Как да решим сбора и разликата на кубчетата. Различен куб и куб разлика: правила за прилагане на съкратени формули за умножение. Примери за приложение на FSO

Съкратени формули за умножение.

Изучаване на формулите за съкратено умножение: квадрата на сбора и квадрата на разликата на два израза; разлика на квадратите на два израза; кубът на сбора и кубът на разликата от два израза; суми и разлики на кубчета от два израза.

Прилагане на съкратени формули за умножение при решаване на примери.

За опростяване на изразите, разлагане на полиноми и привеждане на полиномите в стандартен вид се използват съкратени формули за умножение. Съкратени формули за умножение, които трябва да знаете наизуст.

Нека a, b R. Тогава:

1. Квадратът на сбора от два израза еквадратът на първия израз плюс двойното произведение на първия израз и втория плюс квадрата на втория израз.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадратът на разликата на два израза еквадратът на първия израз минус двойното произведение на първия израз и втория плюс квадрата на втория израз.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Разлика в квадратитедва израза е равно на произведението на разликата на тези изрази и техния сбор.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. сборен кубот два израза е равно на куба на първия израз плюс три пъти квадрата на първия израз по втория плюс три пъти на произведението на първия израз, умножен на квадрата на втория плюс куба на втория израз.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. куб за разликаот два израза е равно на куба на първия израз минус три пъти произведението на квадрата на първия израз и втория плюс три пъти на произведението на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сума от кубчетадва израза е равно на произведението от сбора на първия и втория израз от непълния квадрат на разликата на тези изрази.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Разлика на кубчетатана два израза е равно на произведението на разликата на първия и втория израз от непълния квадрат на сбора на тези изрази.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Прилагане на съкратени формули за умножение при решаване на примери.

Пример 1

Изчисли

а) Използвайки формулата за квадрата на сбора от два израза, имаме

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Използвайки формулата за квадратната разлика на два израза, получаваме

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10 000 - 400 + 4 \u003d 9604

Пример 2

Изчисли

Използвайки формулата за разликата на квадратите на два израза, получаваме

Пример 3

Опростете израза

(x - y) 2 + (x + y) 2

Използваме формулите за квадрата на сбора и квадрата на разликата на два израза

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Съкратени формули за умножение в една таблица:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Разлика в квадратите

Извеждаме формулата за разликата на квадратите $a^2-b^2$.

За да направите това, запомнете следното правило:

Ако към израза се добави някакъв моном и същият моном се извади, тогава получаваме правилната идентичност.

Нека добавим към нашия израз и извадим от него монома $ab$:

Като цяло получаваме:

Тоест разликата на квадратите на два монома е равна на произведението на тяхната разлика и техния сбор.

Пример 1

Изразете като продукт на $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Сума от кубчета

Извеждаме формулата за сумата от кубчета $a^3+b^3$.

Нека извадим общите фактори от скоби:

Нека извадим $\left(a+b\right)$ от скоби:

Като цяло получаваме:

Тоест сборът от кубовете на два монома е равен на произведението на тяхната сума от непълния квадрат на тяхната разлика.

Пример 2

Изразете като продукт $(8x)^3+y^3$

Този израз може да бъде пренаписан в следната форма:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Използвайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Разлика на кубчетата

Извеждаме формулата за разликата на кубовете $a^3-b^3$.

За да направим това, ще използваме същото правило, както по-горе.

Нека добавим към нашия израз и извадим от него мономите $a^2b\ и\ (ab)^2$:

Нека извадим общите фактори от скоби:

Нека извадим $\left(a-b\right)$ от скоби:

Като цяло получаваме:

Тоест разликата на кубчетата на два монома е равна на произведението на тяхната разлика от непълния квадрат на тяхната сума.

Пример 3

Изразете като продукт на $(8x)^3-y^3$

Този израз може да бъде пренаписан в следната форма:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Използвайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Пример за задачи за използване на формулите за разликата на квадратите и сбора и разликата на кубовете

Пример 4

Умножете.

а) $((a+5))^2-9$

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Решение:

а) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Прилагайки формулата за разликата на квадратите, получаваме:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Нека запишем този израз във формата:

Нека приложим формулата на кубчета от кубчета:

в) $-x^3+\frac(1)(27)$

Нека запишем този израз във формата:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Нека приложим формулата на кубчета от кубчета:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\вдясно)\]

Формули или правила за намалено умножение се използват в аритметиката и по-конкретно в алгебрата, за по-бърз процес на изчисляване на големи алгебрични изрази. Самите формули са извлечени от съществуващите правила в алгебрата за умножение на няколко полинома.

Използването на тези формули осигурява доста бързо решение на различни математически проблеми, а също така помага за опростяване на изразите. Правилата на алгебричните трансформации ви позволяват да извършвате някои манипулации с изрази, след което можете да получите израза от лявата страна на равенството, която е от дясната страна, или да трансформирате дясната страна на равенството (за да получите израза на лявата страна след знака за равенство).

Удобно е да знаете формулите, използвани за съкратено умножение по памет, тъй като те често се използват при решаване на задачи и уравнения. Основните формули, включени в този списък, и техните имена са изброени по-долу.

сума квадрат

За да изчислите квадрата на сумата, трябва да намерите сумата, състояща се от квадрата на първия член, двойното произведение на първия член и втория, и квадрата на втория. Под формата на израз това правило се записва по следния начин: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Квадратът на разликата

За да изчислите квадрата на разликата, трябва да изчислите сумата, състояща се от квадрата на първото число, двойното произведение на първото число на второто (взето с противоположен знак) и квадрата на второто число. Под формата на израз това правило изглежда така: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Разлика в квадратите

Формулата за разликата на две числа на квадрат е равна на произведението от сбора на тези числа и тяхната разлика. Под формата на израз това правило изглежда така: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

сборен куб

За да изчислите куба на сбора от два члена, трябва да изчислите сумата, състояща се от куба на първия член, утроете произведението на квадрата на първия член и втория, тройния продукт на първия член и втория на квадрат и кубът на втория член. Под формата на израз това правило изглежда така: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Сума от кубчета

Според формулата то е равно на произведението от сбора на тези членове и техния непълен квадрат на разликата. Под формата на израз това правило изглежда така: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, който се образува чрез добавяне на два кубчета. Известни са само величините на техните страни.

Ако стойностите на страните са малки, тогава е лесно да се извършат изчисления.

Ако дължините на страните са изразени в тромави числа, тогава в този случай е по-лесно да приложите формулата "Сума на кубовете", което значително ще опрости изчисленията.

куб за разлика

Изразът за кубичната разлика звучи така: като сбор от третата степен на първия член, утроете отрицателното произведение на квадрата на първия член на втория, утроете продукта на първия член на квадрата на втория , и отрицателният куб на втория член. Под формата на математически израз кубът на разликата изглежда така: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Разлика на кубчетата

Формулата за разликата на кубовете се различава от сбора на кубовете само с един знак. По този начин разликата на кубчетата е формула, равна на произведението на разликата на тези числа от техния непълен квадрат на сбора. Във формата разликата на кубчетата изглежда така: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Пример.Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, който ще остане след изваждане на жълтата обемна фигура, която също е куб, от обема на синия куб. Известен е само размерът на страната на малък и голям куб.

Ако стойностите на страните са малки, тогава изчисленията са доста прости. И ако дължините на страните са изразени в значителни числа, тогава си струва да използвате формула, озаглавена "Разлика на кубовете" (или "Разлика на кубчетата"), която значително ще опрости изчисленията.

Съкратените формули за умножение (FSU) се използват за експоненцииране и умножение на числа и изрази. Често тези формули ви позволяват да правите изчисления по-компактно и бързо.

В тази статия ще изброим основните формули за съкратено умножение, ще ги групираме в таблица, ще разгледаме примери за използване на тези формули, а също така ще се спрем на принципите за доказване на съкратени формули за умножение.

За първи път темата FSU се разглежда в рамките на дисциплината "Алгебра" за 7. клас. По-долу са 7 основни формули.

Съкратени формули за умножение

1. формула за квадратен сбор: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. квадратна формула на разликата: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. Формула на сборния куб: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. Формула на куба на разликата: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. формула за разлика на квадратите: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. формула за сумата от кубчета: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. Формула за разлика в куба: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Буквите a, b, c в тези изрази могат да бъдат произволни числа, променливи или изрази. За по-лесно използване е по-добре да научите седемте основни формули наизуст. Обобщаваме ги в таблица и ги даваме по-долу, като ги обграждаме с кутия.

Първите четири формули ви позволяват да изчислите съответно квадрата или куба на сбора или разликата от два израза.

Петата формула изчислява разликата на квадратите на изразите, като умножава тяхната сума и разлика.

Шестата и седма формули са съответно умножение на сбора и разликата на изразите по непълния квадрат на разликата и непълния квадрат на сбора.

Съкратената формула за умножение понякога се нарича още съкратени идентичности за умножение. Това не е изненадващо, тъй като всяко равенство е идентичност.

При решаване на практически примери често се използват съкратени формули за умножение с пренаредени лява и дясна част. Това е особено удобно при разлагане на полином.

Допълнителни съкратени формули за умножение

Няма да се ограничаваме до курса по алгебра за 7-ми клас и да добавим още няколко формули към нашата таблица на FSU.

Първо, разгледайте биномната формула на Нютон.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Тук C n k са биномните коефициенти, които са в ред номер n в триъгълника на Паскал. Биномните коефициенти се изчисляват по формулата:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Както можете да видите, FSU за квадрата и куба на разликата и сумата е специален случай на биномната формула на Нютон за n=2 и n=3, съответно.

Но какво ще стане, ако има повече от два члена в сумата, която трябва да се издигне на степен? Формулата за квадрата на сбора от три, четири или повече члена ще бъде полезна.

а 1 + а 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Друга формула, която може да ви бъде полезна, е формулата за разликата на n-те степени на два члена.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Тази формула обикновено се разделя на две формули – съответно за четни и нечетни степени.

За четни експоненти 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

За нечетни експоненти 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулите за разликата на квадратите и разликата на кубовете, както се досещате, са специални случаи на тази формула за n = 2 и n = 3, съответно. За разликата на кубчетата b също се заменя с - b .

Как да четем съкратени формули за умножение?

Ще дадем съответните формулировки за всяка формула, но първо ще се заемем с принципа на четене на формули. Най-лесният начин да направите това е с пример. Да вземем първата формула за квадрата на сбора от две числа.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Казват: квадратът на сбора от два израза a и b е равен на сбора от квадрата на първия израз, двойното произведение на изразите и квадрата на втория израз.

Всички останали формули се четат по подобен начин. За квадратната разлика a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 пишем:

квадратът на разликата на два израза a и b е равен на сбора от квадратите на тези изрази минус двойното произведение на първия и втория израз.

Нека да прочетем формулата a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Кубът на сбора от два израза a и b е равен на сбора от кубовете на тези изрази, три пъти произведението на квадрата на първия израз и втория израз, и три пъти на произведението на квадрата на втория израз и първия израз.

Пристъпваме към четене на формулата за разликата на кубовете a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Кубът на разликата на два израза a и b е равен на куба на първия израз минус три пъти квадрата на първия израз и втория, плюс три пъти квадрата на втория израз и първия израз, минус куба на втория израз.

Петата формула a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (разлика на квадратите) гласи, както следва: разликата на квадратите на два израза е равна на произведението на разликата и сумата от двата израза.

Изрази като a 2 + a b + b 2 и a 2 - a b + b 2 за удобство се наричат ​​съответно непълният квадрат на сбора и непълният квадрат на разликата.

Имайки това предвид, формулите за сбора и разликата на кубовете се четат, както следва:

Сборът от кубовете на два израза е равен на произведението от сбора на тези изрази и непълния квадрат на тяхната разлика.

Разликата на кубовете на два израза е равна на произведението на разликата на тези изрази от непълния квадрат на тяхната сума.

Доказателство от FSU

Доказването на FSU е доста просто. Въз основа на свойствата на умножението ще извършим умножението на частите от формулите в скоби.

Например, разгледайте формулата за квадрата на разликата.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

За да се повдигне израз на втора степен, изразът трябва да се умножи по себе си.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Нека разширим скобите:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Формулата е доказана. Другите FSO се доказват по подобен начин.

Примери за приложение на FSO

Целта на използването на формули за намалено умножение е бързо и сбито умножение и степенуване на изрази. Това обаче не е целият обхват на FSO. Те се използват широко при редуциране на изрази, редуциране на дроби, разлагане на полиноми. Да дадем примери.

Пример 1. FSO

Нека опростим израза 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Приложете формулата за сбора на квадратите и получете:

9 у - (1 + 3 у) 2 = 9 у - (1 + 6 у + 9 у 2) = 9 у - 1 - 6 у - 9 у 2 = 3 у - 1 - 9 у 2

Пример 2. FSO

Намалете дроба 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Забелязваме, че изразът в числителя е разликата на кубчетата, а в знаменателя - разликата на квадратите.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Намаляваме и получаваме:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU също помагат да се изчислят стойностите на изразите. Основното нещо е да можете да забележите къде да приложите формулата. Нека покажем това с пример.

Нека квадратираме числото 79. Вместо тромави изчисления, ние пишем:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Изглежда, че сложно изчисление е извършено бързо само с използването на съкратени формули за умножение и таблица за умножение.

Друг важен момент е изборът на квадрата на бинома. Изразът 4 x 2 + 4 x - 3 може да се преобразува в 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Такива трансформации се използват широко в интеграцията.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter