a n (একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ শক্তি) অভিব্যক্তিটি সব ক্ষেত্রেই সংজ্ঞায়িত করা হবে, সেই ক্ষেত্রে ব্যতীত যখন a = 0 এবং n শূন্যের চেয়ে কম বা সমান হয়।

ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য

একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রীর মৌলিক বৈশিষ্ট্য:

a m *a n = a (m+n);

a m: a n = a (m-n) (with কশূন্যের সমান নয়);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (সহ খশূন্যের সমান নয়);

a 0 = 1 (সহ কশূন্যের সমান নয়);

এই বৈশিষ্ট্যগুলি a, b এবং যেকোন পূর্ণসংখ্যা m এবং n এর জন্য বৈধ হবে। এটি নিম্নলিখিত সম্পত্তি লক্ষনীয় মূল্যবান:

যদি m>n, তাহলে a m> a n, a>1 এবং a m এর জন্য

আমরা একটি সংখ্যার শক্তির ধারণাকে সাধারণীকরণ করতে পারি যেখানে মূলদ সংখ্যাগুলি সূচক হিসাবে কাজ করে। একই সময়ে, আমি চাই যে উপরের সমস্ত বৈশিষ্ট্যগুলি পূরণ হোক, বা অন্তত তাদের কিছু।

উদাহরণস্বরূপ, যদি সম্পত্তি (a m) n = a (m*n) সন্তুষ্ট হয়, তাহলে নিম্নলিখিত সমতা থাকবে:

(a (m/n)) n = a m।

এই সমতার মানে হল সংখ্যা a (m/n) সংখ্যাটি a m সংখ্যার nতম মূল হতে হবে।

একটি মূলদ সূচক r = (m/n) সহ কিছু সংখ্যার a (শূন্যের চেয়ে বড়), যেখানে m হল কিছু পূর্ণসংখ্যা, n হল একের থেকে বড় কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা, হল সংখ্যা n√(a m). সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে: a (m/n) = n√(a m)।

সমস্ত ধনাত্মক r-এর জন্য, শূন্যের শক্তি নির্ধারণ করা হবে। সংজ্ঞা অনুসারে, 0 r = 0। আরও মনে রাখবেন যে কোনও পূর্ণসংখ্যার জন্য, যে কোনও প্রাকৃতিক m এবং n, এবং ধনাত্মক কনিম্নলিখিত সমতা সত্য: a (m/n) = a ((mk)/(nk))।

যেমন: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12)।

একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা থেকে এটি সরাসরি অনুসরণ করে যে কোনও ধনাত্মক a এবং যে কোনও মূলদ r এর জন্য a r হবে ইতিবাচক.

একটি মূলদ সূচক সহ একটি ডিগ্রির মৌলিক বৈশিষ্ট্য

যেকোনো মূলদ সংখ্যা p, q এবং যেকোনো a>0 এবং b>0 এর জন্য নিম্নলিখিত সমতা সত্য:

1. (a p)*(a q) = a (p+q);

2. (a p):(b q) = a (p-q);

3. (a p) q = a (p*q);

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p)।

এই বৈশিষ্ট্যগুলি শিকড়ের বৈশিষ্ট্য থেকে অনুসরণ করে। এই সমস্ত বৈশিষ্ট্য একইভাবে প্রমাণিত, তাই আমরা নিজেদেরকে শুধুমাত্র একটি প্রমাণ করার জন্য সীমাবদ্ধ রাখব, উদাহরণস্বরূপ, প্রথম (a p)*(a q) = a (p + q)।

ধরুন p = m/n, এবং q = k/l, যেখানে n, l কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা এবং m, k কিছু পূর্ণসংখ্যা। তারপরে আপনাকে প্রমাণ করতে হবে যে:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l))।

প্রথমে, একটি সাধারণ হর-এ ভগ্নাংশ m/n k/l নিয়ে আসা যাক। আমরা (m*l)/(n*l) এবং (k*n)/(n*l) ভগ্নাংশ পাই। আসুন এই স্বরলিপি ব্যবহার করে সমতার বাম দিকটি পুনরায় লিখি এবং পান:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) )

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a(m*l))*(n*l)√(a(k*n)) = (n*l)√((a(m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m) /n)+(k/l))।

ভিডিও পাঠ "একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ সূচক" এই বিষয়ে একটি পাঠ শেখানোর জন্য ভিজ্যুয়াল শিক্ষামূলক উপাদান রয়েছে। ভিডিও পাঠে একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির ধারণা, এই জাতীয় ডিগ্রিগুলির বৈশিষ্ট্য এবং সেইসাথে ব্যবহারিক সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য শিক্ষাগত উপাদানের ব্যবহার বর্ণনা করার উদাহরণগুলি সম্পর্কে তথ্য রয়েছে। এই ভিডিও পাঠের উদ্দেশ্য হ'ল শিক্ষাগত উপাদানগুলিকে স্পষ্টভাবে এবং স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করা, শিক্ষার্থীদের এটির বিকাশ এবং মুখস্থ করার সুবিধা দেওয়া এবং শেখা ধারণাগুলি ব্যবহার করে সমস্যাগুলি সমাধান করার ক্ষমতা বিকাশ করা।

ভিডিও পাঠের প্রধান সুবিধাগুলি হল দৃশ্যত রূপান্তর এবং গণনা সম্পাদন করার ক্ষমতা, শেখার দক্ষতা উন্নত করতে অ্যানিমেশন প্রভাবগুলি ব্যবহার করার ক্ষমতা। ভয়েস সহযোগ সঠিক গাণিতিক বক্তৃতা বিকাশে সহায়তা করে এবং শিক্ষকের ব্যাখ্যাকে প্রতিস্থাপন করা সম্ভব করে, তাকে স্বতন্ত্র কাজ করার জন্য মুক্ত করে।

ভিডিও পাঠ শুরু হয় বিষয় পরিচয় দিয়ে। পূর্বে অধ্যয়ন করা উপাদানের সাথে একটি নতুন বিষয়ের অধ্যয়নকে সংযুক্ত করার সময়, এটি মনে রাখার পরামর্শ দেওয়া হয় যে n √a অন্যথায় প্রাকৃতিক n এবং ধনাত্মক a-এর জন্য 1/n নির্দেশিত হয়। এই এন-রুট উপস্থাপনা পর্দায় প্রদর্শিত হয়। এর পরে, আমরা একটি m/n শব্দের অর্থ কী তা বিবেচনা করার প্রস্তাব করি, যেখানে a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং m/n একটি ভগ্নাংশ। একটি m/n = n √a m হিসাবে যুক্তিযুক্ত সূচক সহ একটি ডিগ্রির সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে, ফ্রেমে হাইলাইট করা হয়েছে। এটা উল্লেখ্য যে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হতে পারে, এবং m একটি পূর্ণসংখ্যা হতে পারে।

একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রী সংজ্ঞায়িত করার পরে, উদাহরণের মাধ্যমে এর অর্থ প্রকাশ করা হয়: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3। এটি একটি উদাহরণও দেখায় যেখানে দশমিক দ্বারা উপস্থাপিত একটি শক্তিকে একটি ভগ্নাংশে রূপান্তরিত করে একটি মূল হিসাবে উপস্থাপন করা হয়: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 এবং নেতিবাচক শক্তি সহ একটি উদাহরণ: 3 -1/8 = 8 √3 -1।

ডিগ্রীর ভিত্তি শূন্য হলে বিশেষ ক্ষেত্রের অদ্ভুততা আলাদাভাবে নির্দেশিত হয়। এটা লক্ষ করা যায় যে এই ডিগ্রী শুধুমাত্র একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশের সূচকের সাথে বোঝা যায়। এই ক্ষেত্রে, এর মান শূন্য: 0 m/n =0।

একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রীর আরেকটি বৈশিষ্ট্য উল্লেখ করা হয়েছে - একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রীকে ভগ্নাংশের সূচকের সাথে বিবেচনা করা যায় না। ডিগ্রীর ভুল নোটেশনের উদাহরণ দেওয়া হল: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5।

পরবর্তী ভিডিও পাঠে আমরা একটি ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ আলোচনা করব। এটি উল্লেখ্য যে একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি একটি মূলদ সূচক সহ একটি ডিগ্রির জন্যও বৈধ হবে। এই ক্ষেত্রেও বৈধ বৈশিষ্ট্যগুলির তালিকা প্রত্যাহার করার প্রস্তাব করা হয়েছে:

1. একই ঘাঁটিগুলির সাথে শক্তিগুলিকে গুণ করার সময়, তাদের সূচকগুলি যোগ করে: a p a q =a p+q।
2. একই বেস সহ ডিগ্রীর বিভাজন একটি প্রদত্ত বেস সহ ডিগ্রীতে হ্রাস করা হয় এবং সূচকের পার্থক্য: a p:a q =a p-q।
3. যদি আমরা ডিগ্রীকে একটি নির্দিষ্ট শক্তিতে বাড়াই, তাহলে আমরা একটি প্রদত্ত বেস এবং সূচকের গুণফল সহ একটি ডিগ্রি দিয়ে শেষ করব: (a p) q =a pq।

এই সমস্ত বৈশিষ্ট্যগুলি মূলদ সূচক p, q এবং ধনাত্মক বেস a>0 সহ শক্তিগুলির জন্য বৈধ। এছাড়াও, বন্ধনী খোলার সময় ডিগ্রী রূপান্তর সত্য থাকে:

1. (ab) p =a p b p - যৌক্তিক সূচকের সাহায্যে কিছু ঘাত বাড়ালে দুটি সংখ্যার গুণফলকে সংখ্যার গুণে কমানো হয়, যার প্রতিটি একটি নির্দিষ্ট শক্তিতে উত্থিত হয়।
2. (a/b) p =a p /b p - একটি ভগ্নাংশকে একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ একটি ঘাতে উত্থাপন করা একটি ভগ্নাংশে হ্রাস করা হয় যার লব এবং হর একটি প্রদত্ত শক্তিতে উত্থাপিত হয়।

ভিডিও টিউটোরিয়ালটি সমাধানের উদাহরণ নিয়ে আলোচনা করে যা একটি যুক্তিযুক্ত সূচকের সাথে ক্ষমতার বিবেচিত বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে। প্রথম উদাহরণটি আপনাকে ভগ্নাংশের শক্তিতে x ভেরিয়েবল ধারণ করে এমন একটি এক্সপ্রেশনের মান খুঁজে বের করতে বলে: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1)। অভিব্যক্তির জটিলতা সত্ত্বেও, ক্ষমতার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে এটি বেশ সহজভাবে সমাধান করা যেতে পারে। সমস্যাটির সমাধান শুরু হয় অভিব্যক্তিকে সরলীকরণের মাধ্যমে, যা একটি শক্তিকে একটি যৌক্তিক সূচকের সাহায্যে একটি শক্তিকে উত্থাপন করার নিয়ম ব্যবহার করে, সেইসাথে একই বেসের সাথে গুন করার ক্ষমতা ব্যবহার করে। প্রদত্ত মান x=8কে সরলীকৃত রাশি x 1/3 +48-এ প্রতিস্থাপন করার পরে, মান প্রাপ্ত করা সহজ - 50।

দ্বিতীয় উদাহরণে, আপনাকে এমন একটি ভগ্নাংশকে কমাতে হবে যার লব এবং হর একটি মূলদ সূচক সহ শক্তি ধারণ করে। ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা পার্থক্য থেকে ফ্যাক্টর x 1/3 বের করি, যা তারপর লব এবং হর-এ ছোট করা হয় এবং বর্গক্ষেত্রের পার্থক্যের সূত্র ব্যবহার করে, লবটিকে ফ্যাক্টরাইজ করা হয়, যা একই রকমের আরও হ্রাস দেয়। লব এবং হর এর গুণনীয়ক। এই ধরনের রূপান্তরের ফলাফল হল ছোট ভগ্নাংশ x 1/4 +3।

শিক্ষক নতুন পাঠের বিষয় ব্যাখ্যা করার পরিবর্তে ভিডিও পাঠ "যুক্তিযুক্ত সূচক সহ সূচক" ব্যবহার করা যেতে পারে। এই ম্যানুয়ালটিতে শিক্ষার্থীর স্বাধীনভাবে অধ্যয়নের জন্য পর্যাপ্ত সম্পূর্ণ তথ্য রয়েছে। উপাদানটি দূরত্ব শিক্ষার জন্যও উপযোগী হতে পারে।

a (m/n) ফর্মের একটি অভিব্যক্তি, যেখানে n হল কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা, m হল কিছু পূর্ণসংখ্যা এবং a ডিগ্রির ভিত্তি শূন্যের চেয়ে বড়, ভগ্নাংশের সূচক সহ একটি ডিগ্রি বলা হয়।তদুপরি, নিম্নলিখিত সমতা সত্য। n√(a m) = a (m/n)।

আমরা ইতিমধ্যে জানি, m/n ফর্মের সংখ্যাগুলি, যেখানে n হল কিছু স্বাভাবিক সংখ্যা এবং m হল কিছু পূর্ণসংখ্যা, তাকে ভগ্নাংশ বা মূলদ সংখ্যা বলা হয়। উপরের সবকটি থেকে আমরা পাই যে ডিগ্রী যেকোন যৌক্তিক সূচক এবং ডিগ্রীর যেকোন ইতিবাচক ভিত্তির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়।

যে কোন মূলদ সংখ্যা p,q এবং যে কোন a>0 এবং b>0 এর জন্য নিম্নলিখিত সমতা সত্য:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p):(b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

ভগ্নাংশের সূচক সহ ক্ষমতা ধারণ করে এমন বিভিন্ন অভিব্যক্তিকে রূপান্তর করার সময় এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

একটি ভগ্নাংশের সূচক সহ ক্ষমতা ধারণকারী অভিব্যক্তির রূপান্তরের উদাহরণ

আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি যা প্রদর্শন করে যে এই বৈশিষ্ট্যগুলি কীভাবে অভিব্যক্তি রূপান্তর করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

1. গণনা করুন 7 (1/4) * 7 (3/4)।

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7।

2. গণনা করুন 9 (2/3): 9 (1/6)।

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. গণনা করুন (16 (1/3)) (9/4)।

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. গণনা করুন 24 (2/3)।

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. গণনা করুন (8/27) (1/3)।

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. অভিব্যক্তি সরল করুন ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. গণনা করুন (25 (1/5))*(125 (1/5))।

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. অভিব্যক্তি সরলীকরণ

• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3))।
• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
• = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
• = 1 +a - (1-a) = 2*a.

যেমন আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এই বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, আপনি ভগ্নাংশের সূচক সহ ক্ষমতা ধারণ করে এমন কিছু অভিব্যক্তিকে উল্লেখযোগ্যভাবে সরল করতে পারেন।

অভিব্যক্তি, অভিব্যক্তি রূপান্তর

পাওয়ার এক্সপ্রেশন (ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি) এবং তাদের রূপান্তর

এই নিবন্ধে আমরা ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি রূপান্তর সম্পর্কে কথা বলব। প্রথমত, আমরা সেই রূপান্তরগুলির উপর ফোকাস করব যেগুলি যে কোনও ধরণের অভিব্যক্তির সাথে সম্পাদিত হয়, যার মধ্যে শক্তি অভিব্যক্তি, যেমন বন্ধনী খোলা এবং অনুরূপ পদ আনা। এবং তারপরে আমরা ডিগ্রী সহ অভিব্যক্তিতে অন্তর্নিহিত রূপান্তরগুলি বিশ্লেষণ করব: বেস এবং সূচকের সাথে কাজ করা, ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে ইত্যাদি।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

শক্তি অভিব্যক্তি কি?

"পাওয়ার এক্সপ্রেশন" শব্দটি কার্যত বিদ্যালয়ের গণিতের পাঠ্যপুস্তকে উপস্থিত হয় না, তবে এটি প্রায়শই সমস্যাগুলির সংগ্রহে উপস্থিত হয়, বিশেষ করে যেগুলি ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতির উদ্দেশ্যে, উদাহরণস্বরূপ। যে কাজগুলিতে শক্তির অভিব্যক্তি সহ যে কোনও ক্রিয়া সম্পাদন করা প্রয়োজন তা বিশ্লেষণ করার পরে, এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে পাওয়ার এক্সপ্রেশনগুলি তাদের এন্ট্রিতে শক্তি ধারণকারী অভিব্যক্তি হিসাবে বোঝা যায়। অতএব, আপনি নিজের জন্য নিম্নলিখিত সংজ্ঞা গ্রহণ করতে পারেন:

সংজ্ঞা।

শক্তি অভিব্যক্তিডিগ্রী ধারণকারী এক্সপ্রেশন.

দেওয়া যাক শক্তি প্রকাশের উদাহরণ. তাছাড়া, প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি ডিগ্রী থেকে একটি বাস্তব সূচক সহ একটি ডিগ্রী পর্যন্ত দৃষ্টিভঙ্গির বিকাশ কীভাবে ঘটে সে অনুসারে আমরা সেগুলি উপস্থাপন করব।

যেমনটি জানা যায়, প্রথমে একজন প্রাকৃতিক সূচক সহ একটি সংখ্যার শক্তির সাথে পরিচিত হয়, টাইপ 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) এর প্রথম সহজতম পাওয়ার এক্সপ্রেশন; 4, 3 a 2 দেখা যাচ্ছে −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ইত্যাদি।

একটু পরে, একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি সংখ্যার শক্তি অধ্যয়ন করা হয়, যা নিম্নলিখিতগুলির মত ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার শক্তি সহ পাওয়ার এক্সপ্রেশনগুলির উপস্থিতির দিকে পরিচালিত করে: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2।

উচ্চ বিদ্যালয়ে তারা ডিগ্রিতে ফিরে আসে। সেখানে একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রী চালু করা হয়েছে, যা সংশ্লিষ্ট শক্তি অভিব্যক্তিগুলির উপস্থিতি অন্তর্ভুক্ত করে: , , এবং তাই অবশেষে, অযৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী এবং সেগুলি ধারণকারী এক্সপ্রেশন বিবেচনা করা হয়: , .

বিষয়টি তালিকাভুক্ত পাওয়ার এক্সপ্রেশনের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়: আরও ভেরিয়েবলটি এক্সপোনেন্টের মধ্যে প্রবেশ করে এবং, উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত রাশিগুলি দেখা দেয়: 2 x 2 +1 বা . এবং এর সাথে পরিচিত হওয়ার পরে, ক্ষমতা এবং লগারিদম সহ অভিব্যক্তিগুলি উপস্থিত হতে শুরু করে, উদাহরণস্বরূপ, x 2·lgx −5·x lgx।

সুতরাং, আমরা শক্তি অভিব্যক্তি প্রতিনিধিত্ব কি প্রশ্ন মোকাবেলা করেছি. পরবর্তীতে আমরা তাদের রূপান্তর করতে শিখব।

পাওয়ার এক্সপ্রেশনের রূপান্তরের প্রাথমিক প্রকার

পাওয়ার এক্সপ্রেশনের সাহায্যে, আপনি এক্সপ্রেশনের যে কোনো মৌলিক পরিচয় রূপান্তর করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি বন্ধনী খুলতে পারেন, সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তিকে তাদের মান দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারেন, অনুরূপ পদ যোগ করতে পারেন ইত্যাদি। স্বাভাবিকভাবেই, এই ক্ষেত্রে, কর্ম সম্পাদনের জন্য গৃহীত পদ্ধতি অনুসরণ করা প্রয়োজন। উদাহরণ দেওয়া যাক।

উদাহরণ।

পাওয়ার এক্সপ্রেশনের মান গণনা করুন 2 3 ·(4 2 −12)।

সমাধান।

কর্ম সম্পাদনের ক্রম অনুসারে, প্রথমে বন্ধনীতে ক্রিয়া সম্পাদন করুন। সেখানে, প্রথমত, আমরা পাওয়ার 4 2 এর মান 16 দিয়ে প্রতিস্থাপন করি (যদি প্রয়োজন হয়, দেখুন), এবং দ্বিতীয়ত, আমরা পার্থক্য 16−12=4 গণনা করি। আমাদের আছে 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিতে, আমরা শক্তি 2 3 এর মান 8 দিয়ে প্রতিস্থাপন করি, তারপরে আমরা গুণফল 8·4=32 গণনা করি। এই কাঙ্ক্ষিত মান.

তাই, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

উত্তর:

2 3 · (4 2 −12)=32।

উদাহরণ।

ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি সরলীকরণ 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

সমাধান।

স্পষ্টতই, এই অভিব্যক্তিতে অনুরূপ পদ রয়েছে 3·a 4 ·b −7 এবং 2·a 4 ·b −7, এবং আমরা সেগুলি উপস্থাপন করতে পারি:।

উত্তর:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

উদাহরণ।

একটি পণ্য হিসাবে ক্ষমতা সহ একটি অভিব্যক্তি প্রকাশ করুন.

সমাধান।

আপনি 9 নম্বরটিকে 3 2 এর শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করে এবং তারপর সংক্ষিপ্ত গুণের জন্য সূত্র ব্যবহার করে কাজটি মোকাবেলা করতে পারেন - বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য:

উত্তর:

শক্তির অভিব্যক্তিতে বিশেষভাবে অন্তর্নিহিত বেশ কয়েকটি অভিন্ন রূপান্তরও রয়েছে। আমরা তাদের আরও বিশ্লেষণ করব।

ভিত্তি এবং সূচকের সাথে কাজ করা

এমন কিছু শক্তি আছে যাদের ভিত্তি এবং/অথবা সূচকগুলি কেবল সংখ্যা বা চলক নয়, কিছু অভিব্যক্তি। উদাহরণ হিসেবে, আমরা এন্ট্রি দিই (2+0.3·7) 5−3.7 এবং (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)।

এই ধরনের এক্সপ্রেশনের সাথে কাজ করার সময়, আপনি ডিগ্রীর বেসে এক্সপ্রেশন এবং এক্সপোনেন্টের এক্সপ্রেশন উভয়কে এর ভেরিয়েবলের ODZ-এ অভিন্নভাবে সমান এক্সপ্রেশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারেন। অন্য কথায়, আমাদের জানা নিয়ম অনুসারে, আমরা আলাদাভাবে ডিগ্রীর ভিত্তি এবং আলাদাভাবে সূচককে রূপান্তর করতে পারি। এটা স্পষ্ট যে এই রূপান্তরের ফলে, একটি অভিব্যক্তি প্রাপ্ত হবে যা মূলের সমান।

এই ধরনের রূপান্তরগুলি আমাদেরকে ক্ষমতা দিয়ে অভিব্যক্তিকে সরল করতে বা আমাদের প্রয়োজনীয় অন্যান্য লক্ষ্যগুলি অর্জন করতে দেয়। উদাহরণস্বরূপ, উপরে উল্লিখিত পাওয়ার এক্সপ্রেশনে (2+0.3 7) 5−3.7, আপনি বেস এবং এক্সপোনেন্টের সংখ্যাগুলির সাথে ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারেন, যা আপনাকে শক্তি 4.1 1.3 এ যেতে অনুমতি দেবে। এবং বন্ধনী খোলার পরে এবং অনুরূপ পদগুলিকে ডিগ্রির বেসে (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) আনার পর, আমরা একটি 2·(x+) একটি সরল আকারের একটি পাওয়ার এক্সপ্রেশন পাই। 1)।

ডিগ্রী বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে

ক্ষমতার সাথে অভিব্যক্তিকে রূপান্তরিত করার প্রধান হাতিয়ারগুলির মধ্যে একটি হল সমতা যা প্রতিফলিত করে। আমাদের প্রধান বেশী স্মরণ করা যাক. যে কোন ধনাত্মক সংখ্যা a এবং b এবং নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা r এবং s এর জন্য, ক্ষমতার নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সত্য:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a rs·s।

মনে রাখবেন যে প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যা এবং ধনাত্মক সূচকের জন্য, a এবং b সংখ্যার সীমাবদ্ধতা এতটা কঠোর নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যা m এবং n সমতার জন্য a m ·a n =a m+n শুধুমাত্র ধনাত্মক a এর জন্য নয়, ঋণাত্মক a এবং a=0 এর জন্যও সত্য।

স্কুলে, ক্ষমতার অভিব্যক্তিকে রূপান্তর করার সময় প্রধান ফোকাস হয় উপযুক্ত সম্পত্তি নির্বাচন করার এবং সঠিকভাবে প্রয়োগ করার ক্ষমতার উপর। এই ক্ষেত্রে, ডিগ্রির ভিত্তিগুলি সাধারণত ধনাত্মক হয়, যা ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্যগুলিকে সীমাবদ্ধতা ছাড়াই ব্যবহার করার অনুমতি দেয়। একই ক্ষমতার বেসে ভেরিয়েবল সম্বলিত এক্সপ্রেশনের রূপান্তরের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য - ভেরিয়েবলের অনুমোদিত মানের পরিসীমা সাধারণত এমন হয় যে বেসগুলি এতে শুধুমাত্র ইতিবাচক মান গ্রহণ করে, যা আপনাকে অবাধে ক্ষমতার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করতে দেয় . সাধারণভাবে, আপনাকে ক্রমাগত নিজেকে জিজ্ঞাসা করতে হবে যে এই ক্ষেত্রে ডিগ্রির কোনও সম্পত্তি ব্যবহার করা সম্ভব কি না, কারণ বৈশিষ্ট্যগুলির ভুল ব্যবহার শিক্ষাগত মান এবং অন্যান্য সমস্যাকে সংকুচিত করতে পারে। এই পয়েন্টগুলি ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে অভিব্যক্তির রূপান্তর নিবন্ধে বিশদভাবে এবং উদাহরণ সহ আলোচনা করা হয়েছে। এখানে আমরা কয়েকটি সাধারণ উদাহরণ বিবেচনায় নিজেদের সীমাবদ্ধ রাখব।

উদাহরণ।

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 কে বেস a সহ একটি ঘাত হিসাবে প্রকাশ করুন।

সমাধান।

প্রথমত, আমরা একটি শক্তিকে শক্তিতে উন্নীত করার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে দ্বিতীয় গুণনীয়ক (a 2) −3 রূপান্তর করি: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. মূল শক্তি অভিব্যক্তি একটি 2.5 ·a −6:a −5.5 রূপ নেবে। স্পষ্টতই, একই বেসের সাথে গুণন এবং বিভাজনের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করা বাকি রয়েছে, আমাদের আছে
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2।

উত্তর:

a 2.5 · (a 2) −3:a −5.5 =a 2.

পাওয়ার এক্সপ্রেশন রূপান্তর করার সময় ক্ষমতার বৈশিষ্ট্যগুলি বাম থেকে ডানে এবং ডান থেকে বামে উভয়ই ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ।

পাওয়ার এক্সপ্রেশনের মান নির্ণয় কর।

সমাধান।

সমতা (a·b) r =a r·b r, ডান থেকে বামে প্রয়োগ করা হয়, আমাদের মূল অভিব্যক্তি থেকে ফর্মের একটি গুণফল এবং আরও এগিয়ে যেতে দেয়। এবং একই ঘাঁটিগুলির সাথে শক্তিগুলিকে গুণ করার সময়, সূচকগুলি যোগ করে: .

মূল অভিব্যক্তিটিকে অন্য উপায়ে রূপান্তর করা সম্ভব ছিল:

উত্তর:

.

উদাহরণ।

একটি 1.5 −a 0.5 −6 পাওয়ার এক্সপ্রেশন দেওয়া, একটি নতুন পরিবর্তনশীল t=a 0.5 প্রবর্তন করুন।

সমাধান।

ডিগ্রী a 1.5 কে 0.5 3 হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং তারপর, ডিগ্রী থেকে ডিগ্রী (a r) s =a r s পর্যন্ত ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে, ডান থেকে বামে প্রয়োগ করে, এটিকে (a 0.5) 3 ফর্মে রূপান্তর করুন। এইভাবে, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. এখন একটি নতুন পরিবর্তনশীল t=a 0.5 প্রবর্তন করা সহজ, আমরা t 3 −t−6 পাই।

উত্তর:

t 3 −t−6 ।

ক্ষমতা ধারণকারী ভগ্নাংশ রূপান্তর

পাওয়ার এক্সপ্রেশনগুলি ক্ষমতা সহ ভগ্নাংশ ধারণ করতে পারে বা প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। ভগ্নাংশের যে কোনো মৌলিক রূপান্তর যে কোনো ধরনের ভগ্নাংশের মধ্যে অন্তর্নিহিত থাকে, এই ধরনের ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে সম্পূর্ণরূপে প্রযোজ্য। অর্থাৎ, যেসব ভগ্নাংশে ক্ষমতা রয়েছে সেগুলোকে হ্রাস করা যেতে পারে, একটি নতুন হরকে হ্রাস করা যেতে পারে, তাদের লবের সাথে আলাদাভাবে এবং হরের সাথে আলাদাভাবে কাজ করা যায় ইত্যাদি। এই শব্দগুলি ব্যাখ্যা করার জন্য, কয়েকটি উদাহরণের সমাধান বিবেচনা করুন।

উদাহরণ।

পাওয়ার এক্সপ্রেশন সরলীকরণ করুন .

সমাধান।

এই শক্তি অভিব্যক্তি একটি ভগ্নাংশ. এর লব এবং হর নিয়ে কাজ করা যাক। লবটিতে আমরা বন্ধনীগুলি খুলি এবং ক্ষমতার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে ফলাফল প্রকাশকে সরল করি এবং হরটিতে আমরা অনুরূপ পদ উপস্থাপন করি:

এবং ভগ্নাংশের সামনে একটি বিয়োগ রেখে হর-এর চিহ্নও পরিবর্তন করি: .

উত্তর:

.

একটি নতুন হরকে শক্তি সম্বলিত ভগ্নাংশ হ্রাস করা একইভাবে একটি নতুন হরকে মূলদ ভগ্নাংশকে হ্রাস করার মতোই সঞ্চালিত হয়। এই ক্ষেত্রে, একটি অতিরিক্ত গুণনীয়কও পাওয়া যায় এবং ভগ্নাংশের লব এবং হরকে এটি দ্বারা গুণ করা হয়। এই ক্রিয়াটি সম্পাদন করার সময়, এটি মনে রাখা উচিত যে একটি নতুন হরকে হ্রাস করার ফলে ODZ সংকীর্ণ হতে পারে। এটি যাতে না ঘটে তার জন্য, মূল অভিব্যক্তির জন্য ODZ ভেরিয়েবল থেকে ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য অতিরিক্ত ফ্যাক্টরটি শূন্যে না যাওয়া আবশ্যক।

উদাহরণ।

ভগ্নাংশগুলিকে একটি নতুন হর কমিয়ে দিন: ক) হর এ, খ) হরকে

সমাধান।

ক) এই ক্ষেত্রে, কোন অতিরিক্ত গুণকটি পছন্দসই ফলাফল অর্জনে সহায়তা করে তা নির্ধারণ করা বেশ সহজ। এটি একটি 0.3 এর একটি গুণক, যেহেতু একটি 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a। উল্লেখ্য যে পরিবর্তনশীল a (এটি সমস্ত ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট) এর অনুমোদনযোগ্য মানের পরিসরে, একটি 0.3 এর শক্তি অদৃশ্য হয়ে যায় না, তাই, আমাদের একটি প্রদত্ত লব এবং হরকে গুণ করার অধিকার রয়েছে এই অতিরিক্ত ফ্যাক্টর দ্বারা ভগ্নাংশ:

খ) হরটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে, আপনি এটি খুঁজে পেতে পারেন

এবং এই রাশিটিকে দ্বারা গুণ করলে ঘনক্ষেত্রের যোগফল পাওয়া যাবে এবং , অর্থাৎ . এবং এই নতুন হর যা আমাদের মূল ভগ্নাংশ কমাতে হবে।

এইভাবে আমরা একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর খুঁজে পেয়েছি। x এবং y ভেরিয়েবলের অনুমোদিত মানের পরিসরে, অভিব্যক্তিটি অদৃশ্য হয়ে যায় না, তাই, আমরা এটি দ্বারা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে গুণ করতে পারি:

উত্তর:

ক) , খ) .

ক্ষমতা সম্বলিত ভগ্নাংশগুলি হ্রাস করার ক্ষেত্রেও নতুন কিছু নেই: লব এবং হরকে অনেকগুলি কারণ হিসাবে উপস্থাপন করা হয় এবং লব এবং হরের একই কারণগুলি হ্রাস করা হয়।

উদাহরণ।

ভগ্নাংশ হ্রাস করুন: ক) , খ)।

সমাধান।

ক) প্রথমত, লব এবং হর 30 এবং 45 সংখ্যা দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে, যা 15 এর সমান। এটি x 0.5 +1 এবং দ্বারা একটি হ্রাস সঞ্চালন করা স্পষ্টতই সম্ভব . আমাদের যা আছে তা এখানে:

b) এই ক্ষেত্রে, লব এবং হর এর অভিন্ন কারণগুলি অবিলম্বে দৃশ্যমান হয় না। এগুলি পেতে, আপনাকে প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করতে হবে। এই ক্ষেত্রে, তারা বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে হরকে ফ্যাক্টরিং করে:

উত্তর:

ক)

খ) .

ভগ্নাংশগুলিকে একটি নতুন হরতে রূপান্তর করা এবং ভগ্নাংশগুলি হ্রাস করা মূলত ভগ্নাংশের সাথে জিনিসগুলি করতে ব্যবহৃত হয়। কর্ম পরিচিত নিয়ম অনুযায়ী সঞ্চালিত হয়. ভগ্নাংশ যোগ (বিয়োগ) করার সময়, তারা একটি সাধারণ হর এ ছোট করা হয়, যার পরে লব যোগ করা হয় (বিয়োগ), কিন্তু হর একই থাকে। ফলাফল হল একটি ভগ্নাংশ যার লব হল লবগুলির গুণফল, এবং হর হল হরগুলির গুণফল। একটি ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ তার বিপরীত দ্বারা গুন হয়.

উদাহরণ।

পদক্ষেপগুলো অনুসরণ কর .

সমাধান।

প্রথমত, আমরা বন্ধনীতে ভগ্নাংশ বিয়োগ করি। এটি করার জন্য, আমরা তাদের একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে নিয়ে এসেছি, যা হল , যার পরে আমরা সংখ্যা বিয়োগ করি:

এখন আমরা ভগ্নাংশ গুণ করি:

স্পষ্টতই, x 1/2 এর শক্তি দ্বারা হ্রাস করা সম্ভব, যার পরে আমাদের আছে .

আপনি বর্গাকার সূত্রের পার্থক্য ব্যবহার করে হর-এ পাওয়ার এক্সপ্রেশনকেও সরল করতে পারেন: .

উত্তর:

উদাহরণ।

পাওয়ার এক্সপ্রেশন সরলীকরণ করুন .

সমাধান।

স্পষ্টতই, এই ভগ্নাংশটি (x 2.7 +1) 2 দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে, এটি ভগ্নাংশটি দেয় . এটা স্পষ্ট যে X এর ক্ষমতা দিয়ে অন্য কিছু করা দরকার। এটি করার জন্য, আমরা ফলস্বরূপ ভগ্নাংশকে একটি পণ্যে রূপান্তর করি। এটি আমাদের একই ঘাঁটিগুলির সাথে ক্ষমতা ভাগ করার সম্পত্তির সুবিধা নেওয়ার সুযোগ দেয়: . এবং প্রক্রিয়া শেষে আমরা শেষ পণ্য থেকে ভগ্নাংশে চলে যাই।

উত্তর:

.

এবং আমাদের আরও যোগ করা যাক যে এটি সম্ভব, এবং অনেক ক্ষেত্রেই কাঙ্খিত, নেতিবাচক সূচক সহ লব থেকে হর বা হর থেকে লবটিতে স্থানান্তর করা, সূচকের চিহ্ন পরিবর্তন করা। এই ধরনের রূপান্তরগুলি প্রায়শই পরবর্তী ক্রিয়াগুলিকে সহজ করে তোলে। উদাহরণস্বরূপ, একটি পাওয়ার এক্সপ্রেশন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে।

মূল এবং ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তি রূপান্তর

প্রায়শই, অভিব্যক্তিতে যেখানে কিছু রূপান্তর প্রয়োজন হয়, ভগ্নাংশের সূচক সহ মূলগুলিও শক্তির সাথে উপস্থিত থাকে। এই জাতীয় অভিব্যক্তিকে পছন্দসই আকারে রূপান্তর করতে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি কেবলমাত্র শিকড়ে বা কেবল শক্তিতে যাওয়াই যথেষ্ট। কিন্তু যেহেতু ক্ষমতার সাথে কাজ করা আরও সুবিধাজনক, তারা সাধারণত শিকড় থেকে শক্তিতে চলে যায়। যাইহোক, যখন মূল অভিব্যক্তির জন্য ভেরিয়েবলের ODZ আপনাকে মডিউলটি উল্লেখ করার প্রয়োজন ছাড়াই বা ODZ কে কয়েকটি ব্যবধানে বিভক্ত করার প্রয়োজন ছাড়াই শিকড়গুলিকে ক্ষমতা দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে দেয় তখন এই ধরনের পরিবর্তন করার পরামর্শ দেওয়া হয় (আমরা এই বিষয়ে বিস্তারিত আলোচনা করেছি শিকড় থেকে শক্তি এবং ফিরে নিবন্ধের রূপান্তর একটি যৌক্তিক সূচকের সাথে ডিগ্রির সাথে পরিচিত হওয়ার পরে একটি অযৌক্তিক সূচকের সাথে একটি ডিগ্রী প্রবর্তন করা হয়, যা আমাদেরকে একটি নির্বিচারে বাস্তব সূচকের সাথে একটি ডিগ্রি সম্পর্কে কথা বলতে দেয়, এটি হতে শুরু করে স্কুলে পড়াশুনা করেছে। ব্যাখ্যামূলক কাজ, যা বিশ্লেষণাত্মকভাবে একটি শক্তি দ্বারা দেওয়া হয়, যার ভিত্তি একটি সংখ্যা এবং সূচকটি একটি পরিবর্তনশীল। তাই আমরা পাওয়ারের বেসে সংখ্যা সম্বলিত পাওয়ার এক্সপ্রেশনের সম্মুখীন হই, এবং এক্সপোনেন্টে - ভেরিয়েবল সহ এক্সপ্রেশন, এবং স্বাভাবিকভাবেই এই ধরনের এক্সপ্রেশনের রূপান্তর করার প্রয়োজন দেখা দেয়।

এটি বলা উচিত যে নির্দেশিত ধরণের অভিব্যক্তির রূপান্তর সাধারণত সমাধান করার সময় সম্পাদন করতে হয় সূচকীয় সমীকরণএবং সূচকীয় অসমতা, এবং এই রূপান্তরগুলি বেশ সহজ। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, তারা ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে এবং বেশিরভাগ ক্ষেত্রে ভবিষ্যতে একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তনের লক্ষ্যে থাকে। সমীকরণ আমাদের তাদের প্রদর্শন করার অনুমতি দেবে 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

প্রথমত, ক্ষমতাগুলি, যার সূচকগুলিতে একটি নির্দিষ্ট চলকের সমষ্টি (বা চলক সহ অভিব্যক্তি) এবং একটি সংখ্যা, পণ্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এটি বাম দিকের অভিব্যক্তির প্রথম এবং শেষ পদগুলিতে প্রযোজ্য:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

এরপরে, সমতার উভয় দিককে 7 2 x অভিব্যক্তি দ্বারা ভাগ করা হয়, যা মূল সমীকরণের জন্য x ভেরিয়েবলের ODZ-এ শুধুমাত্র ইতিবাচক মান নেয় (এটি এই ধরণের সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য একটি আদর্শ কৌশল, আমরা নই এখন এটি সম্পর্কে কথা বলছি, তাই ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তির পরবর্তী রূপান্তরের উপর ফোকাস করুন ):

এখন আমরা ক্ষমতা দিয়ে ভগ্নাংশ বাতিল করতে পারি, যা দেয় .

অবশেষে, একই সূচকের সাথে শক্তির অনুপাত সম্পর্কের শক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যার ফলে সমীকরণ হয় , যা সমতুল্য . করা রূপান্তরগুলি আমাদের একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন করতে দেয়, যা মূল সূচকীয় সমীকরণের সমাধানকে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানে কমিয়ে দেয়।

আই.ভি. বয়কভ, এল.ডি. রোমানভাইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতির জন্য কাজের সংগ্রহ। পার্ট 1। পেনজা 2003।

পাঠ নং 30 (বীজগণিত এবং মৌলিক বিশ্লেষণ, 11 ম শ্রেণী)

পাঠের বিষয়: একটি যৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রী।

পাঠের উদ্দেশ্য: 1 . ডিগ্রির ধারণাটি প্রসারিত করুন, একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ ডিগ্রির ধারণা দিন; একটি মূলদ এবং তদ্বিপরীত একটি যুক্তিসঙ্গত সূচক সহ একটি ডিগ্রি রূপান্তর করতে শেখান; যৌক্তিক সূচক দিয়ে শক্তি গণনা করুন।

2. স্মৃতি এবং চিন্তার বিকাশ।

3. কার্যকলাপ গঠন.

"কেউ পার হওয়ার চেষ্টা করুক

গণিত ডিগ্রী থেকে, এবং সে দেখতে পাবে,

যে আপনি তাদের ছাড়া দূরে যেতে পারবেন না।"এমভি লোমোনোসভ

ক্লাস চলাকালীন।

I. পাঠের বিষয় এবং উদ্দেশ্যের বিবৃতি।

২. আচ্ছাদিত উপাদানের পুনরাবৃত্তি এবং একত্রীকরণ.

1. অমীমাংসিত হোম উদাহরণ বিশ্লেষণ.

2. স্বাধীন কাজ তত্ত্বাবধান:

বিকল্প 1.

1. সমীকরণটি সমাধান করুন: √(2x – 1) = 3x – 12

2. অসমতা সমাধান করুন: √(3x – 2) ≥ 4 – x

বিকল্প 2।

1. সমীকরণটি সমাধান করুন: 3 – 2x = √(7x + 32)

2. অসমতা সমাধান করুন: √(3x + 1) ≥ x – 1

III. নতুন উপাদান শেখা.

1 . আসুন আমরা সংখ্যার ধারণার বিস্তৃতির কথা স্মরণ করি: N є Z є Q є R।

এটি নীচের চিত্র দ্বারা সেরা প্রতিনিধিত্ব করা হয়:

প্রাকৃতিক (N)

শূন্য

অ-নেতিবাচক সংখ্যা

নেতিবাচক সংখ্যা

ভগ্নাংশ সংখ্যা

পূর্ণসংখ্যা (Z)

অযৌক্তিক

যুক্তিযুক্ত (প্রশ্ন)

বাস্তব সংখ্যার

2. নিম্ন গ্রেডে, একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ একটি সংখ্যার শক্তির ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। ক) সূচকের সংজ্ঞাটি মনে রাখুন ক) প্রাকৃতিক সহ, খ) ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সহ, গ) শূন্য সূচক সহ।জোর দাও যে অভিব্যক্তি a n a=0 এবং n≤0 ব্যতীত সমস্ত পূর্ণসংখ্যা n এবং a-এর যেকোন মানের জন্য বোঝা যায়।

b) একটি পূর্ণসংখ্যা সূচক সহ ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্যগুলি তালিকাভুক্ত করুন।

3. মৌখিক কাজ।

1)। গণনা করুন: 1 -5 ; 4 -3; (-100; (-5)-2; (1/2) -4; (3/7) -1।

2)। এটিকে একটি ঋণাত্মক সূচক সহ একটি শক্তি হিসাবে লিখুন:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7; 1/a 9.

3) ইউনিটের সাথে তুলনা করুন: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . এখন আপনাকে এক্সপ্রেশন 3 এর অর্থ বুঝতে হবে 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 ইত্যাদি এটি করার জন্য, ডিগ্রির ধারণাটি এমনভাবে সাধারণীকরণ করা প্রয়োজন যাতে ডিগ্রীর সমস্ত তালিকাভুক্ত বৈশিষ্ট্য সন্তুষ্ট হয়। সমতা বিবেচনা করুন (ক m/n) n = a m . তারপর, nম মূলের সংজ্ঞা দ্বারা, এটি অনুমান করা যুক্তিসঙ্গত যে a m/n a এর nম মূল হবেমি . একটি যৌক্তিক সূচক সহ ডিগ্রির একটি সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে।

5. পাঠ্যবই থেকে উদাহরণ 1 এবং 2 বিবেচনা করুন।

6. আসুন একটি যৌক্তিক সূচক সহ একটি ডিগ্রির ধারণা সম্পর্কিত বেশ কয়েকটি মন্তব্য করি।

নোট 1 : যেকোনো a>0 এবং মূলদ সংখ্যা r এর জন্য, সংখ্যাটি a r >0

নোট 2 : ভগ্নাংশের মৌলিক বৈশিষ্ট্য দ্বারা, মূলদ সংখ্যা m/n কে যে কোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা k-এর জন্য mk/nk হিসাবে লেখা যেতে পারে। তারপরডিগ্রির মান মূলদ সংখ্যা লেখার ফর্মের উপর নির্ভর করে না,যেহেতু a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

নোট 3: যখন একটি একটি উদাহরণ দিয়ে এটি ব্যাখ্যা করা যাক। বিবেচনা করুন (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4। অন্যদিকে: 1/3 = 2/6 এবং তারপর (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. আমরা একটি দ্বন্দ্ব পাই।