ما هو جدول الوظائف. بناء الرسوم البيانية للوظائف. دالة القوة مع الأس الموجب

1. دالة كسرية خطية ورسم بياني لها

تسمى دالة على شكل y = P (x) / Q (x) ، حيث P (x) و Q (x) متعددة الحدود ، بالدالة الكسرية الكسرية.

ربما تكون بالفعل على دراية بمفهوم الأعداد المنطقية. بصورة مماثلة وظائف عقلانيةهي دوال يمكن تمثيلها كحاصل قسمة لاثنين من كثيرات الحدود.

إذا كانت دالة كسرية منطقية هي حاصل قسمة دالتين خطيتين - كثيرات الحدود من الدرجة الأولى ، أي عرض وظيفة

y = (ax + b) / (cx + d) ، ثم يطلق عليه خطي كسري.

لاحظ أنه في الوظيفة y = (ax + b) / (cx + d) ، c ≠ 0 (وإلا فإن الوظيفة تصبح خطية y = ax / d + b / d) وأن a / c ≠ b / d (وإلا فإن دالة ثابتة). يتم تعريف الدالة الكسرية الخطية لجميع الأعداد الحقيقية ، باستثناء x = -d / c. لا تختلف الرسوم البيانية للدوال الكسرية الخطية في الشكل عن الرسم البياني الذي تعرفه y = 1 / x. يسمى المنحنى الذي يمثل الرسم البياني للدالة y = 1 / x مقارنة مبالغ فيها. مع زيادة غير محدودة في x في القيمة المطلقة ، تنخفض الدالة y = 1 / x إلى أجل غير مسمى في القيمة المطلقة ويقترب كلا فرعي الرسم البياني من محور الإحداثيات: يقترب الجزء الأيمن من الأعلى ، ويقترب الجزء الأيسر من الأسفل. تسمى الخطوط التي تقترب منها فروع القطع الزائد باسمها الخطوط المقاربة.

مثال 1

ص = (2 س + 1) / (س - 3).

حل.

لنحدد الجزء الصحيح: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

من السهل الآن أن نرى أنه تم الحصول على الرسم البياني لهذه الوظيفة من الرسم البياني للوظيفة y = 1 / x من خلال التحولات التالية: التحول بمقدار 3 أجزاء وحدة إلى اليمين ، وتمتد على طول محور Oy بمقدار 7 مرات ، وتحول بمقدار 2 شريحة تصل.

يمكن كتابة أي كسر y = (ax + b) / (cx + d) بنفس الطريقة ، مع إبراز "الجزء بالكامل". وبالتالي ، فإن الرسوم البيانية لجميع الوظائف الخطية الكسرية عبارة عن قطع زائد يتم إزاحتها على طول محاور الإحداثيات بطرق مختلفة وتمتد على طول محور Oy.

لرسم رسم بياني لبعض الوظائف الجزئية الخطية ، ليس من الضروري على الإطلاق تحويل الكسر الذي يحدد هذه الوظيفة. نظرًا لأننا نعلم أن الرسم البياني عبارة عن قطع زائد ، فسيكون ذلك كافيًا للعثور على الخطوط التي تقترب منها فروعه - الخطوط المقاربة للقطع الزائد x = -d / c و y = a / c.

مثال 2

أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة y = (3x + 5) / (2x + 2).

حل.

لم يتم تعريف الوظيفة ، بالنسبة إلى x = -1. ومن ثم ، فإن الخط x = -1 بمثابة خط مقارب رأسي. لإيجاد الخط المقارب الأفقي ، دعنا نتعرف على قيم الدالة y (x) التي تقترب عندما تزيد الوسيطة x في القيمة المطلقة.

للقيام بذلك ، نقسم بسط الكسر ومقامه على x:

ص = (3 + 5 / س) / (2 + 2 / س).

بما أن x → يميل الكسر إلى 3/2. ومن ثم ، فإن الخط المقارب الأفقي هو الخط المستقيم y = 3/2.

مثال 3

ارسم الدالة y = (2x + 1) / (x + 1).

حل.

نختار "الجزء الكامل" من الكسر:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2-1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =

2 - 1 / (س + 1).

من السهل الآن أن نرى أنه تم الحصول على الرسم البياني لهذه الوظيفة من الرسم البياني للدالة y = 1 / x من خلال التحولات التالية: إزاحة وحدة واحدة إلى اليسار ، وعرض متماثل بالنسبة إلى Ox ، والتحول فواصل زمنية من وحدتين على طول محور Oy.

مجال التعريف د (ص) = (-؛ -1) ᴗ (-1 ؛ + ∞).

نطاق القيم E (y) = (-؛ 2) ᴗ (2 ؛ + ∞).

نقاط التقاطع مع المحاور: c Oy: (0 ؛ 1) ؛ ج الثور: (-1/2 ؛ 0). تزداد الوظيفة في كل فترة من فترات مجال التعريف.

الجواب: الشكل 1.

2. دالة كسرية عقلانية

ضع في اعتبارك دالة منطقية كسرية للصيغة y = P (x) / Q (x) ، حيث P (x) و Q (x) هي كثيرات حدود من الدرجة أعلى من الأولى.

أمثلة على هذه الوظائف العقلانية:

y \ u003d (x 3-5x + 6) / (x 7-6) أو y \ u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

إذا كانت الدالة y = P (x) / Q (x) عبارة عن حاصل قسمة اثنين من كثيرات الحدود بدرجة أعلى من الأولى ، فسيكون رسمها البياني ، كقاعدة عامة ، أكثر تعقيدًا ، وقد يكون من الصعب أحيانًا بناؤه بالضبط بكل التفاصيل. ومع ذلك ، غالبًا ما يكفي تطبيق تقنيات مشابهة لتلك التي التقينا بها بالفعل أعلاه.

دع الكسر يكون مناسبًا (ن< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P (x) / Q (x) \ u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) +. .. +

L 1 / (x - K s) ms + L 2 / (x - K s) ms-1 +… + L ms / (x - K s) + ... +

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 +… + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) +… +

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

من الواضح أن الرسم البياني للدالة الكسرية الكسرية يمكن الحصول عليه كمجموع الرسوم البيانية للكسور الأولية.

رسم التوابع المنطقية الكسرية

ضع في اعتبارك عدة طرق لرسم دالة كسرية منطقية.

مثال 4

ارسم الدالة y = 1 / x 2.

حل.

نستخدم الرسم البياني للدالة y \ u003d x 2 لرسم الرسم البياني y \ u003d 1 / x 2 واستخدام طريقة "قسمة" الرسوم البيانية.

المجال D (ص) = (-∞ ؛ 0) ᴗ (0 ؛ + ∞).

نطاق القيم E (y) = (0 ؛ + ∞).

لا توجد نقاط تقاطع مع المحاور. الوظيفة زوجية. يزيد لكل x من المجال (-∞ ؛ 0) ، ويقلل لـ x من 0 إلى + ∞.

الجواب: الشكل 2.

مثال 5

ارسم الدالة y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

حل.

المجال D (ص) = (-؛ 3) ᴗ (3 ؛ + ∞).

y \ u003d (x 2 - 4x + 3) / (9-3x) \ u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \ u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

استخدمنا هنا تقنية التحليل والتخفيض والاختزال إلى دالة خطية.

الجواب: الشكل 3.

مثال 6

ارسم الدالة y \ u003d (x 2-1) / (x 2 + 1).

حل.

مجال التعريف هو D (y) = R. بما أن الوظيفة زوجية ، فإن الرسم البياني متماثل حول المحور y. قبل التخطيط ، نقوم بتحويل التعبير مرة أخرى عن طريق تمييز الجزء الصحيح:

ص \ u003d (س 2-1) / (س 2 + 1) \ u003d 1-2 / (س 2 + 1).

لاحظ أن اختيار الجزء الصحيح في صيغة الدالة الكسرية المنطقية هو أحد العناصر الرئيسية عند رسم الرسوم البيانية.

إذا كانت x → ± ∞ ، ثم y → 1 ، أي الخط y = 1 خط مقارب أفقي.

الجواب: الشكل 4.

مثال 7

ضع في اعتبارك الوظيفة y = x / (x 2 + 1) وحاول أن تجد بالضبط أكبر قيمة لها ، أي أعلى نقطة في النصف الأيمن من الرسم البياني. لبناء هذا الرسم البياني بدقة ، فإن معرفة اليوم ليست كافية. من الواضح أن منحنىنا لا يمكن أن "يصعد" عاليًا جدًا ، منذ ذلك الحين يبدأ المقام بسرعة في "تجاوز" البسط. دعونا نرى ما إذا كانت قيمة الدالة يمكن أن تساوي 1. للقيام بذلك ، تحتاج إلى حل المعادلة x 2 + 1 \ u003d x، x 2 - x + 1 \ u003d 0. هذه المعادلة ليس لها جذور حقيقية. لذا فإن افتراضنا خاطئ. للعثور على أكبر قيمة للدالة ، تحتاج إلى معرفة أي حل أكبر للمعادلة A \ u003d x / (x 2 + 1). دعنا نستبدل المعادلة الأصلية بمعادلة تربيعية: Ax 2 - x + A \ u003d 0. هذه المعادلة لها حل عند 1 - 4A 2 ≥ 0. من هنا نجد أكبر قيمة A \ u003d 1/2.

الجواب: الشكل 5 ، ماكس y (x) =.

هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيفية بناء الرسوم البيانية للوظائف؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

تعد الوظائف الأولية الأساسية وخصائصها المتأصلة والرسوم البيانية المقابلة أحد أساسيات المعرفة الرياضية ، وهي مماثلة في الأهمية لجدول الضرب. الوظائف الأولية هي الأساس ، ودعم دراسة جميع القضايا النظرية.

تقدم المقالة أدناه مادة أساسية حول موضوع الوظائف الأساسية الأساسية. سنقدم المصطلحات ، ونعطيها التعريفات ؛ دعونا ندرس بالتفصيل كل نوع من الوظائف الأولية ونحلل خصائصها.

يتم تمييز الأنواع التالية من الوظائف الأساسية الأساسية:

التعريف 1

• دالة ثابتة (ثابتة) ؛
• جذر الدرجة n
• وظيفة الطاقة
• دالة أسية
• دالة لوغاريتمية
• الدوال المثلثية؛
• الدوال المثلثية الأخوية.

يتم تعريف الدالة الثابتة بالصيغة: y = C (C هو عدد حقيقي) ولها أيضًا اسم: ثابت. تحدد هذه الوظيفة ما إذا كانت أي قيمة حقيقية للمتغير المستقل x تتوافق مع نفس قيمة المتغير y - القيمة C.

الرسم البياني للثابت هو خط مستقيم يوازي المحور x ويمر بنقطة لها إحداثيات (0 ، C). من أجل الوضوح ، نقدم رسومًا بيانية للوظائف الثابتة y = 5 ، y = - 2 ، y = 3 ، y = 3 (مميزة باللون الأسود والأحمر والأزرق في الرسم ، على التوالي).

التعريف 2

يتم تعريف هذه الوظيفة الأولية بالصيغة y = x n (n هو رقم طبيعي أكبر من واحد).

لنفكر في شكلين مختلفين للدالة.

1. جذر الدرجة n عدد زوجي

من أجل الوضوح ، نشير إلى الرسم الذي يوضح الرسوم البيانية لهذه الوظائف: ص = س ، ص = س 4 و ص = س 8. هذه الوظائف مرمزة بالألوان: الأسود والأحمر والأزرق على التوالي.

عرض مماثل للرسوم البيانية لوظيفة الدرجة الزوجية للقيم الأخرى للمؤشر.

التعريف 3

خصائص جذر الوظيفة من الدرجة n عدد زوجي

• مجال التعريف هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة [0 ، +) ؛
• عندما س = 0 ، الدالة y = x n لها قيمة مساوية للصفر ؛
• هذه الوظيفة هي دالة في الشكل العام (ليست زوجية ولا فردية) ؛
• النطاق: [0 ، +) ؛
• هذه الدالة y = x n مع الأسس الزوجية للجذر تزداد على مجال التعريف بالكامل ؛
• الوظيفة لها تحدب مع اتجاه تصاعدي على نطاق التعريف بأكمله ؛
• لا توجد نقاط انعطاف
• لا توجد خطوط مقاربة.
• يمر الرسم البياني للوظيفة حتى n عبر النقطتين (0 ؛ 0) و (1 ؛ 1).

1. جذر الدرجة n عدد فردي

يتم تحديد هذه الوظيفة على مجموعة كاملة من الأرقام الحقيقية. من أجل الوضوح ، ضع في اعتبارك الرسوم البيانية للوظائف ص = س 3 ، ص = س 5 و × 9. في الرسم ، يشار إليها بالألوان: الأسود والأحمر والأزرق ألوان المنحنيات ، على التوالي.

القيم الفردية الأخرى لأس جذر الدالة y = x n ستعطي رسمًا بيانيًا لصيغة مماثلة.

التعريف 4

خصائص جذر الوظيفة من الدرجة n عدد فردي

• مجال التعريف هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية ؛
• هذه الوظيفة غريبة.
• نطاق القيم هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية ؛
• تزداد الدالة y = x n مع الأسس الفردية للجذر على مجال التعريف بالكامل ؛
• الوظيفة لها تقعر في الفاصل الزمني (- ∞ ؛ 0] والتحدب في الفترة [0 ، +) ؛
• نقطة الانعطاف لها إحداثيات (0 ؛ 0) ؛
• لا توجد خطوط مقاربة.
• يمر الرسم البياني لوظيفة n الفردية عبر النقاط (- 1 ؛ - 1) و (0 ؛ 0) و (1 ؛ 1).

وظيفة الطاقة

التعريف 5

يتم تعريف دالة الطاقة بالصيغة y = x a.

يعتمد نوع الرسوم البيانية وخصائص الوظيفة على قيمة الأس.

• عندما يكون لدالة الطاقة عدد صحيح أ ، فإن شكل الرسم البياني لدالة القدرة وخصائصها يعتمد على ما إذا كان الأس زوجيًا أم فرديًا ، وأيضًا على علامة الأس. دعونا ننظر في كل هذه الحالات الخاصة بمزيد من التفصيل أدناه ؛
• يمكن أن يكون الأس كسريًا أو غير منطقي - بناءً على ذلك ، يختلف نوع الرسوم البيانية وخصائص الوظيفة أيضًا. سنقوم بتحليل الحالات الخاصة من خلال تحديد عدة شروط: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• يمكن أن يكون لدالة الطاقة أس صفر ، سنقوم أيضًا بتحليل هذه الحالة بمزيد من التفصيل أدناه.

دعنا نحلل دالة القوة y = x a عندما يكون a عددًا موجبًا فرديًا ، على سبيل المثال ، a = 1 ، 3 ، 5 ...

من أجل الوضوح ، نشير إلى الرسوم البيانية لوظائف الطاقة هذه: y = x (اللون الأسود للرسم البياني) ، y = x 3 (اللون الأزرق للمخطط) ، y = x 5 (اللون الأحمر للرسم البياني) ، y = x 7 (الرسم البياني الأخضر). عندما تكون a = 1 ، نحصل على دالة خطية y = x.

التعريف 6

خصائص دالة القوة عندما يكون الأس موجبًا فرديًا

• تتزايد الوظيفة لـ x ∈ (- ∞ ؛ + ∞) ؛
• الوظيفة محدبة لـ x ∈ (- ∞ ؛ 0] ومقعرة لـ x ∈ [0 ؛ + ∞) (باستثناء الدالة الخطية) ؛
• نقطة الانعطاف لها إحداثيات (0 ؛ 0) (باستثناء الوظيفة الخطية) ؛
• لا توجد خطوط مقاربة.
• نقاط تمرير الوظيفة: (- 1 ؛ - 1) ، (0 ؛ 0) ، (1 ؛ 1).

دعنا نحلل دالة القوة y = x a عندما يكون a عددًا موجبًا ، على سبيل المثال ، a = 2 ، 4 ، 6 ...

من أجل الوضوح ، نشير إلى الرسوم البيانية لوظائف الطاقة هذه: ص \ u003d × 2 (اللون الأسود للرسم البياني) ، y = x 4 (اللون الأزرق للمخطط) ، y = x 8 (اللون الأحمر للرسم البياني). عندما يكون a = 2 ، نحصل على دالة تربيعية يكون رسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ تربيعي.

التعريف 7

خصائص دالة القوة عندما يكون الأس موجبًا:

• مجال التعريف: x ∈ (- ∞؛ + ∞)؛
• التناقص لـ x ∈ (- ∞ ؛ 0] ؛
• الوظيفة مقعرة لـ x ∈ (- ∞ ؛ + ∞) ؛
• لا توجد نقاط انعطاف
• لا توجد خطوط مقاربة.
• نقاط تمرير الوظيفة: (- 1 ؛ 1) ، (0 ؛ 0) ، (1 ؛ 1).

يوضح الشكل أدناه أمثلة على الرسوم البيانية للوظيفة الأسية y = x a عندما يكون a رقمًا سالبًا فرديًا: y = x - 9 (لون الرسم البياني الأسود) ؛ y = x - 5 (اللون الأزرق للمخطط) ؛ y = x - 3 (اللون الأحمر للرسم البياني) ؛ y = x - 1 (الرسم البياني الأخضر). عندما \ u003d - 1 ، نحصل على تناسب عكسي ، يكون الرسم البياني الخاص به عبارة عن قطع زائد.

التعريف 8

خصائص دالة الطاقة عندما يكون الأس سالبًا فرديًا:

عندما س \ u003d 0 ، نحصل على انقطاع من النوع الثاني ، منذ ليم س → 0 - 0 س أ \ u003d - ∞ ، ليم س → 0 + 0 س أ \ u003d + ∞ ل \ u003d - 1 ، - 3 ، - 5 ، .... وبالتالي ، فإن الخط المستقيم x = 0 هو خط مقارب عمودي ؛

• النطاق: ص ∈ (- ∞ ؛ 0) ∪ (0 ؛ + ∞) ؛
• الدالة فردية لأن y (- x) = - y (x) ؛
• تتناقص الوظيفة لـ x ∈ - ∞ ؛ 0 ∪ (0 ؛ + ∞) ؛
• الوظيفة محدبة لـ x ∈ (- ∞ ؛ 0) ومقعرة لـ x ∈ (0 ؛ + ∞) ؛
• لا توجد نقاط انعطاف

ك = ليم س → ∞ س أ س = 0 ، ب = ليم س → ∞ (س أ - ك س) = 0 ص = ك س + ب = 0 عندما أ = - 1 ، - 3 ، - 5 ،. . . .

• نقاط تمرير الوظيفة: (- 1 ؛ - 1) ، (1 ؛ 1).

يوضح الشكل أدناه أمثلة على الرسوم البيانية لوظيفة القوة y = x a عندما يكون a رقمًا سلبيًا زوجيًا: ص = س - 8 (مخطط باللون الأسود) ؛ y = x - 4 (اللون الأزرق للرسم البياني) ؛ y = x - 2 (اللون الأحمر للرسم البياني).

التعريف 9

خصائص دالة الطاقة عندما يكون الأس سالبًا:

• مجال التعريف: x ∈ (- ∞؛ 0) ∪ (0؛ + ∞)؛

عندما س \ u003d 0 ، نحصل على انقطاع من النوع الثاني ، منذ ليم س → 0 - 0 س أ \ u003d + ∞ ، ليم س → 0 + 0 س أ \ u003d + ∞ ل \ u003d - 2 ، - 4 ، - 6 ، .... وبالتالي ، فإن الخط المستقيم x = 0 هو خط مقارب عمودي ؛

• الوظيفة زوجية لأن y (- x) = y (x) ؛
• تتزايد الدالة لـ x ∈ (- ∞ ؛ 0) وتتناقص لـ x ∈ 0 ؛ + ∞ ؛
• الوظيفة مقعرة لـ x ∈ (- ∞ ؛ 0) ∪ (0 ؛ + ∞) ؛
• لا توجد نقاط انعطاف
• الخط المقارب الأفقي هو خط مستقيم y = 0 لأن:

ك = ليم س → ∞ س أ س = 0 ، ب = ليم س → ∞ (س أ - ك س) = 0 ص = ك س + ب = 0 عندما أ = - 2 ، - 4 ، - 6 ،. . . .

• نقاط تمرير الوظيفة: (- 1 ؛ 1) ، (1 ؛ 1).

من البداية ، انتبه إلى الجانب التالي: في الحالة التي يكون فيها a كسرًا موجبًا بمقام فردي ، يأخذ بعض المؤلفين الفاصل - كمجال لتعريف وظيفة الطاقة هذه ؛ + ∞ ، تنص على أن الأس a هو كسر غير قابل للاختزال. في الوقت الحالي ، لا يحدد مؤلفو العديد من المنشورات التعليمية حول الجبر وبدايات التحليل وظائف القدرة ، حيث يكون الأس كسرًا بمقام فردي للقيم السالبة للحجة. علاوة على ذلك ، سوف نلتزم بمثل هذا الموقف: نأخذ المجموعة [0؛ + ∞). توصية للطلاب: اكتشف وجهة نظر المعلم في هذه المرحلة من أجل تجنب الخلافات.

فلنلقِ نظرة على دالة القوة y = x a عندما يكون الأس عددًا نسبيًا أو غير نسبي بشرط أن يكون 0< a < 1 .

دعونا نوضح بالرسوم البيانية وظائف الطاقة ص = س أ عندما أ = 11 12 (مخطط باللون الأسود) ؛ أ = 5 7 (اللون الأحمر للرسم البياني) ؛ أ = 1 3 (اللون الأزرق للرسم البياني) ؛ أ = 2 5 (اللون الأخضر للرسم البياني).

القيم الأخرى للأس أ (بافتراض 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

التعريف 10

خصائص وظيفة الطاقة في 0< a < 1:

• النطاق: ص ∈ [0 ؛ + ∞) ؛
• تتزايد الدالة من أجل x ∈ [0 ؛ + ∞) ؛
• الوظيفة محدبة لـ x ∈ (0 ؛ + ∞) ؛
• لا توجد نقاط انعطاف
• لا توجد خطوط مقاربة.

دعنا نحلل دالة القوة y = x a عندما يكون الأس عددًا غير صحيح نسبيًا أو غير نسبي بشرط أن يكون a> 1.

نوضح الرسوم البيانية لدالة الطاقة y = x a في ظل ظروف معينة في مثال هذه الدوال: y = x 5 4، y = x 4 3، y = x 7 3، y = x 3 π (أسود ، أحمر ، أزرق ، أخضر للرسوم البيانية ، على التوالي) .

القيم الأخرى للأس أ تحت الشرط أ> 1 ستعطي عرضًا مشابهًا للرسم البياني.

التعريف 11

خصائص وظيفة الطاقة لـ> 1:

• مجال التعريف: x ∈ [0؛ + ∞) ؛
• النطاق: ص ∈ [0 ؛ + ∞) ؛
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (ليست فردية ولا زوجية) ؛
• تتزايد الدالة من أجل x ∈ [0 ؛ + ∞) ؛
• الوظيفة مقعرة لـ x ∈ (0 ؛ + ∞) (عندما 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• لا توجد نقاط انعطاف
• لا توجد خطوط مقاربة.
• نقاط تمرير الوظيفة: (0 ؛ 0) ، (1 ؛ 1).

نلفت انتباهك ، عندما يكون a كسرًا سالبًا بمقام فردي ، في أعمال بعض المؤلفين هناك وجهة نظر مفادها أن مجال التعريف في هذه الحالة هو الفاصل - ∞ ؛ 0 ∪ (0 ؛ + ∞) بشرط أن الأس a كسر غير قابل للاختزال. في الوقت الحالي ، لا يحدد مؤلفو المواد التعليمية حول الجبر وبدايات التحليل وظائف القدرة ذات الأس على شكل كسر بمقام فردي للقيم السالبة للحجة. علاوة على ذلك ، نحن نلتزم بهذا الرأي: نأخذ المجموعة (0 ؛ + ∞) كمجال لوظائف القوة مع الأسس السالبة الكسرية. اقتراح للطلاب: وضح رؤية معلمك في هذه المرحلة لتجنب الخلاف.

نواصل الموضوع ونحلل وظيفة الطاقة y = x a مقدم: - 1< a < 0 .

فيما يلي رسم بياني للوظائف التالية: y = x - 5 6 ، y = x - 2 3 ، y = x - 1 2 2 ، y = x - 1 7 (خطوط سوداء ، حمراء ، زرقاء ، خضراء ، على التوالي ).

التعريف 12

خصائص وظيفة الطاقة في - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + عندما - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• النطاق: ص ∈ 0 ؛ + ∞ ؛
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (ليست فردية ولا زوجية) ؛
• لا توجد نقاط انعطاف

يوضح الرسم أدناه الرسوم البيانية لوظائف القوة y = x - 5 4 ، y = x - 5 3 ، y = x - 6 ، y = x - 24 7 (الألوان الأسود والأحمر والأزرق والأخضر للمنحنيات ، على التوالي).

التعريف 13

خصائص وظيفة الطاقة لـ< - 1:

• مجال التعريف: x ∈ 0؛ + ∞ ؛

ليم س → 0 + 0 س أ = + عندما أ< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• النطاق: y ∈ (0 ؛ + ∞) ؛
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (ليست فردية ولا زوجية) ؛
• الوظيفة تتناقص لـ x ∈ 0 ؛ + ∞ ؛
• الوظيفة مقعرة لـ x ∈ 0 ؛ + ∞ ؛
• لا توجد نقاط انعطاف
• خط مقارب أفقي - خط مستقيم y = 0 ؛
• نقطة مرور الوظيفة: (1 ؛ 1).

عندما يكون a \ u003d 0 و x ≠ 0 ، نحصل على الوظيفة y \ u003d x 0 \ u003d 1 ، والتي تحدد الخط الذي يتم استبعاد النقطة (0 ؛ 1) منه (اتفقنا على عدم إعطاء التعبير 0 0 اي قيمة).

الدالة الأسية لها الشكل y = a x ، حيث a> 0 و a 1 ، ويبدو الرسم البياني لهذه الدالة مختلفًا بناءً على قيمة القاعدة a. دعونا ننظر في حالات خاصة.

أولاً ، دعنا نحلل الموقف عندما يكون لقاعدة الدالة الأسية قيمة من صفر إلى واحد (0< a < 1) . مثال توضيحي هو الرسوم البيانية للوظائف لـ a = 1 2 (اللون الأزرق للمنحنى) و a = 5 6 (اللون الأحمر للمنحنى).

الرسوم البيانية للدالة الأسية سيكون لها شكل مماثل للقيم الأخرى للقاعدة ، بشرط أن يكون 0< a < 1 .

التعريف 14

خصائص الدالة الأسية عندما تكون القاعدة أقل من واحد:

• النطاق: y ∈ (0 ؛ + ∞) ؛
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (ليست فردية ولا زوجية) ؛
• دالة أسية قاعدتها أقل من واحد تتناقص على نطاق التعريف بأكمله ؛
• لا توجد نقاط انعطاف
• الخط المقارب الأفقي هو الخط المستقيم y = 0 مع المتغير x يميل إلى + ∞ ؛

فكر الآن في الحالة التي تكون فيها قاعدة الدالة الأسية أكبر من واحد (أ> 1).

دعنا نوضح هذه الحالة الخاصة بالرسم البياني للدوال الأسية y = 3 2 x (اللون الأزرق للمنحنى) و y = e x (اللون الأحمر للرسم البياني).

القيم الأخرى للقاعدة ، أكبر من واحد ، ستعطي عرضًا مشابهًا للرسم البياني للدالة الأسية.

التعريف 15

خصائص الدالة الأسية عندما تكون القاعدة أكبر من واحد:

• مجال التعريف هو المجموعة الكاملة للأرقام الحقيقية ؛
• النطاق: y ∈ (0 ؛ + ∞) ؛
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (ليست فردية ولا زوجية) ؛
• دالة أسية قاعدتها أكبر من واحد تتزايد من أجل x ∈ - ∞ ؛ + ∞ ؛
• الوظيفة مقعرة لـ x ∈ - ∞ ؛ + ∞ ؛
• لا توجد نقاط انعطاف
• خط مقارب أفقي - خط مستقيم y = 0 مع متغير x يميل إلى - ∞ ؛
• نقطة مرور الوظيفة: (0 ؛ 1).

الدالة اللوغاريتمية لها الصيغة y = log a (x) ، حيث a> 0 ، a ≠ 1.

يتم تعريف هذه الوظيفة فقط للقيم الموجبة للوسيطة: من أجل x ∈ 0 ؛ + ∞.

الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية له شكل مختلف ، بناءً على قيمة القاعدة أ.

ضع في اعتبارك أولاً الموقف عندما تكون 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

القيم الأخرى للقاعدة ، التي لا تزيد عن واحد ، ستعطي عرضًا مشابهًا للرسم البياني.

التعريف 16

خصائص الدالة اللوغاريتمية عندما تكون القاعدة أقل من واحد:

• مجال التعريف: x ∈ 0؛ + ∞. نظرًا لأن x يميل إلى الصفر من اليمين ، فإن قيم الدالة تميل إلى + ∞ ؛
• النطاق: ص ∈ - ∞ ؛ + ∞ ؛
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (ليست فردية ولا زوجية) ؛
• لوغاريتمي
• الوظيفة مقعرة لـ x ∈ 0 ؛ + ∞ ؛
• لا توجد نقاط انعطاف
• لا توجد خطوط مقاربة.

الآن دعونا نحلل حالة خاصة عندما تكون قاعدة الدالة اللوغاريتمية أكبر من واحدة: أ> 1 . في الرسم أدناه ، توجد رسوم بيانية للدوال اللوغاريتمية y = log 3 2 x و y = ln x (الألوان الزرقاء والحمراء للرسوم البيانية ، على التوالي).

القيم الأخرى للقاعدة الأكبر من واحد ستعطي عرضًا مشابهًا للرسم البياني.

التعريف 17

خصائص الدالة اللوغاريتمية عندما تكون القاعدة أكبر من واحد:

• مجال التعريف: x ∈ 0؛ + ∞. بما أن x يميل إلى الصفر من اليمين ، فإن قيم الدالة تميل إلى - ؛
• النطاق: ص ∈ - ∞ ؛ + ∞ (المجموعة الكاملة للأرقام الحقيقية) ؛
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (ليست فردية ولا زوجية) ؛
• تتزايد الدالة اللوغاريتمية من أجل x ∈ 0 ؛ + ∞ ؛
• الوظيفة محدبة لـ x ∈ 0 ؛ + ∞ ؛
• لا توجد نقاط انعطاف
• لا توجد خطوط مقاربة.
• نقطة مرور الوظيفة: (1 ؛ 0).

الدوال المثلثية هي الجيب وجيب التمام والظل والظل. دعنا نحلل خصائص كل منها والرسوم البيانية المقابلة.

بشكل عام ، تتميز جميع الدوال المثلثية بخاصية الدورية ، أي عندما تتكرر قيم الدوال لقيم مختلفة من الوسيطة التي تختلف عن بعضها البعض بقيمة الفترة f (x + T) = f (x) (T هي الفترة). وبالتالي ، فإن العنصر "أقل فترة إيجابية" يضاف إلى قائمة خصائص الدوال المثلثية. بالإضافة إلى ذلك ، سنشير إلى قيم الوسيطة التي تختفي من أجلها الوظيفة المقابلة.

1. دالة الجيب: y = sin (x)

يسمى الرسم البياني لهذه الوظيفة موجة جيبية.

التعريف 18

خصائص وظيفة الجيب:

• مجال التعريف: مجموعة الأعداد الحقيقية x ∈ - ∞؛ + ∞ ؛
• تختفي الوظيفة عندما x = π k ، حيث k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة) ؛
• تتزايد الدالة من أجل x ∈ - π 2 + 2 π · k ؛ π 2 + 2 π k، k ∈ Z ومتناقص لـ x π 2 + 2 π k ؛ 3 π 2 + 2 π ك ، ك ∈ Z ؛
• دالة الجيب لها قيمة قصوى محلية عند النقاط π 2 + 2 π · k ؛ 1 والحد الأدنى المحلي عند النقاط - π 2 + 2 π · k ؛ - 1 ، ك ∈ Z ؛
• تكون وظيفة الجيب مقعرة عندما x ∈ - π + 2 π k ؛ 2 π ك ، ك ∈ Z ومحدب عندما س ∈ 2 π ك ؛ π + 2 π ك ، ك ∈ Z ؛
• لا توجد خطوط مقاربة.

1. وظيفة جيب التمام: ص = كوس (س)

يسمى الرسم البياني لهذه الوظيفة موجة جيب التمام.

التعريف 19

خصائص وظيفة جيب التمام:

• مجال التعريف: x ∈ - ∞؛ + ∞ ؛
• أصغر فترة موجبة: T \ u003d 2 π ؛
• النطاق: ص ∈ - 1 ؛ 1 ؛
• هذه الوظيفة زوجية ، حيث أن y (- x) = y (x) ؛
• تتزايد الدالة من أجل x ∈ - π + 2 π · k ؛ 2 π · k، k ∈ Z ومتناقص لـ x 2 π · k ؛ π + 2 π ك ، ك ∈ Z ؛
• دالة جيب التمام لها قيمة قصوى محلية عند النقاط 2 π · k ؛ 1 ، k ∈ Z والحد الأدنى المحلي عند النقاط π + 2 π · k ؛ - 1 ، ك ∈ ض ؛
• تكون دالة جيب التمام مقعرة عندما تكون x ∈ π 2 + 2 π · k ؛ 3 π 2 + 2 π k و k Z ومحدب عندما x ∈ - π 2 + 2 π k ؛ π 2 + 2 π · k، k ∈ Z ؛
• إحداثيات نقاط الانعطاف π 2 + π · k ؛ 0 ، ك ∈ Z
• لا توجد خطوط مقاربة.

1. وظيفة الظل: ص = تي ز (س)

يسمى الرسم البياني لهذه الوظيفة المماس.

التعريف 20

خصائص وظيفة الظل:

• مجال التعريف: x ∈ - π 2 + π · k؛ π 2 + π k حيث k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة) ؛
• سلوك دالة الظل على حدود مجال التعريف lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞، lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞. وهكذا ، فإن الخطوط x = π 2 + π · k k ∈ Z هي خطوط مقاربة عمودية ؛
• تختفي الوظيفة عندما x = π k لـ k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة) ؛
• النطاق: ص ∈ - ∞ ؛ + ∞ ؛
• هذه الوظيفة غريبة لأن y (- x) = - y (x) ؛
• تتزايد الوظيفة عند - π 2 + π · k ؛ π 2 + π ك ، ك ∈ Z ؛
• تكون دالة الظل مقعرة لـ x ∈ [π · k؛ π 2 + π k) ، k ∈ Z ومحدب لـ x (- 2 + π k ؛ π k] ، k ∈ Z ؛
• نقاط الانعطاف لها إحداثيات π ك ؛ 0 ، ك ∈ Z ؛

1. وظيفة ظل التمام: ص = ج تي ز (س)

يسمى الرسم البياني لهذه الوظيفة التمام التمامي. .

التعريف 21

خصائص وظيفة ظل التمام:

• مجال التعريف: x ∈ (π k؛ π + π k) حيث k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة) ؛

سلوك دالة ظل التمام على حدود مجال التعريف lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞، lim x → π · k - 0 t g (x) = -. وبالتالي ، فإن الخطوط x = π k k ∈ Z هي خطوط مقاربة عمودية ؛

• أصغر فترة موجبة: T \ u003d π ؛
• تختفي الوظيفة عندما x = π 2 + π k لـ k Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة) ؛
• النطاق: ص ∈ - ∞ ؛ + ∞ ؛
• هذه الوظيفة غريبة لأن y (- x) = - y (x) ؛
• تتناقص الوظيفة لـ x ∈ π · k ؛ π + π ك ، ك ∈ Z ؛
• دالة ظل التمام مقعرة لـ x ∈ (π k؛ π 2 + π k]، k ∈ Z ومحدبة لـ x ∈ [- π 2 + k؛ π k)، k ∈ Z؛
• إحداثيات نقاط الانعطاف π 2 + π · k ؛ 0 ، ك ∈ Z ؛
• لا توجد خطوط مقاربة مائلة وأفقية.

الدوال المثلثية العكسية هي قوس القوس ، قوس قوس التمام ، قوس ظل القوس. في كثير من الأحيان ، بسبب وجود البادئة "القوس" في الاسم ، تسمى الدوال المثلثية العكسية وظائف القوس. .

1. دالة القوسين: y = a r c sin (x)

التعريف 22

خصائص وظيفة القوسين:

• هذه الوظيفة غريبة لأن y (- x) = - y (x) ؛
• وظيفة القوسين مقعرة لـ x ∈ 0 ؛ 1 والتحدب لـ x ∈ - 1 ؛ 0 ؛
• نقاط الانعطاف لها إحداثيات (0 ؛ 0) ، وهي أيضًا صفر الوظيفة ؛
• لا توجد خطوط مقاربة.

1. وظيفة Arccosine: y = a r c cos (x)

التعريف 23

خصائص وظيفة Arccosine:

• مجال التعريف: x ∈ - 1؛ 1 ؛
• النطاق: ص ∈ 0 ؛ π ؛
• هذه الوظيفة ذات شكل عام (ليس زوجيًا ولا فرديًا) ؛
• تتناقص الوظيفة في مجال التعريف بأكمله ؛
• دالة arccosine مقعرة لـ x ∈ - 1 ؛ 0 والتحدب لـ x ∈ 0 ؛ 1 ؛
• نقاط الانعطاف لها إحداثيات 0 ؛ π2 ؛
• لا توجد خطوط مقاربة.

1. دالة قوسية: y = a r c t g (x)

التعريف 24

خصائص الدالة Arctangent:

• مجال التعريف: x ∈ - ∞؛ + ∞ ؛
• النطاق: ص ∈ - π 2 ؛ π2 ؛
• هذه الوظيفة غريبة لأن y (- x) = - y (x) ؛
• تتزايد الوظيفة على نطاق التعريف بأكمله ؛
• الدالة المستقيمة مقعرة لـ x ∈ (- ∞ ؛ 0] ومحدبة لـ x ∈ [0 ؛ + ∞) ؛
• نقطة الانعطاف لها إحداثيات (0 ؛ 0) ، وهي أيضًا صفر الوظيفة ؛
• الخطوط المقاربة الأفقية هي خطوط مستقيمة y = - π 2 لـ x → - و y = π 2 لـ x → + (الخطوط المقاربة في الشكل هي خطوط خضراء).

1. وظيفة قوس التمام القوسي: y = a r c c t g (x)

التعريف 25

خصائص وظيفة ظل التمام القوسي:

• مجال التعريف: x ∈ - ∞؛ + ∞ ؛
• النطاق: y ∈ (0 ؛ π) ؛
• هذه الوظيفة من نوع عام ؛
• تتناقص الوظيفة في مجال التعريف بأكمله ؛
• دالة ظل التمام القوسي مقعرة لـ x ∈ [0 ؛ + ∞) والتحدب لـ x ∈ (- ∞ ؛ 0] ؛
• نقطة الانعطاف لها إحداثيات 0 ؛ π2 ؛
• الخطوط المقاربة الأفقية هي خطوط مستقيمة y = π عند x → - ∞ (الخط الأخضر في الرسم) و y = 0 عند x → + ∞.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

معرفة الوظائف الأساسية الأساسية وخصائصها والرسوم البيانيةلا تقل أهمية عن معرفة جدول الضرب. إنهم مثل الأساس ، كل شيء يعتمد عليهم ، كل شيء مبني منهم ، وكل شيء يعود إليهم.

في هذه المقالة ، ندرج جميع الوظائف الأساسية الرئيسية ، ونعطي الرسوم البيانية الخاصة بها ونعطيها بدون اشتقاق وبراهين. خصائص الوظائف الأساسية الأساسيةحسب المخطط:

• سلوك الوظيفة على حدود مجال التعريف ، الخطوط المقاربة العمودية (إذا لزم الأمر ، انظر تصنيف المقالة لنقاط توقف الوظيفة) ؛
• زوجى و فردى؛
• فترات التحدب (التحدب لأعلى) والتقعر (التحدب لأسفل) ، ونقاط الانعطاف (إذا لزم الأمر ، راجع التحدب وظيفة المقالة ، واتجاه التحدب ، ونقاط الانعطاف ، وظروف التحدب والانقلاب) ؛
• الخطوط المقاربة المائلة والأفقية ؛
• نقاط وظائف فردية ؛
• الخصائص الخاصة لبعض الوظائف (على سبيل المثال ، أصغر فترة موجبة للوظائف المثلثية).

إذا كنت مهتمًا أو ، فيمكنك الانتقال إلى هذه الأقسام من النظرية.

الوظائف الأساسية الأساسيةهي: دالة ثابتة (ثابتة) ، جذر الدرجة n ، دالة قدرة ، دالة أسية ، دالة لوغاريتمية ، دالة مثلثية وعكسية.

التنقل في الصفحة.

وظيفة دائمة.

يتم إعطاء دالة ثابتة في مجموعة جميع الأعداد الحقيقية بواسطة الصيغة ، حيث C هو عدد حقيقي. تخصص الوظيفة الثابتة لكل قيمة حقيقية للمتغير المستقل x نفس قيمة المتغير التابع y - القيمة С. تسمى الوظيفة الثابتة أيضًا بالثابت.

الرسم البياني للدالة الثابتة هو خط مستقيم يوازي المحور x ويمر بنقطة ذات إحداثيات (0 ، C). على سبيل المثال ، دعنا نعرض الرسوم البيانية للوظائف الثابتة y = 5 ، y = -2 ، والتي في الشكل أدناه تتوافق مع الخطوط السوداء والحمراء والزرقاء على التوالي.

خصائص دالة ثابتة.

• مجال التعريف: المجموعة الكاملة للأرقام الحقيقية.
• الدالة الثابتة زوجية.
• نطاق القيم: مجموعة تتكون من رقم واحد C.
• الوظيفة الثابتة هي غير متزايدة وغير متناقصة (وهذا هو السبب في أنها ثابتة).
• لا معنى للحديث عن تحدب وتقعر الثابت.
• لا يوجد خط مقارب.
• تمر الوظيفة عبر النقطة (0 ، C) لمستوى الإحداثيات.

جذر الدرجة التاسعة.

ضع في اعتبارك الوظيفة الأساسية الأساسية ، التي توفرها الصيغة ، حيث n هو رقم طبيعي أكبر من واحد.

جذر الدرجة n عدد زوجي.

لنبدأ بدالة الجذر n للقيم الزوجية للأس الجذر n.

على سبيل المثال ، نعطي صورة مع صور الرسوم البيانية للوظائف وهي تتوافق مع خطوط سوداء وحمراء وزرقاء.

الرسوم البيانية لوظائف جذر الدرجة الزوجية لها شكل مماثل للقيم الأخرى للمؤشر.

خصائص جذر الدرجة n حتى n.

جذر الدرجة n عدد فردي.

يتم تحديد دالة الجذر للدرجة n مع الأس الفردي للجذر n على مجموعة الأرقام الحقيقية بأكملها. على سبيل المثال ، نقدم الرسوم البيانية للوظائف وتتوافق معها المنحنيات السوداء والحمراء والزرقاء.

بالنسبة للقيم الفردية الأخرى لأس الجذر ، سيكون للرسومات البيانية الخاصة بالدالة مظهر مماثل.

خصائص جذر الدرجة n للفرد n.

وظيفة الطاقة.

يتم الحصول على دالة القوة من خلال صيغة بالصيغة.

ضع في اعتبارك نوع الرسوم البيانية لدالة الطاقة وخصائص دالة الطاقة اعتمادًا على قيمة الأس.

لنبدأ بدالة طاقة ذات أس صحيح أ. في هذه الحالة ، يعتمد شكل الرسوم البيانية لوظائف القدرة وخصائص الوظائف على الأس الزوجي أو الفردي ، وكذلك على علامته. لذلك ، ننظر أولاً إلى دوال القوة للقيم الفردية الموجبة للأس a ، ثم للقيم الموجبة ، ثم للأسس السالبة الفردية ، وأخيرًا حتى للقيم السالبة أ.

تعتمد خصائص وظائف القوة مع الأسس الكسري وغير المنطقي (بالإضافة إلى نوع الرسوم البيانية لوظائف القدرة هذه) على قيمة الأس أ. سننظر فيها ، أولاً ، عندما يكون a من صفر إلى واحد ، وثانيًا ، عندما يكون a أكبر من واحد ، وثالثًا ، عندما يكون a من سالب واحد إلى صفر ، ورابعًا ، عندما يكون a أقل من ناقص واحد.

في ختام هذا القسم الفرعي ، من أجل الاكتمال ، نصف دالة قدرة ذات أس صفر.

دالة القوة ذات الأس الموجب الفردي.

ضع في اعتبارك دالة قوة ذات أس موجب فردي ، أي مع a = 1،3،5 ،….

يوضح الشكل أدناه الرسوم البيانية لوظائف الطاقة - الخط الأسود ، - الخط الأزرق ، - الخط الأحمر ، - الخط الأخضر. ل = 1 لدينا دالة خطيةص = س.

خصائص دالة قوة ذات أس موجب فردي.

دالة القوة مع الأس الموجب.

ضع في اعتبارك دالة أس ذات أس موجب ، أي لـ a = 2،4،6 ،….

كمثال ، لنأخذ الرسوم البيانية لوظائف الطاقة - الخط الأسود ، - الخط الأزرق ، - الخط الأحمر. بالنسبة لـ a = 2 ، لدينا دالة تربيعية يكون رسمها البياني القطع المكافئ التربيعي.

خصائص دالة قوة ذات أس موجب.

دالة قدرة ذات أس سالب فردي.

انظر إلى الرسوم البيانية للدالة الأسية للقيم السالبة الفردية للأس ، أي \ u003d -1 ، -3 ، -5 ، ....

يوضح الشكل الرسوم البيانية للوظائف الأسية كأمثلة - خط أسود ، - خط أزرق ، - خط أحمر ، - خط أخضر. ل = -1 لدينا التناسب العكسي، الذي هو الرسم البياني القطع الزائد.

خصائص دالة قوة ذات أس سالب فردي.

دالة قوة ذات أس سالب زوجي.

دعنا ننتقل إلى وظيفة القوة عند a = -2 ، -4 ، -6 ،….

يوضح الشكل الرسوم البيانية لوظائف الطاقة - الخط الأسود ، - الخط الأزرق ، - الخط الأحمر.

خصائص دالة قوة ذات أس سالب زوجي.

دالة قدرة ذات أس عقلاني أو غير منطقي قيمته أكبر من صفر وأقل من واحد.

ملحوظة!إذا كان a كسرًا موجبًا بمقام فردي ، فإن بعض المؤلفين يعتبرون الفاصل الزمني هو مجال دالة القدرة. في الوقت نفسه ، يشترط أن الأس a هو كسر غير قابل للاختزال. الآن مؤلفو العديد من الكتب المدرسية حول الجبر وبدايات التحليل لا يحددون وظائف القدرة ذات الأس على شكل كسر بمقام فردي للقيم السالبة للحجة. سوف نلتزم بمثل هذا الرأي ، أي أننا سنعتبر مجالات وظائف القوة ذات الأس الموجبة الكسرية هي المجموعة. نحن نشجع الطلاب على الحصول على وجهة نظر معلمك حول هذه النقطة الدقيقة لتجنب الخلاف.

ضع في اعتبارك دالة قوة ذات أس منطقي أو غير منطقي أ ، و.

نقدم رسومًا بيانية لوظائف الطاقة لـ a = 11/12 (الخط الأسود) ، a = 5/7 (الخط الأحمر) ، (الخط الأزرق) ، a = 2/5 (الخط الأخضر).

دالة قوة ذات أس منطقي أو غير عدد صحيح أكبر من واحد.

ضع في اعتبارك دالة قوة ذات أس منطقي أو غير منطقي غير صحيح أ ، و.

دعونا نقدم الرسوم البيانية لوظائف القوة التي تقدمها الصيغ (خطوط سوداء وحمراء وزرقاء وخضراء على التوالي).

>

بالنسبة للقيم الأخرى للأس أ ، سيكون للرسومات البيانية الخاصة بالدالة مظهر مماثل.

خصائص وظيفة الطاقة لـ.

دالة قدرة ذات أس حقيقي أكبر من ناقص واحد وأقل من صفر.

ملحوظة!إذا كان a كسرًا سالبًا بمقام فردي ، فإن بعض المؤلفين يأخذون بعين الاعتبار الفترة الزمنية . في الوقت نفسه ، يشترط أن الأس a هو كسر غير قابل للاختزال. الآن مؤلفو العديد من الكتب المدرسية حول الجبر وبدايات التحليل لا يحددون وظائف القدرة ذات الأس على شكل كسر بمقام فردي للقيم السالبة للحجة. سوف نلتزم بهذا الرأي ، أي أننا سنعتبر مجالات وظائف القوة ذات الأسس السالبة الكسرية هي المجموعة ، على التوالي. نحن نشجع الطلاب على الحصول على وجهة نظر معلمك حول هذه النقطة الدقيقة لتجنب الخلاف.

ننتقل إلى دالة القوة ، حيث.

من أجل الحصول على فكرة جيدة عن نوع الرسوم البيانية لوظائف الطاقة ، نقدم أمثلة على الرسوم البيانية للوظائف (منحنيات الأسود والأحمر والأزرق والأخضر ، على التوالي).

خصائص دالة القوة مع الأس أ ،.

دالة قوة ذات أس حقيقي غير صحيح وأقل من ناقص واحد.

دعونا نعطي أمثلة على الرسوم البيانية لوظائف القوة لـ ، تم تصويرهم بخطوط سوداء وحمراء وزرقاء وخضراء ، على التوالي.

خصائص دالة قوة ذات أس سالب غير صحيح أقل من ناقص واحد.

عندما تكون a = 0 ولدينا وظيفة - هذا خط مستقيم يتم استبعاد النقطة منه (0 ؛ 1) (تم الاتفاق على التعبير 0 0 على عدم إعطاء أي أهمية).

دالة أسية.

إحدى الوظائف الأساسية الأساسية هي الوظيفة الأسية.

رسم بياني للدالة الأسية ، حيث يتخذ شكلًا مختلفًا اعتمادًا على قيمة الأساس أ. دعونا نفهم ذلك.

أولاً ، ضع في اعتبارك الحالة التي تأخذ فيها قاعدة الدالة الأسية قيمة من صفر إلى واحد ، أي.

على سبيل المثال ، نقدم الرسوم البيانية للدالة الأسية لـ a = 1/2 - الخط الأزرق ، a = 5/6 - الخط الأحمر. الرسوم البيانية للدالة الأسية لها مظهر مشابه للقيم الأخرى للقاعدة من الفاصل الزمني.

خصائص دالة أسية ذات أساس أقل من واحد.

ننتقل إلى الحالة التي تكون فيها قاعدة الدالة الأسية أكبر من واحد ، أي.

كتوضيح ، نقدم رسومًا بيانية للوظائف الأسية - الخط الأزرق و - الخط الأحمر. بالنسبة للقيم الأخرى للقاعدة ، أكبر من واحد ، سيكون للرسوم البيانية للدالة الأسية مظهر مشابه.

خصائص دالة أسية ذات أساس أكبر من واحد.

دالة لوغاريتمية.

الوظيفة الأساسية التالية هي الوظيفة اللوغاريتمية ، حيث ،. يتم تعريف الوظيفة اللوغاريتمية فقط للقيم الموجبة للوسيطة ، أي لـ.

يتخذ الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية شكلاً مختلفًا اعتمادًا على قيمة القاعدة أ.

لنبدأ بالحالة متى.

على سبيل المثال ، نقدم الرسوم البيانية للدالة اللوغاريتمية لـ a = 1/2 - الخط الأزرق ، a = 5/6 - الخط الأحمر. بالنسبة للقيم الأخرى للقاعدة ، التي لا تتجاوز واحدًا ، سيكون للرسومات البيانية للوظيفة اللوغاريتمية مظهر مماثل.

خصائص دالة لوغاريتمية ذات أساس أقل من واحد.

دعنا ننتقل إلى الحالة التي تكون فيها قاعدة الدالة اللوغاريتمية أكبر من واحد ().

لنعرض الرسوم البيانية للدوال اللوغاريتمية - الخط الأزرق ، - الخط الأحمر. بالنسبة للقيم الأخرى للقاعدة ، أكبر من واحد ، سيكون للرسومات البيانية للدالة اللوغاريتمية مظهر مماثل.

خصائص دالة لوغاريتمية ذات أساس أكبر من واحد.

الدوال المثلثية وخصائصها والرسوم البيانية.

جميع الدوال المثلثية (الجيب وجيب التمام والظل والظل) هي وظائف أولية أساسية. الآن سننظر في الرسوم البيانية الخاصة بهم وسرد خصائصهم.

الدوال المثلثية لها المفهوم دورية(تكرار قيم الدالة لقيم مختلفة للوسيطة تختلف عن بعضها البعض حسب قيمة الفترة ، حيث T هي الفترة) ، لذلك تمت إضافة عنصر إلى قائمة خصائص الدوال المثلثية "أصغر فترة إيجابية". أيضًا ، لكل دالة مثلثية ، سنشير إلى قيم الوسيطة التي تختفي فيها الوظيفة المقابلة.

الآن دعونا نتعامل مع جميع الدوال المثلثية بالترتيب.

دالة الجيب y = sin (x).

دعنا نرسم رسمًا بيانيًا لوظيفة الجيب ، يطلق عليه "الجيب الجيبي".

خصائص دالة الجيب y = sinx.

دالة جيب التمام y = cos (x).

يبدو الرسم البياني لوظيفة جيب التمام (يسمى "جيب التمام") كما يلي:

خصائص دالة جيب التمام y = cosx.

دالة الظل y = tg (x).

يبدو الرسم البياني لوظيفة الظل (يطلق عليه "المماس") كما يلي:

الظل خصائص الدالة y = tgx.

دالة ظل التمام y = ctg (x).

دعنا نرسم رسمًا بيانيًا لدالة ظل التمام (يطلق عليها "cotangentoid"):

خصائص دالة ظل التمام y = ctgx.

الدوال المثلثية العكسية وخصائصها والرسوم البيانية.

الدوال المثلثية العكسية (قوس قوس ، قوس قوس ، قوس قوس ، قوس ظل الزاوية) هي الوظائف الأساسية الأساسية. في كثير من الأحيان ، بسبب البادئة "القوس" ، تسمى الدوال المثلثية العكسية وظائف القوس. الآن سننظر في الرسوم البيانية الخاصة بهم وسرد خصائصهم.

دالة القوسين y = arcsin (x).

دعنا نرسم دالة القوسين:

خصائص الدالة arccotangent y = arcctg (x).

فهرس.

• كولموغوروف إيه إن ، أبراموف إيه إم ، دودنيتسين يو. الجبر وبدايات التحليل: Proc. من 10 إلى 11 خلية. المؤسسات التعليمية.
• فيجودسكي م. كتيب الرياضيات الابتدائية.
• نوفوسيلوف إس. الجبر والوظائف الابتدائية.
• Tumanov S.I. الجبر الابتدائي. دليل للتعليم الذاتي.

الوظائف والرسوم البيانية الخاصة بهم هي واحدة من أكثر الموضوعات الرائعة في الرياضيات المدرسية. إنه لأمر مؤسف أنها نجحت ... بعد الدروس وتجاوز الطلاب. لا يوجد وقت كاف لها في المدرسة الثانوية. وتلك الوظائف التي تتم في الصف السابع - وظيفة خطية وقطع مكافئ - بسيطة للغاية وغير معقدة لإظهار كل مجموعة متنوعة من المهام الشيقة.

تعد القدرة على بناء الرسوم البيانية للوظائف ضرورية لحل المشكلات باستخدام المعلمات في امتحان الرياضيات. هذا هو أحد الموضوعات الأولى في مقرر التحليل الرياضي في الجامعة. هذا موضوع مهم لدرجة أننا ، في Unified State Exam-Studio ، نقوم بإجراء دورات مكثفة خاصة حوله لطلاب المدارس الثانوية والمعلمين ، في موسكو وعبر الإنترنت. وغالبًا ما يقول المشاركون: "من المؤسف أننا لم نكن نعرف هذا من قبل".

لكن هذا ليس كل شيء. تبدأ الرياضيات الحقيقية "البالغة" بمفهوم الوظيفة. بعد كل شيء ، الجمع والطرح والضرب والقسمة والكسور والنسب - هذا لا يزال حسابيًا. تحويلات التعبير هي الجبر. والرياضيات علم لا يتعلق بالأرقام فحسب ، بل يتعلق أيضًا بعلاقات الكميات. لغة الوظائف والرسوم البيانية مفهومة للفيزيائي وعالم الأحياء والاقتصادي. وكما قال جاليليو جاليلي ، "كتاب الطبيعة مكتوب بلغة الرياضيات".

بتعبير أدق ، قال جاليليو جاليلي: "الرياضيات هي الأبجدية التي رسم بها الرب الكون."

مواضيع للمراجعة:

1. رسم وظيفة

تحد مألوف! اجتمع مثل هذا في متغيرات OGE في الرياضيات. هناك اعتبروا صعبا. لكن لا يوجد شيء معقد هنا.

لنبسط صيغة الدالة:

الرسم البياني للوظيفة - خط مستقيم بنقطة مثقوبة

2. رسم وظيفة

لنحدد الجزء الصحيح في صيغة الدالة:

الرسم البياني للدالة عبارة عن قطع زائد تم إزاحته 3 إلى اليمين في x و 2 في y وتمدد 10 مرات مقارنة بالرسم البياني للوظيفة

اختيار الجزء الصحيح هو تقنية مفيدة تستخدم في حل المتباينات ورسم الرسوم البيانية وتقدير الأعداد الصحيحة في المسائل على الأرقام وخصائصها. سوف تقابله أيضًا في السنة الأولى ، عندما يتعين عليك أخذ التكاملات.

3. رسم وظيفة

يتم الحصول عليها من الرسم البياني للوظيفة عن طريق التمدد مرتين ، والتقليب رأسياً وتحويل 1 رأسياً

4. رسم وظيفة

الشيء الرئيسي هو التسلسل الصحيح للإجراءات. لنكتب صيغة الدالة بشكل أكثر ملاءمة:

نحن نعمل بالترتيب:

1) انقل الرسم البياني للدالة y = sinx إلى اليسار ؛

2) ضغط مرتين أفقيًا ،

3) تمتد 3 مرات عموديا ،

4) تحرك لأعلى بمقدار 1

الآن سنقوم ببناء العديد من الرسوم البيانية للدوال الكسرية الكسرية. لفهم كيفية القيام بذلك بشكل أفضل ، اقرأ مقالة "السلوك الوظيفي في Infinity. الخطوط المقاربة ".

5. رسم الدالة

نطاق الوظيفة:

أصفار الوظيفة: و

الخط المستقيم x = 0 (المحور y) هو الخط المقارب الرأسي للدالة. خط مقارب- الخط المستقيم ، الذي يقترب منه الرسم البياني لوظيفة ما بشكل لا نهائي ، لكنه لا يتقاطع معه ولا يندمج معه (انظر موضوع "سلوك الوظيفة عند اللانهاية. الخطوط المقاربة")

هل توجد خطوط مقاربة أخرى لوظيفتنا؟ لمعرفة ذلك ، دعنا نرى كيف تتصرف الدالة عندما ينتقل x إلى ما لا نهاية.

لنفتح الأقواس في صيغة الدالة:

إذا انتقل x إلى ما لا نهاية ، فسيذهب إلى الصفر. الخط المستقيم خط مقارب مائل للرسم البياني للدالة.

6. رسم وظيفة

هذه دالة كسرية كسرية.

نطاق الوظيفة

الأصفار الوظيفية: النقاط - 3 ، 2 ، 6.

سيتم تحديد فترات ثبات الإشارة للوظيفة باستخدام طريقة الفواصل الزمنية.

الخطوط المقاربة الرأسية:

إذا كانت x تميل إلى اللانهاية ، فإن y تميل إلى 1. ومن ثم ، فهي خط مقارب أفقي.

هنا رسم تخطيطي للرسم البياني:

تقنية أخرى مثيرة للاهتمام هي إضافة الرسوم البيانية.

7. رسم وظيفة

إذا كان x يميل إلى اللانهاية ، فإن الرسم البياني للدالة سيقترب بلا حدود من الخط المقارب المائل

إذا كانت x تميل إلى الصفر ، فإن الدالة تتصرف على هذا النحو الذي نراه على الرسم البياني:

لذلك قمنا ببناء رسم بياني لمجموع الدوال. الآن جدول العمل!

8. رسم وظيفة

مجال هذه الوظيفة هو أرقام موجبة ، حيث يتم تعريف x الموجب فقط

قيم الدالة هي صفر عند (عندما يكون اللوغاريتم صفر) ، وكذلك عند النقاط حيث ، أي عند

عندما تكون القيمة (cos x) تساوي واحدًا. ستكون قيمة الوظيفة عند هذه النقاط مساوية لـ

9. رسم وظيفة

تم تعريف الدالة على أنها زوجية ، لأنها نتاج وظيفتين فرديتين والرسم البياني متماثل حول المحور ص.

توجد أصفار الدالة عند النقاط التي ، أي عند

إذا ذهب x إلى ما لا نهاية ، يذهب إلى الصفر. لكن ماذا يحدث إذا اقتربت x من الصفر؟ بعد كل شيء ، سيصبح كل من x و sin x أصغر وأصغر. كيف سيتصرف الخاص؟

اتضح أنه إذا كان x يقترب من الصفر ، فإنه يميل إلى واحد. في الرياضيات ، يسمى هذا البيان "الحد الملحوظ الأول".

لكن ماذا عن المشتق؟ نعم ، لقد وصلنا أخيرًا إلى هناك. يساعد المشتق على رسم الوظائف بدقة أكبر. ابحث عن الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط ، بالإضافة إلى قيم الوظائف في هذه النقاط.

10. رسم وظيفة

نطاق الوظيفة هو كل الأرقام الحقيقية ، منذ ذلك الحين

الوظيفة غريبة. الرسم البياني الخاص به متماثل فيما يتعلق بالأصل.

عند x = 0 ، فإن قيمة الدالة تساوي صفرًا. لقيم الدالة موجبة ، لأن تكون سالبة.

إذا انتقل x إلى ما لا نهاية ، فسيذهب إلى الصفر.

لنجد مشتق الدالة
وفقًا لصيغة مشتق حاصل القسمة ،

أنا ل

عند هذه النقطة ، يغير المشتق إشارة من "ناقص" إلى "زائد" ، - أدنى نقطة للدالة.

عند هذه النقطة ، يغير المشتق إشارة من "زائد" إلى "ناقص" ، - أقصى نقطة للدالة.

لنجد قيم الدالة عند x = 2 وعند x = -2.

من الملائم بناء الرسوم البيانية للوظائف وفقًا لخوارزمية أو مخطط معين. تذكر أنك درستها في المدرسة؟

المخطط العام لإنشاء رسم بياني للدالة:

1. نطاق الوظيفة

2. مجموعة من القيم الدالة

3. زوجي - فردي (إن وجد)

4. التردد (إن وجد)

5. أصفار الوظيفة (النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع محاور الإحداثيات)

6. فترات ثبات دالة (أي الفترات التي تكون فيها الوظيفة موجبة أو سالبة تمامًا).

7. الخطوط المقاربة (إن وجدت).

8. سلوك دالة عند اللانهاية

9. مشتق من وظيفة

10. فترات الزيادة والنقصان. النقاط والقيم العالية والمنخفضة في هذه النقاط.