Тестове за делимост на числата- това са правилата, които дават възможност, без да се дели, сравнително бързо да се установи дали това число се дели на дадено без остатък.
Някои от критерии за делимост съвсем просто, някои по-трудно. На тази страница ще намерите както критериите за делимост за прости числа, като например 2, 3, 5, 7, 11, така и критериите за делимост за съставни числа, като 6 или 12.
Надявам се тази информация да ви бъде полезна.
Приятно учене!

Делимост с 2

Това е един от най-простите критерии за делимост. Звучи така: ако записът на естествено число завършва с четна цифра, то той е четен (дели се на 2 без остатък), а ако записът на число завършва с нечетна цифра, тогава това число е нечетно.
С други думи, ако последната цифра от числото е 2 , 4 , 6 , 8 или 0 - числото се дели на 2, ако не, то не се дели
Например числа: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 се делят на 2, защото са четни.
И числа: 23 5 , 137 , 2303
не се делят на 2, защото са нечетни.

Делимост от 3

Този критерий за делимост има напълно различни правила: ако сборът от цифрите на числото се дели на 3, то числото също се дели на 3; ако сборът от цифрите на число не се дели на 3, то числото не се дели и на 3.
Така че, за да разберете дали числото се дели на 3, просто трябва да съберете числата, от които се състои.
Изглежда така: 3987 и 141 се делят на 3, защото в първия случай 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - делимо на 3 без остак), а във втория 1 + 4 + 1 \u003d 6 (6: 3 \u003d 2 - също делимо на 3 без остак).
Но числата: 235 и 566 не се делят на 3, защото 2 + 3 + 5 \u003d 10 и 5 + 6 + 6 \u003d 17 (и знаем, че нито 10, нито 17 се делят на 3 без остатък).

Делимост с 4

Този критерий за делимост ще бъде по-сложен. Ако последните 2 цифри от числото образуват число, което се дели на 4 или е 00, то числото се дели на 4, в противен случай това число не се дели на 4 без остатък.
Например: 1 00 и 3 64 се делят на 4, тъй като в първия случай броят завършва на 00 , а във втория на 64 , което от своя страна се дели на 4 без остатък (64: 4 \u003d 16)
Числа 3 57 и 8 86 не се делят на 4, защото и двете 57 нито 86 не се делят на 4, което означава, че не отговарят на дадения критерий за делимост.

Делимост с 5

И отново имаме доста прост знак за делимост: ако записът на естествено число завършва с цифра 0 или 5, то това число се дели без остатък на 5. Ако записът на число завършва с друга цифра, тогава числото не се дели на 5 без остатък.
Това означава, че всички числа, завършващи с цифри 0 и 5 например 1235 5 и 43 0 , попадат под правилото и се делят на 5.
И например 1549 година 3 и 56 4 не завършват на 5 или 0, което означава, че не могат да се делят на 5 без остатък.

Делимост с 6

Пред нас е съставно число 6, което е произведение на числата 2 и 3. Следователно делимостта на 6 също е съставна: за да може числото да се дели на 6, то трябва да съответства на две характеристики на делимост едновременно: делимостта на 2 и характеристиката на делимостта на 3. В същото време имайте предвид, че такова съставно число като 4 има индивидуален знак за делимост, защото само по себе си е произведение на числото 2. Но да се върнем към делимостта по 6 критерия.
Числата 138 и 474 са четни и отговарят на критериите за делимост на 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 и 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), което означава, че се делят на 6. Но 123 и 447, въпреки че се делят на 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 и 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), но са странни, което означава, че не отговарят на критерия за делимост на 2, и следователно не отговарят на критерия за делимост от 6.

Делимост от 7

Този критерий за делимост е по-сложен: число се дели на 7, ако резултатът от изваждането на последната удвоена цифра от десетките на това число се дели на 7 или е равен на 0.
Звучи доста объркващо, но на практика просто. Вижте сами: числото 95 9 се дели на 7, защото 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 се дели на 7 без остатък). Освен това, ако възникнаха трудности с броя, получен по време на трансформациите (поради неговия размер е трудно да се разбере дали се дели на 7 или не, тогава тази процедура може да продължи толкова пъти, колкото сметнете за необходимо).
Например, 45 5 и 4580 1 имат признаци на делимост на 7. В първия случай всичко е съвсем просто: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. Във втория случай ще направим това: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Трудно ни е да разберем дали 457 8 на 7, така че нека повторим процеса: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. И отново ще използваме критерия за делимост, тъй като все още имаме трицифрено число 44 1. И така, 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, т.е. 42 се дели на 7 без остатък, което означава, че 45801 се дели на 7.
Но цифрите 11 1 и 34 5 не се дели на 7, защото 11 -2 * 1 \u003d 11 - 2 \u003d 9 (9 не се дели равномерно на 7) и 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 не се дели равномерно на 7).

Делимост от 8

Делимостта на 8 е следната: ако последните 3 цифри образуват число, което се дели на 8 или 000, тогава даденото число се дели на 8.
Числа 1 000 или 1 088 делими на 8: първата завършва на 000 , секундата 88 : 8 \u003d 11 (делимо на 8 без остатък).
Но числата 1 100 или 4 757 не се делят на 8, тъй като числата 100 и 757 не се делят равномерно на 8.

Делимост с 9

Този знак за делимост е подобен на знака за делимост с 3: ако сборът от цифрите на число се дели на 9, то числото също се дели на 9; ако сборът от цифрите на число не се дели на 9, то числото не се дели и на 9.
Например: 3987 и 144 се делят на 9, защото в първия случай 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - делимо на 9 без остак), а във втория 1 + 4 + 4 \u003d 9 (9: 9 \u003d 1 - също делимо на 9 без остак).
Но числата: 235 и 141 не се делят на 9, защото 2 + 3 + 5 \u003d 10 и 1 + 4 + 1 \u003d 6 (и знаем, че нито 10, нито 6 се дели на 9 без остатък).

Делимост на 10, 100, 1000 и други битови единици

Комбинирах тези признаци на делимост, защото те могат да бъдат описани по същия начин: числото се разделя на битова единица, ако броят на нулите в края на числото е по-голям или равен на броя на нулите в дадена битова единица.
С други думи, например, имаме числа като това: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... от които всички се делят на 1 0 ; 46400 и 867 000 също са разделени на 1 00 ; и само един от тях - 867 000 делими на 1 000 .
Всички числа, които имат по-малко нули в края от битова единица, не се делят на тази битова единица, например 600 30 и 7 93 не се дели 1 00 .

Делимост с 11

За да разберете дали числото се дели на 11, трябва да получите разликата между сумите на четните и нечетните цифри на това число. Ако тази разлика е равна на 0 или се дели на 11 без остатък, тогава самото число се дели на 11 без остатък.
За да стане по-ясно, предлагам да разгледаме примери: 2 35 4 се дели на 11, защото ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 също се дели на 11, тъй като ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Но 1 1 1 или 4 35 4 не се дели на 11, тъй като в първия случай получаваме (1 + 1) - 1 \u003d 1, а във втория ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Делимост с 12

Числото 12 е сложно. Неговият критерий за делимост е съответствието на критериите за делимост едновременно с 3 и 4.
Например 300 и 636 съответстват както на знаците на делимост с 4 (последните 2 цифри са нули или се делят на 4), така и на знаците на делимост на 3 (сумата от цифрите и първият и трикратният брой се делят на 3), а ако е, те се делят на 12 без остатък.
Но 200 или 630 не се делят на 12, тъй като в първия случай числото отговаря само на делимостта на 4, а във втория - само на делимостта на 3. но не и на двата знака едновременно.

Делимост с 13

Знакът на делимостта с 13 е, че ако броят на десетките на число, добавено с умножено по 4 единици от това число, е кратно на 13 или равно на 0, то самото число се дели на 13.
Вземете например 70 2. И така, 70 + 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 се дели на 13 без остатък), което означава 70 2 се дели на 13 без остатък. Друг пример е числото 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Числото 130 се дели на 13 без остатък, което означава, че посоченото число отговаря на критерия за делимост на 13.
Ако вземем числата 12 5 или 21 2, тогава получаваме 12 + 4 * 5 \u003d 32 и 21 + 4 * 2 \u003d 29, съответно и нито 32, нито 29 не се делят на 13 без остатък, което означава, че дадените числа не се делят равномерно на 13.

Делимост на числата

Както може да се види от горното, може да се приеме, че за някой от естествени числа можете да изберете своя собствена функция за делимост или „съставна“ функция, ако числото е кратно на няколко различни числа. Но както показва практиката, като цяло, колкото по-голям е броят, толкова по-сложен е неговият знак. Може би времето, прекарано за проверка на критерия за делимост, може да бъде равно или по-голямо от самото деление. Затова обикновено използваме най-простите критерии за делимост.

Статията разглежда концепцията за разделяне на цели числа с остатък. Нека докажем теоремата за делимостта на цели числа с остатък и да разгледаме връзките между дивиденти и делители, непълни коефициенти и остатъци. Нека разгледаме правилата, когато се извършва разделяне на цели числа с остатъци, като разгледаме подробно примери. В края на решението, нека проверим.

Разбиране на оставащото цяло разделение

Деление на цели числа с остатък се счита за обобщено деление с остатък от естествени числа. Това се прави, защото естествените числа са неразделна част от целите числа.

Деление с остатъка от произволно число означава, че цялото число a се дели на ненулево число b. Ако b \u003d 0, тогава не се извършва разделяне на остатъка.

Освен разделяне на естествени числа с остатък, се извършва и разделяне на цели числа a и b, ако b е различно от нула, на c и d. В този случай a и b се наричат \u200b\u200bдивидент и делител, а d е остатъкът от делението, c е цяло число или непълен коефициент.

Ако приемем, че остатъкът е неотрицателно цяло число, тогава неговата стойност не е по-голяма от модула на числото b. Нека напишем по този начин: 0 ≤ d ≤ b. Тази верига от неравенства се използва при сравняване на 3 или повече числа.

Ако c е непълен коефициент, тогава d е остатъкът от разделянето на цяло число a на b, можете за кратко да поправите: a: b \u003d c (остатък d).

Остатъкът при разделяне на числа a на b е възможно нула, тогава те казват, че a се дели на b напълно, тоест без остатък. Делението без остатък се счита за частен случай на разделяне.

Ако разделим нулата на някакво число, в резултат получаваме нула. Останалата част от делението също ще бъде нула. Това може да се проследи до теорията за разделяне на нулата на цяло число.

Сега нека разгледаме значението на разделянето на цели числа с остатък.

Известно е, че положителните цели числа са естествени, тогава при деление с остатък получавате същото значение, както при разделяне на естествени числа с остатък.

Когато разделя отрицателно цяло число a на положително цяло число b има смисъл. Нека разгледаме един пример. Представете си ситуация, при която имаме дълг на вещи в размер на а, който трябва да бъде изплатен от b хора. Това изисква всички да дадат същия принос. За да определите размера на дълга за всеки, трябва да обърнете внимание на размера на частните s. Остатъкът d казва, че броят на артикулите е известен след изплащане на дълговете.

Да вземем пример с ябълките. Ако 2 души се нуждаят от 7 ябълки. Ако преброите, че всеки трябва да върне 4 ябълки, след пълното изчисление те ще имат 1 ябълка. Нека напишем това под формата на равенство: (- 7): 2 \u003d - 4 (o с точка 1).

Разделянето на произволно число a на цяло число няма смисъл, но е възможно като опция.

Теорема за делимост за цели числа с остатък

Открихме, че a е дивидент, след това b е делител, c е непълен коефициент и d е остатък. Те са свързани помежду си. Ще покажем тази връзка, използвайки равенството a \u003d b c + d. Връзката между тях се характеризира с остатъчната теорема за делимост.

Теорема

Всяко цяло число може да бъде представено само чрез цяло число и ненулево число b по този начин: a \u003d b q + r, където q и r са някои цели числа. Тук имаме 0 ≤ r ≤ b.

Нека докажем възможността за съществуването на a \u003d b q + r.

Доказателства

Ако има две числа a и b и a се дели на b без остатък, тогава от дефиницията следва, че има число q, което ще бъде вярно равенството a \u003d b q. Тогава равенството може да се счита за вярно: a \u003d b q + r за r \u003d 0.

Тогава е необходимо да вземем q такова, че дадено от неравенството b q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Имаме, че стойността на израза a - b q е по-голяма от нула и не по-голяма от стойността на числото b, следва, че r \u003d a - b q. Получаваме, че числото a може да бъде представено като a \u003d b q + r.

Сега е необходимо да се разгледа възможността за представяне на a \u003d b q + r за отрицателни стойности на b.

Абсолютната стойност на числото се оказва положителна, тогава получаваме a \u003d b q 1 + r, където стойността q 1 е някакво цяло число, r е цяло число, което отговаря на условието 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Доказателство за уникалност

Да предположим, че a \u003d bq + r, q и r са цели числа с истинското условие 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 и r 1 са някои числа, където q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1< b .

Когато неравенството се извади от лявата и дясната страна, тогава получаваме 0 \u003d b · (q - q 1) + r - r 1, което е еквивалентно на r - r 1 \u003d b · q 1 - q. Тъй като се използва модулът, получаваме равенството r - r 1 \u003d b q 1 - q.

Даденото условие казва, че 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qи q 1- цели числа и q ≠ q 1, тогава q 1 - q ≥ 1. Следователно имаме, че b q 1 - q ≥ b. Получените неравенства r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

От това следва, че числото a не може да бъде представено по никакъв друг начин, освен с такава нотация a \u003d b q + r.

Връзка между дивидент, делител, непълен коефициент и остатък

Използвайки равенството a \u003d b c + d, можете да намерите неизвестния дивидент a, когато познавате делителя b с непълен коефициент c и остатък d.

Пример 1

Определете дивидента, ако при деление получим - 21, непълен коефициент 5 и остатък 12.

Решение

Необходимо е да се изчисли дивидентът a с известния делител b \u003d - 21, непълен коефициент c \u003d 5 и остатък d \u003d 12. Трябва да се обърнем към равенството a \u003d b c + d, от което получаваме a \u003d (- 21) 5 + 12. При спазване на реда на извършване на действията умножаваме - 21 по 5, след което получаваме (- 21) 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93.

Отговор: - 93 .

Връзката между делителя и непълния коефициент и остатъка може да бъде изразена с помощта на равенствата: b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b и d \u003d a - b c. С тяхна помощ можем да изчислим делителя, частичния коефициент и остатъка. Това се свежда до постоянно намиране на остатъка след разделяне на цяло число a на b с известен дивидент, делител и непълен коефициент. Формулата се прилага d \u003d a - b c. Нека разгледаме подробно решението.

Пример 2

Намерете остатъка от разделяне на цяло число - 19 на цяло число 3 с известен непълен коефициент, равен на - 7.

Решение

За да изчислите остатъка от делението, приложете формула като d \u003d a - b · c. По условие всички данни са на разположение a \u003d - 19, b \u003d 3, c \u003d - 7. От това получаваме d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (разликата е 19 - (- 21). Този пример се изчислява по правилото за изваждане цяло число отрицателно число.

Отговор: 2 .

Всички положителни цели числа са естествени. От това следва, че разделянето се извършва съгласно всички правила за разделяне с остатъка от естествените числа. Скоростта на деление с остатъка от естествените числа е важна, тъй като не само делението на положителните, но и правилата за разделяне на произволни цели числа се основават на него.

Най-удобният метод за разделяне е колона, тъй като е по-лесно и по-бързо да се получи непълен или просто коефициент с остатък. Нека разгледаме решението по-подробно.

Пример 3

Разделете 14671 на 54.

Решение

Това разделяне трябва да се извърши в колона:

Тоест, непълният коефициент се оказва 271, а остатъкът е 37.

Отговор: 14 671: 54 \u003d 271. (спирка 37)

Правилото за разделяне с остатък от положително цяло число на отрицателно цяло число, примери

За да разделите с положителен остатък на отрицателно цяло число, трябва да формулирате правило.

Определение 1

Непълен коефициент от разделяне на положително цяло число a на отрицателно цяло число b, получаваме число, което е противоположно на непълното коефициент от разделяне на абсолютните стойности на числа a на b. Тогава остатъкът е равен на остатъка, когато a се дели на b.

Следователно имаме, че непълното частно от разделянето на цяло число положително число на цяло число отрицателно число се счита за неположително цяло число.

Получаваме алгоритъма:

• разделяме модула на делимото на модула на делителя, тогава получаваме непълен коефициент и
• останалата част;
• записваме числото, противоположно на полученото.

Нека разгледаме пример за алгоритъма за разделяне на положително цяло число на отрицателно цяло число.

Пример 4

Разделете с остатък от 17 на - 5.

Решение

Нека приложим алгоритъма на деление с остатъка от положително цяло число на отрицателно цяло число. Трябва да разделите 17 на - 5 по модул. От това получаваме, че непълното коефициент е 3, а остатъкът е 2.

Получаваме, че необходимото число от разделянето на 17 на - 5 \u003d - 3 с остатък 2.

Отговор: 17: (- 5) \u003d - 3 (почивка 2).

Пример 5

Разделете 45 на - 15.

Решение

Необходимо е числата да се разделят по модул. Разделете числото 45 на 15, получаваме коефициента 3 без остатък. Това означава, че числото 45 се дели на 15 без остатък. В отговора получаваме - 3, тъй като разделянето е извършено по модул.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Отговор: 45: (− 15) = − 3 .

Формулировката на правилото за разделяне с остатък е както следва.

Определение 2

За да получите непълен коефициент c при разделяне на отрицателно цяло число a на положително b, трябва да приложите обратното на даденото число и да извадите 1 от него, тогава остатъкът d ще се изчисли по формулата: d \u003d a - b · c.

Въз основа на правилото можем да заключим, че при разделяне получаваме неотрицателно цяло число. За точността на решението се използва алгоритъмът за разделяне на a с b с остатък:

• намерете модулите на дивидента и делителя;
• разделяне на модул;
• запишете противоположното число и извадете 1;
• използвайте формулата за остатъка d \u003d a - b c.

Нека разгледаме пример за решение, където се прилага този алгоритъм.

Пример 6

Намерете непълното коефициент и остатъка от делението - 17 на 5.

Решение

Разделете дадените числа по модул. Получаваме, че при разделяне на коефициента е 3, а остатъкът е 2. Тъй като получихме 3, обратното е 3. Трябва да извадите 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Получаваме желаната стойност, равна на - 4.

За да изчислите остатъка, имате нужда от a \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, след това d \u003d a - b c \u003d - 17 - 5 (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Това означава, че непълното коефициент на деление е числото - 4 с остатък, равен на 3.

Отговор: (- 17): 5 \u003d - 4 (почивка. 3).

Пример 7

Разделете отрицателното цяло число 1404 на положителното 26.

Решение

Необходимо е да се раздели на колона и на муле.

Получихме разделението на абсолютните стойности на числата без остатък. Това означава, че разделянето се извършва без остатък, а желаният коефициент \u003d - 54.

Отговор: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Правило на деление с остатък от отрицателни цели числа, примери

Необходимо е да се формулира правило за деление с остатък от отрицателни цели числа.

Определение 3

За да се получи непълен коефициент c от разделяне на отрицателно цяло число a на цяло число отрицателно b, е необходимо да се извършат изчисления по модул, след това да се добави 1, след което можем да извършим изчисления, използвайки формулата d \u003d a - b · c.

От това следва, че непълният коефициент от разделянето на отрицателни цели числа ще бъде положително число.

Нека формулираме това правило под формата на алгоритъм:

• намерете модулите на дивидента и делителя;
• разделете модула на делимото на модула на делителя, за да получите непълен коефициент с
• останалата част;
• добавяне на 1 към непълния коефициент;
• изчисляване на остатъка въз основа на формулата d \u003d a - b · c.

Нека разгледаме този алгоритъм на пример.

Пример 8

Намерете непълното частно и остатъка при разделяне - 17 на - 5.

Решение

За коректността на решението ще приложим алгоритъма за разделяне с остатък. Първо разделете числата по модул. Оттук получаваме, че непълният коефициент \u003d 3, а остатъкът е 2. Съгласно правилото е необходимо да се добави непълният коефициент и 1. Получаваме, че 3 + 1 \u003d 4. От това получаваме, че непълното коефициент на разделението на дадените числа е 4.

За да изчислим остатъка, ще използваме формулата. По хипотеза имаме, че a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, след това, използвайки формулата, получаваме d \u003d a - b c \u003d - 17 - (- 5) 4 \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Желаният отговор, т.е. остатъкът, е 3, а непълният коефициент е 4.

Отговор: (- 17): (- 5) \u003d 4 (почивка 3).

Проверка на резултата от разделянето на цели числа с остатък

След извършване на разделяне на числа с остатък, трябва да проверите. Тази проверка включва 2 етапа. Първо, остатъкът d се проверява за неотрицателност, условието 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Нека разгледаме някои примери.

Пример 9

Разделението беше направено - 521 от - 12. Съотношението е 44, а остатъкът е 7. Проверете.

Решение

Тъй като остатъкът е положително число, стойността му е по-малка от модула на делителя. Делителят е - 12, което означава, че модулът му е 12. Можете да продължите към следващия контролен пункт.

По хипотеза имаме, че a \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7. Оттук изчисляваме b c + d, където b c + d \u003d - 12 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. Оттук следва, че равенството е вярно. Проверката премина.

Пример 10

Извършете проверка на разделянето (- 17): 5 \u003d - 3 (почивка - 2). Вярно ли е равенството?

Решение

Смисълът на първия етап е, че е необходимо да се провери разделянето на цели числа с остатък. Следователно е ясно, че действието е извършено неправилно, тъй като остатъкът е даден, равен на - 2. Остатъкът не е отрицателен.

Имаме, че второто условие е изпълнено, но недостатъчно за този случай.

Отговор: не.

Пример 11

Число - 19, разделено на - 3. Непълният коефициент е 7, а остатъкът е 1. Проверете дали изчислението е правилно.

Решение

Даден е остатък от 1. Той е позитивен. Той е по-малък от разделителния модул, което означава, че се изпълнява първият етап. Нека да преминем към втория етап.

Нека изчислим стойността на израза b c + d. По хипотеза имаме, че b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, следователно, замествайки числовите стойности, получаваме b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20 От това следва, че a \u003d b c + d равенството не се изпълнява, тъй като условието дава a \u003d - 19.

Оттук и заключението, че разделянето е направено с грешка.

Отговор: не.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

В тази статия ще анализираме разделяне на цели числа с остатък... Нека да започнем с общия принцип на разделяне на цели числа с остатък, да формулираме и докажем теорема за делимостта на цели числа с остатък, да проследим връзките между дивидента, делителя, непълния коефициент и остатъка. След това ще озвучим правилата, по които се извършва разделянето на цели числа с остатък, и ще разгледаме прилагането на тези правила при решаване на примери. След това ще научим как да проверяваме резултата от разделянето на цели числа с остатък.

Навигация по страници.

Разбиране на оставащото цяло разделение

Ще разгледаме разделянето на цели числа с остатък като обобщение на разделението с остатък от естествени числа. Това се дължи на факта, че естествените числа са неразделна част от цели числа.

Нека започнем с термините и обозначенията, които се използват в описанието.

По аналогия с разделянето на естествените числа с остатък ще приемем, че резултатът от разделението с остатък от две цели числа a и b (b не е равно на нула) са две цели числа c и d. Извикват се числата a и b делими и разделител съответно числото d - останалата част от разделяне на a на b и се извиква цялото число c непълна частна (или просто частниако остатъкът е нула).

Нека се съгласим да приемем, че остатъкът е неотрицателно цяло число и стойността му не надвишава b, т.е. (срещнахме такива вериги от неравенства, когато говорихме за сравняване на три или повече цели числа).

Ако числото c е непълен коефициент, а числото d е остатъкът от разделянето на цяло число a на цяло число b, тогава накратко ще запишем този факт като равенство на формата a: b \u003d c (остатък d).

Имайте предвид, че при разделяне на цяло число a на цяло b, остатъкът може да бъде нула. В този случай се казва, че a се дели на b без остатък (или изцяло). По този начин разделянето на цели числа без остатък е специален случай на разделяне на цели числа с остатък.

Също така си струва да се каже, че когато делим нула на някакво цяло число, ние винаги се справяме с деление без остатък, тъй като в този случай коефициентът ще бъде равен на нула (вижте теоретичния раздел за разделяне на нулата на цяло число), а остатъкът също ще бъде равен на нула.

Решихме терминологията и обозначенията, сега нека разберем значението на разделянето на цели числа с остатък.

Разделянето на отрицателно цяло число a на положително цяло число b също може да има смисъл. За целта разгледайте отрицателно цяло число като дълг. Нека си представим следната ситуация. Дългът, който съставлява предметите, трябва да бъде изплатен от b лица, като направи същия принос. Абсолютна стойност непълна частна c в този случай ще определи размера на дълга на всеки от тези хора, а останалата част d ще покаже колко елементи ще останат след изплащането на дълга. Нека дадем пример. Да кажем, че 2 души се нуждаят от 7 ябълки. Ако приемем, че всеки от тях дължи 4 ябълки, то след изплащане на дълга ще имат 1 ябълка. Тази ситуация отговаря на равенството (−7): 2 \u003d −4 (почивка 1).

Няма да придадем никакво значение на разделението с остатъка от произволно цяло число a на отрицателно цяло число, но ще го оставим с правото да съществува.

Теорема за делимост за цели числа с остатък

Когато говорихме за разделяне на естествени числа с остатък, установихме, че дивидент a, делител b, непълен коефициент c и остатък d са свързани с равенството a \u003d b c + d. Целите числа a, b, c и d споделят една и съща връзка. Тази връзка се одобрява от следното теорема за делимостта на остатъка.

Теорема.

Всяко цяло число a може да бъде представено уникално чрез цяло число и ненулево число b във формата a \u003d b q + r, където q и r са някои цели числа и.

Доказателства.

Първо, ние доказваме възможността да представим a \u003d b q + r.

Ако целите числа a и b са такива, че a е равномерно делимо на b, тогава по дефиниция съществува цяло число q такова, че a \u003d b q. В този случай равенството a \u003d bq + r е валидно за r \u003d 0.

Сега ще приемем, че b е положително цяло число. Изберете цяло число q, така че произведението b q не надвишава a, а произведението b (q + 1) вече е по-голямо от a. Тоест, приемаме q такова, че неравенствата b q

Остава да се докаже възможността за представяне на a \u003d b q + r за отрицателно b.

Тъй като модулът на числото b в този случай е положително число, тогава има представяне, където q 1 е някакво цяло число, а r е цяло число, отговарящо на условията. След това, като вземем q \u003d −q 1, получаваме необходимото представяне a \u003d b q + r за отрицателно b.

Преминаваме към доказателството за уникалност.

Да предположим, че в допълнение към представянето a \u003d bq + r, q и r са цели числа и има още едно представяне a \u003d bq 1 + r 1, където q 1 и r 1 са някои цели числа и q 1 ≠ q и.

След изваждане от лявата и дясната страна на първото равенство, съответно лявата и дясната страна на второто равенство, получаваме 0 \u003d b (q - q 1) + r - r 1, което е еквивалентно на равенството r - r 1 \u003d b (q 1 −q) ... Тогава равенство на формата , и по силата на свойствата на модула на число, равенството .

От условията и можем да заключим, че. Тъй като q и q 1 са цели числа и q ≠ q 1, откъдето заключаваме, че ... От получените неравенства и от това следва, че равенство на формата невъзможно според нашето предположение. Следователно няма друго представяне на числото a, с изключение на a \u003d b q + r.

Връзки между дивидент, делител, непълен коефициент и остатък

Равенството a \u003d b c + d ви позволява да намерите неизвестния дивидент a, ако знаете делителя b, непълния коефициент c и остатъка d. Нека разгледаме един пример.

Пример.

Какъв е дивидентът, ако разделянето му на цяло число −21 доведе до непълен коефициент 5 и остатък от 12?

Решение.

Трябва да изчислим дивидента a, когато знаем делителя b \u003d −21, частичния коефициент c \u003d 5 и остатъка d \u003d 12. Обръщайки се към равенството a \u003d b c + d, получаваме a \u003d (- 21) 5 + 12. Наблюдавайки, първо умножаваме целите числа -21 и 5 според правилото за умножаване на цели числа с различни знаци, след което добавяме цели числа с различни знаци: (-21) 5 + 12 \u003d -105 + 12 \u003d -93.

Отговор:

−93 .

Връзките между дивидента, делителя, частичния коефициент и остатъка също се изразяват чрез равенства във формата b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b и d \u003d a - b · c. Тези равенства позволяват изчисляване на делител, частичен коефициент и остатък, съответно. Често трябва да намерим остатъка от разделянето на цяло число a на цяло b, когато дивидентът, делителят и частичното коефициент са известни, използвайки формулата d \u003d a - b · c. За да избегнем допълнителни въпроси, нека разгледаме пример за изчисляване на остатъка.

Пример.

Намерете остатъка от разделянето на цялото число -19 на цялото число 3, ако знаете, че частичното коефициент е -7.

Решение.

За да изчислим остатъка от делението, използваме формула с формата d \u003d a - b · c. От условието имаме всички необходими данни a \u003d −19, b \u003d 3, c \u003d −7. Получаваме d \u003d a - b c \u003d −19−3 (−7) \u003d −19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (разликата −19 - (- 21) изчисляваме по правилото за изваждане на отрицателно цяло число ).

Отговор:

Деление с остатък от положителни цели числа, примери

Както сме отбелязвали повече от веднъж, положителните цели числа са естествени числа. Следователно разделянето с остатък от положителни цели числа се извършва съгласно всички правила за разделяне с остатък от естествени числа. Много е важно да можете лесно да извършвате деление с остатъка от естествените числа, тъй като именно това деление лежи в основата не само на делението на положителни цели числа, но и в основата на всички правила за деление с останалата част от произволни цели числа.

От наша гледна точка е най-удобно да се извършва дълго деление, този метод ви позволява да получите както непълния коефициент (или само коефициент), така и остатъка. Да разгледаме пример за разделяне с остатък от положителни цели числа.

Пример.

Разделете 14 671 на 54 с остатъка.

Решение.

Нека разделим тези положителни числа на колона:

Частичният коефициент се оказа 271, а остатъкът е 37.

Отговор:

14 671: 54 \u003d 271 (почивка 37).

Правилото за разделяне с остатък от положително цяло число на отрицателно цяло число, примери

Нека формулираме правило, което позволява извършването на деление с остатък от положително цяло число на отрицателно цяло число.

Непълният коефициент на разделяне на положително цяло число a на отрицателно цяло число b е обратното на непълното коефициент на разделяне на a на модула на b, а остатъкът от разделянето на a на b е равен на остатъка от делението на.

От това правило следва, че непълното частно от разделянето на положително цяло число на отрицателно цяло число е неположително цяло число.

Нека преработим обявеното правило в алгоритъм за разделяне с остатъка от положително цяло число на отрицателно цяло число:

• Разделяме модула на делимото на модула на делителя, получаваме непълен коефициент и остатък. (Ако остатъкът е равен на нула, тогава първоначалните числа се делят без остатък и според правилото за разделяне на цели числа с противоположни знаци, желаният коефициент е равен на броя, противоположен на коефициента на модулното деление.)
• Записваме числото, противоположно на получения непълен коефициент, и остатъка. Тези числа са съответно желаният коефициент и остатъкът от разделянето на първоначалното положително число на отрицателно цяло число.

Нека дадем пример за използване на алгоритъма за разделяне на положително цяло число на отрицателно цяло число.

Пример.

Разделете положителното цяло число 17 на отрицателното цяло число -5.

Решение.

Нека използваме алгоритъма на деление с остатъка от положително цяло число на отрицателно цяло число.

Разделяне

Обратното на 3 е −3. По този начин желаният частичен коефициент на разделяне на 17 на −5 е −3, а остатъкът е 2.

Отговор:

17: (- 5) \u003d - 3 (почивка 2).

Пример.

Разделям 45 до -15.

Решение.

Модулите на дивидента и делителя са съответно 45 и 15. Числото 45 се дели на 15 без остатък, докато коефициентът е 3. Следователно положителното цяло число 45 се дели на отрицателното цяло число -15 без остатък, а коефициентът е равен на обратното на 3, т.е. Всъщност, според правилото за разделяне на цели числа с различни знаци, имаме.

Отговор:

45:(−15)=−3 .

Деление с остатък от отрицателно цяло число на положително цяло число, примери

Нека дадем формулировката на правилото за деление с остатъка от отрицателно цяло число с положително цяло число.

За да получите непълен коефициент c от разделянето на отрицателно цяло число a на положително цяло число b, трябва да вземете обратното на непълното коефициент от разделяне на модулите на оригиналните числа и да извадите един от него, след което да изчислите остатъка d по формулата d \u003d a - b c.

От това правило за разделяне с остатък следва, че непълният коефициент на разделяне на отрицателно цяло число на положително цяло число е отрицателно цяло число.

От озвученото правило следва алгоритъма за разделяне с остатъка от отрицателно цяло число a на положително цяло число b:

• Намерете модулите на дивидента и делителя.
• Разделяме модула на делимото на модула на делителя, получаваме непълен коефициент и остатък. (Ако остатъкът е нула, тогава първоначалните цели числа се делят без остатък, а желаният коефициент е равен на числото, противоположно на коефициента на модулно деление.)
• Записваме числото, противоположно на получения непълен коефициент и изваждаме числото 1 от него. Изчисленото число е необходимият непълен коефициент c от разделянето на първоначалното отрицателно цяло число на положително цяло число.

Нека анализираме решението на примера, в който използваме писмения алгоритъм на деление с остатък.

Пример.

Намерете непълното частно и остатъка от отрицателното цяло число -17, разделено на положителното цяло число 5.

Решение.

Модулът на дивидента -17 е 17, а модулът на делителя 5 е 5.

Разделяне 17 по 5, получаваме непълен коефициент 3 и остатък 2.

Обратното на 3 е −3. Извадете едно от −3: −3−1 \u003d −4. И така, необходимият непълен коефициент е −4.

Остава да се изчисли остатъкът. В нашия пример a \u003d −17, b \u003d 5, c \u003d −4, след това d \u003d a - b c \u003d −17−5 (−4) \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

По този начин частичният коефициент на разделяне на отрицателно цяло число -17 на положително цяло число 5 е -4, а остатъкът е 3.

Отговор:

(−17): 5 \u003d −4 (почивка 3).

Пример.

Разделете отрицателното цяло число -1404 на положителното цяло число 26.

Решение.

Модулът на дивидента е 1 404, модулът на делителя е 26.

Разделете 1 404 на 26 с колона:

Тъй като модулът на дивидента е разделен на модула на делителя без остатък, оригиналните цели числа са делими без остатък и желаният коефициент е равен на числото, противоположно на 54, т.е. -54.

Отговор:

(−1 404):26=−54 .

Правило на деление с остатък от отрицателни цели числа, примери

Нека формулираме правилото за разделяне с остатък от отрицателни цели числа.

За да получите непълен коефициент c от разделяне на отрицателно цяло число a на цяло число отрицателно число b, трябва да изчислите непълното коефициент от разделяне на модулите на оригиналните числа и да добавите един към него, след което да изчислите остатъка d по формулата d \u003d a - b c.

От това правило следва, че непълното частно от разделянето на отрицателните цели числа е положително цяло число.

Нека пренапишем посоченото правило като алгоритъм за разделяне на отрицателни цели числа:

• Намерете модулите на дивидента и делителя.
• Разделяме модула на делимото на модула на делителя, получаваме непълен коефициент и остатък. (Ако остатъкът е нула, тогава първоначалните цели числа са делими без остатък, а желаният коефициент е равен на коефициента на разделяне на модула на дивидента на модула на делителя.)
• Ние добавяме един към получения непълен коефициент, този номер е необходимият непълен коефициент от разделянето на първоначалните отрицателни цели числа.
• Изчисляваме остатъка по формулата d \u003d a - b · c.

Помислете за използването на алгоритъма за разделяне на отрицателни цели числа при решаване на пример.

Пример.

Намерете частичния коефициент и остатъка от отрицателното цяло число -17, разделено на отрицателното цяло число -5.

Решение.

Нека използваме подходящото деление с остатъчен алгоритъм.

Модулът на дивидента е 17, модулът на делителя е 5.

Дивизия 17 по 5 дава непълен коефициент 3 и остатък от 2.

Добавете едно към непълното частно 3: 3 + 1 \u003d 4. Следователно необходимият непълен коефициент за разделяне на -17 на -5 е 4.

Остава да се изчисли остатъкът. В този пример a \u003d −17, b \u003d −5, c \u003d 4, след това d \u003d a - b c \u003d −17 - (- 5) 4 \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

И така, непълното частно от разделянето на отрицателното цяло число -17 на отрицателното цяло число -5 е 4, а остатъкът е 3.

Отговор:

(−17): (- 5) \u003d 4 (почивка 3).

Проверка на резултата от разделянето на цели числа с остатък

След разделяне на целите числа с остатък е полезно да проверите резултата. Проверката се извършва на два етапа. На първия етап се проверява дали остатъкът d е неотрицателно число и се проверява и състоянието. Ако всички условия на първия етап на проверката са изпълнени, тогава можете да продължите към втория етап на проверката, в противен случай може да се твърди, че е допусната грешка някъде по време на разделянето с останалата част. На втория етап се проверява валидността на равенството a \u003d b c + d. Ако това равенство е вярно, тогава делението с остатъка е извършено правилно, в противен случай някъде е направена грешка.

Помислете за решения на примери, в които се проверява резултатът от разделянето на цели числа с остатък.

Пример.

Когато разделяте числото -521 на -12, получавате непълен коефициент 44 и остатък от 7, проверете резултата.

Решение. −2 за b \u003d −3, c \u003d 7, d \u003d 1. Ние имаме b c + d \u003d −3 7 + 1 \u003d −21 + 1 \u003d −20... По този начин равенството a \u003d b c + d е неправилно (в нашия пример a \u003d −19).

Следователно разделянето с остатъка е извършено неправилно.