل أكثر من 8 مشاكل بشكل صحيح. وهكذا، إذا قمنا بتعيين الأحداث: "U. سوف يحل بالضبط 9 مسائل بشكل صحيح" - من خلال A، "U. سوف يحل أكثر من 8 مسائل بشكل صحيح" - من خلال B، "U. سوف يحل بشكل صحيح أكثر من 9 مشاكل "من خلال C. سيبدو هذا الحل كما يلي:

الجواب: 0.06.

في امتحان الهندسة، يجيب الطالب على سؤال واحد من قائمة أسئلة الامتحان. احتمال أن يكون هذا سؤالًا في علم المثلثات هو 0.2. احتمال أن يكون هذا سؤالًا عن الزوايا الخارجية هو 0.15. لا توجد أسئلة تتعلق في وقت واحد بهذين الموضوعين. أوجد احتمال أن يحصل الطالب على سؤال حول أحد هذين الموضوعين في الامتحان.

دعونا نفكر في الأحداث التي لدينا. لقد حصلنا على حدثين غير متوافقين. أي إما أن السؤال سيتعلق بموضوع "علم المثلثات" أو بموضوع "الزوايا الخارجية". وفقاً لنظرية الاحتمال فإن احتمال الأحداث غير المتوافقة يساوي مجموع احتمالات كل حدث، ويجب علينا إيجاد مجموع احتمالات هذه الأحداث، أي:

الجواب: 0.35.

الغرفة مضاءة بفانوس بثلاثة مصابيح. احتمال احتراق مصباح واحد خلال عام هو 0.29. أوجد احتمال عدم احتراق مصباح واحد على الأقل خلال العام.

دعونا نفكر في الأحداث المحتملة. لدينا ثلاثة مصابيح كهربائية، كل منها قد يحترق أو لا يحترق بشكل مستقل عن أي مصباح كهربائي آخر. هذه أحداث مستقلة.

ثم سنشير إلى الخيارات لمثل هذه الأحداث. دعونا نستخدم الرموز التالية: - المصباح الكهربائي مضاء، - المصباح الكهربائي محترق. وبجانبه سنحسب احتمالية الحدث. على سبيل المثال، احتمال وقوع حدث فيه ثلاثة أحداث مستقلة "المصباح الكهربائي محترق"، "المصباح الكهربائي مضاء"، "المصباح الكهربائي مضاء": حيث احتمال وقوع الحدث "المصباح الكهربائي مضاء" يتم حساب "مضاء" على أنه احتمال الحدث المعاكس للحدث "المصباح الكهربائي غير مضاء"، وهو: .

نظرية الاحتمالية هي علم رياضي يسمح، من احتمالات بعض الأحداث العشوائية، بإيجاد احتمالات الأحداث العشوائية الأخرى المرتبطة بطريقة ما بالأولى.

عبارة عن وقوع حدث ما احتمالا، يساوي، على سبيل المثال، ½، لا يمثل بعد قيمة نهائية في حد ذاته، لأننا نسعى جاهدين للحصول على معرفة موثوقة. القيمة المعرفية النهائية هي نتائج نظرية الاحتمالات التي تسمح لنا بالقول أن احتمال وقوع حدث ما قريب جدًا من الوحدة أو (وهو نفس الشيء) احتمال عدم وقوع الحدث أ قريب جدًا من الوحدة صغير. وفقًا لمبدأ "إهمال الاحتمالات الصغيرة بما فيه الكفاية"، يعتبر مثل هذا الحدث مؤكدًا عمليًا. فيما يلي (في قسم نظريات الحد) يتبين أن الاستنتاجات من هذا النوع التي لها أهمية علمية وعملية تعتمد عادة على افتراض أن وقوع أو عدم وقوع الحدث A يعتمد على عدد كبير من العوامل العشوائية المترابطة بشكل سيئ مع بعض. لذلك، يمكننا أيضًا القول أن نظرية الاحتمالات هي علم رياضي يوضح الأنماط التي تنشأ أثناء تفاعل عدد كبير من العوامل العشوائية.

موضوع نظرية الاحتمالات.

لوصف العلاقة الطبيعية بين ظروف معينة S والحدث A، والذي يمكن تحديد حدوثه أو عدم حدوثه في ظل ظروف معينة بدقة، تستخدم العلوم الطبيعية عادةً أحد المخططين التاليين:

أ) مع كل تحقق للشروط S، يحدث الحدث A. هذا النموذج، على سبيل المثال، لديه جميع قوانين الميكانيكا الكلاسيكية، التي تنص على أنه في ظل الظروف الأولية والقوى المؤثرة على جسم أو نظام من الأجسام، فإن الحركة ستحدث بطريقة فريدة طريقة محددة.

ب) في ظل الظروف S، الحدث A له احتمال معين P (A / S)، يساوي p. لذلك، على سبيل المثال، تنص قوانين الإشعاع الإشعاعي على أنه لكل مادة مشعة هناك احتمال معين أنه من كمية معينة من المادة، سوف يتحلل عدد معين من الذرات في فترة زمنية معينة.

دعونا نطلق على تكرار الحدث A في سلسلة معينة من التجارب n (أي من n من التطبيقات المتكررة للشروط S) النسبة h = m/n للعدد m لتلك التجارب التي حدثت فيها A إلى العدد الإجمالي n . يتجلى وجود الحدث A في ظل الظروف S ذات احتمالية معينة تساوي p في حقيقة أنه في كل سلسلة طويلة بما فيه الكفاية من الاختبارات تقريبًا، يكون تكرار الحدث A مساويًا تقريبًا لـ p.

تم اكتشاف الأنماط الإحصائية، أي الأنماط الموصوفة بمخطط من النوع (ب)، لأول مرة في ألعاب القمار مثل النرد. الأنماط الإحصائية للولادة والوفاة معروفة أيضًا منذ فترة طويلة جدًا (على سبيل المثال، احتمال أن يكون المولود ذكرًا هو 0.515). أواخر القرن التاسع عشر والنصف الأول من القرن العشرين. تميزت باكتشاف عدد كبير من القوانين الإحصائية في الفيزياء والكيمياء والأحياء وغيرها.

إن إمكانية تطبيق أساليب نظرية الاحتمالات على دراسة الأنماط الإحصائية المرتبطة بمجالات العلوم البعيدة جدًا عن بعضها البعض، تعتمد على حقيقة أن احتمالات الأحداث تلبي دائمًا بعض العلاقات البسيطة، والتي سيتم مناقشتها أدناه (انظر قسم المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات). إن دراسة خصائص احتمالات الأحداث على أساس هذه العلاقات البسيطة هي موضوع نظرية الاحتمالات.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات.

يتم تعريف المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات باعتبارها تخصصًا رياضيًا ببساطة في إطار ما يسمى بنظرية الاحتمالات الأولية. كل اختبار T، الذي يتم النظر فيه في نظرية الاحتمالات الأولية، ينتهي بواحد فقط من الأحداث E1، E2،...، ES (واحد أو آخر، حسب الحالة). وتسمى هذه الأحداث نتائج المحاكمة. ترتبط كل نتيجة Ek برقم موجب pk - احتمال هذه النتيجة. يجب أن تضيف الأرقام pk ما يصل إلى واحد. ثم يتم النظر في الأحداث A، والتي تتمثل في حدوث "Ei، أو Ej،...، أو Ek". تسمى النتائج Ei، Ej،...، Ek لصالح A، وبحكم التعريف، يُفترض أن احتمال P (A) للحدث A يساوي مجموع احتمالات النتائج الملائمة له:

P (A) = pi + ps + … + pk. (1)

الحالة الخاصة p1 = p2 =... ps = 1/S تؤدي إلى الصيغة

ف (أ) = ص / ث. (2)

تعبر الصيغة (2) عن ما يسمى بالتعريف الكلاسيكي للاحتمال، والذي بموجبه يكون احتمال أي حدث A مساويًا لنسبة عدد r من النتائج المواتية لـ A إلى عدد s من جميع النتائج "الممكنة بشكل متساوٍ". إن التعريف الكلاسيكي للاحتمال لا يؤدي إلا إلى اختزال مفهوم "الاحتمال" إلى مفهوم "الاحتمال المتساوي" الذي يظل بدون تعريف واضح.

مثال. عند رمي حجري نرد، يمكن تحديد كل نتيجة من النتائج المحتملة البالغ عددها 36 (i, j)، حيث i هو عدد النقاط التي تظهر على حجر النرد الأول، وj على حجر النرد الثاني. ويفترض أن تكون النتائج محتملة بنفس القدر. الحدث أ - "مجموع النقاط هو 4"، مفضل بثلاث نتائج (1؛ 3)، (2؛ 2)، (3؛ 1). لذلك، P(A) = 3/36 = 1/12.

بناءً على أي حدث معين، يمكن تحديد حدثين جديدين: اتحادهما (المجموع) وجمعهما (المنتج). يُسمى الحدث B اتحاد الأحداث A 1، A 2،...، Ar،- إذا كان له الشكل: "إما A1، أو A2،...، أو Ar يحدث".

يُطلق على الحدث C اسم مجموعة الأحداث A1 وA.2 و... وAr إذا كان بالشكل: "يحدث كل من A1 وA2 و... وAr." يُشار إلى اتحاد الأحداث بالعلامة È، والجمع بين الأحداث بالعلامة ç. وهكذا يكتبون:

B = A1 È A2 È … È Ar، C = A1 ç A2 ç … ç Ar.

يُطلق على الحدثين A وB غير المتوافقين إذا كان حدوثهما المتزامن مستحيلًا، أي إذا لم يكن من بين نتائج الاختبار نتيجة واحدة مفضلة لكل من A وB.

ترتبط العمليات المقدمة لدمج الأحداث ودمجها بنظريتين رئيسيتين للنظرية الرياضية - نظريتي جمع وضرب الاحتمالات.

نظرية إضافة الاحتمال. إذا كانت الأحداث A1، A2،...، Ar بحيث يكون كل حدثين منها غير متناسقين، فإن احتمال اتحادهما يساوي مجموع احتمالاتهما.

لذلك، في المثال أعلاه عند رمي حجري نرد، الحدث B - "مجموع النقاط لا يتجاوز 4"، هو اتحاد ثلاثة أحداث غير متوافقة A2، A3، A4، والتي تتكون من حقيقة أن مجموع النقاط متساوي إلى 2، 3، 4 على التوالي، احتمالات هذه الأحداث 1/36؛ 2/36؛ 3/36. وفقا لنظرية الجمع، فإن الاحتمال P (B) يساوي

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

يتم تحديد الاحتمال الشرطي للحدث B بالنظر إلى الشرط A بواسطة الصيغة

والتي، كما يمكن أن يظهر، تتوافق تمامًا مع خصائص الترددات. الأحداث A1، A2،...، Ar تسمى مستقلة إذا كان الاحتمال الشرطي لكل منها، بشرط وقوع أي من الأحداث الأخرى، يساوي احتمالها "غير المشروط"

نظرية الضرب الاحتمالية. احتمال جمع الأحداث A1، A2،...، Ar يساوي احتمال الحدث A1 مضروبًا في احتمال الحدث A2، مأخوذًا بشرط وقوع A1،...، مضروبًا في احتمال الحدث Ar، بشرط وصول A1، A2،..، Ar-1. بالنسبة للأحداث المستقلة، تؤدي نظرية الضرب إلى الصيغة:

P (A1 ç A2 ç … ç Ar) = P (A1) Ї P (A2) Ї … Ї P (Ar)، (3)

أي أن احتمال دمج الأحداث المستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث. تظل الصيغة (3) صالحة إذا تم استبدال بعض الأحداث في جزأها بأضدادها.

مثال. يتم إطلاق 4 طلقات على الهدف مع احتمال إصابة يبلغ 0.2 لكل طلقة. يُفترض أن تكون الضربات المستهدفة من لقطات مختلفة أحداثًا مستقلة. ما هو احتمال إصابة الهدف ثلاث مرات بالضبط؟

يمكن الإشارة إلى كل نتيجة اختبار من خلال تسلسل من أربعة أحرف [على سبيل المثال، (y، n، n، y) تعني أن الطلقتين الأولى والرابعة أصابتا (نجاح)، ولم تصيب الطلقتان الثانية والثالثة (فشل)]. سيكون هناك 2Ї2Ї2Ї2 = 16 نتيجة. وفقاً لافتراض استقلالية نتائج الجرعات الفردية، ينبغي استخدام الصيغة (3) والملاحظة عليها لتحديد احتمالات هذه النتائج. وبالتالي، فإن احتمال النتيجة (y, n. n, n) يجب أن يساوي 0.2Ї0.8Ї0.8Ї0.8 = 0.1024؛ هنا 0.8 = 1-0.2 هو احتمال الخطأ برصاصة واحدة. يتم تفضيل حدث "إصابة الهدف ثلاث مرات" بالنتائج (y، y، y، n)، (y، y، n، y)، (y، n، y، y). (n، y، y، y)، احتمال كل منها هو نفسه:

0.2Ї0.2Ї0.2Ї0.8 =...... =0.8Ї0.2Ї0.2Ї0.2 = 0.0064;

وبالتالي فإن الاحتمال المطلوب يساوي

4Ї0.0064 = 0.0256.

بتعميم منطق المثال الذي تم تحليله، يمكننا استخلاص إحدى الصيغ الأساسية لنظرية الاحتمالات: إذا كانت الأحداث A1، A2،...، An مستقلة ولكل منها احتمال p، فإن احتمال حدوث m منها بالضبط هو يساوي

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m؛ (4)

هنا تشير Cnm إلى عدد مجموعات عناصر n من m. بالنسبة لـ n الكبيرة، تصبح الحسابات باستخدام الصيغة (4) صعبة. ليكن عدد الضربات في المثال السابق 100، ويطرح السؤال لإيجاد الاحتمال x أن يكون عدد الضربات في المدى من 8 إلى 32. تطبيق الصيغة (4) ونظرية الجمع يعطي قيمة دقيقة، ولكن من الناحية العملية تعبير غير قابل للاستخدام عن الاحتمال المطلوب

يمكن العثور على القيمة التقريبية للاحتمال x باستخدام نظرية لابلاس

والخطأ لا يتجاوز 0.0009. تظهر النتيجة التي تم العثور عليها أن حدث 8 جنيهات إسترلينية و32 جنيهًا إسترلينيًا شبه مؤكد. هذا هو المثال الأبسط، ولكنه نموذجي لاستخدام نظريات النهاية في نظرية الاحتمالات.

تتضمن الصيغ الأساسية لنظرية الاحتمالات الأولية أيضًا ما يسمى بصيغة الاحتمالية الإجمالية: إذا كانت الأحداث A1، A2،...، Ar غير متوافقة بشكل زوجي وكان اتحادها حدثًا موثوقًا، فإن احتمال أي حدث B يساوي المجموع

تعتبر نظرية الضرب الاحتمالي مفيدة بشكل خاص عند النظر في الاختبارات المركبة. يُقال إن التجربة T تتكون من تجارب T1، T2،...، Tn-1، Tn إذا كانت كل نتيجة للتجربة T عبارة عن مزيج من بعض النتائج Ai، Bj،...، Xk، Yl من النتائج المقابلة التجارب T1، T2،...، Tn-1، Tn. لسبب أو لآخر، غالبا ما تكون الاحتمالات معروفة

تصنيف الأحداث إلى الممكنة والمحتملة والعشوائية. مفاهيم الأحداث الأولية البسيطة والمعقدة. العمليات على الأحداث. التعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث عشوائي وخصائصه. عناصر التوافقيات في نظرية الاحتمالات. الاحتمال الهندسي. بديهيات نظرية الاحتمالات.

تصنيف الحدث

أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات هو مفهوم الحدث. تحت حدثفهم أي حقيقة قد تحدث نتيجة تجربة أو اختبار. تحت خبرة، أو امتحانيشير إلى تنفيذ مجموعة معينة من الشروط.

أمثلة على الأحداث:

- إصابة الهدف عند إطلاق النار من مسدس (التجربة - إطلاق النار؛ الحدث - إصابة الهدف)؛
- فقدان شعارين عند رمي قطعة نقود ثلاث مرات (التجربة - رمي قطعة نقود ثلاث مرات؛ الحدث - فقدان شارتين)؛
– ظهور خطأ قياس ضمن الحدود المحددة عند قياس المدى لهدف (تجربة – قياس مدى ؛ حدث – خطأ قياس).

ويمكن إعطاء أمثلة مماثلة لا حصر لها. تتم الإشارة إلى الأحداث بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية، وما إلى ذلك.

يميز الأحداث المشتركةو غير متوافق. تسمى الأحداث مشتركة إذا كان وقوع أحدهما لا يمنع وقوع الآخر. خلاف ذلك، تسمى الأحداث غير متوافقة. على سبيل المثال، يتم رمي قطعتين من النرد. الحدث هو خسارة ثلاث نقاط في النرد الأول، والحدث هو خسارة ثلاث نقاط في النرد الثاني. و - الأحداث المشتركة. دع المتجر يتلقى مجموعة من الأحذية من نفس الطراز والحجم ولكن بألوان مختلفة. الحدث - سيحتوي الصندوق الذي تم التقاطه عشوائيًا على حذاء أسود، وحدث - سيحتوي الصندوق على حذاء بني، و- أحداث غير متوافقة.

الحدث يسمى موثوق، إذا كان من المؤكد أن يحدث في ظل ظروف تجربة معينة.

يسمى الحدث مستحيلاً إذا لم يكن من الممكن أن يحدث في ظل ظروف تجربة معينة. على سبيل المثال، يكون حدث أخذ جزء قياسي من مجموعة الأجزاء القياسية أمرًا موثوقًا به، ولكن الجزء غير القياسي مستحيل.

الحدث يسمى ممكن، أو عشوائي، إذا كان نتيجة للتجربة قد يظهر، لكنه قد لا يظهر. مثال على حدث عشوائي يمكن أن يكون تحديد عيوب المنتج أثناء فحص مجموعة من المنتجات النهائية، أو وجود تناقض بين حجم المنتج المعالج والمنتج المحدد، أو فشل أحد الروابط في نظام التحكم الآلي.

تسمى الأحداث ممكن على قدم المساواة، إذا لم يكن أي من هذه الأحداث، وفقًا لشروط الاختبار، ممكنًا بشكل موضوعي أكثر من الأحداث الأخرى. على سبيل المثال، لنفترض أن أحد المتاجر قد تم تزويده بمصابيح كهربائية (بكميات متساوية) من خلال عدة مصانع. الأحداث التي تنطوي على شراء مصباح كهربائي من أي من هذه المصانع ممكنة أيضًا.

مفهوم مهم هو مجموعة كاملة من الأحداث. تشكل العديد من الأحداث في تجربة معينة مجموعة كاملة إذا كان من المؤكد ظهور واحد منها على الأقل كنتيجة للتجربة. على سبيل المثال، تحتوي الجرة على عشر كرات، ستة منها حمراء، وأربع بيضاء، وخمس كرات بها أرقام. - ظهور كرة حمراء خلال السحب الواحد، - ظهور كرة بيضاء، - ظهور كرة ذات رقم. تشكل الأحداث مجموعة كاملة من الأحداث المشتركة.

دعونا نقدم مفهوم الحدث المعاكس أو الإضافي. تحت عكسيُفهم الحدث على أنه حدث يجب أن يحدث بالضرورة إذا لم يقع حدث ما. الأحداث المتضادة غير متوافقة وهي الوحيدة الممكنة. أنها تشكل مجموعة كاملة من الأحداث. على سبيل المثال، إذا كانت مجموعة من المنتجات المصنعة تتكون من منتجات جيدة ومعيبة، فعند إزالة منتج واحد، قد يتبين أنه إما حدث جيد أو حدث معيب.

العمليات على الأحداث

عند تطوير جهاز ومنهجية لدراسة الأحداث العشوائية في نظرية الاحتمالات، فإن مفهوم مجموع وحاصل الأحداث مهم للغاية.

مجموع أو اتحاد عدة أحداث هو حدث يتكون من وقوع حدث واحد على الأقل من هذه الأحداث.

يشار إلى مجموع الأحداث على النحو التالي:

على سبيل المثال، إذا كان الحدث يضرب الهدف بالطلقة الأولى، الحدث - بالثانية، فإن الحدث يصيب الهدف بشكل عام، لا يهم بأي طلقة - الأولى أو الثانية أو كليهما.

إن نتاج أو تقاطع عدة أحداث هو حدث يتكون من وقوع كل هذه الأحداث بشكل مشترك.

يشار إلى إنتاج الأحداث

فمثلاً، إذا كان الحدث هو إصابة الهدف بالطلقة الأولى، فالحدث هو إصابة الهدف بالطلقة الثانية، فالحدث هو إصابة الهدف بالطلقتين.

إن مفهومي مجموع وحاصل الأحداث لهما تفسير هندسي واضح. ليكن الحدث يتكون من نقطة الدخول إلى المنطقة، الحدث يتكون من الدخول إلى المنطقة، فالحدث يتكون من نقطة الدخول إلى المنطقة المظللة في الشكل. 1، والحدث هو عندما تصطدم نقطة بالمنطقة المظللة في الشكل 1. 2.

التعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث عشوائي

ولمقارنة الأحداث كميا وفقا لدرجة احتمال حدوثها، يتم تقديم مقياس عددي، وهو ما يسمى احتمال وقوع حدث ما.

احتمال وقوع حدث ما هو رقم يعبر عن مقياس الاحتمال الموضوعي لحدوث حدث ما.

سيتم الإشارة إلى احتمال وقوع حدث بالرمز.

إن احتمال وقوع حدث ما يساوي نسبة عدد الحالات المؤاتية له، من إجمالي عدد الحالات المحتملة الفريدة والمتساوية وغير المتوافقة، إلى العددأي.

هذا هو التعريف الكلاسيكي للاحتمال. وبالتالي، للعثور على احتمالية حدث ما، من الضروري، بعد النظر في النتائج المختلفة للاختبار، العثور على مجموعة من الحالات المحتملة الفريدة والمتساوية وغير المتوافقة، وحساب العدد الإجمالي لها، وعدد الحالات المواتية لحالة معينة الحدث، ثم قم بإجراء الحساب باستخدام الصيغة (1.1).

يترتب على الصيغة (1.1) أن احتمال وقوع الحدث هو رقم غير سالب ويمكن أن يختلف من صفر إلى واحد اعتمادًا على نسبة العدد المناسب للحالات من إجمالي عدد الحالات:

خصائص الاحتمال

الخاصية 1. إذا كانت جميع الحالات مواتية لحدث معين، فمن المؤكد أن هذا الحدث سيحدث. وبالتالي فإن الحدث المعني موثوق به، واحتمال وقوعه هو كما في هذه الحالة

الملكية 2. إذا لم تكن هناك حالة واحدة مواتية لحدث معين، فلا يمكن أن يحدث هذا الحدث نتيجة للتجربة. وبالتالي فإن الحدث المعني مستحيل، واحتمال وقوعه هو، لأنه في هذه الحالة:

الملكية 3. احتمال وقوع الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة يساوي واحدًا.

الخاصية 4. يتم تحديد احتمال وقوع الحدث المعاكس بنفس طريقة تحديد احتمال وقوع الحدث:

حيث هو عدد الحالات المؤاتية لحدوث الحدث المعاكس. ومن ثم فإن احتمال وقوع الحدث المعاكس يساوي الفرق بين الوحدة واحتمال وقوع الحدث:

من المزايا المهمة للتعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث ما هو أنه بمساعدته يمكن تحديد احتمالية الحدث دون اللجوء إلى الخبرة، ولكن بناءً على التفكير المنطقي.

مثال 1. أثناء طلب رقم هاتف، نسي المشترك رقمًا واحدًا وقام بالاتصال به بشكل عشوائي. أوجد احتمالية طلب الرقم الصحيح.

حل. دعونا نشير إلى الحدث الذي تم فيه طلب الرقم المطلوب. يمكن للمشترك طلب أي من الأرقام العشرة، وبالتالي فإن العدد الإجمالي للنتائج المحتملة هو 10. هذه النتائج هي الوحيدة الممكنة (يجب طلب أحد الأرقام) وممكنة بنفس القدر (يتم طلب الرقم عشوائيًا). هناك نتيجة واحدة فقط تفضل الحدث (يوجد رقم واحد مطلوب فقط). الاحتمال المطلوب يساوي نسبة عدد النتائج المواتية للحدث إلى عدد جميع النتائج:

عناصر التوافقيات

في نظرية الاحتمالات، غالبًا ما يتم استخدام المواضع والتباديل والتركيبات. إذا تم إعطاء مجموعة، ثم التنسيب (الجمع)من العناصر بواسطة هي أي مجموعة فرعية مرتبة (غير مرتبة) من عناصر المجموعة. عندما يتم وضعها تسمى إعادة ترتيبمن العناصر.

دعونا، على سبيل المثال، تعطى مجموعة. مواضع العناصر الثلاثة لهذه المجموعة المكونة من عنصرين هي , , , , ; مجموعات - , .

تختلف المجموعتان في عنصر واحد على الأقل، وتختلف المواضع إما في العناصر نفسها أو في الترتيب الذي تظهر به. يتم حساب عدد مجموعات العناصر بواسطة الصيغة

هو عدد مواضع العناصر بواسطة ؛ - عدد التباديل من العناصر.

مثال 2. في مجموعة مكونة من 10 أجزاء يوجد 7 أجزاء قياسية. أوجد احتمال وجود 4 أجزاء قياسية بالضبط من بين 6 أجزاء مأخوذة عشوائيًا.

حل. إجمالي عدد نتائج الاختبار المحتملة يساوي عدد الطرق التي يمكن من خلالها استخراج 6 أجزاء من 10، أي يساوي عدد مجموعات 10 عناصر من 6. عدد النتائج المفضلة للحدث (من بين 6) الأجزاء المأخوذة هناك بالضبط 4 أجزاء قياسية) يتم تحديدها على النحو التالي: يمكن أخذ 4 أجزاء قياسية من 7 أجزاء قياسية بطرق مختلفة؛ وفي هذه الحالة، يجب أن تكون الأجزاء المتبقية غير قياسية؛ هناك طرق لأخذ جزأين غير قياسيين من الأجزاء غير القياسية. وبالتالي فإن عدد النتائج الإيجابية يساوي . الاحتمال الأولي يساوي نسبة عدد النتائج المفضلة للحدث إلى عدد جميع النتائج:

التعريف الإحصائي للاحتمال

تُستخدم الصيغة (1.1) لحساب احتمالات الأحداث بشكل مباشر فقط عندما يتم تقليل الخبرة إلى نمط من الحالات. من الناحية العملية، غالبًا ما لا يكون التعريف الكلاسيكي للاحتمال قابلاً للتطبيق لسببين: أولاً، يفترض التعريف الكلاسيكي للاحتمال أن العدد الإجمالي للحالات يجب أن يكون محدودًا. في الواقع، غالبا ما تكون غير محدودة. ثانيًا، غالبًا ما يكون من المستحيل تقديم نتائج التجربة في شكل أحداث متساوية الإمكانية وغير متوافقة.

يميل تكرار حدوث الأحداث أثناء التجارب المتكررة إلى الاستقرار حول قيمة ثابتة معينة. وبالتالي، يمكن ربط قيمة ثابتة معينة بالحدث قيد النظر، حيث يتم تجميع الترددات حولها، وهي خاصية الاتصال الموضوعي بين مجموعة الشروط التي يتم بموجبها إجراء التجارب والحدث.

احتمال وقوع حدث عشوائي هو العدد الذي يتم تجميع تكرارات هذا الحدث فيه مع زيادة عدد التجارب.

ويسمى هذا التعريف للاحتمال إحصائية.

ميزة الطريقة الإحصائية لتحديد الاحتمالية هي أنها تعتمد على تجربة حقيقية. ومع ذلك، فإن عيبه الكبير هو أنه لتحديد الاحتمالية، من الضروري إجراء عدد كبير من التجارب، والتي غالبًا ما ترتبط بتكاليف المواد. التعريف الإحصائي لاحتمال وقوع حدث ما، على الرغم من أنه يكشف بشكل كامل عن محتوى هذا المفهوم، إلا أنه لا يجعل من الممكن حساب الاحتمال فعليًا.

يأخذ التعريف الكلاسيكي للاحتمال في الاعتبار المجموعة الكاملة لعدد محدود من الأحداث المحتملة بنفس القدر. ومن الناحية العملية، في كثير من الأحيان يكون عدد نتائج الاختبار المحتملة لا نهائيًا. في مثل هذه الحالات، لا ينطبق التعريف الكلاسيكي للاحتمال. ومع ذلك، في بعض الأحيان في مثل هذه الحالات يمكنك استخدام طريقة أخرى لحساب الاحتمالية. ومن أجل التحديد، فإننا نقتصر على الحالة ثنائية الأبعاد.

دع منطقة معينة من المساحة تحتوي على منطقة أخرى من المساحة تعطى على المستوى (الشكل 3). يتم إلقاء نقطة في المنطقة بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن تقع نقطة في المنطقة؟ ومن المفترض أن نقطة ألقيت عشوائيا يمكن أن تضرب أي نقطة في المنطقة، واحتمال ضرب أي جزء من المنطقة يتناسب مع مساحة الجزء ولا يعتمد على موقعه وشكله. في هذه الحالة، يكون احتمال إصابة المنطقة عند رمي نقطة بشكل عشوائي داخل المنطقة هو

وهكذا، في الحالة العامة، إذا كان احتمال الظهور العشوائي لنقطة ما داخل مساحة معينة على خط أو مستوى أو في الفضاء لا يتحدد بموضع هذه المساحة وحدودها، بل فقط بحجمها، أي طولها. أو المساحة أو الحجم، إذن يتم تعريف احتمالية سقوط نقطة عشوائية داخل منطقة معينة على أنها نسبة حجم هذه المنطقة إلى حجم المنطقة بأكملها التي يمكن أن تظهر فيها نقطة معينة. هذا هو التعريف الهندسي للاحتمال.

مثال 3. يدور هدف مستدير بسرعة زاوية ثابتة. تم طلاء خمس الهدف باللون الأخضر، والباقي باللون الأبيض (الشكل 4). يتم إطلاق النار على الهدف بطريقة تجعل إصابة الهدف حدثًا موثوقًا به. تحتاج إلى تحديد احتمالية إصابة القطاع المستهدف باللون الأخضر.

حل. لنشير إلى أن "الطلقة أصابت القطاع الملون باللون الأخضر". ثم . يتم الحصول على الاحتمالية من خلال نسبة مساحة جزء الهدف المطلي باللون الأخضر إلى مساحة الهدف بأكملها، حيث أن الضربات على أي جزء من الهدف ممكنة بنفس القدر.

بديهيات نظرية الاحتمالات

من التعريف الإحصائي لاحتمال وقوع حدث عشوائي، يترتب على ذلك أن احتمال وقوع حدث ما هو الرقم الذي يتم حوله تجميع تكرارات هذا الحدث الملاحظ تجريبيا. لذلك، تم تقديم بديهيات نظرية الاحتمالات بحيث يكون لاحتمال وقوع حدث ما الخصائص الأساسية للتكرار.

اكسيوم 1. ويقابل كل حدث رقمًا معينًا يحقق الشرط ويسمى احتماله.