كيفية حل مجموع وفرق المكعبات. الفرق بين المكعب والمكعب: قواعد تطبيق صيغ الضرب المختصرة. أمثلة على تطبيق FSO
صيغ الضرب المختصرة.
دراسة معادلات الضرب المختصر: مربع المجموع ومربع الفرق بين تعبيرين ؛ فرق المربعات من تعبيرين ؛ مكعب المجموع ومكعب الفرق بين تعبيرين ؛ المجاميع والاختلافات في مكعبات تعبيرين.
تطبيق معادلات الضرب المختصرة عند حل الأمثلة.
لتبسيط التعبيرات ، وتحويل متعدد الحدود إلى عوامل ، وتقليل كثيرات الحدود إلى شكل قياسي ، يتم استخدام صيغ الضرب المختصرة. صيغ الضرب المختصرة التي تحتاج إلى معرفتها عن ظهر قلب.
دع أ ، ب ر. ثم:
1. مربع مجموع تعبيرين هومربع التعبير الأول زائد ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.
(أ + ب) 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2
2. مربع الفرق بين تعبيرين هومربع التعبير الأول ناقص ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.
(أ - ب) 2 = أ 2 - 2 أب + ب 2
3. فرق المربعاتتعبيرين يساوي حاصل ضرب فرق هذين التعبيرين ومجموعهما.
أ 2 - ب 2 \ u003d (أ - ب) (أ + ب)
4. مكعبمن تعبيرين يساوي مكعب التعبير الأول زائد ثلاثة في مربع التعبير الأول في الثاني زائد ثلاثة في حاصل ضرب التعبير الأول في مربع الثاني زائد مكعب التعبير الثاني.
(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + ب 3
5. مكعب الفرقمن تعبيرين يساوي مكعب التعبير الأول ناقص ثلاثة في حاصل ضرب مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة في حاصل ضرب التعبير الأول ومربع الثاني ناقص مكعب التعبير الثاني.
(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أب 2 - ب 3
6. مجموع المكعباتتعبيرين يساوي حاصل ضرب مجموع التعبيرين الأول والثاني بالمربع غير المكتمل للاختلاف بين هذين التعبيرين.
أ 3 + ب 3 \ u003d (أ + ب) (أ 2 - أب + ب 2)
7. فرق المكعباتمن تعبيرين يساوي حاصل ضرب الفرق بين التعبيرين الأول والثاني بالمربع غير المكتمل لمجموع هذين التعبيرين.
أ 3 - ب 3 \ u003d (أ - ب) (أ 2 + أب + ب 2)
تطبيق معادلات الضرب المختصرة عند حل الأمثلة.
مثال 1
احسب
أ) باستخدام صيغة مربع مجموع تعبيرين ، لدينا
(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
ب) باستخدام صيغة الاختلاف التربيعي لمقدارين نحصل عليه
98 2 \ u003d (100-2) 2 \ u003d 100 2 - 2100 2 + 2 2 \ u003d 10000-400 + 4 \ u003d 9604
مثال 2
احسب
باستخدام صيغة الفرق بين مربعي مقدارين ، نحصل عليها
مثال 3
تبسيط التعبير
(س - ص) 2 + (س + ص) 2
نستخدم الصيغ لمربع المجموع ومربع الفرق بين تعبيرين
(x - y) 2 + (x + y) 2 \ u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \ u003d 2x 2 + 2y 2
صيغ الضرب المختصرة في جدول واحد:
(أ + ب) 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2
(أ - ب) 2 = أ 2 - 2 أب + ب 2
أ 2 - ب 2 = (أ - ب) (أ + ب)
(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + ب 3
(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أب 2 - ب 3
أ 3 + ب 3 \ u003d (أ + ب) (أ 2 - أب + ب 2)
أ 3 - ب 3 \ u003d (أ - ب) (أ 2 + أب + ب 2)
فرق المربعات
نشتق معادلة الفرق بين المربعات $ a ^ 2-b ^ 2 $.
للقيام بذلك ، تذكر القاعدة التالية:
إذا تمت إضافة أي مونوميل إلى التعبير وطرح نفس المونومال ، فإننا نحصل على المتطابقة الصحيحة.
دعونا نضيف إلى تعبيرنا ونطرح منه الأحادي $ ab $:
في المجموع ، نحصل على:
أي أن الفرق بين مربعي اثنين من المونوميل يساوي حاصل ضرب فرقهما ومجموعهما.
مثال 1
التعبير كمنتج $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $
\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 = ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \]
\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 = \ left (2x-y \ right) (2x + y) \]
مجموع المكعبات
نشتق صيغة مجموع المكعبات $ a ^ 3 + b ^ 3 $.
لنأخذ العوامل المشتركة من الأقواس:
لنأخذ $ \ left (a + b \ right) من الأقواس:
في المجموع ، نحصل على:
أي أن مجموع مكعبات اثنين من المونومال يساوي حاصل ضرب مجموعهما بالمربع غير المكتمل للاختلاف بينهما.
مثال 2
التعبير كمنتج $ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $
يمكن إعادة كتابة هذا التعبير بالشكل التالي:
\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 = ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \]
باستخدام صيغة فرق المربعات ، نحصل على:
\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 = \ يسار (2x + y \ يمين) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \]
فرق المكعبات
نشتق صيغة الفرق بين المكعبات $ a ^ 3-b ^ 3 $.
للقيام بذلك ، سوف نستخدم نفس القاعدة المذكورة أعلاه.
دعونا نضيف إلى تعبيرنا ونطرح منه المونومال $ a ^ 2b \ و \ (ab) ^ 2 $:
لنأخذ العوامل المشتركة من الأقواس:
لنأخذ $ \ left (a-b \ right) من الأقواس:
في المجموع ، نحصل على:
أي أن الفرق بين مكعبات اثنين من المونومال يساوي حاصل ضرب فرقهما بالمربع غير المكتمل لمجموعهما.
مثال 3
التعبير كمنتج $ (8x) ^ 3-y ^ 3 $
يمكن إعادة كتابة هذا التعبير بالشكل التالي:
\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 = ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \]
باستخدام صيغة فرق المربعات ، نحصل على:
\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 = \ left (2x-y \ right) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \]
مثال على مهام استخدام الصيغ لفرق المربعات ومجموع وفرق المكعبات
مثال 4
تتضاعف.
أ) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
ج) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $
المحلول:
أ) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
\ [((أ + 5)) ^ 2-9 = (أ + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \]
بتطبيق صيغة المربعات ، نحصل على:
\ [((أ + 5)) ^ 2-3 ^ 2 = \ يسار (أ + 5-3 \ يمين) \ يسار (أ + 5 + 3 \ يمين) = \ يسار (أ + 2 \ يمين) (أ +8) \]
لنكتب هذا التعبير بالشكل:
دعنا نطبق صيغة مكعبات المكعبات:
ج) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $
لنكتب هذا التعبير بالشكل:
\ [- x ^ 3 + \ frac (1) (27) = (\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ 3-x ^ 3 \]
دعنا نطبق صيغة مكعبات المكعبات:
\ [(\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ 3-x ^ 3 = \ left (\ frac (1) (3) -x \ right) \ left (\ frac (1) ( 9) + \ frac (x) (3) + x ^ 2 \ right) \]
تُستخدم الصيغ أو قواعد الضرب المنخفض في الحساب ، وبشكل أكثر تحديدًا في الجبر ، من أجل عملية أسرع لحساب التعبيرات الجبرية الكبيرة. الصيغ نفسها مشتقة من القواعد الموجودة في الجبر لضرب العديد من كثيرات الحدود.
يوفر استخدام هذه الصيغ حلاً سريعًا إلى حد ما للعديد من المشكلات الرياضية ، ويساعد أيضًا في تبسيط التعبيرات. تسمح لك قواعد التحويلات الجبرية بإجراء بعض التلاعبات باستخدام التعبيرات ، وبعد ذلك يمكنك الحصول على التعبير على الجانب الأيسر من المساواة ، الموجود على الجانب الأيمن ، أو تحويل الجانب الأيمن من المساواة (للحصول على التعبير) الجانب الأيسر بعد علامة التساوي).
من الملائم معرفة الصيغ المستخدمة في عمليات الضرب المختصرة بالذاكرة ، حيث تُستخدم غالبًا في حل المشكلات والمعادلات. الصيغ الرئيسية المدرجة في هذه القائمة وأسمائها مذكورة أدناه.
مجموع مربع
لحساب مربع المجموع ، عليك إيجاد المجموع الذي يتكون من مربع الحد الأول ، ومضاعف حاصل ضرب الحد الأول والثاني ، ومربع الثاني. في شكل تعبير ، تتم كتابة هذه القاعدة على النحو التالي: (أ + ج) ² = أ² + 2 أك + ج².
مربع الاختلاف
لحساب مربع الاختلاف ، تحتاج إلى حساب المجموع الذي يتكون من مربع الرقم الأول ، ومضاعف حاصل ضرب الرقم الأول بالثاني (مأخوذ بعلامة معاكسة) ومربع الرقم الثاني. في شكل تعبير ، تبدو هذه القاعدة كما يلي: (أ - ج) ² \ u003d أ² - 2 أك + ج².
فرق المربعات
صيغة الفرق بين عددين تربيع تساوي حاصل ضرب مجموع هذين العددين والفرق بينهما. في شكل تعبير ، تبدو هذه القاعدة كما يلي: a² - c² \ u003d (a + c) (a - c).
مكعب
لحساب مكعب مجموع حدين ، تحتاج إلى حساب المجموع المكون من مكعب المصطلح الأول ، وثلاثة أضعاف حاصل ضرب مربع المصطلح الأول والثاني ، حاصل الضرب الثلاثي للمصطلح الأول والثاني تربيع ومكعب الحد الثاني. في شكل تعبير ، تبدو هذه القاعدة كما يلي: (أ + ج) ³ \ u003d أ³ + 3 أ² ج + 3 أك² + ج.
مجموع المكعبات
وفقًا للصيغة ، فهو يساوي حاصل ضرب مجموع هذه المصطلحات ومربع الفرق غير المكتمل. في شكل تعبير ، تبدو هذه القاعدة كما يلي: a³ + c³ \ u003d (a + c) (a² - ac + c²).
مثال.من الضروري حساب حجم الشكل الذي يتكون من إضافة مكعبين. فقط مقادير جوانبها معروفة.
إذا كانت قيم الجوانب صغيرة ، فمن السهل إجراء العمليات الحسابية.
إذا تم التعبير عن أطوال الأضلاع بأرقام مرهقة ، في هذه الحالة يكون من الأسهل تطبيق صيغة "مجموع المكعبات" ، والتي ستبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير.
مكعب الفرق
يبدو التعبير عن الفرق التكعيبي كما يلي: كمجموع القوة الثالثة للحد الأول ، ضاعف حاصل الضرب السالب لمربع الحد الأول بثلاثة أضعاف حاصل الضرب في الحد الأول بمقدار ثلاثة أضعاف حاصل الضرب في الحد الأول بمربع الثاني ، والمكعب السالب للحد الثاني. في شكل تعبير رياضي ، يبدو مكعب الفرق كما يلي: (أ - ج) ³ \ u003d أ - 3 أ² ج + 3 أك² - ج.
فرق المكعبات
تختلف صيغة اختلاف المكعبات عن مجموع المكعبات بعلامة واحدة فقط. وبالتالي ، فإن فرق المكعبات هو صيغة تساوي حاصل ضرب الفرق بين هذه الأرقام من خلال مربعها غير المكتمل من المجموع. في الشكل ، يبدو اختلاف المكعبات كما يلي: أ 3 - ج 3 \ u003d (أ - ج) (أ 2 + أك + ج 2).
مثال.من الضروري حساب حجم الشكل الذي سيبقى بعد طرح الشكل الحجمي الأصفر ، وهو أيضًا مكعب ، من حجم المكعب الأزرق. لا يُعرف سوى حجم جانب المكعب الصغير والكبير.
إذا كانت قيم الأضلاع صغيرة ، فإن الحسابات تكون بسيطة للغاية. وإذا تم التعبير عن أطوال الأضلاع بأرقام معنوية ، فمن المفيد استخدام صيغة بعنوان "اختلاف المكعبات" (أو "مكعب الفرق") ، والتي ستبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير.
تستخدم صيغ الضرب المختصرة (FSU) لأس ومضاعفة الأرقام والتعبيرات. غالبًا ما تسمح لك هذه الصيغ بإجراء العمليات الحسابية بشكل أكثر إحكاما وسرعة.
في هذه المقالة ، سنقوم بإدراج الصيغ الرئيسية لعملية الضرب المختصرة ، وتجميعها في جدول ، والنظر في أمثلة لاستخدام هذه الصيغ ، وكذلك التركيز على مبادئ إثبات صيغ الضرب المختصرة.
لأول مرة يتم اعتبار موضوع FSU ضمن مقرر "الجبر" للصف السابع. فيما يلي 7 صيغ أساسية.
صيغ الضرب المختصرة
- صيغة مجموع التربيع: أ + ب 2 = أ 2 + 2 أ ب + ب 2
- صيغة مربع الفرق: أ - ب 2 \ u003d أ 2-2 أ ب + ب 2
- صيغة مجموع المكعب: أ + ب 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3
- صيغة مكعب الفرق: أ - ب 3 \ u003d أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3
- صيغة اختلاف المربعات: أ 2 - ب 2 \ u003d أ - ب أ + ب
- صيغة مجموع المكعبات: أ 3 + ب 3 \ u003d أ + ب أ 2 - أ ب + ب 2
- صيغة فرق المكعب: أ 3 - ب 3 \ u003d أ - ب أ 2 + أ ب + ب 2
يمكن أن تكون الأحرف a و b و c في هذه التعبيرات أي أرقام أو متغيرات أو تعبيرات. لسهولة الاستخدام ، من الأفضل تعلم الصيغ السبع الأساسية عن ظهر قلب. نلخصها في جدول ونعطيها أدناه ، ونحيطها بمربع.
تسمح لك الصيغ الأربع الأولى بحساب مربع أو مكعب مجموع أو فرق تعبيرين على التوالي.
الصيغة الخامسة تحسب الفرق بين مربعات التعبيرات بضرب مجموعها وفرقها.
الصيغتان السادسة والسابعة هما ، على التوالي ، ضرب مجموع وفرق التعبيرات بالمربع غير المكتمل للفرق والمربع غير المكتمل من المجموع.
تسمى صيغة الضرب المختصرة أحيانًا أيضًا هويات الضرب المختصرة. هذا ليس مفاجئًا ، لأن كل مساواة هي هوية.
عند حل الأمثلة العملية ، غالبًا ما تُستخدم صيغ الضرب المختصرة مع الأجزاء المعاد ترتيبها اليسرى واليمنى. هذا مناسب بشكل خاص عند تحليل كثير الحدود.
صيغ الضرب المختصرة الإضافية
لن نقتصر على دورة الصف السابع في الجبر ونضيف بعض الصيغ الأخرى إلى جدول FSU الخاص بنا.
أولاً ، انظر إلى صيغة نيوتن ذات الحدين.
أ + ب ن = ج ن 0 أ ن + ج ن 1 أ ن - 1 ب + ج ن 2 أ ن - 2 ب 2 +. . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
هنا C n k هي المعاملات ذات الحدين الموجودة في السطر رقم n في مثلث باسكال. يتم حساب المعاملات ذات الحدين بالصيغة:
ج ن ك = ن! ك! · (ن - ك)! = ن (ن - 1) (ن - 2). . (ن - (ك - 1)) ك!
كما ترى ، فإن FSU لمربع ومكعب الفرق والمجموع هو حالة خاصة لصيغة نيوتن ذات الحدين لـ n = 2 و n = 3 على التوالي.
ولكن ماذا لو كان هناك أكثر من حدين في المجموع يتم رفعهما إلى قوة؟ ستكون صيغة مربع مجموع ثلاثة أو أربعة أو أكثر مفيدة.
أ 1 + أ 2 +. . + أ ن 2 = أ 1 2 + أ 2 2 +. . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
هناك صيغة أخرى قد تكون مفيدة وهي صيغة الفرق بين الأس ن لحدّين.
أ ن - ب ن = أ - ب أ ن - 1 + أ ن - 2 ب + أ ن - 3 ب 2 +. . + أ 2 ب ن - 2 + ب ن - 1
تنقسم هذه الصيغة عادةً إلى صيغتين - على التوالي للدرجات الفردية والزوجية.
للأسس 2 م:
أ 2 م - ب 2 م = أ 2 - ب 2 أ 2 م - 2 + أ 2 م - 4 ب 2 + أ 2 م - 6 ب 4 +. . + ب 2 م - 2
للأسس الفردية 2 م + 1:
أ 2 م + 1 - ب 2 م + 1 = أ 2 - ب 2 أ 2 م + أ 2 م - 1 ب + أ 2 م - 2 ب 2 +. . + ب 2 م
الصيغ الخاصة باختلاف المربعات وفرق المكعبات ، كما خمنت ، هي حالات خاصة لهذه الصيغة لـ n = 2 و n = 3 على التوالي. بالنسبة لفرق المكعبات ، يتم أيضًا استبدال ب ب - ب.
كيف تقرأ صيغ الضرب المختصرة؟
سنقدم الصيغ المقابلة لكل صيغة ، لكننا سنتعامل أولاً مع مبدأ قراءة الصيغ. أسهل طريقة للقيام بذلك هي باستخدام مثال. لنأخذ الصيغة الأولى لمربع مجموع عددين.
أ + ب 2 = أ 2 + 2 أ ب + ب 2.
يقولون: مربع مجموع تعبيرين أ و ب يساوي مجموع مربع التعبير الأول ، ومضاعف حاصل ضرب التعبيرين ومربع التعبير الثاني.
تتم قراءة جميع الصيغ الأخرى بالمثل. للفرق التربيعي أ - ب 2 \ u003d أ 2-2 أ ب + ب 2 نكتب:
مربع الفرق بين تعبيرين أ و ب يساوي مجموع مربعي هذين التعبيرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب التعبيرين الأول والثاني.
لنقرأ الصيغة أ + ب 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3. مكعب مجموع تعبيرين أ و ب يساوي مجموع مكعبات هذين التعبيرين ، وثلاثة أضعاف حاصل ضرب مربع التعبير الأول والثاني ، وثلاثة أضعاف حاصل ضرب مربع التعبير الثاني والتعبير الأول.
ننتقل إلى قراءة صيغة الفرق بين المكعبات أ - ب 3 \ u003d أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3. مكعب الفرق بين تعبيرين أ و ب يساوي مكعب التعبير الأول ناقص ثلاثة في مربع التعبير الأول والثاني ، زائد ثلاثة في مربع التعبير الثاني والتعبير الأول ، ناقص المكعب من التعبير الثاني.
الصيغة الخامسة أ 2 - ب 2 \ u003d أ - ب أ + ب (فرق المربعات) تقرأ على النحو التالي: الفرق بين مربعي تعبيرين يساوي حاصل ضرب الفرق ومجموع التعبيرين.
تسمى التعبيرات مثل a 2 + a b + b 2 و a 2 - a b + b 2 للراحة ، على التوالي ، المربع غير المكتمل للمجموع والمربع غير المكتمل للاختلاف.
مع وضع ذلك في الاعتبار ، تُقرأ صيغ مجموع المكعبات وفرقها على النحو التالي:
مجموع مكعبات تعبيرين يساوي حاصل ضرب مجموع هذين التعبيرين والمربع غير المكتمل لاختلافهما.
الفرق بين مكعبات تعبيرين يساوي حاصل ضرب فرق هذين التعبيرين بالمربع غير المكتمل لمجموعهما.
دليل FSU
إثبات FSU بسيط للغاية. بناءً على خصائص الضرب ، سنقوم بضرب أجزاء الصيغ بين قوسين.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك صيغة مربع الفرق.
أ - ب 2 \ u003d أ 2 - 2 أ ب + ب 2.
لرفع التعبير إلى القوة الثانية ، يجب ضرب التعبير في نفسه.
أ - ب 2 \ u003d أ - ب أ - ب.
دعنا نفدد الأقواس:
أ - ب أ - ب \ u003d أ 2 - أ ب - ب أ + ب 2 \ u003d أ 2-2 أ ب + ب 2.
تم إثبات الصيغة. أثبتت FSOs الأخرى بالمثل.
أمثلة على تطبيق FSO
الغرض من استخدام صيغ الضرب المختصرة هو الضرب السريع والدقيق للتعبيرات الأس. ومع ذلك ، ليس هذا هو النطاق الكامل لل FSO. يتم استخدامها على نطاق واسع في تقليل التعبيرات وتقليل الكسور وتحويل كثيرات الحدود إلى عوامل. دعنا نعطي أمثلة.
مثال 1. FSO
لنبسط التعبير 9 y - (1 + 3 y) 2.
قم بتطبيق صيغة مجموع المربعات واحصل على:
9 ص - (1 + 3 ص) 2 = 9 ص - (1 + 6 ص + 9 ص 2) = 9 ص - 1-6 ص - 9 ص 2 = 3 ص - 1-9 ص 2
مثال 2. FSO
اختصر الكسر 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.
نلاحظ أن المقدار في البسط هو فرق المكعبين ، وفي المقام - فرق المربعات.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \ u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
نحن نخفض ونحصل على:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
تساعد FSUs أيضًا في حساب قيم التعبيرات. الشيء الرئيسي هو أن تكون قادرًا على ملاحظة مكان تطبيق الصيغة. دعنا نظهر هذا بمثال.
لنقم بتربيع العدد 79. بدلا من الحسابات المرهقة نكتب:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
يبدو أنه تم إجراء عملية حسابية معقدة بسرعة بمجرد استخدام صيغ الضرب المختصرة وجدول الضرب.
نقطة أخرى مهمة هي اختيار مربع ذات الحدين. يمكن تحويل التعبير 4 x 2 + 4 x - 3 إلى 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2-4 = 2 x + 1 2-4. تستخدم هذه التحولات على نطاق واسع في التكامل.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter
