المشتقات المعقدة. المشتق اللوغاريتمي.
مشتق الدالة الأسية

نواصل تحسين أسلوب التمايز لدينا. في هذا الدرس ، سنقوم بدمج المادة التي تمت تغطيتها ، والنظر في المشتقات الأكثر تعقيدًا ، وكذلك التعرف على التقنيات والحيل الجديدة لإيجاد المشتق ، على وجه الخصوص ، مع المشتق اللوغاريتمي.

يجب على القراء ذوي المستوى المنخفض من التدريب الرجوع إلى المقالة كيف تجد المشتق؟ أمثلة الحل، مما سيرفع مهاراتك من الصفر تقريبًا. بعد ذلك ، تحتاج إلى دراسة الصفحة بعناية مشتق دالة معقدةوفهمها وحلها الكل الأمثلة التي أعطيتها. هذا الدرس منطقيًا هو الثالث على التوالي ، وبعد إتقانه ، ستفرق بثقة بين الوظائف المعقدة نوعًا ما. من غير المرغوب فيه التمسك بالموقف "أين آخر؟ وهذا يكفي! "لأن جميع الأمثلة والحلول مأخوذة من اختبارات حقيقية وغالبًا ما توجد في الممارسة.

لنبدأ بالتكرار. في الدرس مشتق دالة معقدةنظرنا إلى عدد من الأمثلة مع تعليقات مفصلة. أثناء دراسة التفاضل والتكامل والفروع الأخرى للتحليل الرياضي ، سيتعين عليك التفريق كثيرًا ، وليس من المناسب دائمًا (وليس ضروريًا دائمًا) كتابة أمثلة بتفصيل كبير. لذلك ، سنتدرب على إيجاد المشتقات شفهيًا. أنسب "المرشحين" لذلك هي مشتقات أبسط الوظائف المعقدة ، على سبيل المثال:

حسب قاعدة اشتقاق دالة معقدة :

عند دراسة مواضيع أخرى من matan في المستقبل ، غالبًا ما تكون هذه الملاحظة التفصيلية غير مطلوبة ، فمن المفترض أن الطالب قادر على إيجاد مشتقات مماثلة على الطيار الآلي. تخيل أنه في الساعة 3 صباحًا رن الهاتف ، وسأل صوت لطيف: "ما هو مشتق مماس اثنين Xs؟" يجب أن يتبع ذلك رد فوري ومهذب تقريبًا: .

سيخصص المثال الأول على الفور لحل مستقل.

مثال 1

أوجد المشتقات التالية شفهياً ، بخطوة واحدة ، على سبيل المثال: لإكمال المهمة ، ما عليك سوى استخدام جدول مشتقات الدوال الابتدائية (إذا لم يتم تذكرها بعد). إذا واجهت أي صعوبات ، فإنني أوصي بإعادة قراءة الدرس. مشتق دالة معقدة.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

الإجابات في نهاية الدرس

المشتقات المعقدة

بعد التحضير الأولي للمدفعية ، ستكون الأمثلة ذات المرفقات الوظيفية 3-4-5 أقل رعباً. ربما يبدو المثالان التاليان صعبًا بالنسبة للبعض ، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما) ، فسيبدو كل شيء تقريبًا في حساب التفاضل وكأنه مزحة صبيانية.

مثال 2

أوجد مشتق دالة

كما لوحظ بالفعل ، عند إيجاد مشتق دالة معقدة ، أولاً وقبل كل شيء ، من الضروري حقفهم المرفقات. في الحالات التي توجد فيها شكوك ، أذكرك بأسلوب مفيد: نأخذ القيمة التجريبية لـ "X" ، على سبيل المثال ، ونحاول (عقليًا أو في مسودة) استبدال هذه القيمة في "التعبير الرهيب".

1) نحتاج أولاً إلى حساب التعبير ، مما يعني أن المبلغ هو الاستثمار الأعمق.

2) إذن فأنت بحاجة إلى حساب اللوغاريتم:

4) ثم ارفع جيب التمام إلى مكعب:

5) في الخطوة الخامسة ، الفرق:

6) وأخيرًا ، الوظيفة الخارجية هي الجذر التربيعي:

صيغة تفاضل دالة معقدة يتم تطبيقها بترتيب عكسي من الوظيفة الخارجية إلى الأعمق. نحن نقرر:

يبدو بدون أخطاء….

(1) خذ مشتق الجذر التربيعي.

(2) خذ مشتق الفرق باستخدام القاعدة

(3) مشتق الثلاثي هو صفر. في المصطلح الثاني ، نأخذ مشتق الدرجة (المكعب).

(4) خذ مشتق جيب التمام.

(5) خذ مشتق اللوغاريتم.

(6) أخيرًا ، نأخذ مشتق التداخل الأعمق.

قد يبدو الأمر صعبًا للغاية ، لكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ ، على سبيل المثال ، مجموعة Kuznetsov وسوف تقدر كل سحر وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يحبون إعطاء شيء مماثل في الامتحان للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق من وظيفة معقدة ، أو لا يفهم.

المثال التالي هو حل مستقل.

مثال 3

أوجد مشتق دالة

تلميح: أولاً ، قم بتطبيق قواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتج

الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.

حان الوقت الآن للانتقال إلى شيء أكثر إحكاما ولطيفا.
ليس من غير المألوف أن يعطي أحد الأمثلة منتجًا لا يتكون من وظيفتين ، بل ثلاث وظائف. كيفية إيجاد مشتق حاصل ضرب ثلاثة عوامل؟

مثال 4

أوجد مشتق دالة

أولاً ، دعنا نرى ما إذا كان يمكن تحويل ناتج ثلاث وظائف إلى حاصل ضرب وظيفتين؟ على سبيل المثال ، إذا كان لدينا كثيرات حدود في المنتج ، فيمكننا فك الأقواس. لكن في هذا المثال ، تختلف جميع الوظائف: الدرجة والأس واللوغاريتم.

في مثل هذه الحالات ، من الضروري باتساقتطبيق قاعدة تمايز المنتج مرتين

الحيلة هي أنه بالنسبة لـ "y" نشير إلى ناتج وظيفتين: و "ve" - \u200b\u200bاللوغاريتم :. لماذا يمكن القيام بذلك؟ فعلا - هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل ؟! لا يوجد شيء معقد:

الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية إلى الأقواس:

لا يزال بإمكانك الانحراف ووضع شيء ما خارج الأقواس ، ولكن في هذه الحالة من الأفضل ترك الإجابة في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.

يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية:

كلا الحلين متكافئان تمامًا.

مثال 5

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على حل مستقل ، في العينة يتم حله بالطريقة الأولى.

لنلقِ نظرة على أمثلة متشابهة مع الكسور.

مثال 6

أوجد مشتق دالة

هنا يمكنك الذهاب بعدة طرق:

او مثل هذا:

لكن سيتم كتابة الحل بشكل أكثر إحكاما إذا استخدمنا في البداية قاعدة اشتقاق حاصل القسمة ، مع أخذ البسط بالكامل:

من حيث المبدأ ، يتم حل المثال ، وإذا تركته كما هو ، فلن يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت ، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة ، ولكن هل من الممكن تبسيط الإجابة؟ لنختزل التعبير عن البسط إلى مقام مشترك و تخلص من الجزء المكون من ثلاثة طوابق:

عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس في العثور على المشتق ، ولكن في التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى ، غالبًا ما يرفض المعلمون مهمة ما ويطلبون "تذكر" المشتق.

مثال أبسط لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 7

أوجد مشتق دالة

نستمر في إتقان طرق إيجاد المشتق ، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يُقترح اللوغاريتم "الرهيب" للتفاضل

المثال 8

أوجد مشتق دالة

يمكنك هنا قطع شوط طويل باستخدام قاعدة التفريق بين دالة معقدة:

لكن الخطوة الأولى ستغرقك على الفور في اليأس - عليك أن تأخذ مشتقًا مزعجًا من قوة كسرية ، ثم أيضًا من كسر.

وبالتالي قبل كيفية أخذ مشتق من اللوغاريتم "الخرافي" ، يتم تبسيطه مبدئيًا باستخدام خصائص المدرسة المعروفة:

! إذا كان لديك دفتر ملاحظات في متناول اليد ، فقم بنسخ هذه الصيغ هناك. إذا لم يكن لديك دفتر ملاحظات ، فأعد رسمها على قطعة من الورق ، حيث ستتمحور بقية أمثلة الدرس حول هذه الصيغ.

يمكن تنظيم الحل نفسه على النحو التالي:

دعنا نحول الوظيفة:

أوجد المشتق:

جعلت التهيئة المسبقة للوظيفة نفسها الحل أسهل بكثير. وبالتالي ، عندما يُقترح مثل هذا اللوغاريتم للتفاضل ، فمن المستحسن دائمًا "تفتيته".

والآن بعض الأمثلة البسيطة لحل مستقل:

المثال 9

أوجد مشتق دالة

المثال 10

أوجد مشتق دالة

جميع التحولات والإجابات في نهاية الدرس.

المشتق اللوغاريتمي

إذا كان مشتق اللوغاريتمات عبارة عن موسيقى حلوة ، فإن السؤال الذي يطرح نفسه ، هل من الممكن في بعض الحالات تنظيم اللوغاريتم بشكل مصطنع؟ يستطيع! وحتى ضروري.

المثال 11

أوجد مشتق دالة

لقد رأينا أمثلة مماثلة مؤخرًا. ماذا أفعل؟ يمكنك باستمرار تطبيق قاعدة التفاضل في حاصل القسمة ، ثم تطبيق قاعدة اشتقاق العمل. عيب هذه الطريقة هو أنك تحصل على جزء ضخم من ثلاثة طوابق لا ترغب في التعامل معه على الإطلاق.

لكن في النظرية والتطبيق ، هناك شيء رائع مثل المشتق اللوغاريتمي. يمكن تنظيم اللوغاريتمات بشكل مصطنع من خلال "تعليقها" على كلا الجانبين:

ملحوظة : منذ يمكن أن تأخذ الوظيفة قيمًا سالبة ، لذلك ، بشكل عام ، تحتاج إلى استخدام الوحدات النمطية: التي ستختفي نتيجة التمايز. ومع ذلك ، فإن التصميم الحالي مقبول أيضًا ، حيث يتم أخذ الإعدادات الافتراضية في الاعتبار مركب القيم. ولكن إذا كان بكل شدة ، ففي كلتا الحالتين ، يجب إجراء الحجز.

أنت الآن بحاجة إلى "تفكيك" لوغاريتم الجانب الأيمن إلى أقصى حد (الصيغ أمام عينيك؟). سأصف هذه العملية بتفصيل كبير:

في الواقع ، ننتقل إلى التفاضل.
نرفق كلا الجزأين تحت السكتة الدماغية:

مشتق الجانب الأيمن بسيط للغاية ، ولن أعلق عليه ، لأنه إذا كنت تقرأ هذا النص ، فيجب عليك التعامل معه بثقة.

ماذا عن الجانب الأيسر؟

على اليسار لدينا وظيفة معقدة... أتوقع السؤال: "لماذا يوجد أيضًا حرف واحد" إيغريك "تحت اللوغاريتم؟"

الحقيقة هي أن هذا "حرف واحد إيغريك" - هي نفسها وظيفة (إذا لم يكن واضحًا جدًا ، فارجع إلى المقالة المشتقة من وظيفة ضمنية). لذلك ، اللوغاريتم هو وظيفة خارجية ، و "اللعبة" هي وظيفة داخلية. ونستخدم قاعدة اشتقاق دالة معقدة :

في الطرف الأيسر ، كما لو كان السحر ، لدينا مشتقة. علاوة على ذلك ، وفقًا لقاعدة التناسب ، نرمي "اللعبة" من مقام الجانب الأيسر إلى أعلى الجانب الأيمن:

والآن نتذكر أي نوع من وظيفة "اللعبة" ناقشناها في التفاضل؟ ننظر إلى الحالة:

الجواب النهائي:

المثال 12

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على حل افعل ذلك بنفسك. عينة من تصميم نموذج من هذا النوع في نهاية الدرس.

بمساعدة المشتق اللوغاريتمي ، كان من الممكن حل أي من الأمثلة 4-7 ، والشيء الآخر هو أن الدوال هناك أبسط ، وربما استخدام المشتق اللوغاريتمي غير مبرر تمامًا.

مشتق الدالة الأسية

لم نفكر في هذه الوظيفة حتى الآن. الوظيفة الأسية هي وظيفة فيها وتعتمد الدرجة والقاعدة على "x"... مثال كلاسيكي سيتم إعطاؤه لك في أي كتاب مدرسي أو في أي محاضرة:

كيفية إيجاد مشتق دالة أسية؟

من الضروري استخدام التقنية التي تم النظر فيها للتو - المشتق اللوغاريتمي. نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين:

كقاعدة عامة ، تُخرج الدرجة من أسفل اللوغاريتم على الجانب الأيمن:

نتيجة لذلك ، على الجانب الأيمن لدينا منتج من وظيفتين ، سيتم تمييزهما وفقًا للصيغة القياسية .

أوجد المشتق ، لهذا نضع كلا الجزأين تحت الحدود:

إجراءات أخرى بسيطة:

أخيرا:

إذا لم يكن أي تحويل واضحًا تمامًا ، فيرجى إعادة قراءة تفسيرات المثال رقم 11 بعناية.

في المهام العملية ، ستكون الوظيفة الأسية دائمًا أكثر تعقيدًا من مثال المحاضرة المدروس.

المثال 13

أوجد مشتق دالة

نستخدم المشتق اللوغاريتمي.

على الجانب الأيمن لدينا ثابت وحاصل ضرب عاملين - "x" و "لوغاريتم لوغاريتم x" (لوغاريتم آخر مضمن تحت اللوغاريتم). عند التفريق بين الثابت ، كما نتذكر ، من الأفضل إزالة علامة المشتق على الفور حتى لا تعترض طريق القدم ؛ وبالطبع طبق القاعدة المألوفة :

اذا كان ز(x) و f(ش) هي وظائف قابلة للتفاضل في حججهم ، على التوالي ، عند النقاط x و ش= ز(x), عندئذٍ تكون الوظيفة المعقدة قابلة للاشتقاق أيضًا عند النقطة xويتم إيجاده بواسطة الصيغة

الخطأ النموذجي عند حل المشكلات المشتقة هو النقل التلقائي لقواعد التفريق بين الوظائف البسيطة والوظائف المعقدة. سوف نتعلم تجنب هذا الخطأ.

مثال 2.أوجد مشتق دالة

حل خاطئ: احسب اللوغاريتم الطبيعي لكل حد بين قوسين وابحث عن مجموع المشتقات:

الحل الصحيح: مرة أخرى نحدد مكان "تفاحة" وأين "لحم مفروم". هنا اللوغاريتم الطبيعي للتعبير بين قوسين هو "تفاحة" ، أي دالة بواسطة وسيطة وسيطة ش، والتعبير الموجود بين قوسين هو "اللحم المفروم" ، أي وسيطة وسيطة ش بواسطة متغير مستقل x.

ثم (باستخدام الصيغة 14 من جدول المشتقات)

في العديد من مشاكل الحياة الواقعية ، يكون التعبير باللوغاريتم أكثر تعقيدًا إلى حد ما ، لذلك هناك درس

مثال 3.أوجد مشتق دالة

حل خاطئ:

الحل الصحيح. مرة أخرى ، نحدد مكان "تفاحة" وأين "لحم مفروم". هنا ، جيب التمام للتعبير بين قوسين (الصيغة 7 في جدول المشتقات) هو "تفاحة" ، يتم تحضيره في الوضع 1 ، ويؤثر عليه فقط ، والتعبير بين قوسين (مشتق القوة هو رقم 3 في جدول المشتقات) هو "لحم مفروم" ، يستعد مع الوضع 2 ، والذي يؤثر عليه فقط. وكالعادة ، نربط بين المشتقتين بعلامة الشغل. نتيجة:

يعد اشتقاق دالة لوغاريتمية معقدة مهمة متكررة في أوراق الاختبار ، لذلك نوصي بشدة بزيارة الدرس "مشتق دالة لوغاريتمية".

كانت الأمثلة الأولى للدوال المعقدة حيث كانت الوسيطة الوسيطة للمتغير المستقل دالة بسيطة. لكن في المهام العملية ، غالبًا ما يكون مطلوبًا العثور على مشتق دالة معقدة ، حيث تكون الوسيطة الوسيطة إما وظيفة معقدة بحد ذاتها أو تحتوي على مثل هذه الوظيفة. ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ ابحث عن مشتقات مثل هذه الدوال باستخدام الجداول وقواعد التفاضل. عندما يتم العثور على مشتق الوسيطة الوسيطة ، يتم استبدالها ببساطة في المكان المناسب في الصيغة. فيما يلي مثالان على كيفية القيام بذلك.

من المفيد أيضًا معرفة ما يلي. إذا كان من الممكن تمثيل دالة معقدة كسلسلة من ثلاث وظائف

ثم يجب إيجاد مشتقها كمنتج لمشتقات كل من هذه الوظائف:

قد تتطلب العديد من واجباتك المنزلية فتح دروس تعليمية في نوافذ جديدة أفعال ذات قوى وجذور و إجراءات الكسر .

مثال 4.أوجد مشتق دالة

نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة ، دون أن ننسى أنه في ناتج المشتقات الناتج ، الحجة الوسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل x لم يتغير:

نحضر العامل الثاني للمنتج ونطبق قاعدة التفريق بين المجموع:

إذن ، الحد الثاني هو جذر

وهكذا ، حصلنا على أن الوسيطة الوسيطة ، وهي مجموع ، تحتوي على دالة معقدة كأحد المصطلحات: الرفع إلى قوة هو دالة معقدة ، وما يتم رفعه إلى قوة هو حجة وسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل x.

لذلك ، نطبق مرة أخرى قاعدة التفريق بين دالة معقدة:

نحول درجة العامل الأول إلى جذر ، ونفرق العامل الثاني ، ولا ننسى أن مشتق الثابت يساوي صفرًا:

الآن يمكننا إيجاد مشتق الوسيطة المطلوبة لحساب مشتق دالة معقدة مطلوبة في حالة المشكلة ذ:

مثال 5.أوجد مشتق دالة

أولاً ، دعنا نستخدم قاعدة اشتقاق المجموع:

حصل على مجموع مشتقات وظيفتين معقدتين. نجد أولهم:

هنا يعتبر رفع الجيب إلى قوة دالة معقدة ، والجيب نفسه هو وسيط فيما يتعلق بالمتغير المستقل x... لذلك ، سنستخدم قاعدة اشتقاق دالة معقدة على طول الطريق تحليل العامل :

الآن نجد الحد الثاني من مولدات مشتقة الدالة ذ:

هنا يعتبر رفع جيب التمام إلى قوة دالة معقدة f، وجيب التمام نفسه هو وسيط فيما يتعلق بالمتغير المستقل x... دعنا نستخدم قاعدة اشتقاق دالة معقدة مرة أخرى:

النتيجة هي المشتق المطلوب:

جدول مشتق لبعض الوظائف المعقدة

بالنسبة للدوال المعقدة ، بناءً على قاعدة التمييز بين دالة معقدة ، تتخذ صيغة مشتق دالة بسيطة شكلاً مختلفًا.

1. مشتق من دالة القدرة المركبة ، حيث ش x
2. مشتق من جذر التعبير
3. مشتق من الدالة الأسية
4. حالة خاصة للدالة الأسية
5. مشتق من دالة لوغاريتمية ذات قاعدة موجبة عشوائية و
6. مشتق دالة لوغاريتمية معقدة حيث ش - دالة الوسيطة التفاضلية x
7. مشتق من الجيب
8. مشتق من جيب التمام
9. مشتق من الظل
10. مشتق من ظل التمام
11. مشتق من القوسين
12. مشتق من arccosine
13. مشتق من قوس ظل
14. مشتق من قوس ظل التمام

إذا اتبعنا التعريف ، فإن مشتق الدالة عند نقطة ما هو الحد الأقصى لنسبة زيادة الدالة Δ ذ لزيادة الوسيطة Δ x:

يبدو أن كل شيء واضح. لكن حاول أن تحسب باستخدام هذه الصيغة ، على سبيل المثال مشتق دالة f(x) = x 2 + (2x + 3) ه x الخطيئة x... إذا كنت تفعل كل شيء بحكم التعريف ، فبعد بضع صفحات من العمليات الحسابية سوف تغفو. لذلك ، هناك طرق أبسط وأكثر فعالية.

بادئ ذي بدء ، نلاحظ أنه يمكن تمييز ما يسمى بالوظائف الأولية عن مجموعة الوظائف المتنوعة. هذه تعبيرات بسيطة نسبيًا ، منذ فترة طويلة تم حساب مشتقاتها وإدخالها في الجدول. يسهل تذكر مثل هذه الوظائف - إلى جانب مشتقاتها.

مشتقات الدوال الابتدائية

الوظائف الابتدائية هي كل شيء مدرج أدناه. يجب معرفة مشتقات هذه الوظائف عن ظهر قلب. علاوة على ذلك ، فإن حفظها ليس بالأمر الصعب على الإطلاق - ولهذا السبب فهي ابتدائية.

إذن ، مشتقات الدوال الأولية:

اسم	وظيفة	المشتق
ثابت	f(x) = ج, ج ∈ ر	0 (نعم ، صفر!)
الدرجة العقلانية	f(x) = x ن	ن · x ن − 1
التجويف	f(x) \u003d الخطيئة x	كوس x
جيب التمام	f(x) \u003d كوس x	- خطيئة x (ناقص شرط)
الظل	f(x) \u003d tg x	1 / كوس 2 x
ظل التمام	f(x) \u003d ctg x	- 1 / الخطيئة 2 x
اللوغاريتم الطبيعي	f(x) \u003d ln x	1/x
اللوغاريتم التعسفي	f(x) \u003d تسجيل الدخول أ x	1/(x Ln أ)
دالة أسية	f(x) = ه x	ه x (لا شيء تغير)

إذا تم ضرب الدالة الأولية بثابت تعسفي ، فسيتم أيضًا حساب مشتق الوظيفة الجديدة بسهولة:

(ج · f)’ = ج · f ’.

بشكل عام ، يمكن نقل الثوابت خارج علامة الاشتقاق. فمثلا:

(2x 3) '\u003d 2 · ( x 3) '\u003d 2 3 x 2 = 6x 2 .

من الواضح أنه يمكن إضافة الوظائف الأولية إلى بعضها البعض ، ومضاعفتها ، وتقسيمها - وأكثر من ذلك بكثير. لذلك ستظهر وظائف جديدة ، والتي لم تعد أساسية بشكل خاص ، ولكنها أيضًا قابلة للتمييز وفقًا لقواعد معينة. تمت مناقشة هذه القواعد أدناه.

مشتق المجموع والفرق

دعونا وظائف f(x) و ز(x) ، ومشتقاته معروفة لنا. على سبيل المثال ، يمكنك أن تأخذ الوظائف الأولية التي تمت مناقشتها أعلاه. ثم يمكنك إيجاد مشتق مجموع واختلاف هذه الدوال:

1. (f + ز)’ = f ’ + ز ’
2. (f − ز)’ = f ’ − ز ’

لذا ، فإن مشتق مجموع (فرق) وظيفتين يساوي مجموع (فرق) المشتقات. قد يكون هناك المزيد من الشروط. فمثلا، ( f + ز + ح)’ = f ’ + ز ’ + ح ’.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، لا يوجد مفهوم "الطرح" في الجبر. هناك مفهوم "العنصر السلبي". لذلك الاختلاف f − ز يمكن إعادة كتابتها كمجموع f + (1) ز، وبعد ذلك تبقى صيغة واحدة فقط - مشتق المجموع.

f(x) = x 2 + الخطيئة x ؛ ز(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

وظيفة f(x) هو مجموع وظيفتين أساسيتين ، لذلك:

f ’(x) = (x 2 + الخطيئة x)’ = (x 2) "+ (الخطيئة x)’ = 2x + كوس س ؛

نحن نتحدث بالمثل عن الوظيفة ز(x). يوجد فقط ثلاثة مصطلحات (من وجهة نظر الجبر):

ز ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

إجابة:
f ’(x) = 2x + كوس س ؛
ز ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

مشتق من العمل

الرياضيات علم منطقي ، لذا يعتقد الكثيرون أنه إذا كان مشتق المجموع يساوي مجموع المشتقات ، فإن مشتق المنتج إضراب"\u003e يساوي حاصل ضرب المشتقات. لكنك أنت التين! يتم حساب مشتق المنتج باستخدام معادلة مختلفة تمامًا. وهي:

(f · ز) ’ = f ’ · ز + f · ز ’

الصيغة بسيطة ، ولكن غالبًا ما يتم تجاهلها. وليس فقط تلاميذ المدارس ، ولكن أيضًا الطلاب. النتيجة هي حل المشاكل بشكل غير صحيح.

مهمة. ابحث عن مشتقات الدوال: f(x) = x 3 كوس س ؛ ز(x) = (x 2 + 7x - 7) ه x .

وظيفة f(x) هو نتاج وظيفتين أساسيتين ، لذلك كل شيء بسيط:

f ’(x) = (x 3 كوس x)’ = (x 3) "جيب التمام x + x 3 (كوس x)’ = 3x 2 كوس x + x 3 (- الخطيئة x) = x 2 (3cos x − x الخطيئة x)

الوظيفة ز(x) العامل الأول أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، لكن المخطط العام لا يتغير من هذا. من الواضح أن العامل الأول للدالة ز(x) هي كثيرة الحدود ، ومشتقاتها هي مشتق المجموع. نملك:

ز ’(x) = ((x 2 + 7x - 7) ه x)’ = (x 2 + 7x - 7) " ه x + (x 2 + 7x - 7) ( ه x)’ = (2x +7) ه x + (x 2 + 7x - 7) ه x = ه x · (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ه x = x(x + 9) ه x .

إجابة:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x الخطيئة x);
ز ’(x) = x(x + 9) ه x .

لاحظ أنه في الخطوة الأخيرة ، تم تحليل المشتق إلى عوامل. رسميًا ، لا تحتاج إلى القيام بذلك ، ومع ذلك ، لا يتم حساب معظم المشتقات من تلقاء نفسها ، ولكن من أجل فحص الوظيفة. هذا يعني أنه سيتم معادلة المشتق كذلك بالصفر ، وسيتم توضيح علاماته ، وهكذا. في مثل هذه الحالة ، من الأفضل أن يكون لديك تعبير عامل.

إذا كانت هناك وظيفتان f(x) و ز(x) و ز(x) ≠ 0 في المجموعة التي تهمنا ، يمكننا تحديد وظيفة جديدة ح(x) = f(x)/ز(x). لمثل هذه الوظيفة ، يمكنك أيضًا العثور على مشتق:

ليس ضعيفا ، أليس كذلك؟ من أين أتى الطرح؟ لماذا ا ز 2؟ ومثل هذا! هذه واحدة من أصعب الصيغ - لا يمكنك اكتشافها بدون زجاجة. لذلك ، من الأفضل دراستها بأمثلة محددة.

مهمة. ابحث عن مشتقات الدوال:

يحتوي بسط ومقام كل كسر على وظائف أولية ، لذلك كل ما نحتاجه هو صيغة مشتق حاصل القسمة:

حسب التقاليد ، فإن تحليل البسط إلى عوامل سوف يبسط الإجابة بشكل كبير:

ليست الوظيفة المعقدة بالضرورة صيغة طولها نصف كيلومتر. على سبيل المثال ، يكفي أن تأخذ الوظيفة f(x) \u003d الخطيئة x واستبدل المتغير xدعنا نقول x 2 + ln x... سوف تتحول f(x) \u003d الخطيئة ( x 2 + ln x) هي وظيفة معقدة. يحتوي أيضًا على مشتق ، لكنه لن يعمل على العثور عليه وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها أعلاه.

كيف تكون؟ في مثل هذه الحالات ، يساعد الاستبدال المتغير وصيغة مشتق دالة معقدة:

f ’(x) = f ’(ر) · ر '، اذا كان x لقد بدل بواسطة ر(x).

كقاعدة عامة ، مع فهم هذه الصيغة ، يكون الموقف أكثر حزنًا من مشتق حاصل القسمة. لذلك ، من الأفضل أيضًا شرحها بأمثلة محددة ، مع وصف مفصل لكل خطوة.

مهمة. ابحث عن مشتقات الدوال: f(x) = ه 2x + 3 ; ز(x) \u003d الخطيئة ( x 2 + ln x)

لاحظ أنه إذا كانت الوظيفة f(x) بدلاً من التعبير 2 x + 3 سيكون سهلاً x، ثم نحصل على دالة أولية f(x) = ه x ... لذلك ، نقوم بإجراء الاستبدال: لنفترض 2 x + 3 = ر, f(x) = f(ر) = ه ر ... نبحث عن مشتق دالة معقدة بالصيغة:

f ’(x) = f ’(ر) · ر ’ = (ه ر)’ · ر ’ = ه ر · ر ’

والآن - الاهتمام! نقوم بالاستبدال العكسي: ر = 2x + 3. نحصل على:

f ’(x) = ه ر · ر ’ = ه 2x + 3 (2 x + 3)’ = ه 2x + 3 2 \u003d 2 ه 2x + 3

الآن دعونا نتعامل مع الدالة ز(x). من الواضح أنك بحاجة إلى الاستبدال x 2 + ln x = ر... نملك:

ز ’(x) = ز ’(ر) · ر '\u003d (الخطيئة ر)’ · ر '\u003d كوس ر · ر ’

الاستبدال العكسي: ر = x 2 + ln x... ثم:

ز ’(x) \u003d كوس ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '\u003d كوس ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

هذا كل شئ! كما يتضح من التعبير الأخير ، تم اختزال المشكلة برمتها لحساب المجموع المشتق.

إجابة:
f ’(x) \u003d 2 ه 2x + 3 ;
ز ’(x) = (2x + 1/x) كوس ( x 2 + ln x).

في كثير من الأحيان في دروسي أستخدم كلمة "ضربة" بدلاً من مصطلح "مشتق". على سبيل المثال ، أولي من مجموع يساوي مجموع السكتات الدماغية. هل هذا أوضح؟ حسنا هذا جيد.

وبالتالي ، يتم تقليل حساب المشتق للتخلص من نفس السكتات الدماغية وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها أعلاه. كمثال أخير ، دعنا نعود إلى مشتق الأس ذو الأس المنطقي:

(x ن)’ = ن · x ن − 1

قلة يعرفون ما هو الدور ن قد يكون عددًا كسريًا. على سبيل المثال ، الجذر هو x 0.5 ماذا لو كان هناك شيء خيالي تحت الجذر؟ مرة أخرى ، ستظهر وظيفة معقدة - فهم يحبون إعطاء مثل هذه التركيبات في الاختبارات والامتحانات.

مهمة. أوجد مشتق دالة:

أولًا ، دعنا نعيد كتابة الجذر في صورة قوة ذات أس كسري:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

الآن نقوم بعمل بديل: دعونا x 2 + 8x − 7 = ر... نجد المشتق بالصيغة:

f ’(x) = f ’(ر) · ر ’ = (ر 0.5) ' ر '\u003d 0.5 ر −0.5 ر ’.

نقوم بالاستبدال العكسي: ر = x 2 + 8x - 7. لدينا:

f ’(x) \u003d 0.5 ( x 2 + 8x - 7) −0.5 ( x 2 + 8x - 7) '\u003d 0.5 · (2 x +8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

أخيرًا ، عد إلى الجذور:

لا تتوافق الوظائف المعقدة دائمًا مع تعريف الوظيفة المعقدة. إذا كانت هناك دالة بالصيغة y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x 5 7 x 10-17 x 3 + x - 11 ، فلا يمكن اعتبارها معقدة ، على عكس y \u003d sin 2 x.

ستعرض هذه المقالة مفهوم الوظيفة المعقدة وتحديدها. دعونا نعمل مع الصيغ لإيجاد المشتق مع أمثلة للحلول في الخاتمة. يؤدي استخدام جدول المشتقات وقاعدة التفاضل إلى تقليل وقت العثور على المشتق بشكل كبير.

التعاريف الأساسية

التعريف 1

الوظيفة المعقدة هي دالة تكون حجةها أيضًا دالة.

يشار إليه بهذه الطريقة: f (g (x)). لدينا أن الدالة g (x) تعتبر وسيطة لـ f (g (x)).

التعريف 2

إذا كانت هناك دالة f وهي دالة ظل التمام ، فإن g (x) \u003d ln x هي دالة في اللوغاريتم الطبيعي. نحصل على أن الدالة المعقدة f (g (x)) ستُكتب كـ arctan (lnx). أو الدالة f ، وهي دالة مرفوعة إلى الأس الرابع ، حيث تعتبر g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 دالة عقلانية كاملة ، نحصل على f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 ...

من الواضح أن g (x) يمكن أن تكون خادعة. من المثال y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 ، يمكنك أن ترى أن قيمة g لها جذر تكعيبي به كسر. يُسمح بهذا التعبير على أنه y \u003d f (f 1 (f 2 (x))). من أين لدينا أن f هي دالة جيب ، و f 1 هي وظيفة تقع تحتها الجذر التربيعي، f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3-5 دالة كسرية كسرية.

التعريف 3

يتم تحديد درجة التعشيش من قبل أي عدد طبيعي ويتم كتابتها كـ y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))).

التعريف 4

يشير مفهوم تكوين الوظيفة إلى عدد الوظائف المتداخلة حسب حالة المشكلة. للحل ، صيغة لإيجاد مشتقة دالة معقدة للصيغة

(f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x)

أمثلة على

مثال 1

أوجد مشتق دالة معقدة بالصيغة y \u003d (2 x + 1) 2.

القرار

حسب الحالة ، يمكنك أن ترى أن f دالة تربيعية ، وأن g (x) \u003d 2 x + 1 تعتبر دالة خطية.

دعنا نطبق الصيغة المشتقة لوظيفة معقدة ونكتب:

f "(g (x)) \u003d ((g (x)) 2)" \u003d 2 · (g (x)) 2-1 \u003d 2 · g (x) \u003d 2 · (2 \u200b\u200bx + 1) ؛ g "(x) \u003d (2 x + 1)" \u003d (2 x) "+ 1" \u003d 2 x "+ 0 \u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2 ⇒ (f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 (2 x + 1) 2 \u003d 8 x + 4

من الضروري إيجاد مشتق له شكل أصلي مبسط للدالة. نحن نحصل:

ص \u003d (2 س + 1) 2 \u003d 4 س 2 + 4 س + 1

ومن ثم لدينا ذلك

y "\u003d (4 x 2 + 4 x + 1)" \u003d (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "\u003d 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 \u003d \u003d 4 2 × 2 - 1 + 4 1 × 1 - 1 \u003d 8 × + 4

النتائج المتطابقة.

عند حل مشاكل من هذا النوع ، من المهم أن نفهم مكان وجود وظيفة النموذج f و g (x).

مثال 2

يجب أن تجد مشتقات الدوال المعقدة بالصيغة y \u003d sin 2 x و y \u003d sin x 2.

القرار

يشير الترميز الأول للدالة إلى أن f دالة تربيعية و g (x) دالة جيب. ثم نحصل على ذلك

y "\u003d (sin 2 x)" \u003d 2 sin 2 - 1 x (sin x) "\u003d 2 sin x cos x

يُظهر الإدخال الثاني أن f دالة جيب ، و g (x) \u003d x 2 نشير إلى دالة طاقة. ومن ثم فإنه يترتب على ذلك أنه يمكن كتابة منتج الدالة المعقدة كـ

y "\u003d (sin x 2)" \u003d cos (x 2) (x 2) "\u003d cos (x 2) 2 x 2-1 \u003d 2 x cos (x 2)

صيغة المشتق y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x)))))) يمكن كتابتها كـ y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (.. ( fn (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x))))) f 2" (f 3 (.. (fn (x)) )) ·. ... ... · F n "(x)

مثال 3

أوجد مشتق الدالة y \u003d sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

القرار

يوضح هذا المثال مدى تعقيد وظائف الكتابة وتحديد المكان. ثم y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) تشير إلى ، حيث f ، f 1 ، f 2 ، f 3 ، f 4 (x) دالة جيب ، وظيفة رفع في 3 درجة ، دالة مع لوغاريتم وقاعدة e ، دالة قوسية وخطية.

من صيغة تعريف الدالة المعقدة ، لدينا ذلك

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

نحصل على ما نجد

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) كمشتق الجيب وفقًا لجدول المشتقات ، ثم f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ) \u003d cos (ln 3 arctan (2 x)).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) كمشتق لدالة الطاقة ، ثم f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) \u003d 3 ln 3-1 arctan (2 x) \u003d 3 ln 2 arctan (2 x).
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) كمشتق من اللوغاريتمي ، ثم f 2" (f 3 (f 4 (x))) \u003d 1 a r c t g (2 x).
4. f 3 "(f 4 (x)) كمشتق من قوس ظل ، ثم f 3" (f 4 (x)) \u003d 1 1 + (2 x) 2 \u003d 1 1 + 4 x 2.
5. عند إيجاد المشتق f 4 (x) \u003d 2 x ، اطرح 2 خارج علامة المشتق باستخدام صيغة مشتق دالة قوة ذات أس يساوي 1 ، ثم f 4 "(x) \u003d (2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 1 × 1 - 1 \u003d 2.

نحن نجمع النتائج الوسيطة ونحصل على ذلك

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) \u003d \u003d cos (ln 3 arctan (2 x)) 3 ln 2 arctan (2 x) 1 arctan (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 \u003d \u003d 6 cos (ln 3 arctan (2 x)) ln 2 arctan (2 x) arctan (2 x) (1 + 4 x 2)

يشبه تحليل هذه الوظائف دمى ماتريوشكا. لا يمكن دائمًا تطبيق قواعد التمايز صراحةً باستخدام جدول المشتقات. غالبًا ما يكون من الضروري استخدام صيغة لإيجاد مشتقات وظائف معقدة.

هناك بعض الاختلافات بين الوظائف المعقدة والمعقدة. مع القدرة الواضحة على تمييز ذلك ، سيكون العثور على المشتقات أمرًا سهلاً بشكل خاص.

مثال 4

من الضروري النظر في إعطاء مثال مماثل. إذا كانت هناك دالة بالصيغة y \u003d t g 2 x + 3 t g x + 1 ، فيمكن اعتبارها صيغة معقدة g (x) \u003d t g x، f (g) \u003d g 2 + 3 g + 1. من الواضح أنه من الضروري تطبيق صيغة لمشتق معقد:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" \u003d (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "\u003d 2 · ج 2 - 1 (x) + 3 · g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 tgx + 3 ؛ g "(x) \u003d (tgx)" \u003d 1 cos 2 x ⇒ y "\u003d (f (g (x)))" \u003d f "(g (x)) g" (x) \u003d (2 tgx + 3 ) 1 cos 2 x \u003d 2 tgx + 3 cos 2 x

لا تعتبر دالة بالصيغة y \u003d t g x 2 + 3 t g x + 1 صعبة ، حيث إنها تحتوي على مجموع t g x 2 و 3 t g x و 1. ومع ذلك ، تعتبر t g x 2 دالة معقدة ، ثم نحصل على دالة قدرة على شكل g (x) \u003d x 2 و f ، وهي دالة للماس. للقيام بذلك ، يجب عليك التفريق بالمبلغ. لقد حصلنا على ذلك

y "\u003d (tgx 2 + 3 tgx + 1)" \u003d (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "\u003d (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 \u003d (tgx 2)" + 3 كوس 2 س

ننتقل إلى إيجاد مشتق دالة معقدة (t g x 2) ":

f "(g (x)) \u003d (tg (g (x)))" \u003d 1 cos 2 g (x) \u003d 1 cos 2 (x 2) g "(x) \u003d (x 2)" \u003d 2 x 2-1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

نحصل على y "\u003d (t g x 2 + 3 t g x + 1)" \u003d (t g x 2) "+ 3 cos 2 x \u003d 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

يمكن تضمين الوظائف المعقدة في الوظائف المعقدة ، ويمكن أن تكون الوظائف المعقدة نفسها وظائف معقدة.

مثال 5

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك دالة معقدة بالصيغة y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

يمكن تمثيل هذه الوظيفة على أنها y \u003d f (g (x)) ، حيث تكون قيمة f دالة من اللوغاريتم إلى الأساس 3 ، وتعتبر g (x) مجموع وظيفتين من الشكل h (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 و k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1). من الواضح أن y \u003d f (h (x) + k (x)).

ضع في اعتبارك الوظيفة h (x). هذه هي النسبة l (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 to m (x) \u003d e x 2 + 3 3

لدينا أن l (x) \u003d x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 \u003d n (x) + p (x) هو مجموع وظيفتين n (x) \u003d x 2 + 7 و p (x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) حيث p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) دالة معقدة ذات معامل عددي 3 ، و p 1 دالة تكعيبية ، p 2 كدالة جيب تمام ، p 3 (x) \u003d 2 x + 1 - دالة خطية.

لقد حصلنا على أن m (x) \u003d ex 2 + 3 3 \u003d q (x) + r (x) هو مجموع وظيفتين q (x) \u003d ex 2 و r (x) \u003d 3 3 ، حيث q (x) \u003d q 1 (q 2 (x)) دالة معقدة ، q 1 دالة ذات دالة أسية ، q 2 (x) \u003d x 2 دالة طاقة.

هذا يوضح أن h (x) \u003d l (x) m (x) \u003d n (x) + p (x) q (x) + r (x) \u003d n (x) + 3 p 1 (p 2 ( ص 3 (x)) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

عند التمرير إلى تعبير بالصيغة k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) ، يمكن ملاحظة أن الوظيفة يتم تمثيلها كدالة معقدة s (x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) مع عدد صحيح منطقي t (x) \u003d x 2 + 1 ، حيث s 1 دالة تربيعية و s 2 (x) \u003d ln x لوغاريتمي مع الأساس e.

ومن ثم فإنه يتبع أن التعبير يأخذ الشكل k (x) \u003d s (x) t (x) \u003d s 1 (s 2 (x)) t (x).

ثم نحصل على ذلك

y \u003d السجل 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) \u003d \u003d fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 (x)) q 1 (q 2 (x)) \u003d r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

من خلال هياكل الوظائف ، أصبح من الواضح كيف وما هي الصيغ التي يجب استخدامها لتبسيط التعبير عند التمييز بينه. لتتعرف على مثل هذه المشاكل ولمفهوم حلها ، من الضروري أن تنتقل إلى نقطة التفريق بين وظيفة ، أي إيجاد مشتقها.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter

حيث قمنا بتحليل أبسط المشتقات ، وكذلك تعرفنا على قواعد التفاضل وبعض التقنيات لإيجاد المشتقات. وبالتالي ، إذا لم تكن جيدًا في استخدام مشتقات الدوال ، أو لم تكن بعض نقاط هذه المقالة واضحة تمامًا ، فاقرأ الدرس أعلاه أولاً. من فضلك ، استمع إلى مزاج جاد - المواد ليست سهلة ، لكنني سأحاول تقديمها ببساطة وسهولة.

من الناحية العملية ، يتعين على المرء أن يتعامل مع مشتق دالة معقدة في كثير من الأحيان ، بل أقول ، دائمًا تقريبًا ، عندما يتم تكليفك بمهام لإيجاد المشتقات.

ننظر في الجدول إلى القاعدة (رقم 5) لتمييز دالة معقدة:

فهم. بادئ ذي بدء ، دعنا ننتبه إلى التسجيل. هنا لدينا وظيفتان - وعلاوة على ذلك ، فإن الوظيفة ، بالمعنى المجازي ، مضمنة في وظيفة. تسمى الوظيفة من هذا النوع (عندما تتداخل إحدى الوظائف مع أخرى) بالدالة المعقدة.

سوف أستدعي الوظيفة وظيفة خارجيةوالوظيفة - وظيفة داخلية (أو متداخلة).

! هذه التعريفات ليست نظرية ولا ينبغي أن تظهر في إنهاء المهام. أنا أستخدم التعبيرات غير الرسمية "وظيفة خارجية" ، وظيفة "داخلية" فقط لتسهيل فهم المادة.

لتوضيح الموقف ، ضع في اعتبارك:

مثال 1

أوجد مشتق دالة

تحت شرط الجيب ليس لدينا فقط الحرف "X" ، ولكن تعبير عدد صحيح ، لذلك لن يكون من الممكن إيجاد المشتق مباشرة من الجدول. نلاحظ أيضًا أنه من المستحيل تطبيق القواعد الأربعة الأولى هنا ، ويبدو أن هناك اختلافًا ، ولكن الحقيقة هي أنه لا يمكنك "تمزيق" شرط:

في هذا المثال ، من توضيحاتي ، من الواضح بشكل حدسي أن الوظيفة هي وظيفة معقدة ، وأن كثير الحدود هو وظيفة داخلية (مرفق) ، ووظيفة خارجية.

الخطوة الأولى، والتي يجب إجراؤها عند إيجاد مشتق دالة معقدة هو معرفة أي وظيفة داخلية وأيها خارجية.

متي أمثلة بسيطة يبدو من الواضح أن كثير الحدود متداخلة تحت الجيب. ولكن ماذا لو كان كل شيء غير واضح؟ كيف تحدد بالضبط الوظيفة الخارجية وأيها داخلية؟ للقيام بذلك ، أقترح استخدام الأسلوب التالي ، والذي يمكن القيام به عقليًا أو في مسودة.

تخيل أننا بحاجة إلى حساب قيمة التعبير في الآلة الحاسبة (بدلاً من واحد ، يمكن أن يكون هناك أي رقم).

ماذا سنحسب أولا؟ أولا سوف تحتاج إلى القيام بالإجراء التالي: وبالتالي فإن كثير الحدود سيكون وظيفة داخلية:

ثانوي يجب العثور عليها ، لذا فإن الجيب سيكون وظيفة خارجية:

بعد نحن اكتشف مع الوظائف الداخلية والخارجية ، حان الوقت لتطبيق قاعدة التمايز لوظيفة معقدة .

نبدأ في اتخاذ القرار. من الدرس كيف تجد المشتق؟ نتذكر أن تصميم حل أي مشتق يبدأ دائمًا على هذا النحو - نضع التعبير بين قوسين ونضع حدًا في أعلى اليمين:

أول نجد مشتق الوظيفة الخارجية (الجيب) ، وننظر إلى جدول مشتقات الوظائف الأولية ونلاحظ ذلك. جميع الصيغ الجدولية قابلة للتطبيق أيضًا إذا تم استبدال "x" بتعبير معقد، في هذه الحالة:

لاحظ أن الوظيفة الداخلية لم يتغير ، نحن لا نلمسها.

حسنًا ، من الواضح أن

نتيجة تطبيق الصيغة في التصميم النهائي يبدو كالتالي:

يوضع العامل الثابت عادة في بداية التعبير:

إذا كان هناك أي سوء فهم ، فاكتب الحل واقرأ التفسيرات مرة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتق دالة

مثال 3

أوجد مشتق دالة

كالعادة ، نكتب:

دعنا نكتشف أين لدينا وظيفة خارجية وأين توجد وظيفة داخلية. للقيام بذلك ، حاول (عقليًا أو في مسودة) لحساب قيمة التعبير في. ما الذي يجب عمله أولاً؟ بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى حساب ما تساوي القاعدة: مما يعني أن كثير الحدود هو الوظيفة الداخلية:

وعندها فقط يتم تنفيذ الأس ، وبالتالي فإن وظيفة الطاقة هي وظيفة خارجية:

حسب المعادلة ، عليك أولاً إيجاد مشتق الدالة الخارجية ، في هذه الحالة الدرجة. نحن نبحث عن الصيغة المطلوبة في الجدول:. نكرر مرة أخرى: أي صيغة جدولية صالحة ليس فقط لـ "x" ، ولكن أيضًا للتعبير المعقد... وبالتالي ، نتيجة تطبيق قاعدة تفاضل دالة معقدة التالية:

أؤكد مرة أخرى أنه عندما نأخذ مشتق الوظيفة الخارجية ، فإن الوظيفة الداخلية لا تتغير:

يبقى الآن العثور على مشتق بسيط جدًا للوظيفة الداخلية و "مشط" النتيجة قليلاً:

مثال 4

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على حل قائم بذاته (الإجابة في نهاية البرنامج التعليمي).

لتوطيد فهم مشتق دالة معقدة ، سأقدم مثالًا بدون تعليقات ، أحاول اكتشافه بنفسك ، وتكهن ، أين هو الخارجي وأين الوظيفة الداخلية ، لماذا تم حل المهام بهذه الطريقة؟

مثال 5

أ) أوجد مشتق الوظيفة

ب) أوجد مشتق الوظيفة

مثال 6

أوجد مشتق دالة

هنا لدينا جذر ، ولتمييز الجذر ، يجب تمثيله كدرجة. وبالتالي ، نأتي بالدالة أولاً إلى شكل مناسب للتمايز:

عند تحليل الوظيفة ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن مجموع المصطلحات الثلاثة هو وظيفة داخلية ، وأن الأس دالة خارجية. نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة :

يتم تمثيل الدرجة مرة أخرى على أنها جذرية (جذر) ، وبالنسبة لمشتق الوظيفة الداخلية نطبق قاعدة بسيطة لتمييز المجموع:

منجز. يمكنك أيضًا إحضار التعبير إلى مقام موحد بين قوسين وكتابة كل شيء في كسر واحد. جميل ، بالطبع ، ولكن عندما يتم الحصول على مشتقات طويلة مرهقة ، فمن الأفضل عدم القيام بذلك (من السهل الخلط ، وارتكاب خطأ غير ضروري ، وسيكون من غير الملائم للمعلم التحقق).

مثال 7

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على حل قائم بذاته (الإجابة في نهاية البرنامج التعليمي).

من المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه في بعض الأحيان ، بدلاً من قاعدة التفريق بين دالة معقدة ، يمكن للمرء استخدام القاعدة للتمييز بين حاصل القسمة ، ولكن مثل هذا الحل سيبدو غير عادي باعتباره تحريفًا. هذا مثال نموذجي:

المثال 8

أوجد مشتق دالة

هنا يمكنك استخدام القاعدة لاشتقاق حاصل القسمة ، ولكن من الأكثر ربحية العثور على المشتق من خلال قاعدة اشتقاق دالة معقدة:

نحضر دالة الاشتقاق - نضع الطرح خلف علامة المشتق ، ونرفع جيب التمام إلى البسط:

جيب التمام هو دالة داخلية ، الأُس دالة خارجية.
نحن نستخدم حكمنا :

ابحث عن مشتق الوظيفة الداخلية ، وأعد ضبط جيب التمام لأسفل:

منجز. في المثال المدروس ، من المهم عدم الخلط بين العلامات. بالمناسبة ، حاول حلها بالقاعدة ، يجب أن تتطابق الإجابات.

المثال 9

أوجد مشتق دالة

هذا مثال على حل قائم بذاته (الإجابة في نهاية البرنامج التعليمي).

حتى الآن ، نظرنا في الحالات التي كان لدينا فيها مرفق واحد فقط في وظيفة معقدة. في المهام العملية ، يمكنك غالبًا العثور على مشتقات ، حيث يتم دمج 3 أو حتى 4-5 وظائف في وقت واحد ، مثل الدمى المتداخلة.

المثال 10

أوجد مشتق دالة

دعونا نفهم مرفقات هذه الوظيفة. محاولة تقييم التعبير باستخدام قيمة الاختبار. كيف نعتمد على الآلة الحاسبة؟

تحتاج أولاً إلى البحث ، مما يعني أن القوس هو أعمق تداخل:

ثم يجب تربيع قوس جيب الزاوية هذا:

وأخيرًا ، ارفع الرقم 7 إلى القوة:

أي في هذا المثال لدينا ثلاث وظائف مختلفة ومرفقان ، في حين أن الوظيفة الأعمق هي القوس ، والدالة الخارجية هي الدالة الأسية.

نبدأ في الحل

حسب القاعدة أولا عليك أن تأخذ مشتق الدالة الخارجية. ننظر إلى جدول المشتقات ونجد مشتقة الدالة الأسية: الاختلاف الوحيد هو أنه بدلاً من "x" لدينا تعبير مركب ، والذي لا ينفي صحة هذه الصيغة. إذن ، نتيجة تطبيق قاعدة اشتقاق دالة معقدة التالية.