По посока на скоростта. Определяне на ускорението на точките на равнинна фигура с помощта на mtsu Методи за определяне на ускорението на точките на равнинна фигура
Разглеждането на равнинното движение на плоска фигура като сума на транслационното движение, при което всички точки на фигурата се движат с ускорение A A на полюса A и ротационно
движение около този полюс, получаваме формула за определяне на ускорението на която и да е точка B от плоска фигура във формата
a B \u003d |
a A + |
a BA \u003d |
a A + a BAв + |
бакалавърска степен. |
|||||
Тук a |
ускорение |
полюси А; а |
Ускорение |
||||||
въртеливо движение на точка В около полюс А, което, както в случая на въртене на тяло около неподвижна ос, е векторно
е сумата от въртящото ускорение, което има BA в и центъра
бързо ускорение a BA c ... Модулите на тези ускорения се определят по формулите
модул за ъглово ускорение. Въртящото ускорение BA BA е насочено перпендикулярно на сегмент AB по посока на дъговата стрелка ε, а центростремителното ускорение BA BA е насочено по линия AB от точка B към полюс A (фиг. 12). Общият модул на ускорение a BA от точка B спрямо полюс A поради условието a BA в BA q се изчислява по формулата
Фигура 12. Определяне на ускорението на точка Б
с помощта на полюс А.
За намиране на ускорението a B по формулата (2.18)
препоръчително е да се използва аналитичен начин... При този метод се въвежда правоъгълна декартова координатна система (системата Bxy на фиг. 12) и проекциите a Bx, a By
необходимото ускорение като алгебрични суми на проекциите на ускоренията, включени в дясната страна на равенството (2.18):
(a в |
(a c |
а cosα |
° С; |
||||||||||||||||||||||
(a в |
(a c |
sinα |
|||||||||||||||||||||||
където α е ъгълът между вектора a A |
и оста Bx. По открити |
||||||||||||||||||||||||
Описаният метод за определяне на ускоренията на точките на равнинна фигура е приложим за решаване на задачи, при които са определени движението на полюса А и ъгълът на въртене на фигурата
уравнения (2.14). Ако зависимостта на ъгъла на въртене от времето е неизвестна, тогава за дадено положение на фигурата е необходимо да се определят моментната ъглова скорост и моментното ъглово ускорение. Методите за тяхното определяне са разгледани допълнително в примерите на задача 2.
Обърнете внимание също, че при определяне на ускоренията на точките на равнинна фигура може да се използва център за незабавно ускорение- точка, чието ускорение в даден момент във времето е равно на нула. Използването на моменталния център на ускорение обаче е свързано с доста трудоемки методи за намиране на неговото положение; затова се препоръчва да се определят ускоренията на точките на плоска фигура, като се използва формулата
2.4 Задача 2. Определяне на скоростите и ускоренията на точките на плосък механизъм
Механизмите (вж. Стр. 5) се наричат \u200b\u200bплоски, ако всичките му точки се движат в една и съща или успоредна равнина, в противен случай механизмите се наричат \u200b\u200bпространствени
ним.
AT задача 2.1 се занимава спланетарни зъбни колела,
в задача 2.2 - механизми на коляновата поза и в задача
2.3 освен посочените два типа се изучава и движението на механизми от други видове. Повечето от разглежданите механизми са механизми с една степен на свобода,
в която да се определи движението на всички връзки, трябва да зададете закона за движението на една връзка.
Задание 2.1
В планетарния механизъм (фиг. 13), манивела 1 с дължина OA \u003d 0,8 (m) се върти около фиксирана ос O, перпендикулярна на равнината на фигурата, съгласно закона
ϕ OA (t) \u003d 6t - 2t 2 (rad). В точка А манивелата е шарнирно свързана
с центъра на диска 2 с радиус r \u003d 0,5 (m), който е във вътрешно зацепване с неподвижното колело 3, коаксиален с
манивела OA. Точка В се задава на диск 2 в момент t 1 \u003d 1 (s), чието положение се определя от разстояние AB \u003d 0,5 (m) и ъгъл α \u003d 135 °. (В даден момент от време ъгълът α се измерва от оста Ax в посока обратна на часовниковата стрелка за α\u003e 0 или в обратна посока за
α < 0).
Фигура 13. Планетен механизъм и метод за определяне на положението на точка Б.
Определете в момент t 1
1) скоростта на точка Б по два начина: използване на моменталния център на скоростите (IMC) на диск 2 и използване на полюс А;
2) Ускорение на точка Б с помощта на полюс А.
1) Определяне на скоростта на точка Б.
Първо трябва да изпълните графично изображение
механизъм в избрания мащаб (например в 1 cm от фигурата - 0,1 m от сегмента OA и радиус r) и показват дадената позиция на точка B (фиг. 14).
Фигура 14. Определяне на скоростта на точка В с помощта на моментния център на скоростите P и полюс A.
Съгласно дадения закон на въртене на манивелата OA, намираме скоростта на центъра A на диска 2. Определяме ъгловата скорост на манивелата в даден момент t 1 \u003d 1 (c):
ω OA \u003d ϕ! OA \u003d (6 t - |
6 - 4 t; |
ω OA (t 1) \u003d 2 (rad / s). |
|||
Получената стойност ω OA (t 1) е положителна, поради което насочваме стрелката на дъгата ω OA обратно на часовниковата стрелка, т.е. в положителната посока на ъгъла ϕ.
Изчислете скоростния модул
v A \u003d ω OA (t 1) OA \u003d 2 0,8 \u003d 1,6 (m / s)
и конструирайте вектора на скоростта v A, перпендикулярен на ОА към дъговата стрелка ω OA.
стрелката на дъгата ω OA и векторът v A са изчертани в обратна посока и модулът се използва за изчисляване на v A
ω OA (t 1).
Моментният център на скоростите (точка P) на диск 2 се намира в точката на контакта му с колело 3 (виж т. 5 на стр. 34). Нека определим моментната ъглова скорост ω на диска от намерената стойност на скоростта v A:
ω \u003d v A / AP \u003d v A / r \u003d 1,6 / 0,5 \u003d 3,2 (rad / s)
и изобразете неговата дъгова стрелка на фигурата (фиг. 14).
За да определим скоростта на точка B с помощта на MCS, намираме разстоянието BP, използвайки косинусовата теорема от ABP триъгълника:
BP \u003d AB2 + AP2 - 2 AB AP cos135 "\u003d
0,5 2 + 0,52 - 2 0,52 (- 2/2) ≈ 0,924 (m).
Скоростта v B е равна по абсолютна стойност
v B \u003d ω PB \u003d 3,2 0,924 ≈ 2,956 (m / s)
и е насочена перпендикулярно на сегмента PB в посока на дъговата стрелка ω.
Същият вектор v B може да бъде намерен с помощта на полюс A съгласно формулата (2.15): v B \u003d v A + v BA. Прехвърляме вектора v A в точка B и изграждаме вектор v BA, перпендикулярен на сегмента AB и насочен към дъговата стрелка ω. Модул
че ъгълът между векторите v A и v BA е 45 °. След това по формула (2.16) намираме
vB \u003d vA 2 + vBA 2 + 2 vA vBA cos 45 "\u003d
1,6 2 + 1,62 + 2 1,62 (2/2) ≈ 2,956 (m / s).
На фигурата векторът v B трябва да съвпада с диагонала на успоредника, чиито страни са вектори v A и v BA. Това се постига чрез конструиране на вектори v A, v B и v BA в избраните
стандартна скала (например 1 см на фигурата съответства на 0,5 m / s). Обърнете внимание, че скалите, показани в разглеждания пример, могат да бъдат променяни и задавани независимо.
2). Определяне на ускорение в точка Б.
Ускорението на точка В се определя по формулата (2.18), като се използва полюс А, ускорението на който е сумата на вектора от тангенциалните и нормалните ускорения:
a B \u003d a A + a BA в + a BA c \u003d a τ A + a A n + a BA в + a BA c.
Според дадения закон на въртене на OA манивела, намираме нейното ъглово ускорение:
ε OA \u003d ω! OA \u003d (6 - 4t!) \u003d - 4 (rad / s 2).
Получената стойност ε OA е отрицателна, следователно насочваме стрелката на дъгата ε OA по посока на часовниковата стрелка
е в отрицателна посока и при по-нататъшното изчисление ще вземем тази стойност в модул.
Модулите на тангенциалното и нормалното ускорение на полюс А в даден момент t 1 се намират по формулите (2.11):
a τ A \u003d ε OA OA \u003d 4 0,8 \u003d 3,2 (m / s 2); a n A \u003d ω OA 2 OA \u003d 22 0,8 \u003d 3,2 (m / s 2).
Тангенциалното ускорение a τ A е насочено перпендикулярно на манивелата OA към дъговата стрелка ε OA, а нормалното ускорение a A n е насочено от копнеж A до точка O във всяка посока на ъгловата скорост на манивелата (фиг. 15). Не е необходимо да се определя общото ускорение a A.
Фигура 15. Определяне на ускорението на точка В с помощта на полюс А.
ω \u003d v A / r \u003d ω OA (OA / r). |
|||
по дефиниция ъглова |
ускорение |
диск (при |
|
OA / r \u003d const) е равно |
|||
ε = ω ! = |
ω! OA (OA / r) \u003d ε OA (OA / r) \u003d - |
4 (0.8 / 0.5) = |
- 6,4 (rad / s 2). |
ъгловата стрелка ε е насочена в обратна посока на дъговата стрелка ω.
Нека изчислим модулите на ротационни и центростремителни ускорения на точка В спрямо полюс А, използвайки формулите
a BAв |
AB \u003d |
6,4 0,5 \u003d 3,2 (m / s 2); |
|||||
a BAц |
2 AB \u003d |
3,22 0,5 \u003d 5,12 (m / s 2). |
|||||
Векторът a BA в е насочен перпендикулярно на сегмента AB към
дъгова стрелка ε и вектор a BA c - от точка B до полюс A
Намираме ускорението на точка В по нейните проекции на оста на координатната система Axy:
a Bx \u003d (a τ A) x + |
(a An) x + (a BAc) x + (a BAc) x \u003d |
||||||||
0 - a n A - |
bA при cos 45 "+ |
a BAц |
cos 45 "\u003d |
||||||
3.2 − |
/ 2 + 5.12 |
2 / 2 ≈ |
- 1,84 (m / s 2); |
||||||
a By \u003d (a τ A) y + |
(a An) y + (a BAc) y + (a BAc) y \u003d |
||||||||
a τ A + |
0 − |
a BAв |
cos45 " |
- a BA c cos 45 "\u003d |
|||||
3.2 − |
/ 2 − 5.12 |
2 / 2 ≈ |
- 9,08 (m / s 2). |
||||||
Модул a B \u003d |
a Bx2 |
a By2 |
≈ 9,27 (m / s 2). |
||||||
ускорение |
a τ A, |
a A n, |
a BA c, BA c се изисква |
||||||
изобразяват в избрания мащаб и конструират в същия мащаб вектора a B според намерените проекции (фиг. 15).
Началните данни за самоизпълнение на задача 2.1 са дадени в таблицата на стр. 44.
Кинематика на твърдо тяло |
||||||||
ϕ OA (t), рад |
α, град |
t 1, s |
||||||
t2 + 3t |
||||||||
8t - 3t2 |
||||||||
t2 - 4t |
||||||||
3t - 2t2 |
||||||||
2t2 - t |
||||||||
4t - t2 |
||||||||
2t2 - 6t |
||||||||
2t - 3t2 |
||||||||
3t2 - 4t |
||||||||
8t - 2t2 |
||||||||
4t2 - 6t |
||||||||
3t - 4t2 |
||||||||
4t2 - 2t |
||||||||
6t - t2 |
||||||||
2t2 - 4t |
||||||||
4t - 3t2 |
||||||||
2t2 + t |
||||||||
4t - 2t2 |
||||||||
3t2 - 10t |
||||||||
t - 2t2 |
||||||||
3t2 + 2t |
||||||||
6t - 3t2 |
||||||||
3t2 - 8t |
||||||||
2t - 4t2 |
||||||||
Определяне на скоростите на точките на плоска фигура
Беше отбелязано, че движението на плоска фигура може да се разглежда като компонент на транслационното движение, при което всички точки на фигурата се движат със скоростстълбове И , и от въртеливо движение около този полюс. Нека покажем, че скоростта на всяка точка Мфигурите се добавят геометрично от скоростите, които точката получава при всяко от тези движения.
Всъщност позицията на всяка точка М фигурите се дефинират спрямо осите Ооо радиус вектор(Фиг. 3), където е радиусът на вектора на полюса И , - вектор, определящ позицията на точката Мспрямо оситедвижещи се с полюса Итранслационно (движението на фигурата по отношение на тези оси е въртене около полюса И). Тогава
В полученото равенство, количествотое полюсната скорост И ; величинатаравна на скоростта която точка М стига до, т.е. спрямо осите, или, с други думи, когато фигурата се върти около полюса И... По този начин от предишното равенство наистина следва, че
Скорост която точка Мполучава, когато фигурата се върти около полюса И :
където ω е ъгловата скорост на фигурата.
По този начин, скоростта на всяка точка М плоска фигура е геометрично съставена от скоростта на друга точка И взето за полюс, и скоростта, която точка М получава, когато формата се завърти около този полюс. Модул за скорост и посокасе намират чрез конструиране на съответния паралелограм (фиг. 4).
Фиг. 3 Фиг. 4
Теорема за проекциите на скоростите на две точки на тялото
Определянето на скоростите на точките на равнинна фигура (или тяло, движещо се по паралелен на равнината начин) обикновено се свързва с доста сложни изчисления. Можете обаче да получите редица други, практически по-удобни и прости методи за определяне на скоростите на точките на фигура (или тяло).
Фиг. 5
Един от тези методи се дава от теоремата: проекциите на скоростите на две точки на твърдо тяло върху ос, преминаваща през тези точки, са равни помежду си. Помислете за всякакви две точки И и AT плоска фигура (или тяло). Вземане на смисъла И за полюса (фиг. 5), получаваме... Следователно, проектиране на двете страни на равенството върху оста, насочена по протежение AB, и като се има предвид, че векторътперпендикулярно AB, намираме
и теоремата е доказана.
Определяне на скоростите на точките на плоска фигура, като се използва моментният център на скоростите.
Друг прост и интуитивен метод за определяне на скоростите на точки от равнинна фигура (или тяло в равнинно движение) се основава на концепцията за моментален център на скоростите.
Моментален център за скорост се нарича точка на плоска фигура, чиято скорост в даден момент е равна на нула.
Лесно е да се уверите, че ако фигурата се движи имплицитно, тогава такава точка във всеки момент от времето т има и освен това единственият. Оставете момента във времето т точки И и AT плоските фигури имат скоростии не успоредни един на друг (фиг. 6). Тогава точката Rлежи в пресечната точка на перпендикуляри Ааа към вектори AT б към вектор , и ще бъде моментният център на скоростите от... Всъщност, ако приемем това, след това по теоремата за проекция на скоростта вектортрябва да са едновременно перпендикулярни и AR (защото) и BP (защото), което е невъзможно. От същата теорема става ясно, че никоя друга точка на фигурата в този момент от времето не може да има скорост, равна на нула.
Фиг. 6
Ако сега вземем въпроса R на полюс, след това скоростта на точката И ще бъде
защото ... Подобен резултат се получава за всяка друга точка във формата. Следователно, скоростите на точките на плоска фигура се определят в даден момент във времето, сякаш движението на фигурата е въртене около моментния център на скоростите. При това
От равенствата също следва, четочките на плоска фигура са пропорционални на разстоянията им от MDC.
Получените резултати водят до следните заключения.
1. За да определите моменталния център на скоростите, трябва само да знаете посоките на скороститеи всякакви две точки И и AT плоска фигура (или траекторията на тези точки); моментният център на скоростите е в точката на пресичане на перпендикуляри, извлечени от точки И и AT към скоростите на тези точки (или до допирателните към траекториите).
2. За да определите скоростта на която и да е точка от плоска фигура, трябва да знаете модула и посоката на скоростта на която и да е точка И фигури и посока на скоростта на другата му точка AT... След това, възстановяване от точките И и AT перпендикуляри къми , конструирайте моменталния център на скоростите R и къмопределете посоката на въртене на фигурата. След това, знаейки, намерете скоросттавсяка точка М плоска фигура. Насочен векторперпендикулярно RM към въртенето на фигурата.
3. ъглова скоростна плоска фигура е равна във всеки даден момент във времето към съотношението на скоростта на дадена точка от фигурата към нейното разстояние от моменталния център на скоростите R :
Нека разгледаме някои специални случаи на определяне на моментния център на скоростите.
а) Ако плоскопаралелното движение се извършва чрез търкаляне без плъзгане на едно цилиндрично тяло по повърхността на друго неподвижно тяло, тогава точката R на търкалящо се тяло, допиращо се до неподвижна повърхност (фиг. 7), има в даден момент, поради липсата на плъзгане, скорост, равна на нула (), и следователно е моментният център на скоростите. Пример за това е търкалянето на колело по релса.
б) Ако скоростите на точките И и AT равнинни фигури са успоредни една на друга и линията AB не перпендикулярно(Фиг. 8, а), тогава моментният център на скоростите лежи в безкрайност и скоростите на всички точки са успоредни... Освен това от теоремата за проекциите на скоростите следва, чет.е. ; подобен резултат се получава за всички останали точки. Следователно, в разглеждания случай, скоростите на всички точки на фигурата в даден момент са равни една на друга както по величина, така и по посока, т.е. фигурата има моментно транслационно разпределение на скоростите (това състояние на движение на тялото се нарича още моментно транслационно). Ъглова скоросттялото в този момент от времето, както се вижда, е нула.
Фиг. 7
Фиг. 8
в) Ако скоростите на точките И и AT равнинни фигури са успоредни една на друга и на линията ABперпендикулярно, след това моменталния център на скоростите R се определя от конструкцията, показана на фиг. 8, b. Справедливостта на конструкциите следва от пропорцията. В този случай, за разлика от предишните, да се намери центърът R освен указанията, трябва да знаете и скоростните модули.
г) Ако е известен векторът на скоросттавсяка точка AT фигури и ъгловата му скорост, след това положението на моменталния център на скоростите R лежи на перпендикуляра на(фиг. 8, б), може да се намери като.
Решаване на проблеми за определяне на скоростта.
За да се определят желаните кинематични характеристики (ъглова скорост на тялото или скоростите на неговите точки), е необходимо да се знае модулът и посоката на скоростта на която и да е точка и посоката на скоростта на друга точка от сечението на това тяло. Решението трябва да започне с определянето на тези характеристики според дадените задачи.
Механизмът, чието движение се изследва, трябва да бъде изобразен на чертежа в положението, за което се изисква да се определят съответните характеристики. Когато се изчислява, трябва да се помни, че концепцията за моментния център на скоростите се осъществява за дадено твърдо тяло. В механизъм, състоящ се от няколко тела, всяко нетранслационно движещо се тяло в даден момент има свой собствен моментален център на скоростите R и ъгловата му скорост.
Пример 1.Тялото, което има формата на бобина, се търкаля със средния си цилиндър на фиксирана равнина, така че(см). Радиуси на цилиндрите:R= 4 средства за масова информация r\u003d 2 см (фиг. 9). .
Фиг. 9
Решение. Определяме скоростта на точката А, Би ОТ.
Моментният център на скоростите е в точката, където бобината докосва равнината.
Скорост на полюса ОТ .
|
|
Точкови скорости И и ATнасочени перпендикулярно на отсечките на линията, свързващи тези точки с моменталния център на скоростите. Размерът на скоростите:
Пример 2. Радиусно колело R \u003d 0,6 m ролки без плъзгане по прав участък от коловоза (Фигура 9.1); скоростта на центъра му C е постоянна и равна наv c
\u003d 12 m / s. Намерете ъгловата скорост на колелото и скоростите на краищата М 1 , М 2 , М 3 , М 4 вертикални и хоризонтални диаметъра на колелата.
Фигура 9.1
Решение. Колелото прави равнинно паралелно движение. Моментният център на скоростите на колелото е в точката M1 на контакт с хоризонталната равнина, т.е.
Ъглова скорост на колелото
Намерете скоростите на точките M2, M3 и M4
Пример3 . Радиус на задвижващото колело на автомобила R \u003d 0,5 м се търкаля с приплъзване (с приплъзване) по прав участък от магистралата; неговата централна скорост ОТ постоянен и равенv c
= 4 m / s. Моментният център на скоростта на колелото е в точката R на разстояние з = 0,3 м от равнината на търкаляне. Намерете ъгловата скорост на колелото и скоростта на точките И и AT нейният вертикален диаметър.
Фигура 9.2
Решение. Ъглова скорост на колелото
Намерете скоростта на точките И и AT
Пример 4.Намерете ъгловата скорост на свързващия прът AB и скорост на точките AT и от коляновия механизъм (фиг. 9.3, и). Като се има предвид ъгловата скорост на манивелата OA и размери: ω OA \u003d 2 s -1, OA = AB \u003d 0,36 м, КАТО\u003d 0,18 m.
и)
б)
Фигура 9.3
Решение. Манивела OA прави въртеливо движение, свързващ прът AB - равнинно-паралелно движение (Фигура 9.3, б).
Намерете скоростта на точката И връзка
OA
Точкова скорост AT насочени хоризонтално. Знаейки посоката на скоростите на точките И и AT свързващ прът AB, определя положението на моменталния му център на скоростите - точка R AB.
Ъглова скорост на връзката AB и скорост на точките AT и C:
Пример 5. Ядро ABплъзга краищата си по взаимно перпендикулярни прави линии, така че под ъгълскорост (фиг. 10). Дължина на лентатаAB \u003d л... Определете скоростта на края И и ъгловата скорост на пръта.
Фиг. 10
Решение. Лесно е да се определи посоката на точков вектор на скоростта И плъзгайки се по вертикална линия. Тогавае на пресечната точка на перпендикулярии (фиг. 10).
Ъглова скорост
Точкова скорост И :
|
|
План за скорост.
Нека са известни скоростите на няколко точки от равнинен разрез на тялото (фиг. 11). Ако тези скорости се нанасят в мащаб от някаква точка ОТНОСНО и свържете краищата им с прави линии, получавате картина, която се нарича план за скорост. (На снимката) .
Фиг. 11
Свойства на плана за скоростта.
|
|
Наистина ли, ... Но по плана на скоростите
. Означаваосвен това перпендикулярно AB, СледователноПо същия начин и.
б) Страните на плана за скоростта са пропорционални на съответните отсечки на линията в равнината на тялото.
Защото
, тогава следва, че страните на плана за скорост са пропорционални на отсечките на линията в равнината на тялото.Комбинирайки тези свойства, можем да заключим, че планът на скоростите е подобен на съответната фигура и е завъртян спрямо него на 90˚ по посока на въртене.Тези свойства на плана на скоростите ви позволяват да определите графично скоростите на точките на тялото.
Пример 6. Фигура 12 е мащабирана илюстрация на механизма. Известна ъглова скороствръзка OA.
Фиг. 12
Решение.За да се изгради план на скоростите, скоростта на една точка трябва да бъде известна, въпреки че посоката на вектора на скоростта на друга. В нашия пример можете да определите скоростта на точката И : и посока на вектора.
Фиг. 13
|
|
Точкова скорост Е равен на нула, следователно точката д на плана на скоростите съвпада с точката ОТНОСНО.
След това трябва да има
и ... Изчертаваме тези линии, намираме тяхната пресечна точкад.Линеен сегмент относно д ще определи вектора на скоростта.Пример 7.В съчленен четири връзки OABS задвижваща манивелаOA cm се върти равномерно около оста ОТНОСНО ъглова скоростω \u003d 4 s -1 и с помощта на свързващ прът AB \u003d 20 см задвижва въртящата се манивела Слънце около оста ОТ (Фигура 13.1, и). Определете точковите скорости И и AT, както и ъгловите скорости на свързващия прът ABи манивела Слънце.
и)
б)
Фигура 13.1
Решение.Точкова скорост И манивела OA
Вземане на точка И за полюса съставете векторното уравнение
където
Графично решение на това уравнение е дадено на фигура 13.1. , b (план за скорост).
Използвайки плана за скорост, получаваме
Ъглова скорост на свързващия прът AB
Точкова скорост AT може да се намери с помощта на теоремата за проекциите на скоростите на две точки на тялото върху линията, която ги свързва
B и ъгловата скорост на манивелата SV
Определяне на ускорението на точките с равнинна форма
Нека покажем, че ускорението на всяка точка М на равнинна фигура (както и скорост) е сумата от ускоренията, които точката получава по време на транслационните и ротационни движения на тази фигура. Позиция на точка М по отношение на осите ОТНОСНО xy (вж. фигура 30) се определя радиус векторе ъгълът между вектораи сегмент Магистър (фиг. 14).
По този начин, ускорението на всяка точка Мплоска фигура е геометрично съставена от ускорението на някаква друга точка И взето за полюса и ускорението, което е точката Мполучава, когато фигурата се завърти около този полюс. Модул и посока на ускорението, се намират чрез конструиране на съответния паралелограм (фиг. 23).
Въпреки това, изчислението и ускорение всяка точка И тази цифра в момента; 2) траекторията на някаква друга точка AT фигури. В някои случаи вместо траекторията на втората точка на фигурата е достатъчно да се знае положението на моменталния център на скоростите.
При решаване на задачи тялото (или механизмът) трябва да бъде изобразено в положението, за което се изисква да се определи ускорението на съответната точка. Изчислението започва с определяне на точката, взета за полюс според данните на задачата.
План за решение (ако са посочени скоростта и ускорението на една точка от равнинната фигура и посоките на скоростта и ускорението на друга точка от фигурата)
1) Намерете моментния център на скоростите, като възстановите перпендикулярите на скоростите на две точки на плоска фигура.
2) Определете моментната ъглова скорост на фигурата.
3) Определете центростремителното ускорение на точка около полюса, приравнявайки на нула сумата от проекциите на всички членове на ускорението върху оста, перпендикулярна на известната посока на ускорение.
4) Намерете модула на въртящото ускорение, като приравните на нула сумата от проекциите на всички членове на ускорението върху оста, перпендикулярна на известната посока на ускорение.
5) Определете моментното ъглово ускорение на плоска фигура от намереното въртящо ускорение.
6) Намерете ускорението на точка от плоска фигура, като използвате формулата за разпределение на ускоренията.
При решаване на задачи може да се приложи „теоремата за проекциите на векторите на ускорението на две точки на абсолютно твърдо тяло“:
„Проекциите на векторите на ускорението на две точки на абсолютно твърдо тяло, което прави равнинно паралелно движение, върху права линия, завъртяна спрямо права линия, минаваща през тези две точки, в равнината на движение на това тяло под ъгълпо посока на ъгловото ускорение са равни. "
Удобно е да се приложи тази теорема, ако ускоренията само на две точки от абсолютно твърдо тяло са известни както по абсолютна стойност, така и по посока, известни са само посоките на векторите за ускорение на други точки на това тяло (геометричните размери на тялото не са известни), не са известнии - съответно проекциите на векторите на ъгловата скорост и ъгловото ускорение на това тяло върху оста, перпендикулярна на равнината на движение, скоростите на точките на това тяло не са известни.
Има още 3 метода за определяне на ускорението на точките на плоска фигура:
1) Методът се основава на диференциране на два пъти във времето закони на равнинно-паралелно движение на абсолютно твърдо тяло.
2) Методът се основава на използването на моментния център на ускорение на абсолютно твърдо тяло (моментният център на ускорение на абсолютно твърдо тяло ще бъде разгледан по-долу).
3) Методът се основава на използването на абсолютно твърд план за ускоряване на тялото.
Лекция 3. Плоскопаралелно движение на твърдо тяло. Определяне на скорости и ускорения.
Тази лекция разглежда следните въпроси:
1. Плоскопаралелно движение на твърдо тяло.
2. Уравнения на равнинно-паралелно движение.
3. Разлагане на движението на транслационно и ротационно.
4. Определяне на скоростите на точките на плоска фигура.
5. Теорема за проекциите на скоростите на две точки на тялото.
6. Определяне на скоростите на точките на плоска фигура, като се използва моментният център на скоростите.
7. Решаване на задачи за определяне на скоростта.
8. План за скорост.
9. Определяне на ускорението на точките на плоска фигура.
10. Решаване на задачи за ускорение.
11. Център за незабавно ускорение.
Изучаването на тези въпроси е необходимо в бъдеще за динамиката на равнинното движение на твърдо тяло, динамиката на относителното движение на материална точка, за решаване на задачи по дисциплините „Теория на машините и механизмите“ и „Машинни части“.
Паралелно на равнината движение на твърдо тяло. Уравнения на равнинно-паралелно движение.
Разлагане на движението на транслационно и ротационно
Плоскопаралелно (или плоско) е движение на твърдо тяло, при което всички негови точки се движат успоредно на някаква фиксирана равнина P (фиг. 28). Движението в самолет се извършва от много части на механизми и машини, например подвижно колело на прав коловоз, свързващ прът в механизъм на манивела и пр. Особено случай на паралелно равнинно движение е въртеливото движение на твърдо тяло около неподвижна ос.
Фиг. 28 Фиг. 29
Помислете за раздела С тяло на някаква равнина Oxyуспоредно на равнината P (фиг. 29). При равнинно паралелно движение всички точки на тялото лежат на права линия ММ’Перпендикулярно на потока С, т.е. равнината P, движете се идентично.
Оттук стигаме до извода, че за да изследваме движението на цялото тяло, е достатъчно да проучим как се движи в равнината Ооораздел Сна това тяло или някаква плоска фигура С... Следователно, в следващото, вместо равнинното движение на тялото, ще разгледаме движението на плоска фигура С в нейната равнина, т.е. в самолета Ооо.
Позиция на фигурата С в самолета Ооосе определя от позицията на някакъв сегмент, начертан на тази фигура AB (фиг. 28). На свой ред, позицията на сегмента AB може да се определи чрез познаване на координатите х А и у А точки И и ъгъла, който отсечката AB форми с оста х... Точка Иизбран за определяне на позицията на фигурата С, наричан по-нататък полюс.
Когато фигурата се движи, стойностите х А и у А и ще се промени. Да познава закона на движението, тоест положението на фигурата в равнината Ооо по всяко време трябва да знаете зависимостите
Уравненията, които определят закона на продължаващото движение, се наричат \u200b\u200bуравнения на движението на плоска фигура в нейната равнина. Те също са уравнения на равнинно-паралелно движение на твърдо тяло.
Първите две от уравненията на движението определят движението, което фигурата ще извърши при \u003d const; това очевидно ще бъде транслационно движение, при което всички точки на фигурата се движат по същия начин като полюса И... Третото уравнение определя движението, при което фигурата би извършила и, т.е. когато полюсът Инеподвижен; това ще завърти фигурата около полюса И... Следователно можем да заключим, че в общия случай движението на плоска фигура в нейната равнина може да се разглежда като сбор от транслационно движение, при което всички точки на фигурата се движат по същия начин като полюса И, и от въртеливо движение около този полюс.
Основните кинематични характеристики на разглежданото движение са скоростта и ускорението на транслационното движение, равно на скоростта и ускорението на полюса, както и ъгловата скорост и ъгловото ускорение на въртеливото движение около полюса.
Определяне на скоростите на точките на плоска фигура
Беше отбелязано, че движението на плоска фигура може да се разглежда като компонент на транслационното движение, при което всички точки на фигурата се движат със скоростта на полюса И, и от въртеливо движение около този полюс. Нека покажем, че скоростта на всяка точка Мфигурите се формират геометрично от скоростите, които точката получава при всяко от тези движения.
Всъщност позицията на всяка точка М фигурите се дефинират спрямо осите Ооо радиус вектор (фиг. 30), където е радиус вектор на полюса И, е векторът, определящ позицията на точката М спрямо оси, движещи се с полюса Итранслационно (движението на фигурата по отношение на тези оси е въртене около полюса И). Тогава
Нека покажем, че ускорението на всяка точка М на равнинна фигура (както и скорост) е сумата от ускоренията, които точката получава по време на транслационните и ротационни движения на тази фигура. Позиция на точка М по отношение на осите Oxy(виж фигура 30) се определя от радиусния вектор където. Тогава
От дясната страна на това равенство първият член е ускорението на полюса И, а вторият член определя ускорението, което точка m получава, когато фигурата се върти около полюса A... Следователно,
Стойността като ускорение на точка на въртящо се твърдо тяло се определя като
където и са ъгловата скорост и ъгловото ускорение на фигурата и е ъгълът между вектора и сегмента Магистър (фиг. 41).
По този начин, ускорението на всяка точка Мплоска фигура е геометрично съставена от ускорението на някаква друга точка Ивзето за полюса и ускорението, което е точката Мполучава, когато фигурата се завърти около този полюс. Модулът и посоката на ускорението се намират чрез начертаване на съответния паралелограм (фиг. 23).
Изчисляването с помощта на паралелограма, показан на фиг. 23, усложнява изчислението, тъй като първо ще е необходимо да се намери стойността на ъгъла, а след това и ъгъла между векторите и, следователно, при решаване на задачи е по-удобно да се замени векторът с допирателната и нормалните компоненти и да се представи във формата
В този случай векторът е насочен перпендикулярно на AM по посока на въртене, ако е ускорено, и срещу въртене, ако е бавно; векторът винаги е насочен от точката М до полюса И(фиг. 42). Числово
Ако полюсът Ине се движи по права линия, тогава ускорението му може да бъде представено и като сбор от допирателната и нормалната компоненти, тогава
Фиг. 41 Фиг. 42
И накрая, когато точката Мсе движи криволинейно и неговата траектория е известна, тогава тя може да бъде заменена със сума.
Въпроси за самопроверка
Какво движение на твърдо тяло се нарича плоско? Дайте примери за връзки на механизми, които правят движение на равнината.
Кои са простите движения, които съставляват равнинното движение на твърдо тяло?
Как се определя скоростта на произволна точка на тяло при движение на равнина?
Какво движение на твърдо тяло се нарича равнинно паралелно?
Сложно точково движение
Тази лекция разглежда следните въпроси:
1. Сложно движение на точка.
2. Относително, образно и абсолютно движение.
3. Теорема за добавяне на скорост.
4. Теорема за добавяне на ускорения. Ускорение на Кориолис.
5. Сложно движение на твърдо тяло.
6. Цилиндрични предавки.
7. Добавяне на транслационни и ротационни движения.
8. Винтово движение.
Изучаването на тези въпроси е необходимо в бъдеще за динамиката на равнинното движение на твърдо тяло, динамиката на относителното движение на материална точка, за решаване на задачи по дисциплините „Теория на машините и механизмите“ и „Машинни части“.
Незабавен център на скоростите.
Моментален център за скорост - при равнинно паралелно движение, точка със следните свойства: а) скоростта й в даден момент е равна на нула; б) тялото се върти спрямо него в даден момент.
За да се определи положението на моментния център на скоростите, е необходимо да се знаят посоките на скоростите на всякакви две различни точки на тялото, чиито скорости не са успоредни. След това, за да се определи положението на моментния център на скоростите, е необходимо да се направят перпендикуляри на прави линии, успоредни на линейните скорости на избраните точки на тялото. В точката на пресичане на тези перпендикуляри ще бъде разположен моменталният център на скоростите.
В случай, че векторите на линейни скорости на две различни точки на тялото са успоредни един на друг и сегментът, свързващ тези точки, не е перпендикулярен на векторите на тези скорости, тогава перпендикулярите към тези вектори също са успоредни. В този случай те казват, че моментният център на скоростите е в безкрайност и тялото се движи моментално транслационно.
Ако скоростите на две точки са известни и тези скорости са успоредни една на друга и освен това посочените точки лежат на права линия, перпендикулярна на скоростите, тогава положението на моментния център на скоростите се определя, както е показано на фиг. 2.
Положението на моменталния център на скоростите в общия случай не съвпада с положението на моменталния център на ускоренията. Въпреки това, в някои случаи, например при чисто ротационно движение, позициите на тези две точки могат да съвпадат.
21. Определяне на ускоренията на точките на тялото. Методът на полюса. Понятието за моменталния център на ускоренията.
Нека покажем, че ускорението на всяка точка М на равнинна фигура (както и скорост) е сумата от ускоренията, които точката получава по време на транслационните и ротационни движения на тази фигура. Позиция на точка М по отношение на осите Oxy(виж фигура 30) се определя от радиусния вектор където. Тогава
От дясната страна на това равенство първият член е ускорението на полюса И, а вторият член определя ускорението, което точка m получава, когато фигурата се върти около полюса A... Следователно,
Стойността като ускорение на точка на въртящо се твърдо тяло се определя като
където и са ъгловата скорост и ъгловото ускорение на фигурата и е ъгълът между вектора и сегмента Магистър (фиг. 41).
По този начин, ускорението на всяка точка Мплоска фигура е геометрично съставена от ускорението на някаква друга точка Ивзето за полюса и ускорението, което е точката Мполучава, когато фигурата се завърти около този полюс. Модулът и посоката на ускорението се намират чрез начертаване на съответния паралелограм (фиг. 23).
Въпреки това, изчислението използване на паралелограма, показан на фиг. 23, усложнява изчислението, тъй като първо ще е необходимо да се намери стойността на ъгъла, а след това ъгълът между векторите и, следователно, при решаване на задачи е по-удобно да се замени векторът с допирателната и нормалните компоненти и да се представи във формата
В този случай векторът е насочен перпендикулярно на AM по посока на въртене, ако е ускорено, и срещу въртене, ако е бавно; векторът винаги е насочен от точката М до полюса И(фиг. 42). Числово
Ако полюсът Ине се движи по права линия, тогава ускорението му може да бъде представено и като сбор от допирателната и нормалната компоненти, тогава
Фиг. 41 Фиг. 42
И накрая, когато точката Мсе движи криволинейно и неговата траектория е известна, тогава тя може да бъде заменена със сума.
