План на урока пропорционални отсечки от права в правоъгълен триъгълник. Пропорционални отсечки на права в правоъгълен триъгълник. Формулиране на доказани твърдения

Раздели: Математика

Клас: 8

Тип професия: комбинирани.

Дидактическа цел: създаване на условия за разбиране и разбиране на понятието „пропорционално средно“, подобряване на способността за намиране на пропорционални сегменти въз основа на сходството на триъгълниците, проверка на нивото на знания и умения по темата.

Задачи:

установете съответствие между страните на правоъгълен триъгълник, височината, изтеглена до хипотенузата и сегментите на хипотенузата;
въвеждане на концепцията за пропорционална средна стойност;
да формира способността да прилага знанията, получени за решаване на практически проблеми;

Образователни материали: учебник "Геометрия 7-9" от Л. С. Атанасян, презентация "Пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник". Приложение 1 .

Очаквани резултати:

Лични

Възможност за определяне на границата на знанието и невежеството.
Способност да изразявате математически правилно мисли.
Възможност за разпознаване на неправилни твърдения.

Метасубект

Способност да планирате дейностите си за решаване на учебен проблем.
Възможност за изграждане на верига от логически разсъждения.
Способност да се даде словесна формулировка на факт, написан под формата на формула.

Предмет

Възможност за намиране на подобни триъгълници и доказване на сходството им.
Възможност за изразяване на краката на правоъгълен триъгълник и височината, изтеглена отгоре прав ъгъл, през сегментите на хипотенузата.
Възможност за четене на математическа нотация, използвайки концепцията за "пропорционална средна стойност".

Конспект на урока.

1. Организационен момент... Организация на вниманието; волева саморегулация. (На всеки ученик се дават двустранни работни листове за уроци). Приложение 2 , Приложение 3 .

2. Повторение:Нека повторим основната информация на темата "Подобни триъгълници" Слайд 1

Дайте дефиниция на подобни триъгълници
Как да прочетете първия знак за сходство на триъгълниците
Как да четем втория знак за сходство на триъгълници
Как да четем третия знак за сходство на триъгълници
Какъв е коефициентът на сходство?
Правоъгълен триъгълник. Крака. Хипотенуза.

Тест за установяване на истинността или неверността на твърденията (отговорете „да“ или „не“). Слайд 2

Два триъгълника са подобни, ако техните ъгли са съответно равни и подобни страни са пропорционални.
Два равностранни триъгълника винаги са подобни.
Ако трите страни на единия триъгълник са съответно пропорционални на трите страни на другия триъгълник, тогава такива триъгълници са подобни.
Страните на единия триъгълник са дълги 3, 4, 6 см, страните на другия триъгълник са 9, 14, 18 см. Подобни ли са тези триъгълници?
Периметрите на такива триъгълници са равни.
Ако двата ъгъла на единия триъгълник са 60 ° и 50 °, а двата ъгъла на другия триъгълник са 50 ° и 80 °, тогава такива триъгълници са подобни.
Два правоъгълни триъгълника са подобни, ако имат еднакъв остър ъгъл.
Двата равнобедрени триъгълника са сходни.
Ако два ъгъла на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са подобни.
Ако двете страни на единия триъгълник са съответно пропорционални на двете страни на другия триъгълник, тогава такива триъгълници са подобни.

Ключ към теста:1. да; 2. да; 3. да; 4. не; 5. не; 6. не; 7. да; 8. не; 9. да; 10. не.

Форма за тестова проверка - взаимна проверка. Отговорите и проверките се извършват в работните листове на урока.

3. Теоретично задание в групи.Класът е разделен на три групи. Всяка група получава задача. Приложение 4 .

Група No1

Докажете сходството на „ляв“ и „десен“ правоъгълен триъгълник.
Запишете пропорционалността на краката.
Изразете височина от пропорция.

Група No2

Според предварително изготвен чертеж на правоъгълен триъгълник (Фигура 1)

Докажете сходството на „левия“ и „големия“ правоъгълен триъгълник.
Експресирайте от пропорцията на слънцето.

Група No3

Според предварително изготвен чертеж на правоъгълен триъгълник (Фигура 1)

Докажете сходството на „правоъгълни“ и „големи“ правоъгълни триъгълници.
Запишете пропорционалността на приликите.
Изразете от дела на AC.

Запишете доказателството за тези твърдения на дъската според предварително направените чертежи и в тетрадки. Един човек от групата е извикан на дъската.

4. Формулиране на темата на урока.И в трите задачи ние с вас сме създали някаква връзка. Как можете да назовете елементите, включени в тази връзка? Отговор: пропорционални сегменти. Нека изясним пропорционалните сегменти в ...? Отговор: в правоъгълен триъгълник. И така, момчета, темата на нашия урок? Отговор: "Пропорционални отсечки на права в правоъгълен триъгълник."Слайд 3

5. Формулиране на доказани твърдения

Преди да работим по-нататък, ние въвеждаме някои нови понятия и обозначения.
Каква е средната аритметична стойност на две числа?
Отговор: Средната аритметична стойност на числата m и n се нарича число a, равно на полусумата на числата m и n
Запишете формулата за средно аритметично число m и n.
Нека формулираме дефиницията на геометричната средна стойност на две числа: числото a се нарича геометрична средна стойност (или пропорционална средна стойност) за числата m и n, ако равенството е вярно Slide 4
Нека направим няколко упражнения за консолидиране на тези определения. Слайд 5
1. Намерете средната аритметична и средната геометрична стойност на числата 3 и 12.
2. Намерете дължината на средната стойност на пропорционалните (средно геометрични) сегменти MN и KP, ако MN \u003d 9 cm, KP \u003d 27 cm
Нека въведем концепцията за проекцията на крака върху хипотенузата. Слайд 6.
Сега, използвайки нови концепции, ще се опитаме да формулираме заключенията, доказани по време на работата в групи.
На този слайд се опитайте да формулирате твърдението, което втората и третата група са доказали. Слайд 7
Запишете това твърдение, като използвате новата нотация (проекция на крака към хипотенузата) и след това го посочете, като използвате дефиницията на проекцията на крака към хипотенузата. Слайд 8
На този слайд се опитайте да формулирате твърдение, което учениците от третата група доказаха. Слайд 9
Запишете това твърдение, като използвате новата нотация (проекция на крака към хипотенузата) и след това го посочете, като използвате дефиницията на проекцията на крака към хипотенузата. Слайд 10

6. Блиц-анкета за консолидиране на изучаваните формули.Слайд 11-12

В правоъгълния триъгълник ABC височината CD е изтеглена от върха на десния ъгъл C. AD \u003d 16, DB \u003d 9. Намерете AC, AB, CB и CD. Слайд 11
В правоъгълния триъгълник ABC височината CD е изтеглена от върха на десния ъгъл C. AD \u003d 18, DB \u003d 2. Намерете AC, AB, CB и CD. Слайд 12
В правоъгълен триъгълник ABC височината CH се изтегля от върха на десния ъгъл C. CA \u003d 6, AH \u003d 2. Намерете HB. Слайд 13

Тест за проверка на първичното усвояване на материала

В презентацията отворете слайда с получените формули (Слайд 14). На работните листове има отпечатан тест: попълнете го, като напишете правилните отговори на табелата. След това кръстосана проверка (Слайд 15) на подготвените отговори в презентацията.

Домашна работа

На всеки ученик се дава бележка с формули и текст на задачи у дома със съвети (план за поетапното изпълнение на всяка задача) Приложение 5 .

9. Отражение

Обобщете урока. Съберете работни листове и оценете всеки ученик за урок.

Литература.

http://gorkunova.ucoz.ru/ Хранителен материал за семинара на тема „Пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник“
Презентация "Пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник" Савченко Е.М. Град Полярные Зори, област Мурманск.

Знак за подобие за правоъгълни триъгълници

Нека първо въведем критерий за подобие за правоъгълни триъгълници.

Теорема 1

Знак за подобие за правоъгълни триъгълници: два правоъгълни триъгълника са подобни, когато имат един равен остър ъгъл (фиг. 1).

Фигура 1. Подобни правоъгълни триъгълници

Доказателства.

Нека ни бъде дадено, че $ \\ ъгъл B \u003d \\ ъгъл B_1 $. Тъй като триъгълниците са правоъгълни, тогава $ \\ ъгъл A \u003d \\ ъгъл A_1 \u003d (90) ^ 0 $. Следователно те са сходни при първия знак за сходство на триъгълниците.

Теоремата е доказана.

Теорема за височината в правоъгълен триъгълник

Теорема 2

Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглен от върха на правия ъгъл, разделя триъгълника на два подобни правоъгълни триъгълника, всеки от които е подобен на този триъгълник.

Доказателства.

Нека ни бъде даден правоъгълен триъгълник $ ABC $ с прав ъгъл $ C $. Нека нарисуваме височината $ CD $ (фиг. 2).

Фигура 2. Илюстрация на теорема 2

Нека докажем, че триъгълниците $ ACD $ и $ BCD $ са подобни на триъгълника $ ABC $ и че триъгълниците $ ACD $ и $ BCD $ са сходни помежду си.

Тъй като $ \\ angle ADC \u003d (90) ^ 0 $, триъгълникът $ ACD $ е правоъгълен. Триъгълниците $ ACD $ и $ ABC $ имат общ ъгъл $ A $, следователно, според теорема 1, триъгълниците $ ACD $ и $ ABC $ са сходни.

Тъй като $ \\ angle BDC \u003d (90) ^ 0 $, триъгълникът $ BCD $ е правоъгълен. Триъгълниците $ BCD $ и $ ABC $ имат общ ъгъл $ B $, следователно, според теорема 1, триъгълниците $ BCD $ и $ ABC $ са подобни.

Помислете сега за триъгълниците $ ACD $ и $ BCD $

\\ [\\ ъгъл A \u003d (90) ^ 0- \\ ъгъл ACD \\] \\ [\\ ъгъл BCD \u003d (90) ^ 0- \\ ъгъл ACD \u003d \\ ъгъл A \\]

Следователно по теорема 1 триъгълниците $ ACD $ и $ BCD $ са сходни.

Теоремата е доказана.

Пропорционално средно

Теорема 3

Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглен от върха на правия ъгъл, е пропорционалната средна стойност за сегментите, на които височината разделя хипотенузата на този триъгълник.

Доказателства.

По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ ACD $ и $ BCD $ са подобни, следователно

Теоремата е доказана.

Теорема 4

Катетът на правоъгълен триъгълник е средното пропорционално между хипотенузата и сегмента на хипотенузата, затворено между катета и височината, изтеглена от върха на ъгъла.

Доказателства.

В доказателството на теоремата ще използваме обозначението от фигура 2.

По теорема 2 имаме, че триъгълниците $ ACD $ и $ ABC $ са подобни, следователно

Теоремата е доказана.

За да използвате визуализацията на презентации, създайте си акаунт в Google (акаунт) и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник Геометрия степен 8

Домашна работа

1. Задача 3, 5 A B C N M 3 4 Дадено: MN || AC. Намерете: Р∆АВС

A B C D M N P Q MNPQ - успоредник? 2. Задача

Прилика на правоъгълни триъгълници A B C A 1 B 1 C 1 Ако острият ъгъл на един правоъгълен триъгълник е равен на острия ъгъл на друг правоъгълен триъгълник, тогава такива правоъгълни триъгълници са подобни

Пропорционална средна стойност А В С D X У Сегмент ХУ се нарича пропорционална средна стойност (средна геометрична стойност) за сегменти AB и SD, ако

Решете задачите: 1. Средно пропорционален ли е сегментът от 8 cm между сегментите от 16 cm и 4 cm? 2. Средно пропорционален ли е сегментът от 9 cm между сегментите от 15 cm и 6 cm? 3. Пропорционален ли е сегментът с дължина cm между сегментите с дължина 5 cm и 4 cm? да не да

Пропорционални сегменти в правоъгълен триъгълник А В С H Височината на правоъгълен триъгълник, изтеглен от върха на прав ъгъл, е пропорционалната средна стойност за сегментите, на които хипотенузата е разделена на тази височина

Пропорционални отсечки на права в правоъгълен триъгълник А В С Н 9 4? Цел 1.

Пропорционални отсечки на права в правоъгълен триъгълник А В С Н 9 7? Цел 2.

Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник A B CH Катетът на правоъгълен триъгълник е пропорционалната средна стойност за хипотенузата и проекцията на този крак върху хипотенузата.

Пропорционални отсечки на права в правоъгълен триъгълник А В С Н 21 4? Цел 3.

A B CH 20 30? Задача 4.

Домашна работа

Решавате ли проблем 5 2? ? ? Решавате ли проблем 9 4? ? ? Решете триъгълник

A B CH 20 15? Задача. В триъгълник, чиито страни са равни на 15, 20 и 25, височината се изтегля към по-голямата му страна. Намерете отсечките от линии, на които височината разделя тази страна 25

A B CH 20 15? Задача 5. В триъгълник, чиито страни са равни на 15, 20 и 25, височината се изтегля към по-голямата му страна. Намерете отсечките от линии, на които височината разделя тази страна 25