كيفية حساب مساحة المثلث بطرق مختلفة كيفية حساب مساحة المثلث . الصيغ المشتركة لجميع المثلثات التي تستخدم أطوال الأضلاع أو الارتفاعات
كما تتذكر من منهج الهندسة في مدرستك، المثلث هو شكل مكون من ثلاثة أجزاء متصلة بثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم. يشكل المثلث ثلاث زوايا، ومن هنا جاء اسم الشكل. قد يكون التعريف مختلفا. يمكن أيضًا تسمية المثلث بمضلع بثلاث زوايا، وستكون الإجابة صحيحة أيضًا. يتم تقسيم المثلثات حسب عدد الأضلاع المتساوية وحجم الزوايا في الأشكال. وهكذا، يتم تمييز المثلثات على أنها متساوية الساقين، ومتساوية الأضلاع، ومختلف الأضلاع، وكذلك مستطيلة، وحادة، ومنفرجة، على التوالي.
هناك الكثير من الصيغ لحساب مساحة المثلث. اختر كيفية العثور على مساحة المثلث، أي. ما هي الصيغة التي ستستخدمها متروك لك. ولكن تجدر الإشارة فقط إلى بعض الرموز المستخدمة في العديد من الصيغ لحساب مساحة المثلث. لذلك تذكر:
S هي مساحة المثلث
أ، ب، ج هي أضلاع المثلث،
ح هو ارتفاع المثلث
R هو نصف قطر الدائرة المقيدة،
p هو نصف المحيط.
فيما يلي الرموز الأساسية التي قد تكون مفيدة لك إذا نسيت دورة الهندسة تمامًا. فيما يلي الخيارات الأكثر مفهومة وغير المعقدة لحساب المنطقة المجهولة والغامضة للمثلث. إنه ليس بالأمر الصعب وسيكون مفيدًا لاحتياجاتك المنزلية ولمساعدة أطفالك. دعونا نتذكر كيفية حساب مساحة المثلث بسهولة قدر الإمكان:
في حالتنا مساحة المثلث هي: S = ½ * 2.2 سم * 2.5 سم = 2.75 سم مربع. تذكر أن المساحة تقاس بالسنتيمتر المربع (سم مربع).
المثلث القائم ومساحته.
المثلث القائم هو مثلث فيه زاوية واحدة تساوي 90 درجة (وبالتالي تسمى قائمة). تتكون الزاوية القائمة من خطين متعامدين (في حالة المثلث، قطعتان متعامدتان). في المثلث القائم لا يمكن أن يكون هناك سوى زاوية قائمة واحدة، لأن... مجموع زوايا أي مثلث واحد يساوي 180 درجة. اتضح أن زاويتين أخريين يجب أن تقسما الـ 90 درجة المتبقية، على سبيل المثال 70 و20، 45 و45، إلخ. لذا، تتذكر الشيء الرئيسي، كل ما تبقى هو معرفة كيفية العثور على مساحة المثلث القائم الزاوية. لنتخيل أن لدينا مثل هذا المثلث القائم الزاوية أمامنا، وعلينا إيجاد مساحته S.
1. إن أبسط طريقة لتحديد مساحة المثلث القائم الزاوية يتم حسابها باستخدام الصيغة التالية:
في حالتنا مساحة المثلث القائم هي: S = 2.5 سم * 3 سم / 2 = 3.75 سم مربع.
من حيث المبدأ، لم تعد هناك حاجة للتحقق من مساحة المثلث بطرق أخرى، لأن هذا فقط سيكون مفيدًا وسيساعد في الحياة اليومية. ولكن هناك أيضًا خيارات لقياس مساحة المثلث من خلال الزوايا الحادة.
2. بالنسبة لطرق الحساب الأخرى، يجب أن يكون لديك جدول جيب التمام وجيب التمام والظل. احكم بنفسك، إليك بعض الخيارات لحساب مساحة المثلث القائم الذي لا يزال من الممكن استخدامه:
قررنا استخدام الصيغة الأولى مع بعض البقع البسيطة (رسمناها في دفتر واستخدمنا مسطرة ومنقلة قديمتين)، لكننا حصلنا على الحساب الصحيح:
س = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). لقد حصلنا على النتائج التالية: 3.6=3.7، ولكن مع الأخذ في الاعتبار تحول الخلايا، يمكننا أن نتسامح مع هذا الفارق الدقيق.
المثلث متساوي الساقين ومساحته.
إذا كنت تواجه مهمة حساب صيغة مثلث متساوي الساقين، فإن أسهل طريقة هي استخدام الصيغة الرئيسية وما يعتبر الصيغة الكلاسيكية لمنطقة المثلث.
لكن أولاً، قبل إيجاد مساحة المثلث متساوي الساقين، دعونا نتعرف على نوع هذا الشكل. المثلث متساوي الساقين هو مثلث فيه ضلعان لهما نفس الطول. ويسمى هذان الجانبان جانبيًا، ويسمى الجانب الثالث القاعدة. لا تخلط بين مثلث متساوي الساقين ومثلث متساوي الأضلاع، أي. مثلث منتظم جميع أضلاعه الثلاثة متساوية. في مثل هذا المثلث لا توجد ميول خاصة للزوايا، أو بالأحرى لحجمها. ومع ذلك، فإن الزوايا عند القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساوية، ولكنها تختلف عن الزاوية بين الأضلاع المتساوية. إذن، أنت تعرف بالفعل الصيغة الأولى والرئيسية، ويبقى معرفة ما هي الصيغ الأخرى المعروفة لتحديد مساحة المثلث متساوي الساقين.
المثلث عبارة عن ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط وثلاثة أجزاء تربط بينها. بخلاف ذلك، المثلث هو مضلع له ثلاث زوايا بالضبط.
وتسمى هذه النقاط الثلاث رؤوس المثلث، وتسمى الأجزاء أضلاع المثلث. تشكل أضلاع المثلث ثلاث زوايا عند رؤوس المثلث.
المثلث متساوي الساقين هو المثلث الذي يكون فيه ضلعان متساويان. تسمى هذه الجوانب جانبية، ويسمى الجانب الثالث القاعدة. في المثلث المتساوي الساقين، زوايا القاعدة متساوية.
المثلث متساوي الأضلاع أو المنتظم هو الذي تكون فيه أضلاعه الثلاثة متساوية. جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية أيضًا وتساوي 60 درجة.
يتم حساب مساحة المثلث التعسفي باستخدام الصيغ: أو 
يتم حساب مساحة المثلث الأيمن بالصيغة:
يتم حساب مساحة المثلث المنتظم أو متساوي الأضلاع باستخدام الصيغ: 
أو 
أو 
أين أ,ب,ج- جوانب المثلث، ح- ارتفاع المثلث، ذ- الزاوية بين الجانبين، ر- نصف قطر الدائرة المقيدة، ص- نصف قطر الدائرة المنقوشة.
المثلث هو شخصية مألوفة لدى الجميع. وهذا على الرغم من التنوع الغني لأشكاله. مستطيل، متساوي الأضلاع، حاد، متساوي الساقين، منفرج. كل واحد منهم مختلف بطريقة ما. ولكن لأي شخص تحتاج إلى معرفة مساحة المثلث.
الصيغ المشتركة لجميع المثلثات التي تستخدم أطوال الأضلاع أو الارتفاعات
التسميات المعتمدة فيها: الجوانب - أ، ب، ج؛ الارتفاعات على الجوانب المقابلة على a، n in، n with.
1. يتم حساب مساحة المثلث على أنها حاصل ضرب ½ الضلع والارتفاع مطروحًا منه. ق = ½ * أ * ن أ. يجب كتابة الصيغ الخاصة بالجانبين الآخرين بالمثل.
2. صيغة هيرون، والتي يظهر فيها نصف المحيط (يشار إليه عادة بالحرف الصغير p، على عكس المحيط الكامل). يجب حساب نصف المحيط على النحو التالي: جمع جميع الجوانب وتقسيمها على 2. صيغة نصف المحيط هي: p = (a+b+c) / 2. ثم المساواة في مساحة يبدو الشكل كما يلي: S = √ (ص * (ص - أ) * ( Р - в) * (Р - с)).
3. إذا كنت لا تريد استخدام نصف المحيط، فستكون الصيغة التي تحتوي على أطوال الجوانب فقط مفيدة: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (أ + ج - ج) * (أ + ب - ج)). إنه أطول قليلاً من السابق، لكنه سيساعدك إذا نسيت كيفية العثور على نصف المحيط.
الصيغ العامة التي تتضمن زوايا المثلث
الرموز المطلوبة لقراءة الصيغ: α، β، γ - الزوايا. تقع على الجانبين المتقابلين أ، ب، ج، على التوالي.
1. ووفقا له، نصف منتج الجانبين وجيب الزاوية بينهما يساوي مساحة المثلث. أي: S = ½ أ * ب * الخطيئة γ. يجب كتابة الصيغ الخاصة بالحالتين الأخريين بطريقة مماثلة.
2. يمكن حساب مساحة المثلث من ضلع واحد وثلاث زوايا معروفة. S = (أ 2 * خطيئة β * خطيئة γ) / (2 خطيئة α).
3. هناك أيضًا صيغة ذات ضلع واحد معروف وزاويتين متجاورتين. يبدو كالتالي: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
الصيغتان الأخيرتان ليستا الأبسط. من الصعب جدًا تذكرهم.
الصيغ العامة للمواقف التي تكون فيها أقطار الدوائر المنقوشة أو المقيدة معروفة
تسميات إضافية: ص، ص - نصف القطر. الأول يستخدم لنصف قطر الدائرة المنقوشة. والثاني هو لمن وصفه.
1. الصيغة الأولى التي يتم من خلالها حساب مساحة المثلث تتعلق بنصف المحيط. ص = ص * ص. هناك طريقة أخرى لكتابتها وهي: S = ½ r * (a + b + c).
2. في الحالة الثانية، ستحتاج إلى ضرب جميع أضلاع المثلث وتقسيمها على أربعة أضعاف نصف قطر الدائرة المحددة. في التعبير الحرفي يبدو كما يلي: S = (a * b * c) / (4R).
3. الوضع الثالث يسمح لك بالاستغناء عن معرفة الجوانب، لكنك ستحتاج إلى قيم الزوايا الثلاث. S = 2 R 2 * الخطيئة α * الخطيئة β * الخطيئة γ.
حالة خاصة: المثلث القائم الزاوية
هذا هو الوضع الأبسط، حيث أن طول الساقين فقط هو المطلوب. تم تحديدها بالأحرف اللاتينية a و b. مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي نصف مساحة المستطيل المضاف إليه.
رياضيا يبدو كما يلي: S = ½ أ * ب. إنه الأسهل للتذكر. لأنها تشبه صيغة مساحة المستطيل، يظهر فقط كسر يشير إلى النصف.
حالة خاصة: مثلث متساوي الساقين
نظرًا لأن له ضلعين متساويين، فإن بعض الصيغ الخاصة بمساحته تبدو مبسطة إلى حد ما. على سبيل المثال، صيغة هيرون، التي تحسب مساحة المثلث المتساوي الساقين، تأخذ الشكل التالي:
S = ½ بوصة √((أ + ½ بوصة)*(أ - ½ بوصة)).
إذا قمت بتحويله، فسوف يصبح أقصر. في هذه الحالة، صيغة هيرون للمثلث متساوي الساقين مكتوبة على النحو التالي:
S = ¼ في √(4 * أ 2 - ب 2).
تبدو صيغة المساحة أبسط إلى حد ما من المثلث العشوائي إذا كانت الجوانب والزاوية بينهما معروفة. S = ½ أ 2 * الخطيئة β.
حالة خاصة: مثلث متساوي الأضلاع
عادةً ما يكون الجانب المتعلق بالمشاكل معروفًا أو يمكن اكتشافه بطريقة ما. ثم صيغة إيجاد مساحة هذا المثلث هي كما يلي:
س = (أ ٢ √٣) / ٤.
مشاكل في العثور على المنطقة إذا تم تصوير المثلث على ورق مربعات
أبسط موقف هو عندما يتم رسم مثلث قائم الزاوية بحيث تتطابق أرجله مع خطوط الورقة. ثم تحتاج فقط إلى حساب عدد الخلايا التي تتناسب مع الساقين. ثم اضربهم واقسمهم على اثنين.
عندما يكون المثلث حادًا أو منفرجًا، يجب رسمه على شكل مستطيل. ثم سيكون للشكل الناتج 3 مثلثات. واحد هو الذي ورد في المشكلة. والاثنان الآخران مساعدان ومستطيلان. يجب تحديد مناطق الأخيرين باستخدام الطريقة الموضحة أعلاه. ثم احسب مساحة المستطيل واطرح منه تلك المحسوبة للمساعدين. يتم تحديد مساحة المثلث.
تبين أن الموقف الذي لا يتطابق فيه أي من أضلاع المثلث مع خطوط الورقة هو أكثر تعقيدًا. ثم يجب أن يُدرج في مستطيل بحيث تقع رؤوس الشكل الأصلي على جوانبه. في هذه الحالة، سيكون هناك ثلاثة مثلثات قائمة مساعدة.
مثال على مشكلة باستخدام صيغة هيرون
حالة. بعض المثلثات لها جوانب معروفة. وهي تساوي 3 و 5 و 6 سم، وتحتاج إلى معرفة مساحتها.
الآن يمكنك حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة أعلاه. تحت الجذر التربيعي يوجد حاصل ضرب أربعة أرقام: 7، 4، 2 و1. أي أن المساحة هي √(4 * 14) = 2 √(14).
إذا لم تكن هناك حاجة إلى دقة أكبر، فيمكنك أخذ الجذر التربيعي لـ 14. وهو يساوي 3.74. ثم ستكون المساحة 7.48.
إجابة. ق = 2 √14 سم2 أو 7.48 سم2.
مثال على مشكلة المثلث القائم الزاوية
حالة. أحد أرجل المثلث القائم أكبر من الآخر بـ 31 سم، ويلزم معرفة أطوالهما إذا كانت مساحة المثلث 180 سم2.
حل. سيتعين علينا حل نظام من معادلتين. الأول يتعلق بالمنطقة. والثاني هو نسبة الساقين الواردة في المشكلة.
180 = ½ أ * ب؛
أ = ب + 31.
أولا، يجب استبدال قيمة "أ" في المعادلة الأولى. اتضح: 180 = ½ (في + 31) * في. لديها كمية واحدة غير معروفة فقط، لذلك من السهل حلها. وبعد فتح القوسين يتم الحصول على المعادلة التربيعية: 2 + 31 360 = 0. وهذا يعطي قيمتين لـ "في": 9 و - 40. الرقم الثاني غير مناسب كإجابة، لأن طول الضلع لا يمكن للمثلث أن يكون قيمة سالبة.
ويبقى حساب الضلع الثاني: أضف 31 إلى الرقم الناتج، وسيظهر 40. هذه هي الكميات المطلوبة في المشكلة.
إجابة. أرجل المثلث 9 و 40 سم.
مشكلة إيجاد الضلع من خلال مساحة المثلث وضلعه وزاويته
حالة. مساحة مثلث معين 60سم2. ومن الضروري حساب أحد أضلاعه إذا كان طول الضلع الثاني 15 سم والزاوية بينهما 30 درجة.
حل. بناءً على الترميز المقبول، فإن الجانب المطلوب هو "a"، والجانب المعروف هو "b"، والزاوية المعطاة هي "γ". ثم يمكن إعادة كتابة صيغة المنطقة على النحو التالي:
60 = ½ أ * 15 * خطيئة 30 درجة. هنا جيب 30 درجة يساوي 0.5.
بعد التحويلات، يصبح "أ" يساوي 60 / (0.5 * 0.5 * 15). هذا هو 16.
إجابة. الجانب المطلوب هو 16 سم.
مسألة حول المربع المدرج في المثلث القائم
حالة. يتطابق رأس مربع طول ضلعه ٢٤ سم مع الزاوية القائمة للمثلث. الاثنان الآخران يكمنان على الجانبين. والثالث ينتمي إلى الوتر. طول إحدى الأرجل 42 سم ما مساحة المثلث القائم؟
حل. النظر في اثنين من المثلثات الصحيحة. الأول هو المحدد في المهمة. والثاني مبني على الضلع المعروف للمثلث الأصلي. إنها متشابهة لأن لها زاوية مشتركة وتتكون من خطوط متوازية.
ثم تكون نسب أرجلهم متساوية. أرجل المثلث الأصغر تساوي 24 سم (ضلع المربع) و 18 سم (إذا كان طول الضلع 42 سم ناقص ضلع المربع 24 سم). الأرجل المقابلة لمثلث كبير هي 42 سم و x سم وهذا هو "x" المطلوب لحساب مساحة المثلث.
18/42 = 24/س، أي x = 24 * 42 / 18 = 56 (سم).
ثم المساحة تساوي حاصل ضرب 56 و 42 مقسوما على اثنين، أي 1176 سم2.
إجابة. المساحة المطلوبة 1176 سم2 .
المثلث هو أبسط شكل هندسي، ويتكون من ثلاثة أضلاع وثلاثة رؤوس. نظرًا لبساطته، فقد تم استخدام المثلث منذ العصور القديمة لأخذ قياسات مختلفة، واليوم يمكن أن يكون الشكل مفيدًا في حل المشكلات العملية واليومية.
مميزات المثلث
وقد استخدم هذا الرقم في الحسابات منذ القدم، فعلى سبيل المثال، يعمل مساحو الأراضي وعلماء الفلك بخصائص المثلثات لحساب المساحات والمسافات. من السهل التعبير عن مساحة أي ن مضلع من خلال مساحة هذا الشكل، وقد استخدم العلماء القدماء هذه الخاصية لاشتقاق صيغ مساحات المضلعات. أصبح العمل المستمر مع المثلثات، وخاصة المثلث القائم، الأساس لفرع كامل من الرياضيات - علم المثلثات.
هندسة المثلث
تمت دراسة خصائص الشكل الهندسي منذ العصور القديمة: تم العثور على أقدم المعلومات حول المثلث في البرديات المصرية منذ 4000 عام. ثم تمت دراسة الشكل في اليونان القديمة وأعظم المساهمات في هندسة المثلث قدمها إقليدس وفيثاغورس وهيرون. لم تتوقف دراسة المثلث أبدًا، وفي القرن الثامن عشر، قدم ليونارد أويلر مفهوم المركز المتعامد للشخصية ودائرة أويلر. في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين، عندما بدا أن كل شيء معروف تمامًا عن المثلث، صاغ فرانك مورلي نظرية مثلثات الزوايا، واقترح واكلاف سيربينسكي المثلث الكسري.
هناك عدة أنواع من المثلثات المسطحة المألوفة لنا من دورات الهندسة المدرسية:
- حادة - جميع زوايا الشكل حادة؛
- منفرجة - الشكل له زاوية منفرجة واحدة (أكثر من 90 درجة)؛
- مستطيل - يحتوي الشكل على زاوية قائمة واحدة تساوي 90 درجة؛
- متساوي الساقين - مثلث ذو ضلعين متساويين؛
- متساوي الأضلاع - مثلث له جميع الجوانب المتساوية.
- توجد جميع أنواع المثلثات في الحياة الواقعية، وفي بعض الحالات قد نحتاج إلى حساب مساحة الشكل الهندسي.
مساحة المثلث
المساحة هي تقدير لمقدار المستوى الذي يحيط به الشكل. يمكن إيجاد مساحة المثلث بستة طرق، باستخدام الجوانب والارتفاع والزوايا ونصف قطر الدائرة المنقوشة أو المقيدة، وكذلك استخدام صيغة هيرون أو حساب التكامل المزدوج على طول الخطوط المحيطة بالمستوى. أبسط صيغة لحساب مساحة المثلث هي:
حيث a هو جانب المثلث، h هو ارتفاعه.
ومع ذلك، من الناحية العملية، ليس من الملائم لنا دائمًا إيجاد ارتفاع الشكل الهندسي. تتيح لك خوارزمية الآلة الحاسبة الخاصة بنا حساب المساحة بمعرفة:
- ثلاث جهات؛
- الضلعين والزاوية بينهما؛
- جانب واحد وزاويتان.
لتحديد المساحة من ثلاثة جوانب، نستخدم صيغة هيرون:
S = الجذر التربيعي (ص × (ص-أ) × (ص-ب) × (ج-ج)))،
حيث p هو نصف محيط المثلث
يتم حساب المساحة على الجانبين والزاوية باستخدام الصيغة الكلاسيكية:
S = أ × ب × الخطيئة (ألفا)،
حيث ألفا هي الزاوية بين الجانبين أ و ب.
لتحديد المساحة من ضلع واحد وزاويتين نستخدم العلاقة التي:
أ / الخطيئة (ألفا) = ب / الخطيئة (بيتا) = ج / الخطيئة (جاما)
باستخدام نسبة بسيطة، نحدد طول الضلع الثاني، وبعد ذلك نحسب المساحة باستخدام الصيغة S = a × b × sin(alfa). هذه الخوارزمية مؤتمتة بالكامل وتحتاج فقط إلى إدخال المتغيرات المحددة والحصول على النتيجة. دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة.
أمثلة من الحياة
ألواح الرصف
لنفترض أنك تريد رصف الأرضية ببلاط مثلث، ولتحديد كمية المواد المطلوبة، عليك معرفة مساحة بلاطة واحدة ومساحة الأرضية. لنفترض أنك بحاجة إلى معالجة 6 أمتار مربعة من السطح باستخدام بلاط أبعاده أ = 20 سم، ب = 21 سم، ج = 29 سم، ومن الواضح أنه لحساب مساحة المثلث، تستخدم الآلة الحاسبة صيغة هيرون وتعطي النتائج:
وبالتالي فإن مساحة عنصر البلاط الواحد ستكون 0.021 متر مربع، وسوف تحتاج إلى 6/0.021 = 285 مثلثًا لتحسين الأرضية. الأعداد 20 و 21 و 29 تشكل أرقامًا فيثاغورسية ثلاثية ترضي . وهذا صحيح، قامت الآلة الحاسبة أيضًا بحساب جميع زوايا المثلث، وكانت زاوية جاما تساوي 90 درجة بالضبط.
مهمة المدرسة
في مسألة مدرسية، عليك إيجاد مساحة المثلث، مع العلم أن الضلع أ = 5 سم، وقياس زاويتي ألفا وبيتا 30 و50 درجة على التوالي. لحل هذه المشكلة يدويًا، سنوجد أولًا قيمة الضلع b باستخدام نسبة نسبة العرض إلى الارتفاع وجيب الزوايا المتقابلة، ثم نحدد المساحة باستخدام الصيغة البسيطة S = a × b × sin(alfa). فلنوفر الوقت، وندخل البيانات في نموذج الآلة الحاسبة ونحصل على إجابة فورية
عند استخدام الآلة الحاسبة، من المهم الإشارة إلى الزوايا والأضلاع بشكل صحيح، وإلا ستكون النتيجة غير صحيحة.
خاتمة
المثلث هو شكل فريد موجود في الحياة الواقعية وفي الحسابات المجردة. استخدم الآلة الحاسبة الإلكترونية الخاصة بنا لتحديد مساحة المثلثات من أي نوع.
مساحة المثلث . في العديد من المسائل الهندسية التي تتضمن حساب المساحات، يتم استخدام صيغ مساحة المثلث. هناك العديد منهم، وهنا سننظر إلى أهمها.إن إدراج هذه الصيغ سيكون بسيطًا جدًا ولن يكون له أي فائدة. سنقوم بتحليل أصل الصيغ الأساسية، تلك التي يتم استخدامها في أغلب الأحيان.
قبل أن تقرأ اشتقاق الصيغ، تأكد من إلقاء نظرة على المقالة حول.بعد دراسة المادة، يمكنك بسهولة استعادة الصيغ في ذاكرتك (إذا "تطير" فجأة في اللحظة التي تحتاجها).
الصيغة الأولى
قطر متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متساويين في المساحة:
وبالتالي فإن مساحة المثلث ستكون مساوية لنصف مساحة متوازي الأضلاع:
مساحة صيغة المثلث
*أي أننا إذا علمنا أي ضلع من أضلاع المثلث والارتفاع منخفضًا إلى هذا الجانب، فيمكننا دائمًا حساب مساحة هذا المثلث.
الصيغة الثانية
كما ذكرنا سابقًا في المقالة حول مساحة متوازي الأضلاع، تبدو الصيغة كما يلي:
مساحة المثلث تساوي نصف مساحته، وهذا يعني:
*أي أنه إذا كان هناك ضلعان في مثلث وكانت الزاوية بينهما معروفة، فيمكننا دائمًا حساب مساحة هذا المثلث.
صيغة هيرون (الثالثة)
من الصعب استخلاص هذه الصيغة وهي غير مفيدة لك. انظر كم هي جميلة، يمكنك القول إنها لا تُنسى.
*إذا تم تحديد ثلاثة أضلاع للمثلث، فباستخدام هذه الصيغة يمكننا دائمًا حساب مساحته.
الصيغة الرابعة
أين ص- نصف قطر الدائرة المنقوشة
*إذا كانت أضلاع المثلث الثلاثة ونصف قطر الدائرة المدرجة فيه معروفة، فيمكننا دائمًا إيجاد مساحة هذا المثلث.
الصيغة الخامسة
أين ر- نصف قطر الدائرة المقيدة.
*إذا كانت أضلاع المثلث الثلاثة ونصف قطر الدائرة المحيطة به معروفة، فيمكننا دائمًا إيجاد مساحة هذا المثلث.
السؤال الذي يطرح نفسه: إذا كانت ثلاثة أضلاع للمثلث معروفة، أليس من الأسهل إيجاد مساحتها باستخدام صيغة هيرون!
نعم، يمكن أن يكون الأمر أسهل، ولكن ليس دائما، في بعض الأحيان ينشأ التعقيد. وهذا ينطوي على استخراج الجذر. بالإضافة إلى ذلك، فإن هذه الصيغ ملائمة جدًا للاستخدام في المشكلات التي يتم فيها تحديد مساحة المثلث وأضلاعه وتحتاج إلى العثور على نصف قطر الدائرة المنقوشة أو المقيدة. تتوفر مثل هذه المهام كجزء من امتحان الدولة الموحدة.
دعونا نلقي نظرة على الصيغة بشكل منفصل:
إنها حالة خاصة من صيغة مساحة المضلع الذي تم إدراج دائرة فيه:
لنفكر في الأمر باستخدام مثال البنتاغون:
دعونا نربط مركز الدائرة برءوس هذا الخماسي والمتعامدين السفليين من المركز إلى أضلاعه. نحصل على خمسة مثلثات، حيث تكون الخطوط المتعامدة هي نصف قطر الدائرة المنقوشة:
مساحة الخماسي هي :
الآن أصبح من الواضح أنه إذا كنا نتحدث عن مثلث، فإن هذه الصيغة تأخذ الشكل:
الصيغة السادسة
