সমীকরণ। অভিন্ন রূপান্তর অভিব্যক্তির রূপান্তর। সারাংশ এবং মৌলিক সূত্র

“পরিচয়। অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর "।

পাঠের উদ্দেশ্য

শিক্ষাগত:

পরিচিত এবং প্রথমত "সদৃশ সমান অভিব্যক্তি", "পরিচয়", "অভিন্ন রূপান্তর" ধারণাগুলিকে একত্রিত করতে;

পরিচয় প্রমাণের উপায়গুলি বিবেচনা করুন, পরিচয় প্রমাণের জন্য দক্ষতার বিকাশে অবদান রাখুন;

শিক্ষার্থীদের দ্বারা উত্তীর্ণ উপাদানের আত্তীকরণ পরীক্ষা করা, নতুন উপলব্ধির জন্য শেখা প্রয়োগ করার দক্ষতা তৈরি করা।

উন্নয়নশীল : শিক্ষার্থীদের চিন্তাভাবনা, বক্তৃতা বিকাশ করা।

শিক্ষামূলক : ব্যায়ামের সমাধান রেকর্ড করার অধ্যবসায়, নির্ভুলতা, সঠিকতা শিক্ষিত করা।

পাঠের ধরন: নতুন উপাদান শেখা

যন্ত্রপাতি : মাল্টিমিডিয়া বোর্ড, হোয়াইটবোর্ড, পাঠ্যপুস্তক, ওয়ার্কবুক।

পৃ lahn পাঠ

সাংগঠনিক মুহূর্ত (শিক্ষার্থীদের পাঠে মনোযোগ দিন)

হোমওয়ার্ক চেক (ত্রুটি সংশোধন)

মৌখিক ব্যায়াম

নতুন উপাদানের অধ্যয়ন ("পরিচয়", "অভিন্ন রূপান্তর" এর ধারণাগুলির পরিচিতি এবং প্রাথমিক একীকরণ)।

প্রশিক্ষণ ব্যায়াম("পরিচয়", "অভিন্ন রূপান্তর" ধারণাগুলির গঠন)।

পাঠের ফলাফলের সংক্ষিপ্তকরণ (পাঠে প্রাপ্ত তাত্ত্বিক তথ্য সংক্ষিপ্ত করুন)।

হোমওয়ার্ক বার্তা (হোমওয়ার্ক বিষয়বস্তু ব্যাখ্যা)

ক্লাস চলাকালীন

I. সাংগঠনিক মুহূর্ত।

হোমওয়ার্ক চেক.

বাড়ির কাজের প্রশ্ন।

ব্ল্যাকবোর্ডে সমাধানের বিশ্লেষণ।

গণিত প্রয়োজন
তুমি তাকে ছাড়া বাঁচতে পারবে না
আমরা শেখাই, আমরা শেখাই, বন্ধুরা,
সকাল থেকে আমরা কী মনে রাখি?

২ ... মৌখিক ব্যায়াম।

এর একটি ওয়ার্ম আপ করা যাক.

সংযোজন ফলাফল। (সমষ্টি)

আপনি কত সংখ্যা জানেন? (দশ)

সংখ্যার একশত ভাগ। (শতাংশ)

বিভাগের ফলাফল? (ব্যক্তিগত)

ক্ষুদ্রতম প্রাকৃতিক সংখ্যা? (এক)

ভাগ করার সময় কি এটা সম্ভব প্রাকৃতিক সংখ্যাশূন্য পেতে? (না)

-200 থেকে 200 পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল কত? (0)

সবচেয়ে বড় ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা কি। (-এক)

কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না? (0)

গুণের ফলাফল? (কাজ)

সবচেয়ে বড় দুই সংখ্যার সংখ্যা? (৯৯)

-200 থেকে 200 পর্যন্ত পণ্য কি? (0)

বিয়োগ ফলাফল। (পার্থক্য)

এক কিলোগ্রামে কত গ্রাম হয়? (1000)

সংযোজনের স্থানচ্যুতি সম্পত্তি। (পদগুলির স্থানগুলির পুনর্বিন্যাস থেকে, যোগফল পরিবর্তন হয় না)

গুণের ভ্রমণ সম্পত্তি। (গুণকগুলির স্থানান্তর থেকে পণ্যটি পরিবর্তিত হয় না)

সংযোজনের সংমিশ্রণ সম্পত্তি। (দুটি সংখ্যার যোগফলের সাথে একটি সংখ্যা যোগ করতে, আপনি প্রথম সংখ্যার সাথে দ্বিতীয় এবং তৃতীয়টির যোগফল যোগ করতে পারেন)

গুণের সমন্বিত বৈশিষ্ট্য। (দুটি সংখ্যার গুণফলকে তৃতীয় সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে, আপনি প্রথম সংখ্যাটিকে দ্বিতীয় এবং তৃতীয়টির গুণফল দিয়ে গুণ করতে পারেন)

বন্টন সম্পত্তি। (দুটি সংখ্যার যোগফল দ্বারা একটি সংখ্যাকে গুণ করতে, আপনি প্রতিটি পদ দ্বারা সেই সংখ্যাকে গুণ করতে পারেন এবং ফলাফল যোগ করতে পারেন)

III ... নতুন উপাদান শেখা .

শিক্ষক। x = 5 এবং y = 4 এর জন্য রাশিগুলোর মান নির্ণয় কর

3 (x + y) = 3 (5 + 4) = 3 * 9 = 27

3x + 3y = 3 * 5 + 3 * 4 = 27

আমরা একই ফলাফল পেয়েছি। বন্টন বৈশিষ্ট্য থেকে এটি অনুসরণ করে যে, সাধারণভাবে, ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য, 3 (x + y) এবং 3x + 3y অভিব্যক্তির মান সমান।

এখন 2x + y এবং 2xy রাশিগুলো বিবেচনা করা যাক। x = 1 এবং y = 2 এর জন্য, তারা সমান মান নেয়:

2x + y = 2 * 1 + 2 = 4

2xy = 2 * 1 * 2 = 4

যাইহোক, আপনি x এবং y এর জন্য মানগুলি নির্দিষ্ট করতে পারেন যাতে এই অভিব্যক্তিগুলির মান সমান না হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি x = 3, y = 4, তাহলে

2x + y = 2 * 3 + 4 = 10

2xy = 2 * 3 * 4 = 24

সংজ্ঞা: দুটি অভিব্যক্তি, যার মান ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য সমান, তাকে অভিন্নভাবে সমান বলে।

অভিব্যক্তি 3 (x + y) এবং 3x + 3y অভিন্নভাবে সমান, কিন্তু অভিব্যক্তি 2x + y এবং 2xy অভিন্নভাবে সমান নয়।

সমতা 3 (x + y) এবং 3x + 3y x এবং y এর যেকোনো মানের জন্য সত্য। এই ধরনের সমতাকে পরিচয় বলা হয়।

সংজ্ঞা: সমতা, ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য সত্য, তাকে পরিচয় বলা হয়।

প্রকৃত সংখ্যাগত সমতাও পরিচয় হিসেবে বিবেচিত হয়। আমরা ইতিমধ্যে পরিচয় সঙ্গে দেখা হয়েছে. পরিচয় হল সমতা যা সংখ্যার উপর ক্রিয়াকলাপের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলিকে প্রকাশ করে (ছাত্ররা প্রতিটি সম্পত্তিতে মন্তব্য করে, এটি উচ্চারণ করে)।

a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab) c = a (bc) a (b + c) = ab + ac

পরিচয়ের অন্যান্য উদাহরণ (শিক্ষার্থীরা কথা বলে প্রতিটি সম্পত্তিতে মন্তব্য করে।)

a + 0 = a

a*1 = a

a + (-a) = 0

একটি * (- খ ) = - ab

ক - খ = ক + (- খ )

(- ক ) * (- খ ) = ab

সংজ্ঞা: একটি অভিব্যক্তিকে অন্য অভিব্যক্তির সাথে প্রতিস্থাপন করা, একইভাবে সমান অভিব্যক্তিকে একটি পরিচয় রূপান্তর বলা হয়, বা কেবল একটি অভিব্যক্তি রূপান্তর।

শিক্ষক:

অভিন্ন রূপান্তরভেরিয়েবল সহ এক্সপ্রেশন সংখ্যার উপর কর্মের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে নির্বাহ করা হয়।

অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তরগুলি অভিব্যক্তির মান গণনা এবং অন্যান্য সমস্যা সমাধানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। আপনি ইতিমধ্যে কিছু অভিন্ন রূপান্তর করেছেন, উদাহরণস্বরূপ, অনুরূপ পদ কাস্ট করা, বন্ধনী প্রসারিত করা। আসুন এই রূপান্তরের নিয়মগুলি স্মরণ করি:

ছাত্র:

এই ধরনের পদ দিতে, আপনাকে তাদের সহগ যোগ করতে হবে এবং ফলাফলটিকে মোট অক্ষরের অংশ দ্বারা গুণ করতে হবে;

যদি বন্ধনীগুলির সামনে একটি প্লাস চিহ্ন থাকে, তবে বন্ধনীগুলি বাদ দেওয়া যেতে পারে, প্রতিটি পদের চিহ্নটি বন্ধনীতে আবদ্ধ রেখে;

যদি বন্ধনীগুলির সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন থাকে তবে বন্ধনীতে আবদ্ধ প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে বন্ধনীগুলি বাদ দেওয়া যেতে পারে।

শিক্ষক:

উদাহরণ 1. আসুন আমরা অনুরূপ পদ উপস্থাপন করি

5x + 2x-3x = x (5 + 2-3) = 4x

আমরা কোন নিয়ম ব্যবহার করেছি?

ছাত্র:

আমরা এই ধরনের পদগুলি হ্রাস করার জন্য নিয়ম ব্যবহার করেছি। এই রূপান্তরটি গুণের বন্টন বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে।

শিক্ষক:

উদাহরণ 2. চলুন 2a + ( অভিব্যক্তিতে বন্ধনীগুলি প্রসারিত করিখ-3 গ) = 2 ক + খ – 3 গ

বন্ধনী প্রসারিত করার নিয়ম, একটি প্লাস চিহ্নের পূর্বে, প্রয়োগ করা হয়েছিল।

ছাত্র:

সঞ্চালিত রূপান্তর সংযোজনের সম্মিলিত সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে।

শিক্ষক:

উদাহরণ 3. চলুন a - (4খ- গুলি) =ক – 4 খ + গ

আমরা একটি বিয়োগ চিহ্নের আগে বন্ধনী খোলার নিয়ম ব্যবহার করেছি।

কি সম্পত্তি এই রূপান্তর উপর ভিত্তি করে?

ছাত্র:

সম্পাদিত রূপান্তরটি গুণের বন্টন বৈশিষ্ট্য এবং যোগের সমন্বয় বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে।

IV ... প্রশিক্ষণ ব্যায়াম

(শুরু করার আগে আমরা একটি শারীরিক শিক্ষা ব্যয় করি

আমরা দ্রুত উঠে হাসলাম।

তারা উচ্চ এবং উচ্চ প্রসারিত.

আচ্ছা, তোমার কাঁধ সোজা কর,

কম বাড়াতে.

ডানে বামে ঘুরুন,

তারা বসল, উঠে গেল। তারা বসল, উঠে গেল।

এবং তারা ঘটনাস্থলে ছুটে যায়।

(ভাল হয়েছে, একটি আসন আছে)।

এর একটি মিনি চালানো যাক স্বাধীন কাজ- সামঞ্জস্য, এবং যারা বিশ্বাস করেন যে বিষয়টি ভালভাবে বোঝা যায় - অনলাইনে সিদ্ধান্ত নিন - পরীক্ষা।

1) 5 (3x -2) - (4x + 9) A) 5-10: x

2) 5x-4 (2x-5) +5 B) 11x -19

3) (5x-10): x B) 3x + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25

ঘ) 12x +12

ভি ... পাঠের সারাংশ .

শিক্ষক প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেন, এবং শিক্ষার্থীরা তাদের ইচ্ছামতো উত্তর দেয়।

কোন দুটি অভিব্যক্তিকে অভিন্নভাবে সমান বলা হয়? উদাহরণ দাও.

কোন সমতাকে পরিচয় বলা হয়? একটি উদাহরণ দিন.

আপনি কি অভিন্ন রূপান্তর জানেন?

VI . বাড়ির কাজ ... পৃ. 5, ইন্টারনেট ব্যবহার করে পুরানো অভিন্ন অভিব্যক্তি খুঁজুন

পরিচয় রূপান্তরগুলি আমরা যে কাজ করি তা প্রতিনিধিত্ব করে সংখ্যাসূচক এবং আক্ষরিক অভিব্যক্তি, সেইসাথে ভেরিয়েবল ধারণ করা অভিব্যক্তিগুলির সাথে। আমরা এই সমস্ত রূপান্তরগুলি পরিচালনা করি যাতে মূল অভিব্যক্তিটিকে একটি ফর্মে আনতে যা সমস্যা সমাধানের জন্য সুবিধাজনক হবে। আমরা এই বিষয়ে প্রধান ধরনের অভিন্ন রূপান্তর বিবেচনা করব।

অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর। এটা কি?

প্রথমবারের মতো আমরা অভিন্ন রূপান্তরের ধারণার সাথে দেখা করি, আমরা 7 ম শ্রেণীতে বীজগণিতের পাঠে আছি। একই সময়ে, আমরা প্রথমে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তির ধারণার সাথে পরিচিত হই। বিষয়টা সহজে বোঝার জন্য ধারণা এবং সংজ্ঞাগুলো বুঝুন।

সংজ্ঞা 1

অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর- এগুলি হল মূল অভিব্যক্তিটিকে একটি অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করার লক্ষ্যে সম্পাদিত ক্রিয়া যা মূলের সমান হবে৷

প্রায়শই এই সংজ্ঞাটি একটি সংক্ষিপ্ত আকারে ব্যবহৃত হয়, যেখানে "অভিন্ন" শব্দটি বাদ দেওয়া হয়। এটা ধরে নেওয়া হয় যে কোনও ক্ষেত্রেই আমরা অভিব্যক্তির রূপান্তরটি এমনভাবে চালাই যাতে আসলটির সাথে অভিন্ন অভিব্যক্তি পাওয়া যায় এবং এটি আলাদাভাবে জোর দেওয়ার প্রয়োজন নেই।

এর ব্যাখ্যা করা যাক এই সংজ্ঞাউদাহরণ

উদাহরণ 1

আমরা যদি অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করি x + 3 - 2একটি অভিন্ন অভিব্যক্তিতে x + 1, তারপর আমরা অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর চালাব x + 3 - 2.

উদাহরণ 2

এক্সপ্রেশন 2 a 6 কে এক্সপ্রেশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে একটি 3অভিন্ন রূপান্তর, যখন অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন এক্সঅভিব্যক্তি উপর x 2অভিব্যক্তি থেকে অভিন্ন রূপান্তর নয় এক্সএবং x 2অভিন্নভাবে সমান নয়।

অভিন্ন রূপান্তরগুলি সম্পাদন করার সময় আমরা লেখার অভিব্যক্তির ফর্মের দিকে আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করি। সাধারণত, আমরা মূল অভিব্যক্তি এবং এর ফলে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিকে সমতা হিসাবে লিখি। সুতরাং, x + 1 + 2 = x + 3 লেখার অর্থ হল x + 1 + 2 রাশিটি x + 3 আকারে ছোট হয়ে গেছে।

ক্রিয়ার অনুক্রমিক সঞ্চালন আমাদেরকে সমতার একটি শৃঙ্খলে নিয়ে যায়, যা একটি সারিতে অবস্থিত বেশ কয়েকটি অভিন্ন রূপান্তর। সুতরাং, আমরা স্বরলিপি x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x দুটি রূপান্তরের ক্রমিক বহন হিসাবে বুঝি: প্রথমত, x + 1 + 2 এক্সপ্রেশনটি x + 3 ফর্মে আনা হয়েছিল, এবং এটি - থেকে ফর্ম 3 + x।

অভিন্ন রূপান্তর এবং ODU

আমরা গ্রেড 8 এ শিখতে শুরু করি এমন কয়েকটি অভিব্যক্তি ভেরিয়েবলের সমস্ত মানের জন্য অর্থপূর্ণ নয়। এই ক্ষেত্রে অভিন্ন রূপান্তরগুলি সম্পাদন করার জন্য আমাদেরকে ভেরিয়েবলের (ADV) অনুমতিযোগ্য মানগুলির পরিসরে মনোযোগ দিতে হবে। অভিন্ন রূপান্তর সম্পাদন করলে ODZ অপরিবর্তিত থাকতে পারে বা এটিকে সংকুচিত করতে পারে।

উদাহরণ 3

যখন অভিব্যক্তি থেকে লাফানো a + (- b)অভিব্যক্তিতে a - খপরিবর্তনশীল পরিসীমা কএবং খএকই রয়ে গেছে.

উদাহরণ 4

এক্সপ্রেশন এক্স থেকে এক্সপ্রেশনে সরান x 2 xসমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট পর্যন্ত পরিবর্তনশীল x-এর গ্রহণযোগ্য মানের পরিসরকে সংকুচিত করার দিকে নিয়ে যায়, যেখান থেকে শূন্য বাদ দেওয়া হয়েছিল।

উদাহরণ 5

অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর x 2 xএক্সপ্রেশন x ভেরিয়েবল x এর গ্রহণযোগ্য মানের পরিসরকে শূন্য বাদে সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট পর্যন্ত প্রসারিত করে।

অভিন্ন রূপান্তরগুলি সম্পাদন করার সময় ভেরিয়েবলের অনুমোদিত মানগুলির পরিসরকে সংকুচিত বা প্রসারিত করা সমস্যা সমাধানের জন্য গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি গণনার নির্ভুলতাকে প্রভাবিত করতে পারে এবং ত্রুটির কারণ হতে পারে।

মৌলিক পরিচয় রূপান্তর

আসুন এখন দেখি অভিন্ন রূপান্তরগুলি কী এবং সেগুলি কীভাবে সঞ্চালিত হয়। আসুন আমরা সেই ধরণের অভিন্ন রূপান্তরগুলিকে আলাদা করি যার সাথে আমাদের প্রায়শই প্রধান গোষ্ঠীতে মোকাবিলা করতে হয়।

মৌলিক অভিন্ন রূপান্তরগুলি ছাড়াও, একটি নির্দিষ্ট ধরণের অভিব্যক্তির সাথে সম্পর্কিত অনেকগুলি রূপান্তর রয়েছে। ভগ্নাংশের জন্য, এগুলি একটি নতুন হরকে হ্রাস এবং হ্রাস করার পদ্ধতি। শিকড় এবং ক্ষমতা সহ অভিব্যক্তির জন্য, সমস্ত ক্রিয়া যা শিকড় এবং ক্ষমতার বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে সঞ্চালিত হয়। লগারিদমিক এক্সপ্রেশনের জন্য, লগারিদমের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে সঞ্চালিত ক্রিয়া। জন্য ত্রিকোণমিতিক অভিব্যক্তিব্যবহার করে সব কর্ম ত্রিকোণমিতিক সূত্র... এই সমস্ত ব্যক্তিগত রূপান্তরগুলি আমাদের সংস্থানগুলিতে পাওয়া যেতে পারে এমন পৃথক বিষয়গুলিতে বিশদ বিবরণ রয়েছে৷ এই বিষয়ে, আমরা এই নিবন্ধে তাদের উপর বাস করব না।

আসুন মূল অভিন্ন রূপান্তরগুলি বিবেচনায় নিয়ে যাই।

পদ, কারণের স্থানান্তর

এর শর্তাবলী পুনর্বিন্যাস দ্বারা শুরু করা যাক. আমরা প্রায়শই এই অভিন্ন রূপান্তরের সাথে মোকাবিলা করি। এবং নিম্নলিখিত বিবৃতিটি এখানে মৌলিক নিয়ম হিসাবে বিবেচিত হতে পারে: যেকোন সমষ্টিতে, স্থানে পদের স্থানান্তর ফলাফলকে প্রভাবিত করে না।

এই নিয়মটি সংযোজনের স্থানচ্যুতি এবং সংমিশ্রণ বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে। এই বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদের পদগুলিকে জায়গাগুলিতে পুনর্বিন্যাস করতে দেয় এবং এইভাবে অভিব্যক্তিগুলি পেতে দেয় যা মূলগুলির সমান। এই কারণেই যোগফলের জায়গায় পদগুলির স্থানান্তর হল পরিচয় রূপান্তর।

উদাহরণ 6

আমাদের তিনটি পদের যোগফল 3 + 5 + 7 আছে। যদি আমরা 3 এবং 5 পদগুলিকে অদলবদল করি, তাহলে অভিব্যক্তিটি 5 + 3 + 7 রূপ নেবে। এই ক্ষেত্রে শর্তাবলীর শর্তাবলী পুনর্বিন্যাস করার জন্য বেশ কয়েকটি বিকল্প রয়েছে। এগুলি সমস্তই অভিব্যক্তি অর্জনের দিকে পরিচালিত করে যা আসলটির সাথে অভিন্ন।

শুধু সংখ্যাই নয়, রাশিও যোগফলের পদ হিসেবে কাজ করতে পারে। এগুলি, সংখ্যার মতো, গণনার চূড়ান্ত ফলাফলকে প্রভাবিত না করেই জায়গায় পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে।

উদাহরণ 7

তিনটি পদের যোগফল 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 এবং - 12 a ফর্মের 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) · একটি পদ পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, নিম্নরূপ (- 12) পরিবর্তে, আপনি ভগ্নাংশ 1 a + b এর হর-এ পদগুলিকে পুনরায় সাজাতে পারেন এবং ভগ্নাংশটি 1 b + a রূপ নেবে। এবং মূল চিহ্নের নীচে অভিব্যক্তি a 2 + 2 a + 5এছাড়াও যোগফল যার মধ্যে পদ অদলবদল করা যেতে পারে।

পদগুলির মতো একইভাবে, মূল অভিব্যক্তিতে, আপনি কারণগুলির স্থান পরিবর্তন করতে পারেন এবং একইভাবে সঠিক সমীকরণ পেতে পারেন। এই ক্রিয়াটি নিম্নলিখিত নিয়ম দ্বারা পরিচালিত হয়:

সংজ্ঞা 2

একটি পণ্যে, জায়গায় গুণকগুলিকে পুনরায় সাজানো গণনার ফলাফলকে প্রভাবিত করে না।

এই নিয়মটি গুণনের স্থানচ্যুতি এবং সংমিশ্রণ বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে, যা অভিন্ন রূপান্তরের সঠিকতা নিশ্চিত করে।

উদাহরণ 8

কাজ ৩ ৫ ৭ফ্যাক্টরগুলির স্থানান্তর নিম্নলিখিত ফর্মগুলির মধ্যে একটিতে উপস্থাপন করা যেতে পারে: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 বা 3 7 5.

উদাহরণ 9

x + 1 x 2 - x + 1 x পণ্যের গুণনীয়কগুলিকে পুনর্বিন্যাস করলে x 2 - x + 1 x x + 1 পাওয়া যায়

প্রসারিত বন্ধনী

বন্ধনীতে সংখ্যাসূচক এবং পরিবর্তনশীল অভিব্যক্তি থাকতে পারে। এই অভিব্যক্তিগুলিকে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তিতে রূপান্তরিত করা যেতে পারে, যেখানে কোনও বন্ধনী থাকবে না বা মূল অভিব্যক্তিগুলির তুলনায় তাদের কম থাকবে৷ অভিব্যক্তি রূপান্তর করার এই উপায়টিকে বন্ধনী সম্প্রসারণ বলা হয়।

উদাহরণ 10

চলুন ফর্মের একটি অভিব্যক্তিতে বন্ধনী সহ ক্রিয়া সম্পাদন করি 3 + x - 1 xএকটি অভিন্নভাবে সঠিক অভিব্যক্তি পেতে 3 + x - 1 x.

অভিব্যক্তি 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x বন্ধনী ছাড়া অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তিতে রূপান্তরিত হতে পারে।

আমরা আমাদের রিসোর্সে পোস্ট করা "বন্ধনী সম্প্রসারণ" শীর্ষক বিষয়ে বন্ধনী সহ অভিব্যক্তি রূপান্তর করার নিয়মগুলি বিস্তারিত করেছি।

পদ, কারণের গ্রুপিং

যে ক্ষেত্রে আমরা তিন বা ততোধিক পদের সাথে কাজ করছি, আমরা শর্তগুলির গ্রুপিং হিসাবে অভিন্ন রূপান্তরগুলির একটি ফর্ম অবলম্বন করতে পারি। রূপান্তরের এই পদ্ধতির অর্থ হল কয়েকটি পদকে একটি গোষ্ঠীতে পুনর্বিন্যাস করে এবং বন্ধনীতে আবদ্ধ করে একত্রিত করা।

গোষ্ঠীবদ্ধ করার সময়, পদগুলিকে অদলবদল করা হয় যাতে গোষ্ঠীবদ্ধ করা পদগুলি অভিব্যক্তিতে পাশাপাশি প্রদর্শিত হয়। তারা তারপর বন্ধনী আবদ্ধ করা যেতে পারে.

উদাহরণ 11

অভিব্যক্তি নেওয়া যাক 5 + 7 + 1 ... যদি আমরা প্রথম টার্মকে তৃতীয় দিয়ে গ্রুপ করি, আমরা পাই (5 + 1) + 7 .

ফ্যাক্টরের গ্রুপিং টার্মের গ্রুপিংয়ের অনুরূপভাবে সঞ্চালিত হয়।

উদাহরণ 12

কাজের মধ্যে ২ ৩ ৪ ৫আমরা প্রথম ফ্যাক্টরকে তৃতীয়টির সাথে এবং দ্বিতীয়টিকে চতুর্থটির সাথে গ্রুপ করতে পারি এবং আমরা অভিব্যক্তিতে পৌঁছাতে পারি (2 4) (3 5)... এবং যদি আমরা প্রথম, দ্বিতীয় এবং চতুর্থ ফ্যাক্টরগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করি তবে আমরা অভিব্যক্তি পাব (2 3 5) 4.

গোষ্ঠীভুক্ত পদ এবং গুণনীয়কগুলি মৌলিক সংখ্যা এবং রাশি উভয় দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে। গ্রুপিং নিয়মগুলি "পদ ও কারণের গ্রুপিং" বিষয়ে বিশদভাবে আলোচনা করা হয়েছিল।

যোগফল, আংশিক পণ্য এবং তদ্বিপরীত দিয়ে পার্থক্য প্রতিস্থাপন

যোগফলের সাথে পার্থক্য প্রতিস্থাপন করা সম্ভব হয়েছে বিপরীত সংখ্যার সাথে আমাদের পরিচিতির কারণে। এখন একটি সংখ্যা থেকে বিয়োগ কসংখ্যা খসংখ্যার সংযোজন হিসাবে দেখা যেতে পারে কসংখ্যা - খ... সমতা a - b = a + (- b)ন্যায্য বিবেচনা করা যেতে পারে এবং তার ভিত্তিতে যোগফলের সাথে পার্থক্য প্রতিস্থাপন করতে পারে।

উদাহরণ 13

অভিব্যক্তি নেওয়া যাক 4 + 3 − 2 , যার মধ্যে সংখ্যার পার্থক্য 3 − 2 আমরা যোগফল হিসাবে লিখতে পারি 3 + (− 2) ... আমরা পেতে 4 + 3 + (− 2) .

উদাহরণ 14

অভিব্যক্তি সব পার্থক্য 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2মত যোগফল দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).

আমরা কোন পার্থক্য থেকে যোগফল যেতে পারি. একইভাবে, আমরা বিপরীত প্রতিস্থাপন করতে পারি।

ভাজকের পারস্পরিক দ্বারা গুণের সাথে ভাগ প্রতিস্থাপন করা পারস্পরিক পারস্পরিক সংখ্যার ধারণার দ্বারা সম্ভব হয়েছে। এই রূপান্তর সাম্য দ্বারা লিখিত হতে পারে a: b = a (b - 1).

এই নিয়মটি সাধারণ ভগ্নাংশগুলিকে ভাগ করার নিয়মের ভিত্তি হিসাবে ব্যবহৃত হয়েছিল।

উদাহরণ 15

ব্যক্তিগত 1 2: 3 5 ফর্মের একটি পণ্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে 1 2 5 3.

একইভাবে, সাদৃশ্য দ্বারা, ভাগকে গুণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে।

উদাহরণ 16

অভিব্যক্তির ক্ষেত্রে 1 + 5: x: (x + 3)এর সাথে বিভাগ প্রতিস্থাপন করুন এক্সদ্বারা গুণ করা যেতে পারে 1 এক্স... দ্বারা বিভাগ x + 3আমরা দ্বারা গুণ দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে পারেন 1 x + 3... রূপান্তরটি আমাদের মূলের মতো অভিন্ন অভিব্যক্তি পেতে দেয়: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3।

ভাগ দ্বারা গুণের প্রতিস্থাপন স্কিম অনুযায়ী সঞ্চালিত হয় a b = a: (b - 1).

উদাহরণ 17

5 x x 2 + 1 - 3 অভিব্যক্তিতে, গুণকে ভাগ দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে 5: x 2 + 1 x - 3।

সংখ্যার উপর কর্ম সঞ্চালন

সংখ্যার সাথে ক্রিয়া সম্পাদন করা কর্মের আদেশের নিয়ম মেনে চলে। প্রথমত, ক্রিয়াগুলি সংখ্যার শক্তি এবং সংখ্যার মূল দিয়ে সঞ্চালিত হয়। এর পরে, আমরা লগারিদম, ত্রিকোণমিতিক এবং অন্যান্য ফাংশনগুলিকে তাদের মান দিয়ে প্রতিস্থাপন করি। তারপর বন্ধনীর ক্রিয়াগুলি সঞ্চালিত হয়। এবং তারপরে অন্যান্য সমস্ত ক্রিয়া বাম থেকে ডানে করা যেতে পারে। এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে যোগ এবং বিয়োগের আগে গুণ এবং ভাগ করা হয়।

সংখ্যা সহ ক্রিয়াকলাপগুলি আপনাকে মূল অভিব্যক্তিটিকে এটির সমানে রূপান্তর করতে দেয়।

উদাহরণ 18

3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, সংখ্যার সাথে সমস্ত সম্ভাব্য ক্রিয়া সম্পাদন করে পুনরায় লিখুন।

সমাধান

প্রথমত, এর ডিগ্রির দিকে মনোযোগ দেওয়া যাক 2 3 এবং রুট 4 এবং তাদের মান গণনা করুন: 2 3 = 8 এবং 4 = 2 2 = 2।

প্রাপ্ত মানগুলিকে মূল অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করুন এবং পান: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x)।

এখন বন্ধনীতে কাজ করা যাক: 8 − 1 = 7 ... এবং 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) অভিব্যক্তিতে যান।

এটা আমাদের জন্য সংখ্যার গুণন সঞ্চালন অবশেষ 3 এবং 7 ... আমরা পাই: 21 a + 2 (x 2 + 5 x)।

উত্তর: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

সংখ্যার উপর ক্রিয়াগুলি অন্যান্য ধরণের অভিন্ন রূপান্তর দ্বারা আগে হতে পারে, যেমন সংখ্যাগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করা বা বন্ধনী প্রসারিত করা।

উদাহরণ 19

অভিব্যক্তি নেওয়া যাক 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

সমাধান

প্রথমত, আমরা ভাগফলকে বন্ধনীতে প্রতিস্থাপন করব 6: 3 তার মান উপর 2 ... আমরা পাই: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11।

বন্ধনী প্রসারিত করা যাক: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 = 3 + 2 2 x 3 4 - 2 + 11.

আসুন পণ্যের সংখ্যাগত কারণগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করি, সেইসাথে যে পদগুলি হল সংখ্যাগুলি: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

চলুন বন্ধনীতে কর্ম সম্পাদন করা যাক: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x 3 = 12 + 16 x 3

উত্তর:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x 3

যদি আমরা সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি নিয়ে কাজ করি, তাহলে আমাদের কাজের লক্ষ্য হবে অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজে বের করা। যদি আমরা ভেরিয়েবলের সাথে অভিব্যক্তিকে রূপান্তর করি, তাহলে আমাদের কর্মের লক্ষ্য হবে অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করা।

সাধারণ গুণনীয়ক বের করুন

যে ক্ষেত্রে এক্সপ্রেশনের পদগুলির একই ফ্যাক্টর আছে, তাহলে আমরা এই সাধারণ ফ্যাক্টরটিকে বন্ধনী থেকে বের করে নিতে পারি। এটি করার জন্য, আমাদের প্রথমে মূল অভিব্যক্তিটিকে সাধারণ গুণনীয়কের গুণফল এবং বন্ধনীতে অভিব্যক্তি হিসাবে উপস্থাপন করতে হবে, যা সাধারণ গুণনীয়ক ছাড়াই মূল পদগুলি নিয়ে গঠিত।

উদাহরণ 20

সংখ্যাগতভাবে 2 7 + 2 3আমরা সাধারণ ফ্যাক্টর বের করতে পারি 2 বন্ধনী এবং ফর্মের একটি অভিন্নভাবে সঠিক অভিব্যক্তি পান 2 (7 + 3).

আপনি আমাদের রিসোর্সের সংশ্লিষ্ট বিভাগে বন্ধনীর বাইরে সাধারণ ফ্যাক্টর রাখার নিয়ম সম্পর্কে আপনার স্মৃতি রিফ্রেশ করতে পারেন। উপাদানটি সাধারণ ফ্যাক্টরটিকে বন্ধনীর বাইরে রাখার নিয়ম সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করে এবং অসংখ্য উদাহরণ প্রদান করে।

অনুরূপ পদ হ্রাস

এখন চলুন সেই সমষ্টির দিকে যাওয়া যাক যেখানে একই রকম পদ রয়েছে। দুটি সম্ভাব্য বিকল্প আছে: একই পদ সম্বলিত সমষ্টি, এবং যোগফল, যার পদগুলি একটি সংখ্যাগত সহগ দ্বারা পৃথক। এই ধরনের পদ সম্বলিত সমষ্টির ক্রিয়াকে এই ধরনের পদের হ্রাস বলা হয়। এটি নিম্নরূপ বাহিত হয়: আমরা বন্ধনীর বাইরে সাধারণ অক্ষরের অংশটি বের করি এবং বন্ধনীতে সংখ্যাসূচক সহগগুলির যোগফল গণনা করি।

উদাহরণ 21

অভিব্যক্তি বিবেচনা করুন 1 + 4 x - 2 x... আমরা বন্ধনীর বাইরে x এর আক্ষরিক অংশ রাখতে পারি এবং অভিব্যক্তি পেতে পারি 1 + x (4 - 2)... আসুন বন্ধনীতে অভিব্যক্তির মান গণনা করি এবং 1 + x · 2 ফর্মের যোগফল পাই।

সংখ্যা এবং অভিব্যক্তিগুলিকে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে

যে সংখ্যা এবং অভিব্যক্তিগুলি থেকে মূল অভিব্যক্তিটি তৈরি হয়েছে তা অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। মূল অভিব্যক্তির এই ধরনের রূপান্তর একটি অভিব্যক্তির দিকে নিয়ে যায় যা এটির সমান।

উদাহরণ 22 উদাহরণ 23

অভিব্যক্তি বিবেচনা করুন 1 + a 5, যেখানে আমরা একটি 5 এর ডিগ্রীকে একটি অভিন্ন সমান গুণফল দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি, উদাহরণস্বরূপ, ফর্মটির a a 4... এটি আমাদের অভিব্যক্তি দেবে 1 + a a 4.

সঞ্চালিত রূপান্তরটি কৃত্রিম। এটি শুধুমাত্র অন্যান্য রূপান্তরের প্রস্তুতির মধ্যেই বোঝা যায়।

উদাহরণ 24

যোগফলের রূপান্তর বিবেচনা করুন 4 x 3 + 2 x 2... এখানে শব্দটি 4 x 3আমরা একটি কাজ হিসাবে কল্পনা করতে পারেন 2 x 2 2 x... ফলে মূল অভিব্যক্তি রূপ নেয় 2 x 2 2 x + 2 x 2... এখন আমরা সাধারণ গুণনীয়ক নির্বাচন করতে পারি 2 x 2এবং এটি বন্ধনীর বাইরে রাখুন: 2 x 2 (2 x + 1).

একই সংখ্যা যোগ এবং বিয়োগ

একই সংখ্যা বা অভিব্যক্তি একই সময়ে যোগ এবং বিয়োগ করা অভিব্যক্তিকে রূপান্তরের জন্য একটি কৃত্রিম কৌশল।

উদাহরণ 25

অভিব্যক্তি বিবেচনা করুন x 2 + 2 x... আমরা এটি থেকে একটি যোগ বা বিয়োগ করতে পারি, যা আমাদেরকে ভবিষ্যতে আরও একটি অভিন্ন রূপান্তর করতে দেবে - দ্বিপদীর বর্গ নির্বাচন করতে: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন, অনুগ্রহ করে এটি নির্বাচন করুন এবং Ctrl + এন্টার টিপুন

দুটি বীজগাণিতিক রাশি দেওয়া যাক:

আসুন x অক্ষরের বিভিন্ন সংখ্যাসূচক মানের জন্য এই প্রতিটি রাশির মানের একটি টেবিল রচনা করি।

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে x অক্ষরটিতে দেওয়া সমস্ত মানগুলির জন্য, উভয় রাশির মানই সমান হয়ে গেছে। x এর অন্য যেকোনো মানের ক্ষেত্রেও একই কথা হবে।

এটি যাচাই করার জন্য, আমরা প্রথম অভিব্যক্তিটি রূপান্তরিত করি। বন্টন আইনের উপর ভিত্তি করে, আমরা লিখি:

সংখ্যাগুলিতে নির্দেশিত ক্রিয়া সম্পাদন করে, আমরা পাই:

সুতরাং, সরলীকরণের পরে প্রথম অভিব্যক্তিটি দ্বিতীয় অভিব্যক্তির মতোই ঠিক হয়ে গেল।

এটা এখন স্পষ্ট যে x এর যেকোনো মানের জন্য, উভয় রাশির মানই সমান।

অভিব্যক্তি, যেগুলির মানগুলি তাদের অন্তর্ভুক্ত অক্ষরগুলির যে কোনও মানের জন্য সমান, তাকে অভিন্নভাবে সমান বা অভিন্ন বলা হয়।

অতএব, তারা অভিন্ন অভিব্যক্তি.

আসুন একটি গুরুত্বপূর্ণ নোট করা যাক. আসুন অভিব্যক্তি গ্রহণ করি:

আগেরটির মতো একটি টেবিল কম্পাইল করার পরে, নিশ্চিত করুন যে x এর যেকোনো মান ব্যতীত উভয় এক্সপ্রেশনেরই সমান সংখ্যাসূচক মান রয়েছে। শুধুমাত্র যখন দ্বিতীয় রাশিটি 6 এর সমান হয়, এবং প্রথমটি তার অর্থ হারায়, যেহেতু হরটি শূন্যে পরিণত হয়। (মনে রাখবেন যে আপনি শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারবেন না।) আমরা কি বলতে পারি যে এই অভিব্যক্তিগুলি অভিন্ন?

আমরা আগে সম্মত হয়েছিলাম যে প্রতিটি অভিব্যক্তি শুধুমাত্র অক্ষরগুলির বৈধ মানগুলির জন্য বিবেচনা করা হবে, অর্থাৎ, সেই মানগুলির জন্য যেখানে অভিব্যক্তিটি তার অর্থ হারায় না। এর মানে হল যে এখানে, দুটি অভিব্যক্তির তুলনা করার সময়, আমরা শুধুমাত্র সেই অক্ষর অর্থগুলিকে বিবেচনা করি যা উভয় অভিব্যক্তির জন্য গ্রহণযোগ্য। অতএব, আমাদের অবশ্যই অর্থ বাদ দিতে হবে। এবং যেহেতু x এর অন্যান্য সমস্ত মানের জন্য উভয় রাশিরই সংখ্যাসূচক মান একই, তাই আমাদের তাদের অভিন্ন বিবেচনা করার অধিকার রয়েছে।

যা বলা হয়েছে তার উপর ভিত্তি করে, আমরা অভিন্ন অভিব্যক্তির নিম্নলিখিত সংজ্ঞা দিই:

1. অভিব্যক্তিগুলিকে অভিন্ন বলা হয় যদি তাদের মধ্যে থাকা অক্ষরগুলির সমস্ত গ্রহণযোগ্য মানের জন্য একই সংখ্যাসূচক মান থাকে।

যদি আমরা দুটি অভিন্ন রাশিকে একটি সমান চিহ্ন দিয়ে সংযুক্ত করি, তাহলে আমরা একটি পরিচয় পাব। মানে:

2. একটি পরিচয় হল একটি সমতা যা এতে অন্তর্ভুক্ত অক্ষরগুলির সমস্ত গ্রহণযোগ্য মানগুলির জন্য সত্য৷

এর আগেও আমরা পরিচয়ের সম্মুখীন হয়েছি। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, পরিচয়গুলি হল সমস্ত সমতা যা দিয়ে আমরা যোগ এবং গুণের মৌলিক আইনগুলি প্রকাশ করেছি।

উদাহরণস্বরূপ, সমতা যোগের স্থানচ্যুতি আইন প্রকাশ করে

এবং গুণের সমন্বয় আইন

অক্ষরের যেকোনো অর্থের জন্য বৈধ। অতএব, এই সমতাগুলি পরিচয়।

সমস্ত সঠিক গাণিতিক সমতাও পরিচয় হিসাবে বিবেচিত হয়, উদাহরণস্বরূপ:

বীজগণিতে, প্রায়শই যেকোন অভিব্যক্তিকে অন্যের সাথে প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন, এটির অনুরূপ। আসুন, উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তিটির মান খুঁজে বের করতে হবে

আমরা যদি প্রদত্ত অভিব্যক্তিটিকে এর সাথে অভিন্ন একটি অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করি তবে আমরা গণনাটি ব্যাপকভাবে সহজতর করব। বন্টন আইনের উপর ভিত্তি করে, আমরা লিখতে পারি:

কিন্তু বন্ধনীতে সংখ্যা 100 পর্যন্ত যোগ করে। সুতরাং, আমাদের পরিচয় আছে:

এর ডানদিকে a এর পরিবর্তে 6.53 প্রতিস্থাপন করলে, আমরা অবিলম্বে (মনে) এই রাশিটির সংখ্যাসূচক মান (653) খুঁজে পাই।

একটি অভিব্যক্তিকে অন্য অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপন করা, এটির অনুরূপ, এই অভিব্যক্তিটির অভিন্ন রূপান্তর বলা হয়।

মনে রাখবেন যে অক্ষরগুলির কোনও গ্রহণযোগ্য মানের জন্য যে কোনও বীজগাণিতিক অভিব্যক্তি কিছু

সংখ্যা এটি অনুসরণ করে যে পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপের সমস্ত আইন এবং বৈশিষ্ট্য যা পূর্ববর্তী অধ্যায়ে দেওয়া হয়েছিল বীজগণিতীয় রাশিগুলির জন্য প্রযোজ্য। সুতরাং, গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের আইন এবং বৈশিষ্ট্যগুলির প্রয়োগ একটি প্রদত্ত বীজগণিতিক রাশিটিকে এটির অনুরূপ একটি রাশিতে রূপান্তরিত করে।

বীজগণিতে অপারেশন এবং তাদের বৈশিষ্ট্য অধ্যয়নের পাশাপাশি, ধারণাগুলি যেমন অভিব্যক্তি, সমীকরণ, অসমতা ... তাদের সাথে প্রাথমিক পরিচয় ঘটে গণিতের প্রাথমিক কোর্সে। এগুলিকে, একটি নিয়ম হিসাবে, কঠোর সংজ্ঞা ছাড়াই, প্রায়শই অস্পষ্টভাবে প্রবর্তন করা হয়, যার জন্য শিক্ষককে শুধুমাত্র এই ধারণাগুলিকে বোঝানোর পদগুলি ব্যবহার করার ক্ষেত্রে খুব সতর্কতা অবলম্বন করতে হবে না, তবে তাদের বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্যও জানতে হবে। অতএব, এই বিভাগের উপাদানগুলি অধ্যয়ন শুরু করার জন্য আমরা যে প্রধান কাজটি সেট করেছি, তা হল অভিব্যক্তি (সংখ্যাসূচক এবং পরিবর্তনশীল), সংখ্যাগত সমতা এবং সংখ্যাগত অসমতা, সমীকরণ এবং অসমতা সম্পর্কে জ্ঞানকে স্পষ্ট করা এবং গভীর করা।

এই ধারণাগুলির অধ্যয়ন একটি গাণিতিক ভাষার ব্যবহারের সাথে যুক্ত, এটি কৃত্রিম ভাষাগুলিকে বোঝায় যা এক বা অন্য বিজ্ঞানের সাথে তৈরি এবং বিকাশ করা হয়। অন্য যে কোনো গাণিতিক ভাষার মতোই এর নিজস্ব বর্ণমালা রয়েছে। আমাদের কোর্সে, বীজগণিত এবং পাটিগণিতের মধ্যে সম্পর্কের প্রতি আরও মনোযোগ দেওয়ার প্রয়োজনের কারণে এটি অংশে উপস্থাপন করা হবে। এই বর্ণমালার মধ্যে রয়েছে:

1) সংখ্যা 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; তাদের সাহায্যে, সংখ্যাগুলি বিশেষ নিয়ম অনুসারে রেকর্ড করা হয়;

2) অপারেশন লক্ষণ +, -,,:;

3) সম্পর্কের লক্ষণ<, >, =, এম;

4) ল্যাটিন বর্ণমালার ছোট হাতের অক্ষর, তারা সংখ্যার অর্থ বোঝাতে ব্যবহৃত হয়;

5) বন্ধনী (বৃত্তাকার, কোঁকড়া, ইত্যাদি), তাদের বলা হয় প্রযুক্তিগত লক্ষণ।

এই বর্ণমালা ব্যবহার করে, বীজগণিতে শব্দ গঠিত হয়, তাদের অভিব্যক্তি বলা হয় এবং বাক্যগুলি শব্দ থেকে পাওয়া যায় - সংখ্যাগত সমতা, সংখ্যাগত অসমতা, সমীকরণ, চলকের সাথে অসমতা।

আপনি জানেন, রেকর্ড 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2 -17 বলা হয় সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি। তারা সংখ্যা, কর্ম চিহ্ন, বন্ধনী থেকে গঠিত হয়. যদি আমরা অভিব্যক্তিতে নির্দেশিত সমস্ত পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করি, আমরা একটি নম্বর পাই যাকে বলা হয় একটি সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তির মান . সুতরাং, একটি সাংখ্যিক রাশির মান হল 3 × 2 - 4 সমান 2।

সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি আছে যার মান খুঁজে পাওয়া যাবে না। এমন অভিব্যক্তি বলা হয় কোন মানে নেই .

এই ক্ষেত্রে, অভিব্যক্তি 8: (4 - 4) অর্থপূর্ণ নয়, যেহেতু এর মান খুঁজে পাওয়া যাবে না: 4 - 4 = 0, এবং শূন্য দ্বারা বিভাজন অসম্ভব। 7-9 অভিব্যক্তিটিরও কোন মানে হয় না যদি আমরা এটিকে প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটে বিবেচনা করি, যেহেতু 7-9 অভিব্যক্তিটির মান এই সেটে পাওয়া যাবে না।

স্বরলিপি 2a + 3 বিবেচনা করুন। এটি সংখ্যা, কর্ম চিহ্ন এবং অক্ষর থেকে গঠিত হয়। আপনি যদি a এর পরিবর্তে সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করেন, আপনি বিভিন্ন সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি পাবেন:

যদি a = 7, তাহলে 2 × 7 + 3;

যদি a = 0, তাহলে 2 × 0 + 3;

যদি a = - 4, তাহলে 2 × (- 4) + 3.

2a + 3 এন্ট্রিতে, এই ধরনের একটি অক্ষর a বলা হয় পরিবর্তনশীল , এবং এন্ট্রি 2a + 3 নিজেই একটি পরিবর্তনশীল সহ অভিব্যক্তি।

গণিতের একটি পরিবর্তনশীলকে সাধারণত ল্যাটিন বর্ণমালার ছোট হাতের অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ভি প্রাথমিক বিদ্যালয়অক্ষর ছাড়া অন্য চিহ্নগুলি একটি পরিবর্তনশীল বোঝাতে ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ -। তারপর একটি ভেরিয়েবল সহ রাশিটি এভাবে লেখা হয়: 2 × - + 3।

প্রতিটি পরিবর্তনশীল অভিব্যক্তি সংখ্যার একটি সেটের সাথে মিলে যায়, যখন প্রতিস্থাপিত হয়, তখন একটি সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি যা অর্থবহ হয়। এই সেট বলা হয় অভিব্যক্তির সুযোগ .

এই ক্ষেত্রে,এক্সপ্রেশন 5 এর ডোমেন: (x - 7) 7 নম্বর ব্যতীত সমস্ত বাস্তব সংখ্যা নিয়ে গঠিত, যেহেতু x = 7 এ অভিব্যক্তি 5: (7 - 7) অর্থপূর্ণ নয়।

গণিতে, অভিব্যক্তিকে বিবেচনা করা হয় যেগুলিতে এক, দুই বা ততোধিক চলক থাকে।

এই ক্ষেত্রে, 2a + 3 একটি ভেরিয়েবল সহ একটি রাশি এবং (3x + 8y) × 2 তিনটি ভেরিয়েবল সহ একটি অভিব্যক্তি। তিনটি ভেরিয়েবল সহ একটি রাশি থেকে একটি সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি পেতে, প্রতিটি চলকের পরিবর্তে, অভিব্যক্তির সুযোগের অন্তর্গত সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করুন।

সুতরাং, আমরা খুঁজে পেয়েছি কিভাবে একটি গাণিতিক ভাষার বর্ণমালা থেকে ভেরিয়েবল সহ সংখ্যাসূচক রাশি এবং অভিব্যক্তিগুলি গঠিত হয়। যদি আমরা রাশিয়ান ভাষার সাথে একটি সাদৃশ্য আঁকি, তবে অভিব্যক্তিগুলি একটি গাণিতিক ভাষার শব্দ।

কিন্তু, গাণিতিক ভাষার বর্ণমালা ব্যবহার করে, এই ধরনের গঠন করা সম্ভব, উদাহরণস্বরূপ, রেকর্ডগুলি: (3 + 2)) - × 12 বা 3x - y: +) 8, যাকে সংখ্যাসূচক রাশি বা পরিবর্তনশীল রাশি বলা যায় না। এই উদাহরণগুলি নির্দেশ করে যে বর্ণনা - যেগুলি থেকে গাণিতিক ভাষার বর্ণমালার অক্ষরগুলি সংখ্যাসূচক এবং চলক সহ অভিব্যক্তি গঠিত হয়, এই ধারণাগুলির একটি সংজ্ঞা নয়। একটি সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তির একটি সংজ্ঞা দেওয়া যাক (ভেরিয়েবল সহ একটি অভিব্যক্তি একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়)।

সংজ্ঞা।যদি f এবং q সংখ্যাসূচক রাশি হয়, তাহলে (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) সংখ্যাসূচক রাশি। প্রতিটি সংখ্যা একটি সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি হিসাবে বিবেচিত হয়।

আপনি যদি এই সংজ্ঞাটি সঠিকভাবে অনুসরণ করেন তবে আপনাকে অনেকগুলি বন্ধনী লিখতে হবে, উদাহরণস্বরূপ, (7) + (5) বা (6): (2)। স্বরলিপি সংক্ষিপ্ত করার জন্য, আমরা বন্ধনী লিখতে সম্মত হয়েছি যদি বেশ কয়েকটি অভিব্যক্তি যোগ বা বিয়োগ করা হয়, এবং এই ক্রিয়াকলাপগুলি বাম থেকে ডানে সঞ্চালিত হয়। একইভাবে, বেশ কয়েকটি সংখ্যাকে গুণ বা ভাগ করলেও বন্ধনী লেখা হয় না এবং এই ক্রিয়াকলাপগুলি বাম থেকে ডানে ক্রমে সঞ্চালিত হয়।

এই ক্ষেত্রে, এভাবে লিখুন: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 বা 120: 15-7: 12।

উপরন্তু, আমরা প্রথমে দ্বিতীয় পর্যায়ের ক্রিয়াগুলি (গুণ এবং ভাগ) এবং তারপরে প্রথম পর্যায়ের ক্রিয়াগুলি (যোগ এবং বিয়োগ) করতে সম্মত হয়েছি। অতএব, অভিব্যক্তি (12-4:3) + (5-8:2-7) নিম্নরূপ লেখা হয়েছে: 12 - 4:3 + 5 - 8:2 - 7।

টাস্ক। x = 6 এ 3x (x - 2) + 4 (x - 2) রাশিটির মান নির্ণয় কর।

সমাধান

1 উপায়। এই রাশিতে ভেরিয়েবলের পরিবর্তে 6 নম্বরটি প্রতিস্থাপন করুন: 3 × 6- (6 - 2) + 4 × (6 - 2)। ফলস্বরূপ সংখ্যাসূচক রাশির মান খুঁজে পেতে, সমস্ত নির্দেশিত ক্রিয়া সম্পাদন করুন: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88। অতএব, জন্য এক্স= 6 Zx (x- 2) + 4 (x-2) রাশিটির মান 88।

পদ্ধতি 2। এই অভিব্যক্তিতে 6 নম্বর প্রতিস্থাপন করার আগে, আসুন এটিকে সরলীকরণ করি: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (এক্স - 2) (3x + 4)। এবং তারপর, পরিবর্তে ফলাফল প্রকাশের মধ্যে প্রতিস্থাপন এক্সসংখ্যা 6, আসুন নিম্নলিখিতটি করি: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4 × (18 + 4) = 4 × 22 = 88।

আসুন নিম্নলিখিতগুলিতে মনোযোগ দিন: সমস্যা সমাধানের প্রথম পদ্ধতিতে এবং দ্বিতীয়টিতে, আমরা একটি অভিব্যক্তিকে অন্যটির সাথে প্রতিস্থাপন করেছি।

এই ক্ষেত্রে, 18 × 4 + 4 × 4 অভিব্যক্তিটি 72 + 16 অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছিল, এবং অভিব্যক্তিটি Зх (х - 2) + 4 (х - 2) - অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছিল (এক্স - 2) (3x + 4), এবং এই পরিবর্তনগুলি একই ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে। গণিতে, একটি প্রদত্ত সমস্যার সমাধান বর্ণনা করে, তারা বলে যে আমরা সম্পাদন করেছি অভিন্ন রূপান্তর অভিব্যক্তি

সংজ্ঞা।দুটি অভিব্যক্তিকে অভিন্নভাবে সমান বলা হয় যদি, অভিব্যক্তির ডোমেন থেকে ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য, তাদের নিজ নিজ মান সমান হয়।

অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তির একটি উদাহরণ হল অভিব্যক্তি 5 (x + 2) এবং 5x+ 10, যেহেতু কোনো বাস্তব মানের জন্য এক্সতাদের মান সমান।

যদি আমরা একটি সমান চিহ্ন দিয়ে কিছু সেটে দুটি অভিন্ন সমান অভিব্যক্তিকে সংযুক্ত করি, তাহলে আমরা একটি বাক্য পাই যাকে বলা হয় পরিচয় এই সেটে

এই ক্ষেত্রে, 5 (x + 2) = 5x + 10 - বাস্তব সংখ্যার সেটে পরিচয়, কারণ সমস্ত বাস্তব সংখ্যার জন্য অভিব্যক্তি 5 (x + 2) এবং 5x + 10 এর মান একই। সাধারণ কোয়ান্টিফায়ারের স্বরলিপি ব্যবহার করে, এই পরিচয়টি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: ("x ÎR) 5 (x + 2) = 5x + 10। প্রকৃত সংখ্যাগত সমতাও পরিচয় হিসাবে বিবেচিত হয়।

কোনো কোনো সেটে অভিন্নভাবে সমতুল্য কোনো রাশির সঙ্গে প্রতিস্থাপন করাকে বলে এই সেটে প্রদত্ত অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর।

সুতরাং, অভিব্যক্তি 5 (x + 2) 5x + 10 অভিব্যক্তির সাথে প্রতিস্থাপন করে, যা অভিন্নভাবে এটির সমান, আমরা প্রথম অভিব্যক্তিটির অভিন্ন রূপান্তর সম্পাদন করেছি। কিন্তু কিভাবে, দুটি অভিব্যক্তি থাকা, তারা অভিন্নভাবে সমান কিনা তা খুঁজে বের করতে পারে? ভেরিয়েবলের জন্য নির্দিষ্ট সংখ্যা প্রতিস্থাপন করে অভিব্যক্তির সংশ্লিষ্ট মানগুলি খুঁজুন? একটি দীর্ঘ সময়ের জন্য এবং সবসময় সম্ভব নয়। কিন্তু তারপর অভিব্যক্তির অভিন্ন রূপান্তর সম্পাদন করার সময় কোন নিয়মগুলি অনুসরণ করা উচিত? এই নিয়ম অনেক আছে, তাদের মধ্যে বীজগণিত অপারেশন বৈশিষ্ট্য আছে.

টাস্ক। ax - bx + ab - b 2 অভিব্যক্তিটিকে গুণিত করুন।

সমাধান।আসুন আমরা এই অভিব্যক্তির পদগুলিকে দুই দ্বারা গোষ্ঠীবদ্ধ করি (প্রথমটি দ্বিতীয়টির সাথে, তৃতীয়টি চতুর্থটির সাথে): ax - bx + ab - b 2 = (ax-bx) + (ab-b 2)। এই রূপান্তরটি বাস্তব সংখ্যার যোগের সহযোগীতার বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে সম্ভব।

আসুন প্রতিটি বন্ধনী থেকে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিতে সাধারণ ফ্যাক্টরটি বের করা যাক: (ax - bx) + (ab - b 2) = x (a -b) + b (a - b) - এই রূপান্তরটি বন্টনমূলক সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে সম্ভব। প্রকৃত সংখ্যার বিয়োগের সাপেক্ষে গুণের।

ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিতে, পদগুলির একটি সাধারণ ফ্যাক্টর রয়েছে, আমরা এটিকে বন্ধনীর বাইরে নিই: x (a - b) + b (a - b) = (a - b) (x -b)। সঞ্চালিত রূপান্তর যোগের ক্ষেত্রে গুণের বন্টনমূলক সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে।

সুতরাং, ax - bx + ab - b 2 = (a - b) (x -b)।

প্রাথমিক কোর্সে, গণিতবিদরা একটি নিয়ম হিসাবে, সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তিগুলির শুধুমাত্র অভিন্ন রূপান্তরগুলি সম্পাদন করে। তাত্ত্বিক ভিত্তিএই ধরনের রূপান্তরগুলি হল যোগ এবং গুণের বৈশিষ্ট্য, বিভিন্ন নিয়ম: একটি সংখ্যার সাথে একটি যোগফল যোগ করা, একটি যোগফলের সাথে একটি সংখ্যা, একটি যোগফল থেকে একটি সংখ্যা বিয়োগ করা ইত্যাদি।

এই ক্ষেত্রে 35 × 4 পণ্যটি খুঁজে পেতে, আপনাকে রূপান্তর করতে হবে: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. সম্পাদিত রূপান্তরগুলি এর উপর ভিত্তি করে: যোগের ক্ষেত্রে গুণের বন্টনের বৈশিষ্ট্য; দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে সংখ্যা লেখার নীতি (35 = 30 + 5); স্বাভাবিক সংখ্যার গুণ ও যোগ করার নিয়ম।

যে সংখ্যা এবং অভিব্যক্তিগুলি থেকে মূল অভিব্যক্তিটি তৈরি হয়েছে তা অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। মূল অভিব্যক্তির এই ধরনের রূপান্তর একটি অভিব্যক্তির দিকে নিয়ে যায় যা এটির সমান।

উদাহরণস্বরূপ, 3 + x অভিব্যক্তিতে, 3 নম্বরটিকে যোগফল 1 + 2 দিয়ে প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে এবং রাশিটি (1 + 2) + x পাওয়া যাবে, যা মূল অভিব্যক্তির সমান। আরেকটি উদাহরণ: 1 + a 5 অভিব্যক্তিতে, একটি 5 এর ডিগ্রি একটি অভিন্ন সমান গুণফল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, a · a 4 ফর্মের। এটি আমাদের 1 + a · a 4 অভিব্যক্তি দেবে।

এই রূপান্তরটি নিঃসন্দেহে কৃত্রিম এবং সাধারণত আরও কিছু পরিবর্তনের জন্য প্রস্তুত করে। উদাহরণস্বরূপ, যোগফল 4 · x 3 + 2 · x 2, ডিগ্রীর বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনায় নিয়ে, 4 · x 3 শব্দটিকে 2 · x 2 · 2 · x হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এই রূপান্তরের পরে, মূল রাশিটি 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2 রূপ নেবে। স্পষ্টতই, ফলাফল যোগফলের পদগুলির একটি সাধারণ গুণনীয়ক 2 x 2 আছে, তাই আমরা নিম্নলিখিত রূপান্তরটি সম্পাদন করতে পারি - বন্ধনী। এর পরে, আমরা অভিব্যক্তিতে আসি: 2 x 2 (2 x + 1)।

একই সংখ্যা যোগ এবং বিয়োগ

অন্যান্য কৃত্রিম রূপান্তরএকটি রাশি হল একই সংখ্যা বা রাশির যোগ এবং যুগপৎ বিয়োগ। এই রূপান্তরটি অভিন্ন, যেহেতু এটি মূলত শূন্য যোগ করার সমতুল্য, এবং শূন্য যোগ করলে মান পরিবর্তন হয় না।

এর একটি উদাহরণ তাকান. এক্সপ্রেশন x 2 + 2 x নিন। যদি আমরা এটিতে একটি যোগ করি এবং একটি বিয়োগ করি, তবে এটি আমাদের ভবিষ্যতে আরও একটি অভিন্ন রূপান্তর সম্পাদন করতে দেবে - দ্বিপদীর বর্গ নির্বাচন করুন: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1−1 = (x + 1) 2 −1.

গ্রন্থপঞ্জি।

• বীজগণিত:অধ্যয়ন. 7 ক্লাসের জন্য। সাধারণ শিক্ষা. প্রতিষ্ঠান / [ইউ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; এড এস এ তেলিয়াকভস্কি। - 17 তম সংস্করণ। - এম.: শিক্ষা, 2008।-- 240 পি। : অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-019315-3।
• বীজগণিত:অধ্যয়ন. 8 cl জন্য। সাধারণ শিক্ষা. প্রতিষ্ঠান / [ইউ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; এড এস এ তেলিয়াকভস্কি। - 16তম সংস্করণ। - এম.: শিক্ষা, 2008।-- 271 পি। : অসুস্থ। - আইএসবিএন 978-5-09-019243-9।
• এ জি মর্ডকোভিচবীজগণিত। 7 ম গ্রেড. 2 pm এ পার্ট 1. শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থীদের জন্য পাঠ্যপুস্তক / A. G. Mordkovich. - 17 তম সংস্করণ, যোগ করুন। - এম।: মেমোজিনা, 2013।-- 175 পি।: অসুস্থ। আইএসবিএন 978-5-346-02432-3।