Как да се освободим от ирационалността в знаменателя на дроб. Освобождаване от ирационалността на знаменателя на дроб. Извличане на корен квадратен с дадена степен на точност. Основни стъпки за премахване на ирационалността в знаменателя на дроб

Когато преобразуваме дробен алгебричен израз, в чийто знаменател е записан ирационален израз, обикновено се опитваме да представим дробта по такъв начин, че нейният знаменател да е рационален. Ако A,B,C,D,... са някои алгебрични изрази, тогава е възможно да се посочат правилата, чрез които човек може да се отърве от радикалните знаци в знаменателя на изрази от вида

Във всички тези случаи ирационалността се елиминира чрез умножаване на числителя и знаменателя на дробта с коефициент, избран така, че произведението му от знаменателя на дробта да е рационално.

1) Да се ​​отървем от ирационалността в знаменателя на дроб от формата . Умножете числителя и знаменателя по

Пример 1. .

2) В случай на дроби от вида . Умножете числителя и знаменателя по ирационален коефициент

съответно, т.е. към спрегнатия ирационален израз.

Смисълът на последното действие е, че в знаменателя произведението на сумата и разликата се преобразува в разликата на квадратите, което вече ще бъде рационален израз.

Пример 2. Отървете се от ирационалността в знаменателя на израза:

Решение, а) Умножаваме числителя и знаменателя на дробта по израза. Получаваме (при условие, че )

3) В случай на изрази като

знаменателят се третира като сбор (разлика) и се умножава по непълния квадрат на разликата (сумата), за да се получи сумата (разликата) на кубовете ((20.11), (20.12)). Числителят също се умножава по същия коефициент.

Пример 3. Отървете се от ирационалността в знаменателя на изразите:

Решение, а) Разглеждайки знаменателя на дадена дроб като сбор от числата и 1, умножаваме числителя и знаменателя по непълния квадрат на разликата на тези числа:

или накрая:

В някои случаи се изисква да се извърши трансформация от противоположно естество: да се освободи фракцията от ирационалност в числителя. Извършва се по абсолютно същия начин.

Пример 4. Отървете се от ирационалността в числителя на дроб.

Освобождаване от ирационалност в знаменателя на дроб

2015-06-13

Конюгиран ирационален израз

Когато преобразуваме дробен алгебричен израз, в чийто знаменател е записан ирационален израз, обикновено се опитваме да представим дробта по такъв начин, че нейният знаменател да е рационален. Ако $A, B, C, D, \cdots$ са някои алгебрични изрази, тогава е възможно да се посочат правилата, чрез които човек може да се отърве от радикалните знаци в знаменателя на изрази от вида

$\frac(A)(\sqrt[n](B)), \frac(A)(B+C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D) )), \frac(A)( \sqrt(B) \pm \sqrt(C))$ и т.н.

Във всички тези случаи ирационалността се елиминира чрез умножаване на числителя и знаменателя на дробта с коефициент, избран така, че произведението му от знаменателя на дробта да е рационално.

1) За да се отървете от ирационалността в знаменателя на дроб от формата $A/ \sqrt[n](B)$, умножете числителя и знаменателя по $\sqrt[n](B^(n-1)) $.
$\frac(A)(\sqrt[n](B)) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(\sqrt[n](B) \sqrt[n] (B^(n-1))) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(B)$.

Пример 1. $\frac(4a^(2)b)(\sqrt(2ac)) = \frac(4a^(2)b \sqrt(4a^(2)c^(2)))(2ac) = \frac(2ab)(c) \sqrt(4a^(2)c^(2))$.

В случай на дроби от формата $\frac(A)(B+ C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D))$, умножете числителя и знаменателя от ирационален фактор
$B - C \sqrt(D)$ или $\sqrt(B) - c \sqrt(D)$
съответно, т.е. към спрегнатия ирационален израз.

Смисълът на последното действие е, че в знаменателя произведението на сумата и разликата се преобразува в разликата на квадратите, което вече ще бъде рационален израз.

Пример 2. Отървете се от ирационалността в знаменателя на израза:
a) $\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x)$; б) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3))$.

Решение, а) Умножаваме числителя и знаменателя на дробта по
израз $\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x$. Получаваме (приемайки, че $y \neq 0$)
$\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x) = \frac(xy (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)) ((x^(2) + y^(2)) – x^(2)) = \frac(x)(y) (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)$ ;
b) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3)) = \frac(2(\sqrt(5) + \sqrt(3)))(5 - 3) = \sqrt(5 ) + \sqrt(3)$.
3) В случай на изрази като
$\frac(A)(B \pm C \sqrt(D)), \frac(A)(\sqrt(B) \pm C \sqrt(D))$
знаменателят се третира като сбор (разлика) и се умножава по непълния квадрат на разликата (сумата), за да се получи сумата (разликата) на кубовете. Числителят също се умножава по същия коефициент.

Пример 3. Отървете се от ирационалността в знаменателя на изразите:
a)$\frac(3)(\sqrt(5) + 1)$; b)$\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b))$

Решение, а) Разглеждайки знаменателя на тази дроб като сумата от числата $\sqrt(5)$ и $1$, ние умножаваме числителя и знаменателя по непълния квадрат на разликата на тези числа:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3 (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) +1))((\sqrt(5) + 1) (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) + 1)) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))((\sqrt(5))^ (3) +1)$,
или накрая:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))(6) = \frac(\sqrt(25) - \ sqrt(5) + 1)(2)$
b) $\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b)) = \frac(\sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^( 2)))((\sqrt(a))^(3) – (2 \sqrt(b))^(3)) = \frac( \sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^(2)))(a-8b)$.

В някои случаи се изисква да се извърши трансформация от противоположно естество: да се освободи фракцията от ирационалност в числителя. Извършва се по абсолютно същия начин.

Пример 4. Отървете се от ирационалността в числителя $\frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b)$.
Решение. $ \frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b) = \frac((a+b) - (a-b))(2b(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b) ))) = \frac(1)(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b))$

Преобразуване на изрази, съдържащи аритметични квадратни корени

Целта на урока: създаване на условия за формиране на умения за опростяване на изрази, съдържащи аритметични квадратни корени в хода на работа в групи на смени.

Цели на урока: проверка теоретично обучениеученици, способността да извличат квадратен корен от число, да формират умения за правилно възпроизвеждане на своите знания и умения, да развиват изчислителни умения, да култивират способността за работа по двойки и отговорност за обща кауза.

По време на часовете.

аз Организиране на времето. "ТАБЛИЦА ЗА ГОТОВНОСТ»

Фиксиране на нивото на готовност за началото на урока.

25 карти червени (5 точки), жълти (4 точки), сини

цветове (3 точки).

Таблица за готовност

5 точки (искам да знам, направете, решете)

4 точки (готов съм да тръгвам)

3 точки (не се чувствам добре, не разбирам материала, имам нужда от помощ)

II . Индивидуална работа с карти

Карта 1

Извадете множителя от под знака на корена:

Карта 2

Въведете множител под знака за корен:

Карта 3

Опростете:
а)
б)
V)

(Проверете след проверка на домашното)

III . Проверка на домашните.

No 166, 167 устно фронтално

(самооценка с помощта на сигнални карти: зелено - всичко е правилно, червено - има грешка)

IV . Учене на нов материал. Работа на смени в групи.

Да изучава самостоятелно материала, за да може по-късно да го обясни на членовете на групата. Класът е разделен на 6 групи по 4 човека.

1, 2 и 3 групи - ученици със средни способности

Как да се отървем от ирационалността в знаменателя на дроб? Разгледайте общия случай и конкретни примери.

Ако числото или изразът под знака корен квадратенв знаменателя, е един от факторите за премахване на ирационалността в знаменателя, а числителят и знаменателят на дробта се умножават по корен квадратен от това число или израз:

Примери.

1) ;

2) .

Групи 4, 5 и 6 - ученици със способности над средните.

Ако знаменателят на дроб е сборът или разликата на два израза, съдържащи квадратен корен, за да се отървем от ирационалността в знаменателя, умножаваме и числителя, и знаменателя по спрегнатия радикал:

Примери. Отървете се от ирационалността в знаменателя на дроб:

Работа в нови групи (4 групи по 6 души, по 1 човек от всяка група).

Обяснение на научения материал на членовете нова група. (взаимна оценка - коментар на обяснението на материала от ученика)

V . Проверка на усвояването на теоретичния материал.На въпроси отговарят студенти, които не обясняват тази част от теоретичния материал.

1) Как да се отървем от ирационалността в знаменателя на дроб, ако числото или изразът под знака за квадратен корен в знаменателя е един от факторите?

2) Как да се отървем от ирационалността в знаменателя на дроб, ако знаменателят на дроб е сборът или разликата на два израза, съдържащи квадратен корен?

3) как да се отървем от ирационалността в знаменателя на дроб

4) Как да се отървем от ирационалността в знаменателя на дроб

VI . Затвърдяване на изучения материал. Проверка на самостоятелна работа.

№ 81 ("Алгебра" 8 клас, А. Абылкасимова, И. Бекбоев, А. Абдиев, З, Жумагулова)

№ 170 (1,2,3,5,6) ("Алгебра" 8 клас, А. Шинибеков)

Критерии за оценяване:

Ниво А - № 81 примера 1-5 оценка "3"

Ниво B - № 81 примери 6-8 и № 170 примери 5.6 оценка "4"

Ниво C - № 170 примера 1-6 оценка "5"

(самооценка, проверка на флипчарт)

VII . Домашна работа.

№ 218

VIII. Отражение. "телеграма"

Всеки е поканен да попълни формуляр за телеграма, като същевременно получава следната инструкция: „Какво мислите за миналия урок? Какво беше важно за вас? Какво научихте? Какво ти хареса? Какво остава неясното? В каква посока да продължим напред? Моля, напишете ми кратко съобщение за това - телеграма от 11 думи. Искам да знам вашето мнение, за да го взема под внимание при бъдеща работа.

Обобщение на урока.

В тази тема ще разгледаме и трите горни групи лимити с ирационалност. Нека започнем с граници, съдържащи несигурност от формата $\frac(0)(0)$.

Оповестяване на несигурност $\frac(0)(0)$.

Схема на решение стандартни примериот този тип обикновено се състои от две стъпки:

• Освобождаваме се от ирационалността, която е причинила несигурността, като умножаваме по така наречения „присъединен“ израз;
• Ако е необходимо, разлагаме израза в числителя или знаменателя (или и двете) на множители;
• Намаляваме факторите, които водят до несигурност и изчисляваме желаната стойност на лимита.

Терминът "свързан израз", използван по-горе, ще бъде обяснен подробно в примерите. Засега няма причина да се спираме подробно на него. Като цяло можете да отидете по друг начин, без да използвате спрегнатия израз. Понякога добре подбраната замяна може да се отърве от ирационалността. Такива примери са рядкост в стандарта контролна работа, следователно ще разгледаме само един пример № 6 за използване на замяната (виж втората част на тази тема).

Ще ни трябват няколко формули, които ще запиша по-долу:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(уравнение) \begin(уравнение) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(уравнение) \begin (уравнение) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(уравнение)

Освен това предполагаме, че читателят знае формулите за решаване на квадратни уравнения. Ако $x_1$ и $x_2$ са корените на квадратния трином $ax^2+bx+c$, тогава той може да бъде факторизиран по следната формула:

\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equation)

Формули (1)-(5) са напълно достатъчни за решаване на стандартни задачи, към които сега се обръщаме.

Пример #1

Намерете $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Тъй като $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ и $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, тогава в дадената граница имаме несигурност от вида $\frac(0)(0)$. Разликата $\sqrt(7-x)-2$ ни пречи да разкрием тази несигурност. За да се отървем от подобни ирационалности, се използва умножение по така наречения „съединен израз“. Сега ще разгледаме как работи такова умножение. Умножете $\sqrt(7-x)-2$ по $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

За да разширим скобите, прилагаме , като заместваме $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ в дясната страна на споменатата формула:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Както можете да видите, ако умножите числителя по $\sqrt(7-x)+2$, тогава коренът (т.е. ирационалността) в числителя изчезва. Този израз $\sqrt(7-x)+2$ ще бъде конюгаткъм израза $\sqrt(7-x)-2$. Не можем обаче просто да вземем и умножим числителя по $\sqrt(7-x)+2$, защото това ще промени дробта $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, което е под ограничението. Трябва да умножите числителя и знаменателя едновременно:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Сега запомнете, че $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ и разгънете скобите. И след отваряне на скобите и малка трансформация $3-x=-(x-3)$, намаляваме дроба с $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\до 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Несигурността $\frac(0)(0)$ я няма. Сега можете лесно да получите отговора на този пример:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Отбелязвам, че спрегнатият израз може да промени структурата си - в зависимост от това какъв вид ирационалност трябва да премахне. В примери #4 и #5 (вижте втората част на тази тема) ще се използва различен вид спрегнат израз.

Отговор: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Пример #2

Намерете $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Тъй като $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ и $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, тогава ние имат работа с несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Нека се отървем от ирационалността в знаменателя на тази дроб. За да направите това, нека добавим както числителя, така и знаменателя на дробта $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ към израз $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$, спрегнат на знаменателя:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Отново, както в пример № 1, трябва да използвате скоби за разширяване. Като заместим $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ в дясната част на споменатата формула, получаваме следния израз за знаменателя:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ вдясно)=\\ =\вляво(\sqrt(x^2+5)\вдясно)^2-\вляво(\sqrt(7x^2-19)\вдясно)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Да се ​​върнем към нашия лимит:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\до 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

В пример № 1, почти веднага след умножаването по конюгирания израз, фракцията беше намалена. Тук преди редукцията е необходимо да разложим на множители изразите $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$ и едва след това да преминем към редукцията. За да факторизирате израза $3x^2-5x-2$ трябва да използвате . За да започнем, нека решим квадратно уравнение$3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(подравнено) $$

Замествайки $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ в , имаме:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( х-2). $$

Сега е време да разложим израза $x^2-4$. Нека използваме , замествайки $a=x$, $b=2$ в него:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Нека използваме получените резултати. Тъй като $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, тогава:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Намалявайки със скоба $x-2$ получаваме:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Всичко! Несигурността я няма. Още една стъпка и стигаме до отговора:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Отговор: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

В следващия пример разгледайте случая, когато ирационалността ще присъства както в числителя, така и в знаменателя на дроб.

Пример #3

Намерете $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Тъй като $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ и $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, тогава имаме несигурност от формата $ \frac (0)(0)$. Тъй като в този случай корените присъстват както в знаменателя, така и в числителя, за да се отървете от несигурността, ще трябва да умножите по две скоби наведнъж. Първо, към израза $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$, спрегнат на числителя. И второ, към израза $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$, спрегнат със знаменателя.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aligned) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

За израза $x^2-8x+15$ получаваме:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(aligned)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Заместване на получените разширения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в разглеждания лимит, ще има:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\до 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\до 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Отговор: $\lim_(x\до 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

В следващата (втора) част ще разгледаме още няколко примера, в които спрегнатият израз ще има различна форма от тази в предишните задачи. Основното нещо, което трябва да запомните е, че целта на използването на спрегнат израз е да се отървете от ирационалността, която причинява несигурност.

Разгледайте задача от алгебрата на полиномите.

Задача 4.1

Нека a е коренът на многочлена x 3 + 6x - 3. Трябва да се отървем от алгебричната ирационалност в знаменателя на дробта

Тези. представи дробта като полином в a с рационално

реални коефициенти.

Решение.Знаменателят на дроб е стойността от Аполином поправи) = x 2 + 5, и минималния полином на алгебричен елемент Ае f(x) \u003d x 3 + 6x- 3,тъй като този полином е неприводим върху полето Q (по критерия на Айзенщайн за просто p = 3). Да намерим NODO 3+ 6x - 3, x 2 + 5) сизползвайки алгоритъма на Евклид:

Нека обобщим ситуацията и разгледаме общия проблем.

Проблемът за премахване на алгебричната ирационалност в знаменателя на дроб

Нека a е алгебрична ирационалност над поле P с mi-

, . „ a k a k + a k _, a k ~ l-е-. + aia + Oo

минимален полином fOO и B = - - 1

b t a t +bro-ioc" 1 - 1 +... + bja +b 0

където коефициентите на полиномите в числителя и знаменателя на дробта принадлежат на полето Р.Отървете се от алгебричната ирационалност в знаменателя на дроб, т.е. настояще (3 ас

където коефициентите принадлежат на полето Р.

Решение.Означаваме /)*) = b nl x" + b m _ 1 x nl_1 +... + b) x + b 0и y =/(a). От ^ 0, тогава по свойството на минималния полином gcd(/(x), φ(x)) = 1. Използвайки Евклидовия алгоритъм, намираме полиноми u(x) и v(x), така че f(x) и(x) + f(x)y(x) = 1. Следователно Да) и (а) + f (a) y (a) = 1 и тъй като f (a) = 0, тогава Da) и (a) = 1. Следователно, умножавайки числителя и знаменателя на тази дроб с q (a), ние вземете единица в знаменателя и задачата е решена.

Имайте предвид, че общият метод за премахване на алгебричната ирационалност в знаменателя на дроб в случай на комплекс a + s

числа - води до добре познатата процедура за умножение на числа -

знаменател и знаменател чрез спрегнатото на знаменателя.

Историческо отклонение

За първи път съществуването на числа, трансцендентни над полето Q, е открито от J. Liouville (1809-1882) в неговите статии през 1844 и 1851 г. Едно от трансценденталните числа на Лиувил е числото

С. Отшелник (1822-

a = Y--. Десетично a = 0D100010..

клас 10*

1901) доказва трансцендентността на числото e през 1873 г., а К. Ф. Линдеман (1852-1939) доказва през 1882 г. трансцендентността на числото П.Тези резултати не бяха получени лесно. В същото време Г. Кантор (1845-1918) съвсем просто доказва, че има „значително повече“ трансцендентални числа от алгебричните: има „същия брой“ трансцендентални числа, колкото има всички реални числа, докато има „ същия брой” алгебрични числа, колко естествени числа. По-точно, множеството от алгебрични числа е изброимо, докато множеството от трансцендентални числа е неизброимо. Доказателството на този факт, установяващо съществуването на трансцендентни числа, не дава рецепта за получаване на нито едно от тях. Теореми за съществуване от този вид са изключително важни в математиката вече, защото те вдъхват увереност в успеха на търсенето на обект, чието съществуване е доказано. В същото време има направление в математиката, чиито представители не признават чистите теореми за съществуване, наричайки ги неконструктивни. Най-видните от тези представители са Л. Кронекер и Й. Брауер.

През 1900 г. на Световния конгрес на математиците в Париж немският математик Д. Хилберт (1862-1943) формулира следния проблем22: Каква е природата на числото aP, където a и (3 са алгебрични числа, a ^ 0, a ^ 1 и степента на алгебричното число (3 не е по-малко от 2? А. О. Гелфонд (1906-1968) доказва, че такива числа са трансцендентни. От това следва по-специално, че числата 2^, 3r са трансцендентални.