طريقة توزيع بواسون. التوزيع وصيغة بواسون. الخصائص العددية للمتغير العشوائي X

عند النظر في الأحداث ذات الاحتمالية المنخفضة التي تحدث في سلسلة كبيرة من التجارب المستقلة لعدد معين (محدود) من المرات، فإن احتمالات حدوث هذه الأحداث تخضع لقانون بواسون أو قانون الأحداث النادرة، حيث تساوي متوسط ​​عدد الأحداث النادرة. تكرار الأحداث في تجارب مستقلة متطابقة، أي λ = n × p، حيث p هو احتمال وقوع حدث خلال تجربة واحدة، e = 2.71828، m هو تكرار هذا الحدث، والتوقع الرياضي M[X] يساوي lect.

سلسلة توزيع قانون بواسون لها الشكل:

الخصائص العددية للمتغير العشوائي X

القيمة المتوقعةتوزيع السم
م[س] = π

تباين توزيع بواسون
د[X] = π

قانون بواسونيمكن استخدامها للتجمعات السكانية الكبيرة بدرجة كافية (ن> 100) ولديها نسبة صغيرة بما فيه الكفاية من الوحدات التي تمتلك هذه الخاصية (ع< 0,1).
في هذه الحالة، يمكن تطبيق توزيع بواسون عندما تكون قيمة n غير معروفة – الرقم الإجماليالنتائج المحتملة، ولكن أيضًا عندما يكون الرقم النهائي الذي يمكن أن يمثله n غير معروف. عندما يكون هناك متوسط ​​عدد مرات حدوث حدث ما، يتم وصف احتمال وقوع الحدث من خلال شروط التوسيع:
.
وبالتالي فإن الاحتمالات المقابلة هي:

لذلك، إذا كان متوسط ​​عدد الزلازل واحداً شهرياً، فإن m = 1 وسيكون احتمال حدوثها شهرياً كما يلي، محسوباً من القيمة التقريبية e - m = 0.3679:

مثال. ونتيجة فحص 1000 دفعة من المنتجات المتطابقة، تم الحصول على التوزيع التالي لعدد المنتجات المعيبة في الدفعة:

لنحدد متوسط ​​عدد المنتجات المعيبة في الدفعة:
.
نجد التكرارات النظرية لقانون بواسون:


تم العثور على توزيع بواسون تجريبيا ونظريا:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

تشير المقارنة إلى أن التوزيع التجريبي يتوافق مع توزيع بواسون.

المثال رقم 2. قام قسم الرقابة الفنية بفحص دفعات n من المنتجات المماثلة ووجد أن الرقم X من المنتجات غير القياسية في دفعة واحدة له توزيع تجريبي موضح في الجدول، حيث يشير سطر واحد منه إلى الرقم x i من المنتجات غير القياسية في دفعة واحدة، ويشير السطر الآخر إلى عدد دفعات n i التي تحتوي على منتجات x i غير القياسية. يشترط اختبار الفرضية عند مستوى الدلالة α=0.05 بأن المتغير العشوائي X (عدد المنتجات غير القياسية في الدفعة الواحدة) يتم توزيعها وفقا لقانون بواسون.

× ط	0	1	2	3	4	5
ن ط	370	360	190	63	14	3

دعونا نتحقق من الفرضية القائلة بأن X يتم توزيعها قانون بواسوناستخدام الخدمة، اختبار الفرضيات الإحصائية.


حيث p i هو احتمال الضرب الفاصل الزمني متغير عشوائي، موزعة وفق قانون افتراضي؛ lect = x متوسط.
ط = 0: ص 0 = 0.3679، نب 0 = 367.88
ط = 1: ص 1 = 0.3679، نب 1 = 367.88
ط = 2: ص 2 = 0.1839، نب 2 = 183.94
ط = 3: ص 3 = 0.0613، نب 3 = 61.31
ط = 4: ص 4 = 0.0153، نب 4 = 15.33
ط = 5: ص 5 = 0.0031، np 5 = 3.07
ط = 6: 17=14 + 3
ط = 6: 18.39=15.33 + 3.07

أنا	التردد المرصود n i	باي	التردد المتوقع np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

دعونا نحدد حدود المنطقة الحرجة. بما أن إحصائية بيرسون تقيس الفرق بين التوزيعات التجريبية والنظرية، فكلما زادت قيمتها المرصودة K obs، أصبحت الحجة ضد الفرضية الرئيسية أقوى.
ولذلك، فإن المنطقة الحرجة لهذه الإحصائيات هي دائمًا اليد اليمنى :)