Как да изчислим точковото произведение на модули от вектори. Точково произведение на вектори. Дължина на вектора. Точков продукт в координати

Лекция: Векторни координати; точково произведение на вектори; ъгъл между векторите

Векторни координати

И така, както споменахме по-рано, векторите са насочен сегмент, който има свое начало и край. Ако началото и краят са представени от някои точки, тогава те имат свои собствени координати на равнина или в пространството.

Ако всяка точка има свои собствени координати, тогава можем да получим координатите на целия вектор.

Да предположим, че имаме някакъв вектор, чието начало и край на вектора имат следните обозначения и координати: A (A x; Ay) и B (B x; By)

За да получите координатите на този вектор, трябва да извадите съответните координати на началото от координатите на края на вектора:

За да определите координатите на вектор в пространството, използвайте следната формула:

Точково произведение на вектори

Има два начина за определяне на точков продукт:

• Геометричен начин. Според него точковото произведение е равно на произведението на стойностите на тези модули на косинуса на ъгъла между тях.

• Алгебрично значение. От гледна точка на алгебра, точковото произведение на два вектора е определено количество, което се получава в резултат на сумата от произведенията на съответните вектори.

Ако векторите са дадени в пространството, тогава трябва да се използва подобна формула:

Имоти:

• Ако умножите два еднакви вектора скаларно, то точковото им произведение няма да бъде отрицателно:

• Ако скаларното произведение на два еднакви вектора се окаже равно на нула, тогава тези вектори се считат за нула:

• Ако даден вектор се умножи сам по себе си, точковият продукт ще бъде равен на квадрата на модула му:

• Скаларният продукт има комуникативно свойство, т.е. скаларният продукт няма да се промени от пермутацията на векторите:

• Скаларното произведение на ненулеви вектори може да бъде нула само ако векторите са перпендикулярни един на друг:

• За скаларното произведение на векторите законът за преместване е валиден в случай на умножаване на един от векторите по число:

• С точковото произведение можете също да използвате дистрибутивното свойство на умножение:

Ъгъл между векторите

В случая на проблема с равнината скаларното произведение на вектори a \u003d (a x; a y) и b \u003d (b x; b y) може да бъде намерено, като се използва следната формула:

a b \u003d a x b x + a y b y

Формула за векторна точка за пространствени проблеми

В случай на пространствения проблем скаларното произведение на вектори a \u003d (a x; a y; a z) и b \u003d (b x; b y; b z) може да бъде намерено, използвайки следната формула:

a b \u003d a x b x + a y b y + a z b z

Точкова формула на n-мерни вектори

В случай на n-мерно пространство скаларното произведение на вектори a \u003d (a 1; a 2; ...; a n) и b \u003d (b 1; b 2; ...; b n) може да бъде намерено, като се използва следната формула:

a b \u003d a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Точкови свойства на векторите

1. Скаларното произведение на вектор само по себе си винаги е по-голямо или равно на нула:

2. Скаларното произведение на вектор само по себе си е равно на нула тогава и само ако векторът е равен на нулевия вектор:

a a \u003d 0<=> a \u003d 0

3. Скаларното произведение на вектор само по себе си е равно на квадрата на неговия модул:

4. Операцията на скаларно умножение е комуникативна:

5. Ако скаларното произведение на два ненулеви вектора е равно на нула, тогава тези вектори са ортогонални:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b \u003d 0<=> a ┴ b

6. (αa) b \u003d α (a b)

7. Операцията на скалярното умножение е разпределителна:

(a + b) c \u003d a c + b c

Примери за задачи за изчисляване на точковото произведение на вектори

Примери за изчисляване на точковото произведение на вектори за равнинни задачи

Намерете точковото произведение на вектори a \u003d (1; 2) и b \u003d (4; 8).

Решение: a b \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

Намерете скаларното произведение на вектори a и b, ако дължините им | a | \u003d 3, | b | \u003d 6, а ъгълът между векторите е 60˚.

Решение: a b \u003d | a | · | B | cos α \u003d 3 6 cos 60˚ \u003d 9.

Намерете скаларното произведение на вектори p \u003d a + 3b и q \u003d 5a - 3 b, ако дължините им | a | \u003d 3, | b | \u003d 2, а ъгълът между векторите a и b е 60˚.

Решение:

p q \u003d (a + 3b) (5a - 3b) \u003d 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b \u003d

5 | а | 2 + 12 a b - 9 | b | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Пример за изчисляване на точковото произведение на вектори за пространствени задачи

Намерете точковото произведение на вектори a \u003d (1; 2; -5) и b \u003d (4; 8; 1).

Решение: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16 - 5 \u003d 15.

Пример за изчисляване на точковото произведение за n -мерни вектори

Намерете точковото произведение на вектори a \u003d (1; 2; -5; 2) и b \u003d (4; 8; 1; -2).

Решение: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16 - 5 -4 \u003d 11.

13. Извиква се векторното произведение на вектори и вектор трети вектор дефинирани както следва:

2) перпендикулярно, перпендикулярно. (1 "")

3) векторите са ориентирани по същия начин като основата на цялото пространство (положително или отрицателно).

Определете :.

Физическото значение на векторния продукт

- момент на сила спрямо точка O; - радиусът е векторът на точката на прилагане на силата, тогава

освен това, ако се прехвърли в точка O, тогава триплетът трябва да бъде ориентиран като базисен вектор.

Определение 1

Скаларното произведение на вектори е число, равно на произведението на dyn на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях.

Обозначението на произведението на вектори a → и b → има формата a →, b →. Нека преобразуваме във формулата:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^. a → и b → означават дължините на векторите, a →, b → ^ означават ъгъла между дадените вектори. Ако поне един вектор е нула, т.е. има стойност 0, резултатът ще бъде нула, a →, b → \u003d 0

Когато умножаваме вектора по себе си, получаваме квадрата на дължината му:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

Определение 2

Скаларно умножение на вектор само по себе си се нарича скаларен квадрат.

Изчислено по формулата:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^.

Нотацията a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → показва, че npb → a → е числовата проекция на a → on b →, npa → a → е проекцията на b → към a →, съответно.

Нека формулираме дефиницията на продукт за два вектора:

Скаларното произведение на два вектора a → на b → се нарича произведение на дължината на вектора a → на проекцията b → на посоката a → или произведението на дължината b → на проекцията a → съответно.

Точков продукт в координати

Точковият продукт може да се изчисли чрез координатите на вектори в дадена равнина или в пространството.

Скаларното произведение на два вектора на равнина, в триизмерно пространство, се нарича сбор от координатите на дадените вектори a → и b →.

Когато изчислявате скаларното произведение на дадените вектори a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y) в декартовата система, използвайте:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

за триизмерно пространство се прилага следният израз:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z.

Всъщност това е третото определение на точковото произведение.

Нека го докажем.

Доказателство 1

За доказателство използваме a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax bx + ay by за вектори a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) на Декартова система.

Векторите трябва да бъдат отложени

O A → \u003d a → \u003d a x, a y и O B → \u003d b → \u003d b x, b y.

Тогава дължината на вектора A B → ще бъде равна на A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y).

Да разгледаме триъгълник O A B.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) е вярно въз основа на теоремата за косинусите.

По условието може да се види, че O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^, следователно формулата за намиране на ъгъла между векторите е написана по различен начин

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Тогава от първата дефиниция следва, че b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), следователно (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Прилагайки формулата за изчисляване на дължината на векторите, получаваме:
a →, b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax bx + ay by

Нека докажем равенствата:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- съответно за вектори на триизмерно пространство.

Скаларното произведение на вектори с координати казва, че скаларният квадрат на вектор е равен на сумата от квадратите на неговите координати в пространството и на равнината, съответно. a → \u003d (a x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) и (a →, a →) \u003d a x 2 + a y 2.

Точкови продукт и неговите свойства

Има точкови свойства на продукта, които са приложими за a →, b → и c →:

1. комутативност (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. разпределителност (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , c →);
3. свойството на комбинацията (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →), λ е произволно число;
4. скаларният квадрат винаги е по-голям от нула (a →, a →) ≥ 0, където (a →, a →) \u003d 0 в случая, когато a → е нула.

Пример 1

Свойствата са обясними поради дефиницията на точковото произведение в равнината и свойствата на събирането и умножението на реални числа.

Докажете свойството на комутативност (a →, b →) \u003d (b →, a →). От дефиницията имаме, че (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y и (b →, a →) \u003d b x a x + b y a y.

По свойството на комутативността равенствата a x b x \u003d b x a x и a y b y \u003d b y a y са верни, така че a x b x + a y b y \u003d b x a x + b y a y.

От това следва, че (a →, b →) \u003d (b →, a →). Q.E.D.

Разпределителността е валидна за всякакви числа:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) \u003d (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

и (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (a →, b → (n)),

следователно имаме

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Точкови продукти с примери и решения

Всеки проблем от такъв план се решава с помощта на свойства и формули, свързани с точковото произведение:

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y или (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) \u003d a → 2.

Нека разгледаме някои примери за решения.

Пример 2

Дължината на a → е 3, дължината на b → е 7. Намерете точковото произведение, ако ъгълът е 60 градуса.

Решение

По условие имаме всички данни, така че изчисляваме по формулата:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

Отговор: (a →, b →) \u003d 21 2.

Пример 3

Дадени вектори a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3). Какво представлява точковият продукт.

Решение

В този пример се разглежда формулата за изчисляване по координати, тъй като те са посочени в изявлението на проблема:

(a →, b →) \u003d ax bx + ay от + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

Отговор: (a →, b →) \u003d - 9

Пример 4

Намерете точковото произведение A B → и A C →. Точки A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) са дадени на координатната равнина.

Решение

Като начало се изчисляват координатите на векторите, тъй като координатите на точките са дадени от условието:

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

Замествайки във формулата с помощта на координати, получаваме:

(A B →, A C →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

Отговор: (A B →, A C →) \u003d 28.

Пример 5

Дадени вектори a → \u003d 7 m → + 3 n → и b → \u003d 5 m → + 8 n →, намерете техния продукт. m → е равно на 3 и n → е равно на 2 единици, те са перпендикулярни.

Решение

(a →, b →) \u003d (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Прилагайки разпределителното свойство, получаваме:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) \u003d \u003d (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →)

Изваждаме коефициента за знака на продукта и получаваме:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) \u003d \u003d 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) \u003d \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

По свойството на комутативността преобразуваме:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

В резултат получаваме:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Сега нека приложим формулата за точковото произведение с ъгъла, определен от условието:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d \u003d 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →, n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

Отговор: (a →, b →) \u003d 411

Ако има числена проекция.

Пример 6

Намерете точковото произведение a → и b →. Вектор a → има координати a → \u003d (9, 3, - 3), проекция b → с координати (- 3, - 1, 1).

Решение

По хипотеза векторите a → и проекцията b → са противоположно насочени, тъй като a → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, така че проекцията b → съответства на дължината n p a → b → → и със знака „-”:

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

Замествайки във формулата, получаваме израза:

(a →, b →) \u003d a → n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

Отговор: (a →, b →) \u003d - 33.

Проблеми с известен точков продукт, където е необходимо да се намери дължината на вектор или числова проекция.

Пример 7

Каква стойност трябва да вземе λ за даден скаларен продукт a → \u003d (1, 0, λ + 1) и b → \u003d (λ, 1, λ) ще бъде равна на -1.

Решение

Формулата показва, че е необходимо да се намери сумата от произведенията на координатите:

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ.

Като се има предвид, че имаме (a →, b →) \u003d - 1.

За да намерим λ, изчисляваме уравнението:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, следователно λ \u003d - 1.

Отговор: λ \u003d - 1.

Физическото значение на точковото произведение

Механика обмисля прилагането на точковото произведение.

Когато работите A с постоянна сила F → тялото се премества от точка M в N, можете да намерите произведението на дължините на векторите F → и M N → с косинуса на ъгъла между тях, което означава, че работата е равна на произведението на векторите на сила и преместване:

A \u003d (F →, M N →).

Пример 8

Движението на материалната точка с 3 метра под въздействието на сила, равна на 5 ntona, е насочено под ъгъл от 45 градуса спрямо оста. Намери си.

Решение

Тъй като работата е продукт на вектора на силата и изместването, това означава, че въз основа на условието F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 °, получаваме A \u003d (F →, S →) \u003d F → S → cos (F →, S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

Отговор: A \u003d 15 2 2.

Пример 9

Материалната точка, движеща се от M (2, - 1, - 3) до N (5, 3 λ - 2, 4) под силата F → \u003d (3, 1, 2), извърши работа, равна на 13 J. Изчислете дължината на движение.

Решение

За дадените координати на вектора M N → имаме M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7).

По формулата за намиране на работа с вектори F → \u200b\u200b\u003d (3, 1, 2) и MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7), получаваме A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3 λ.

По хипотеза се дава, че A \u003d 13 J, което означава 22 + 3 λ \u003d 13. Следователно λ \u003d - 3, следователно M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7).

За да намерите дължината на изместване M N →, приложете формулата и заменете стойностите:

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Отговор: 158.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Ъгъл между векторите

Помислете за два дадени вектора $ \\ overrightarrow (a) $ и $ \\ overrightarrow (b) $. Нека оставим настрана вектори $ \\ overrightarrow (a) \u003d \\ overrightarrow (OA) $ и $ \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (OB) $ от произволно избрана точка $ O $, тогава ъгълът $ AOB $ се нарича ъгъл между векторите $ \\ overrightarrow ( а) $ и $ \\ overrightarrow (b) $ (фиг. 1).

Снимка 1.

Забележете тук, че ако векторите $ \\ overrightarrow (a) $ и $ \\ overrightarrow (b) $ са еднопосочни или един от тях е нулев вектор, тогава ъгълът между векторите е $ 0 ^ 0 $.

Обозначение: $ \\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) $

Точково произведение на вектори

Математически това определение може да бъде написано по следния начин:

Точковият продукт може да бъде нула в два случая:

Ако един от векторите е нулев вектор (Оттогава дължината му е нула).

Ако векторите са взаимно перпендикулярни (т.е. $ cos (90) ^ 0 \u003d 0 $).

Имайте предвид също, че точковото произведение е по-голямо от нула, ако ъгълът между тези вектори е остър (тъй като $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)\u003e 0 $) и по-малко от нула, ако ъгълът между тези вектори е тъп (тъй като $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)

Понятието скаларен квадрат се свързва с понятието скаларен продукт.

Определение 2

Скаларният квадрат на вектора $ \\ overrightarrow (a) $ е скаларният продукт на този вектор сам по себе си.

Получаваме, че скаларният квадрат е

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (a) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | (cos 0 ^ 0 \\) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a ) \\ вдясно | \\ вляво | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d (\\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right |) ^ 2 \\]

Изчисляване на точковото произведение от координатите на векторите

В допълнение към стандартния начин за намиране на точкова стойност на продукта, който следва от дефиницията, има и друг начин.

Нека го обмислим.

Нека векторите $ \\ overrightarrow (a) $ и $ \\ overrightarrow (b) $ имат координати $ \\ left (a_1, b_1 \\ right) $ и $ \\ left (a_2, b_2 \\ right) $, съответно.

Теорема 1

Скаларното произведение на векторите $ \\ overrightarrow (a) $ и $ \\ overrightarrow (b) $ е равно на сумата от произведенията на съответните координати.

Математически това може да се запише по следния начин

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d a_1a_2 + b_1b_2 \\]

Доказателства.

Теоремата е доказана.

Тази теорема има няколко последствия:

Следствие 1: Векторите $ \\ overrightarrow (a) $ и $ \\ overrightarrow (b) $ са перпендикулярни, ако и само ако $ a_1a_2 + b_1b_2 \u003d 0 $

Следствие 2: Косинусът на ъгъла между векторите е $ cos \\ alpha \u003d \\ frac (a_1a_2 + b_1b_2) (\\ sqrt (a ^ 2_1 + b ^ 2_1) \\ cdot \\ sqrt (a ^ 2_2 + b ^ 2_2)) $

Точкови свойства на векторите

За всеки три вектора и реално число $ k $ е вярно:

$ (\\ overrightarrow (a)) ^ 2 \\ ge 0 $

Това свойство следва от дефиницията на скаларен квадрат (Определение 2).

Закон за пътуване: $ \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (a) $.

Това свойство следва от дефиницията на точковото произведение (Определение 1).

Закон за разпределение:

$ \\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) $. \\ край (изброяване)

По теорема 1 имаме:

\\ [\\ ляво (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ дясно) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ ляво (a_1 + a_2 \\ дясно) a_3 + \\ ляво (b_1 + b_2 \\ дясно) b_3 \u003d a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3 \u003d\u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) \\]

Комбинирано право: $ \\ left (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) $. \\ край (изброяване)

По теорема 1 имаме:

\\ [\\ ляво (k \\ overrightarrow (a) \\ дясно) \\ overrightarrow (b) \u003d ka_1a_2 + kb_1b_2 \u003d k \\ ляво (a_1a_2 + b_1b_2 \\ дясно) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) \\]

Пример за проблем за изчисляване на точковото произведение на вектори

Пример 1

Намерете точковото произведение на вектори $ \\ overrightarrow (a) $ и $ \\ overrightarrow (b) $, ако $ \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d 3 $ и $ \\ left | \\ overrightarrow (b) \\ right | \u003d 2 $, а ъгълът между тях е $ ((30) ^ 0, \\ 45) ^ 0, \\ (90) ^ 0, \\ (135) ^ 0 $.

Решение.

Използвайки определение 1, получаваме

За $ (30) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((30) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 3) \\]

За $ (45) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((45) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 2) \\]

За $ (90) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((90) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot 0 \u003d 0 \\]

За $ (135) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((135) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ left (- \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\ Подобни статии