حل مجموعة من عدم المساواة عبر الإنترنت. عدم المساواة. أنواع عدم المساواة. جمع واستخدام المعلومات الشخصية

طريقة التباعد - طريقة بسيطة لحل كسور عدم المساواة المنطقية. هذا هو اسم المتباينات التي تحتوي على تعبيرات عقلانية (أو كسرية عقلانية) تعتمد على متغير.

1. تأمل ، على سبيل المثال ، في مثل هذا التفاوت

تسمح لك طريقة الفاصل الزمني بحلها في دقيقتين.

يوجد على الجانب الأيسر من هذه المتباينة دالة كسرية كسرية. عقلاني ، لأنه لا يحتوي على جذور ، ولا جيوب ، ولا لوغاريتمات - فقط التعبيرات المنطقية. على اليمين صفر.

تعتمد طريقة الفاصل الزمني على الخاصية التالية للدالة المنطقية الكسرية.

يمكن للدالة الكسرية الكسرية تغيير الإشارة فقط عند تلك النقاط التي تكون فيها مساوية للصفر أو غير موجودة.

دعونا نتذكر كيف يتحلل ثلاثي الحدود المربع إلى عوامل ، أي تعبير عن الشكل.

أين وما هي الجذور معادلة من الدرجة الثانية.

ارسم المحور وضع النقاط التي يختفي عندها البسط والمقام.

أصفار المقام ونقاط مثقوبة ، لأنه عند هذه النقاط تكون الوظيفة على الجانب الأيسر من المتباينة غير معرفة (لا يمكنك القسمة على صفر). يتم ملء أصفار البسط و - ، لأن عدم المساواة ليست صارمة. بالنسبة لـ و ، المتباينة صحيحة ، لأن كلا طرفيها يساوي صفرًا.

تقسم هذه النقاط المحور إلى فترات.

دعونا نحدد إشارة الدالة الكسرية الكسرية في الطرف الأيسر من المتباينة في كل من هذه الفترات. نتذكر أن الدالة الكسرية الكسرية لا يمكن أن تتغير إلا عند تلك النقاط التي تساوي فيها صفرًا أو غير موجودة. هذا يعني أنه في كل من الفترات بين النقطتين التي يختفي فيها البسط أو المقام ، فإن إشارة التعبير على الجانب الأيسر من المتباينة ستكون ثابتة - إما "زائد" أو "ناقص".

وبالتالي ، لتحديد علامة الدالة في كل فترة زمنية ، نأخذ أي نقطة تنتمي إلى هذه الفترة. الشخص المناسب لنا.
... خذ ، على سبيل المثال ، وتحقق من إشارة التعبير على الجانب الأيسر من المتباينة. كل من "الأقواس" هو سلبي. الجانب الأيسر لديه علامة.

الفترة التالية:. دعونا نتحقق من علامة. لقد حصلنا على أن الجانب الأيسر قد غير العلامة إلى.

لنأخذ. عندما يكون التعبير موجبًا ، يكون موجبًا طوال الفترة من إلى.

لأن الجانب الأيسر من المتباينة سالب.

أخيرًا ، class \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: x\u003e 7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

وجدنا في أي فترات يكون التعبير موجبًا. يبقى أن نكتب الجواب:

إجابة:.

يرجى ملاحظة أن الأحرف في الفراغات متبادلة. حدث هذا بسبب عند المرور عبر كل نقطة ، تغير علامة واحدة من العوامل الخطية بالضبط ، وأبقها الباقي دون تغيير.

يمكننا أن نرى أن طريقة التباعد بسيطة للغاية. لتحل عدم المساواة المنطقية الكسرية بطريقة الفواصل ، نأتي به إلى النموذج:

أو class \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: \\ genfrac () () () (0) (\\ displaystyle P \\ left (x \\ right)) (\\ displaystyle Q \\ left (x \\ right))\u003e 0"> !}، او او .

(على اليسار - دالة كسرية كسرية ، على اليمين - صفر).

ثم - نحدد النقاط التي يختفي عندها البسط أو المقام على خط الأعداد.
تقسم هذه النقاط خط الأعداد بالكامل إلى فترات ، حيث تحتفظ الدالة الكسرية الكسرية بعلامتها.
يبقى فقط لمعرفة علامته في كل فترة.
نقوم بذلك عن طريق فحص علامة التعبير في أي نقطة تنتمي إلى الفترة الزمنية المحددة. بعد ذلك ، اكتب الإجابة. هذا كل شئ.

لكن السؤال الذي يطرح نفسه: هل العلامات تتناوب دائمًا؟ لا، ليس دائما! يجب على المرء أن يحرص على عدم وضع اللافتات بشكل ميكانيكي وبدون تفكير.

2. لنفكر في متباينة أخرى.

Class \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: \\ genfrac () () () (0) (\\ displaystyle \\ left (x-2 \\ right) ^ 2) (\\ displaystyle \\ left (x-1 \\ right) \\ يسار (x-3 \\ يمين))\u003e 0"> !}

ضع النقاط على المحور مرة أخرى. يتم ثقب النقاط لأنها أصفار المقام. يتم ثقب النقطة أيضًا ، لأن عدم المساواة صارم.

عندما يكون البسط موجبًا ، يكون كلا العاملين في المقام سالبًا. يمكن التحقق من ذلك بسهولة عن طريق أخذ أي رقم من فاصل زمني معين ، على سبيل المثال ،. الجانب الأيسر له علامة:

عندما يكون البسط موجبًا ؛ العامل الأول في المقام موجب ، والعامل الثاني سالب. الجانب الأيسر له علامة:

الوضع هو نفسه! البسط موجب ، العامل الأول في المقام موجب ، والثاني سالب. الجانب الأيسر له علامة:

أخيرًا ، باستخدام class \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: x\u003e 3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

إجابة:.

لماذا تم كسر تناوب العلامات؟ لأنه عند المرور بنقطة ما ، فإن العامل "المسؤول" عنها لم يغير التوقيع... وبالتالي ، فإن الجانب الأيسر من المتباينة بالكامل لم يغير علامته أيضًا.

انتاج: إذا كان العامل الخطي في قوة زوجية (على سبيل المثال ، في مربع) ، فعند المرور عبر النقطة ، لا تتغير علامة التعبير على الجانب الأيسر... في حالة الدرجة الفردية ، تتغير العلامة بالطبع.

3. لنفكر في حالة أكثر تعقيدًا. إنه يختلف عن السابق في أن عدم المساواة ليست صارمة:

الجانب الأيسر هو نفسه كما في المهمة السابقة. ستكون صورة العلامات هي نفسها:

ربما الجواب سيكون هو نفسه؟ ليس! تمت إضافة حل هذا لأن كلا الجانبين الأيمن والأيسر من المتباينة يساوي صفرًا - وبالتالي ، فهذه النقطة هي حل.

إجابة:.

في مشكلة امتحان الرياضيات ، غالبًا ما نواجه هذا الموقف. هذا هو المكان الذي يقع فيه المتقدمون في الفخ ويفقدون النقاط. كن حذرا!

4. ماذا لو كان البسط أو المقام لا يمكن أن يكون خطيًا؟ ضع في اعتبارك عدم المساواة هذه:

لا يمكنك تحليل مثلث ثلاثي الحدود إلى عوامل: المميز سالب ، ولا توجد جذور. لكن هذا جيد! هذا يعني أن علامة التعبير هي نفسها للجميع ، وعلى وجه التحديد ، فهي إيجابية. يمكنك قراءة المزيد حول هذا الموضوع في المقالة التي تتناول خصائص الدالة التربيعية.

والآن يمكننا قسمة طرفي المتباينة على قيمة موجبة للجميع. نصل إلى عدم المساواة المكافئة:

والتي يمكن حلها بسهولة بطريقة الفواصل الزمنية.

يرجى ملاحظة - لقد قسمنا كلا طرفي المتباينة على المقدار الذي نعرفه بالتأكيد أنه موجب. بالطبع ، في الحالة العامة ، لا يجب أن تضرب أو تقسم المتباينة على متغير غير معروف علامته.

5 ... ضع في اعتبارك عدم مساواة أخرى ، تبدو بسيطة للغاية:

أريد فقط أن أضربه في. لكننا بالفعل أذكياء ، ولن نفعل ذلك. بعد كل شيء ، يمكن أن تكون إيجابية وسلبية. ونعلم أنه إذا تم ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة ، فإن علامة المتباينة ستتغير.

سنفعل ذلك بشكل مختلف - سنجمع كل شيء في جزء واحد ونجعله في قاسم مشترك. سيبقى الصفر على الجانب الأيمن:

Class \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: \\ genfrac () () () (0) (\\ displaystyle x-2) (\\ displaystyle x)\u003e 0"> !}

وبعد ذلك - تقدم بطلب طريقة الفاصل.

انتباه!
هناك المزيد
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين "ليسوا ..."
ولمن هم "متساوون جدًا ...")

ماذا "مربع عدم المساواة"؟ لا شك!) إذا كنت تأخذ أي المعادلة التربيعية واستبدال العلامة فيها "=" (يساوي) أي رمز عدم المساواة ( > ≥ < ≤ ≠ ) ، نحصل على متباينة مربعة. فمثلا:

1. × 2 -8 س + 12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. × 2 ≤ 4

جيد، لقد وصلتك الفكرة ...)

لقد ربطت هنا المعادلات وعدم المساواة ليس من أجل لا شيء. النقطة المهمة هي أن الخطوة الأولى في الحل أي مربع عدم المساواة - حل المعادلة التي تتكون منها هذه المتباينة. لهذا السبب ، يؤدي عدم القدرة على حل المعادلات التربيعية تلقائيًا إلى فشل كامل في عدم المساواة. هل التلميح واضح؟) إذا كان هناك أي شيء ، انظر كيف تحل أي معادلات تربيعية. كل شيء مفصل هناك. وفي هذا الدرس سنتعامل بشكل خاص مع المتباينات.

المتباينة جاهزة للحل لها الشكل: اليسار - ثلاثي الحدود الفأس 2 + ب س + ج، على اليمين - صفر. يمكن أن تكون علامة عدم المساواة على الإطلاق. أول مثالين هنا جاهز بالفعل للحل. المثال الثالث لا يزال بحاجة إلى الاستعداد.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. اختبار التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

تسمى عدم المساواة الخطية الجانبان الأيمن والأيسر منه وظائف خطية بالنسبة إلى كمية غير معروفة. وتشمل هذه ، على سبيل المثال ، عدم المساواة:

2x-1-x + 3 ؛ 7x0;

5 \u003e 4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) عدم المساواة الصارمة: الفأس + ب\u003e 0 أو الفأس + ب<0

2) عدم التقيد بعدم المساواة: الفأس + b≤0 أو الفأس + ب≫ 0

دعونا نحلل مثل هذه المهمة... طول أحد أضلاع متوازي الأضلاع ٧ سم. ما طول الضلع الآخر بحيث يكون محيط متوازي الأضلاع أكبر من 44 سم؟

دع الجانب المطلوب يكون x cm في هذه الحالة ، سيمثل محيط متوازي الأضلاع بـ (14 + 2x) سم ، والمتباينة 14 + 2x\u003e 44 هي نموذج رياضي لمسألة محيط متوازي الأضلاع. إذا استبدلنا المتغير في هذه المتباينة x في ، على سبيل المثال ، الرقم 16 ، ثم نحصل على المتباينة العددية الصحيحة 14 + 32\u003e 44. في هذه الحالة ، يقولون إن الرقم 16 هو حل للمتباينة 14 + 2x\u003e 44.

حل عدم المساواة يشير إلى قيمة المتغير الذي يحوله إلى متباينة عددية حقيقية.

لذلك ، كل رقم من الأرقام 15،1 ؛ 20 ؛ 73 هي حل المتباينة 14 + 2x\u003e 44 ، والرقم 10 ، على سبيل المثال ، ليس حلها.

حل المتباينة يعني إنشاء كل الحلول أو إثبات عدم وجود حلول.

إن صياغة حل عدم المساواة تشبه صياغة جذر المعادلة. ومع ذلك ، فليس من المعتاد الإشارة إلى "جذر عدم المساواة"

ساعدتنا خصائص المساواة العددية في حل المعادلات. وبالمثل ، فإن خصائص عدم المساواة العددية ستساعد في حل التفاوتات.

حل المعادلة ، نغيرها إلى أخرى ، أكثر معادلة بسيطةولكن ما يعادل المعطى. تم العثور على الجواب وعدم المساواة بطريقة مماثلة. عند تغيير معادلة إلى معادلة مكافئة ، يستخدمون النظرية في نقل المصطلحات من جانب واحد من المعادلة إلى الجانب المقابل وضرب كلا طرفي المعادلة بنفس العدد غير الصفري. عند حل متباينة ، يوجد فرق كبير بينها وبين المعادلة ، والذي يتمثل في حقيقة أن أي حل للمعادلة يمكن التحقق منه ببساطة عن طريق استبداله بالمعادلة الأصلية. في المتباينات ، هذه الطريقة غائبة ، لأنه من غير الممكن استبدال عدد لانهائي من الحلول في المتباينة الأصلية. لذلك ، هناك مفهوم مهم ، هذه الأسهم<=> هي علامة للتحولات المكافئة أو المكافئة. التحول يسمى ما يعادل، أو ما يعادلإذا لم يغيروا مجموعة القرارات.

قواعد مماثلة لحل عدم المساواة.

إذا نقلنا أي حد من جزء من المتباينة إلى جزء آخر ، مع استبدال إشارته بالعكس ، فإننا نحصل على متباينة مكافئة لهذا الجزء.

إذا تم ضرب (قسمة) طرفي المتباينة في نفس العدد الموجب ، فسنحصل على متباينة مكافئة لهذا.

إذا تم ضرب (قسمة) كلا طرفي المتباينة في نفس العدد السالب ، مع استبدال علامة المتباينة بالإشارة المقابلة ، فإننا نحصل على متباينة مكافئة للمتباينة المعطاة.

باستخدام هذه اللوائح نحسب المتباينات التالية.

1) دعونا نفحص عدم المساواة 2x - 5\u003e 9.

عليه عدم المساواة الخطية، والعثور على الحل ومناقشة المفاهيم الأساسية.

2x - 5\u003e 9<=> 2x\u003e 14 (تم نقل الرقم 5 إلى اليسار بإشارة معاكسة) ، ثم قسمنا كل شيء على 2 ولدينا x\u003e 7... سنقوم برسم العديد من الحلول على المحور x

لقد حصلنا على شعاع موجّه بشكل إيجابي. نحتفل بمجموعة الحلول إما في شكل المتباينة x\u003e 7، أو في شكل فاصل х (7 ؛ ∞). وما هو الحل الخاص لهذه التفاوتات؟ فمثلا، س \u003d 10 هو حل خاص لعدم المساواة ، س \u003d 12هو أيضًا حل خاص لهذا التفاوت.

هناك العديد من الحلول الخاصة ، ولكن مهمتنا هي إيجاد كل الحلول. وعادة ما تكون هناك حلول لا حصر لها.

دعنا نحلل المثال 2:

2) حل المتباينة 4 أ - 11\u003e أ + 13.

لنحلها: و تحرك إلى جانب واحد ، 11 بالانتقال إلى الجانب الآخر ، نحصل على 3 أ< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 عدم المساواة له الشكل أ<8 .

4 أ - 11\u003e أ + 13<=> 3 أ< 24 <=> أ< 8 .

سنقوم أيضًا بعرض المجموعة أ< 8 ، ولكن بالفعل على المحور و.

نكتب الإجابة في صورة المتباينة أ< 8, либо و(-∞;8), 8 لا يعمل.

في المقال سوف ننظر حل عدم المساواة... سنخبرك متوفر عن كيفية بناء حل لعدم المساواةمع أمثلة واضحة!

قبل التفكير في حل المتباينات بالأمثلة ، دعونا نفهم المفاهيم الأساسية.

معلومات عامة عن عدم المساواة

عدم المساواة يسمى التعبير الذي ترتبط فيه الوظائف بعلامات العلاقة\u003e ،. المتباينات عددية وحرفية على حد سواء.
يُطلق على عدم المساواة مع علامتي علاقة مزدوجة ، مع ثلاثة - ثلاثية ، إلخ. فمثلا:
أ (خ)\u003e ب (خ) ،
أ (خ) أ (خ) ب (خ) ،
أ (خ) ب (خ).
أ (خ) المتباينات التي تحتوي على\u003e أو ليست صارمة.
حل عدم المساواة هي أي قيمة للتغيير تكون فيها عدم المساواة صحيحة.
"حل المتباينة"يعني أنه من الضروري إيجاد العديد من جميع الحلول. هناك العديد من الحلول طرق حل عدم المساواة... إلى عن على حلول لعدم المساواة استخدم خط الأعداد ، وهو لانهائي. فمثلا، حل عدم المساواة x\u003e 3 هي فترة من 3 إلى + ، والرقم 3 غير مدرج في هذه الفترة ، لذلك يشار إلى النقطة على خط مستقيم بدائرة فارغة ، حيث عدم المساواة صارم.
+
ستكون الإجابة: x (3 ؛ +).
لم يتم تضمين القيمة x \u003d 3 في مجموعة الحلول ، لذا فإن الأقواس مستديرة. علامة اللانهاية محاطة دائمًا بقوس. العلامة تعني "الانتماء".
دعونا نرى كيفية حل المتباينات باستخدام مثال موقّع آخر:
× 2
-+
يتم تضمين القيمة x \u003d 2 في مجموعة الحلول ؛ لذلك ، القوس مربع والنقطة على الخط يشار إليها بدائرة مملوءة.
سيكون الجواب: س.

المثال الثالث. | 1 - س | \u003e 2 | س - 1 |.

القرار. الخطوة الأولى هي تحديد النقاط التي تذهب عندها الوظائف إلى الصفر. بالنسبة لليسار ، سيكون هذا الرقم 2 ، بالنسبة إلى اليمين - 1. يجب وضع علامة عليها على الشعاع وتحديد فترات الثبات.

في الفترة الأولى ، من سالب ما لا نهاية إلى 1 ، تأخذ الدالة من الطرف الأيسر للمتباينة قيمًا موجبة ، ومن الطرف الأيمن - سالبة. تحت القوس ، يجب أن تكتب بجوار علامتي "+" و "-".

الفاصل الزمني التالي هو من 1 إلى 2. في ذلك ، تأخذ كلتا الوظيفتين قيمًا موجبة. هذا يعني أن هناك اثنين من الإيجابيات تحت القوس.

الفترة الثالثة من 2 إلى اللانهاية ستعطي النتيجة التالية: الدالة اليسرى سالبة ، والدالة اليمنى موجبة.

مع الأخذ في الاعتبار العلامات الناتجة ، تحتاج إلى حساب قيم المتباينة لجميع الفترات.

في الأول ، نحصل على المتباينة التالية: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). يرجع السالب قبل الاثنين في المتباينة الثانية إلى حقيقة أن هذه الدالة سالبة.

بعد التحويل ، تبدو المتباينة كما يلي: x\u003e 0. تعطي على الفور قيم المتغير. أي ، من هذا الفاصل الزمني ، فقط الفترة من 0 إلى 1 سوف تستجيب.

في الثانية: 2 - x\u003e 2 (x - 1). ستعطي التحويلات المتباينة التالية: -3x + 4 أكبر من صفر. سيكون صفره x \u003d 4/3. بالنظر إلى علامة المتباينة ، اتضح أن x يجب أن يكون أقل من هذا العدد. هذا يعني أن هذا الفاصل الزمني يتم تقليله إلى فترة من 1 إلى 4/3.

يعطي الأخير رمز المتباينة التالي: - (2 - x)\u003e 2 (x - 1). يؤدي تحولها إلى ما يلي: -x\u003e 0. أي أن المعادلة صحيحة لـ x أقل من صفر. هذا يعني أن المتباينة لا تعطي حلولاً للمدة المطلوبة.

في أول فترتين ، تبين أن الرقم 1 هو الحد. يجب التحقق منه بشكل منفصل. أي ، استبدل المتباينة الأصلية. اتضح: | 2 - 1 | \u003e 2 | 1 - 1 |. يعطي العد أن 1 أكبر من 0. هذه إفادة صحيحة ، لذلك يتم تضمين 1 في الإجابة.

الإجابة: x تقع في الفترة (0 ؛ 4/3).