Уравнение и неговите корени: определения, примери. Кое уравнение няма корени? Примери за уравнения Когато уравнението има безкрайно много корени

След като получи обща идея за равенствата и след като се запознае с един от техните видове - числени равенства, може да започне да се говори за друга много важна форма на равенства от практическа гледна точка - за уравнения. В тази статия ще анализираме какво е уравнението, и това, което се нарича корен на уравнението. Тук ще дадем съответните дефиниции, както и ще дадем различни примери за уравнения и техните корени.

Навигация по страници.

Какво е уравнение?

Целенасоченото въведение в уравненията обикновено започва от математиката за 2 клас. По това време е дадено следното дефиниция на уравнение:

Определение.

Уравнението Намира ли се равенство, съдържащо неизвестно число.

Неизвестните числа в уравнения обикновено се означават с малки латински букви, например p, t, u и т.н., но най-често използваните букви са x, y и z.

По този начин уравнението се дефинира по отношение на формата на нотация. С други думи, равенството е уравнение, когато то се подчинява на посочените правила за нотация - съдържа буквата, чиято стойност искате да намерите.

Ето някои примери за първите и най-прости уравнения. Нека започнем с уравнения като x \u003d 8, y \u003d 3 и т.н. Уравненията, които съдържат, заедно с цифри и букви, знаците на аритметичните операции изглеждат малко по-сложни, например x + 2 \u003d 3, z - 2 \u003d 5, 3 · t \u003d 9, 8: x \u003d 2.

Разнообразието от уравнения нараства след запознаване с - започват да се появяват уравнения със скоби, например 2 (x - 1) \u003d 18 и x + 3 (x + 2 (x - 2)) \u003d 3. Неизвестна буква в уравнението може да се появи няколко пъти, например x + 3 + 3 x - 2 - x \u003d 9, буквите могат да бъдат и от лявата страна на уравнението, от дясната му страна или от двете страни на уравнението, например x (3 + 1) −4 \u003d 8, 7−3 \u003d z + 1 или 3x - 4 \u003d 2 (x + 12).

Освен това, след изучаване на естествени числа, настъпва запознаване с цели числа, рационални, реални числа, изучават се нови математически обекти: градуси, корени, логаритми и т.н., докато се появяват все повече и повече нови видове уравнения, които съдържат тези неща. Техните примери могат да бъдат намерени в статията основни видове уравненияучи в училище.

В 7-ми клас, заедно с буквите, под които се означават някои конкретни цифри, те започват да разглеждат букви, които могат да придобият различни значения, те се наричат \u200b\u200bпроменливи (виж статията). В този случай думата "променлива" се въвежда в дефиницията на уравнението и става така:

Определение.

Уравнение е равенство, съдържащо променлива, чиято стойност трябва да бъде намерена.

Например уравнението x + 3 \u003d 6 x + 7 е уравнение с променлива x, а 3 · z - 1 + z \u003d 0 е уравнение с променлива z.

В уроците по алгебра в същия 7-ми клас има среща с уравнения, съдържащи не един, а две различни неизвестни променливи в техния запис. Те се наричат \u200b\u200bуравнения в две променливи. В бъдеще е разрешено наличието на три или повече променливи в уравненията.

Определение.

Уравнения с едно, две, три и т.н. променливи - това са уравнения, съдържащи съответно една, две, три, ... неизвестни променливи.

Например уравнението 3.2 x + 0.5 \u003d 1 е уравнение с една променлива x, докато уравнението от формата x - y \u003d 3 е уравнение с две променливи x и y. И още един пример: x 2 + (y - 1) 2 + (z + 0.5) 2 \u003d 27. Ясно е, че такова уравнение е уравнение с три неизвестни променливи x, y и z.

Какъв е коренът на уравнение?

Определението на уравнението е пряко свързано с определението на корена на това уравнение. Нека направим някои разсъждения, които ще ни помогнат да разберем какъв е коренът на уравнението.

Да приемем, че имаме уравнение с една буква (променлива). Ако вместо буквата, включена в записа на това уравнение, се замени число, тогава уравнението ще се превърне в числово равенство. Освен това полученото равенство може да бъде както вярно, така и невярно. Например, ако замените числото 2 вместо буквата a в уравнението a + 1 \u003d 5, ще получите неправилно числово равенство 2 + 1 \u003d 5. Ако заменим числото 4 с a в това уравнение, тогава ще получим правилното равенство 4 + 1 \u003d 5.

На практика в преобладаващото мнозинство от случаи интерес представляват такива стойности на променливата, чието заместване в уравнението дава правилното равенство, тези стойности се наричат \u200b\u200bкорени или решения на това уравнение.

Определение.

Корен на уравнението Стойността на буквата (променлива), когато се замества, уравнението се превръща в истинско числово равенство.

Имайте предвид, че коренът на уравнение в една променлива също се нарича решение на уравнението. С други думи, решението на уравнението и коренът на уравнението са едно и също нещо.

Нека обясним това определение с пример. За целта се връщаме към горното уравнение a + 1 \u003d 5. Съгласно озвучената дефиниция на корена на уравнението, числото 4 е коренът на това уравнение, тъй като при заместване на това число вместо буквата а получаваме правилното равенство 4 + 1 \u003d 5, а числото 2 не е негов корен, тъй като отговаря на неправилно равенство на формата 2 + 1 \u003d пет.

В този момент възникват редица естествени въпроси: "Има ли уравнение корен и колко корени има дадено уравнение?" Ние ще им отговорим.

Има както уравнения, които имат корени, така и уравнения, които нямат корени. Например уравнението x + 1 \u003d 5 има корен от 4, а уравнението 0 x \u003d 5 няма корени, тъй като без значение какво число заместваме в това уравнение вместо променливата x, получаваме грешно равенство 0 \u003d 5.

Що се отнася до броя на корените на уравнение, има както уравнения, които имат определен краен брой корени (един, два, три и т.н.), така и уравнения, които имат безкрайно много корени. Например уравнението x - 2 \u003d 4 има уникален корен 6, корените на уравнението x 2 \u003d 9 са две числа −3 и 3, уравнението x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 има три корена 0, 1 и 2, а решението на уравнението x \u003d x е произволно число, тоест има безкраен набор от корени.

Трябва да се кажат няколко думи за приетото писане на корените на уравнението. Ако уравнението няма корени, тогава обикновено те пишат „уравнението няма корени“ или използват знака за празно множество ∅. Ако уравнението има корени, те се пишат разделени със запетаи или се пишат като елементи от комплекта в къдрави скоби. Например, ако корените на уравнението са числата -1, 2 и 4, тогава те пишат -1, 2, 4 или (-1, 2, 4). Също така е допустимо корените на уравнението да се запишат под формата на най-простите равенства. Например, ако буквата x влиза в уравнението и корените на това уравнение са числата 3 и 5, тогава можете да напишете x \u003d 3, x \u003d 5, също променливата често се добавя с индекси x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5, като че ли указва числа корени на уравнението. Безкрайният набор от корени на уравнението обикновено се записва във формата; също така, ако е възможно, те използват обозначението на множествата от естествени числа N, цели числа Z, реални числа R. Например, ако коренът на уравнение с променлива x е всяко цяло число, тогава напишете, а ако корените на уравнение с променлива y са някакво реално число от 1 до 9 включително, тогава напишете.

За уравнения с две, три и повече променливи, като правило, терминът "корен на уравнението" не се използва, в тези случаи се казва "решение на уравнението". Какво се нарича решение на уравнения в няколко променливи? Нека дадем подходяща дефиниция.

Определение.

Решаване на уравнение с две, три и т.н. променливи обадете се на двойка, три и т.н. стойности на променливите, което превръща това уравнение в истинско числово равенство.

Нека покажем няколко илюстративни примера. Помислете за уравнение в две променливи x + y \u003d 7. В него заместваме вместо x числото 1, а вместо y числото 2 и имаме равенството 1 + 2 \u003d 7. Очевидно е погрешно, следователно двойка стойности x \u003d 1, y \u003d 2 не е решение на написаното уравнение. Ако вземем двойка стойности x \u003d 4, y \u003d 3, тогава след заместване в уравнението ще стигнем до правилното равенство 4 + 3 \u003d 7, следователно тази двойка стойности на променливите по дефиниция е решение на уравнението x + y \u003d 7.

Уравнения с няколко променливи, като уравнения с една променлива, може да нямат корени, да имат ограничен брой корени или да имат безкрайно много корени.

Двойки, тройки, четворки и др. Стойностите на променливите често се пишат кратко, като в скоби се изброяват стойностите им, разделени със запетаи. В този случай написаните числа в скоби съответстват на променливите в азбучен ред. Нека изясним тази точка, като се върнем към предишното уравнение x + y \u003d 7. Решението на това уравнение x \u003d 4, y \u003d 3 може да бъде написано накратко като (4, 3).

Най-голямо внимание в училищния курс по математика, алгебра и началото на анализа се отделя на намирането на корените на уравненията с една променлива. Ще анализираме правилата на този процес много подробно в статията. решаване на уравнения.

Библиография.

• Математика... 2 cl. Учебник. за общо образование. институции с прил. към електрона. превозвач. В 14 ч. Част 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Белтюкова и др.] - 3-то изд. - М.: Просвещение, 2012. - 96 с.: Ил. - (Училище в Русия). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебра: проучване. за 7 cl. общо образование. институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М .: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: 9 клас: учебник. за общо образование. институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М .: Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.

След като изучихме концепцията за равенствата, а именно един от техните типове - числени равенства, можем да преминем към друг важен тип - уравнения. В рамките на този материал ще обясним какво е уравнението и неговия корен, ще формулираме основните дефиниции и ще дадем различни примери за уравнения и намиране на техните корени.

Концепция за уравнение

Обикновено концепцията за уравнение се изучава в самото начало на учебния курс по алгебра. Тогава тя се определя, както следва:

Определение 1

Уравнение наречено равенство с неизвестен номер, който да бъде намерен.

Прието е да се обозначават неизвестни с малки латински букви, например t, r, m и др., Но най-често се използват x, y, z. С други думи, уравнението определя формата на неговото писане, тоест равенството ще бъде уравнение само когато е сведено до определена форма - трябва да съдържа буква, стойността, която трябва да бъде намерена.

Ето няколко примера за най-простите уравнения. Това могат да бъдат равенства на формата x \u003d 5, y \u003d 6 и т.н., както и тези, които включват аритметични операции, например x + 7 \u003d 38, z - 4 \u003d 2, 8 t \u003d 4, 6: x \u003d 3.

След изучаване на понятието за скоби се появява понятието за уравнения със скоби. Те включват 7 (x - 1) \u003d 19, x + 6 (x + 6 (x - 8)) \u003d 3 и т.н. Буквата, която трябва да се намери, може да се появи не веднъж, а няколко пъти, като, например в уравнението x + 2 + 4 x - 2 - x \u003d 10. Също така неизвестните могат да бъдат разположени не само отляво, но и отдясно, или в двете части едновременно, например x (8 + 1) - 7 \u003d 8, 3 - 3 \u003d z + 3 или 8 x - 9 \u003d 2 (x + 17).

Освен това, след като студентите се запознаят с понятието цели числа, реални, рационални, естествени числа, както и логаритми, корени и степени, се появяват нови уравнения, които включват всички тези обекти. Ние сме посветили отделна статия на примери за такива изрази.

В програмата за 7 клас концепцията за променливите се появява за първи път. Това са букви, които могат да придобият различни значения (за повече подробности вижте статията за числови, буквални и променливи изрази). Въз основа на тази концепция можем да предефинираме уравнението:

Определение 2

Уравнението Е равенство, което включва променливата, чиято стойност искате да оцените.

Това е, например, изразът x + 3 \u003d 6 x + 7 е уравнение с променливата x, а 3 y - 1 + y \u003d 0 е уравнение с променливата y.

Едно уравнение може да съдържа не една променлива, а две или повече. Те се наричат \u200b\u200bсъответно уравнения с две, три променливи и т.н. Нека напишем дефиницията:

Определение 3

Уравнения с две (три, четири или повече) променливи са уравнения, които включват съответния брой неизвестни.

Например, равенство на формата 3, 7 x + 0, 6 \u003d 1 е уравнение с една променлива x, а x - z \u003d 5 е уравнение с две променливи x и z. Пример за уравнение с три променливи ще бъде x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 \u003d 26.

Корен на уравнението

Когато говорим за уравнение, веднага възниква необходимостта да се дефинира понятието за неговия корен. Нека се опитаме да обясним какво означава това.

Пример 1

Дадено ни е някакво уравнение, което включва една променлива. Ако заместим число с неизвестната буква, тогава уравнението се превръща в числово равенство - вярно или невярно. И така, ако в уравнението a + 1 \u003d 5 заменим буквата с число 2, тогава равенството ще стане неправилно, а ако 4, тогава ще получим правилното равенство 4 + 1 \u003d 5.

Ние се интересуваме повече от точно тези стойности, с които променливата ще се превърне в правилното равенство. Те се наричат \u200b\u200bкорени или решения. Нека запишем определението.

Определение 4

Коренът на уравнението се нарича стойност на променлива, която превръща дадено уравнение в истинско равенство.

Коренът също може да се нарече решение или обратно - и двете понятия означават едно и също нещо.

Пример 2

Да вземем пример, за да изясним това определение. По-горе дадохме уравнението a + 1 \u003d 5. Според дефиницията коренът в този случай ще бъде 4, тъй като когато се замести вместо буква, той дава правилното числово равенство, а две няма да бъдат решение, тъй като отговаря на неправилното равенство 2 + 1 \u003d 5.

Колко корени може да има едно уравнение? Има ли уравнение корен? Нека отговорим на тези въпроси.

Съществуват и уравнения, които нямат един корен. Пример би бил 0 x \u003d 5. Можем да заместим безкрайно много различни числа в него, но нито едно от тях няма да го превърне в истинско равенство, тъй като умножението по 0 винаги дава 0.

Съществуват и уравнения с множество корени. Те могат да имат както краен, така и безкрайно голям брой корени.

Пример 3

И така, в уравнението x - 2 \u003d 4 има само един корен - шест, в x 2 \u003d 9 има два корена - три и минус три, в x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 има три корена - нула, едно и две, в уравнението x \u003d x има безкрайно много корени.

Сега нека да обясним как да запишем корените на уравнението правилно. Ако те не са там, тогава пишем така: "уравнението няма корени." В този случай може да се посочи и знакът на празния набор ∅. Ако има корени, тогава ги записваме разделени със запетаи или ги посочваме като елементи на набор, като ги ограждаме в къдрави скоби. Така че, ако някое уравнение има три корена - 2, 1 и 5, тогава пишем - 2, 1, 5 или (- 2, 1, 5).

Позволено е да се пишат корени под формата на най-простите равенства. И така, ако неизвестното в уравнението се обозначава с буквата y, а корените са 2 и 7, тогава пишем y \u003d 2 и y \u003d 7. Понякога към буквите се добавят индекси, например x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. По този начин ние посочваме номерата на корените. Ако уравнението има безкрайно много решения, тогава пишем отговора като числов интервал или използваме общоприетата нотация: множеството от естествени числа се обозначава с N, цели числа - Z, реални - R. Например, ако трябва да запишем, че решението на уравнението ще бъде всяко цяло число, тогава записваме, че x ∈ Z, а ако има реално от едно до девет, тогава y ∈ 1, 9.

Когато уравнението има два, три или повече корена, тогава като правило се говори не за корени, а за решения на уравнението. Нека формулираме дефиницията на решение на уравнение в няколко променливи.

Определение 5

Решението на уравнение с две, три или повече променливи е две, три или повече стойности на променливите, които превръщат това уравнение в истинско числово равенство.

Нека обясним дефиницията с примери.

Пример 4

Да приемем, че имаме израз x + y \u003d 7, който е уравнение в две променливи. Нека заместим едно вместо първото и две вместо второто. Ще получим неправилно равенство, което означава, че тази двойка стойности няма да бъде решение на това уравнение. Ако вземем чифт 3 и 4, тогава равенството става вярно, което означава, че сме намерили решение.

Такива уравнения може също да нямат корени или да имат безкраен брой от тях. Ако трябва да напишем две, три, четири или повече стойности, тогава ги записваме разделени със запетаи в скоби. Тоест, в горния пример отговорът ще изглежда така (3, 4).

На практика най-често човек трябва да се справя с уравнения, съдържащи една променлива. Ще разгледаме подробно алгоритъма за тяхното решаване в статията, посветена на решаването на уравнения.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Решението на уравненията по математика има специално място. Този процес се предшества от много часове теоретично изучаване, по време на които студентът учи начини за решаване на уравнения, определяне на техния тип и довежда умението до пълен автоматизъм. Търсенето на корени обаче не винаги има смисъл, тъй като те може просто да не съществуват. Има специални техники за намиране на корени. В тази статия ще анализираме основните функции, областите им на дефиниция, както и случаите, когато корените им липсват.

Кое уравнение няма корени?

Уравнението няма корени, ако няма реални аргументи x, за които уравнението е идентично вярно. За неспециалист тази формулировка, както повечето математически теореми и формули, изглежда много неясна и абстрактна, но това е на теория. На практика всичко става изключително просто. Например: уравнението 0 * x \u003d -53 няма решение, тъй като няма такова число x, чието произведение с нула би дало нещо различно от нула.

Сега ще разгледаме най-основните видове уравнения.

1. Линейно уравнение

Уравнение се нарича линейно, ако дясната и лявата му страна са представени като линейни функции: ax + b \u003d cx + d или в обобщена форма kx + b \u003d 0. Където a, b, c, d са известни числа и x е неизвестна стойност ... Кое уравнение няма корени? Примери за линейни уравнения са показани на илюстрацията по-долу.

По принцип линейните уравнения се решават чрез просто прехвърляне на числовата част в едната част, а съдържанието с x в другата. Получава се уравнение с формата mx \u003d n, където m и n са числа, а x е неизвестно. За да намерим х, е достатъчно да разделим двете части на m. Тогава x \u003d n / m. По принцип линейните уравнения имат само един корен, но има случаи, когато има или безкрайно много корени, или изобщо няма корени. При m \u003d 0 и n \u003d 0 уравнението приема формата 0 * x \u003d 0. Решението на такова уравнение ще бъде абсолютно всяко число.

Кое уравнение обаче няма корени?

При m \u003d 0 и n \u003d 0 уравнението няма корени в множеството от реални числа. 0 * x \u003d -1; 0 * x \u003d 200 - тези уравнения нямат корени.

2. Квадратично уравнение

Квадратното уравнение е уравнение с формата ax 2 + bx + c \u003d 0 за a \u003d 0. Най-често срещаното решение е чрез дискриминанта. Формулата за намиране на дискриминанта на квадратно уравнение: D \u003d b 2 - 4 * a * c. След това има два корена x 1,2 \u003d (-b ± √D) / 2 * a.

При D\u003e 0 уравнението има два корена, при D \u003d 0 има един корен. Но кое квадратно уравнение няма корени? Най-лесният начин да се наблюдава броят на корените на квадратното уравнение е да се използва функционалната графика, която е парабола. При a\u003e 0 клоните са насочени нагоре, за a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Можете също така визуално да определите броя на корените, без да изчислявате дискриминанта. За да направите това, трябва да намерите върха на параболата и да определите в коя посока са насочени клоните. Можете да определите x-координатата на върха, като използвате формулата: x 0 \u003d -b / 2a. В този случай координатата y на върха се намира чрез просто заместване на x 0 в първоначалното уравнение.

Квадратното уравнение x 2 - 8x + 72 \u003d 0 няма корени, тъй като има отрицателен дискриминант D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 72 \u003d -224. Това означава, че параболата не докосва оста на абсцисата и функцията никога не приема стойността 0, следователно уравнението няма реални корени.

3. Тригонометрични уравнения

Тригонометричните функции се разглеждат върху тригонометрична окръжност, но могат да бъдат представени и в декартова координатна система. В тази статия ще разгледаме две основни тригонометрични функции и техните уравнения: sinx и cosx. Тъй като тези функции образуват тригонометрична окръжност с радиус 1, | sinx | и | cosx | не може да бъде по-голямо от 1. И така, кое уравнение sinx няма корени? Помислете за графиката на функцията sinx, показана на снимката по-долу.

Виждаме, че функцията е симетрична и има период на повторение 2pi. Въз основа на това можем да кажем, че максималната стойност на тази функция може да бъде 1, а минималната -1. Например изразът cosx \u003d 5 няма да има корени, тъй като модулът е по-голям от единица.

Това е най-простият пример за тригонометрични уравнения. Всъщност тяхното решаване може да отнеме много страници, в края на които осъзнавате, че сте използвали грешната формула и трябва да започнете отначало. Понякога дори с правилното намиране на корените можете да забравите да вземете предвид ограниченията на LDV, поради което в отговора се появява допълнителен корен или интервал и целият отговор се превръща в грешка. Затова стриктно спазвайте всички ограничения, тъй като не всички корени се вписват в обхвата на задачата.

4. Системи от уравнения

Система от уравнения е съвкупност от уравнения, обединени от къдрави или квадратни скоби. Къдравите скоби означават съвместното изпълнение на всички уравнения. Тоест, ако поне едно от уравненията няма корени или противоречи на друго, цялата система няма решение. Квадратните скоби представляват думата „или“. Това означава, че ако поне едно от уравненията на системата има решение, тогава цялата система има решение.

Отговорът на система c е съвкупността от всички корени на отделни уравнения. А системите за къдрави скоби имат само общи корени. Системите на уравнения могат да включват абсолютно разнообразни функции, така че такава сложност не ви позволява веднага да разберете кое уравнение няма корени.

В проблемните книги и учебници има различни видове уравнения: такива, които имат корени, и такива, които нямат. На първо място, ако не можете да намерите корените, не мислете, че изобщо няма такива. Може би сте допуснали грешка някъде, тогава е достатъчно само внимателно да проверите отново решението си.

Разгледахме най-основните уравнения и техните типове. Сега можете да разберете кое уравнение няма корени. В повечето случаи това изобщо не е трудно. Успехът в решаването на уравнения изисква само внимание и фокус. Практикувайте повече, това ще ви помогне да се ориентирате в материала много по-добре и по-бързо.

И така, уравнението няма корени, ако:

• в линейното уравнение mx \u003d n, стойността m \u003d 0 и n \u003d 0;
• в квадратно уравнение, ако дискриминантът е по-малък от нула;
• в тригонометрично уравнение на формата cosx \u003d m / sinx \u003d n, ако | m | \u003e 0, | n | \u003e 0;
• в система от уравнения с къдрави скоби, ако поне едно уравнение няма корени, и с квадратни скоби, ако всички уравнения нямат корени.