حجم رباعي الوجوه هو اشتقاق الصيغة. حجم رباعي الوجوه. حساب حجم رباعي السطوح إذا كانت إحداثيات رءوسه معروفة

من الصيغة الأساسية لحجم رباعي الوجوه

أين سهي منطقة أي وجه ، و ح- الارتفاع المنخفض عليه ، يمكنك اشتقاق سلسلة كاملة من الصيغ التي تعبر عن الحجم من حيث العناصر المختلفة للرباعي السطوح. نعطي هذه الصيغ لرباعي الوجوه ا ب ت ث.

(2) ,

أين ∠ ( ميلادي,ABC) هي الزاوية بين الحافة ميلاديووجه الطائرة ABC;

(3) ,

أين ∠ ( ABC,ABD) هي الزاوية بين الوجوه ABCو ABD;

أين | AB,قرص مضغوط| - المسافة بين الضلوع المتقابلة ABو قرص مضغوط, ∠ (AB,قرص مضغوط) هي الزاوية بين هذه الحواف.

يمكن استخدام الصيغ (2) - (4) لإيجاد الزوايا بين الخطوط والمستويات ؛ الصيغة (4) مفيدة بشكل خاص ، حيث يمكنك من خلالها إيجاد المسافة بين خطوط الانحراف ABو قرص مضغوط.

الصيغتان (2) و (3) تشبهان الصيغة س = (1/2)أبالخطيئة جلمساحة المثلث. معادلة س = rpصيغة مماثلة

أين صهو نصف قطر الكرة المنقوشة لرباعي الوجوه ، هو سطحه الكلي (مجموع مناطق كل الوجوه). هناك أيضًا صيغة جميلة تربط حجم رباعي السطوح بنصف قطر صنطاقها الموصوف ( صيغة Crelle):

حيث Δ هي مساحة مثلث تساوي أضلاعه عدديًا منتجات الحواف المتقابلة ( AB× قرص مضغوط, تيار متردد× BD,ميلادي× قبل الميلاد). من الصيغة (2) ونظرية جيب التمام للزوايا ثلاثية الأضلاع (انظر حساب المثلثات الكروية) ، يمكن للمرء أن يشتق معادلة مشابهة لصيغة هيرون للمثلثات.

ضع في اعتبارك مثلثًا عشوائيًا ABC ونقطة D لا تقع في مستوى هذا المثلث. قم بتوصيل هذه النقطة بأجزاء لرؤوس المثلث ABC. نتيجة لذلك ، نحصل على مثلثات ADC و CDB و ABD. السطح الذي يحده أربعة مثلثات ABC و ADC و CDB و ABD يسمى رباعي الوجوه ويشار إليه بـ DABC.
تسمى المثلثات التي تشكل رباعي الوجوه وجوهها.
تسمى جوانب هذه المثلثات حواف رباعي الوجوه. ورؤوسها هي رءوس رباعي السطوح

رباعي السطوح 4 وجوه, 6 ضلوعو 4 قمم.
يطلق على الحافتين اللتين لا تحتويان على قمة مشتركة اسم معاكس.
في كثير من الأحيان ، للراحة ، يتم استدعاء أحد وجوه رباعي الوجوه أساس، والأوجه الثلاثة المتبقية هي وجوه جانبية.

وبالتالي ، فإن رباعي الوجوه هو أبسط متعدد الوجوه ، ووجوهها أربعة مثلثات.

لكن من الصحيح أيضًا أن أي هرم ثلاثي اعتباطي هو رباعي السطوح. ثم من الصحيح أيضًا أن يسمى رباعي الوجوه هرم مع مثلث في قاعدته.

ارتفاع رباعي الوجوهيسمى الجزء الذي يربط الرأس بنقطة تقع على الوجه المقابل ومتعامدة عليها.
وسيط رباعي الوجوهيسمى الجزء الذي يربط الرأس بنقطة تقاطع وسطاء الوجه المعاكس.
ثنائية الوجوه الرباعية السطوحيسمى الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف للحواف المتقاطعة للرباعي السطوح.

نظرًا لأن رباعي الوجوه هرم بقاعدة مثلثة ، يمكن حساب حجم أي رباعي السطوح باستخدام الصيغة

• سهي منطقة أي وجه ،
• ح- ينخفض ​​الارتفاع على هذا الوجه

منتظم رباعي السطوح - نوع خاص من رباعي السطوح

يسمى رباعي الوجوه حيث تكون جميع الوجوه مثلثات متساوية الأضلاع صيح.
خصائص رباعي السطوح العادي:

• كل الحواف متساوية.
• جميع الزوايا المستوية لرباعي السطوح العادي هي 60 درجة
• نظرًا لأن كل رأس من رؤوسه يمثل رأس ثلاثة مثلثات منتظمة ، فإن مجموع زوايا المستوى عند كل رأس هو 180 درجة
• يتم إسقاط أي رأس من رباعي السطوح المنتظم إلى المركز العمودي للوجه المعاكس (إلى نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث).

دعونا نحصل على رباعي السطوح ABCD منتظم بحواف تساوي a. DH هو ارتفاعها.
لنصنع تركيبات إضافية BM - ارتفاع المثلث ABC و DM - ارتفاع المثلث ACD.
ارتفاع BM يساوي BM ويساوي
ضع في اعتبارك المثلث BDM ، حيث DH ، وهو ارتفاع رباعي السطوح ، هو أيضًا ارتفاع هذا المثلث.
يمكن إيجاد ارتفاع المثلث الذي تم إسقاطه إلى الضلع MB باستخدام الصيغة

، أين
BM = ، DM = ، BD = أ ،
ع = 1/2 (BM + BD + DM) =
عوّض بهذه القيم في صيغة الارتفاع. احصل على


لنخرج 1/2 أ. احصل على

تطبيق صيغة الفرق بين المربعات

بعد بعض التحولات الطفيفة ، حصلنا عليها


يمكن حساب حجم أي رباعي الوجوه باستخدام الصيغة
,
أين ,

استبدال هذه القيم ، نحصل عليها

وبالتالي فإن صيغة الحجم لرباعي الوجوه العادية هي

أين أ- حافة رباعي السطوح

حساب حجم رباعي السطوح إذا كانت إحداثيات رءوسه معروفة

دعونا نعطي إحداثيات رؤوس رباعي الوجوه

ارسم متجهات من الرأس ، ،.
للعثور على إحداثيات كل من هذه المتجهات ، اطرح إحداثيات البداية المقابلة من إحداثيات النهاية. احصل على

ملحوظة. هذا جزء من درس مشاكل الهندسة (قسم الهندسة الصلبة ، مشاكل حول الهرم). إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة في الهندسة ، وهي ليست هنا - فاكتب عنها في المنتدى. في المهام ، بدلاً من رمز "الجذر التربيعي" ، تُستخدم الدالة sqrt () ، حيث يكون sqrt هو رمز الجذر التربيعي ، ويُشار إلى التعبير الجذري بين قوسين.للتعبيرات الجذرية البسيطة ، يمكن استخدام العلامة "√". منتظم رباعي السطوحهو هرم مثلثي منتظم تكون فيه جميع الوجوه مثلثات متساوية الأضلاع.

بالنسبة إلى رباعي السطوح المنتظم ، تكون جميع الزوايا ثنائية الأضلاع عند الحواف وجميع الزوايا ثلاثية السطوح عند الرؤوس متساوية

رباعي الوجوه له 4 وجوه و 4 رؤوس و 6 حواف.

الصيغ الأساسية لرباعي وجوه منتظم ترد في الجدول.

أين:
S - مساحة سطح رباعي السطوح المنتظم
الخامس - الحجم
ح - ارتفاع ينخفض ​​إلى القاعدة
ص - نصف قطر الدائرة المدرجة في رباعي الوجوه
R - نصف قطر الدائرة المحصورة
أ - طول الضلع

أمثلة عملية

مهمة.
أوجد مساحة سطح هرم مثلث بحيث تساوي كل حافة √3

المحلول.
نظرًا لأن جميع حواف الهرم المثلث متساوية ، فهذا صحيح. مساحة سطح الهرم الثلاثي المنتظم هي S = a 2 √3.
ثم
S = 3√3

إجابه: 3√3

مهمة.
جميع حواف الهرم المثلث العادي طولها ٤ سم ، أوجد حجم الهرم

المحلول.
نظرًا لأنه في الهرم المثلث العادي ، يتم عرض ارتفاع الهرم في مركز القاعدة ، وهو أيضًا مركز الدائرة المُحددة ، إذن

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

وهكذا يمكن إيجاد ارتفاع الهرم OM من المثلث الأيمن AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16-16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

يمكن إيجاد حجم الهرم بالصيغة V = 1/3 Sh
في هذه الحالة ، نجد مساحة القاعدة بواسطة الصيغة S \ u003d √3 / 4 a 2

V = 1/3 (3/4 * 16) (4√2 / √3)
الخامس = 16√2 / 3

إجابه: 16√2 / 3 سم

تعريف رباعي الوجوه

رباعي الوجوه- أبسط جسم متعدد السطوح ، ووجوهه وقاعدته مثلثات.

آلة حاسبة على الانترنت

رباعي الوجوه له أربعة أوجه ، يتكون كل منها من ثلاثة جوانب. رباعي الوجوه له أربعة رؤوس ، ولكل منها ثلاثة حواف.

هذا الجسم مقسم إلى عدة أنواع. يوجد أدناه تصنيفهم.

1. إيزوهيدرال رباعي السطوح- كل وجوهها هي نفس المثلثات ؛
2. تقويم العظام رباعي السطوح- جميع الارتفاعات المرسومة من كل رأس إلى الوجه المقابل متساوية في الطول ؛
3. مستطيل رباعي السطوح- تشكل الحواف المنبثقة من رأس واحد زاوية 90 درجة مع بعضها البعض ؛
4. الإطار;
5. متناسب;
6. حافز.

صيغ حجم رباعي السطوح

يمكن العثور على حجم جسم معين بعدة طرق. دعونا نحللها بمزيد من التفصيل.

من خلال المنتج المختلط من النواقل

إذا كان رباعي الوجوه مبنيًا على ثلاثة متجهات ذات إحداثيات:

أ ⃗ = (أ س ، أ ص ، أ ض) \ vec (أ) = (أ_كس ، أ_ ص ، أ_ز)أ= (أ x​ , أ ذ​ , أ ض​ )
ب ⃗ = (ب س ، ب ص ، ب ض) \ vec (ب) = (ب_س ، ب_ ص ، ب_ ع)ب= (ب x​ , ب ذ​ , ب ض​ )
ج ⃗ = (ج س ، ج ص ، ج ض) \ vec (ج) = (ج_س ، ج_ ص ، ج_ ع)ج= (ج x​ , ج ذ​ , ج ض​ ) ,

ثم حجم هذا رباعي الوجوه هو المنتج المختلط لهذه المتجهات ، أي ، مثل هذا المحدد:

حجم رباعي السطوح من خلال المحدد

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V = \ frac (1) (6) \ cdot \ begin (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ end (vmatrix )الخامس =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ أ x​ ب x​ ج x​ ​ أ ذ​ ب ذ​ ج ذ​ ​ أ ض​ ب ض​ ج ض​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

مهمة 1

إن إحداثيات الرءوس الأربعة للمجسم الثماني معروفة. أ (1، 4، 9) أ (1،4،9) أ (1 ، 4 ، 9), ب (٨ ، ٧ ، ٣) ب (٨ ، ٧ ، ٣) ب (٨ ، ٧ ، ٣), ج (1، 2، 3) ج (1،2،3) ج (1 ، 2 ، 3), د (٧ ، ١٢ ، ١) د (٧ ، ١٢ ، ١) د (7 ، 1 2 ، 1). أوجد حجمها.

المحلول

أ (1، 4، 9) أ (1،4،9) أ (1 ، 4 ، 9)
ب (٨ ، ٧ ، ٣) ب (٨ ، ٧ ، ٣) ب (٨ ، ٧ ، ٣)
ج (1، 2، 3) ج (1،2،3) ج (1 ، 2 ، 3)
د (٧ ، ١٢ ، ١) د (٧ ، ١٢ ، ١) د (7 ، 1 2 ، 1)

الخطوة الأولى هي تحديد إحداثيات المتجهات التي تم بناء الجسم عليها.
للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد كل إحداثي للمتجه عن طريق طرح الإحداثيات المقابلة لنقطتين. على سبيل المثال ، إحداثيات المتجهات A B → \ overrightarrow (AB) أ ب، أي ، ناقل موجه من نقطة أ أالى حد، الى درجة ب ب ب، هذه هي الاختلافات في إحداثيات النقاط المقابلة ب ب بو أ أ:

AB → = (8-1 ، 7-4 ، 3-9) = (7 ، 3 ، - 6) \ overrightarrow (AB) = (8-1 ، 7-4 ، 3-9) = (7 ، 3 ، -6)أ ب= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 - 1، 2-4، 3 - 9) = (0، - 2، - 6) \ overrightarrow (AC) = (1-1، 2-4، 3-9) = (0، - 2، -6)أ ج= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7-1، 12-4، 1-9) = (6، 8، - 8) \ overrightarrow (AD) = (7-1، 12-4، 1-9) = (6، 8، -8)ميلادي= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

الآن نجد حاصل الضرب المختلط لهذه المتجهات ، لذلك نكوّن محددًا من الدرجة الثالثة ، مع افتراض أن A B → = a ⃗ \ overrightarrow (AB) = \ vec (a)أ ب= أ, A C → = b ⃗ \ overrightarrow (AC) = \ vec (b)أ ج= ب, A D → = c ⃗ \ overrightarrow (AD) = \ vec (c)ميلادي= ج.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = 7 3-6 0-2-6 6 8-8 ∣ = 7 ⋅ (- 2) ⋅ (- 8) + 3 ⋅ (- 6) ⋅ 6 + (- 6) ⋅ 0 8 - (- 6) ⋅ (- 2) ⋅ 6-7 (- 6) ⋅ 8-3 ⋅ 0 (- 8) = 112-108-0-72 + 336 + 0 = 268 \ start (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ end (vmatrix) = \ start (vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ end (vmatrix) = 7 \ cdot (-2) \ cdot (-8) + 3 \ cdot (-6) \ cdot6 + (-6) \ cdot0 \ cdot8 - (-6) \ cdot (-2) \ cdot6 - 7 \ cdot (-6) \ cdot8 - 3 \ cdot0 \ cdot (-8) = 112-108-0-72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ أ x​ ب x​ جx​ ​ أذ​ بذ​ جذ​ ​ أض​ بض​ جض​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

أي أن حجم رباعي الوجوه هو:

$الخامس=61\cdot |$

إجابه

$44.8\text{سم3 .}$

صيغة حجم رباعي السطوح متساوي السطوح على طول جانبه

هذه الصيغة صالحة فقط لحساب حجم رباعي السطوح متساوي الوجوه ، أي رباعي السطوح حيث تكون جميع الوجوه مثلثات منتظمة متطابقة.

حجم رباعي السطوح متساوي السطوح

$الخامس=12\sqrt{2\cdot {أ}^3}$

اأهو طول حافة رباعي الوجوه.

المهمة 2

أوجد حجم رباعي الوجوه إذا كان جانبه يساوي $11\text{سم.}$

المحلول

$أ=11$

استبدل اأفي صيغة حجم رباعي الوجوه:

$الخامس=12\sqrt{2\cdot {أ}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{سم3}}}}}$

إجابه

$156.8\text{سم3 .}$