Площ на успоредник. Изчисляваме сумата от ъгли и площта на успоредник: свойства и характеристики Площ на успоредник, ако са известни страните и диагоналът

Формула за площта на успоредник

Площта на успоредник е равна на произведението на неговата страна и височината на тази страна.

Доказателство

Ако успоредникът е правоъгълник, тогава равенството е изпълнено от теоремата за площта на правоъгълник. След това приемаме, че ъглите на успоредника не са прави.

Нека $\angle BAD$ е остър ъгъл в успоредник $ABCD$ и $AD > AB$. В противен случай ще преименуваме върховете. Тогава височината $BH$ от върха $B$ до правата $AD$ се пада върху страната $AD$, тъй като катетът $AH$ е по-къс от хипотенузата $AB$ и $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Нека сравним площта на успоредника $ABCD$ и площта на правоъгълника $HBCK$. Площта на успоредник е по-голяма с площ $\триъгълник ABH$, но по-малка с площ $\триъгълник DCK$. Тъй като тези триъгълници са равни, техните площи са равни. Това означава, че площта на успоредник е равна на площта на правоъгълник с дължина на страните и височината на успоредника.

Формула за площта на успоредник с помощта на страни и синус

Площта на успоредник е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях.

Доказателство

Височината на успоредника $ABCD$, пусната върху страната $AB$, е равна на произведението на отсечката $BC$ и синуса на ъгъла $\angle ABC$. Остава да приложим предишното твърдение.

Формула за площта на успоредник с помощта на диагоналите

Площта на успоредника е равна на половината от произведението на диагоналите и синуса на ъгъла между тях.

Доказателство

Нека диагоналите на успоредника $ABCD$ се пресичат в точка $O$ под ъгъл $\alpha$. Тогава $AO=OC$ и $BO=OD$ по свойството на успоредник. Синусите на ъглите, които се събират до $180^\circ$, са равни, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Това означава, че синусите на ъглите при пресичане на диагоналите са равни на $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\триъгълник AOB) + S_(\триъгълник BOC) + S_(\триъгълник COD) + S_(\триъгълник AOD)$

според аксиомата за измерване на площ. Прилагаме формулата за площ на триъгълник $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ за тези триъгълници и ъгли, когато диагоналите се пресичат. Страните на всеки са равни на половината от диагоналите и синусите също са равни. Следователно площите на всичките четири триъгълника са равни на $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Обобщавайки всичко по-горе, получаваме

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

Точно както в евклидовата геометрия точка и права линия са основните елементи на теорията на равнините, така и успоредникът е една от ключовите фигури на изпъкналите четириъгълници. От него, като нишки от топка, текат понятията "правоъгълник", "квадрат", "ромб" и други геометрични величини.

Във връзка с

Дефиниция на успоредник

изпъкнал четириъгълник,състоящ се от сегменти, всяка двойка от които е успоредна, е известен в геометрията като успоредник.

Как изглежда класическият успоредник е изобразен с четириъгълник ABCD. Страните се наричат ​​основи (AB, BC, CD и AD), перпендикулярът, изтеглен от всеки връх към страната, противоположна на този връх, се нарича височина (BE и BF), правите AC и BD се наричат ​​диагонали.

внимание!Квадрат, ромб и правоъгълник са специални случаи на успоредник.

Страни и ъгли: характеристики на връзката

Ключови свойства, като цяло, предопределено от самото обозначение, те се доказват от теоремата. Тези характеристики са както следва:

1. Страните, които са противоположни, са еднакви по двойки.
2. Ъглите един срещу друг са равни по двойки.

Доказателство: Да разгледаме ∆ABC и ∆ADC, които се получават чрез разделяне на четириъгълника ABCD с правата AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, тъй като AC е общ за тях (вертикални ъгли съответно за BC||AD и AB||CD). От това следва: ∆ABC = ∆ADC (вторият знак за равенство на триъгълниците).

Отсечките AB и BC в ∆ABC съответстват по двойки на правите CD и AD в ∆ADC, което означава, че те са еднакви: AB = CD, BC = AD. Така ∠B съответства на ∠D и те са равни. Тъй като ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, които също са идентични по двойки, тогава ∠A = ∠C. Имотът е доказан.

Характеристики на диагоналите на фигура

Основна характеристикана тези прави на успоредник: точката на пресичане ги разделя наполовина.

Доказателство: Нека i.e е пресечната точка на диагоналите AC и BD на фигурата ABCD. Те образуват два съизмерими триъгълника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, тъй като те са противоположни. Според правите и секанса ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По втория критерий за равенство ∆ABE = ∆CDE. Това означава, че елементите ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и в същото време са пропорционални части на AC и BD. Имотът е доказан.

Характеристики на съседни ъгли

Съседните страни имат сбор от ъгли, равен на 180°, тъй като те лежат от една и съща страна на успоредни прави и напречна. За четириъгълник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства на ъглополовящата:

1. , спуснати на една страна, са перпендикулярни;
2. срещуположните върхове имат успоредни ъглополовящи;
3. триъгълникът, получен чрез начертаване на ъглополовяща, ще бъде равнобедрен.

Определяне на характеристиките на успоредник с помощта на теоремата

Характеристиките на тази фигура следват от нейната основна теорема, която гласи следното: четириъгълник се счита за успоредникв случай, че неговите диагонали се пресичат и тази точка ги разделя на равни сегменти.

Доказателство: нека правите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в т.е. Тъй като ∠AED = ∠BEC, и AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по първия критерий за равенство на триъгълниците). Тоест ∠EAD = ∠ECB. Те са и вътрешните напречни ъгли на секущата AC за прави AD и BC. Така, по дефиниция на паралелизъм - AD || пр.н.е. Подобно свойство на правите BC и CD също е изведено. Теоремата е доказана.

Изчисляване на площта на фигура

Площта на тази фигура открити по няколко методаедин от най-простите: умножаване на височината и основата, към която е начертана.

Доказателство: начертайте перпендикуляри BE и CF от върховете B и C. ∆ABE и ∆DCF са равни, тъй като AB = CD и BE = CF. ABCD е равен по размер на правоъгълника EBCF, тъй като те се състоят от съизмерими фигури: S ABE и S EBCD, както и S DCF и S EBCD. От това следва, че площта на тази геометрична фигура е същата като тази на правоъгълник:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За да определим общата формула за площта на паралелограма, нека обозначим височината като hb, а отстрани - b. Съответно:

Други начини за намиране на площ

Изчисления на площ през страните на успоредника и ъгъла, който образуват, е вторият известен метод.

,

Спр-ма - площ;

a и b са неговите страни

α е ъгълът между сегментите a и b.

Този метод практически се основава на първия, но в случай, че е неизвестен. винаги отрязва правоъгълен триъгълник, чиито параметри се намират чрез тригонометрични идентичности, т.е. Трансформирайки отношението, получаваме . В уравнението на първия метод заместваме височината с този продукт и получаваме доказателство за валидността на тази формула.

През диагоналите на успоредника и ъгъла,които те създават, когато се пресичат, можете също да намерите областта.

Доказателство: AC и BD се пресичат и образуват четири триъгълника: ABE, BEC, CDE и AED. Тяхната сума е равна на площта на този четириъгълник.

Площта на всеки от тези ∆ може да се намери чрез израза , където a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Тъй като , изчисленията използват една синусова стойност. Това е . Тъй като AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2, формулата за площ се редуцира до:

.

Приложение във векторната алгебра

Характеристиките на съставните части на този четириъгълник са намерили приложение във векторната алгебра, а именно добавянето на два вектора. Правилото на успоредника гласи това ако са дадени векториИНеса колинеарни, тогава тяхната сума ще бъде равна на диагонала на тази фигура, чиито основи съответстват на тези вектори.

Доказателство: от произволно избрано начало – т.е. - конструиране на вектори и . След това конструираме успоредник OASV, където сегментите OA и OB са страни. По този начин OS лежи върху вектора или сумата.

Формули за изчисляване на параметрите на успоредник

Идентичностите се дават при следните условия:

1. a и b, α - страни и ъгълът между тях;
2. d 1 и d 2, γ - диагонали и в точката на тяхното пресичане;
3. h a и h b - височини, спуснати до страни a и b;

Параметър	Формула
Намиране на страните
по диагоналите и косинуса на ъгъла между тях
по диагонали и страни
през височината и срещуположния връх
Намиране на дължината на диагоналите
отстрани и размера на върха между тях
по страните и един от диагоналите	 Заключение Паралелограмът, като една от ключовите фигури на геометрията, се използва в живота, например в строителството при изчисляване на площта на обект или други измервания. Следователно знанията за отличителните характеристики и методите за изчисляване на различните му параметри могат да бъдат полезни по всяко време в живота.

Какво е успоредник? Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки.

1. Площта на паралелограма се изчислява по формулата:

\[ \ГОЛЯМО S = a \cdot h_(a)\]

Където:
a е страната на успоредника,
h a – височина, изтеглена от тази страна.

2. Ако са известни дължините на две съседни страни на успоредник и ъгълът между тях, тогава площта на успоредника се изчислява по формулата:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Ако са дадени диагоналите на паралелограма и ъгълът между тях е известен, тогава площта на успоредника се изчислява по формулата:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Свойства на успоредник

В успоредник противоположните страни са равни: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

В успоредник срещуположните ъгли са равни: \(\ъгъл A = \ъгъл C\), \(\ъгъл B = \ъгъл D\)

Диагоналите на успоредник в пресечната точка са разделени наполовина \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

Диагоналът на успоредника го разделя на два равни триъгълника.

Сумата от ъглите на успоредник, съседни на едната страна, е 180 o:

\(\ъгъл A + \ъгъл B = 180^(o)\), \(\ъгъл B + \ъгъл C = 180^(o)\)

\(\ъгъл C + \ъгъл D = 180^(o)\), \(\ъгъл D + \ъгъл A = 180^(o)\)

Диагоналите и страните на успоредник са свързани със следната връзка:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

В успоредник ъгълът между височините е равен на неговия остър ъгъл: \(\ъгъл K B H =\ъгъл A\) .

Симетралите на ъглите, съседни на едната страна на успоредник, са взаимно перпендикулярни.

Симетралите на два срещуположни ъгъла на успоредник са успоредни.

Признаци на успоредник

Четириъгълникът ще бъде успоредник, ако:

\(AB = CD\) и \(AB || CD\)

\(AB = CD\) и \(BC = AD\)

\(AO = OC\) и \(BO = OD\)

\(\ъгъл A = \ъгъл C\) и \(\ъгъл B = \ъгъл D\)

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
За да извършвате изчисления, трябва да активирате ActiveX контролите!

При решаване на задачи по тази тема, освен основни свойства успоредники съответните формули, можете да запомните и приложите следното:

1. Симетралата на вътрешен ъгъл на успоредник отсича от него равнобедрен триъгълник
2. Симетрали на вътрешни ъгли, съседни на една от страните на успоредник, са взаимно перпендикулярни
3. Симетралите, идващи от противоположните вътрешни ъгли на успоредник, са успоредни една на друга или лежат на една и съща права линия
4. Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на сбора от квадратите на страните му
5. Площта на успоредник е равна на половината от произведението на диагоналите и синуса на ъгъла между тях

Нека разгледаме проблемите, в които се използват тези свойства.

Задача 1.

Симетралата на ъгъл C на успоредник ABCD пресича страната AD в точка M и продължението на страната AB отвъд точка A в точка E. Намерете периметъра на успоредника, ако AE = 4, DM = 3.

Решение.

1. Триъгълник CMD е равнобедрен. (Свойство 1). Следователно CD = MD = 3 cm.

2. Триъгълник EAM е равнобедрен.
Следователно AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Периметър ABCD = 20 cm.

Отговор. 20 см.

Задача 2.

В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагонали. Известно е, че лицата на триъгълниците ABD, ACD, BCD са равни. Докажете, че този четириъгълник е успоредник.

Решение.

1. Нека BE е височината на триъгълник ABD, CF е височината на триъгълник ACD. Тъй като според условията на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа AD, то височините на тези триъгълници са равни. BE = CF.

2. BE, CF са перпендикулярни на AD. Точките B и C са разположени от една и съща страна спрямо правата AD. BE = CF. Следователно правата BC || от н.е. (*)

3. Нека AL е надморската височина на триъгълник ACD, BK е надморската височина на триъгълник BCD. Тъй като според условията на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа CD, то височините на тези триъгълници са равни. AL = BK.

4. AL и BK са перпендикулярни на CD. Точките B и A са разположени от една и съща страна спрямо права CD. AL = BK. Следователно правата AB || CD (**)

5. От условия (*), (**) следва, че ABCD е успоредник.

Отговор. Доказано. ABCD е успоредник.

Задача 3.

Върху страните BC и CD на успоредника ABCD са отбелязани съответно точки M и H, така че отсечките BM и HD се пресичат в точка O;<ВМD = 95 о,

Решение.

1. В триъгълник DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. В правоъгълен триъгълник DHC
(

Тогава<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Тъй като в правоъгълен триъгълник катетът, който лежи срещу ъгъл от 30°, е равен на половината от хипотенузата).

Но CD = AB. Тогава AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Отговор: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Задача 4.

Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 сключва ъгъл 60° с основата, а вторият диагонал сключва ъгъл 45° със същата основа. Намерете втория диагонал.

Решение.

1. AO = 2√6.

2. Прилагаме синусовата теорема към триъгълник AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОД = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Отговор: 12.

Задача 5.

За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сумата от дължините на диагоналите.

Решение.

Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е равен на φ.

1. Нека преброим две различни
начини неговата площ.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Получаваме равенството 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Използвайки връзката между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Нека създадем система:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Нека умножим второто уравнение на системата по 2 и го добавим към първото.

Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24.

Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника, тогава d 1 + d 2 = 24.

Отговор: 24.

Задача 6.

Страните на успоредника са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45 градуса. Намерете площта на успоредника.

Решение.

1. От триъгълник AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2) cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. По същия начин записваме релацията за триъгълника AOD.

Нека вземем предвид това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имаме система
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Като извадим първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Забележка:В тази и предишната задача не е необходимо да се решава системата напълно, като се очаква, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта.

Отговор: 10.

Задача 7.

Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал.

Решение.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Нека направим заместване във формулата.

Получаваме 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Следователно sin ВAD = 4/5.

2. Да намерим cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25.

Според условията на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът ВD ще бъде по-малък, ако ъгълът ВАD е остър. Тогава cos VAD = 3/5.

3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD.

ВD 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Отговор: 145.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решите геометрична задача?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Преди да научим как да намерим площта на успоредник, трябва да си спомним какво е успоредник и какво се нарича неговата височина. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са по двойки успоредни (лежат на успоредни прави). Перпендикуляр, прекаран от произволна точка на противоположната страна към права, съдържаща тази страна, се нарича височина на успоредник.

Квадрат, правоъгълник и ромб са специални случаи на успоредник.

Площта на успоредник се обозначава като (S).

Формули за намиране на площта на успоредник

S=a*h, където a е основата, h е височината, която е начертана към основата.

S=a*b*sinα, където a и b са основите, а α е ъгълът между основите a и b.

S =p*r, където p е полупериметърът, r е радиусът на окръжността, която е вписана в успоредника.

Площта на успоредника, образувана от векторите a и b, е равна на модула на произведението на дадените вектори, а именно:

Нека разгледаме пример № 1: Даден е успоредник, чиято страна е 7 см, а височината е 3 см. Как да намерим площта на успоредник, имаме нужда от формула за решението.

Така S= 7x3. S=21. Отговор: 21 см 2.

Разгледайте пример № 2: Дадени основи са 6 и 7 cm, както и даден ъгъл между основите от 60 градуса. Как да намерите площта на успоредник? Формула, използвана за решаване:

Така първо намираме синуса на ъгъла. Синус 60 = 0,5, съответно S = 6*7*0,5=21 Отговор: 21 cm 2.

Надявам се, че тези примери ще ви помогнат при решаването на проблеми. И не забравяйте, че основното е познаването на формулите и вниманието