صيغ Arctg cast. علم المثلثات. الدوال المثلثية العكسية. الرسوم البيانية للدوال المثلثية المعكوسة

التعريف والترميز

قوس ساين (ص \u003d أركسين x) هي دالة الجيب العكسية (x \u003d ذ الخطيئة -1 ≤ س ≤ 1 ومجموعة القيم / 2 ص π / 2.
الخطيئة (arcsin x) \u003d x ;
arcsin (sin x) \u003d x .

يُشار أحيانًا إلى Arcsine على النحو التالي:
.

الرسم البياني لدالة القوسين

الرسم البياني للدالة y \u003d أركسين x

يتم الحصول على مؤامرة القوس من مخطط الجيب عن طريق تبديل محاور الإحداثي والإحداثيات. للقضاء على الغموض ، فإن نطاق القيم محدود بالفاصل الزمني الذي تكون فيه الوظيفة رتيبة. هذا التعريف يسمى القيمة الرئيسية للقوس.

Arccosine ، arccos

التعريف والترميز

Arccosine (ذ \u003d arccos x) هي الدالة العكسية لجيب التمام (x \u003d مريح). لها نطاق -1 ≤ س ≤ 1 ومعاني كثيرة 0 ≤ y ≤ π.
كوس (arccos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .

يشار إلى Arccosine أحيانًا على النحو التالي:
.

الرسم البياني لدالة Arccosine

الرسم البياني للدالة y \u003d arccos x

يتم الحصول على مؤامرة arccosine من مخطط جيب التمام عن طريق تبديل محاور الإحداثي السيني وتنسيقها. للقضاء على الغموض ، فإن نطاق القيم محدود بالفاصل الزمني الذي تكون فيه الوظيفة رتيبة. يسمى هذا التعريف القيمة الرئيسية لجناح القوس.

التكافؤ

وظيفة القوسين غريبة:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (sin (-arcsin x)) \u003d - arcsin x

دالة جيب التمام العكسية ليست زوجية أو فردية:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x

الخصائص - القيم القصوى ، الزيادة ، النقصان

دالتا الجيب العكسي وجيب التمام العكسي مستمرتان في مجال تعريفهما (انظر دليل الاستمرارية). يتم عرض الخصائص الرئيسية للأركسين والأركسين في الجدول.

	ص \u003d أركسين x	ص \u003d arccos x
النطاق والاستمرارية	- 1 ≤ س ≤ 1	- 1 ≤ س ≤ 1
مدى من القيم
زيادة نقصان	يزيد بشكل رتيب	ينخفض \u200b\u200bبشكل رتيب
ارتفاعات
الدنيا
الأصفار ، ص \u003d 0	س \u003d 0	س \u003d 1
نقاط التقاطع مع المحور y ، x \u003d 0	ص \u003d 0	ص \u003d π / 2

طاولة أركسين وأركوزين

يوضح هذا الجدول قيم الأقواس والأقواس ، بالدرجات والراديان ، لبعض قيم الوسيطة.

x	أركسين x		arccos x
	وابل.	سعيد.	وابل.	سعيد.
- 1	- 90 درجة	-	180 درجة	π
-	- 60 درجة	-	150 درجة
-	- 45 درجة	-	135 درجة
-	- 30 درجة	-	120 درجة
0	0°	0	90 درجة
	30 درجة		60 درجة
	45 درجة		45 درجة
	60 درجة		30 درجة
1	90 درجة		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

الصيغ

أنظر أيضا: اشتقاق الصيغ للدوال المثلثية العكسية

صيغ الجمع والفرق

في أو

في و

في و

في أو

في و

في و

في

في

في

في

التعابير اللوغاريتمية والأرقام المركبة

أنظر أيضا: اشتقاق الصيغ

التعبيرات من حيث الدوال الزائدية

المشتقات

;
.
انظر مشتقات Arcsine و Arccosine \u003e\u003e\u003e

المشتقات عالية الرتبة:
,
أين هي درجة متعددة الحدود. يتم تحديده بواسطة الصيغ:
;
;
.

انظر اشتقاق مشتقات الرتبة الأعلى من القوسين والأركسين \u003e\u003e\u003e

تكاملات

التعويض x \u003d الخطيئة ت... ندمج حسب الأجزاء ، مع الأخذ في الاعتبار أن-that / 2 ≤ ر ≤ π / 2, كوس ر ≥ 0:
.

دعونا نعبر عن جيب التمام المعكوس بدلالة القوسين:
.

توسيع السلسلة

لـ | x |< 1 يحدث التحلل التالي:
;
.

وظائف معكوسة

معكوس الجيب وجيب التمام المعكوس هما الجيب وجيب التمام على التوالي.

الصيغ التالية صالحة في جميع أنحاء المجال:
الخطيئة (arcsin x) \u003d x
كوس (arccos x) \u003d x .

الصيغ التالية صالحة فقط لمجموعة قيم القوس والزاوية:
arcsin (sin x) \u003d x في
arccos (cos x) \u003d x في.

المراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب المؤسسات التقنية ، "Lan" ، 2009.

أنظر أيضا:

الدوال المثلثية العكسية هي دوال رياضية هي دوال مثلثية عكسية.

الدالة y \u003d arcsin (x)

قوس الجيب لرقم α هو رقم α من الفاصل الزمني [-/ 2 ؛ / 2] ، جيبه يساوي α.
الرسم البياني للوظيفة
الدالة y \u003d sin\u2061 (x) على المقطع [-/ 2 ؛ π / 2] تتزايد بشكل صارم ومستمرة ؛ وبالتالي ، لها وظيفة عكسية ، تتزايد بشكل صارم ومستمرة.
الوظيفة العكسية للدالة y \u003d sin\u2061 (x) ، حيث x ∈ [-/ 2 ؛ π / 2] ، تسمى القوسين ويُرمز لها بـ y \u003d arcsin (x) ، حيث x ∈ [-1 ؛ 1].
لذلك ، وفقًا لتعريف الدالة العكسية ، فإن مجال تعريف القوس هو المقطع [-1 ؛ 1] ، ومجموعة القيم هي المقطع [-/ 2 ؛ / 2].
لاحظ أن الرسم البياني للدالة y \u003d arcsin (x) ، حيث x ∈ [-1 ؛ 1]. متماثل مع الرسم البياني للدالة y \u003d sin (\u2061x) ، حيث x ∈ [-/ 2 ؛ π / 2] ، نسبة إلى منصف زوايا الإحداثيات الربع الأول والثالث.

نطاق الوظيفة y \u003d arcsin (x).

مثال 1.

البحث عن arcsin (1/2)؟

بما أن نطاق قيم الدالة arcsin (x) ينتمي إلى الفترة [-/ 2 ؛ π / 2] ، فإن قيمة π / 6 هي فقط المناسبة ، وبالتالي ، arcsin (1/2) \u003d π / 6.
الجواب: π / 6

المثال رقم 2.
أوجد arcsin (- (√3) / 2)؟

بما أن نطاق القيم arcsin (x) х ∈ [-/ 2؛ π / 2] ، فقط القيمة -π / 3. مناسبة لذلك ، arcsin (- (√3) / 2) \u003d - π / 3.

الدالة y \u003d arccos (x)

جيب التمام العكسي للرقم α هو رقم α من فترة جيب تمامها يساوي α.

الرسم البياني للوظيفة

الدالة y \u003d cos (\u2061x) على مقطع ما تتناقص بشكل صارم ومستمرة ؛ ومن ثم ، فإن لها دالة عكسية ، متناقصة ومستمرة بشكل صارم.
الدالة العكسية للدالة y \u003d cos\u2061x ، حيث تسمى x ∈ جيب التمام المعكوس ويُشار إليها بـ y \u003d arccos (x) ، حيث х ∈ [-1 ؛ 1].
لذلك ، وفقًا لتعريف الدالة العكسية ، يكون مجال تعريف قوس القوس هو المقطع [-1 ؛ 1] ، ومجموعة القيم هي المقطع.
لاحظ أن الرسم البياني للدالة y \u003d arccos (x) ، حيث x ∈ [-1 ؛ 1] ، متماثل مع الرسم البياني للدالة y \u003d cos (\u2061x) ، حيث x ∈ ، نسبة إلى منصف زوايا إحداثيات الربعين الأول والثالث.

مجال الوظيفة y \u003d arccos (x).

مثال رقم 3.

البحث عن arccos (1/2)؟

نظرًا لأن نطاق القيم هو arccos (x) х∈ ، فإن القيمة π / 3 هي فقط المناسبة ؛ لذلك ، arccos (1/2) \u003d π / 3.
مثال رقم 4.
أوجد arccos (- (2) / 2)؟

نظرًا لأن نطاق قيم الدالة arccos (x) ينتمي إلى الفاصل الزمني ، فإن القيمة 3π / 4 فقط هي المناسبة ؛ لذلك ، arccos (- (√2) / 2) \u003d 3π / 4.

الجواب: 3π / 4

الدالة y \u003d arctan (x)

قوس ظل الرقم α هو رقم α من الفاصل الزمني [-/ 2 ؛ π / 2] ، مماس الذي يساوي α.

الرسم البياني للوظيفة

دالة الظل مستمرة وتتزايد بشكل صارم في الفترة الزمنية (-/ 2 ؛ π / 2) ؛ وبالتالي ، لها وظيفة عكسية ، وهي مستمرة وتتزايد بشكل صارم.
الدالة العكسية للدالة y \u003d tg\u2061 (x) ، حيث х∈ (-/ 2 ؛ π / 2) ؛ يسمى قوس ظل الزاوية ويشار إليه بـ y \u003d arctan (x) ، حيث х∈R.
لذلك ، وفقًا لتعريف الدالة العكسية ، فإن مجال تعريف قوس ظل الزاوية هو الفاصل الزمني (-∞ ؛ + ∞) ، ومجموعة القيم هي الفاصل الزمني
(-/ 2 ؛ / 2).
لاحظ أن الرسم البياني للدالة y \u003d arctan (x) ، حيث х∈R ، متماثل مع الرسم البياني للدالة y \u003d tg\u2061x ، حيث х ∈ (-/ 2 ؛ π / 2) ، نسبة إلى منصف زوايا إحداثيات الربعين الأول والثالث.

نطاق الوظيفة y \u003d arctan (x).

المثال الخامس؟

أوجد arctan ((√3) / 3).

بما أن نطاق القيم arctan (x) х ∈ (-/ 2 ؛ π / 2) ، فإن القيمة π / 6 هي فقط المناسبة ، لذلك ، arctg ((3) / 3) \u003d π / 6.
المثال رقم 6.
البحث عن arctg (-1)؟

بما أن نطاق قيم arctan (x) х ∈ (-/ 2 ؛ π / 2) ، فقط القيمة-/ 4 هي المناسبة لذلك ، arctg (-1) \u003d - π / 4.

الدالة y \u003d arcctg (x)

ظل التمام للعدد α هو رقم α من الفاصل الزمني (0 ؛ π) ، ظل التمام هو α.

الرسم البياني للوظيفة

على الفاصل الزمني (0 ؛ π) ، تتناقص وظيفة ظل التمام بشكل صارم ؛ علاوة على ذلك ، فهو مستمر في كل نقطة من هذه الفترة ؛ لذلك ، في الفترة (0 ؛ π) ، هذه الوظيفة لها دالة عكسية ، وهي تناقص مستمر ومستمر.
الوظيفة العكسية للدالة y \u003d ctg (x) ، حيث х ∈ (0 ؛ π) ، تسمى قوس ظل التمام ويتم الإشارة إليها بواسطة y \u003d arcctg (x) ، حيث х∈R.
لذلك ، وفقًا لتعريف الدالة العكسية ، فإن مجال تعريف قوس ظل التمام هو R ، ومجموعة القيم هي الفترة (0 ؛؛). الرسم البياني للدالة y \u003d arcctg (x) ، حيث х∈R متماثل مع الرسم البياني للدالة y \u003d ctg (x) х∈ (0 ؛ π) ، نسبة إلى منصف زوايا إحداثيات الربعين الأول والثالث.

نطاق الوظيفة y \u003d arcctg (x).

المثال رقم 7.
أوجد arcctg ((3) / 3)؟

نظرًا لأن نطاق القيم هو arcctg (x) х ∈ (0 ؛ π) ، فقط π / 3 مناسب ؛ لذلك ، arccos ((√3) / 3) \u003d π / 3.

المثال الثامن.
أوجد arcctg (- (√3) / 3)؟

نظرًا لأن نطاق القيم هو arcctg (x) х∈ (0 ؛ π) ، فإن القيمة 2π / 3 فقط هي المناسبة ؛ لذلك ، arccos (- (√3) / 3) \u003d 2π / 3.

المحررون: أجيفا ليوبوف ألكساندروفنا ، جافريلينا آنا فيكتوروفنا

في هذا الدرس سوف نلقي نظرة على الميزات وظائف معكوسة ثم كرر الدوال المثلثية العكسية... سيتم النظر في خصائص جميع الدوال المثلثية العكسية الرئيسية بشكل منفصل: قوس قوس ، قوس قوس ، قوس ظل قوسي.

سيساعدك هذا الدرس على الاستعداد لأحد أنواع المهام ال 7 و C1.

التحضير لامتحان الرياضيات

تجربة

الدرس 9. الدوال المثلثية المعكوسة.

نظرية

ملخص الدرس

لنتذكر عندما نصادف هذا المفهوم كدالة عكسية. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك وظيفة التربيع. لنفترض أن لدينا غرفة مربعة طول ضلوعها مترين ونريد حساب مساحتها. للقيام بذلك ، باستخدام صيغة مربع المربع ، نرفع الاثنين إلى مربع ، ونتيجة لذلك نحصل على 4 م 2. لنتخيل الآن المسألة العكسية: نعرف مساحة الغرفة المربعة ونريد إيجاد أطوال أضلاعها. إذا علمنا أن المنطقة لا تزال هي نفسها 4 م 2 ، فسنقوم بتنفيذ الإجراء العكسي للتربيع - استخراج الحساب الجذر التربيعي، والتي ستعطينا قيمة 2 م.

وبالتالي ، بالنسبة لوظيفة تربيع رقم ، فإن الدالة العكسية هي استخراج الجذر التربيعي الحسابي.

على وجه التحديد ، في المثال أعلاه ، لم نواجه أي مشاكل في حساب جانب الغرفة ، منذ ذلك الحين نحن نفهم أن هذا رقم موجب. ومع ذلك ، إذا ابتعدنا عن هذه الحالة ونظرنا في المشكلة بطريقة أكثر عمومية: "احسب عددًا مربعه أربعة" ، فسنواجه مشكلة - هناك رقمان من هذا القبيل. هذه 2 و -2 لأن يساوي أيضًا أربعة اتضح أن المشكلة العكسية في الحالة العامة تم حلها بشكل غامض ، وعمل تحديد مربع العدد أعطانا الرقم الذي نعرفه؟ نتيجتين. من الملائم عرضه على الرسم البياني:

وهذا يعني أنه لا يمكننا تسمية مثل هذا القانون الخاص بمطابقة الأرقام وظيفة ، لأنه بالنسبة للدالة ، تتوافق قيمة واحدة من الوسيطة بدقة واحدة قيمة الوظيفة.

من أجل تقديم الوظيفة العكسية للتربيع بدقة ، تم اقتراح مفهوم الجذر التربيعي الحسابي ، والذي يعطي قيمًا غير سالبة فقط. أولئك. بالنسبة للدالة ، تعتبر الدالة العكسية.

وبالمثل ، هناك دوال معكوسة للدوال المثلثية ، يطلق عليها الدوال المثلثية العكسية... كل وظيفة من الوظائف التي درسناها لها معكوسها الخاص ، وتسمى: قوس قوس ، قوس قوس ، قوس ظل الزاوية ، قوس ظل.

هذه الدوال تحل مشكلة حساب الزوايا من القيمة المعروفة للدالة المثلثية. على سبيل المثال ، باستخدام جدول قيم الدوال المثلثية الأساسية ، يمكنك حساب جيب الزاوية. نجد هذه القيمة في خط الجيب ونحدد الزاوية التي تتوافق معها. أول شيء أريد الإجابة عليه هو أن هذه زاوية ، ولكن إذا كان لديك جدول قيم من قبل ، فستلاحظ على الفور متنافسًا آخر للإجابة - هذه زاوية أو. وإذا تذكرنا فترة الجيب ، فإننا نفهم أن الزوايا التي يتساوى عندها الجيب لا نهائية. وستتم ملاحظة هذه المجموعة من قيم الزوايا المقابلة لقيمة معينة للدالة المثلثية لجيب التمام والظل والظل ، منذ ذلك الحين كل منهم دورية.

أولئك. نحن نواجه نفس المشكلة التي واجهناها لحساب قيمة الوسيطة من قيمة الدالة للعمل التربيعي. وفي هذه الحالة ، بالنسبة للدوال المثلثية العكسية ، تم إدخال قيد على نطاق القيم التي تعطيها عند الحساب. هذه الخاصية من هذه الوظائف العكسية تسمى تضييق النطاق، ومن الضروري أن يطلق عليها وظائف.

لكل دالة من الدوال المثلثية العكسية ، يختلف نطاق الزوايا التي تعرضها ، وسننظر فيها بشكل منفصل. على سبيل المثال ، يُرجع قوس الزاوية قيم الزاوية في النطاق من إلى.

ستكون القدرة على العمل مع الدوال المثلثية العكسية مفيدة لنا عند الحل المعادلات المثلثية.

سنشير الآن إلى الخصائص الأساسية لكل من الدوال المثلثية العكسية. إذا كنت ترغب في معرفة المزيد عنها ، فراجع فصل "حل المعادلات المثلثية" في برنامج الصف العاشر.

ضع في اعتبارك خصائص الدالة القوسية وقم ببناء الرسم البياني الخاص بها.

تعريف.قوس جيب رقمx

الخصائص الرئيسية للقوس:

1) في،

2) في.

الخصائص الأساسية لوظيفة القوسين:

1 نطاق ;

2) نطاق القيم ;

3) الوظيفة فردية ، من المستحسن تذكر هذه الصيغة بشكل منفصل منذ ذلك الحين إنه مفيد للتحولات. لاحظ أيضًا أن الغرابة تتضمن تناظر الرسم البياني للوظيفة بالنسبة إلى الأصل ؛

دعنا نرسم الوظيفة:

لاحظ أنه لا يتم تكرار أي قسم من أقسام الرسم البياني للوظيفة ، مما يعني أن القوس ليس دالة دورية ، على عكس الجيب. ينطبق الشيء نفسه على جميع وظائف القوس الأخرى.

ضع في اعتبارك خصائص دالة جيب التمام العكسي وابني رسمها البياني.

تعريف.رقم Arccosinex تسمى قيمة الزاوية y التي لها. علاوة على ذلك ، كقيود على قيم الجيب ، ولكن كمجموعة مختارة من الزوايا.

الخصائص الرئيسية للأركوزين:

1) في،

2) في.

الخصائص الأساسية لدالة جيب التمام العكسي:

1 نطاق ;

2) نطاق القيم.

3) الوظيفة ليست زوجية ولا فردية ، أي نظرة عامة ... من المستحسن أيضًا تذكر هذه الصيغة ، وستكون مفيدة لنا لاحقًا ؛

4) تقل الوظيفة بشكل رتيب.

دعنا نرسم الوظيفة:

ضع في اعتبارك خصائص دالة قوس الظل وابني رسمها البياني.

تعريف.قوس ظل الرقمx تسمى قيمة الزاوية y التي لها. علاوة على ذلك ، منذ ذلك الحين لا توجد قيود على قيم الظل ، ولكن مثل نطاق الزوايا المحدد.

الخصائص الرئيسية لمادة القوس:

1) في،

2) في.

الخصائص الرئيسية للدالة المستقيمة:

1) نطاق التعريف ؛

2) نطاق القيم ;

3) الوظيفة غريبة ... هذه الصيغة مفيدة وكذلك مماثلة. كما هو الحال مع القوسين ، تشير الغرابة إلى تناظر الرسم البياني للوظيفة بالنسبة إلى الأصل ؛

4) تزيد الوظيفة بشكل رتيب.

دعنا نرسم الوظيفة:

الدروس 32-33. الدوال المثلثية العكسية

09.07.2015 8936 0

غرض: النظر في الدوال المثلثية العكسية ، واستخدامها لكتابة حلول المعادلات المثلثية.

I. توصيل الموضوع والغرض من الدروس

II. تعلم مواد جديدة

1. الدوال المثلثية العكسية

لنبدأ مناقشتنا لهذا الموضوع بالمثال التالي.

مثال 1

لنحل المعادلة:أ) الخطيئة س \u003d 1/2 ؛ ب) الخطيئة س \u003d أ.

أ) في الإحداثي ، قمنا بتأجيل القيمة 1/2 ورسم الزوايا× 1 و x2 ، لذلكالخطيئة x \u003d 1/2. علاوة على ذلك ، x1 + x2 \u003d ، حيث x2 \u003d π -× 1 ... وفقًا لجدول قيم الدوال المثلثية ، نجد القيمة x1 \u003d π / 6 ، إذندعونا نأخذ في الاعتبار دورية دالة الجيب ونكتب حلول هذه المعادلة:أين ك ∈ Z.

ب) من الواضح أن الخوارزمية لحل المعادلةالخطيئة س \u003d أ هو نفسه كما في الفقرة السابقة. بالطبع ، يتم الآن رسم القيمة a على طول الإحداثي. يصبح من الضروري تعيين الزاوية x1 بطريقة أو بأخرى. اتفقنا على الإشارة إلى هذه الزاوية بالرمزأركسين و. ثم يمكن كتابة حلول هذه المعادلة بالصيغةيمكن دمج هاتين الصيغتين في صيغة واحدة:حيث

يتم تقديم بقية الدوال المثلثية العكسية بطريقة مماثلة.

غالبًا ما يكون من الضروري تحديد قيمة الزاوية من القيمة المعروفة لوظيفتها المثلثية. هذه المشكلة متعددة القيم - هناك زوايا لا حصر لها ، والدوال المثلثية لها نفس القيمة. لذلك ، انطلاقًا من رتابة الدوال المثلثية ، يتم تقديم الدوال المثلثية العكسية التالية لتحديد الزوايا بشكل فريد.

قوس رقم أ (قوسين ، الذي يساوي جيبه a ، أي

رقم Arccosineأ (arccos أ) هي هذه الزاوية أ من الفترة التي يساوي جيب تمامها a ، أي

ظل القوس لرقمأ (arctg أ) - هذه الزاوية من الفاصل الزمنيالظل الذي يساوي a ، أيtg a \u003d أ.

ظل الزاوية للعددأ (arcctg أ) هي الزاوية أ من الفاصل الزمني (0 ؛ c) ، ظل التمام منها يساوي أ ، أيctg أ \u003d أ.

مثال 2

لنجد:

مع الأخذ في الاعتبار تعريفات الدوال المثلثية العكسية ، نحصل على:

مثال 3

نحسب

دع الزاوية a \u003d arcsin 3/5 ثم بالتعريفالخطيئة أ \u003d 3/5 و ... لذلك ، من الضروري أن تجدكوس و. باستخدام ملف الهوية المثلثية، نحن نحصل:تم الأخذ في الاعتبار أن cos a ≥ 0. إذن ،

خصائص الوظيفة	وظيفة
	ص \u003d arcsin x	y \u003d arccos x	y \u003d arctan x	y \u003d arcctg x
نطاق	س ∈ [-1 ؛ 1]	س ∈ [-1 ؛ 1]	х ∈ (-؛ + ∞)	س ∈ (-+ ∞)
مدى من القيم	ص ∈ [-/ 2 ؛ π / 2]	ذ ∈	ص ∈ (-/ 2 ؛ / 2)	ص ∈ (0 ؛ π)
التكافؤ	غريب	لا زوجي ولا فردي	غريب	لا زوجي ولا فردي
أصفار الوظيفة (ص \u003d 0)	بالنسبة إلى x \u003d 0	بالنسبة إلى x \u003d 1	بالنسبة إلى x \u003d 0	ذ ≠ 0
فترات الثبات	y\u003e 0 لـ x (0 ؛ 1] ، في< 0 при х ∈ [-1; 0)	y\u003e 0 لـ x ∈ [-1 ؛ 1)	y\u003e 0 لـ х ∈ (0 ؛ + ∞) ، في< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y\u003e 0 لـ x (-؛ + ∞)
روتيني	في ازدياد	النقصان	في ازدياد	النقصان
العلاقة بالدالة المثلثية	الخطيئة ص \u003d س	كوس ص \u003d س	tg y \u003d x	ctg y \u003d x
جدول

فيما يلي بعض الأمثلة النموذجية المتعلقة بالتعاريف والخصائص الأساسية للوظائف المثلثية العكسية.

مثال 4

أوجد مجال الوظيفة

لتعريف الدالة y ، المتباينةوهو ما يعادل نظام عدم المساواةحل المتراجحة الأولى هو المجال x∈ (-∞ ؛ + ∞) ، الثاني -هذه الفجوة وهو حل لنظام عدم المساواة ، ومن ثم مجال تعريف الوظيفة

مثال 5

أوجد منطقة تغيير الوظيفة

ضع في اعتبارك سلوك الوظيفةض \u003d 2x - x2 (انظر الشكل).

يتبين أن z ∈ (-∞ ؛ 1]. معتبرة أن الحجةض تختلف وظيفة ظل التمام القوسي ضمن الحدود المشار إليها ، من البيانات الواردة في الجدول نحصل عليهاإذن منطقة التغيير

مثال 6

دعونا نثبت أن الدالة y \u003darctg x أمر غريب. اسمحوا انثم tan a \u003d -x أو x \u003d - tan a \u003d tan (- a) ، و لذلك ، - أ \u003d أركتان س أو أ \u003d - أركتان x. وهكذا نرى ذلكوهذا يعني أن y (x) دالة فردية.

مثال 7

دعونا نعبر عن كل الدوال المثلثية العكسية

اسمحوا ان من الواضح أن ثم منذ ذلك الحين

دعنا نقدم زاوية مثل ثم

وبالمثل ، لذلك و

وبالتالي،

المثال 8

دعونا نرسم الدالة y \u003dكوس (arcsin x).

نشير إلى أ \u003d arcsin x ، إذن نأخذ في الاعتبار أن x \u003d sin a و y \u003d cos a ، أي x 2 + y2 \u003d 1 ، والقيود المفروضة على x (x∈ [-1 ؛ 1]) و y (y ≥ 0). ثم الرسم البياني للدالة y \u003dكوس (قوسين x) نصف دائرة.

المثال 9

دعونا نرسم الدالة y \u003darccos (كوس x).

منذ دالة cos التغييرات س على المقطع [-1 ؛ 1] ، ثم يتم تحديد الوظيفة y على المحور العددي بأكمله والتغييرات في المقطع. سوف نضع في اعتبارنا أن y \u003darccos (كوس x) \u003d x في الجزء ؛ الدالة y زوجية ودورية بفترة 2π. مع الأخذ بعين الاعتبار أن هذه الخصائص تمتلكها الوظيفةكوس س ، الآن من السهل رسمها.

فيما يلي بعض التكافؤات المفيدة:

المثال 10

أوجد أصغر وأكبر قيم للدالةنشير ثم نحصل على الوظيفة هذه الوظيفة لها حد أدنى عند هذه النقطةz \u003d π / 4 وهي تساوي يتم تحقيق أكبر قيمة للدالة عند هذه النقطةz \u003d-/ 2 ، وهي تساوي وهكذا و

المثال 11

لنحل المعادلة

دعونا نأخذ ذلك في الاعتبار ثم يكون للمعادلة الشكل: أو من اين من خلال تعريف قوس ظل ، نحصل على:

2. حل أبسط المعادلات المثلثية

على غرار المثال 1 ، يمكنك الحصول على حلول لأبسط المعادلات المثلثية.

المعادلة	القرار
tgx \u003d أ
ctg x \u003d أ

المثال 12

لنحل المعادلة

نظرًا لأن دالة الجيب فردية ، نكتب المعادلة بالصيغةحلول هذه المعادلة:أين نجد

المثال 13

لنحل المعادلة

باستخدام الصيغة أعلاه ، نكتب حلول المعادلة:ويجد

لاحظ أنه في حالات معينة (أ \u003d 0 ؛ ± 1) ، عند حل المعادلاتالخطيئة س \u003d أ وجيب التمام x \u003d ومن الأسهل والأكثر ملاءمة عدم استخدام الصيغ العامة ، ولكن تدوين الحلول بناءً على دائرة الوحدة:

للمعادلة sin х \u003d 1 الحلول

للمعادلة sin х \u003d 0 حلول х \u003d π k ؛

للمعادلة sin x \u003d -1 الحلول

للمعادلة cos س \u003d 1 حل س \u003d 2πك؛

للمعادلة cos x \u003d 0 حلول

للمعادلة cos x \u003d -1 الحلول

المثال 14

لنحل المعادلة

نظرًا لوجود حالة خاصة للمعادلة في هذا المثال ، فإننا نكتب الحل باستخدام الصيغة المقابلة:أين سنجد

ثالثا. أسئلة الاختبار (مسح أمامي)

1. أعط تعريفًا وسرد الخصائص الرئيسية للدوال المثلثية العكسية.

2. أعط الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية.

3. حل أبسط المعادلات المثلثية.

رابعا. التنازل في الفصل

§ 15 ، رقم 3 (أ ، ب) ؛ 4 (ج ، د) ؛ 7 (أ) ؛ 8 (أ) ؛ 12 (ب) ؛ 13 (أ) ؛ 15 (ج) ؛ 16 (أ) ؛ 18 (أ ، ب) ؛ 19 (ج) ؛ 21 ؛

§ 16 ، رقم 4 (أ ، ب) ؛ 7 (أ) ؛ 8 (ب) ؛ 16 (أ ، ب) ؛ 18 (أ) ؛ 19 (ج ، د) ؛

§ 17 ، رقم 3 (أ ، ب) ؛ 4 (ج ، د) ؛ 5 (أ ، ب) ؛ 7 (ج ، د) ؛ 9 (ب) ؛ 10 (أ ، ج).

V. الواجب المنزلي

§ 15 ، رقم 3 (ج ، د) ؛ 4 (أ ، ب) ؛ 7 (ج) ؛ 8 (ب) ؛ 12 (أ) ؛ 13 (ب) ؛ 15 (د) ؛ 16 (ب) ؛ 18 (ج ، د) ؛ 19 (د) ؛ 22 ؛

§ 16 ، رقم 4 (ج ، د) ؛ 7 (ب) ؛ 8 (أ) ؛ 16 (ج ، د) ؛ 18 (ب) ؛ 19 (أ ، ب) ؛

§ 17 ، رقم 3 (ج ، د) ؛ 4 (أ ، ب) ؛ 5 (ج ، د) ؛ 7 (أ ، ب) ؛ 9 (د) ؛ 10 (ب ، د).

السادس. المهام الإبداعية

1. ابحث عن مجال الوظيفة:

الإجابات:

2. ابحث عن نطاق قيم الوظيفة:

الإجابات:

3. ارسم الوظيفة:

السابع. تلخيص الدروس