الكسور العادية والعشرية والعمليات عليها. الأعداد العشرية، التعاريف، التدوين، الأمثلة، العمليات على الكسور العشرية كيفية حل الأمثلة مع الكسور العشرية

بالفعل في المدرسة الابتدائية، يتعرض الطلاب للكسور. وبعد ذلك تظهر في كل موضوع. لا يمكنك أن تنسى الإجراءات بهذه الأرقام. لذلك، تحتاج إلى معرفة كافة المعلومات حول الكسور العادية والعشرية. هذه المفاهيم ليست معقدة، والشيء الرئيسي هو فهم كل شيء بالترتيب.

لماذا هناك حاجة للكسور؟

العالم من حولنا يتكون من أشياء كاملة. ولذلك، ليست هناك حاجة للأسهم. لكن الحياة اليومية تدفع الناس باستمرار إلى العمل مع أجزاء من الأشياء والأشياء.

على سبيل المثال، تتكون الشوكولاتة من عدة قطع. فكر في موقف يتكون فيه بلاطه من اثني عشر مستطيلاً. وإذا قسمته إلى قسمين، تحصل على 6 أجزاء. يمكن تقسيمها بسهولة إلى ثلاثة. لكن لن يكون من الممكن إعطاء خمسة أشخاص عدداً كاملاً من شرائح الشوكولاتة.

بالمناسبة، هذه الشرائح هي بالفعل كسور. ويؤدي تقسيمها الإضافي إلى ظهور أرقام أكثر تعقيدًا.

ما هو "الكسر"؟

هذا رقم يتكون من أجزاء من الوحدة. ظاهريًا، يبدو وكأنه رقمين مفصولين بشرطة أفقية أو مائلة. هذه الميزة تسمى كسور. الرقم المكتوب في الأعلى (يسار) يسمى البسط. ما هو في الأسفل (يمين) هو المقام.

في الأساس، تبين أن الشرطة المائلة هي علامة قسمة. أي أن البسط يمكن أن يسمى المقسوم، والمقام يمكن أن يسمى المقسوم عليه.

ما هي الكسور هناك؟

في الرياضيات هناك نوعان فقط: الكسور العادية والعشرية. يتعرف تلاميذ المدارس على الأوائل في المدرسة الابتدائية، ويطلقون عليهم ببساطة اسم "الكسور". سيتم تعلم هذا الأخير في الصف الخامس. وذلك عندما تظهر هذه الأسماء.

الكسور المشتركة هي كل تلك التي تتم كتابتها كرقمين يفصل بينهما خط. على سبيل المثال، 4/7. العلامة العشرية هي رقم يحتوي الجزء الكسري فيه على تدوين موضعي ويتم فصله عن الرقم الصحيح بفاصلة. على سبيل المثال، 4.7. يحتاج الطلاب إلى أن يفهموا بوضوح أن المثالين المذكورين هما رقمان مختلفان تمامًا.

يمكن كتابة كل كسر بسيط على صورة عدد عشري. هذا البيان هو دائما تقريبا صحيح في الاتجاه المعاكس. هناك قواعد تسمح لك بكتابة الكسر العشري على هيئة كسر عادي.

ما هي الأنواع الفرعية التي تمتلكها هذه الأنواع من الكسور؟

من الأفضل أن تبدأ بالترتيب الزمني، حيث تتم دراستها. الكسور المشتركة تأتي أولا. من بينها يمكن تمييز 5 أنواع فرعية.

صحيح. بسطه دائمًا أقل من مقامه.

خطأ. بسطه أكبر من مقامه أو يساويه.

قابل للاختزال / غير قابل للاختزال. وقد يتبين أنها إما صحيحة أو خاطئة. الأمر المهم الآخر هو ما إذا كان البسط والمقام لهما عوامل مشتركة. إذا كان هناك، فمن الضروري تقسيم كلا جزأين الكسر عليهما، أي تقليله.

مختلط. يتم تعيين عدد صحيح للجزء الكسري المعتاد (غير المنتظم). علاوة على ذلك، فهو دائمًا على اليسار.

مركب. ويتكون من كسرين مقسومين على بعضهما البعض. أي أنه يحتوي على ثلاثة خطوط كسرية في وقت واحد.

تحتوي الكسور العشرية على نوعين فرعيين فقط:

محدود، أي جزء كسري محدود (له نهاية)؛

لانهائي - رقم لا تنتهي أرقامه بعد العلامة العشرية (يمكن كتابتها إلى ما لا نهاية).

كيفية تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي؟

إذا كان هذا عددًا محدودًا، فسيتم تطبيق الارتباط بناءً على القاعدة - كما أسمع، أكتب. أي أنك تحتاج إلى قراءتها بشكل صحيح وكتابتها، ولكن بدون فاصلة، ولكن باستخدام شريط كسور.

كتلميح حول المقام المطلوب، عليك أن تتذكر أنه دائمًا واحد وعدة أصفار. تحتاج إلى كتابة أكبر عدد ممكن من الأرقام في الجزء الكسري من الرقم المعني.

كيفية تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية إذا كان الجزء الصحيح منها مفقودا، أي يساوي الصفر؟ على سبيل المثال، 0.9 أو 0.05. بعد تطبيق القاعدة المحددة، اتضح أنك بحاجة إلى كتابة أعداد صحيحة صفرية. ولكن لم يتم الإشارة إلى ذلك. كل ما تبقى هو كتابة الأجزاء الكسرية. سيكون للرقم الأول مقام 10، والثاني سيكون مقامه 100. أي أن الأمثلة المقدمة ستحتوي على الأرقام التالية كإجابات: 9/10، 5/100. علاوة على ذلك، اتضح أن الأخير يمكن تخفيضه بمقدار 5. لذلك، يجب كتابة النتيجة كـ 1/20.

كيف يمكنك تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي إذا كان الجزء الصحيح منه يختلف عن الصفر؟ على سبيل المثال، 5.23 أو 13.00108. وفي كلا المثالين يُقرأ الجزء كاملاً وتُكتب قيمته. في الحالة الأولى هو 5، في الثانية هو 13. ثم تحتاج إلى الانتقال إلى الجزء الكسري. ومن المفترض أن يتم تنفيذ نفس العملية معهم. يظهر الرقم الأول 23/100، والثاني - 108/100000. يجب تخفيض القيمة الثانية مرة أخرى. الجواب يعطي الكسور المختلطة التالية: 5 23/100 و 13 27/25000.

كيفية تحويل الكسر العشري اللانهائي إلى كسر عادي؟

إذا كانت غير دورية، فلن تكون هذه العملية ممكنة. ترجع هذه الحقيقة إلى حقيقة أن كل كسر عشري يتم تحويله دائمًا إلى كسر محدود أو كسر دوري.

الشيء الوحيد الذي يمكنك فعله بهذا الكسر هو تقريبه. ولكن بعد ذلك سيكون العدد العشري مساويًا تقريبًا لذلك اللانهائي. يمكن بالفعل أن تتحول إلى عادية. لكن العملية العكسية: التحويل إلى الرقم العشري لن يعطي القيمة الأولية أبدًا. أي أن الكسور غير الدورية اللانهائية لا يتم تحويلها إلى كسور عادية. هذا يحتاج إلى أن نتذكر.

كيف تكتب كسرًا دوريًا لا نهائيًا ككسر عادي؟

في هذه الأرقام، يوجد دائمًا رقم واحد أو أكثر بعد العلامة العشرية المتكررة. يطلق عليهم فترة. على سبيل المثال، 0.3(3). هنا "3" في هذه الفترة. يتم تصنيفها على أنها كسرية لأنه يمكن تحويلها إلى كسور عادية.

أولئك الذين واجهوا الكسور الدورية يعرفون أنها يمكن أن تكون نقية أو مختلطة. في الحالة الأولى، تبدأ الفترة مباشرة من الفاصلة. وفي الثاني يبدأ الجزء الكسري ببعض الأرقام، ثم يبدأ التكرار.

ستكون القاعدة التي تحتاج من خلالها إلى كتابة كسر عشري لا نهائي ككسر عادي مختلفة بالنسبة لنوعي الأرقام المشار إليهما. من السهل جدًا كتابة الكسور الدورية النقية ككسور عادية. كما هو الحال مع الأرقام المحدودة، يجب تحويلها: اكتب الفترة في البسط، وسيكون المقام هو الرقم 9، مكررًا عدة مرات مثل عدد الأرقام التي تحتوي عليها الفترة.

على سبيل المثال، 0،(5). لا يحتوي الرقم على جزء صحيح، لذلك عليك أن تبدأ على الفور بالجزء الكسري. اكتب 5 كبسط و9 كمقام، أي أن الإجابة ستكون الكسر 5/9.

قاعدة كيفية كتابة كسر دوري عشري عادي مختلط.

انظر إلى طول الفترة. هذا هو عدد التسعات التي سيكون لها المقام.

اكتب المقام: التسعة الأولى، ثم الأصفار.

لتحديد البسط، تحتاج إلى كتابة الفرق بين رقمين. سيتم تصغير جميع الأرقام بعد العلامة العشرية، بالإضافة إلى الفترة. للخصم - إنه بدون فترة.

على سبيل المثال، 0.5(8) - اكتب الكسر العشري الدوري ككسر عادي. الجزء الكسري قبل الفترة يحتوي على رقم واحد. إذن سيكون هناك صفر واحد. يوجد أيضًا رقم واحد فقط في الفترة - 8. أي أن هناك رقمًا واحدًا فقط وهو تسعة. أي أنك تحتاج إلى كتابة 90 في المقام.

لتحديد البسط، عليك طرح 5 من 58. النتيجة هي 53. على سبيل المثال، سيتعين عليك كتابة الإجابة بالشكل 53/90.

كيف يتم تحويل الكسور إلى أعداد عشرية؟

الخيار الأبسط هو الرقم الذي مقامه هو الرقم 10، 100، إلخ. ثم يتم تجاهل المقام ببساطة، ويتم وضع فاصلة بين الأجزاء الكسرية والعددية.

هناك حالات يتحول فيها المقام بسهولة إلى 10، 100، وما إلى ذلك. على سبيل المثال، الأرقام 5، 20، 25. يكفي ضربها في 2 و 5 و 4 على التوالي. تحتاج فقط إلى ضرب ليس فقط المقام، ولكن أيضًا البسط بنفس الرقم.

بالنسبة لجميع الحالات الأخرى، هناك قاعدة بسيطة مفيدة: قسمة البسط على المقام. في هذه الحالة، قد تحصل على إجابتين محتملتين: كسر عشري محدد أو كسر عشري دوري.

العمليات على الكسور العادية

جمع وطرح

يتعرف الطلاب عليهم في وقت مبكر عن غيرهم. علاوة على ذلك، في البداية يكون للكسور نفس المقامات، ثم لها مقامات مختلفة. يمكن اختزال القواعد العامة في هذه الخطة.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.

اكتب عوامل إضافية لجميع الكسور العادية.

اضرب البسط والمقام في العوامل المحددة لها.

أضف (اطرح) بسط الكسور واترك القاسم المشترك دون تغيير.

إذا كان بسط الطرح أقل من المطروح، فعلينا معرفة ما إذا كان لدينا عدد كسري أم كسر حقيقي.

في الحالة الأولى، تحتاج إلى استعارة واحدة من الجزء بأكمله. أضف المقام إلى بسط الكسر. ومن ثم القيام بالطرح.

وفي الحالة الثانية، لا بد من تطبيق قاعدة طرح عدد أكبر من عدد أصغر. أي أنه من وحدة المطروح، اطرح وحدة الطرح، وردًا على ذلك ضع علامة "-".

انظر بعناية إلى نتيجة الجمع (الطرح). إذا حصلت على كسر غير حقيقي، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بأكمله. أي قسمة البسط على المقام.

الضرب والقسمة

ولتنفيذها، لا يلزم اختزال الكسور إلى قاسم مشترك. وهذا يجعل من السهل تنفيذ الإجراءات. لكنهم ما زالوا يطلبون منك اتباع القواعد.

عند ضرب الكسور، عليك أن تنظر إلى الأرقام الموجودة في البسط والمقامات. إذا كان هناك عامل مشترك بين البسط والمقام، فيمكن تبسيطهما.

اضرب البسطين.

اضرب المقامات.

إذا كانت النتيجة كسرًا قابلًا للاختزال، فيجب تبسيطه مرة أخرى.

عند القسمة، يجب عليك أولاً استبدال القسمة بالضرب، والمقسوم عليه (الكسر الثاني) بالكسر المتبادل (مبادلة البسط والمقام).

ثم تابع كما هو الحال مع الضرب (بدءًا من النقطة 1).

في المهام التي تحتاج فيها إلى الضرب (القسمة) على عدد صحيح، يجب كتابة الأخير ككسر غير حقيقي. أي بمقام 1. ثم تصرف كما هو موضح أعلاه.



العمليات مع الأعداد العشرية

جمع وطرح

بالطبع، يمكنك دائمًا تحويل الرقم العشري إلى كسر. والتصرف وفقا للخطة الموصوفة بالفعل. لكن في بعض الأحيان يكون التصرف أكثر ملاءمة بدون هذه الترجمة. ثم قواعد الجمع والطرح ستكون هي نفسها تمامًا.

مساواة عدد الأرقام في الجزء الكسري من الرقم، أي بعد العلامة العشرية. أضف العدد المفقود من الأصفار إليه.

اكتب الكسور بحيث تكون الفاصلة أسفل الفاصلة.

الجمع (الطرح) مثل الأعداد الطبيعية.

قم بإزالة الفاصلة.

الضرب والقسمة

من المهم ألا تحتاج إلى إضافة أصفار هنا. يجب ترك الكسور كما هي مذكورة في المثال. ومن ثم المضي قدما وفقا للخطة.

للضرب، عليك كتابة الكسور الواحدة تحت الأخرى، مع تجاهل الفواصل.

اضرب مثل الأعداد الطبيعية.

ضع فاصلة في الإجابة، عد من الطرف الأيمن للإجابة نفس عدد الأرقام الموجودة في الأجزاء الكسرية لكلا العاملين.

لإجراء القسمة، يجب عليك أولًا تحويل المقسوم عليه: جعله عددًا طبيعيًا. أي اضربه في 10، 100، وما إلى ذلك، اعتمادًا على عدد الأرقام الموجودة في الجزء الكسري من المقسوم عليه.

اضرب الأرباح بنفس الرقم.

قسمة كسر عشري على عدد طبيعي.

ضع فاصلة في إجابتك في اللحظة التي تنتهي فيها عملية تقسيم الجزء بأكمله.



ماذا لو كان أحد الأمثلة يحتوي على كلا النوعين من الكسور؟

نعم، غالبًا ما توجد أمثلة في الرياضيات تحتاج فيها إلى إجراء عمليات على الكسور العادية والعشرية. في مثل هذه المهام هناك حلان ممكنان. تحتاج إلى وزن الأرقام بشكل موضوعي واختيار الرقم الأمثل.

الطريقة الأولى: تمثيل الأعداد العشرية العادية

إنها مناسبة إذا كان القسمة أو الترجمة تؤدي إلى كسور محدودة. إذا كان رقم واحد على الأقل يعطي جزءا دوريا، فإن هذه التقنية محظورة. لذلك، حتى لو كنت لا تحب التعامل مع الكسور العادية، فسيتعين عليك عدها.

الطريقة الثانية: كتابة الكسور العشرية بالشكل المعتاد

تكون هذه التقنية ملائمة إذا كان الجزء الموجود بعد العلامة العشرية يحتوي على رقم أو رقمين. إذا كان هناك المزيد منها، فقد ينتهي بك الأمر إلى كسر مشترك كبير جدًا وسيؤدي التدوين العشري إلى جعل المهمة أسرع وأسهل في الحساب. لذلك، تحتاج دائمًا إلى تقييم المهمة بوعي واختيار أبسط طريقة للحل.

في الرياضيات، تمت دراسة أنواع مختلفة من الأرقام منذ بدايتها. هناك عدد كبير من المجموعات والمجموعات الفرعية من الأرقام. ومن بينها الأعداد الصحيحة، والمعقولة، وغير العقلانية، والطبيعية، والزوجية، والفردية، والمعقدة، والكسرية. اليوم سنقوم بتحليل المعلومات حول المجموعة الأخيرة - الأعداد الكسرية.

تعريف الكسور

الكسور هي أرقام تتكون من جزء صحيح وكسور من الوحدة. تمامًا مثل الأعداد الصحيحة، هناك عدد لا نهائي من الكسور بين عددين صحيحين. في الرياضيات، يتم إجراء العمليات على الكسور بنفس الطريقة التي يتم بها إجراء العمليات على الأعداد الصحيحة والأعداد الطبيعية. إنها بسيطة للغاية ويمكن تعلمها في بضعة دروس.

تقدم المقالة نوعين

الكسور المشتركة

الكسور العادية هي الجزء الصحيح أ وعددين مكتوبين عبر خط الكسر ب/ج. يمكن أن تكون الكسور العادية ملائمة للغاية إذا لم يكن من الممكن تمثيل الجزء الكسري بشكل عشري نسبي. بالإضافة إلى ذلك، يعد إجراء العمليات الحسابية عبر الخط الكسري أكثر ملاءمة. الجزء العلوي يسمى البسط، والجزء السفلي هو المقام.

العمليات على الكسور العادية: أمثلة

الخاصية الرئيسية للكسر. فيبضرب البسط والمقام بنفس الرقم الذي ليس صفرًا، تكون النتيجة رقمًا يساوي الرقم المعطى. تساعد خاصية الكسر هذه بشكل مثالي في جلب المقام للجمع (سيتم مناقشة ذلك أدناه) أو تقصير الكسر، مما يجعله أكثر ملاءمة للعد. أ/ب = أ*ج/ب*ج. على سبيل المثال، 36/24 = 6/4 أو 9/13 = 18/26

التخفيض إلى قاسم مشترك.للحصول على مقام الكسر، تحتاج إلى تقديم المقام في شكل عوامل، ثم الضرب في الأرقام المفقودة. على سبيل المثال، 15/7 و30/12؛ 7/5*3 و 12/5*3*2. نرى أن المقامين يختلفان بمقدار اثنين، لذلك نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 2. نحصل على: 14/30 و12/30.

الكسور المركبة- الكسور العادية مع تسليط الضوء على الجزء كله. (أ ب/ج) لتمثيل كسر مركب ككسر عادي، عليك ضرب الرقم الموجود أمام الكسر في المقام، ثم إضافته مع البسط: (A*c + b)/c.

العمليات الحسابية مع الكسور

قد تكون فكرة جيدة النظر في العمليات الحسابية المعروفة فقط عند التعامل مع الأعداد الكسرية.

جمع وطرح.إن جمع وطرح الكسور هو بنفس سهولة جمع وطرح الأعداد الصحيحة، باستثناء صعوبة واحدة - وجود خط الكسر. عند إضافة كسور لها نفس المقام، ما عليك سوى إضافة بسطي الكسرين، وتبقى المقامات دون تغيير. على سبيل المثال: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

إذا كانت قواسم الكسرين عبارة عن أرقام مختلفة، فأنت بحاجة أولاً إلى إحضارها إلى رقم مشترك (تمت مناقشة كيفية القيام بذلك أعلاه). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. يتبع الطرح نفس المبدأ تمامًا: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

الضرب والقسمة. أجراءاتيتم الضرب بالكسور وفقًا للمبدأ التالي: يتم ضرب البسط والمقام بشكل منفصل. بشكل عام، تبدو صيغة الضرب كما يلي: a/b *c/d = a*c/b*d. بالإضافة إلى ذلك، أثناء الضرب، يمكنك تقليل الكسر عن طريق حذف العوامل المتشابهة من البسط والمقام. بمعنى آخر، يتم تقسيم البسط والمقام على نفس الرقم: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

لتقسيم كسر عادي على آخر، تحتاج إلى تغيير بسط المقسوم عليه ومقامه وضرب كسرين وفقًا للمبدأ الذي تمت مناقشته سابقًا: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11*25 = 1/5

الكسور العشرية

الكسور العشرية هي النسخة الأكثر شيوعًا والأكثر استخدامًا للكسور. من الأسهل كتابتها على سطر أو عرضها على جهاز كمبيوتر. هيكل العلامة العشرية هو كما يلي: أولا يتم كتابة الرقم الصحيح، وبعد ذلك، بعد العلامة العشرية، يتم كتابة الجزء الكسري. الكسور العشرية في جوهرها هي كسور مركبة، ولكن يتم تمثيل الجزء الكسري منها برقم مقسوم على مضاعف 10. ومن هنا جاء اسمها. العمليات مع الكسور العشرية تشبه العمليات مع الأعداد الصحيحة، لأنها مكتوبة أيضًا في نظام الأرقام العشرية. أيضًا، على عكس الكسور العادية، يمكن أن تكون الكسور العشرية غير نسبية. وهذا يعني أنها يمكن أن تكون لا نهاية لها. وهي مكتوبة هكذا: 7، (3). يقرأ الإدخال التالي: سبعة فاصل ثلاثة، ثلاثة أعشار في الفترة.

العمليات الأساسية مع الأرقام العشرية

جمع وطرح الكسور العشرية.العمل مع الكسور ليس أكثر صعوبة من العمل مع الأعداد الطبيعية الصحيحة. القواعد مشابهة تمامًا لتلك المستخدمة عند جمع أو طرح الأعداد الطبيعية. ويمكن حسابها كعمود بنفس الطريقة، ولكن إذا لزم الأمر، استبدل الأماكن المفقودة بالأصفار. على سبيل المثال: 5.5697 - 1.12. من أجل إجراء عملية الطرح العمودي، تحتاج إلى مساواة عدد الأرقام بعد العلامة العشرية: (5.5697 - 1.1200). لذلك، لن تتغير القيمة الرقمية ويمكن حسابها في عمود.

لا يمكن إجراء العمليات على الكسور العشرية إذا كان لأحدها شكل غير منطقي. للقيام بذلك، تحتاج إلى تحويل كلا الرقمين إلى كسور عادية، ثم استخدم التقنيات الموضحة سابقًا.

الضرب والقسمة.ضرب الكسور العشرية يشبه ضرب الكسور الطبيعية. ويمكن أيضًا ضربها في عمود، ببساطة، دون الانتباه إلى الفاصلة، ثم فصلها بفاصلة في القيمة النهائية بنفس عدد الأرقام حيث كان الإجمالي بعد العلامة العشرية في كسرين عشريين. على سبيل المثال، 1.5 * 2.23 = 3.345. كل شيء بسيط للغاية، ولا ينبغي أن يسبب صعوبات إذا كنت قد أتقنت بالفعل ضرب الأعداد الطبيعية.

القسمة هي أيضًا نفس قسمة الأعداد الطبيعية، ولكن مع انحراف طفيف. للقسمة على رقم عشري باستخدام عمود، تحتاج إلى تجاهل العلامة العشرية في المقسوم عليه وضرب المقسوم بعدد الأرقام بعد العلامة العشرية في المقسوم عليه. ثم قم بإجراء القسمة كما هو الحال مع الأعداد الطبيعية. عند القسمة بشكل غير كامل، يمكنك إضافة أصفار إلى المقسوم على اليمين، وإضافة صفر أيضًا إلى الإجابة بعد العلامة العشرية.

أمثلة على العمليات مع الأعداد العشرية.تعتبر الكسور العشرية أداة مناسبة جدًا لإجراء العمليات الحسابية. فهي تجمع بين سهولة الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة ودقة الكسور. بالإضافة إلى ذلك، من السهل جدًا تحويل بعض الكسور إلى أخرى. العمليات مع الكسور لا تختلف عن العمليات مع الأعداد الطبيعية.

1. الجمع: 1.5 + 2.7 = 4.2
2. الطرح: 3.1 - 1.6 = 1.5
3. الضرب: 1.7 * 2.3 = 3.91
4. القسمة: 3.6: 0.6 = 6

كما أن الكسور العشرية مناسبة لتمثيل النسب المئوية. إذن 100% = 1؛ 60% = 0.6; وبالعكس: 0.659 = 65.9%.

هذا كل ما تحتاج لمعرفته حول الكسور. تناولت المقالة نوعين من الكسور - العادية والعشرية. كلاهما سهل الحساب للغاية، وإذا كنت قد أتقنت تماما الأعداد الطبيعية والعمليات معهم، فيمكنك البدء بأمان في تعلم الكسور.

سنخصص هذه المادة لموضوع مهم مثل الكسور العشرية. أولاً، دعونا نحدد التعريفات الأساسية ونعطي الأمثلة ونتناول قواعد التدوين العشري، بالإضافة إلى أرقام الكسور العشرية. بعد ذلك، نسلط الضوء على الأنواع الرئيسية: الكسور المحدودة واللانهائية، الدورية وغير الدورية. في الجزء الأخير سنبين كيف تقع النقاط المقابلة للأعداد الكسرية على محور الإحداثيات.

ما هو التدوين العشري للأرقام الكسرية

يمكن استخدام ما يسمى بالترميز العشري للأرقام الكسرية لكل من الأعداد الطبيعية والكسرية. يبدو وكأنه مجموعة من رقمين أو أكثر مع فاصلة بينهما.

هناك حاجة إلى العلامة العشرية لفصل الجزء بأكمله عن الجزء الكسري. كقاعدة عامة، الرقم الأخير من الكسر العشري ليس صفراً، إلا إذا ظهرت العلامة العشرية مباشرة بعد الصفر الأول.

ما هي بعض الأمثلة على الأعداد الكسرية في التدوين العشري؟ يمكن أن يكون هذا 34، 21، 0، 35035044، 0، 0001، 11،231،552، 9، إلخ.

في بعض الكتب المدرسية، يمكنك العثور على استخدام النقطة بدلاً من الفاصلة (5.67، 6789.1011، وما إلى ذلك) ويعتبر هذا الخيار مكافئًا، ولكنه أكثر شيوعًا بالنسبة لمصادر اللغة الإنجليزية.

تعريف الكسور العشرية

استنادا إلى مفهوم التدوين العشري أعلاه، يمكننا صياغة التعريف التالي للكسور العشرية:

التعريف 1

تمثل الكسور العشرية أرقامًا كسرية بالتدوين العشري.

لماذا نحتاج إلى كتابة الكسور بهذه الصورة؟ إنه يمنحنا بعض المزايا مقارنة بالرموز العادية، على سبيل المثال، تدوين أكثر إحكاما، خاصة في الحالات التي يحتوي فيها المقام على 1000، 100، 10، وما إلى ذلك، أو رقم مختلط. على سبيل المثال، بدلاً من 6 10 يمكننا تحديد 0.6، بدلاً من 25 10000 - 0.0023، بدلاً من 512 3 100 - 512.03.

ستتم مناقشة كيفية تمثيل الكسور العادية ذات العشرات والمئات والآلاف بشكل صحيح في المقام في شكل عشري في مادة منفصلة.

كيفية قراءة الكسور العشرية بشكل صحيح

هناك بعض القواعد لقراءة الرموز العشرية. وهكذا، فإن تلك الكسور العشرية التي تتوافق مع معادلاتها العادية العادية تُقرأ بنفس الطريقة تقريبًا، ولكن مع إضافة عبارة "صفر أعشار" في البداية. وبالتالي، فإن الإدخال 0، 14، الذي يتوافق مع 14100، يُقرأ على أنه "نقطة صفر أربعة عشر جزءًا من مائة".

إذا كان من الممكن ربط الكسر العشري برقم مختلط، فسيتم قراءته بنفس طريقة قراءة هذا الرقم. لذا، إذا كان لدينا الكسر 56,002، الذي يتوافق مع 56 2 1000، فإننا نقرأ هذا الإدخال على أنه "ستة وخمسون نقطة اثنين من الألف".

يعتمد معنى الرقم في الكسر العشري على مكان وجوده (كما هو الحال في حالة الأعداد الطبيعية). لذا، في الكسر العشري 0.7، سبعة أعشار، وفي 0.0007 يساوي عشرة آلاف، وفي الكسر 70.000.345 يعني سبعة عشرات الآلاف من الوحدات الكاملة. وهكذا، في الكسور العشرية هناك أيضا مفهوم القيمة المكانية.

أسماء الأرقام الموجودة قبل العلامة العشرية تشبه تلك الموجودة في الأعداد الطبيعية. يتم عرض أسماء الأشخاص الموجودين بعد ذلك بوضوح في الجدول:

لنلقي نظرة على مثال.

مثال 1

لدينا الكسر العشري 43,098. لديها أربعة في خانة العشرات، وثلاثة في خانة الآحاد، وصفر في خانة العشرات، و٩ في خانة الأجزاء من المائة، و٨ في خانة الأجزاء من الألف.

من المعتاد التمييز بين صفوف الكسور العشرية حسب الأسبقية. إذا انتقلنا عبر الأرقام من اليسار إلى اليمين، فسوف ننتقل من الأكثر أهمية إلى الأقل أهمية. اتضح أن المئات أكبر من العشرات، والأجزاء في المليون أصغر من أجزاء من المائة. إذا أخذنا هذا الكسر العشري الأخير الذي ذكرناه كمثال أعلاه، فإن أعلى أو أعلى مكان فيه سيكون خانة المئات، وأدنى أو أدنى منزلة سيكون خانة الـ 10 آلاف.

يمكن توسيع أي كسر عشري إلى أرقام فردية، أي تقديمه كمجموع. يتم تنفيذ هذا الإجراء بنفس الطريقة المتبعة مع الأعداد الطبيعية.

مثال 2

دعونا نحاول توسيع الكسر 56،0455 إلى أرقام.

سوف نحصل على:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

إذا تذكرنا خصائص الجمع، فيمكننا تمثيل هذا الكسر بأشكال أخرى، على سبيل المثال، بالمجموع 56 + 0، 0455، أو 56، 0055 + 0، 4، إلخ.

ما هي الكسور العشرية زائدة؟

جميع الكسور التي تحدثنا عنها أعلاه هي أعداد عشرية منتهية. وهذا يعني أن عدد الأرقام بعد العلامة العشرية محدود. دعونا نستنتج التعريف:

التعريف 1

الكسور العشرية الزائدة هي نوع من الكسور العشرية التي تحتوي على عدد محدود من المنازل العشرية بعد العلامة العشرية.

يمكن أن تكون أمثلة هذه الكسور 0، 367، 3، 7، 55، 102567958، 231 032، 49، إلخ.

يمكن تحويل أي من هذه الكسور إما إلى رقم مختلط (إذا كانت قيمة الجزء الكسري الخاص بها مختلفة عن الصفر) أو إلى كسر عادي (إذا كان الجزء الصحيح هو صفر). لقد خصصنا مقالًا منفصلاً لكيفية القيام بذلك. سنشير هنا فقط إلى بعض الأمثلة: على سبيل المثال، يمكننا اختزال الكسر العشري النهائي 5، 63 إلى الصيغة 5 63 100، و0، 2 يقابل 2 10 (أو أي كسر آخر يساويه، ل على سبيل المثال، 4 20 أو 1 5.)

لكن العملية العكسية، أي. قد لا يكون من الممكن دائمًا كتابة كسر عادي في شكل عشري. لذلك، لا يمكن استبدال 5 13 بكسر متساوٍ بمقام 100، 10، وما إلى ذلك، مما يعني أنه لا يمكن الحصول على الكسر العشري النهائي منه.

الأنواع الرئيسية للكسور العشرية اللانهائية: الكسور الدورية وغير الدورية

لقد أشرنا أعلاه إلى أن الكسور المنتهية تسمى بهذا الاسم لأنها تحتوي على عدد محدود من الأرقام بعد العلامة العشرية. ومع ذلك، قد تكون لا نهائية، وفي هذه الحالة سيتم أيضًا تسمية الكسور نفسها بأنها لا نهائية.

التعريف 2

الكسور العشرية اللانهائية هي تلك التي تحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام بعد العلامة العشرية.

من الواضح أن هذه الأرقام ببساطة لا يمكن تدوينها بالكامل، لذلك نشير إلى جزء منها فقط ثم نضيف علامة القطع. تشير هذه العلامة إلى استمرار لا نهائي لتسلسل المنازل العشرية. تتضمن أمثلة الكسور العشرية اللانهائية 0، 143346732…، 3، 1415989032…، 153، 0245005…، 2، 66666666666…، 69، 748768152…. إلخ.

قد لا يحتوي "ذيل" هذا الكسر على تسلسلات عشوائية من الأرقام فحسب، بل قد يحتوي أيضًا على تكرار مستمر لنفس الحرف أو مجموعة الأحرف. تسمى الكسور ذات الأرقام المتناوبة بعد العلامة العشرية دورية.

التعريف 3

الكسور العشرية الدورية هي تلك الكسور العشرية اللانهائية التي يتكرر فيها رقم واحد أو مجموعة من عدة أرقام بعد العلامة العشرية. الجزء المتكرر يسمى فترة الكسر.

على سبيل المثال، بالنسبة للكسر 3، 444444…. الفترة ستكون رقم 4 و لـ 76 134134134134... - المجموعة 134.

ما هو الحد الأدنى لعدد الأحرف التي يمكن تركها في تدوين الكسر الدوري؟ بالنسبة للكسور الدورية، يكفي كتابة الفترة بأكملها مرة واحدة بين قوسين. إذن، الكسر 3، 444444…. سيكون من الصحيح كتابتها بالشكل 3، (4)، و 76، 134134134134... – بالشكل 76، (134).

بشكل عام، الإدخالات التي تحتوي على عدة فترات بين قوسين سيكون لها نفس المعنى تمامًا: على سبيل المثال، الكسر الدوري 0.677777 هو نفس 0.6 (7) و0.6 (77)، وما إلى ذلك. السجلات من النموذج 0، 67777 (7)، 0، 67 (7777)، وما إلى ذلك مقبولة أيضًا.

لتجنب الأخطاء، نقدم توحيد التدوين. دعونا نتفق على كتابة فترة واحدة فقط (أقصر تسلسل ممكن من الأرقام)، وهي الأقرب إلى العلامة العشرية، ووضعها بين قوسين.

أي بالنسبة للكسر أعلاه سنعتبر المدخل الرئيسي هو 0، 6 (7)، وعلى سبيل المثال، في حالة الكسر 8، 9134343434، سنكتب 8، 91 (34).

إذا كان مقام الكسر العادي يحتوي على عوامل أولية لا تساوي 5 و 2، فعند تحويلها إلى تدوين عشري، ستؤدي إلى كسور لا نهائية.

من حيث المبدأ، يمكننا كتابة أي جزء محدود ككسر دوري. للقيام بذلك، علينا فقط إضافة عدد لا نهائي من الأصفار إلى اليمين. كيف يبدو في التسجيل؟ لنفترض أن لدينا الكسر الأخير 45، 32. في الشكل الدوري سيبدو مثل 45، 32 (0). هذا الإجراء ممكن لأن إضافة أصفار إلى يمين أي كسر عشري يؤدي إلى كسر مساوٍ له.

يجب إيلاء اهتمام خاص للكسور الدورية ذات الفترة 9، على سبيل المثال، 4، 89 (9)، 31، 6 (9). وهي عبارة عن تدوين بديل للكسور المشابهة ذات النقطة 0، لذلك غالبًا ما يتم استبدالها عند الكتابة بكسور ذات النقطة صفر. في هذه الحالة، تتم إضافة واحد إلى قيمة الرقم التالي، ويشار إلى (0) بين قوسين. يمكن التحقق من مساواة الأعداد الناتجة بسهولة من خلال تمثيلها ككسور عادية.

على سبيل المثال، يمكن استبدال الكسر 8، 31 (9) بالكسر المقابل 8، 32 (0). أو 4، (9) = 5، (0) = 5.

يتم تصنيف الكسور الدورية العشرية اللانهائية كأرقام عقلانية. بمعنى آخر، يمكن تمثيل أي كسر دوري ككسر عادي، والعكس صحيح.

هناك أيضًا كسور ليس لها تسلسل متكرر لا نهاية له بعد العلامة العشرية. في هذه الحالة، تسمى الكسور غير الدورية.

التعريف 4

الكسور العشرية غير الدورية تشمل تلك الكسور العشرية اللانهائية التي لا تحتوي على فترة بعد العلامة العشرية، أي. تكرار مجموعة من الأرقام.

في بعض الأحيان تبدو الكسور غير الدورية مشابهة جدًا للكسور الدورية. على سبيل المثال، 9، 03003000300003... للوهلة الأولى يبدو أن هناك نقطة، ولكن التحليل التفصيلي للمنازل العشرية يؤكد أن هذا لا يزال كسرًا غير دوري. عليك أن تكون حذرًا جدًا مع مثل هذه الأرقام.

يتم تصنيف الكسور غير الدورية على أنها أرقام غير منطقية. ولا يتم تحويلها إلى كسور عادية.

العمليات الأساسية مع الأعداد العشرية

يمكن إجراء العمليات التالية على الكسور العشرية: المقارنة والطرح والجمع والقسمة والضرب. دعونا ننظر إلى كل واحد منهم على حدة.

يمكن اختزال مقارنة الكسور العشرية إلى مقارنة الكسور التي تتوافق مع الكسور العشرية الأصلية. لكن الكسور غير الدورية اللانهائية لا يمكن اختزالها إلى هذا الشكل، وغالبًا ما يكون تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية مهمة كثيفة العمالة. كيف يمكننا تنفيذ إجراء المقارنة بسرعة إذا كنا بحاجة إلى القيام بذلك أثناء حل المشكلة؟ من السهل مقارنة الكسور العشرية بالأرقام بنفس الطريقة التي نقارن بها الأعداد الطبيعية. وسنخصص مقالًا منفصلاً لهذه الطريقة.

ولجمع بعض الكسور العشرية مع غيرها، من المناسب استخدام طريقة الجمع العمودي، كما هو الحال بالنسبة للأعداد الطبيعية. لإضافة كسور عشرية دورية، يجب عليك أولاً استبدالها بكسور عادية واحتسابها وفقًا للمخطط القياسي. إذا كنا، وفقًا لشروط المشكلة، بحاجة إلى إضافة عدد لا نهائي من الكسور غير الدورية، فسنحتاج أولاً إلى تقريبها إلى رقم معين، ثم إضافتها. كلما كان الرقم الذي نقرب إليه أصغر، كلما زادت دقة الحساب. بالنسبة لعمليات الطرح والضرب والقسمة للكسور اللانهائية، يعد التقريب المسبق ضروريًا أيضًا.

إيجاد الفرق بين الكسور العشرية هو معكوس الجمع. بشكل أساسي، باستخدام الطرح يمكننا العثور على رقم مجموعه مع الكسر الذي نطرحه سيعطينا الكسر الذي نقوم بتصغيره. سنتحدث عن هذا بمزيد من التفصيل في مقال منفصل.

يتم ضرب الكسور العشرية بنفس طريقة ضرب الأعداد الطبيعية. طريقة حساب العمود مناسبة أيضًا لهذا الغرض. نقوم مرة أخرى بتقليل هذا الإجراء بالكسور الدورية إلى مضاعفة الكسور العادية وفقًا للقواعد التي تمت دراستها بالفعل. كما نتذكر، يجب تقريب الكسور اللانهائية قبل إجراء العمليات الحسابية.

عملية قسمة الأعداد العشرية هي معكوس الضرب. عند حل المشكلات، نستخدم أيضًا الحسابات العمودية.

يمكنك إنشاء تطابق دقيق بين الكسر العشري النهائي ونقطة على محور الإحداثيات. دعونا نتعرف على كيفية تحديد نقطة على المحور تتوافق تمامًا مع الكسر العشري المطلوب.

لقد درسنا بالفعل كيفية بناء النقاط المقابلة للكسور العادية، ولكن يمكن اختزال الكسور العشرية إلى هذا النموذج. على سبيل المثال، الكسر المشترك 14 10 هو نفسه 1، 4، لذا ستتم إزالة النقطة المقابلة من نقطة الأصل في الاتجاه الموجب بنفس المسافة تمامًا:

يمكنك الاستغناء عن استبدال الكسر العشري بكسر عادي، ولكن استخدم طريقة التوسع بالأرقام كأساس. لذا، إذا أردنا تحديد نقطة إحداثياتها تساوي 15،4008، فسنقدم هذا الرقم أولاً كمجموع 15 + 0، 4 +، 0008. في البداية، لنضع جانبًا 15 قطعة وحدة كاملة في الاتجاه الموجب من بداية العد التنازلي، ثم 4 أعشار قطعة واحدة، ثم 8 أجزاء من عشرة آلاف من قطعة واحدة. ونتيجة لذلك، نحصل على نقطة الإحداثيات التي تتوافق مع الكسر 15، 4008.

بالنسبة للكسر العشري اللانهائي، من الأفضل استخدام هذه الطريقة، لأنها تتيح لك الاقتراب من النقطة المطلوبة بقدر ما تريد. في بعض الحالات، من الممكن إنشاء توافق دقيق لكسر لا نهائي على محور الإحداثيات: على سبيل المثال، 2 = 1، 41421. . . ، ويمكن ربط هذا الكسر بنقطة على شعاع الإحداثيات بعيدة عن 0 بطول قطري المربع الذي سيكون ضلعه مساوياً لقطعة وحدة واحدة.

إذا لم نجد نقطة على المحور، ولكن الكسر العشري المقابل لها، فإن هذا الإجراء يسمى القياس العشري للمقطع. دعونا نرى كيفية القيام بذلك بشكل صحيح.

لنفترض أننا بحاجة إلى الانتقال من الصفر إلى نقطة معينة على محور الإحداثيات (أو الاقتراب قدر الإمكان في حالة الكسر اللانهائي). للقيام بذلك، نقوم بتأجيل أجزاء الوحدة تدريجياً من الأصل حتى نصل إلى النقطة المطلوبة. بعد الأجزاء الكاملة، إذا لزم الأمر، نقوم بقياس الأجزاء من العشرة والمئات والكسور الأصغر بحيث تكون المطابقة دقيقة قدر الإمكان. ونتيجة لذلك، حصلنا على كسر عشري يتوافق مع نقطة معينة على محور الإحداثيات.

أعلاه أظهرنا رسمًا بالنقطة M. انظر إليها مرة أخرى: للوصول إلى هذه النقطة، تحتاج إلى قياس قطعة وحدة واحدة وأربعة أعشارها من الصفر، لأن هذه النقطة تتوافق مع الكسر العشري 1، 4.

إذا لم نتمكن من الوصول إلى نقطة في عملية القياس العشري، فهذا يعني أنها تقابل كسرًا عشريًا لا نهائيًا.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

من بين العديد من الكسور الموجودة في الحساب، تلك التي تحتوي على 10، 100، 1000 في المقام - بشكل عام، أي قوة للعشرة - تستحق اهتمامًا خاصًا. هذه الكسور لها اسم خاص وترميز.

الكسر العشري هو أي كسر عددي مقامه أس العشرة.

أمثلة على الكسور العشرية:

لماذا كان من الضروري فصل هذه الكسور على الإطلاق؟ لماذا يحتاجون إلى نموذج التسجيل الخاص بهم؟ هناك على الاقل ثلاثة اسباب لحدوث ذلك:

1. مقارنة الكسور العشرية أسهل بكثير. تذكر: لمقارنة الكسور العادية، تحتاج إلى طرحها من بعضها البعض، وعلى وجه الخصوص، تقليل الكسور إلى قاسم مشترك. في الكسور العشرية لا يوجد شيء مثل هذا مطلوب؛
2. تقليل الحساب. يتم جمع الأعداد العشرية وضربها وفقًا لقواعدها الخاصة، ومع القليل من التدريب ستتمكن من التعامل معها بشكل أسرع بكثير من الكسور العادية؛
3. سهولة التسجيل. على عكس الكسور العادية، تتم كتابة الكسور العشرية على سطر واحد دون فقدان الوضوح.

تعطي معظم الآلات الحاسبة أيضًا الإجابات بالأرقام العشرية. في بعض الحالات، قد يتسبب تنسيق التسجيل المختلف في حدوث مشكلات. على سبيل المثال، ماذا لو طلبت التغيير في المتجر بمبلغ 2/3 روبل :)

قواعد كتابة الكسور العشرية

الميزة الرئيسية للكسور العشرية هي التدوين المريح والمرئي. يسمى:

التدوين العشري هو شكل من أشكال كتابة الكسور العشرية حيث يتم فصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري بنقطة عادية أو فاصلة. في هذه الحالة، يسمى الفاصل نفسه (النقطة أو الفاصلة) بالفاصلة العشرية.

على سبيل المثال، 0.3 (اقرأ: "نقطة الصفر، 3 أعشار")؛ 7.25 (7 كليًا، 25 جزءًا من مائة)؛ 3.049 (3 أجزاء كاملة، 49 جزء من الألف). جميع الأمثلة مأخوذة من التعريف السابق.

في الكتابة، عادة ما يتم استخدام الفاصلة كنقطة عشرية. سيتم أيضًا استخدام الفاصلة هنا وفي جميع أنحاء الموقع.

لكتابة كسر عشري عشوائي بهذا الشكل، عليك اتباع ثلاث خطوات بسيطة:

1. اكتب البسط بشكل منفصل؛
2. انقل العلامة العشرية إلى اليسار بعدد من الأماكن يساوي عدد الأصفار في المقام. افترض أن العلامة العشرية في البداية تقع على يمين جميع الأرقام؛
3. إذا تحركت العلامة العشرية، وبعدها هناك أصفار في نهاية الإدخال، فيجب شطبها.

يحدث أنه في الخطوة الثانية لا يحتوي البسط على أرقام كافية لإكمال الإزاحة. في هذه الحالة، يتم ملء المناصب المفقودة بالأصفار. وبشكل عام، على يسار أي رقم يمكنك تعيين أي عدد من الأصفار دون الإضرار بصحتك. إنه قبيح، لكنه مفيد في بعض الأحيان.

للوهلة الأولى، قد تبدو هذه الخوارزمية معقدة للغاية. في الواقع، كل شيء بسيط للغاية - ما عليك سوى التدرب قليلاً. ألق نظرة على الأمثلة:

مهمة. لكل كسر، حدد تدوينه العشري:

بسط الكسر الأول هو: 73. نقوم بنقل العلامة العشرية بمكان واحد (بما أن المقام هو 10) - نحصل على 7.3.

بسط الكسر الثاني: 9. نقوم بتغيير العلامة العشرية بمكانين (نظرًا لأن المقام هو 100) - نحصل على 0.09. اضطررت إلى إضافة صفر بعد العلامة العشرية وصفر آخر قبلها، حتى لا أترك إدخالاً غريبًا مثل ".09".

بسط الكسر الثالث هو: 10029. نقوم بنقل العلامة العشرية بثلاثة منازل (بما أن المقام هو 1000) - نحصل على 10.029.

بسط الكسر الأخير: 10500. مرة أخرى نغير النقطة بثلاثة أرقام - نحصل على 10500. هناك أصفار إضافية في نهاية الرقم. اشطبهما وسنحصل على 10.5.

انتبه إلى المثالين الأخيرين: الرقمان 10.029 و10.5. وفقا للقواعد، يجب شطب الأصفار الموجودة على اليمين، كما حدث في المثال الأخير. ومع ذلك، لا ينبغي عليك أبدًا القيام بذلك مع الأصفار الموجودة داخل الرقم (المحاطة بأرقام أخرى). ولهذا السبب حصلنا على 10.029 و10.5، وليس 1.29 و1.5.

لذلك، توصلنا إلى تعريف وشكل كتابة الكسور العشرية. الآن دعونا نتعرف على كيفية تحويل الكسور العادية إلى أعداد عشرية - والعكس صحيح.

التحويل من الكسور إلى الكسور العشرية

خذ بعين الاعتبار كسرًا رقميًا بسيطًا من النموذج a /b. يمكنك استخدام الخاصية الأساسية للكسر وضرب البسط والمقام بهذا الرقم الذي يتحول إلى قوة العشرة. ولكن قبل أن تفعل ذلك، اقرأ ما يلي:

هناك قواسم لا يمكن اختزالها إلى قوى العشرة. تعلم كيفية التعرف على مثل هذه الكسور، لأنه لا يمكن التعامل معها باستخدام الخوارزمية الموضحة أدناه.

هذا كل شيء. حسنًا، كيف تفهم ما إذا كان المقام قد اختزل إلى قوة العشرة أم لا؟

الجواب بسيط: قم بتحليل المقام إلى عوامل أولية. إذا كان الموسع يحتوي فقط على العاملين 2 و5، فيمكن تقليل هذا الرقم إلى أس العشرة. إذا كانت هناك أرقام أخرى (3، 7، 11 - أيًا كان)، فيمكنك نسيان قوة العشرة.

مهمة. تحقق مما إذا كان من الممكن تمثيل الكسور المشار إليها ككسور عشرية:

دعونا نكتب ونقوم بتحليل مقامات هذه الكسور:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - الرقمان 2 و 5 فقط موجودان، لذلك يمكن تمثيل الكسر على شكل رقم عشري.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - يوجد عامل "ممنوع" 3. لا يمكن تمثيل الكسر كرقم عشري.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. كل شيء على ما يرام: لا يوجد شيء باستثناء الرقمين 2 و 5. يمكن تمثيل الكسر على شكل عدد عشري.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. "ظهر" العامل 3 مرة أخرى، ولا يمكن تمثيله ككسر عشري.

لذلك، قمنا بفرز المقام - الآن دعونا نلقي نظرة على الخوارزمية بأكملها للانتقال إلى الكسور العشرية:

1. قم بتحليل مقام الكسر الأصلي وتأكد من أنه يمكن تمثيله بشكل عام ككسر عشري. أولئك. تأكد من وجود العاملين 2 و5 فقط في التوسيع، وإلا فلن تعمل الخوارزمية؛
2. قم بإحصاء عدد الثنائيات والخمسات الموجودة في التوسع (لن تكون هناك أرقام أخرى، تذكر؟). اختر عاملاً إضافيًا بحيث يكون عدد الثنائيات والخمسات متساويًا.
3. في الواقع، اضرب بسط ومقام الكسر الأصلي بهذا العامل - نحصل على التمثيل المطلوب، أي. المقام سيكون قوة العشرة.

وبطبيعة الحال، سيتم تقسيم العامل الإضافي أيضًا إلى ثنائيات وخمسات فقط. في الوقت نفسه، حتى لا تعقد حياتك، يجب عليك اختيار أصغر مضاعف من كل ما هو ممكن.

وشيء آخر: إذا كان الكسر الأصلي يحتوي على جزء صحيح، فتأكد من تحويل هذا الكسر إلى كسر غير صحيح - وعندها فقط قم بتطبيق الخوارزمية الموصوفة.

مهمة. تحويل هذه الكسور العددية إلى أعداد عشرية:

دعونا نحلل مقام الكسر الأول: 4 = 2 · 2 = 2 2 . ولذلك، يمكن تمثيل الكسر ككسر عشري. يحتوي المفكوك على اثنين وليس خمسة واحدة، وبالتالي فإن العامل الإضافي هو 2 5 = 25. وبواسطته، سيكون عدد الاثنين والخمسات متساويًا. لدينا:

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الثاني. للقيام بذلك، لاحظ أن 24 = 3 8 = 3 2 3 - يوجد رقم ثلاثي في ​​المفكوك، لذلك لا يمكن تمثيل الكسر كعدد عشري.

الكسران الأخيران لهما مقامات 5 (عدد أولي) و20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 على التوالي - فقط الثنائيات والخمسات موجودة في كل مكان. علاوة على ذلك، في الحالة الأولى، "للحصول على السعادة الكاملة" لا يكفي العامل 2، وفي الحالة الثانية - 5. نحصل على:

التحويل من الكسور العشرية إلى الكسور العادية

يعد التحويل العكسي - من التدوين العشري إلى التدوين العادي - أبسط بكثير. لا توجد قيود أو ضوابط خاصة هنا، لذلك يمكنك دائمًا تحويل الكسر العشري إلى الكسر الكلاسيكي "المكون من طابقين".

خوارزمية الترجمة هي كما يلي:

1. شطب جميع الأصفار الموجودة على الجانب الأيسر من العلامة العشرية، بالإضافة إلى العلامة العشرية. سيكون هذا هو بسط الكسر المطلوب. الشيء الرئيسي هو عدم المبالغة في ذلك وعدم شطب الأصفار الداخلية المحاطة بأرقام أخرى؛
2. حساب عدد المنازل العشرية الموجودة بعد العلامة العشرية. خذ الرقم 1 وأضف عددًا من الأصفار إلى اليمين بعدد الأحرف التي تعدها. سيكون هذا هو القاسم.
3. في الواقع، اكتب الكسر الذي وجدنا بسطه ومقامه للتو. إذا كان ذلك ممكنا، والحد منه. إذا كان الكسر الأصلي يحتوي على جزء صحيح، فسنحصل الآن على كسر غير فعلي، وهو أمر مناسب جدًا لإجراء المزيد من العمليات الحسابية.

مهمة. تحويل الكسور العشرية إلى الكسور العادية: 0.008؛ 3.107؛ 2.25؛ 7,2008.

شطب الأصفار على اليسار والفواصل - نحصل على الأرقام التالية (ستكون هذه البسط): 8؛ 3107؛ 225؛ 72008.

في الكسور الأولى والثانية هناك 3 منازل عشرية، في الثانية - 2، وفي الثالث - ما يصل إلى 4 منازل عشرية. نحصل على المقامات: 1000؛ 1000؛ 100؛ 10000.

أخيرًا، دعونا نجمع البسط والمقامات في كسور عادية:

كما يتبين من الأمثلة، يمكن في كثير من الأحيان تقليل الكسر الناتج. اسمحوا لي أن أشير مرة أخرى إلى أنه يمكن تمثيل أي كسر عشري ككسر عادي. قد لا يكون التحويل العكسي ممكنًا دائمًا.

فارافونوفا ناتاليا إيجوريفنا

بعد الانتهاء من موضوع "الإجراءات مع الكسور العشرية"، لممارسة مهارات العد والتحقق من إتقان المادة، يمكنك إجراء عمل فردي مع الطلاب باستخدام البطاقات. يجب على كل طالب إكمال المهام لجميع الأنشطة دون أخطاء. هناك العديد من الخيارات لكل إجراء، وهذا يمنح كل طالب الفرصة لحل المهمة الخاصة بكل إجراء بالكسور العشرية عدة مرات وتحقيق نتيجة خالية من الأخطاء أو إكمال المهمة بأقل عدد من الأخطاء. نظرًا لأن كل طالب يكمل مهمة فردية، فإن المعلم لديه الفرصة، عندما يتم عرض المهام المكتملة عليه، لمناقشتها شخصيًا مع كل طالب. إذا ارتكب الطالب أخطاء، يقوم المعلم بتصحيحها ويعرض عليه القيام بالمهمة من خيار مختلف. وذلك حتى يكمل الطالب المهمة بأكملها أو معظمها دون أخطاء. من الأفضل عمل بطاقات على ورق ملون.

في المرحلة الأخيرة من العمل، يمكنك اقتراح حل مثال يحتوي على عدة إجراءات.

لكل خيار خالي من الأخطاء، بغض النظر عن المحاولة التي تم إكمال المهمة بشكل صحيح، يمكن منح الطلاب علامة ممتازة، أو يمكن منح درجة متوسطة بعد الانتهاء من جميع الأعمال، وفقًا لتقدير المعلم.

إضافة الكسور العشرية.

1 خيار

7,468 + 2,85

9,6 + 0,837

38,64 + 8,4

3,9 + 26,117

الخيار 2

19,45 + 34,8

4,9 + 0,716

75,86 + 4,2

5,6 + 44,408

الخيار 3

24,38 + 7,9

6,5 + 0,952

48,59 + 1,8

35,906 + 2,8

الخيار 4

7,6 + 319,75

888,99 + 4,5

64,15 + 18,9

4,5 + 0,738

الخيار 5

7,62 + 8,9

25,38 + 0,09

12,842 + 8,6

412 + 78,83

الخيار 6

70,7 + 3,8645

3,65 + 0,89

61,22 + 31.719

12,842 + 8,6

الإجابات: الخيار 1: 10.318؛ 10.437؛ 47.04؛ 30.017؛

الخيار 2: 54.25؛ 5.616؛ 80.06؛ 50.008؛

الخيار 3: 32.28؛ 7.452؛ 50.19؛ 38.706؛

الخيار 4: 327.35؛ 893.49؛ 83.05؛ 5.238؛

الخيار 5: 16.52؛ 25.47؛ 21.442؛ 490.83؛

الخيار 6: 74.5645؛ 4.54؛ 92.939؛ 21.442؛

طرح الأعداد العشرية.

1 خيار

26,38 - 9,69

41,12 - 8,6

5,2 - 3,445

7 - 0,346

الخيار 2

47,62 - 8,78

54,06 - 9,1

7,1 - 6,346

3 - 1,551

الخيار 3

50,41 - 9,62

72,03 - 6,3

9,2 - 5,453

4 - 2,662

الخيار 4

60,01 - 8,364

123,61 - 69,8

8,7 - 4,915

10 - 3,817

الخيار 5

6,52 - 3,8

7,41 - 0,758

67,351 - 9,7

22 - 0,618

الخيار 6

4,5 - 0,496

61,3 - 20,3268

24,7 - 15,276

50 - 2,38

الإجابات: الخيار 1: 16.69؛ 32.52؛ 1.755؛ 6.654؛

الخيار 2: 38.84؛ 44.96؛ 0.754؛ 1.449؛

الخيار 3: 40.79؛ 65.73؛ 3.747؛ 1.338؛

الخيار 4: 51.646؛ 53.81؛ 3.785؛ 6.183؛

الخيار 5: 2.72؛ 6.652؛ 57.651؛ 21.382؛

الخيار 6: 4.004؛ 40.9732؛ 9.424؛ 47.62؛

ضرب الأعداد العشرية.

1 خيار

7.4 3.5

20.2 3.04

0.68 0.65

2.5 840

الخيار 2

2.8 9.7

6.05 7.08

0.024 0.35

560 3.4

الخيار 3

6.8 5.9

6.06 8.05

0.65 0.014

720 4.6

الخيار 4

34.7 8.4

9.06 7.08

0.038 0.29

3.6 540

الخيار 5

62.4 2.5

0.038 9

1.8 0.009

4.125 0.16

الخيار 6

0.28 45

20.6 30.5

2.3 0.0024

0.0012 0.73

الخيار 7

68 0.15

0.08 0.012

1.4 1.04

0.32 2.125

الخيار 8

4.125 0.16

0.0012 0.73

1.4 1.04

720 4.6

الإجابات: الخيار 1: 25.9؛ 61.408؛ 0.442؛ 2100؛

الخيار 2: 27.16؛ 42.834؛ 0.0084; 1904؛

الخيار 3: 40.12؛ 48.783؛ 0.0091; 3312؛

الخيار 4: 291.48؛ 64.1448؛ 0.01102; 1944؛

الخيار 5: 156؛ 0.342؛ 0.0162؛ 0.66؛

الخيار 6: 12.6؛ 628.3؛ 0.00552; 0.000876;

الخيار 7: 10.2؛ 0.00096; 1.456؛ 0.68؛

الخيار 8: 0.66؛ 0.000876; 1.456؛ 3312؛

قسمة كسر عشري على عدد طبيعي.

1 خيار

62,5: 25

0,5: 25

9,6: 12

1,08: 8

الخيار 2

0,28: 7

0,2: 4

16,9: 13

22,5: 15

الخيار 3

0,75: 15

0,7: 35

1,6: 8

0,72: 6

الخيار 4

2,4: 6

1,5: 75

0,12: 4

1,69: 13

الخيار 5

3,5: 175

1,8: 24

10,125: 9

0,48: 16

الخيار 6

0,35: 7

1,2: 3

0,2: 5

7,2: 144

الخيار 7

151,2: 63

4,8: 32

0,7: 25

2,3: 40

الخيار 8

397,8: 78

5,2: 65

0,9: 750

3,4: 80

الخيار 9

478,8: 84

7,3: 4

0,6: 750

5,7: 80

الخيار 10

699,2: 92

1,8: 144

0,7: 875

6,3: 24

الإجابات: الخيار 1: 2.5؛ 0.02؛ 0.8؛ 0.135؛

الخيار 2: 0.04؛ 0.05؛ 1.3؛ 1.5؛

الخيار 3: 0.05؛ 0.02؛ 0.2; 0.12؛

الخيار 4: 0.4؛ 0.02؛ 0.03؛ 0.13؛

الخيار 5: 0.02؛ 0.075؛ 1.125؛ 0.03؛

الخيار 6: 0.05؛ 0.4؛ 0.04؛ 0.05؛

الخيار 7: 2.4؛ 0.15؛ 0.28؛ 0.0575;

الخيار 8: 5.1؛ 0.08؛ 0.0012; 0.0425؛

الخيار 9: 5.7؛ 1.825؛ 0.0008; 0.07125؛

الخيار 10: 7.6؛ 0.0125؛ 0.0008; 0.2625؛

القسمة على الكسر العشري.

1 خيار

32: 1,25

54: 12,5

6: 125

الخيار 2

50,02: 6,1

34,2: 9,5

67,6: 6,5

الخيار 3

2,8036: 0,4

3,1: 0,025

0,0008: 0,16

الخيار 4

4: 32

303: 75

687,4: 10

1,59: 100

الخيار 5

5: 16

336: 35

412,5: 10

24,3: 100

الخيار 6

41,82: 6,8

73,44: 3,6

7,2: 0,045

32,89: 4,6

الإجابات: الخيار 1: 25.6؛ 4.32؛ 0.048؛

الخيار 2: 8.2؛ 3.6؛ 10.4؛

الخيار 3: 7.009؛ 124؛ 0.005؛

الخيار 4: 0.125؛ 4.04؛ 68.74؛ 0.0159؛

الخيار 5: 0.3125؛ 9.6؛ 41.25؛ 0.243؛

الخيار 6: 6.15؛ 20.4؛ 160؛ 7.15؛

العمليات المشتركة مع الأعداد العشرية.

824,72 - 475: (0,071 + 0,929) + 13,8

(7.351 + 12.649) 105 - 95.48 - 4.52

(3.82 - 1.084 + 12.264) (4.27 + 1.083 - 3.353) + 83

278 - 16,7 - (15,75 + 24,328 + 39,2)

57.18 42 - 74.1: 13 + 21.35: 7

(18.8: 16 + 9.86 3) 40 - 12.73

(2 - 0.25 0.8) : (0.16: 0.5 - 0.02)

(3,625 + 0,25 + 2,75) : (28,75 + 92,25 - 15) : 0,0625

الإجابات: 1) 363.52؛ 2) 2000؛ 3) 113؛ 4) 182.022؛ 5) 2398.91؛ 6) 1217.47؛ 7) 6؛ 8) 1.