Гауссови матрици. Метод на Гаус за манекени: примери за решения. Проблеми при използването на правилото на Гаус

Нека се даде система от линейни алгебрични уравнения, които трябва да бъдат решени (намерете такива стойности на неизвестните xi, които превръщат всяко уравнение на системата в равенство).

Ние знаем, че система от линейни алгебрични уравнения може:

1) Нямате решения (бъдете непоследователен).
2) Имате безкрайно много решения.
3) Имайте уникално решение.

Както си спомняме, правилото на Cramer и матричният метод са неприложими в случаите, когато системата има безкрайно много решения или противоречи. Метод на Гаус – най-мощният и универсален инструмент за намиране на решения на всяка система от линейни уравнения, които във всеки случайще ни доведе до отговора! Алгоритъмът на самия метод работи еднакво и в трите случая. Ако знанията за детерминанти се изискват в методите на Крамер и матрицата, тогава за прилагането на метода на Гаус са необходими знания само за аритметични операции, което го прави достъпен дори за ученици в началното училище.

Разширени матрични трансформации ( това е матрицата на системата - матрица, съставена само от коефициентите на неизвестните, плюс колона със свободни членове)системи от линейни алгебрични уравнения в метода на Гаус:

1) от струни матрици мога пренарежданена места.

2) ако матрицата съдържа (или е) пропорционални (като специален случай - същия) редове, тогава следва изтрий от матрицата всички тези редове с изключение на един.

3) ако по време на преобразуванията в матрицата се появи нулев ред, то също следва изтрий.

4) редът на матрицата може да бъде умножавам (разделям)на произволно число, различно от нула.

5) редът на матрицата може да бъде добавете друг низ, умножен по числоненулеви.

При метода на Гаус елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения.

Гаусов метод се състои от два етапа:

1. „Директно преместване“ - използване на елементарни трансформации за намаляване на разширената матрица на системата от линейни алгебрични уравнения до „триъгълна“ стъпаловидна форма: елементите на разширената матрица, разположени под основния диагонал, са равни на нула („движение отгоре надолу“). Например към този формуляр:

За да направите това, изпълнете следните действия:

1) Да предположим, че разглеждаме първото уравнение на система от линейни алгебрични уравнения и коефициентът при x 1 е K. Второто, третото и т.н. уравненията се трансформират по следния начин: всяко уравнение (коефициенти за неизвестни, включително свободни членове) се разделя на коефициента за неизвестния x 1, стоящ във всяко уравнение, и се умножава по K. След това изваждаме първото от второто уравнение (коефициенти за неизвестни и свободни членове). Получаваме коефициента 0 за x 1 във второто уравнение. Извадете първото уравнение от третото преобразувано уравнение, докато всички уравнения, с изключение на първото, за неизвестни x 1 имат коефициент 0.

2) Отидете на следващото уравнение. Нека бъде второто уравнение и коефициентът при x 2 е равен на М. С всички "долни" уравнения ние действаме, както е описано по-горе. По този начин "под" неизвестното x 2 във всички уравнения ще бъде нули.

3) Отидете до следващото уравнение и така нататък, докато има последно неизвестно и трансформиран свободен член.

1. "Обратно" на метода на Гаус - получаване на решение на система от линейни алгебрични уравнения (ход "отдолу нагоре"). От последното "долно" уравнение получаваме едно първо решение - неизвестното x n. За целта решаваме елементарното уравнение A * x n \u003d B. В горния пример x 3 \u003d 4. Заместете намерената стойност в „горното“ следващо уравнение и го решете по отношение на следващото неизвестно. Например x 2 - 4 \u003d 1, т.е. x 2 \u003d 5. И така, докато намерим всички неизвестни.

Пример.

Нека решим системата от линейни уравнения по метода на Гаус, както някои автори съветват:

Нека запишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я доведем до стъпаловидна форма:

Гледаме горната лява "стъпка". Трябва да имаме единица там. Проблемът е, че изобщо няма такива в първата колона, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана с помощта на елементарна трансформация. Това обикновено може да се направи по няколко начина. Да го направим:
1 стъпка ... Към първия ред добавете втория ред, умножен по -1. Тоест, ние умножихме втория ред по –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво е „минус едно“, което е добре за нас. Всеки, който иска да получи +1, може да извърши допълнително действие: умножете първия ред по –1 (променете знака му).

Стъпка 2 ... Първият ред, умножен по 5, беше добавен към втория ред, а първият ред, умножен по 3, беше добавен към третия ред.

Стъпка 3 ... Първият ред беше умножен по -1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и той беше преместен на второ място, като по този начин на втората „стъпка имаме необходимата единица.

Стъпка 4 ... Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 2.

Стъпка 5 ... Третият ред беше разделен на 3.

Знак, който показва грешка в изчисленията (по-рядко - печатна грешка), е "лошият" долен ред. Тоест, ако най-отдолу имаме нещо като (0 0 11 | 23) и съответно 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, тогава с голяма степен на вероятност може да се твърди, че е допусната грешка по време на елементарни трансформации.

Извършваме обратния ход, при проектирането на примери самата система често не се пренаписва и уравненията са „взети директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням ви, работи отдолу нагоре. В този пример получихме подарък:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, следователно x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Отговор: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Нека решим същата система съгласно предложения алгоритъм. Получаваме

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Разделете второто уравнение на 5, а третото на 3. Получаваме:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Умножаваме второто и третото уравнение по 4, получаваме:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Изваждайки първото уравнение от второто и третото уравнения, имаме:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Разделете третото уравнение на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Умножете третото уравнение по 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Нека извадим второто от третото уравнение, за да получим „поетапна“ разширена матрица:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

По този начин, тъй като грешката, натрупана по време на изчисленията, получаваме x 3 \u003d 0,96 или приблизително 1.

x 2 \u003d 3 и x 1 \u003d -1.

Решавайки по този начин, никога няма да се объркате в изчисленията и въпреки грешките в изчисленията ще получите резултата.

Този метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения е лесно програмируем и не отчита специфичните особености на коефициентите за неизвестни, тъй като на практика (при икономически и технически изчисления) човек трябва да се справя с нецели коефициенти.

Желая ти късмет! Ще се видим в клас! Учител.

блог. сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.

Нека се даде система от линейни алгебрични уравнения, които трябва да бъдат решени (намерете такива стойности на неизвестните xi, които превръщат всяко уравнение на системата в равенство).

Ние знаем, че система от линейни алгебрични уравнения може:

1) Нямате решения (бъдете непоследователен).
2) Имате безкрайно много решения.
3) Имайте уникално решение.

Както си спомняме, правилото на Cramer и матричният метод са неприложими в случаите, когато системата има безкрайно много решения или противоречи. Метод на Гаус – най-мощният и универсален инструмент за намиране на решения на всяка система от линейни уравнения, които във всеки случайще ни доведе до отговора! Алгоритъмът на самия метод работи еднакво и в трите случая. Ако знанията за детерминанти се изискват в методите на Крамер и матрицата, тогава за прилагането на метода на Гаус са необходими знания само за аритметични операции, което го прави достъпен дори за ученици в началното училище.

Разширени матрични трансформации ( това е матрицата на системата - матрица, съставена само от коефициентите на неизвестните, плюс колона със свободни членове)системи от линейни алгебрични уравнения в метода на Гаус:

1) от струни матрици мога пренарежданена места.

2) ако матрицата съдържа (или е) пропорционални (като специален случай - същия) редове, тогава следва изтрий от матрицата всички тези редове с изключение на един.

3) ако по време на преобразуванията в матрицата се появи нулев ред, то също следва изтрий.

4) редът на матрицата може да бъде умножавам (разделям)на произволно число, различно от нула.

5) редът на матрицата може да бъде добавете друг низ, умножен по числоненулеви.

При метода на Гаус елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения.

Гаусов метод се състои от два етапа:

1. „Директно преместване“ - използване на елементарни трансформации за намаляване на разширената матрица на системата от линейни алгебрични уравнения до „триъгълна“ стъпаловидна форма: елементите на разширената матрица, разположени под основния диагонал, са равни на нула („движение отгоре надолу“). Например към този формуляр:

За да направите това, изпълнете следните действия:

1) Да предположим, че разглеждаме първото уравнение на система от линейни алгебрични уравнения и коефициентът при x 1 е K. Второто, третото и т.н. уравненията се трансформират по следния начин: всяко уравнение (коефициенти за неизвестни, включително свободни членове) се разделя на коефициента за неизвестния x 1, стоящ във всяко уравнение, и се умножава по K. След това изваждаме първото от второто уравнение (коефициенти за неизвестни и свободни членове). Получаваме коефициента 0 за x 1 във второто уравнение. Извадете първото уравнение от третото преобразувано уравнение, докато всички уравнения, с изключение на първото, за неизвестни x 1 имат коефициент 0.

2) Отидете на следващото уравнение. Нека бъде второто уравнение и коефициентът при x 2 е равен на М. С всички "долни" уравнения ние действаме, както е описано по-горе. По този начин "под" неизвестното x 2 във всички уравнения ще бъде нули.

3) Отидете до следващото уравнение и така нататък, докато има последно неизвестно и трансформиран свободен член.

1. "Обратно" на метода на Гаус - получаване на решение на система от линейни алгебрични уравнения (ход "отдолу нагоре"). От последното "долно" уравнение получаваме едно първо решение - неизвестното x n. За целта решаваме елементарното уравнение A * x n \u003d B. В горния пример x 3 \u003d 4. Заместете намерената стойност в „горното“ следващо уравнение и го решете по отношение на следващото неизвестно. Например x 2 - 4 \u003d 1, т.е. x 2 \u003d 5. И така, докато намерим всички неизвестни.

Пример.

Нека решим системата от линейни уравнения по метода на Гаус, както някои автори съветват:

Нека запишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я доведем до стъпаловидна форма:

Гледаме горната лява "стъпка". Трябва да имаме единица там. Проблемът е, че изобщо няма такива в първата колона, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана с помощта на елементарна трансформация. Това обикновено може да се направи по няколко начина. Да го направим:
1 стъпка ... Към първия ред добавете втория ред, умножен по -1. Тоест, ние умножихме втория ред по –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво е „минус едно“, което е добре за нас. Всеки, който иска да получи +1, може да извърши допълнително действие: умножете първия ред по –1 (променете знака му).

Стъпка 2 ... Първият ред, умножен по 5, беше добавен към втория ред, а първият ред, умножен по 3, беше добавен към третия ред.

Стъпка 3 ... Първият ред беше умножен по -1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и той беше преместен на второ място, като по този начин на втората „стъпка имаме необходимата единица.

Стъпка 4 ... Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 2.

Стъпка 5 ... Третият ред беше разделен на 3.

Знак, който показва грешка в изчисленията (по-рядко - печатна грешка), е "лошият" долен ред. Тоест, ако най-отдолу имаме нещо като (0 0 11 | 23) и съответно 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, тогава с голяма степен на вероятност може да се твърди, че е допусната грешка по време на елементарни трансформации.

Извършваме обратния ход, при проектирането на примери самата система често не се пренаписва и уравненията са „взети директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням ви, работи отдолу нагоре. В този пример получихме подарък:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, следователно x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Отговор: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Нека решим същата система съгласно предложения алгоритъм. Получаваме

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Разделете второто уравнение на 5, а третото на 3. Получаваме:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Умножаваме второто и третото уравнение по 4, получаваме:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Изваждайки първото уравнение от второто и третото уравнения, имаме:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Разделете третото уравнение на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Умножете третото уравнение по 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Нека извадим второто от третото уравнение, за да получим „поетапна“ разширена матрица:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

По този начин, тъй като грешката, натрупана по време на изчисленията, получаваме x 3 \u003d 0,96 или приблизително 1.

x 2 \u003d 3 и x 1 \u003d -1.

Решавайки по този начин, никога няма да се объркате в изчисленията и въпреки грешките в изчисленията ще получите резултата.

Този метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения е лесно програмируем и не отчита специфичните особености на коефициентите за неизвестни, тъй като на практика (при икономически и технически изчисления) човек трябва да се справя с нецели коефициенти.

Желая ти късмет! Ще се видим в клас! Преподавател Дмитрий Айстраханов.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.

Решение на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.Нека трябва да намерим решение на системата от н линейни уравнения с н неизвестни променливи
детерминантата на основната матрица на която е ненулева.

Същността на метода на Гаус се състои в последователно елиминиране на неизвестни променливи: първо, x 1 от всички уравнения на системата, започвайки с второто, допълнително изключете x 2от всички уравнения, започвайки с третото и така нататък, докато в последното уравнение остане само неизвестната променлива x n... Такъв процес на преобразуване на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича по директния ход на метода на Гаус... След завършване на проследяването на метода на Гаус от последното уравнение намираме x n, като се използва тази стойност от предпоследното уравнение x n-1, и така нататък, от първото уравнение, което намираме x 1... Извиква се процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото обратен метод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Елиминирайте неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, започвайки с второто. За да направите това, към второто уравнение на системата добавяме първото умножено по, към третото уравнение добавяме първото умножено по и т.н. n-тикъм уравнението добавяме първото умножено по. Системата от уравнения след такива трансформации приема формата

къде.

Бихме стигнали до същия резултат, ако изразихме x 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и полученият израз беше заместен във всички други уравнения. Така че променливата x 1 изключени от всички уравнения, започвайки с второто.

За това към третото уравнение на системата добавяме второто умножено по, към четвъртото уравнение добавяме второто умножено по и т.н. n-тикъм уравнението добавяме второто, умножено по. Системата от уравнения след такива трансформации приема формата

къде. Така че променливата x 2 изключени от всички уравнения, започвайки с третото.

Така че ние продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата придобие формата

От този момент нататък започваме обратния ход на метода на Гаус: изчислете x n от последното уравнение като, използвайки получената стойност x n намирам x n-1 от предпоследното уравнение и т.н., намираме x 1 от първото уравнение.

Пример.

Решете системата от линейни уравнения, като използвате метода на Гаус. ...

Отговор:

x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

КЛОН КОСТРОМ НА ВОЕННИЯ УНИВЕРСИТЕТ ЗА ЗАЩИТА НА РХБ

Катедра "Автоматизация на командването и управлението на войските"

Само за учители

"Аз одобрявам"

Началник отдел номер 9

полковник А. Б. ЯКОВЛЕВ

"____" ______________ 2004 г.

доцент А. И. СМИРНОВА

"МАТРИЦИ. МЕТОД НА ГАУС"

ЛЕКЦИЯ No 2/3

Обсъдени на заседанието на отдел номер 9

"____" ___________ 2003 г.

Протокол № ___________

Кострома, 2003

° Смания

Въведение

1. Действия върху матрици.

2. Решение на системи от линейни уравнения по метода на Гаус.

Заключение

Литература

1. В.Е. Schneider et al., Кратък курс по висша математика, том I, гл. 2, §6, 7.

2. В.С. Щипачев, Висша математика, гл. 10, § 1, 7.

ВЪВЕДЕНИЕ

Лекцията обсъжда концепцията за матрица, действията върху матриците, както и метода на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения. За специален случай, така наречените квадратни матрици, могат да се изчислят детерминантите, концепцията на които беше обсъдена в предишната лекция. Методът на Гаус е по-общ от разглеждания по-рано метод на Крамер за решаване на линейни системи. Въпросите, дискутирани на лекцията, се използват в различни области на математиката и в приложни въпроси.

Първи въпрос за обучение ДЕЙСТВИЯ ВЪРХУ МАТРИЦИТЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Правоъгълна маса отм, н числа, съдържащим - линии ин - колони, тип:

наречен матрица на размера м ´ н

Извикват се числата, съставляващи матрицата матрични елементи.

Позиция на артикула и i j в матрицата се характеризират с двоен индекс:

първият i - номер на реда;

второ j - номерът на колоната, на пресечната точка на която стои елементът.

В съкратен вид матриците се обозначават с главни букви: A, B, C ...

Накратко можете да напишете така:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.Матрица с броя на редовете, равен на броя на колоните, т.е.м = н е наречен квадрат.

Броят на редовете (колоните) на квадратна матрица се нарича ред на матрицата.

ПРИМЕР.

ЗАБЕЛЕЖКА 1. Ще разгледаме матрици, чиито записи са числа. В математиката и нейните приложения има матрици, чиито елементи са други обекти, например функции, вектори.

ЗАБЕЛЕЖКА 2. Матрицата е специално математическо понятие. С помощта на матрици е удобно да се напишат различни трансформации, линейни системи и т.н., поради което матрици често се срещат в математическата и техническата литература.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.Матрица на размера1 низвиква се един ред матрица - низ.

Т-размерна матрица1 състоящ се от една колона се нарича матрица - колона.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Нулева матрица наречена матрица, всички елементи на която са равни на нула.

Помислете за квадратна матрица на реда н:

страничен диагонал

главен диагонал

Извиква се диагоналът на квадратна матрица, преминаваща от горния ляв елемент на таблицата до долния десен основният диагонал на матрицата (основният диагонал съдържа елементи на формата и i i).

Извиква се диагоналът, преминаващ от горния десен елемент до долния ляв страничен диагонал на матрицата.

Нека разгледаме някои специални видове квадратни матрици.

1) Извиква се квадратна матрица диагоналако всички елементи, които не са на главния диагонал, са равни на нула.

2) Извиква се диагонална матрица, в която всички елементи на главния диагонал са равни на един неженен... Посочено е:

3) Извиква се квадратна матрица триъгълна, ако всички елементи от едната страна на главния диагонал са нула:

горна долна

триъгълна матрица триъгълна матрица

За квадратна матрица се въвежда концепцията: детерминанта на матрица... Това е детерминанта, съставена от матрични елементи. Посочено е:

Ясно е, че детерминантата на матрицата за идентичност е равна на 1: 1 Е½ \u003d 1

КОМЕНТАР. Неквадратната матрица няма детерминанта.

Ако детерминантата на квадратна матрица е ненулева, тогава се извиква матрицата недегенерирани, ако детерминантата е нула, тогава се извиква матрицата изроден.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Извиква се матрицата, получена от това чрез заместване на редовете й с колони със същите числа транспониран към дадения.

Преместена матрица в И, означават A T.

ПРИМЕР.

3 3 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Извикват се две матрици с еднакъв размер равно, ако всички съответстващи им елементи са равни .

Нека разгледаме операции върху матрици.

ДОБАВЯНЕ НА МАТРИЦИ.

Операцията за добавяне се въвежда само за матрици със същия размер.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Сумата от две матрици A \u003d (a i j ) и B \u003d ( b i j ) със същия размер се нарича матрица С \u003d (с i j) със същия размер, чиито елементи са равни на сумите на съответните елементи на матричните членове, т.е. от i j \u003d a i j + b i j

Обозначава се сумата от матрици A + B.

ПРИМЕР.

РЕАЛНО УМНОЖЕНИЕ НА МАТРИЦИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.Да се \u200b\u200bумножи матрица по числок, трябва да умножите всеки елемент от матрицата по това число:

ако A \u003d(и i j )тогава к · A= (к · а i j )

ПРИМЕР.

СВОЙСТВА НА ДОБАВЯНЕТО НА МАТРИЦА И УМНОЖЕНИЕТО ПО НОМЕР

1. Имот на денивелация: A + B \u003d B + A

2. Комбинирано свойство: (A + B) + C \u003d A + (B + C)

3. Разпределителна собственост: к · (A + Б.) = к A + к Б.където к – номер

МАТРИЧНО УМНОЖЕНИЕ

Матрицата Ище се нарича глобула с матрица ATако броят на матричните колони И е равен на броя на редовете на матрицата AT, т.е. за последователни матрици матрицата И има размер м ´ н , матрица AT има размер н ´ к . Квадратните матрици са последователни, ако са от същия ред.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.Продукт на матрица А с размерм ´ н на матрица B размерн ´ к наречена матрица C от размерм ´ кчийто елемент a i j разположен вi -Та линия иj - та колона, е равна на сумата от произведения на елементиi - пети ред на матрица А към съответните елементиj - колона на матрица B, т.е.

° С i j = а i 1 б 1 j + а i 2 б 2 j +……+ а i н б н j

Ние обозначаваме: C \u003d A· AT.

тогава

Състав AT´ И няма смисъл, защото матрици

не е договорено.

ЗАБЕЛЕЖКА 1. Ако И´ AT има смисъл тогава AT´ И може да няма смисъл.

ЗАБЕЛЕЖКА 2. Ако има смисъл И´ AT и AT´ И, тогава, най-общо казано

И´ AT ¹ AT´ И, т.е. матричното умножение няма закон за транспониране.

ЗАБЕЛЕЖКА 3. Ако ИЕ квадратна матрица и ЕТогава ли е матрицата за идентичност от същия ред И´ Е= Е´ A \u003d A.

От това следва, че матрицата на идентичността играе ролята на единство по време на умножение.

ПРИМЕРИ... Намерете, ако е възможно, И´ AT и AT´ И.

Решение: Квадратните матрици от същия втори ред се съвпадат в същия ред, така че И´ AT и AT´ И съществува.