كيفية التحرر من اللاعقلانية في مقام الكسر. الإعفاء من لاعقلانية مقام الكسر. استخراج جذر تربيعي بدرجة معينة من الدقة. خطوات أساسية للتخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر
عند تحويل تعبير جبري كسري ، في المقام الذي يكتب فيه تعبير غير منطقي ، يحاول المرء عادةً تمثيل الكسر بطريقة تجعل مقامه عقلانيًا. إذا كانت A ، B ، C ، D ، ... هي بعض التعبيرات الجبرية ، فمن الممكن الإشارة إلى القواعد التي يمكن من خلالها التخلص من العلامات الجذرية في مقام التعبيرات في النموذج
في كل هذه الحالات ، يتم التخلص من اللاعقلانية بضرب بسط الكسر ومقامه في عامل تم اختياره بحيث يكون حاصل ضربه في مقام الكسر منطقيًا.
1) التخلص من اللاعقلانية في مقام جزء من الصورة. اضرب البسط والمقام في
مثال 1. .
2) في حالة كسور النموذج. اضرب البسط والمقام في عامل غير نسبي
على التوالي ، أي إلى التعبير غير المنطقي المترافق.
معنى الإجراء الأخير هو أنه في المقام يتم تحويل حاصل ضرب المجموع والفرق إلى فرق المربعات ، والذي سيكون بالفعل تعبيرًا منطقيًا.
مثال 2. تخلص من اللاعقلانية في مقام التعبير:
الحل أ) نضرب بسط الكسر ومقامه في التعبير. نحصل (بشرط)
3) في حالة تعابير مثل
يتم التعامل مع المقام على أنه مجموع (فرق) ويتم ضربه في المربع غير الكامل للفرق (المجموع) للحصول على مجموع (فرق) المكعبات ((20.11) ، (20.12)). يضرب البسط أيضًا في نفس العامل.
مثال 3. تخلص من اللاعقلانية في مقام التعبيرات:
الحل ، أ) بالنظر إلى مقام كسر معين كمجموع الأرقام و 1 ، نضرب البسط والمقام في المربع غير المكتمل للفرق بين هذه الأرقام:
أو أخيرًا:
في بعض الحالات ، يُطلب إجراء تحويل من الطبيعة المعاكسة: لتحرير الكسر من اللاعقلانية في البسط. يتم تنفيذها بنفس الطريقة بالضبط.
مثال 4. تخلص من اللاعقلانية في بسط الكسر.
الإعفاء من اللاعقلانية في مقام الكسر
2015-06-13
اقتران التعبير غير المنطقي
عند تحويل تعبير جبري كسري ، في المقام الذي يكتب فيه تعبير غير منطقي ، يحاول المرء عادةً تمثيل الكسر بطريقة تجعل مقامه عقلانيًا. إذا كانت $ A ، B ، C ، D ، \ cdots $ عبارة عن بعض التعبيرات الجبرية ، فمن الممكن الإشارة إلى القواعد التي يمكن من خلالها التخلص من العلامات الجذرية في مقام التعبيرات في النموذج
$ \ frac (A) (\ sqrt [n] (B)) ، \ frac (A) (B + C \ sqrt (D)) ، \ frac (A) (\ sqrt (B) + c \ sqrt (D)) ، \ frac (A) (\ sqrt (B) \ pm \ sqrt (C)) $ إلخ.
في كل هذه الحالات ، يتم التخلص من اللاعقلانية بضرب بسط الكسر ومقامه في عامل تم اختياره بحيث يكون حاصل ضربه في مقام الكسر منطقيًا.
1) للتخلص من اللاعقلانية في مقام كسر من الشكل $ A / \ sqrt [n] (B) $ ، اضرب البسط والمقام في $ \ sqrt [n] (B ^ (n-1)) $.
$ \ frac (A) (\ sqrt [n] (B)) = \ frac (A \ sqrt [n] (B ^ (n-1))) (\ sqrt [n] (B) \ sqrt [n] (B ^ (n-1))) = \ frac (A \ sqrt [n] (B ^ (n-1))) (B) $
مثال 1. $ \ frac (4a ^ (2) b) (\ sqrt (2ac)) = \ frac (4a ^ (2) b \ sqrt (4a ^ (2) c ^ (2))) (2ac) = \ frac (2ab) (c) \ sqrt (4a ^ (2) c ^ (2)) $.
في حالة الكسور بالصيغة $ \ frac (A) (B + C \ sqrt (D)) ، \ frac (A) (\ sqrt (B) + c \ sqrt (D)) $ ، اضرب البسط والمقام بعامل غير نسبي
$ B - C \ sqrt (D) $ أو $ \ sqrt (B) - c \ sqrt (D) $
على التوالي ، أي إلى التعبير غير المنطقي المترافق.
معنى الإجراء الأخير هو أنه في المقام يتم تحويل حاصل ضرب المجموع والفرق إلى فرق المربعات ، والذي سيكون بالفعل تعبيرًا منطقيًا.
مثال 2. تخلص من اللاعقلانية في مقام التعبير:
أ) $ \ frac (xy) (\ sqrt (x ^ (2) + y ^ (2)) + x) $؛ ب) $ \ frac (2) (\ sqrt (5) - \ sqrt (3)) $.
الحل أ) نضرب بسط الكسر ومقامه في
التعبير $ \ sqrt (x ^ (2) + y ^ (2)) - x $. نحصل على (بافتراض أن $ y \ neq 0 $)
$ \ frac (xy) (\ sqrt (x ^ (2) + y ^ (2)) + x) = \ frac (xy (\ sqrt (x ^ (2) + y ^ (2)) - x)) ((x ^ (2) + y ^ (2)) - x ^ (2)) = \ frac (x) (y) (\ 2) (x)
ب) $ \ frac (2) (\ sqrt (5) - \ sqrt (3)) = \ frac (2 (\ sqrt (5) + \ sqrt (3))) (5-3) = \ sqrt (5) + \ sqrt (3) $.
3) في حالة تعابير مثل
$ \ frac (A) (B \ pm C \ sqrt (D))، \ frac (A) (\ sqrt (B) \ pm C \ sqrt (D)) $
يتم التعامل مع المقام على أنه مجموع (فرق) ويتم ضربه في المربع غير المكتمل للفرق (المجموع) للحصول على مجموع (فرق) المكعبات. يضرب البسط أيضًا في نفس العامل.
مثال 3. تخلص من اللاعقلانية في مقام التعبيرات:
أ) $ \ frac (3) (\ sqrt (5) + 1) $ ؛ ب) $ \ frac (1) (\ sqrt (a) - 2 \ sqrt (b)) $
الحل أ) بالنظر إلى أن مقام هذا الكسر هو مجموع الأرقام $ \ sqrt (5) $ و $ 1 $ ، نضرب البسط والمقام في المربع غير المكتمل للاختلاف بين هذه الأرقام:
$ \ frac (3) (\ sqrt (5) + 1) = \ frac (3 (\ sqrt (5 ^ (2)) - \ sqrt (5) +1)) ((\ sqrt (5) + 1) (\ sqrt (5 ^ (2)) - \ sqrt (5) + 1)) = \ sqrt (3 (\ sqrt) (5) (\ sqrt) (25) ) +1) دولار ،
أو أخيرًا:
$ \ frac (3) (\ sqrt (5) + 1) = \ frac (3 (\ sqrt (25) - \ sqrt (5) + 1)) (6) = \ frac (\ sqrt (25) - \ sqrt (5) + 1) (2) $
ب) $ \ frac (1) (\ sqrt (a) - 2 \ sqrt (b)) = \ frac (\ sqrt (a ^ (2)) + 2 \ sqrt (ab) + 4 \ sqrt (b ^ (2))) ((\ sqrt (a)) ^ (3) - (2 \ sqrt (b) \ frac (3)) 4 \ s qrt (b ^ (2))) (a-8b) $.
في بعض الحالات ، يُطلب إجراء تحويل من الطبيعة المعاكسة: لتحرير الكسر من اللاعقلانية في البسط. يتم تنفيذها بنفس الطريقة بالضبط.
مثال 4. تخلص من اللاعقلانية في البسط $ \ frac (\ sqrt (a + b) - \ sqrt (a-b)) (2b) $.
حل. $ \ frac (\ sqrt (a + b) - \ sqrt (a-b)) (2b) = \ frac ((a + b) - (a-b)) (2b (\ sqrt (a + b) + \ sqrt (a-b))) = \ frac (1) (\ sqrt (a + b) + \ sqrt $ (a-b)
تحويل التعبيرات التي تحتوي على جذور حسابية مربعة
الغرض من الدرس: خلق الظروف لتكوين المهارات ، لتبسيط التعبيرات التي تحتوي على جذور حسابية مربعة في سياق العمل في مجموعات نوبات.
أهداف الدرس: يفحص التدريب النظريالطلاب ، القدرة على استخراج الجذر التربيعي من عدد ، لتشكيل مهارات استنساخ معارفهم ومهاراتهم بشكل صحيح ، لتطوير المهارات الحسابية ، وتنمية القدرة على العمل في أزواج وتحمل المسؤولية من أجل قضية مشتركة.
خلال الفصول.
أنا. تنظيم الوقت. "طاولة القراءة »
تحديد مستوى الجاهزية لبداية الدرس.
25 بطاقة حمراء (5 نقاط) ، صفراء (4 نقاط) ، زرقاء
الألوان (3 نقاط).
جدول الجاهزية
5 نقاط (تريد أن تعرف ، تفعل ، تقرر)
4 نقاط (أنا جاهز للذهاب)
3 نقاط (لا أشعر أنني بحالة جيدة ، لا أفهم المواد ، أحتاج إلى المساعدة)
ثانيًا . عمل بطاقة فردية
البطاقة 1
أخرج المضاعف من تحت علامة الجذر:
البطاقة 2
أدخل مُضاعِفًا تحت علامة الجذر:
البطاقة 3
تبسيط:
أ)
ب)
الخامس)
(تحقق بعد مراجعة الواجب المنزلي)
ثالثا . فحص الواجبات المنزلية.
رقم 166 ، 167 شفويا
(التقييم الذاتي باستخدام بطاقات الإشارة: أخضر - كل شيء صحيح ، أحمر - هناك خطأ)
رابعا . تعلم مواد جديدة. العمل في مجموعات وردية.
دراسة المادة بشكل مستقل حتى تتمكن من شرحها لأعضاء المجموعة لاحقًا. ينقسم الفصل إلى 6 مجموعات من 4 أشخاص.
1 و 2 و 3 مجموعات - طلاب ذوو قدرات متوسطة
كيف نتخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر؟ ضع في اعتبارك الحالة العامة والأمثلة المحددة.
إذا كان الرقم أو التعبير تحت العلامة الجذر التربيعيفي المقام ، أحد العوامل للتخلص من اللاعقلانية في المقام وضرب البسط والمقام في الجذر التربيعي لهذا الرقم أو التعبير:
أمثلة.
1) ;
2) .
المجموعات 4 و 5 و 6 - الطلاب ذوو القدرات فوق المتوسط.
إذا كان مقام الكسر هو مجموع أو فرق تعبيرين يحتويان على جذر تربيعي ، للتخلص من اللاعقلانية في المقام ، نضرب كلًا من البسط والمقام في الجذر المرافق:
أمثلة. تخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر:
العمل في مجموعات جديدة (4 مجموعات من 6 أشخاص ، شخص واحد من كل مجموعة).
شرح المواد المستفادة للأعضاء مجموعة جديدة. (تقييم الزملاء - تعليق على شرح الطالب للمادة)
الخامس . التحقق من استيعاب المادة النظرية.يجيب الطلاب على الأسئلة الذين لا يشرحون هذا الجزء من المادة النظرية.
1) كيف نتخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر إذا كان الرقم أو التعبير تحت علامة الجذر التربيعي في المقام أحد العوامل؟
2) كيف نتخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر إذا كان مقام الكسر هو مجموع أو فرق تعبيرين يحتويان على جذر تربيعي؟
3) كيفية التخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر
4) كيفية التخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر
السادس . توحيد المادة المدروسة. التحقق من العمل المستقل.
رقم 81 ("الجبر" الصف 8 ، A. Abylkasymova ، I. Bekboev ، A. Abdiev ، Z ، Zhumagulova)
رقم 170 (1،2،3،5،6) ("الجبر" للصف الثامن ، أ. شينبيكوف)
معيار التقييم:
المستوى أ - رقم 81 أمثلة من 1 إلى 5 علامة "3"
المستوى B - رقم 81 أمثلة 6-8 ورقم 170 مثال 5.6 علامة "4"
المستوى C - رقم 170 الأمثلة 1-6 علامة "5"
(التقييم الذاتي ، فحص اللوح الورقي)
سابعا . العمل في المنزل.
№ 218
ثامنا. انعكاس. "برقية"
الجميع مدعو لملء استمارة برقية ، مع تلقي التعليمات التالية: "ما رأيك في الدرس الماضي؟ ما هو المهم بالنسبة لك؟ ماذا تعلمت؟ ما الذي أعجبك؟ ما الذي يبقى غير واضح؟ في أي اتجاه يجب أن نمضي قدمًا؟ من فضلك اكتب لي رسالة قصيرة حول هذا - برقية من 11 كلمة. أريد أن أعرف رأيك لأخذه بعين الاعتبار في العمل المستقبلي.
ملخص الدرس.
في هذا الموضوع ، سننظر في المجموعات الثلاث المذكورة أعلاه من الحدود مع اللاعقلانية. لنبدأ بحدود تحتوي على عدم يقين بالصيغة $ \ frac (0) (0) $.
الإفصاح عن عدم اليقين $ \ frac (0) (0) $.
مخطط الحل أمثلة قياسيةمن هذا النوع يتكون عادة من خطوتين:
- نتخلص من اللاعقلانية التي تسببت في عدم اليقين بضربها في ما يسمى بالتعبير "المساعد" ؛
- إذا لزم الأمر ، فإننا نحلل التعبير الموجود في البسط أو المقام (أو كليهما) إلى عوامل ؛
- نقوم بتقليل العوامل التي تؤدي إلى عدم اليقين ونحسب القيمة المطلوبة للحد.
المصطلح "تعبير مساعد" المستخدم أعلاه سيتم شرحه بالتفصيل في الأمثلة. حتى الآن ، لا يوجد سبب للتعمق في الأمر بالتفصيل. بشكل عام ، يمكنك الذهاب في الاتجاه الآخر ، دون استخدام التعبير المترافق. في بعض الأحيان ، يمكن أن يتخلص البديل المختار جيدًا من اللاعقلانية. هذه الأمثلة نادرة في المعيار مراقبة العمللذلك ، سننظر في مثال واحد فقط رقم 6 لاستخدام الاستبدال (انظر الجزء الثاني من هذا الموضوع).
سنحتاج إلى بعض الصيغ التي سأدونها أدناه:
\ start (المعادلة) a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) \ cdot (a + b) \ end (المعادلة) \ start (المعادلة) a ^ 3-b ^ 3 = (a-b) \ cdot (a ^ 2 + ab + b ^ 2) \ end (المعادلة) \ البدء (المعادلة) a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) 2 \ cd المعادلة ^ (a + b) 2 \ cdot (a ^ 2 + ab + b ^ 2) \ end (المعادلة) \ start (المعادلة) a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) المعادلة ^ 4-b ^ 4 = (a-b) \ cdot (a ^ 3 + a ^ 2 b + ab ^ 2 + b ^ 3) \ end (معادلة)
بالإضافة إلى ذلك ، نفترض أن القارئ يعرف الصيغ لحل المعادلات التربيعية. إذا كانت $ x_1 $ و $ x_2 $ هي جذور المثلث المربع $ ax ^ 2 + bx + c $ ، فيمكن تحليلها باستخدام الصيغة التالية:
\ start (المعادلة) ax ^ 2 + bx + c = a \ cdot (x-x_1) \ cdot (x-x_2) \ end (المعادلة)
الصيغ (1) - (5) كافية لحل المشكلات القياسية التي ننتقل إليها الآن.
مثال 1
أوجد $ \ lim_ (x \ to 3) \ frac (\ sqrt (7-x) -2) (x-3) $.
بما أن $ \ lim_ (x \ to 3) (\ sqrt (7-x) -2) = \ sqrt (7-3) -2 = \ sqrt (4) -2 = 0 $ و $ \ lim_ (x \ to 3) (x-3) = 3-3 = 0 $ ، إذن في الحد المعطى لدينا شك في الشكل $ \ frac (0) (0) $. الفرق $ \ sqrt (7-x) -2 $ يمنعنا من الكشف عن عدم اليقين هذا. من أجل التخلص من هذه اللاعقلانية ، يتم استخدام الضرب بما يسمى "التعبير المساعد". سننظر الآن في كيفية عمل هذا الضرب. اضرب $ \ sqrt (7-x) -2 $ في $ \ sqrt (7-x) + 2 $:
$$ (\ sqrt (7-x) -2) (\ sqrt (7-x) +2) $$
لتوسيع الأقواس ، نطبق ، استبدال $ a = \ sqrt (7-x) $، $ b = 2 $ في الجانب الأيمن من الصيغة المذكورة:
$$ (\ sqrt (7-x) -2) (\ sqrt (7-x) +2) = (\ sqrt (7-x)) ^ 2-2 ^ 2 = 7-x-4 = 3-x. $$
كما ترى ، إذا ضربت البسط في $ \ sqrt (7-x) + 2 $ ، فسيختفي الجذر (أي اللاعقلانية) في البسط. هذا التعبير $ \ sqrt (7-x) + 2 $ سيكون المترافقةللتعبير $ \ sqrt (7-x) -2 $. ومع ذلك ، لا يمكننا ببساطة أخذ البسط وضربه في $ \ sqrt (7-x) + 2 $ ، لأن هذا سيغير الكسر $ \ frac (\ sqrt (7-x) -2) (x-3) $ ، وهو أقل من الحد. تحتاج إلى ضرب كل من البسط والمقام في نفس الوقت:
$$ \ lim_ (x \ to 3) \ frac (\ sqrt (7-x) -2) (x-3) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ to 3) \ frac ((\ sqrt (7-x) -2) \ cdot (\ sqrt (7-x) +2)) ((xd-3)
تذكر الآن أن $ (\ sqrt (7-x) -2) (\ sqrt (7-x) +2) = 3-x $ وقم بتوسيع الأقواس. وبعد فتح الأقواس وقليل من التحويل $ 3-x = - (x-3) $ ، نقوم بتقليل الكسر بمقدار $ x-3 $:
دولار أمريكي \ frac (- (x-3)) ((x-3) \ cdot (\ sqrt (7-x) +2)) = \ lim_ (x \ to 3) \ frac (-1) (\ sqrt (7-x) +2) $$
ذهب عدم اليقين $ \ frac (0) (0) $. الآن يمكنك بسهولة الحصول على إجابة هذا المثال:
$$ \ lim_ (x \ to 3) \ frac (-1) (\ sqrt (7-x) +2) = \ frac (-1) (\ sqrt (7-3) +2) = - \ frac (1) (\ sqrt (4) +2) = - \ frac (1) (4). $$
ألاحظ أن التعبير المقترن يمكن أن يغير هيكله - اعتمادًا على نوع اللاعقلانية التي يجب أن يزيلها. في المثالين رقم 4 ورقم 5 (انظر الجزء الثاني من هذا الموضوع) ، سيتم استخدام نوع مختلف من التعبيرات المترافقة.
إجابة: $ \ lim_ (x \ to 3) \ frac (\ sqrt (7-x) -2) (x-3) = - \ frac (1) (4) $.
المثال رقم 2
أوجد $ \ lim_ (x \ to 2) \ frac (3x ^ 2-5x-2) (\ sqrt (x ^ 2 + 5) - \ sqrt (7x ^ 2-19)) $.
بما أن $ \ lim_ (x \ to 2) (\ sqrt (x ^ 2 + 5) - \ sqrt (7x ^ 2-19)) = \ sqrt (2 ^ 2 + 5) - \ sqrt (7 \ cdot 2 ^ 2-19) = 3-3 = 0 $ و $ \ lim_ (x \ to 2) (3x ^ 2-5x-2) = 2-5 \ cd = 2-5 \ cd = 3 \ cd $ \ frac (0) (0) $. دعونا نتخلص من اللاعقلانية في مقام هذا الكسر. للقيام بذلك ، دعنا نضيف كلاً من بسط ومقام الكسر $ \ frac (3x ^ 2-5x-2) (\ sqrt (x ^ 2 + 5) - \ sqrt (7x ^ 2-19)) $ إلى التعبير $ \ sqrt (x ^ 2 + 5) + \ sqrt (7x ^ 2-19) $ المترافق مع المقام:
$$ \ lim_ (x \ to 2) \ frac (3x ^ 2-5x-2) (\ sqrt (x ^ 2 + 5) - \ sqrt (7x ^ 2-19)) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \ lim_ (x \ to 2) \ frac ((3x ^ 2-5x-2) (\ sqt (x2) (x \ sqrt (x ^ 2 + 5) - \ sqrt (7x ^ 2-19)) (\ sqrt (x ^ 2 + 5) + \ sqrt (7x ^ 2-19))) $$
مرة أخرى ، كما في المثال رقم 1 ، تحتاج إلى استخدام الأقواس للتوسيع. بالتعويض عن $ a = \ sqrt (x ^ 2 + 5) $، $ b = \ sqrt (7x ^ 2-19) $ في الجانب الأيمن من الصيغة المذكورة ، نحصل على التعبير التالي للمقام:
$$ \ يسار (\ sqrt (x ^ 2 + 5) - \ sqrt (7x ^ 2-19) \ right) \ left (\ sqrt (x ^ 2 + 5) + \ sqrt (7x ^ 2-19) \ right) = \\ = \ left (\ sqrt (x ^ 2 + 5) \ right) ^ 2- \ left (\ sqrt ^ 2 + (2-19) x -6 \ cdot (x ^ 2-4) $$
دعنا نعود إلى حدنا:
$$ \ lim_ (x \ to 2) \ frac ((3x ^ 2-5x-2) (\ sqrt (x ^ 2 + 5) + \ sqrt (7x ^ 2-19))) ((\ sqrt (x ^ 2 + 5) - \ sqrt (7x ^ 2-19)) (\ sqrt (x ^ 2 + 5) + \ 2-19) x (7) x-2) (\ sqrt (x ^ 2 + 5) + \ sqrt (7x ^ 2-19))) (- 6 \ cdot (x ^ 2-4)) = \\ = - \ frac (1) (6) \ cdot \ lim_ (x \ to 2) \ frac ((3x ^ 2-5x-2) (sqrt (x ^ 2 + (5))
في المثال رقم 1 ، مباشرة تقريبًا بعد الضرب في التعبير المترافق ، تم تقليل الكسر. هنا ، قبل التخفيض ، من الضروري تحليل التعبيرات $ 3x ^ 2-5x-2 $ و $ x ^ 2-4 $ ، وعندها فقط انتقل إلى التخفيض. لتحليل التعبير $ 3x ^ 2-5x-2 $ تحتاج إلى استخدامه. لنبدأ ، دعنا نقرر معادلة من الدرجة الثانية 3x ^ 2-5x-2 = 0 دولار:
$$ 3x ^ 2-5x-2 = 0 \\ \ start (align) & D = (- 5) ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-2) = 25 + 24 = 49 ؛ \\ & x_1 = \ frac (- (- 5) - \ sqrt (49)) (2 \ cdot3) = \ frac (5-7) (6) = - \ 6 \) (2) = -5) + \ sqrt (49)) (2 \ cdot3) = \ frac (5 + 7) (6) = \ frac (12) (6) = 2. نهاية (محاذاة) $$
استبدال $ x_1 = - \ frac (1) (3) $، $ x_2 = 2 $ في ، لدينا:
$$ 3x ^ 2-5x-2 = 3 \ cdot \ left (x- \ left (- \ frac (1) (3) \ right) \ right) (x-2) = 3 \ cdot \ left (x + \ frac (1) (3) \ right) (x-2) = \ left (3 \ cdot x + 3 \ cdot \ frac) (1) (3) (3x) $$
حان الوقت الآن لاستخراج التعبير $ x ^ 2-4 $. لنستخدم ، استبدال $ a = x $ ، $ b = 2 $ فيه:
$$ x ^ 2-4 = x ^ 2-2 ^ 2 = (x-2) (x + 2) $$
دعنا نستخدم النتائج التي تم الحصول عليها. بما أن $ x ^ 2-4 = (x-2) (x + 2) $ و $ 3x ^ 2-5x-2 = (3x + 1) (x-2) $ ، إذن:
$$ - \ frac (1) (6) \ cdot \ lim_ (x \ to 2) \ frac ((3x ^ 2-5x-2) (\ sqrt (x ^ 2 + 5) + \ sqrt (7x ^ 2-19))) (x ^ 2-4) = - \ frac (1) (6) \ cdot \ lim_ (x (x (2) + frac) \ sqrt (7x ^ 2-19))) ((x-2) (x + 2)) $$
التخفيض بواسطة القوس $ x-2 $ نحصل على:
$$ - \ frac (1) (6) \ cdot \ lim_ (x \ to 2) \ frac ((3x + 1) (x-2) (\ sqrt (x ^ 2 + 5) + \ sqrt (7x ^ 2-19))) ((x-2) (x + 2)) = - \ frac (1) (6) \ x \ cdot (2) lim_ (1) (6) \ x \ cdot (2) \ (lim_x) ) + \ الجذر التربيعي (7 س ^ 2-19))) (س + 2). $$
الجميع! ذهب عدم اليقين. خطوة أخرى ونصل إلى الإجابة:
$$ - \ frac (1) (6) \ cdot \ lim_ (x \ to 2) \ frac ((3x + 1) (\ sqrt (x ^ 2 + 5) + \ sqrt (7x ^ 2-19))) (x + 2) = \\ = - \ frac (1) (6) \ cdot \ frac sq ((3 ^ cdot + 2 + 1) -19))) (2 + 2) = - \ frac (1) (6) \ cdot \ frac (7 (3 + 3)) (4) = - \ frac (7) (4). $$
إجابة: $ \ lim_ (x \ to 2) \ frac (3x ^ 2-5x-2) (\ sqrt (x ^ 2 + 5) - \ sqrt (7x ^ 2-19)) = - \ frac (7) (4) $.
في المثال التالي ، ضع في اعتبارك الحالة التي تكون فيها اللاعقلانية موجودة في كل من البسط والمقام في الكسر.
المثال رقم 3
أوجد $ \ lim_ (x \ to 5) \ frac (\ sqrt (x + 4) - \ sqrt (x ^ 2-16)) (\ sqrt (x ^ 2-3x + 6) - \ sqrt (5x-9)) $.
بما أن $ \ lim_ (x \ to 5) (\ sqrt (x + 4) - \ sqrt (x ^ 2-16)) = \ sqrt (9) - \ sqrt (9) = 0 $ و $ \ lim_ (x \ to 5) (\ sqrt (x ^ 2-3x + 6) - \ sqrt (5x-sqacy)) = \ sqrt $ (ثم 16in) فارك (0) (0) $. نظرًا لأن الجذور في هذه الحالة موجودة في المقام وفي البسط على حد سواء ، للتخلص من عدم اليقين ، سيتعين عليك الضرب في قوسين في وقت واحد. أولاً ، للتعبير $ \ sqrt (x + 4) + \ sqrt (x ^ 2-16) $ مترافق مع البسط. وثانيًا ، للتعبير $ \ sqrt (x ^ 2-3x + 6) - \ sqrt (5x-9) $ مترافق مع المقام.
$$ \ lim_ (x \ to 5) \ frac (\ sqrt (x + 4) - \ sqrt (x ^ 2-16)) (\ sqrt (x ^ 2-3x + 6) - \ sqrt (5x-9)) = \ left | \ frac (0) (0) \ right | = \\ = \ lim_ (x \ sqt - 5) \ frac (x (+ sqr \) 4) + \ sqrt (x ^ 2-16)) (\ sqrt (x ^ 2-3x + 6) + \ sqrt (5x-9))) ((\ sqrt (x ^ 2-3x + 6) - \ sqrt (5x-9)) (\ sqrt (x ^ 2-3x + 6) + \ sqrt (5x-9) x (+ 2 x) + 20 = 0 ؛ \\ \ تبدأ (محاذاة) & D = 1 ^ 2-4 \ cdot (-1) \ cdot 20 = 81 ؛ \\ & x_1 = \ frac (-1- \ sqrt (81)) (- 2) = \ frac (-10) (- 2) = 5 ؛ \\ & x_2 = \ frac (-1+ \ sqrt (81)) (- 2) = \ \ end (محاذاة) \\ -x ^ 2 + x + 20 = -1 \ cdot (x-5) (x - (- 4)) = - (x-5) (x + 4). $$
للتعبير $ x ^ 2-8x + 15 $ نحصل على:
$$ x ^ 2-8x + 15 = 0 ؛ \\ \ start (محاذاة) & D = (- 8) ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 15 = 4 ؛ \\ & x_1 = \ frac (- (- 8) - \ sqrt (4)) (2) = \ frac (6) (2) = 3 ؛ \\ & x_2 = \ frac (- (- 2) + = 5) \ end (محاذاة) \\ x ^ 2 + 8x + 15 = 1 \ cdot (x-3) (x-5) = (x-3) (x-5). $$
استبدال التوسعات التي تم الحصول عليها $ -x ^ 2 + x + 20 = - (x-5) (x + 4) $ و $ x ^ 2 + 8x + 15 = (x-3) (x-5) $ في الحد المدروس ، لدينا:
$$ \ lim_ (x \ to 5) \ frac ((- x ^ 2 + x + 20) (\ sqrt (x ^ 2-3x + 6) + \ sqrt (5x-9))) ((x ^ 2-8x + 15) (\ sqrt (x + 4) + \ sqrt (x ^ 2-16))) = \ lim_ (x - x (4) \ frac) \ sqrt (5x-9))) ((x-3) (x-5) (\ sqrt (x + 4) + \ sqrt (x ^ 2-16))) = \\ = \ lim_ (x \ to 5) \ frac (- (x + 4) (\ sqrt (x ^ 2-3x + 6) + \ sqrt (5x-x-9)) ((\ sqrt (5x-x-9)) ((\ sqrt (5x-x-9)) (\ sqrt (5x-x-9)) ((\ sqrt (5x-x-9)) = \ فارك (- (5 + 4) (\ الجذر التربيعي (5 ^ 2-3 \ cdot 5 + 6) + \ الجذر التربيعي (5 \ cdot 5-9))) ((5-3) (\ الجذر التربيعي (5 + 4) + \ الجذر التربيعي (5 ^ 2-16))) = - 6. $$
إجابة: $ \ lim_ (x \ to 5) \ frac (\ sqrt (x + 4) - \ sqrt (x ^ 2-16)) (\ sqrt (x ^ 2-3x + 6) - \ sqrt (5x-9)) = - 6 $.
في الجزء التالي (الثاني) ، سننظر في بعض الأمثلة الأخرى التي سيكون للتعبير المترافق فيها شكل مختلف عن المسائل السابقة. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أن الغرض من استخدام تعبير مترافق هو التخلص من اللاعقلانية التي تسبب عدم اليقين.
ضع في اعتبارك مشكلة من جبر كثيرات الحدود.
المهمة 4.1
لنفترض أن a هو جذر كثير الحدود x 3 + 6x - 3. علينا التخلص من اللاعقلانية الجبرية في مقام الكسر
أولئك. تمثيل الكسر على أنه كثير حدود في a مع عقلاني
معاملات حقيقية.
حل.مقام الكسر هو القيمة من أمتعدد الحدود الإصلاح) = x 2 + 5 ، والحد الأدنى من كثير الحدود لعنصر جبري أهو f (x) \ u003d x 3 + 6x- 3 ،نظرًا لأن كثير الحدود هذا غير قابل للاختزال على المجال Q (وفقًا لمعيار آيزنشتاين لـ Prime p = 3). لنجد NODOs 3 + 6x - 3, × 2 + 5) معباستخدام خوارزمية إقليدس:
دعونا نعمم الوضع وننظر في المشكلة العامة.
مشكلة التخلص من اللاعقلانية الجبرية في مقام الكسر
لنفترض أن اللاعقلانية الجبرية على حقل P مع mi-
, . „ أ ك أ ك + أ ك _ ، أ ك ل ل-F-. + أيا + أوو
الحد الأدنى من كثير الحدود fOO و B = - - 1
b t a t +bro-ioc "1 - 1 + ... + bja +ب 0
حيث تنتمي معاملات كثيرات الحدود في البسط ومقام الكسر إلى الحقل تم العثور على R.تخلص من اللاعقلانية الجبرية في مقام الكسر أي. الحاضر (3 as
حيث تنتمي المعاملات إلى المجال تم العثور على R.
حل.دلالة /) *) = ب nl x "+ b m _ 1 x nl_1 + ... + ب) س + ب 0و ص = / (أ). منذ ^ 0 ، ثم من خلال خاصية الحد الأدنى من gcd متعدد الحدود (/ (x) ، φ (x)) = 1. باستخدام الخوارزمية الإقليدية ، نجد كثيرات الحدود u (x) و v (x) بحيث و (خ) و(x) + f (x) y (x) = 1. ومن ثم نعم) و (أ) + f (a) y (a) \ u003d 1 ، ومنذ ذلك الحين f (a) \ u003d 0 ، ثم Da) و (a) \ u003d 1. لذلك ، بضرب بسط ومقام هذا الكسر في q (a) ، نحصل على واحد في المقام ، ويتم حل المشكلة.
لاحظ أن الطريقة العامة للتخلص من اللاعقلانية الجبرية في مقام الكسر في حالة المعقدة أ + س
الأرقام - تؤدي إلى الإجراء المعروف لضرب الأعداد -
المقام والمقام بمرافق المقام.
استطراد تاريخي
لأول مرة ، اكتشف ج. أحد أرقام Liouville المتعالية هو الرقم
جنوب الناسك (1822-
أ = ص -. عشري أ = 0D100010 ..
فصل 10*
1901) أثبتت تجاوز الرقم e في عام 1873 ، وأثبت K.F. Lindemann (1852-1939) في عام 1882 تجاوز الرقم ص.لم يتم الحصول على هذه النتائج بسهولة. في الوقت نفسه ، أثبت G. Kantor (1845-1918) بكل بساطة أن هناك "عددًا أكبر بكثير" من الأعداد المتجاوزة مقارنة بالأرقام الجبرية: هناك "عدد" من الأعداد المتجاوزة بقدر ما توجد جميع الأعداد الحقيقية ، في حين أن هناك "عددًا" من الأعداد الجبرية مثل الكل الأعداد الطبيعية. بتعبير أدق ، فإن مجموعة الأعداد الجبرية قابلة للعد ، في حين أن مجموعة الأعداد المتجاوزة غير قابلة للعد. إن إثبات هذه الحقيقة ، وإثبات وجود الأعداد المتعالية ، لا يوفر وصفة للحصول على أي منها. نظريات الوجود من هذا النوع مهمة للغاية في الرياضيات بالفعل لأنها تغرس الثقة في نجاح البحث عن كائن تم إثبات وجوده. في الوقت نفسه ، هناك اتجاه في الرياضيات ، لا يتعرف ممثلوه على نظريات الوجود الخالص ، ويصفونها بأنها غير بناءة. وأبرز هؤلاء الممثلين هما ل. كرونيكر وج. بروير.
في عام 1900 ، في المؤتمر العالمي لعلماء الرياضيات في باريس ، صاغ عالم الرياضيات الألماني د. هيلبرت (1862-1943) المشكلة التالية 22: ما هي طبيعة الرقم aP ، حيث a و (3 هي أرقام جبرية ، a ^ 0 ، a ^ 1 ودرجة الرقم الجبري (3 أرقام ليست أقل من 2؟ A. O. 3r هي متعالية.
