Всички формули по темата скаларно произведение на вектори. Как да намерим скаларното произведение на векторите. Дефиниция на скаларното произведение на векторите по координати

Скаларно произведениевектори (наричани по-долу SP). Скъпи приятели! Изпитът по математика включва група задачи за решаване на вектори. Вече разгледахме някои проблеми. Можете да ги видите в категория "Вектори". Като цяло теорията на векторите е проста, основното е да я изучавате последователно. Изчисленията и действията с вектори в училищния курс по математика са прости, формулите не са сложни. Поглеждам в . В тази статия ще анализираме задачи за съвместното предприятие на вектори (включени в изпита). Сега "потапяне" в теорията:

з За да намерите координатите на вектор, трябва да извадите от координатите на неговия крайсъответните координати на началото му

И по-нататък:

*Дължината на вектора (модул) се определя, както следва:

Тези формули трябва да се запомнят!!!

Нека покажем ъгъла между векторите:

Ясно е, че може да варира от 0 до 180 0(или в радиани от 0 до Pi).

Можем да направим някои заключения относно знака на скаларното произведение. Дължините на векторите са положителни, очевидно. Така че знакът на скаларното произведение зависи от стойността на косинуса на ъгъла между векторите.

Възможни случаи:

1. Ако ъгълът между векторите е остър (от 0 0 до 90 0), тогава косинусът на ъгъла ще има положителна стойност.

2. Ако ъгълът между векторите е тъп (от 90 0 до 180 0), тогава косинусът на ъгъла ще има отрицателна стойност.

*При нула градуса, т.е. когато векторите имат една и съща посока, косинусът е равен на единица и съответно резултатът ще бъде положителен.

При 180o, т.е. когато векторите имат противоположни посоки, косинусът е равен на минус едно,и резултатът ще е отрицателен.

Сега ВАЖНАТА ТОЧКА!

При 90 o, тоест когато векторите са перпендикулярни един на друг, косинусът е нула и следователно съвместното предприятие е нула. Този факт (последствие, заключение) се използва при решаването на много проблеми, за които говорим относителна позициявектори, включително и в задачите, включени в отворената банка задачи по математика.

Формулираме твърдението: скаларното произведение е равно на нула тогава и само ако дадените вектори лежат на перпендикулярни прави.

И така, формулите за SP векторите са:

Ако координатите на векторите или координатите на точките на техните начала и краища са известни, тогава винаги можем да намерим ъгъла между векторите:

Помислете за задачите:

27724 Намерете вътрешния продукт на векторите a и b.

Можем да намерим скаларното произведение на векторите, като използваме една от двете формули:

Ъгълът между векторите е неизвестен, но можем лесно да намерим координатите на векторите и след това да използваме първата формула. Тъй като началото на двата вектора съвпада с началото, координатите на тези вектори са равни на координатите на техните краища, т.е.

Как да намерите координатите на вектор е описано в.

Изчисляваме:

Отговор: 40

Намерете координатите на векторите и използвайте формулата:

За да намерите координатите на вектор, е необходимо да извадите съответните координати на началото му от координатите на края на вектора, което означава

Изчисляваме скаларния продукт:

Отговор: 40

Намерете ъгъла между векторите a и b. Дайте отговора си в градуси.

Нека координатите на векторите имат формата:

За да намерим ъгъла между векторите, използваме формулата за скаларното произведение на векторите:

Косинус на ъгъла между векторите:

Следователно:

Координатите на тези вектори са:

Нека ги включим във формулата:

Ъгълът между векторите е 45 градуса.

Отговор: 45

В случай на равнинна задача, скаларното произведение на векторите a = (a x ; a y ) и b = (b x ; b y ) може да се намери по следната формула:

a b = a x b x + a y b y

Формулата за скаларно произведение на вектори за пространствени задачи

В случай на пространствен проблем, скаларното произведение на векторите a = (a x; a y; a z) и b = (b x; b y; b z) може да бъде намерено с помощта на следната формула:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Формула за точково произведение на n-мерни вектори

В случай на n-мерно пространство, скаларното произведение на вектори a = (a 1 ; a 2 ; ... ; a n ) и b = (b 1 ; b 2 ; ... ; b n ) може да се намери с помощта на следната формула:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Свойства на точковото произведение на векторите

1. Скаларното произведение на вектор със себе си винаги е по-голямо или равно на нула:

2. Скаларното произведение на вектор със себе си е равно на нула тогава и само ако векторът е равен на нулевия вектор:

a a = 0<=>а = 0

3. Скаларното произведение на вектор сам по себе си е равно на квадрата на неговия модул:

4. Операцията скаларно умножение е комуникативна:

5. Ако скаларното произведение на два ненулеви вектора е равно на нула, тогава тези вектори са ортогонални:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>а ┴ б

6. (αa) b = α(a b)

7. Операцията на скаларното умножение е разпределителна:

(a + b) c = a c + b c

Примерни задачи за изчисляване на скаларно произведение на вектори

Примери за изчисляване на скаларно произведение на вектори за равнинни задачи

Намерете скаларното произведение на векторите a = (1; 2) и b = (4; 8).

Решение: a b = 1 4 + 2 8 = 4 + 16 = 20.

Намерете скаларното произведение на векторите a и b, ако техните дължини |a| = 3, |b| = 6, а ъгълът между векторите е 60˚.

Решение: a · b = |a| |b| cos α = 3 6 cos 60˚ = 9.

Намерете вътрешния продукт на векторите p = a + 3b и q = 5a - 3 b, ако дължините им |a| = 3, |b| = 2, а ъгълът между векторите a и b е 60˚.

Решение:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |а| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Пример за изчисляване на скаларното произведение на вектори за пространствени задачи

Намерете скаларното произведение на векторите a = (1; 2; -5) и b = (4; 8; 1).

Решение: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Пример за изчисляване на точковия продукт за n-мерни вектори

Намерете скаларното произведение на векторите a = (1; 2; -5; 2) и b = (4; 8; 1; -2).

Решение: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Кръстосаното произведение на вектори и вектор се нарича трети вектор , определени както следва:

2) перпендикулярен, перпендикулярен. (1"")

3) векторите са ориентирани по същия начин като основата на цялото пространство (положително или отрицателно).

Обозначете:.

физически смисълвекторен продукт

е моментът на силата спрямо точка O; е радиус е векторът на точката на прилагане на сила, тогава

освен това, ако се пренесе в точка O, тогава тройката трябва да бъде ориентирана като вектор на основата.

1. Определение и прости свойства. Нека вземем ненулеви вектори a и b и ги отделим от произволна точка O: OA = a и OB = b. Стойността на ъгъла AOB се нарича ъгъл между векторите a и b и се обозначава (a,b). Ако поне един от двата вектора е нула, тогава ъгълът между тях по дефиниция се счита за прав. Обърнете внимание, че по дефиниция ъгълът между векторите е най-малко 0 и най-много . Освен това ъгълът между два ненулеви вектора е равен на 0, ако и само ако тези вектори са в една посока и са равни на ако и само ако са в противоположни посоки.

Нека проверим дали ъгълът между векторите не зависи от избора на точка O. Това е очевидно, ако векторите са колинеарни. В противен случай отделяме от произволна точка O 1 вектори О 1 А 1 = а и о 1 IN 1 = b и имайте предвид, че триъгълниците AOB и A 1 ОТНОСНО 1 IN 1 са равни от три страни, тъй като |OA| = |О 1 А 1 | = |a|, |OB| = |О 1 IN 1 | = |b|, |AB| = |А 1 IN 1 | = |b–а|. Следователно ъглите AOB и A 1 ОТНОСНО 1 IN 1 са равни.

Сега можем да дадем основното в този параграф

(5.1) Определение. Скаларното произведение на два вектора a и b (означени с ab) е числото 6 , равно на произведението от дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между векторите. Накратко казано:

ab = |a||b|cos (a,b).

Операцията за намиране на скаларното произведение се нарича скаларно умножение на вектори. Скаларното произведение aa на вектор със себе си се нарича скаларен квадрат на този вектор и се обозначава като 2 .

(5.2) Скаларният квадрат на вектор е равен на квадрата на неговата дължина.

 Ако |a|  0, тогава (а,а) = 0, откъдето a 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Ако a = 0, тогава a 2 = |a| 2 = 0. 

(5.3) Неравенство на Коши. Модулът на скаларното произведение на два вектора не превишава произведението на модулите на множителите: |ab| |a||b|. В този случай равенството се постига тогава и само тогава, когато векторите a и b са колинеарни.

 По дефиниция |ab| = ||a||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)|  |а||б. Това доказва самото неравенство на Коши. Сега да забележим. че за ненулеви вектори a и b равенство в него се постига тогава и само ако |cos (a,b)| = 1, т.е. при (a,b) = 0 или (a,b) =  . Последното е еквивалентно на факта, че векторите a и b са еднакво или противоположно насочени, т.е. колинеарен. Ако поне един от векторите a и b е нула, тогава те са колинеарни и |ab| = |a||b| = 0. 

2. Основни свойства на скаларното умножение. Те включват следното:

(CS1) ab = ba (комутативност);

(CS2) (xa)b = x(ab) (асоциативност);

(CS3) a(b+c) = ab + ac (разпределимост).

Комутативността тук е очевидна, защото аб =  ба. Асоциативността за x = 0 също е очевидна. Ако x > 0 тогава

(ха)б = |ha||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

за (xa, b) = (a,b) (от съпосоката на векторите xa и a - фиг. 21). Ако x< 0, тогава

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

за (xa, b) = –  (a,b) (от противоположната посока на векторите xa и a - фиг.22). Така се доказва и асоциативността.

Доказването на разпределимост е по-трудно. За това имаме нужда от такива

(5.4) Лема. Нека a е ненулев вектор, успореден на правата l, и b произволен вектор. След това ортогоналната проекцияb" на вектора b към правата l е равно на
.



Ако b = 0, тогаваb" = 0 и ab = 0, така че в този случай лемата е вярна. По-нататък ще приемем, че векторът b" е различен от нула. В този случай от произволна точка O на правата линия l отделяме векторите OA = a и OB = b, а също така пускаме перпендикуляра BB "от точка B към правата линия l. По дефиницияОБ" = b" И (a,b) =  AOW. Обозначете AOB чрез и докажете лемата отделно за всеки от следните три случая:

1)  <  /2. Тогава векторите a и съвместно насочен (фиг. 23) и

b" = =
=
.

2)  >  /2 . Тогава векторите a иb"противоположно насочени (фиг. 24) и

b" = – = –
= .

3)  =  /2. Тогаваb" = 0 и ab = 0, откъдеb" =
= 0. 

Сега доказваме дистрибутивността на (CS3). Очевидно е, че векторът a е нула. Нека a  0. След това начертайте линия l || a и означаваме сb" И° С" ортогонални проекции на векторите b и c върху него и презд" е ортогоналната проекция на вектора d = b + c върху него. По теорема 3.5д" = b"+ ° С". Прилагайки лема 5.4 към последното равенство, получаваме равенството
=
. Умножавайки го скаларно по а, намираме това 2 =
, откъдето ad = ab+ac, което трябваше да се докаже.

Доказаните от нас свойства на скаларно умножение на вектори са подобни на съответните свойства на умножение на числа. Но не всички свойства на умножението на числа се пренасят в скаларно умножение на вектори. Ето типични примери:

) Ако ab = 0, това не означава, че a = 0 или b = 0. Пример: два ненулеви вектора, образуващи прав ъгъл.

2) Ако ab = ac, това не означава, че b = c, дори ако векторът a е различен от нула. Пример: b и c са два различни вектора с еднаква дължина, сключващи равни ъгли с вектора a (фиг. 25).

3) Не е вярно, че винаги a(bc) = (ab)c: макар и само защото валидността на такова равенство за bc, ab 0 означава, че векторите a и c са колинеарни.

3. Ортогоналност на векторите. Два вектора се наричат ортогонални, ако ъгълът между тях е прав. Ортогоналността на векторите се обозначава с иконата .

Когато дефинирахме ъгъла между векторите, се съгласихме да разглеждаме ъгъла между нулевия вектор и всеки друг вектор като права линия. Следователно нулевият вектор е ортогонален на всеки. Това споразумение ни позволява да докажем това

(5.5) Признак за ортогоналност на два вектора. Два вектора са ортогонални тогава и само ако техният точков продукт е 0.

 Нека a и b са произволни вектори. Ако поне един от тях е нула, тогава те са ортогонални и тяхното скаларно произведение е равно на 0. Така че в този случай теоремата е вярна. Нека сега приемем, че и двата дадени вектора са различни от нула. По дефиниция ab = |a||b|cos (a,b). Тъй като по наше предположение числата |a| и |b| не са равни на 0, тогава ab = 0 cos (a, b) = 0  (a, b) = /2, което подлежеше на доказване.

Равенството ab = 0 често се приема като дефиниция за ортогоналност на векторите.

(5.6) Следствие. Ако векторът a е ортогонален на всеки от векторите a 1 , …, А П , тогава той също е ортогонален на всяка от техните линейни комбинации.

 Достатъчно е да се отбележи, че от равенството aa 1 = … = аа П = 0 предполага равенството a(x 1 А 1 + … +x П А П ) = x 1 (ах 1 ) + … + x П (ах П ) = 0. 

От следствие 5.6 е лесно да се изведе училищният критерий за перпендикулярност на права и равнина. Наистина, нека права MN е перпендикулярна на две пресичащи се прави AB и AC. Тогава векторът MN е ортогонален на векторите AB и AC. Нека вземем произволна права DE в равнината ABC. Векторът DE е копланарен на неколинеарните вектори AB и AC и следователно се разширява в тях. Но тогава той също е ортогонален на вектора MN, тоест правите MN и DE са перпендикулярни. Оказва се, че правата MN е перпендикулярна на всяка права от равнината ABC, което трябваше да се докаже.

4. Ортонормални основи. (5.7) Определение. Базисът на векторно пространство се нарича ортонормален, ако, първо, всички негови вектори имат единична дължина и, второ, всеки два от неговите вектори са ортогонални.

Векторите на ортонормална база в тримерното пространство обикновено се означават с буквите i, j и k, а на векторната равнина с буквите i и j. Като се вземе предвид знакът за ортогоналност на два вектора и равенството на скаларния квадрат на вектор на квадрата на неговата дължина, условията за ортогоналност на основата (i,j,k) на пространството V 3 може да се напише така:

(5.8) i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = ik = jk = 0,

и основата (i,j) на векторната равнина, както следва:

(5.9) i 2 = j 2 = 1, ij = 0.

Нека векторите a и b имат в ортонормалната основа (i,j,k) пространствата V 3 координати (а 1 , А 2 , А 3 ) и (б 1 b 2 ,б 3 ) съответно. Тогаваab = (А 1 i+А 2 j+А 3 к)(б 1 i+b 2 j+b 3 k) = a 1 b 1 аз 2 +a 2 b 2 й 2 +a 3 b 3 к 2 +a 1 b 2 ij+a 1 b 3 ik+a 2 b 1 джи+а 2 b 3 jk+a 3 b 1 ки+а 3 b 2 kj = а 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 . Ето как формулата за скаларното произведение на векторите a (a 1 ,А 2 ,А 3 ) и b(b 1 ,б 2 ,б 3 ), дадени от техните координати в ортонормалната основа на пространството V 3 :

(5.10) ab = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 .

За вектори a(a 1 ,А 2 ) и b(b 1 ,б 2 ), дадени от техните координати в ортонормална основа на векторната равнина, тя има формата

(5.11) ab = a 1 b 1 +a 2 b 2 .

Нека заместим b = a във формула (5.10). Оказва се, че в ортонормирания базис a 2 = а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 . Тъй като а 2 = |a| 2 , получаваме такава формула за намиране на дължината на вектора a (a 1 ,А 2 ,А 3 ), определена от своите координати в ортонормалната основа на пространството V 3 :

(5.12) |a| =
.

На векторната равнина, по силата на (5.11), тя приема формата

(5.13) |a| =
.

Замествайки b = i, b = j, b = k във формула (5.10), получаваме още три полезни равенства:

(5.14) ai = a 1 , aj = a 2 , ak = a 3 .

Простотата на координатните формули за намиране на скаларното произведение на вектори и дължина на вектора е основното предимство на ортонормалните бази. За неортонормални основи тези формули са най-общо казано некоректни и прилагането им в случая е груба грешка.

5. Насочващи косинуси. Вземете в ортонормална база (i,j,k) пространствата V 3 вектор a(a 1 ,А 2 ,А 3 ). Тогаваai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a, i).От друга страна, ai = a 1 по формула 5.14. Оказва се, че

(5.15) а 1 = |a|cos (a, i).

и по същия начин,

А 2 = |a|cos (a,j) и 3 = |a|cos (a, k).

Ако векторът a е единица, тези три равенства приемат особено проста форма:

(5.16) А 1 = cos (a, i),А 2 = cos (a, j),А 3 = cos (a, k).

Косинусите на ъглите, образувани от вектор с векторите на ортонормална основа, се наричат насочващи косинуси на този вектор в дадения базис. Както показват формули 5.16, координатите на единичен вектор в ортонормална основа са равни на неговите насочващи косинуси.

От 5.15 следва, че a 1 2 + а 2 2 + а 3 2 = |a| 2 (тъй като 2  (a,i)+cos 2  (a,j)+cos 2  (a, k)). От друга страна, а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 = |a| 2 . Оказва се, че

(5.17) сумата от квадратните насочващи косинуси на ненулев вектор е равна на 1.

Този факт е полезен за решаване на някои проблеми.

(5.18) Проблем. Диагоналът на правоъгълен паралелепипед образува два от ръбовете му, излизащи от еднакви ъгли на върха от 60 . Какъв ъгъл образува с третия ръб, излизащ от този връх?

 Помислете за ортонормална основа на пространството V 3 , чиито вектори са представени от ръбовете на паралелепипеда, излизащи от дадения връх. Тъй като диагоналният вектор образува ъгли от 60 с два вектора от тази основа , квадратите на два от трите му насочващи косинуси са равни на cos 2 60  = 1/4. Следователно квадратът на третия косинус е 1/2, а самият този косинус е 1/
. Така че желаният ъгъл е 45 . 

Ъгъл между векторите

Да разгледаме два дадени вектора $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$. Нека отделим векторите $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ и $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ от произволно избрана точка $O$, тогава ъгълът $AOB$ се нарича ъгълът между векторите $\overrightarrow( a)$ и $\overrightarrow(b)$ (фиг. 1).

Снимка 1.

Тук имайте предвид, че ако векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ са еднопосочни или един от тях е нулев вектор, тогава ъгълът между векторите е равен на $0^0$.

Нотация: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Концепцията за скаларното произведение на векторите

Математически това определение може да се напише по следния начин:

Скаларното произведение може да бъде нула в два случая:

Ако един от векторите ще бъде нулев вектор (Тъй като тогава дължината му е нула).

Ако векторите са взаимно перпендикулярни (т.е. $cos(90)^0=0$).

Обърнете внимание също, че вътрешното произведение е по-голямо от нула, ако ъгълът между тези вектори е остър (защото $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) и по-малко от нула, ако ъгълът между тези вектори е тъп (тъй като $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Концепцията за скаларния квадрат е свързана с концепцията за скаларното произведение.

Определение 2

Скаларният квадрат на вектора $\overrightarrow(a)$ е скаларното произведение на този вектор със самия себе си.

Получаваме, че скаларният квадрат е

Изчисляване на скаларното произведение по координатите на векторите

В допълнение към стандартния начин за намиране на стойността на точковия продукт, който следва от дефиницията, има и друг начин.

Нека го разгледаме.

Нека векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ имат съответно координати $\left(a_1,b_1\right)$ и $\left(a_2,b_2\right)$.

Теорема 1

Скаларното произведение на векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ е равно на сумата от произведенията на съответните координати.

Математически това може да се напише по следния начин

\[\стрелка надясно(a)\стрелка надясно(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Доказателство.

Теоремата е доказана.

Тази теорема има няколко следствия:

Следствие 1: Векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ са перпендикулярни тогава и само ако $a_1a_2+b_1b_2=0$

Следствие 2: Косинусът на ъгъла между векторите е $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Свойства на точковото произведение на векторите

За всеки три вектора и реално число $k$ е вярно следното:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Това свойство следва от дефиницията на скаларен квадрат (дефиниция 2).

закон за изместване:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Това свойство следва от дефиницията на вътрешния продукт (дефиниция 1).

Закон за разпределение:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \край (изброяване)

По теорема 1 имаме:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\стрелка надясно(a)\стрелка надясно(c)+\стрелка надясно(b)\стрелка надясно(c)\]

Комбинационен закон:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \край (изброяване)

По теорема 1 имаме:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Примерна задача за изчисляване на скаларно произведение на вектори

Пример 1

Намерете вътрешното произведение на векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$, ако $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ и $\left|\overrightarrow(b)\right| = 2$, а ъгълът между тях е $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Решение.

Използвайки Определение 1, получаваме

За $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

За $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

За $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

За $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ надясно)=-3\sqrt(2)\]

Ако в задачата както дължините на векторите, така и ъгълът между тях са представени „на сребърен поднос“, то условието на задачата и нейното решение изглеждат така:

Пример 1Дадени са вектори. Намерете скаларното произведение на вектори, ако техните дължини и ъгълът между тях са представени със следните стойности:

Валидна е и друга дефиниция, която е напълно еквивалентна на Дефиниция 1.

Определение 2. Скаларното произведение на векторите е число (скалар), равно на произведението на дължината на един от тези вектори и проекцията на друг вектор върху оста, определена от първия от тези вектори. Формула съгласно дефиниция 2:

Ще решим проблема с помощта на тази формула след следващата важна теоретична точка.

Дефиниция на скаларното произведение на векторите по координати

Същото число може да се получи, ако умножените вектори са дадени с техните координати.

Определение 3.Точковият продукт на векторите е числото, равно на сумата от произведенията по двойки на съответните им координати.

На повърхността

Ако два вектора и в равнината се определят от техните две Декартови координати

тогава точковият продукт на тези вектори е равен на сумата от произведенията по двойки на съответните им координати:

Пример 2Намерете числената стойност на проекцията на вектора върху оста, успоредна на вектора.

Решение. Намираме скаларното произведение на векторите чрез добавяне на продуктите по двойки на техните координати:

Сега трябва да приравним полученото скаларно произведение към произведението на дължината на вектора и проекцията на вектора върху ос, успоредна на вектора (в съответствие с формулата).

Намираме дължината на вектора като Корен квадратенот сумата на квадратите на неговите координати:

Напишете уравнение и го решете:

Отговор. Желаната числена стойност е минус 8.

В космоса

Ако два вектора и в пространството са определени от техните три декартови правоъгълни координати

тогава скаларното произведение на тези вектори също е равно на сумата от произведенията по двойки на съответните им координати, само че вече има три координати:

Задачата за намиране на скаларното произведение по разглеждания начин е след анализ на свойствата на скаларното произведение. Тъй като в задачата ще е необходимо да се определи какъв ъгъл образуват умножените вектори.

Свойства на точковото произведение на векторите

Алгебрични свойства

1. (комутативно свойство: стойността на тяхното скаларно произведение не се променя от промяната на местата на умножените вектори).

2. (асоциативно свойство по отношение на числов фактор: скаларното произведение на вектор, умножено по някакъв коефициент и друг вектор, е равно на скаларното произведение на тези вектори, умножено по същия коефициент).

3. (разпределително свойство по отношение на сумата от вектори: скаларното произведение на сумата от два вектора по третия вектор е равно на сумата от скаларните произведения на първия вектор по третия вектор и на втория вектор по третия вектор).

4. (скаларен квадрат на вектор, по-голям от нула), ако е ненулев вектор и , ако е нулев вектор.

Геометрични свойства

В дефинициите на изучаваната операция вече засегнахме концепцията за ъгъл между два вектора. Време е да изясним тази концепция.

На фигурата по-горе се виждат два вектора, които са приведени в общо начало. И първото нещо, на което трябва да обърнете внимание: има два ъгъла между тези вектори - φ 1 И φ 2 . Кой от тези ъгли се появява в дефинициите и свойствата на скаларното произведение на векторите? Сумата от разглежданите ъгли е 2 π и следователно косинусите на тези ъгли са равни. Дефиницията на точковия продукт включва само косинуса на ъгъла, а не стойността на неговия израз. Но в имотите се разглежда само един ъгъл. И това е единият от двата ъгъла, който не превишава π тоест 180 градуса. Този ъгъл е показан на фигурата като φ 1 .

1. Два вектора се наричат ортогонален И ъгълът между тези вектори е прав (90 градуса или π /2 ) ако скаларното произведение на тези вектори е нула :

Ортогоналността във векторната алгебра е перпендикулярността на два вектора.

2. Два ненулеви вектора съставят остър ъгъл (от 0 до 90 градуса или, което е същото, по-малко π точковият продукт е положителен .

3. Два ненулеви вектора съставят тъп ъгъл (от 90 до 180 градуса или, което е същото - повече π /2 ) тогава и само ако точковият продукт е отрицателен .

Пример 3Векторите са дадени в координати:

Изчислете точковите произведения на всички двойки дадени вектори. Какъв ъгъл (остър, прав, тъп) образуват тези двойки вектори?

Решение. Ще изчислим, като съберем продуктите на съответните координати.

Получихме отрицателно число, така че векторите образуват тъп ъгъл.

Получихме положително число, така че векторите образуват остър ъгъл.

Получихме нула, така че векторите образуват прав ъгъл.

Получихме положително число, така че векторите образуват остър ъгъл.

За самотест можете да използвате онлайн калкулатор Точково произведение на вектори и косинус от ъгъла между тях .

Пример 4Дадени са дължините на два вектора и ъгълът между тях:

Определете при каква стойност на числото векторите и са ортогонални (перпендикулярни).

Решение. Умножаваме векторите според правилото за умножение на полиноми:

Сега нека изчислим всеки член:

Нека съставим уравнение (равенство на произведението на нула), да дадем подобни членове и да решим уравнението:

Отговор: получихме стойността λ = 1.8 , при което векторите са ортогонални.

Пример 5Докажете, че векторът ортогонален (перпендикулярен) на вектор

Решение. За да проверим ортогоналността, ние умножаваме векторите и като полиноми, замествайки вместо него израза, даден в условието на проблема:

За да направите това, трябва да умножите всеки член (термин) на първия полином по всеки член на втория и да добавите получените продукти:

В резултат на това дължимата част се намалява. Получава се следният резултат:

Заключение: в резултат на умножението получихме нула, следователно ортогоналността (перпендикулярността) на векторите е доказана.

Решете проблема сами и след това вижте решението

Пример 6Като се има предвид дължините на вектори и , И ъгълът между тези вектори е π /4 . Определете на каква стойност μ вектори и са взаимно перпендикулярни.

Матрично представяне на скаларното произведение на вектори и произведението на n-мерни вектори

Понякога, за по-голяма яснота, е изгодно да се представят два умножени вектора под формата на матрици. Тогава първият вектор се представя като матрица на ред, а вторият - като матрица на колона:

Тогава скаларното произведение на векторите ще бъде произведението на тези матрици :

Резултатът е същият като този, получен по метода, който вече разгледахме. Получихме едно единствено число и произведението на реда на матрицата по колоната на матрицата също е едно единствено число.

В матрична форма е удобно да се представи продуктът на абстрактни n-мерни вектори. По този начин произведението на два четириизмерни вектора ще бъде произведение на редова матрица с четири елемента по колонна матрица също с четири елемента, произведението на два петизмерни вектора ще бъде произведение на редова матрица с пет елемента по колонна матрица също с пет елемента и т.н.

Пример 7Намерете точкови произведения на двойки вектори

използване на матрично представяне.

Решение. Първата двойка вектори. Представяме първия вектор като матрица на ред, а втория като матрица на колона. Намираме скаларното произведение на тези вектори като произведение на матрицата на реда по матрицата на колоната:

По същия начин представяме втората двойка и намираме:

Както можете да видите, резултатите са същите като за същите двойки от пример 2.

Ъгъл между два вектора

Извеждането на формулата за косинус на ъгъла между два вектора е много красиво и стегнато.

За изразяване на скалярното произведение на векторите

(1)

V координатна форма, първо намираме скаларното произведение на orts. Скаларното произведение на вектор със себе си е по дефиниция:

Написаното във формулата по-горе означава: скаларното произведение на вектор със себе си е равно на квадрата на неговата дължина. Косинусът от нула е равен на едно, така че квадратът на всеки орт ще бъде равен на едно: