Канонична квадратна форма. Каноничната форма на квадратичната форма. Намаляване на квадратичната форма до каноничната форма

Дадена квадратична форма (2) A(х, х) \u003d, където х = (х 1 , х 2 , …, х н). Помислете за квадратна форма в пространството R 3, т.е. х = (х 1 , х 2 , х 3), A(х, х) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(използвахме условието за симетрия на формата, а именно и 12 = и 21 , и 13 = и 31 , и 23 = и 32). Нека напишем матрицата на квадратната форма A в основата ( д}, A(д) =
... Когато основата се промени, матрицата на квадратната форма се променя според формулата A(е) = ° С т A(д)° Скъдето ° С - матрица на прехода от основата ( д) към основата ( е), и ° С т - транспонирана матрица ° С.

Определение11.12. Нарича се формата на квадратна форма с диагонална матрица канонична.

Така че нека A(е) =
тогава A"(х, х) =
+
+
където х" 1 , х" 2 , х"3 - векторни координати х на нова основа ( е}.

Определение11.13. Влезте н V е избрана такава основа е = {е 1 , е 2 , …, е н ), при която квадратичната форма има формата

A(х, х) =
+
+ … +
, (3)

където у 1 , у 2 , …, у н - векторни координати х в основата ( е). Извиква се израз (3) каноничен изглед квадратна форма. Коефициенти  1, λ 2,…, λ н са наречени канонична; се нарича основа, в която квадратната форма има канонична форма канонична основа.

Коментирайте... Ако квадратната форма A(х, х) се свежда до канонична форма, тогава, най-общо казано, не всички коефициенти  i са ненулеви. Рангът на квадратна форма е равен на ранга на нейната матрица във всякаква основа.

Нека рангът на квадратната форма A(х, х) е равно rкъдето r ≤ н... Матрица от квадратна форма в канонична форма има диагонална форма. A(е) =
тъй като неговият ранг е r, тогава сред коефициентите  i би трябвало rне е равно на нула. Оттук следва, че броят на ненулевите канонични коефициенти е равен на ранга на квадратната форма.

Коментирайте... Линейната трансформация на координатите е преход от променливи х 1 , х 2 , …, х н към променливи у 1 , у 2 , …, у н , в който старите променливи се изразяват чрез нови променливи с някои числени коефициенти.

х 1 \u003d α 11 у 1 + α 12 у 2 + ... + α 1 н у н ,

х 2 \u003d α 2 1 у 1 + α 2 2 у 2 + ... + α 2 н у н ,

………………………………

х 1 \u003d α н 1 у 1 + α н 2 у 2 + ... + α пп у н .

Тъй като всяко преобразуване на основата съответства на недегенерирана линейна трансформация на координати, въпросът за редуцирането на квадратична форма до канонична форма може да бъде решен чрез избора на подходящото недегенерирано преобразуване на координати.

Теорема 11.2 (основната теорема за квадратните форми). Всякаква квадратна форма A(х, х), дадени в н-измерно векторно пространство V, използвайки недегенерирана линейна трансформация на координати, може да бъде намалена до канонична форма.

Доказателства... (Метод на Лагранж) Идеята на този метод е последователно да допълни тринома на квадрат във всяка променлива до пълен квадрат. Ще приемем това A(х, х) ≠ 0 и в основата д = {д 1 , д 2 , …, д н ) има формата (2):

A(х, х) =
.

Ако A(х, х) \u003d 0, тогава ( а ij) \u003d 0, тоест формата вече е канонична. Формула A(х, х) може да се трансформира така, че коефициентът а 11 ≠ 0. Ако а 11 \u003d 0, тогава квадратният коефициент на друга променлива е ненулев, след това чрез преномериране на променливите е възможно да се постигне това а 11 ≠ 0. Преномерирането на променливи е недегенерирана линейна трансформация. Ако всички коефициенти на квадратите на променливите са равни на нула, тогава необходимите трансформации се получават, както следва. Нека, например, а 12 ≠ 0 (A(х, х) ≠ 0, следователно поне един коефициент а ij ≠ 0). Помислете за трансформацията

х 1 = у 1 – у 2 ,

х 2 = у 1 + у 2 ,

х i = у i , в i = 3, 4, …, н.

Тази трансформация е недегенерирана, тъй като детерминантата на нейната матрица е ненулева
= = 2 ≠ 0.

След това 2 а 12 х 1 х 2 = 2 а 12 (у 1 – у 2)(у 1 + у 2) = 2
– 2
, тоест във формата A(х, х) ще се появят квадрати от две променливи.

A(х, х) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Преобразуваме разпределената сума във формата:

A(х, х) = а 11
, (5)

докато коефициентите а ij промени на ... Помислете за недегенерирана трансформация

у 1 = х 1 + + … + ,

у 2 = х 2 ,

у н = х н .

Тогава получаваме

A(х, х) =
. (6).

Ако квадратната форма
\u003d 0, тогава въпросът за намалението A(х, х) до каноничната форма е разрешен.

Ако тази форма не е равна на нула, тогава ние повтаряме разсъжденията, като се има предвид трансформацията на координатите у 2 , …, у н и без промяна на координатите у 1. Очевидно тези трансформации няма да бъдат дегенерирани. В краен брой стъпки, квадратичната форма A(х, х) ще бъде сведена до канонична форма (3).

Коментирайте1. Желана трансформация на оригинални координати х 1 , х 2 , …, х н може да бъде получено чрез умножаване на недегенерираните трансформации, намерени в процеса на разсъждение: [ х] = A[у], [у] = Б.[z], [z] = ° С[т], тогава [ х] = AБ.[z] = AБ.° С[т], т.е. [ х] = М[т], където М = AБ.° С.

Коментирайте 2. Нека A(х, х) = A(х, х) =
+
+ …+
, където  i ≠ 0, i = 1, 2, …, r, където  1\u003e 0, λ 2\u003e 0,…, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Помислете за недегенерирана трансформация

у 1 = z 1 , у 2 = z 2 , …, у q = z q , у q +1 =
z q +1 , …, у r = z r , у r +1 = z r +1 , …, у н = z н ... Като резултат A(х, х) ще приеме формата: A(х, х) = + + … + – – … – което се нарича нормален вид квадратична форма.

Пример11.1. Канонизира квадратна форма A(х, х) = 2х 1 х 2 – 6х 2 х 3 + 2х 3 х 1 .

Решение... Защото а 11 \u003d 0, използваме трансформацията

х 1 = у 1 – у 2 ,

х 2 = у 1 + у 2 ,

х 3 = у 3 .

Тази трансформация има матрица A =
, т.е. [ х] = A[у] получаваме A(х, х) = 2(у 1 – у 2)(у 1 + у 2) – 6(у 1 + у 2)у 3 + 2у 3 (у 1 – у 2) =

2– 2– 6у 1 у 3 – 6у 2 у 3 + 2у 3 у 1 – 2у 3 у 2 = 2– 2– 4у 1 у 3 – 8у 3 у 2 .

Тъй като коефициентът при не е нула, можете да изберете квадрата на едно неизвестно, нека бъде у 1. Нека изберете всички членове, съдържащи у 1 .

A(х, х) = 2(– 2 у 1 у 3) – 2– 8у 3 у 2 = 2(– 2 у 1 у 3 + ) – 2– 2– 8у 3 у 2 = 2(у 1 – у 3) 2 – 2– 2– 8у 3 у 2 .

Нека извършим трансформация, чиято матрица е равна на Б..

z 1 = у 1 – у 3 ,  у 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = у 2 ,  у 2 = z 2 ,

z 3 = у 3 ;  у 3 = z 3 .

Б. =
, [у] = Б.[z].

Получаваме A(х, х) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Нека изберете членовете, съдържащи z 2. Ние имаме A(х, х) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Извършване на матрична трансформация ° С:

т 1 = z 1 ,  z 1 = т 1 ,

т 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = т 2 – 2т 3 ,

т 3 = z 3 ;  z 3 = т 3 .

° С =
, [z] = ° С[т].

Получено: A(х, х) = 2– 2+ 6 каноничната форма на квадратичната форма, докато [ х] = A[у], [у] = Б.[z], [z] = ° С[т], оттук [ х] = ABC[т];

AБ.° С =


=
... Формулите за преобразуване са както следва

х 1 = т 1 – т 2 + т 3 ,

х 2 = т 1 + т 2 – т 3 ,

Квадратичната форма се нарича канонична, ако всичко, т.е.

Всяка квадратична форма може да бъде сведена до канонична с помощта на линейни трансформации. На практика обикновено се използват следните методи.

1. Ортогонална трансформация на пространството:

където - собствени стойности на матрицата A.

2. Метод на Лагранж - последователен избор на перфектни квадрати. Например, ако

След това се извършва подобна процедура с квадратната форма и т. н. Ако в квадратична форма всичко е след това след предварителна трансформация случаят се свежда до разглежданата процедура. Така че, ако например, тогава поставяме

3. Метод на Якоби (в случая, когато всички големи непълнолетни са ненулеви):

Всяка права линия на равнина може да бъде дадена от уравнение от първи ред

Ax + Wu + C \u003d 0,

и константите A, B не са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича общото уравнение на правата линия.В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - линията преминава през началото

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - правата линия е успоредна на оста Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - правата линия е успоредна на оста Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - правата линия съвпада с оста Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - правата линия съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.

Може да се посочи права линия в пространството:

1) като линия на пресичане на две равнини, т.е. система от уравнения:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0; (3.2)

2) от двете си точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), тогава правата линия, преминаваща през тях, се дава от уравненията:

= ; (3.3)

3) точката M 1 (x 1, y 1, z 1), която й принадлежи, и векторът а(m, n, p), колинеарно към него. Тогава правата линия се определя от уравненията:

. (3.4)

Извикват се уравнения (3.4) канонични уравнения на линията.

Вектор а Наречен насочващ вектор на правата линия.

Получаваме параметричните уравнения на правата линия, като приравняваме всяко от съотношенията (3.4) към параметъра t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + рt. (3,5)

Решаваща система (3.2) като система от линейни уравнения по отношение на неизвестни х и у, стигаме до уравненията на линията в прогнози или да намалени уравнения на права линия:

x \u003d mz + a, y \u003d nz + b. (3.6)

От уравнения (3.6) може да се премине към канонични уравнения чрез намиране z от всяко уравнение и приравняване на получените стойности:

.

От общите уравнения (3.2) може да се премине към каноничния и по друг начин, ако намерим някаква точка от тази права и нейния вектор на посока н= [н 1 , н 2], където н 1 (A 1, B 1, C 1) и н 2 (A 2, B 2, C 2) са нормални вектори на дадени равнини. Ако един от знаменателите m, n или r в уравнения (3.4) се оказва равен на нула, тогава числителят на съответната дроб трябва да бъде зададен равен на нула, т.е. система

е еквивалентно на системата ; такава права линия е перпендикулярна на оста Ox.

Система е еквивалентно на системата x \u003d x 1, y \u003d y 1; правата линия е успоредна на оста Oz.

Всяко уравнение от първа степен по отношение на координатите x, y, z

Ax + By + Cz + D \u003d 0 (3.1)

дефинира равнина и обратно: всяка равнина може да бъде представена чрез уравнение (3.1), което се нарича равнинно уравнение.

Вектор н (A, B, C) ортогонален на равнината се нарича нормален вектор самолет. В уравнение (3.1) коефициентите A, B, C не са едновременно равни на 0.

Специални случаи на уравнение (3.1):

1. D \u003d 0, Ax + By + Cz \u003d 0 - равнината преминава през начало.

2. C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - равнината е успоредна на оста Oz.

3. C \u003d D \u003d 0, Ax + By \u003d 0 - равнината преминава през оста Oz.

4. B \u003d C \u003d 0, Ax + D \u003d 0 - равнината е успоредна на равнината на Oyz.

Уравнения на координатните равнини: x \u003d 0, y \u003d 0, z \u003d 0.

Линията може или не може да принадлежи на равнината. Той принадлежи на равнината, ако поне две от неговите точки лежат на равнината.

Ако линията не принадлежи на равнината, тя може да бъде успоредна на нея или да я пресича.

Правата линия е успоредна на равнина, ако е успоредна на друга права линия, лежаща в тази равнина.

Правата линия може да пресича равнината под различни ъгли и по-специално да бъде перпендикулярна на нея.

Точка по отношение на равнина може да бъде разположена по следния начин: принадлежат или не принадлежат към нея. Точка принадлежи на равнина, ако се намира на права линия, разположена в тази равнина.

В пространството две линии могат или да се пресичат, или да са успоредни, или да се пресичат.

Паралелизмът на отсечките от линии се запазва в проекции.

Ако линиите се пресичат, точките на пресичане на едноименните им проекции са на една и съща комуникационна линия.

Кръстосаните линии не принадлежат към една и съща равнина, т.е. не се пресичат или успоредят.

на чертежа проекциите на едноименните линии, взети отделно, имат знаци на пресичащи се или успоредни линии.

Елипса. Елипсата е място на точки, за които сумата от разстоянията до две неподвижни точки (фокуси) е една и съща постоянна стойност за всички точки на елипсата (тази постоянна стойност трябва да е по-голяма от разстоянието между фокусите).

Най-просто уравнение на елипса

където а - полу-голяма ос на елипсата, б е полу-малката ос на елипсата. Ако 2 ° С е разстоянието между огнищата, след това между а, б и ° С (ако а > б) има връзка

а 2 - б 2 = ° С 2 .

Ексцентриситетът на елипсата е съотношението на разстоянието между фокусите на тази елипса към дължината на нейната основна ос

Елипсата има ексцентричност д < 1 (так как ° С < а), а фокусите му лежат върху главната ос.

Уравнението на хиперболата, показано на фигурата.

Параметри:
a, b - полуоси;
- разстояние между фокусите,
- ексцентричност;
- асимптоти;
- директори.
Правоъгълникът, показан в центъра на фигурата, е основният правоъгълник, неговите диагонали са асимптоти.