Обемът на тетраедъра е извеждането на формулата. Обемът на тетраедър. Изчисляване на обема на тетраедър, ако са известни координатите на върховете му

От основната формула за обема на тетраедър

където Се площта на всяко лице и Х- височината, спусната върху него, можете да изведете цяла серия от формули, изразяващи обема по отношение на различни елементи на тетраедъра. Даваме тези формули за тетраедъра ABCD.

(2) ,

където ∠ ( АД,ABC) е ъгълът между ръба АДи лицева равнина ABC;

(3) ,

където ∠ ( ABC,ABD) е ъгълът между лицата ABCИ ABD;

където | АБ,CD| - разстояние между противоположните ребра АБИ CD, ∠ (АБ,CD) е ъгълът между тези ръбове.

Формули (2)–(4) могат да се използват за намиране на ъглите между правите и равнините; формула (4) е особено полезна, с която можете да намерите разстоянието между косите линии АБИ CD.

Формулите (2) и (3) са подобни на формулата С = (1/2)абгрях ° Сза площта на триъгълник. Формула С = rpподобна формула

където rе радиусът на вписаната сфера на тетраедъра, Σ е неговата обща повърхност (сумата от площите на всички лица). Има и красива формула, която свързва обема на тетраедър с радиус Рнеговият описан обхват ( Формула на Крел):

където Δ е площта на триъгълник, чиито страни са числено равни на произведенията на противоположните ръбове ( АБ× CD, AC× BD,АД× пр.н.е). От формула (2) и косинусовата теорема за триъгълни ъгли (вижте Сферична тригонометрия) може да се изведе формула, подобна на формулата на Херон за триъгълници.

Да разгледаме произволен триъгълник ABC и точка D, която не лежи в равнината на този триъгълник. Свържете тази точка със сегменти към върховете на триъгълника ABC. В резултат на това получаваме триъгълници ADC, CDB, ABD. Повърхността, ограничена от четири триъгълника ABC, ADC, CDB и ABD, се нарича тетраедър и се обозначава DABC.
Триъгълниците, които образуват тетраедър, се наричат ​​неговите лица.
Страните на тези триъгълници се наричат ​​ръбове на тетраедъра. И техните върхове са върхове на тетраедър

Тетраедърът има 4 лица, 6 ребраИ 4 върха.
Две ръбове, които нямат общ връх, се наричат ​​противоположни.
Често за удобство се нарича едно от лицата на тетраедъра основа, а останалите три лица са странични лица.

По този начин тетраедърът е най-простият полиедър, чиито лица са четири триъгълника.

Но също така е вярно, че всяка произволна триъгълна пирамида е тетраедър. Тогава също е вярно, че тетраедърът се нарича пирамида с триъгълник в основата си.

Височината на тетраедъранарича се сегмент, който свързва връх с точка, разположена на противоположната страна и перпендикулярна на нея.
Медиана на тетраедърнаречен сегмент, който свързва върха с точката на пресичане на медианите на противоположното лице.
Бимедиен тетраедърсе нарича сегмент, който свързва средните точки на пресичащите се ръбове на тетраедъра.

Тъй като тетраедърът е пирамида с триъгълна основа, обемът на всеки тетраедър може да се изчисли по формулата

• Се площта на всяко лице,
• Х- височината, спусната на това лице

Правилен тетраедър - специален вид тетраедър

Нарича се тетраедър, в който всички лица са равностранни триъгълници правилно.
Свойства на правилния тетраедър:

• Всички ръбове са равни.
• Всички равнинни ъгли на правилния тетраедър са 60°
• Тъй като всеки от върховете му е върхът на три правилни триъгълника, сумата от равнинните ъгли на всеки връх е 180°
• Всеки връх на правилен тетраедър се проектира в ортоцентъра на противоположната страна (до пресечната точка на височините на триъгълника).

Нека ни бъде даден правилен тетраедър ABCD с ръбове равни на a . DH е неговата височина.
Нека направим допълнителни конструкции BM - височината на триъгълника ABC и DM - височината на триъгълника ACD .
Височина BM е равна на BM и е равна
Помислете за триъгълник BDM, където DH, което е височината на тетраедъра, също е височината на този триъгълник.
Височината на триъгълник, спусната до страната MB, може да бъде намерена с помощта на формулата

, където
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Заменете тези стойности във формулата за височина. Вземи


Да извадим 1/2а. Вземи

Приложете формулата разлика на квадратите

След някои малки трансформации получаваме


Обемът на всеки тетраедър може да се изчисли по формулата
,
където ,

Замествайки тези стойности, получаваме

Така формулата за обем за правилен тетраедър е

където а– ръб на тетраедър

Изчисляване на обема на тетраедър, ако са известни координатите на върховете му

Нека ни бъдат дадени координатите на върховете на тетраедъра

Начертайте вектори от върха , , .
За да намерите координатите на всеки от тези вектори, извадете съответната начална координата от крайната. Вземи

Забележка. Това е част от урока със задачи по геометрия (секционна твърда геометрия, задачи за пирамидата). Ако трябва да решите проблем по геометрия, който не е тук - пишете за него във форума. В задачите вместо символа "квадратен корен" се използва функцията sqrt (), в която sqrt е символът за квадратен корен, а радикалният израз е посочен в скоби.За прости радикални изрази може да се използва знакът "√".. правилен тетраедъре правилна триъгълна пирамида, в която всички лица са равностранни триъгълници.

За правилен тетраедър всички диедрични ъгли при ръбовете и всички триедрични ъгли при върховете са равни

Тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба.

Основните формули за правилен тетраедър са дадени в таблицата.

Където:
S - Площ на повърхността на правилен тетраедър
V - обем
h - височина, спусната до основата
r - радиус на окръжността, вписана в тетраедъра
R - радиус на описаната окръжност
а - дължина на ребрата

Практически примери

Задача.
Намерете повърхността на триъгълна пирамида с всеки ръб равен на √3

Решение.
Тъй като всички ръбове на триъгълна пирамида са равни, това е правилно. Повърхността на правилната триъгълна пирамида е S = a 2 √3.
Тогава
S = 3√3

Отговор: 3√3

Задача.
Всички ръбове на правилна триъгълна пирамида са 4 см. Намерете обема на пирамидата

Решение.
Тъй като в правилната триъгълна пирамида височината на пирамидата е проектирана към центъра на основата, която е и центърът на описаната окръжност, тогава

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Така височината на пирамидата OM може да се намери от правоъгълния триъгълник AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Обемът на пирамидата се намира по формулата V = 1/3 Sh
В този случай намираме площта на основата по формулата S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Отговор: 16√2/3см

Определение за тетраедър

тетраедър- най-простото многогранно тяло, чиито лица и основа са триъгълници.

Онлайн калкулатор

Тетраедърът има четири лица, всяка от които е образувана от три страни. Тетраедърът има четири върха, всеки с три ръба.

Това тяло е разделено на няколко вида. По-долу е тяхната класификация.

1. Изоедрален тетраедър- всичките му лица са едни и същи триъгълници;
2. Ортоцентричен тетраедър- всички височини, изтеглени от всеки връх до противоположната страна, са еднакви по дължина;
3. Правоъгълен тетраедър- ръбовете, излизащи от един връх, образуват ъгъл от 90 градуса един спрямо друг;
4. кадър;
5. Пропорционално;
6. инцентричен.

Формули за обем на тетраедъра

Обемът на дадено тяло може да се намери по няколко начина. Нека ги анализираме по-подробно.

Чрез смесения продукт на векторите

Ако тетраедърът е изграден върху три вектора с координати:

A ⃗ = (a x, a y, a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)а= (а х​ , а г​ , а z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)б= (б х​ , б г​ , б z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)° С= (° С х​ , ° С г​ , ° С z​ ) ,

тогава обемът на този тетраедър е смесеното произведение на тези вектори, тоест такава детерминанта:

Обемът на тетраедър през детерминанта

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_zma \\ \end )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а х​ б х​ ° С х​ ​ а г​ б г​ ° С г​ ​ а z​ б z​ ° С z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Задача 1

Координатите на четирите върха на октаедъра са известни. A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 ), B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Намерете неговия обем.

Решение

A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 )
B(8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

Първата стъпка е да се определят координатите на векторите, върху които е изградено даденото тяло.
За да направите това, трябва да намерите всяка координата на вектора, като извадите съответните координати на две точки. Например векторни координати A B → \overrightarrow(AB) А Б, тоест вектор, насочен от точка А А Акъм основния въпрос B B Б, това са разликите на съответните координати на точките B B БИ А А А:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)А Б= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Сега намираме смесеното произведение на тези вектори, за това съставяме детерминанта от трети ред, като приемаме, че A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)А Б= а, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= б, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= ° С.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ 6 + (− 6) ⋅ 6 + (− 6) (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ а х​ б х​ ° Сх​ ​ аг​ бг​ ° Сг​ ​ аz​ бz​ ° Сz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Тоест обемът на тетраедъра е:

$V=61\cdot |$

Отговор

$44.8\text{см3 .}$

Формулата за обема на изоедричния тетраедър по протежение на неговата страна

Тази формула е валидна само за изчисляване на обема на изоедърен тетраедър, тоест тетраедър, в който всички лица са еднакви правилни триъгълници.

Обем на изоедъричен тетраедър

$V=12\sqrt{2\cdot {а}^3}$

а аае дължината на ръба на тетраедъра.

Задача 2

Намерете обема на тетраедъра, ако неговата страна е равна на $11\text{см.}$

Решение

$а=11$

Заместител а аавъв формулата за обема на тетраедъра:

$V=12\sqrt{2\cdot {а}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{см3}}}}}$

Отговор

$156.8\text{см3 .}$