عمل مانوف "عدم المساواة اللوغاريتمية في الامتحان". التحضير للامتحان. حل المتباينات اللوغاريتمية والأسية من خلال طريقة الترشيد أمثلة عدم المساواة لحل مهمة الاختبار 15
عدم المساواة اللوغاريتمية في الاستخدام
سيتشين ميخائيل الكسندروفيتش
الأكاديمية الصغيرة للعلوم لطلاب جمهورية كازاخستان "الباحث"
MBOU "مدرسة سوفيتسكايا الثانوية №1" ، الصف 11 ، المدينة. منطقة سوفيتسكي السوفيتية
جونكو ليودميلا دميترييفنا ، مدرس MBOU "المدرسة السوفيتية №1"
منطقة سوفيتية
هدف: التحقيق في آلية الحل عدم المساواة اللوغاريتمية C3 باستخدام طرق غير قياسية ، وتحديد حقائق مثيرة للاهتمام اللوغاريتم.
موضوع الدراسة:
3) تعلم كيفية حل المتباينات اللوغاريتمية المحددة C3 باستخدام طرق غير قياسية.
النتائج:
المحتوى
مقدمة …………………………………………………………………………………… .4
الفصل الأول. الخلفية ..................................................... 5
الفصل 2. جمع المتباينات اللوغاريتمية ……………………………… .7
2.1. الانتقالات المكافئة والطريقة المعممة للفترات ……………… .7
2.2. طريقة الترشيد …………………………………………………………. 15
2.3 استبدال غير قياسي .................................................................. ..... 22
2.4 مهمات المصيدة ………………………………………………………. 27
الخلاصة ……………………………………………………………………………… 30
المؤلفات……………………………………………………………………. 31
المقدمة
أنا في الصف الحادي عشر وأخطط لدخول الجامعة ، حيث موضوع الملف الشخصي هي الرياضيات. لذلك ، أعمل كثيرًا على حل المشكلات الواردة في الجزء C. في المهمة C3 ، تحتاج إلى حل متباينة غير قياسية أو نظام من المتباينات ، والذي يرتبط عادةً باللوغاريتمات. أثناء التحضير للامتحان ، واجهت مشكلة نقص الأساليب والتقنيات لحل التفاوتات اللوغاريتمية للاختبار المقدمة في C3. طرق تعلمت في المناهج الدراسية في هذا الموضوع ، لا تقدم أساسًا لحل مهام C3. دعتني معلمة الرياضيات للعمل مع مهام C3 بمفردي تحت إشرافها. بالإضافة إلى ذلك ، كنت مهتمًا بالسؤال: هل هناك لوغاريتمات في حياتنا؟
مع وضع هذا في الاعتبار ، تم اختيار الموضوع:
"عدم المساواة اللوغاريتمية في الامتحان"
هدف: التحقيق في آلية حل مسائل C3 باستخدام طرق غير قياسية ، وكشف حقائق مثيرة للاهتمام في اللوغاريتم.
موضوع الدراسة:
1) ابحث عن المعلومات الضرورية حول الطرق غير القياسية لحل المتباينات اللوغاريتمية.
2) البحث عن مزيد من المعلومات حول اللوغاريتمات.
3) تعلم كيفية حل مشكلات معينة في C3 باستخدام طرق غير قياسية.
النتائج:
تكمن الأهمية العملية في توسيع الجهاز لحل مشاكل C3. يمكن استخدام هذه المواد في بعض الدروس ، للدوائر ، والأنشطة اللامنهجية في الرياضيات.
سيكون منتج المشروع عبارة عن مجموعة "اللوغاريتمية C3 عدم المساواة مع الحلول".
الفصل 1. الخلفية
خلال القرن السادس عشر ، زاد عدد الحسابات التقريبية بسرعة ، خاصة في علم الفلك. تطلب تحسين الأدوات ودراسة حركات الكواكب وغيرها من الأعمال حسابات هائلة ، وأحيانًا سنوات عديدة. كان علم الفلك في خطر حقيقي من الغرق في الحسابات غير المنجزة. نشأت صعوبات في مجالات أخرى ، على سبيل المثال ، في أعمال التأمين ، كانت هناك حاجة لجداول الفائدة المركبة لقيم مختلفة للفائدة. تمثلت الصعوبة الرئيسية في الضرب وقسمة الأعداد متعددة الأرقام ، خاصة الكميات المثلثية.
استند اكتشاف اللوغاريتمات إلى الخصائص المعروفة للتعاقب بحلول نهاية القرن السادس عشر. تحدث أرخميدس عن العلاقة بين أعضاء التقدم الهندسي q ، q2 ، q3 ، ... والتقدم الحسابي لأسسهم 1 ، 2 ، 3 ، ... في المزمور. كان هناك شرط أساسي آخر وهو توسيع مفهوم الدرجة إلى المؤشرات السلبية والكسرية. أشار العديد من المؤلفين إلى أن الضرب والقسمة والأسية واستخراج الجذر في التقدم الهندسي تتوافق في الحساب - بنفس الترتيب - الجمع والطرح والضرب والقسمة.
كانت هذه هي الفكرة من وراء اللوغاريتم باعتباره الأس.
لقد مرت عدة مراحل في تاريخ تطور عقيدة اللوغاريتمات.
المرحلة 1
اخترع الاسكتلندي البارون نابير (1550-1617) اللوغاريتمات في موعد لا يتجاوز 1594 بشكل مستقل ، وبعد عشر سنوات من قبل الميكانيكي السويسري بورغي (1552-1632). أراد كلاهما إعطاء وسيلة مريحة جديدة للحسابات الحسابية ، على الرغم من أنهما اقتربا من هذه المهمة بطرق مختلفة. عبّر نيبر عن الوظيفة اللوغاريتمية حركيًا وبالتالي دخل مجالًا جديدًا لنظرية الوظيفة. ظل البرغي على أساس النظر في التعاقب المنفصل. ومع ذلك ، فإن تعريف اللوغاريتم لكليهما لا يشبه التعريف الحديث. مصطلح "لوغاريتم" (لوغاريتموس) ينتمي إلى نابير. نشأت من مجموعة من الكلمات اليونانية: لوغوس - "علاقة" و ariqmo - "رقم" ، مما يعني "عدد العلاقات". في البداية ، استخدم نابير مصطلحًا مختلفًا: الأعداد الاصطناعية - "الأعداد الاصطناعية" ، على عكس الأعداد الطبيعية - "الأعداد الطبيعية".
في عام 1615 ، في محادثة مع هنري بريجز (1561-1631) ، أستاذ الرياضيات في كلية جريش في لندن ، اقترح نابير أخذ الصفر للوغاريتم للوحدة ، و 100 للوغاريتم العشري ، أو ، الذي ينزل إلى الشيء نفسه ، ببساطة 1. هكذا ظهر اللوغاريتم العشري و تم طباعة الجداول اللوغاريتمية الأولى. في وقت لاحق ، تم استكمال جداول بريجز من قبل بائع الكتب الهولندي وعشاق الرياضيات Andrian Flakk (1600-1667). على الرغم من أن نابير وبريجز وصلوا إلى اللوغاريتمات قبل أي شخص آخر ، فقد نشروا جداولهم بعد الآخرين - في عام 1620. تم تقديم علامات السجل والسجل في عام 1624 بواسطة I. Kepler. قدم مينجولي مصطلح "اللوغاريتم الطبيعي" في عام 1659 ، تلاه ن. مركاتور في عام 1668 ، وقام مدرس لندن جون سبيدل بنشر جداول اللوغاريتمات الطبيعية للأرقام من 1 إلى 1000 تحت عنوان "اللوغاريتمات الجديدة".
نُشرت أول جداول لوغاريتمية باللغة الروسية عام 1703. ولكن في جميع الجداول اللوغاريتمية ، حدثت أخطاء في الحساب. نُشرت أول جداول خالية من الأخطاء في برلين عام 1857 ، وحررها عالم الرياضيات الألماني ك. بريميكر (1804-1877).
المرحلة الثانية
يرتبط مزيد من التطوير لنظرية اللوغاريتمات بتطبيق أوسع للهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل متناهى الصغر. يعود إنشاء اتصال بين تربيع القطع الزائد المتساوي الأضلاع واللوغاريتم الطبيعي إلى ذلك الوقت. ترتبط نظرية اللوغاريتمات لهذه الفترة بأسماء عدد من علماء الرياضيات.
عالم الرياضيات والفلك والمهندس الألماني نيكولاس مركاتور في التكوين
تعطي "التقنية اللوغاريتمية" (1668) سلسلة تعطي توسع ln (x + 1) في
قوى x:
يتوافق هذا التعبير تمامًا مع مسار تفكيره ، على الرغم من أنه ، بالطبع ، لم يستخدم العلامات د ، ... ، ولكن الرموز الأكثر تعقيدًا. مع اكتشاف المتسلسلة اللوغاريتمية ، تغيرت تقنية حساب اللوغاريتمات: بدأ تحديدها باستخدام سلسلة لانهائية. في محاضراته "الرياضيات الابتدائية من وجهة نظر أعلى" ، التي قرأتها في 1907-1908 ، اقترح ف. كلاين استخدام الصيغة كنقطة انطلاق لبناء نظرية اللوغاريتمات.
المرحلة 3
تعريف دالة لوغاريتمية كدالة في المعكوس
الأسي ، اللوغاريتم كمؤشر لدرجة قاعدة معينة
لم تتم صياغته على الفور. تأليف ليونارد أويلر (1707-1783)
خدم مقدمة لتحليل المتناهية الصغر (1748) كمزيد
تطوير نظرية الوظيفة اللوغاريتمية. وهكذا ،
مرت 134 سنة منذ إدخال اللوغاريتمات لأول مرة
(العد من 1614) قبل أن يتوصل علماء الرياضيات إلى التعريف
مفهوم اللوغاريتم ، وهو الآن أساس الدورة المدرسية.
الفصل 2. مجموعة من عدم المساواة اللوغاريتمية
2.1. الانتقالات المكافئة وطريقة الفاصل المعمم.
انتقالات مكافئة
إذا كان\u003e 1
إذا كان 0 <
а <
1
طريقة الفاصل المعمم
هذه الطريقة هي الأكثر تنوعًا لحل المتباينات من أي نوع تقريبًا. يبدو مخطط الحل كما يلي:
1. اختزل المتباينة إلى الشكل الذي توجد فيه الدالة 
، وعلى اليمين 0.
2. ابحث عن مجال الوظيفة .
3. أوجد أصفار الدالة ، أي لحل المعادلة 
(وعادة ما يكون حل المعادلة أسهل من حل عدم المساواة).
4. ارسم المجال والأصفار للدالة على خط الأعداد.
5. تحديد علامات الدالة على فترات التي تم الحصول عليها.
6. حدد الفواصل الزمنية حيث تأخذ الوظيفة القيم المطلوبة واكتب الإجابة.
مثال 1.
القرار:
دعونا نطبق طريقة التباعد
من اين
بالنسبة لهذه القيم ، تكون جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتمات موجبة.
إجابة:
مثال 2.
القرار:
الأول الطريق . يتم تحديد ODZ من خلال عدم المساواة x \u003e 3. أخذ اللوغاريتم لمثل هذا x القاعدة 10 ، نحصل عليها
يمكن حل آخر عدم المساواة من خلال تطبيق قواعد التحلل ، أي مقارنة العوامل بالصفر. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، من السهل تحديد فترات ثبات الوظيفة
لذلك ، يمكنك تطبيق طريقة الفواصل الزمنية.
وظيفة f(x) = 2x(x- 3،5) lgǀ x- 3ǀ مستمر عند x \u003e 3 ويختفي عند النقاط x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. هكذا نحدد فترات ثبات الوظيفة f(x):
إجابة:
الطريقة الثانية . دعونا نطبق أفكار طريقة الفترات مباشرة على المتباينة الأصلية.
للقيام بذلك ، تذكر أن التعبيرات أ ب - أ ج و ( أ - 1)(ب - 1) علامة واحدة. ثم لدينا عدم المساواة ل x \u003e 3 يعادل عدم المساواة
أو
يتم حل المتباينة الأخيرة بطريقة الفواصل
إجابة:
مثال 3.
القرار:
دعونا نطبق طريقة التباعد
إجابة:
مثال 4.
القرار:
منذ 2 x 2 - 3x + 3\u003e 0 للجميع حقيقي xثم
لحل المتباينة الثانية ، نستخدم طريقة الفواصل
في المتباينة الأولى ، نقوم بالاستبدال
ثم نصل إلى المتباينة 2y 2 - ذ - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те ذالتي تحقق عدم المساواة -0.5< ذ < 1.
من أين ، منذ ذلك الحين
نحصل على عدم المساواة
التي يتم تنفيذها مع هؤلاء xمن أجلها 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
الآن ، مع الأخذ في الاعتبار حل المتباينة الثانية للنظام ، نحصل عليها أخيرًا
إجابة:
مثال 5.
القرار:
عدم المساواة يعادل مجموعة من الأنظمة
أو
دعونا نطبق طريقة الفواصل أو
إجابة:
مثال 6.
القرار:
عدم المساواة يعادل النظام
اسمحوا ان
ثم ذ > 0,
وأول عدم المساواة
يأخذ النظام الشكل
أو عن طريق التوسع
مربع ثلاثي الحدود حسب العوامل ،
تطبيق طريقة الفترات على المتباينة الأخيرة ،
نرى أن حلولها تفي بالشرط ذ \u003e 0 سيكون كل شيء ذ > 4.
وبالتالي ، فإن عدم المساواة الأصلي يعادل النظام:
لذا ، حلول عدم المساواة كلها
2.2. طريقة الترشيد.
في السابق ، لم يتم حل طريقة عقلنة عدم المساواة ، ولم تكن معروفة. هذه "طريقة حديثة وفعالة لحل التفاوتات الأسية واللوغاريتمية" (اقتباس من كتاب S.I. Kolesnikova)
وحتى لو كان المعلم يعرفه ، كان هناك تخوف - فهل يعرفه الفاحص ، ولماذا لا يُسلم في المدرسة؟ كانت هناك مواقف عندما قال المعلم للطالب: "من أين حصلت عليه؟ اجلس - 2."
الآن يتم الترويج لهذه الطريقة على نطاق واسع. وبالنسبة للخبراء ، هناك إرشادات مرتبطة بهذه الطريقة ، وفي "الإصدارات الأكثر اكتمالًا لمتغيرات النموذج ..." في الحل C3 ، يتم استخدام هذه الطريقة.
طريقة رائعة!
"طاولة سحرية"
في مصادر أخرى
اذا كان أ\u003e 1 و ب\u003e 1 ، ثم سجل أ ب\u003e 0 و (أ -1) (ب -1)\u003e 0 ؛
اذا كان أ\u003e 1 و 0 إذا كان 0<أ<1 и b
>1 ، ثم سجل ب<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
إذا كان 0<أ<1 и 00 و (أ -1) (ب -1)\u003e 0. المنطق أعلاه بسيط ، لكنه يبسط إلى حد كبير حل المتباينات اللوغاريتمية. مثال 4.
تسجيل x (x 2-3)<0
القرار:
مثال 5.
تسجيل 2 × (2 × 2 -4 × +6) ≤ تسجيل 2 × (× 2 + س) القرار: مثال 6.
لحل هذه المتباينة ، نكتب (x-1-1) (x-1) بدلاً من المقام ، وبدلاً من البسط - حاصل الضرب (x-1) (x-3-9 + x). مثال 7.
المثال 8.
2.3 استبدال غير قياسي. مثال 1.
مثال 2.
مثال 3.
مثال 4.
مثال 5.
مثال 6.
مثال 7.
سجل 4 (3 × -1) سجل 0.25 لنجعل الاستبدال y \u003d 3 x -1 ؛ ثم تأخذ هذه المتباينة الشكل سجل 4 سجل 0.25 مثل سجل 0.25 نجعل التغيير t \u003d log 4 y ونحصل على المتباينة t 2-2t + ≥0 ، وحلها فترات - وهكذا ، لإيجاد قيم y ، لدينا مجموعة من أبسط متباينات لذلك ، فإن المتباينة الأصلية تعادل مجموعة من اثنين من المتباينات الأسية ، حل المتباينة الأولى في هذه المجموعة هو الفترة 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ المثال 8.
القرار:
عدم المساواة يعادل النظام حل المتباينة الثانية ، التي تحدد DHS ، هو مجموعة هؤلاء x,
لمن x > 0.
لحل المتباينة الأولى ، نقوم بإجراء التغيير ثم نحصل على عدم المساواة أو تم إيجاد مجموعة حلول المتباينة الأخيرة بالطريقة فترات: -1< ر < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x، نحن نحصل أو كثير من هؤلاء xالتي ترضي آخر عدم المساواة ينتمي إلى ODZ ( x \u003e 0) ، لذلك ، هو حل للنظام ومن ثم عدم المساواة الأصلية. إجابة: 2.4 أسئلة فخ. مثال 1.
القرار. إن جميع المتباينات في ODZ هي x تحقق الشرط 0 مثال 2.
تسجيل 2 (2 x + 1-x 2)\u003e تسجيل 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
إجابة... (0؛ 0.5) يو.
إجابة :
(3;6)
.
\u003d -log 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y ، ثم أعد كتابة المتباينة الأخيرة كـ 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
حل هذه المجموعة هو الفواصل الزمنية 0<у≤2 и 8≤у<+.
هذا هو المجموع 
... وبالتالي ، فإن المتباينة الأصلية تنطبق على جميع قيم x من الفترات 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... إذن ، كل x من المجال 0
خاتمة
لم يكن من السهل العثور على طرق خاصة لحل مشاكل C3 من الوفرة الكبيرة للمصادر التعليمية المختلفة. في سياق العمل المنجز ، تمكنت من دراسة طرق غير قياسية لحل التفاوتات اللوغاريتمية المعقدة. هذه هي: التحولات المكافئة والطريقة المعممة للفترات وطريقة الترشيد , استبدال غير قياسي , المهام مع الفخاخ على ODZ. هذه الأساليب غائبة في المناهج المدرسية.
باستخدام طرق مختلفة ، قمت بحل 27 من عدم المساواة المقترحة في الامتحان في الجزء C ، وهي C3. شكلت هذه التفاوتات مع الحلول بالطرق أساس مجموعة "التفاوتات اللوغاريتمية C3 مع الحلول" ، والتي أصبحت نتاج مشروع لعملي. تم تأكيد الفرضية التي طرحتها في بداية المشروع: يمكن حل مهام C3 بشكل فعال ، من خلال معرفة هذه الأساليب.
بالإضافة إلى ذلك ، وجدت حقائق مثيرة للاهتمام حول اللوغاريتمات. كان من الممتع بالنسبة لي القيام بذلك. ستكون منتجات التصميم الخاصة بي مفيدة لكل من الطلاب والمعلمين.
الاستنتاجات:
وهكذا ، تم تحقيق الهدف المحدد للمشروع ، وتم حل المشكلة. وحصلت على الخبرة الأكثر اكتمالا وتنوعا في أنشطة المشروع في جميع مراحل العمل. أثناء العمل في المشروع ، كان التأثير التنموي الرئيسي لي على الكفاءة العقلية ، والأنشطة المتعلقة بالعمليات العقلية المنطقية ، وتنمية الكفاءة الإبداعية ، والمبادرة الشخصية ، والمسؤولية ، والمثابرة ، والنشاط.
ضمان النجاح عند إنشاء مشروع بحثي لـ أصبحت: خبرة مدرسية كبيرة ، والقدرة على استخراج المعلومات من مصادر مختلفة ، والتحقق من موثوقيتها ، وترتيبها حسب الأهمية.
بالإضافة إلى المعرفة المباشرة في الرياضيات ، فقد وسع مهاراته العملية في مجال علوم الكمبيوتر ، واكتسب معرفة وخبرة جديدة في مجال علم النفس ، وأقام اتصالات مع زملائه في الفصل ، وتعلم التعاون مع الكبار. في سياق أنشطة المشروع ، تم تطوير المهارات والقدرات التعليمية العامة التنظيمية والفكرية والتواصلية.
المؤلفات
1. Koryanov A. G. ، Prokofiev A. A. أنظمة عدم المساواة مع متغير واحد (المهام النموذجية C3).
2. Malkova AG التحضير لامتحان الرياضيات.
3. Samarova SS حل عدم المساواة اللوغاريتمية.
4. الرياضيات. مجموعة الأعمال التدريبية التي تم تحريرها بواسطة A.L. سيميونوف و I.V. ياشينكو. - م: MTsNMO ، 2009. - 72 ص. -
الأقسام: رياضيات
في كثير من الأحيان ، عند حل عدم المساواة اللوغاريتمية ، تتم مواجهة المشاكل ذات الأساس المتغير للوغاريتم. إذن ، عدم المساواة في الشكل
هو عدم المساواة المدرسة القياسية. كقاعدة عامة ، لحلها ، يتم تطبيق الانتقال إلى مجموعة معادلة من الأنظمة:
عيب هذه الطريقة هو الحاجة إلى حل سبع متباينات ، بدون عد نظامين ومجموعة واحدة. بالفعل مع وظائف تربيعية معينة ، يمكن أن يستغرق حل مجموعة وقتًا طويلاً.
يمكن اقتراح طريقة بديلة أقل شاقة لحل هذا التفاوت القياسي. لهذا ، نأخذ في الاعتبار النظرية التالية.
النظرية 1. دع دالة متزايدة مستمرة على المجموعة X. ثم في هذه المجموعة ستتزامن علامة زيادة الوظيفة مع علامة زيادة الوسيطة ، أي ، أين 
.
ملاحظة: إذا كانت دالة التناقص المستمر في المجموعة X ، إذن.
لنعد إلى عدم المساواة. لننتقل إلى اللوغاريتم العشري (يمكنك الانتقال إلى أي قاعدة ثابتة أكبر من واحد).
يمكنك الآن استخدام النظرية ، مع ملاحظة زيادة الدوال في البسط 
وفي المقام. لذلك هذا صحيح
ونتيجة لذلك ، انخفض عدد العمليات الحسابية التي تؤدي إلى الإجابة إلى النصف تقريبًا ، مما لا يوفر الوقت فحسب ، بل يتيح لك أيضًا إمكانية ارتكاب أخطاء حسابية وخطأ أقل في "عدم الانتباه".
مثال 1.
بالمقارنة مع (1) نجد 
, 
, .
بالمرور إلى (2) سيكون لدينا:
مثال 2.
وبالمقارنة بـ (1) نجد ،.
بالمرور إلى (2) سيكون لدينا:
مثال 3.
بما أن الجانب الأيسر من المتباينة دالة متزايدة لـ و 
، ثم يتم تعيين الإجابة.
يمكن توسيع مجموعة الأمثلة التي يمكن فيها تطبيق النظرية 1 بسهولة إذا تم أخذ النظرية 2 في الاعتبار.
دع على المجموعة X وظائف ،،، وعلى هذا وضع العلامات وتطابق ، أي ، فسيكون ذلك عادلاً.
مثال 4.
مثال 5.
باستخدام النهج القياسي ، يتم حل المثال وفقًا للمخطط: المنتج أقل من الصفر ، عندما تكون العوامل من علامات مختلفة. أولئك. يتم النظر في مجموعة نظامين من المتباينات ، حيث ، كما هو موضح في البداية ، تنقسم كل متباينة إلى سبعة أخرى.
إذا أخذنا في الاعتبار النظرية 2 ، فيمكن استبدال كل عامل ، مع الأخذ في الاعتبار (2) ، بوظيفة أخرى لها نفس العلامة في هذا المثال O.D.Z.
تبين أن طريقة استبدال الزيادة في دالة بزيادة الوسيطة ، مع مراعاة النظرية 2 ، تكون ملائمة للغاية عند حل المشكلات النموذجية C3 للامتحان.
مثال 6.
مثال 7.
... دعونا نشير. نحن نحصل
... لاحظ أن الاستبدال يعني: بالعودة إلى المعادلة ، نحصل عليها
.
المثال 8.
في النظريات التي نستخدمها ، لا توجد قيود على فئات الوظائف. في هذه المقالة ، على سبيل المثال ، تم تطبيق النظريات لحل المتباينات اللوغاريتمية. ستوضح الأمثلة القليلة التالية وعد طريقة حل الأنواع الأخرى من عدم المساواة.
تم تخصيص المقالة لتحليل 15 مهمة من الملف الشخصي USE في الرياضيات لعام 2017. في هذه المهمة ، يُعرض على الطلاب حل حالات عدم المساواة ، وغالبًا ما تكون اللوغاريتمية. على الرغم من أنه قد يكون هناك دلالة. تقدم هذه المقالة تحليلاً لأمثلة من المتباينات اللوغاريتمية ، بما في ذلك تلك التي تحتوي على متغير في قاعدة اللوغاريتم. جميع الأمثلة مأخوذة من البنك المفتوح لمهام الاستخدام في الرياضيات (الملف الشخصي) ، لذلك من المحتمل أن تصادفك مثل هذه التفاوتات في الامتحان كمهمة 15. مثالية لأولئك الذين يرغبون في تعلم كيفية حل المهمة 15 من الجزء الثاني من الملف الشخصي الاستخدام في فترة زمنية قصيرة في الرياضيات للحصول على المزيد من النقاط في الامتحان.
تحليل 15 مهمة من امتحان الملف الشخصي في الرياضيات
| مثال 1. حل المتباينة: |
في مهام الامتحان الخامس عشر في الرياضيات (الملف الشخصي) ، غالبًا ما تتم مواجهة عدم المساواة اللوغاريتمية. يبدأ حل التفاوتات اللوغاريتمية بتحديد نطاق القيم المقبولة. في هذه الحالة ، لا يوجد متغير في قاعدة كلا اللوغاريتمين ، يوجد فقط الرقم 11 ، مما يبسط المهمة بشكل كبير. لذلك ، فإن القيد الوحيد لدينا هنا هو أن كلا التعبيرين الموجودين تحت علامة اللوغاريتم موجبان:
Title \u003d "(! LANG: تم التقديم بواسطة QuickLaTeX.com">!}
أول متباينة في النظام هي المتباينة التربيعية. لحلها ، لن نؤذي حقًا تحليل الجانب الأيسر في العوامل. أعتقد أنك تعرف أن أي مربع ثلاثي الحدود للشكل 
يتم تحليلها على النحو التالي:
أين وجذور المعادلة. في هذه الحالة ، المعامل هو 1 (هذا هو المعامل العددي أمام). المعامل هو أيضًا 1 ، والمعامل هو التقاطع ، وهو -20. يمكن بسهولة تحديد جذور ثلاثي الحدود بواسطة نظرية فييتا. المعادلة التي قدمناها ، إذن مجموع الجذور سيكون مساويًا للمعامل مع الإشارة المعاكسة ، أي -1 ، وحاصل ضرب هذه الجذور سيكون مساويًا للمعامل ، أي -20. من السهل تخمين أن الجذور ستكون -5 و 4.
الآن يمكن تحليل الجانب الأيسر من عدم المساواة: title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X عند النقطتين -5 و 4. إذن ، الحل المطلوب للمتراجحة هو فترة. لأولئك الذين لا يفهمون ما هو مكتوب هنا يمكنكم مشاهدة التفاصيل في الفيديو ابتداءً من هذه اللحظة. ستجد هناك أيضًا شرحًا تفصيليًا لكيفية حل المتباينة الثانية في النظام. يتم حلها. علاوة على ذلك ، فإن الإجابة هي نفسها تمامًا مثل المتباينة الأولى في النظام. أي أن المجموعة المكتوبة أعلاه هي منطقة القيم المقبولة لعدم المساواة.
لذلك ، مع الأخذ في الاعتبار العوامل ، تأخذ المتباينة الأصلية الشكل:
باستخدام الصيغة ، نحضر 11 إلى قوة التعبير الموجود أسفل علامة اللوغاريتم الأول ، وننقل اللوغاريتم الثاني إلى الجانب الأيسر من المتباينة ، مع تغيير إشارته إلى العكس:
بعد التخفيض نحصل على:
المتفاوت الأخير ، بسبب الدالة المتزايدة ، يعادل عدم المساواة 
، الحل الذي هو الفترة 
... يبقى أن يتقاطع مع نطاق القيم المقبولة لعدم المساواة ، وسيكون هذا هو الجواب على المهمة بأكملها.
إذن ، الإجابة المطلوبة للمهمة هي:
اكتشفنا هذه المهمة ، والآن ننتقل إلى المثال التالي لمهمة 15 USE في الرياضيات (الملف الشخصي).
| مثال 2. حل المتباينة:
|
نبدأ الحل بتحديد نطاق القيم المسموح بها لهذه المتباينة. في قاعدة كل لوغاريتم يجب أن يكون عددًا موجبًا لا يساوي 1. يجب أن تكون جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم موجبة. يجب ألا يكون هناك صفر في مقام الكسر. الشرط الأخير يعادل ذلك ، لأنه بخلاف ذلك فقط يختفي اللوغاريتمان في المقام. تحدد كل هذه الشروط نطاق القيم المقبولة لهذا التفاوت ، والذي يتم تحديده من خلال نظام عدم المساواة التالي:
Title \u003d "(! LANG: تم التقديم بواسطة QuickLaTeX.com">!}
في نطاق القيم الصالحة ، يمكننا استخدام معادلات تحويل اللوغاريتمات لتبسيط الطرف الأيسر من المتباينة. باستخدام الصيغة 
تخلص من المقام:
الآن لدينا فقط اللوغاريتمات الأساسية. هذا بالفعل أكثر ملاءمة. بعد ذلك ، نستخدم الصيغة ، وكذلك الصيغة لإحضار التعبير الذي يستحق المجد إلى الشكل التالي:
في العمليات الحسابية ، استخدمنا ما هو في نطاق القيم المقبولة. باستخدام البديل ، نصل إلى التعبير:
نستخدم بديل آخر:. ونتيجة لذلك توصلنا إلى النتيجة التالية:
لذلك ، نعود تدريجيًا إلى المتغيرات الأصلية. أول من المتغير:
