Правоъгълна координатна система. Декартова координатна система: основни понятия и примери Работа с координатната равнина

Правоъгълната координатна система на равнината е дадена от две взаимно перпендикулярни прави. Правите се наричат ​​координатни оси (или координатни оси). Точката на пресичане на тези линии се нарича начало и се обозначава с буквата O.

Обикновено една от линиите е хоризонтална, другата е вертикална. Хоризонталната линия се обозначава като ос x (или Ox) и се нарича ос на абсцисите, вертикалната е ос y (Oy), нарича се ос на ординатите. Цялата координатна система се означава с xOy.

Точката O разделя всяка от осите на две полуоси, едната от които се счита за положителна (означава се със стрелка), а другата се счита за отрицателна.

На всяка точка F от равнината се приписва двойка числа (x;y) — нейните координати.

x-координата се нарича абсцис. То е равно на Ox, взето със съответния знак.

Координата y се нарича ордината и е равна на разстоянието от точка F до оста Oy (със съответния знак).

Разстоянията на осите обикновено (но не винаги) се измерват в една и съща единица дължина.

Точките вдясно от оста y имат положителни абсциси. За точки, които лежат вляво от оста y, абсцисите са отрицателни. За всяка точка, лежаща на оста Oy, нейната x-координата е равна на нула.

Точките с положителна ордината лежат над оста x, тези с отрицателна ордината лежат под. Ако една точка лежи на оста x, нейната y-координата е нула.

Координатните оси разделят равнината на четири части, които се наричат ​​координатни четвъртини (или координатни ъгли или квадранти).

1 координатно тримесечиеразположен в горния десен ъгъл на координатната равнина xOy. И двете координати на точките, разположени в квартал I, са положителни.

Преходът от една четвърт към друга се извършва обратно на часовниковата стрелка.

2-ро тримесечиенамиращ се в горния ляв ъгъл. Точките, лежащи във втората четвърт, имат отрицателна абциса и положителна ордината.

3-то тримесечиесе намира в долния ляв квадрант на равнината xOy. И двете координати на точките, принадлежащи към III координатен ъгъл, са отрицателни.

4-то координатно тримесечиее долният десен ъгъл на координатната равнина. Всяка точка от четвърта четвърт има положителна първа координата и отрицателна втора.

Пример за местоположението на точките в правоъгълна координатна система:

Математиката е доста сложна наука. Изучавайки го, човек трябва не само да решава примери и задачи, но и да работи с различни фигури и дори самолети. Една от най-използваните в математиката е координатната система на равнината. Децата са обучавани как да работят правилно с него повече от една година. Ето защо е важно да знаете какво представлява и как да работите правилно с него.

Нека да разберем каква е тази система, какви действия можете да извършвате с нея, както и да разберем основните й характеристики и характеристики.

Определение на понятието

Координатна равнина е равнина, върху която е дефинирана определена координатна система. Такава равнина се определя от две прави линии, пресичащи се под прав ъгъл. Точката на пресичане на тези линии е началото на координатите. Всяка точка от координатната равнина е дадена от двойка числа, които се наричат ​​координати.

В училищен курс по математика учениците трябва да работят доста тясно с координатна система - да изграждат фигури и точки върху нея, да определят на коя равнина принадлежи дадена координата, а също така да определят координатите на точка и да ги напишат или наименуват. Ето защо, нека поговорим по-подробно за всички характеристики на координатите. Но първо, нека се докоснем до историята на създаването, а след това ще говорим за това как да работим в координатната равнина.

Справка по история

Идеите за създаване на координатна система са били в дните на Птолемей. Още тогава астрономите и математиците мислеха как да се научат как да задават позицията на точка в равнина. За съжаление по това време нямаше позната ни координатна система и учените трябваше да използват други системи.

Първоначално те задават точки, като посочват географска ширина и дължина. Дълго време това беше един от най-използваните начини за картографиране на тази или онази информация. Но през 1637 г. Рене Декарт създава своя собствена координатна система, по-късно наречена на "декартова".

Още в края на XVII век. концепцията за "координатната равнина" се използва широко в света на математиката. Въпреки факта, че са минали няколко века от създаването на тази система, тя все още се използва широко в математиката и дори в живота.

Примери за координатна равнина

Преди да говорим за теорията, ще дадем няколко илюстративни примера за координатната равнина, за да можете да си я представите. Координатната система се използва предимно в шаха. На дъската всеки квадрат има свои собствени координати - една буквена координата, втората - цифрова. С негова помощ можете да определите позицията на определено парче на дъската.

Вторият най-ярък пример е любимата игра "Battleship". Помнете как, когато играете, наименувате координата, например B3, като по този начин указвате точно къде се прицелвате. В същото време, когато поставяте корабите, задавате точки в координатната равнина.

Тази координатна система се използва широко не само в математиката, логическите игри, но и във военните дела, астрономията, физиката и много други науки.

Координатни оси

Както вече споменахме, в координатната система се разграничават две оси. Нека поговорим малко за тях, тъй като те са от голямо значение.

Първата ос - абсцисата - е хоризонтална. Означава се като ( вол). Втората ос е ордината, която минава вертикално през референтната точка и се обозначава като ( ой). Именно тези две оси образуват координатната система, разделяща равнината на четири четвърти. Началото се намира в пресечната точка на тези две оси и придобива стойност 0 . Само ако равнината е образувана от две оси, които се пресичат перпендикулярно и имат референтна точка, тя е координатна равнина.

Също така имайте предвид, че всяка от осите има своя собствена посока. Обикновено при конструиране на координатна система е обичайно посоката на оста да се посочи под формата на стрелка. Освен това при конструиране на координатната равнина всяка от осите се подписва.

квартали

Сега нека кажем няколко думи за такова понятие като четвъртините на координатната равнина. Равнината е разделена от две оси на четири четвърти. Всеки от тях има собствен номер, докато номерирането на равнините е обратно на часовниковата стрелка.

Всяка от кварталите има свои собствени характеристики. И така, през първото тримесечие абсцисата и ординатата са положителни, през второто тримесечие абсцисата е отрицателна, ординатата е положителна, в третото абсцисата и ординатата са отрицателни, в четвъртото абсцисата е положителна, а ординатата е отрицателна.

Като запомните тези характеристики, можете лесно да определите към коя четвърт принадлежи дадена точка. Освен това тази информация може да ви бъде полезна, ако трябва да правите изчисления с помощта на декартовата система.

Работа с координатната равнина

Когато се занимаваме с концепцията за самолет и говорим за неговите четвъртинки, можем да преминем към такъв проблем като работата с тази система, а също и да говорим за това как да поставим точки, координати на фигури върху нея. В координатната равнина това не е толкова трудно, колкото може да изглежда на пръв поглед.

На първо място, самата система е изградена, всички важни обозначения се прилагат към нея. След това има работа директно с точки или фигури. В този случай, дори при конструиране на фигури, точките първо се прилагат към равнината, а след това фигурите вече са начертани.

Правила за конструиране на самолет

Ако решите да започнете да маркирате фигури и точки на хартия, ще ви трябва координатна равнина. Върху него са нанесени координатите на точките. За да построите координатна равнина, ви трябват само линийка и химикалка или молив. Първо се начертава хоризонталната абциса, след това вертикалната - ордината. Важно е да запомните, че осите се пресичат под прав ъгъл.

Следващият задължителен елемент е маркирането. Единиците-сегменти са маркирани и подписани на всяка от осите в двете посоки. Това се прави, за да можете след това да работите със самолета с максимално удобство.

Маркиране на точка

Сега нека поговорим как да начертаем координатите на точките в координатната равнина. Това са основите, които трябва да знаете, за да поставите успешно различни форми в равнината и дори да маркирате уравнения.

Когато се конструират точки, трябва да се помни как техните координати са правилно записани. Така че, обикновено поставяйки точка, две числа се записват в скоби. Първата цифра показва координатата на точката по оста на абсцисата, втората - по оста на ординатата.

Точката трябва да се изгради по този начин. Маркирайте първо по оста волдадена точка, след което маркирайте точка върху оста ой. След това начертайте въображаеми линии от тези обозначения и намерете мястото на тяхното пресичане - това ще бъде дадената точка.

Всичко, което трябва да направите, е да го маркирате и подпишете. Както можете да видите, всичко е доста просто и не изисква специални умения.

Поставяне на фигура

Сега нека да преминем към такъв въпрос като изграждането на фигури в координатната равнина. За да изградите всяка фигура в координатната равнина, трябва да знаете как да поставите точки върху нея. Ако знаете как да направите това, тогава поставянето на фигура в самолет не е толкова трудно.

На първо място, ще ви трябват координатите на точките на фигурата. Именно върху тях ще приложим избраните от вас към нашата координатна система.Нека разгледаме начертаването на правоъгълник, триъгълник и кръг.

Да започнем с правоъгълник. Прилагането му е доста лесно. Първо, четири точки се прилагат към равнината, указващи ъглите на правоъгълника. След това всички точки са последователно свързани една с друга.

Начертаването на триъгълник не е по-различно. Единственото нещо е, че има три ъгъла, което означава, че три точки са приложени към равнината, обозначаващи нейните върхове.

По отношение на кръга, тук трябва да знаете координатите на две точки. Първата точка е центърът на окръжността, втората е точката, обозначаваща неговия радиус. Тези две точки са начертани върху равнина. След това се взема компас, измерва се разстоянието между две точки. Точката на компаса се поставя в точка, обозначаваща центъра, и се описва кръг.

Както можете да видите, тук също няма нищо сложно, основното е, че винаги има линийка и компас под ръка.

Сега знаете как да начертаете координати на формата. В координатната равнина това не е толкова трудно да се направи, както може да изглежда на пръв поглед.

заключения

И така, разгледахме с вас едно от най-интересните и основни понятия за математика, с които всеки ученик трябва да се справи.

Установихме, че координатната равнина е равнината, образувана от пресечната точка на две оси. С негова помощ можете да зададете координатите на точките, да поставите фигури върху тях. Самолетът е разделен на квартали, всяка от които има свои собствени характеристики.

Основното умение, което трябва да се развие при работа с координатната равнина, е способността да се начертаят правилно дадени точки върху нея. За да направите това, трябва да знаете правилното местоположение на осите, характеристиките на четвъртините, както и правилата, по които се задават координатите на точките.

Надяваме се, че предоставената от нас информация е била достъпна и разбираема, а също така е била полезна за вас и е помогнала за по-доброто разбиране на тази тема.

• Две взаимно перпендикулярни координатни линии, пресичащи се в точка O - начало, форма правоъгълна координатна система, наричана още декартова координатна система.
• Извиква се равнината, на която е избрана координатната система координатна равнина.Координатните линии се наричат координатни оси. Хоризонтална - оста на абсцисата (Ox), вертикална - ос на ордината (Oy).
• Координатните оси разделят координатната равнина на четири части - четвъртини. Серийните номера на четвъртините обикновено се броят обратно на часовниковата стрелка.
• Всяка точка в координатната равнина се дава от нейните координати - абциса и ордината. Например, A(3; 4). Те гласят: точка А с координати 3 и 4. Тук 3 е абсцисата, 4 е ординатата.

I. Построяване на точка А(3; 4).

Абсциса 3 показва, че от началото - точка О трябва да се отложи вдясно 3 един сегмент и след това оставете настрана 4 единичен сегмент и поставете точка.

Това е въпросът А(3; 4).

Изграждане на точка Б (-2; 5).

Отделете от нулата наляво 2 единично разрязване и след това нагоре 5 единични разфасовки.

Слагаме край V.

Обикновено се приема като единичен сегмент 1 клетка.

II. Конструирайте точки в координатната равнина xOy:

A(-3;1);B(-1;-2);

С(-2:4);D(2;3);

F(6:4);К(4; 0)

III. Определете координатите на построените точки: A, B, C, D, F, K.

А(-4; 3);IN 20);

С(3; 4);D(6;5);

F(0;-3);К(5;-2).

Подредена система от две или три пресичащи се оси, перпендикулярни една на друга с общ произход (произход) и обща единица за дължина, се нарича правоъгълна декартова координатна система .

Обща декартова координатна система (афинна координатна система) може също да включва не непременно перпендикулярни оси. В чест на френския математик Рене Декарт (1596-1662) е наречена такава координатна система, в която за всички оси се брои обща единица за дължина и осите са прави.

Правоъгълна декартова координатна система на равнината има две оси правоъгълна декартова координатна система в пространството - три оси. Всяка точка в равнина или в пространството се определя от подреден набор от координати - числа в съответствие с единичната дължина на координатната система.

Имайте предвид, че, както следва от определението, има декартова координатна система на права линия, тоест в едно измерение. Въвеждането на декартови координати на права линия е един от начините, по които на всяка точка от права линия се приписва добре дефинирано реално число, тоест координата.

Методът на координатите, който възниква в произведенията на Рене Декарт, бележи революционно преструктуриране на цялата математика. Стана възможно да се тълкуват алгебричните уравнения (или неравенства) под формата на геометрични изображения (графики) и, обратно, да се търси решение на геометрични проблеми с помощта на аналитични формули, системи от уравнения. Да, неравенство z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyи се намира над тази равнина с 3 единици.

С помощта на декартовата координатна система принадлежността на точка към дадена крива съответства на факта, че числата хи гудовлетворява някакво уравнение. И така, координатите на точка от окръжност с център в дадена точка ( а; б) удовлетворяват уравнението (х - а)² + ( г - б)² = Р² .

Правоъгълна декартова координатна система на равнината

Оформят се две перпендикулярни оси на равнина с общ произход и една и съща мащабна единица Декартова координатна система на равнината . Една от тези оси се нарича ос вол, или ос x , другият - оста ой, или y-ос . Тези оси се наричат ​​още координатни оси. Означете с Мхи Мгсъответно проекцията на произволна точка Мна ос воли ой. Как да получите прогнози? Преминете през точката М вол. Тази права пресича оста волв точката Мх. Преминете през точката Мправа линия, перпендикулярна на оста ой. Тази права пресича оста ойв точката Мг. Това е показано на фигурата по-долу.

хи гточки Мще наречем съответно величините на насочените отсечки ОМхи ОМг. Стойностите на тези насочени сегменти се изчисляват съответно като х = х0 - 0 и г = г0 - 0 . Декартови координати хи гточки М абсциса и ординат . Фактът, че точката Мима координати хи г, се обозначава както следва: М(х, г) .

Координатните оси разделят равнината на четири квадрант , чиято номерация е показана на фигурата по-долу. Той също така посочва подреждането на знаците за координатите на точките в зависимост от местоположението им в един или друг квадрант.

В допълнение към декартовите правоъгълни координати в равнината често се разглежда и полярната координатна система. За метода на преход от една координатна система към друга - в урока полярна координатна система .

Правоъгълна декартова координатна система в пространството

Декартовите координати в пространството се въвеждат по пълна аналогия с декартовите координати на равнина.

Три взаимно перпендикулярни оси в пространството (координатни оси) с общ произход Ои същата форма на единица мащаб Декартова правоъгълна координатна система в пространството .

Една от тези оси се нарича ос вол, или ос x , другият - оста ой, или y-ос , трета - ос Оз, или приложи ос . Позволявам Мх, Мг Мz- проекции на произволна точка Мпространства по оста вол , ойи Озсъответно.

Преминете през точката М волволв точката Мх. Преминете през точката Мравнина, перпендикулярна на оста ой. Тази равнина пресича оста ойв точката Мг. Преминете през точката Мравнина, перпендикулярна на оста Оз. Тази равнина пресича оста Озв точката Мz.

Декартови правоъгълни координати х , ги zточки Мще наречем съответно величините на насочените отсечки ОМх, ОМги ОМz. Стойностите на тези насочени сегменти се изчисляват съответно като х = х0 - 0 , г = г0 - 0 и z = z0 - 0 .

Декартови координати х , ги zточки Мсе назовават съответно абсциса , ординат и апликация .

Взети по двойки, координатните оси са разположени в координатните равнини xOy , йОзи zOx .

Проблеми за точките в декартовата координатна система

Пример 1

А(2; -3) ;

Б(3; -1) ;

° С(-5; 1) .

Намерете координатите на проекциите на тези точки върху оста x.

Решение. Както следва от теоретичната част на този урок, проекцията на точка върху оста x е разположена върху самата ос x, тоест оста вол, и следователно има абциса, равна на абсцисата на самата точка, и ордината (координата на оста ой, която оста x пресича в точка 0), равно на нула. Така получаваме следните координати на тези точки по оста x:

Аx(2;0);

Бx(3;0);

° Сx(-5;0).

Пример 2Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината

А(-3; 2) ;

Б(-5; 1) ;

° С(3; -2) .

Намерете координатите на проекциите на тези точки върху оста y.

Решение. Както следва от теоретичната част на този урок, проекцията на точка върху оста y е разположена върху самата ос y, тоест оста ой, и следователно има ордината, равна на ординатата на самата точка, и абциса (координата на оста вол, която оста y пресича в точка 0), равно на нула. Така получаваме следните координати на тези точки по оста y:

Аy(0; 2);

Бy (0; 1);

° Сy(0;-2).

Пример 3Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината

А(2; 3) ;

Б(-3; 2) ;

° С(-1; -1) .

вол .

вол вол вол, ще има същата абциса като дадената точка, а ординатата е равна по абсолютна стойност на ординатата на дадената точка и противоположна по знак на нея. Така получаваме следните координати на точки, симетрични на тези точки около оста вол :

А"(2; -3) ;

Б"(-3; -2) ;

° С"(-1; 1) .

Решете сами проблеми в декартовата координатна система и след това разгледайте решенията

Пример 4Определете в кои квадранти (четвъртини, фигура с квадранти - в края на параграфа "Правоъгълна декартова координатна система на равнината") може да се намира точката М(х; г) , ако

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) х − г = 0 ;

4) х + г = 0 ;

5) х + г > 0 ;

6) х + г < 0 ;

7) х − г > 0 ;

8) х − г < 0 .

Пример 5Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината

А(-2; 5) ;

Б(3; -5) ;

° С(а; б) .

Намерете координатите на точките, симетрични на тези точки около оста ой .

Продължаваме да решаваме проблемите заедно

Пример 6Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината

А(-1; 2) ;

Б(3; -1) ;

° С(-2; -2) .

Намерете координатите на точките, симетрични на тези точки около оста ой .

Решение. Завъртете на 180 градуса около оста ойнасочена отсечка от ос ойдо този момент. На фигурата, където са посочени квадрантите на равнината, виждаме, че точката е симетрична на дадената по отношение на оста ой, ще има същата ордината като дадената точка и абциса, равна по абсолютна стойност на абсцисата на дадената точка и противоположна по знак на нея. Така получаваме следните координати на точки, симетрични на тези точки около оста ой :

А"(1; 2) ;

Б"(-3; -1) ;

° С"(2; -2) .

Пример 7Точките са дадени в декартовата координатна система на равнината

А(3; 3) ;

Б(2; -4) ;

° С(-2; 1) .

Намерете координатите на точките, които са симетрични на тези точки по отношение на началото.

Решение. Завъртаме се на 180 градуса около началото на насочения сегмент, минаващ от началото до дадената точка. На фигурата, където са посочени квадрантите на равнината, виждаме, че точка, симетрична на дадена по отношение на началото на координатите, ще има абциса и ордината, равни по абсолютна стойност на абсцисата и ординатата на дадената точка , но противоположни по знак на тях. Така получаваме следните координати на точки, симетрични на тези точки по отношение на началото:

А"(-3; -3) ;

Б"(-2; 4) ;

° С(2; -1) .

Пример 8

А(4; 3; 5) ;

Б(-3; 2; 1) ;

° С(2; -3; 0) .

Намерете координатите на проекциите на тези точки:

1) в самолет Окси ;

2) до самолета Охз ;

3) до самолета Oyz ;

4) по оста на абсцисата;

5) по оста y;

6) по оста на апликацията.

1) Проекция на точка върху равнина Оксиразположен на самата тази равнина и следователно има абциса и ордината, равни на абсцисата и ординатата на дадената точка, и апликация, равна на нула. Така получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху Окси :

Аxy(4;3;0);

Бxy (-3; 2; 0);

° Сxy(2;-3;0).

2) Проекция на точка върху равнина Охзразположен на самата тази равнина и следователно има абсцис и приложение, равни на абсцисата и апликата на дадената точка, и ордината, равна на нула. Така получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху Охз :

Аxz (4; 0; 5);

Бxz (-3; 0; 1);

° Сxz(2;0;0).

3) Проекция на точка върху равнина Oyzразположен на самата тази равнина и следователно има ордината и апликация, равна на ординатата и апликата на дадена точка, и абсцисата, равна на нула. Така получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху Oyz :

Аyz (0; 3; 5);

Бyz (0; 2; 1);

° Сyz(0;-3;0).

4) Както следва от теоретичната част на този урок, проекцията на точка върху оста x е разположена върху самата ос x, тоест оста вол, и следователно има абциса, равна на абсцисата на самата точка, а ординатата и апликацията на проекцията са равни на нула (тъй като осите на ординатата и приложението пресичат абсцисата в точка 0). Получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху оста x:

Аx(4;0;0);

Бx(-3;0;0);

° Сx(2;0;0).

5) Проекцията на точка върху оста y е разположена върху самата ос y, т.е. ой, и следователно има ордината, равна на ординатата на самата точка, а абсцисата и приложението на проекцията са равни на нула (тъй като осите на абсцисата и приложението пресичат оста на ординатата в точка 0). Получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху оста y:

Аy(0;3;0);

Бy(0;2;0);

° Сy(0;-3;0).

6) Проекцията на точка върху оста на приложението е разположена върху самата ос на приложението, тоест оста Оз, и следователно има приложение, равно на приложението на самата точка, а абсцисата и ординатата на проекцията са равни на нула (тъй като осите на абсцисата и ординатата пресичат оста на приложението в точка 0). Получаваме следните координати на проекциите на тези точки върху приложимата ос:

Аz(0; 0; 5);

Бz(0;0;1);

° Сz(0; 0; 0).

Пример 9Точките са дадени в декартовата координатна система в пространството

А(2; 3; 1) ;

Б(5; -3; 2) ;

° С(-3; 2; -1) .

Намерете координатите на точките, които са симетрични на тези точки по отношение на:

1) самолет Окси ;

2) самолет Охз ;

3) самолет Oyz ;

4) ос на абсцисата;

5) ос у;

6) ос на апликацията;

7) началото на координатите.

1) "Напред" точката от другата страна на оста Окси Окси, ще има абциса и ордината, равна на абсцисата и ординатата на дадена точка, и апликация, равна по големина на апликата на дадената точка, но противоположна по знак на нея. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните по отношение на равнината Окси :

А"(2; 3; -1) ;

Б"(5; -3; -2) ;

° С"(-3; 2; 1) .

2) "Напред" точката от другата страна на оста Охзза същото разстояние. Според фигурата, показваща координатното пространство, виждаме, че точката е симетрична на дадената по отношение на оста Охз, ще има абсцис и апликация, равна на абсцисата и приложение на дадената точка, и ордината, равна по големина на ординатата на дадената точка, но противоположна по знак на нея. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните по отношение на равнината Охз :

А"(2; -3; 1) ;

Б"(5; 3; 2) ;

° С"(-3; -2; -1) .

3) "Напред" точката от другата страна на оста Oyzза същото разстояние. Според фигурата, показваща координатното пространство, виждаме, че точката е симетрична на дадената по отношение на оста Oyz, ще има ордината и апликат, равни на ординатата и апликат на дадена точка, и абциса, равна по големина на абсцисата на дадената точка, но противоположна по знак на нея. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните по отношение на равнината Oyz :

А"(-2; 3; 1) ;

Б"(-5; -3; 2) ;

° С"(3; 2; -1) .

По аналогия със симетричните точки на равнината и точките в пространството, симетрични спрямо данните по отношение на равнините, отбелязваме, че в случай на симетрия около някаква ос на декартовата координатна система в пространството, координатата на оста, около която е зададена симетрията, ще запазва знака си, а координатите по другите две оси ще бъдат същите по абсолютна стойност като координатите на дадената точка, но противоположни по знак.

4) Абсцисата ще запази знака си, докато ординатата и апликацията ще сменят знаците си. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните за оста x:

А"(2; -3; -1) ;

Б"(5; 3; -2) ;

° С"(-3; -2; 1) .

5) Ординатата ще запази знака си, докато абсцисата и апликацията ще сменят знаците си. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните за оста y:

А"(-2; 3; -1) ;

Б"(-5; -3; -2) ;

° С"(3; 2; 1) .

6) Заявката ще запази знака си, а абсцисата и ординатата ще сменят знаците си. И така, получаваме следните координати на точки, симетрични на данните за приложимата ос:

А"(-2; -3; 1) ;

Б"(-5; 3; 2) ;

° С"(3; -2; -1) .

7) По аналогия със симетрията в случай на точки в равнина, в случай на симетрия около началото, всички координати на точка, симетрична на дадена, ще бъдат равни по абсолютна стойност на координатите на дадена точка, но противоположни в знак към тях. И така, получаваме следните координати на точки, които са симетрични на данните по отношение на началото.

Нека дадено уравнение с две променливи F(x; y). Вече сте се научили как да решавате такива уравнения аналитично. Наборът от решения на такива уравнения може да бъде представен и под формата на графика.

Графиката на уравнението F(x; y) е множеството от точки от координатната равнина xOy, чиито координати удовлетворяват уравнението.

За да начертаете уравнение с две променливи, първо изразете променливата y по отношение на променливата x в уравнението.

Със сигурност вече знаете как да изграждате различни графики на уравнения с две променливи: ax + b = c е права линия, yx = k е хипербола, (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 е окръжност, чийто радиус е R, а центърът е в точката O(a; b).

Пример 1

Начертайте уравнението x 2 - 9y 2 = 0.

Решение.

Нека разложим на множители лявата страна на уравнението.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, т.е. y = x/3 или y = -x/3.

Отговор: Фигура 1.

Специално място заема присвояването на фигури на равнината чрез уравнения, съдържащи знака на абсолютната стойност, на които ще се спрем подробно. Разгледайте етапите на начертаване на уравнения от вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.

Първото уравнение е еквивалентно на системата

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) или y = -f(x).

Тоест, неговата графика се състои от графики на две функции: y = f(x) и y = -f(x), където f(x) ≥ 0.

За да се начертае графиката на второто уравнение, се начертават графики на две функции: y = f(x) и y = -f(x).

Пример 2

Начертайте уравнението |y| = 2 + х.

Решение.

Даденото уравнение е еквивалентно на системата

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 или y = -x - 2.

Изграждаме набор от точки.

Отговор: Фигура 2.

Пример 3

Начертайте уравнението |y – x| = 1.

Решение.

Ако y ≥ x, тогава y = x + 1, ако y ≤ x, тогава y = x - 1.

Отговор: Фигура 3.

При конструиране на графики на уравнения, съдържащи променлива под знака на модула, е удобно и рационално да се използва метод на площ, базиран на разделяне на координатната равнина на части, в които всеки израз на подмодул запазва знака си.

Пример 4

Начертайте уравнението x + |x| + y + |y| = 2.

Решение.

В този пример знакът на всеки израз на подмодул зависи от координатния квадрант.

1) В първата координатна четвърт x ≥ 0 и y ≥ 0. След разширяване на модула даденото уравнение ще изглежда така:

2x + 2y = 2 и след опростяване x + y = 1.

2) През второто тримесечие, където x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) През третата четвърт х< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) През четвъртото тримесечие, за x ≥ 0 и y< 0 получим, что x = 1.

Ще начертаем това уравнение в четвъртинки.

Отговор: Фигура 4.

Пример 5

Начертайте набор от точки, чиито координати отговарят на равенството |x – 1| + |y – 1| = 1.

Решение.

Нулите на изразите на подмодула x = 1 и y = 1 разделят координатната равнина на четири области. Нека да разбием модулите по региони. Нека го представим под формата на таблица.

регион	Подмодулен изразен знак	Полученото уравнение след разширяване на модула
аз	x ≥ 1 и y ≥ 1	х + у = 3
II	х< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	х< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 и y< 1	x – y = 1

Отговор: Фигура 5.

В координатната равнина фигурите могат да бъдат посочени и неравенства.

Графика на неравенствотос две променливи е множеството от всички точки от координатната равнина, чиито координати са решения на това неравенство.

Обмисли алгоритъм за конструиране на модел за решаване на неравенство с две променливи:

1. Запишете уравнението, съответстващо на неравенството.
2. Начертайте уравнението от стъпка 1.
3. Изберете произволна точка в една от полуравнините. Проверете дали координатите на избраната точка отговарят на даденото неравенство.
4. Начертайте графично множеството от всички решения на неравенството.

Помислете първо за неравенството ax + bx + c > 0. Уравнението ax + bx + c = 0 дефинира права линия, разделяща равнината на две полуравнини. Във всеки от тях функцията f(x) = ax + bx + c е запазваща знака. За да определите този знак, достатъчно е да вземете всяка точка, принадлежаща на полуравнината и да изчислите стойността на функцията в тази точка. Ако знакът на функцията съвпада със знака на неравенството, тогава тази полуравнина ще бъде решението на неравенството.

Разгледайте примери за графични решения на най-често срещаните неравенства с две променливи.

1) ax + bx + c ≥ 0. Фигура 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Фигура 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Фигура 8.

4) y ≥ x2. Фигура 9

5) xy ≤ 1. Фигура 10.

Ако имате въпроси или искате да практикувате моделиране на множествата на всички решения на неравенства с две променливи с помощта на математическо моделиране, можете безплатен 25-минутен урок с онлайн преподавателслед . За по-нататъшна работа с учителя ще имате възможност да изберете този, който ви подхожда най-добре.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да нарисувате фигура в координатната равнина?
За да получите помощ от преподавател -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.