বিমানে 2 পয়েন্টের মাধ্যমে একটি সরলরেখার সমীকরণ। একটি সরল রেখার সমীকরণ যা দুটি প্রদত্ত পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়: উদাহরণ, সমাধান। একটি লাইনের সাধারণ সমীকরণ

ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতিতে একটি সরল রেখার বৈশিষ্ট্য।

আপনি যে কোনও পয়েন্টের মাধ্যমে অসীম অনেকগুলি সরল রেখা আঁকতে পারেন।

দুটি একক-বিন্দু বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি একক সরলরেখা আঁকতে পারে।

প্লেনে দুটি মিলহীন সোজা লাইন হয় একক বিন্দুকে ছেদ করে, বা হয়

সমান্তরাল (আগেরটি থেকে অনুসরণ করে)

3 ডি স্পেসে তিনটি বিকল্প রয়েছে পারস্পরিক ব্যবস্থা দুটি সরল রেখা:

• সরলরেখা ছেদ করে;

• সোজা লাইন সমান্তরাল হয়;

• সরলরেখাগুলি ছেদ করে।

সোজা লাইন - প্রথম ক্রমের বীজগণিত বক্রাকার: কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি সরলরেখা

প্রথম ডিগ্রির একটি সমীকরণ (লিনিয়ার সমীকরণ) দ্বারা বিমানে দেওয়া হয়।

লাইনের সাধারণ সমীকরণ।

সংজ্ঞা... বিমানের যে কোনও সরল রেখা প্রথম অর্ডার সমীকরণের মাধ্যমে দেওয়া যেতে পারে

Ax + Wu + C \u003d 0,

ধ্রুবক সহ ক, খ একই সাথে শূন্যের সমান নয়। এই প্রথম-আদেশ সমীকরণ বলা হয় সাধারণ

সরলরেখার সমীকরণ ধ্রুবকগুলির মানগুলির উপর নির্ভর করে ক, খ এবং থেকে নিম্নলিখিত বিশেষ ক্ষেত্রে সম্ভব:

. সি \u003d 0, এ ≠ 0, বি ≠ 0 - সরল রেখাটি উত্সটির মধ্য দিয়ে যায়

. এ \u003d 0, বি ≠ 0, সি ≠ 0 (+ সি \u003d 0 দ্বারা)- অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা উহু

. বি \u003d 0, এ ≠ 0, সি ≠ 0 (অক্ষ + সি \u003d 0) - অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা ওউ

. বি \u003d সি \u003d 0, এ ≠ 0 - সোজা রেখাটি অক্ষের সাথে মিলে যায় ওউ

. এ \u003d সি \u003d 0, বি ≠ 0 - সোজা রেখাটি অক্ষের সাথে মিলে যায় উহু

একটি সরলরেখার সমীকরণ প্রদত্ত যে কোনওটির উপর নির্ভর করে বিভিন্ন আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে

প্রাথমিক শর্তাবলি.

একটি বিন্দু এবং একটি সাধারণ ভেক্টর বরাবর একটি সরল রেখার সমীকরণ।

সংজ্ঞা... কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় উপাদানগুলির একটি ভেক্টর (এ, বি)

সমীকরণের দ্বারা প্রদত্ত সরলরেখার লম্ব

অক্ষ + উ + সি \u003d ০।

উদাহরণ... একটি বিন্দু দিয়ে যাওয়ার সময় সরলরেখার সমীকরণটি সন্ধান করুন এ (1, 2) ভেক্টরের লম্ব (3, -1).

সিদ্ধান্ত... A \u003d 3 এবং B \u003d -1 এ, আমরা সরলরেখার সমীকরণটি রচনা করি: 3x - y + C \u003d 0. সহগের সি আবিষ্কার করতে

প্রদত্ত বিন্দু A এর স্থানাঙ্ককে ফলাফলের এক্সপ্রেশনটিতে স্থান দিন therefore সুতরাং আমরা পাই: 3 - 2 + C \u003d 0, সুতরাং

সি \u003d -1। মোট: প্রয়োজনীয় সমীকরণ: 3x - y - 1 \u003d 0।

দুটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে সরানো লাইনের সমীকরণ।

দুটি পয়েন্ট স্থান দেওয়া যাক এম 1 (এক্স 1, y 1, জেড 1)এবং M2 (x 2, y 2, z 2), তারপর সরলরেখার সমীকরণ,

এই বিষয়গুলির মধ্য দিয়ে যাচ্ছি:

ডিনোমিনেটরগুলির মধ্যে যদি কোনওটি শূন্য হয় তবে সংশ্লিষ্ট সংখ্যার শূন্য সমান হওয়া উচিত। উপরে

প্লেন, উপরে লিখিত সরলরেখার সমীকরণটি সরল করা হয়েছে:

যদি একটি x 1 ≠ x 2 এবং x \u003d x 1 , যদি একটি x 1 \u003d x 2 .

ভগ্নাংশ \u003d কে বলা হয় opeাল সোজা.

উদাহরণ... A (1, 2) এবং B (3, 4) পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে সরানো রেখার সমীকরণটি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত... উপরের সূত্র প্রয়োগ করে আমরা পাই:

বিন্দু এবং opeাল দ্বারা একটি সরল রেখার সমীকরণ।

যদি সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ হয় অক্ষ + উ + সি \u003d ০ ফর্মটি আনুন:

এবং মনোনীত , তারপরে ফলাফল সমীকরণ বলা হয়

opeালু কে সহ একটি সরল রেখার সমীকরণ।

একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর বরাবর একটি সরল রেখার সমীকরণ।

অনুচ্ছেদের সাথে সাদৃশ্য করে সাধারণ ভেক্টরের মাধ্যমে একটি সরলরেখার সমীকরণ বিবেচনা করে আপনি কার্যটি প্রবেশ করতে পারেন

একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখা এবং একটি সরলরেখার একটি দিক ভেক্টর।

সংজ্ঞা... প্রতিটি ননজারো ভেক্টর (α 1, α 2)যার উপাদানগুলি শর্তটি পূরণ করে

Аα 1 + Вα 2 \u003d 0 বলা হয় একটি সরলরেখার ভেক্টরকে পরিচালনা করছে।

অক্ষ + উ + সি \u003d ০।

উদাহরণ... দিকনির্দেশক ভেক্টর (1, -1) এবং পয়েন্ট A (1, 2) দিয়ে যাওয়ার সাথে একটি সরল রেখার সমীকরণটি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত... পছন্দসই সরল রেখার সমীকরণটি আকারে অনুসন্ধান করা হবে: Ax + বাই + সি \u003d 0। সংজ্ঞা অনুযায়ী,

সহগকে অবশ্যই শর্ত পূরণ করতে হবে:

1 * এ + (-1) * বি \u003d 0, অর্থাৎ এ \u003d বি

তারপরে সরলরেখার সমীকরণটির রূপ রয়েছে: অক্ষ + আয় + সি \u003d ০, বা x + y + C / A \u003d 0

at x \u003d 1, y \u003d 2আমরা পেতে সি / এ \u003d -3, অর্থাত্ প্রয়োজনীয় সমীকরণ:

x + y - 3 \u003d 0

বিভাগগুলিতে একটি সরল রেখার সমীকরণ।

যদি সোজা রেখার সাধারণ সমীকরণে Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0 হয়, তবে -C দ্বারা ভাগ করে আমরা পাই:

বা যেখানে

সহগের জ্যামিতিক অর্থ হ'ল সহগ একটি ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক

অক্ষ দিয়ে সোজা উহু, এবং খ - অক্ষ সহ সরল রেখার ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক ওউ।

উদাহরণ... সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ দেওয়া হয় x - y + 1 \u003d 0।বিভাগগুলিতে এই সরল রেখার সমীকরণটি সন্ধান করুন।

সি \u003d 1, এ \u003d -1, খ \u003d 1।

একটি সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ।

সমীকরণের উভয় দিক থাকলে অক্ষ + উ + সি \u003d ০ সংখ্যা দ্বারা বিভক্ত চমগ্মজগচ

স্বাভাবিককরণের কারণ, তারপর আমরা পেতে

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -সাধারণ লাইন সমীকরণ.

Izing স্বাভাবিককরণের কারণের চিহ্নটি বেছে নেওয়া উচিত μ * সি< 0.

আর - উত্স থেকে লম্বের দৈর্ঘ্যটি সোজা লাইনে নেমে গেছে,

এবং φ - অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে এই লম্ব দ্বারা কোণ গঠিত উহু.

উদাহরণ... লাইনের সাধারণ সমীকরণ দেওয়া হয় 12x - 5y - 65 \u003d 0... বিভিন্ন ধরণের সমীকরণ লেখার প্রয়োজন

এই সরল রেখা।

বিভাগগুলিতে এই লাইনের সমীকরণ:

Lineালের সাথে এই লাইনের সমীকরণ: (5 দ্বারা বিভক্ত)

সরলরেখার সমীকরণ:

কোস φ \u003d 12/13; পাপ φ \u003d -5/13; পি \u003d 5।

এটি লক্ষ করা উচিত যে প্রতিটি সরল রেখাংশগুলিতে কোনও সমীকরণ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায় না, উদাহরণস্বরূপ, সরল রেখা,

অক্ষের সমান্তরাল বা উত্স দিয়ে যাওয়া।

বিমানে সোজা রেখার মধ্যবর্তী কোণ।

সংজ্ঞা... যদি দুটি লাইন দেওয়া হয় y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , তারপরে এই লাইনের মধ্যে একটি তীব্র কোণ

হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হবে

দুটি সরল রেখা সমান্তরাল যদি কে 1 \u003d কে 2... দুটি সরল রেখা লম্ব হয়,

যদি একটি কে 1 \u003d -1 / কে 2 .

উপপাদ্য.

সরাসরি অক্ষ + উ + সি \u003d ০এবং A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 সমান্তরাল হয় যখন সহগগুলি আনুপাতিক হয়

А 1 \u003d λА, В 1 \u003d λВ λВ... যদি হয় С 1 \u003d λС, তারপরে সরলরেখাগুলি মিলে যায়। দুটি লাইনের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক

এই সরল রেখার সমীকরণের পদ্ধতির সমাধান হিসাবে পাওয়া যায়।

প্রদত্ত সরলরেখার লম্ব সূক্ষ্ম বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখার সমীকরণ।

সংজ্ঞা... বিন্দু দিয়ে লাইন এম 1 (x 1, y 1) এবং লাইন লম্ব y \u003d কেএক্স + বি

সমীকরণ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব:

বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব।

উপপাদ্য... যদি একটি পয়েন্ট দেওয়া হয় এম (x 0, y 0), সরলরেখার দূরত্ব অক্ষ + উ + সি \u003d ০সংজ্ঞায়িত:

প্রমান... কথা বলা যাক এম 1 (x 1, y 1) - লম্বের ভিত্তিটি বিন্দু থেকে বাদ পড়েছে এমএকটি নির্দিষ্ট জন্য

সোজা লাইন. তারপরে পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্ব এমএবং এম ঘ:

(1)

সমন্বয়কারী x 1 এবং 1 এ সমীকরণ সিস্টেমের সমাধান হিসাবে পাওয়া যেতে পারে:

সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে 0 0 লম্ব হয়ে যাওয়ার মধ্য দিয়ে সরানো রেখার সমীকরণ

একটি প্রদত্ত সরল রেখা যদি আমরা সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটিকে রূপটিতে রূপান্তর করি:

A (x - x 0) + বি (y - y 0) +x 0 + 0 + C \u003d 0 দ্বারা,

তারপরে, সমাধান, আমরা পেয়েছি:

এই অভিব্যক্তিগুলি সমীকরণ (1) এ প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই:

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।

রেখাটি M 1 (x 1; y 1) এবং M 2 (x 2; y 2) পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে যেতে দিন। M 1 পয়েন্টের মধ্য দিয়ে সরানো রেখার সমীকরণটির y-y 1 \u003d রূপ রয়েছে কে (x - x 1), (10.6)

কোথায় কে - এখনও অজানা সহগ।

যেহেতু সরলরেখাটি বিন্দু এম 2 (x 2 y 2) এর মধ্য দিয়ে যায়, এই বিন্দুটির স্থানাঙ্কগুলি অবশ্যই সমীকরণ (10.6) পূরণ করবে: y 2 -y 1 \u003d কে (x 2 -x 1)।

এখান থেকে আমরা পাওয়া মানটি প্রতিস্থাপন করতে পারি কে সমীকরণে (10.6), আমরা এম 1 এবং এম 2 পয়েন্টগুলি পেরিয়ে সরলরেখার সমীকরণটি পাই:

ধারণা করা হয় যে এই সমীকরণটিতে x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

যদি x 1 \u003d x 2 হয়, তবে M 1 (x 1, y I) এবং M 2 (x 2, y 2) পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে সরানো সরল রেখাটি অরডিনেট অক্ষের সমান্তরাল। এর সমীকরণের রূপ রয়েছে x \u003d x 1 .

যদি y 2 \u003d y I হয়, তবে সরলরেখার সমীকরণটি y \u003d y 1 হিসাবে লেখা যেতে পারে, সরল রেখা এম 1 এম 2 অ্যাবসিসা অক্ষের সমান্তরাল।

বিভাগগুলিতে একটি সরল রেখার সমীকরণ

এম 1 (a; 0) বিন্দুতে লাইনটি অক্স অক্ষকে ছেদ করতে দিন এবং ওয়ে অক্ষ - বিন্দু M 2 (0; b) এ ছেদ করুন। সমীকরণটি হয়ে যায়:
সেগুলো.
... এই সমীকরণ বলা হয় যেহেতু বিভাগগুলিতে একটি সরল রেখার সমীকরণ a এবং b সংখ্যা নির্দেশ করে যে কোন স্থানে স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর একটি সরল রেখা দ্বারা কেটে দেওয়া হয়েছে.

প্রদত্ত ভেক্টরের লম্ব লম্ব দিয়ে প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ

আসুন আমরা প্রদত্ত নোনজারো ভেক্টর এন \u003d (এ; বি) এর উল্লম্ব একটি নির্দিষ্ট বিন্দু মো (x O; y o) পার হয়ে একটি সরলরেখার সমীকরণটি সন্ধান করি।

একটি সরলরেখায় একটি সালিশ পয়েন্ট M (x; y) নিন এবং ভেক্টর এম 0 এম (x - x 0; y - y ও) বিবেচনা করুন (চিত্র 1 দেখুন)। যেহেতু ভেক্টর এন এবং এম ও এম লম্ব, তাই তাদের স্কেলারের পণ্যটি শূন্য: এটি

A (x - xo) + B (y - yo) \u003d 0। (10.8)

সমীকরণ (10.8) বলা হয় প্রদত্ত ভেক্টরের লম্ব লম্বালম্বী দিয়ে সরানো একটি সরলরেখার সমীকরণ .

ভেক্টর এন \u003d (এ; বি), সরলরেখার লম্ব, লম্বকে বলা হয় সাধারণ এই লাইনের স্বাভাবিক ভেক্টর .

সমীকরণ (10.8) হিসাবে নতুন করে লেখা যেতে পারে অক্ষ + উ + সি \u003d ০ , (10.9)

যেখানে A এবং B হ'ল সাধারণ ভেক্টরের স্থানাঙ্ক, সি \u003d -আх о - Ву о - নিখরচায় শব্দ। সমীকরণ (10.9) সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ (চিত্র 2 দেখুন)

ডুমুর। 1 চিত্র 2

লাইনের ক্যানোনিকাল সমীকরণ

,

কোথায়
- সরল রেখাটি যে বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় তার স্থানাঙ্ক এবং
- দিক ভেক্টর

দ্বিতীয়-ক্রমের কার্ভস সার্কেল

একটি বৃত্ত হ'ল বিমানের সমস্ত পয়েন্টের সেট, প্রদত্ত বিন্দু থেকে সমান, যাকে কেন্দ্র বলা হয়।

ব্যাসার্ধের বৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ আর কেন্দ্রবিন্দুতে
:

বিশেষত, যদি অংশটির কেন্দ্রটি উত্সটির সাথে মিলে যায় তবে সমীকরণটি দেখতে পাবেন:

উপবৃত্ত

একটি উপবৃত্ত একটি বিমানের পয়েন্টগুলির একটি সেট, প্রতিটি থেকে দুটি দূরত্বের যোগফলের যোগফল এবং , যা ফোকি বলা হয়, ধ্রুবক হয়
ফোকির মধ্যে দূরত্বের চেয়ে বড়
.

একটি উপবৃত্তের আধ্যাত্মিক সমীকরণ, যার কেন্দ্রবিন্দুটি অক্স অক্ষের উপরে থাকে এবং ফোকির মধ্যবর্তী স্থানে স্থানাঙ্কের উত্স রূপ ধারণ করে
r ডিক আধা-প্রধান অক্ষের দৈর্ঘ্য;খ - আধা-ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য (চিত্র 2)।

উপবৃত্তাকার পরামিতিগুলির মধ্যে সম্পর্ক
এবং অনুপাত দ্বারা প্রকাশ:

(4)

এককেন্দ্রিক উপবৃত্তআন্তঃফোকাল দূরত্বের অনুপাত বলে2 সি প্রধান অক্ষ2 এ:

পরিচালক উপবৃত্তগুলিকে অক্ষের সাথে সমান্তরাল সোজা রেখা বলা হয় ওয়, যা এই অক্ষ থেকে দূরে রয়েছে। ডাইরেক্ট্রিক্স সমীকরণ:
.

উপবৃত্তির সমীকরণে থাকলে
তারপরে, উপবৃত্তির কেন্দ্রবিন্দু ওয় অক্ষের উপরে রয়েছে।

সুতরাং,

দুটি পয়েন্ট দেওয়া যাক এম 1 (x 1, y 1) এবং এম 2 (x 2, y 2)... আমরা ফর্মটিতে সরলরেখার সমীকরণটি লিখি (5), যেখানে কে এখনও অজানা সহগ:

বিন্দু থেকে এম 2প্রদত্ত সরল রেখার সাথে সম্পর্কিত, তার সমন্বয়গুলি সমীকরণ (5) পূরণ করে: এটি থেকে প্রকাশ করে এটিকে সমীকরণের পরিবর্তে (5), আমরা প্রয়োজনীয় সমীকরণটি অর্জন করি:

যদি একটি এই সমীকরণটি মুখস্ত করার জন্য আরও সুবিধাজনক ফর্মটিতে আবারও লেখা যেতে পারে:

(6)

উদাহরণ।এম 1 (1.2) এবং এম 2 (-2.3) পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে সরানো রেখার সমীকরণটি লিখুন

সিদ্ধান্ত. ... অনুপাতের সম্পত্তি ব্যবহার করে এবং প্রয়োজনীয় রূপান্তরগুলি সম্পাদন করে আমরা সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ পাই:

দুটি সোজা রেখার মাঝে কোণ

দুটি লাইন বিবেচনা করুন l 1 এবং l 2:

l 1:,, এবং

l 2: , ,

them হ'ল তাদের () এর মধ্যবর্তী কোণ। চিত্র 4 দেখায়:।

এখান থেকে , বা

সূত্র (7) ব্যবহার করে, সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণগুলির একটি নির্ধারণ করা যায়। দ্বিতীয় কোণটি হ'ল।

উদাহরণ... দুটি সোজা রেখা y \u003d 2x + 3 এবং y \u003d -3x + 2 সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়। এই লাইনের মধ্যবর্তী কোণটি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত... সমীকরণগুলি থেকে দেখা যায় যে কে 1 \u003d 2, এবং কে 2 \u003d -3। সূত্রের মধ্যে এই মানগুলি প্রতিস্থাপন (7), আমরা সন্ধান করি

... সুতরাং, এই রেখার মধ্যে কোণ সমান is

দুটি লাইনের সমান্তরালতা এবং লম্বের জন্য শর্তাবলী

যদি সোজা হয় l 1 এবং l 2 সমান্তরাল হয়, তারপর φ=0 এবং tgφ \u003d 0... এটি সূত্র (7) থেকে যেটি আসে whe কে 2 \u003d কে 1... সুতরাং, দুটি সোজা লাইনের সমান্তরালতার শর্তটি তাদের opালু সমতা equality

যদি সোজা হয় l 1 এবং l 2 লম্ব হয়, তারপর φ \u003d π / 2, α 2 \u003d π / 2 + α 1। ... সুতরাং, দুটি সোজা রেখার লম্বের অবস্থা হ'ল তাদের opালগুলি পরিমিতিতে পার্থক্যযুক্ত এবং চিহ্নের বিপরীতে।

বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব

উপপাদ্য। যদি একটি বিন্দু M (x 0, y 0) দেওয়া হয়, তবে সোজা রেখা Ax + Vy + C \u003d 0 এর দূরত্ব হিসাবে নির্ধারিত হয়

প্রমান. বিন্দু M 1 (x 1, y 1) একটি নির্দিষ্ট লাইনের উপরে বিন্দু M থেকে বাদ দেওয়া লম্বের বেস হবে। তারপরে এম এবং এম 1 পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব:

X 1 এবং y 1 স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণের পদ্ধতির সমাধান হিসাবে পাওয়া যেতে পারে:

সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণটি একটি প্রদত্ত সরলরেখার জন্য একটি নির্দিষ্ট লম্বা এম 0 লম্ব করে লম্বা একটি সরলরেখার সমীকরণ।

যদি আমরা সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটিকে রূপটিতে রূপান্তর করি:

A (x - x 0) + বি (y - y 0) +x 0 + 0 + C \u003d 0 দ্বারা,

তারপরে, সমাধান, আমরা পেয়েছি:

এই অভিব্যক্তিগুলি সমীকরণ (1) এ প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই:

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।

উদাহরণ। সরলরেখার মধ্যে কোণ নির্ধারণ করুন: y \u003d -3x + 7; y \u003d 2x + 1।

কে 1 \u003d -3; কে 2 \u003d 2 টিজিজে \u003d; j \u003d p / 4।

উদাহরণ। সরল রেখাগুলি 3x - 5y + 7 \u003d 0 এবং 10x + 6y - 3 \u003d 0 লম্ব হয় তা দেখান।

আমরা খুঁজে পাই: কে 1 \u003d 3/5, কে 2 \u003d -5/3, কে 1 কে 2 \u003d -1, সুতরাং, সরল রেখাগুলি লম্ব হয়।

উদাহরণ। ত্রিভুজের A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) এর উল্লম্ব দেওয়া আছে। শীর্ষস্থানীয় সি থেকে অঙ্কিত উচ্চতার সমীকরণটি সন্ধান করুন

আমরা পাশের AB এর সমীকরণটি খুঁজে পাই :; 4x \u003d 6y - 6;

2 এক্স - 3 আই + 3 \u003d 0;

প্রয়োজনীয় উচ্চতার সমীকরণ: অক্ষ + বাই + সি \u003d 0 বা y \u003d কেএক্স + বি।

কে \u003d। তারপরে y \u003d। কারণ উচ্চতা বিন্দু সি এর মধ্য দিয়ে যায়, তার পরে স্থানাঙ্কগুলি প্রদত্ত সমীকরণটি পূরণ করে: কোথা থেকে b \u003d 17. মোট :.

উত্তর: 3x + 2y - 34 \u003d 0।

একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্বটি একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখায় নিচে লম্ব দৈর্ঘ্যের দ্বারা নির্ধারিত হয়।

লাইনটি যদি প্রক্ষেপণ বিমানের সমান্তরাল হয় (এইচ | পি 1)তারপর বিন্দু থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করতে এবং সরাসরি এইচ এটি বিন্দু থেকে লম্ব কম করা প্রয়োজন এবং অনুভূমিক উপর এইচ.

আসুন আরও জটিল উদাহরণ বিবেচনা করুন, যখন সরল রেখাটি একটি সাধারণ অবস্থান দখল করে। এটি বিন্দু থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করা প্রয়োজন এম সরাসরি এবং সাধারণ অবস্থান

নির্ধারণের কাজ সমান্তরাল রেখার মধ্যে দূরত্ব আগেরটির মতোই সমাধান করা। এক লাইনে একটি পয়েন্ট নেওয়া হয়, যেখান থেকে একটি লম্বকে অন্য লাইনে নামানো হয়। লম্ব দৈর্ঘ্য সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্বের সমান।

দ্বিতীয় ক্রম বক্ররেখা বর্তমান কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের তুলনায় দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি সমীকরণ দ্বারা নির্ধারিত একটি রেখাকে বলা হয়। সাধারণভাবে, Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

যেখানে A, B, C, D, E, F হ'ল আসল সংখ্যা এবং কমপক্ষে A 2 + B 2 + C 2 numbers 0 সংখ্যার একটি।

বৃত্ত

বৃত্ত কেন্দ্র প্লেনের পয়েন্টগুলির লোকস সমতল সি (ক, খ) এর বিন্দু থেকে সমান।

বৃত্তটি নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়:

যেখানে x, y হ'ল বৃত্তের একটি স্বেচ্ছাসেবী বিন্দুর স্থানাংক, আর এটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

পরিবেশন সমীকরণ

1. x, y এর সাথে কোনও পদ নেই

২. x 2 এবং y 2 তে সমান সহগ

উপবৃত্ত

উপবৃত্ত একটি বিমানের পয়েন্টগুলির লোকস বলা হয়, এই বিমানের দুটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে যার প্রত্যেকটির দূরত্বের যোগফলকে ফোকি (ধ্রুবক মান) বলা হয়।

ক্যানোনিকাল উপবৃত্তির সমীকরণ:

এক্স এবং ওয়াই একটি উপবৃত্তের অন্তর্ভুক্ত।

একটি - উপবৃত্তের আধা-প্রধান অক্ষ

খ - উপবৃত্তের আধা-ক্ষুদ্র অক্ষ

উপবৃত্তটির 2 টি অক্ষের সাথে প্রতিসাম্য OX এবং OY রয়েছে। উপবৃত্তের প্রতিসাম্যের অক্ষগুলি এর অক্ষ, তাদের ছেদটির বিন্দুটি উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু। যে অক্ষের উপরে ফোকাসগুলি অবস্থিত তাকে বলা হয় ফোকাস অক্ষ... অক্ষের সাথে উপবৃত্তের ছেদ বিন্দু হ'ল উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু।

সংক্ষেপণ (প্রসারিত) অনুপাত: ε \u003d এস / এ - অদ্ভুততা (উপবৃত্তাকার আকৃতির বৈশিষ্ট্যযুক্ত), এটি যত কম হবে, ফোকাস অক্ষের বরাবর উপবৃত্তের পরিমাণ কম হবে less

উপবৃত্তের কেন্দ্রগুলি যদি সেন্টার সি না থাকে (α, at)

অধিবৃত্ত

হাইপারবোল বিমানের পয়েন্টগুলির লোকস বলা হয়, পরম মান দূরত্বের পার্থক্য, যার প্রত্যেকটিই এই বিমানের দুটি প্রদত্ত বিন্দু থেকে ফোকি নামে পরিচিত, এটি শূন্য ব্যতীত অন্য একটি ধ্রুবক মান।

ক্যানোনিকাল হাইপারবোলা সমীকরণ

হাইপারবোলাতে দুটি ধরণের প্রতিসাম্য রয়েছে:

একটি - প্রতিসাম্যের বাস্তব semiaxis

খ - কাল্পনিক প্রতিসম আধা অক্ষ

হাইপারবোলা অ্যাসিম্পোটোটস:

পরাবৃত্ত

পরাবৃত্ত একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এফ থেকে সমতুল্য একটি বিমানের পয়েন্টগুলির লোকস বলা হয়, যাকে ফোকাস বলা হয় এবং প্রদত্ত সরলরেখাকে ডাইরেক্ট্রিক বলে।

ক্যানোনিকাল প্যারাবোলা সমীকরণ:

Y 2 \u003d 2px, যেখানে p ফোকাস থেকে ডিরেক্ট্রিক্সের দূরত্ব (প্যারোবোলার প্যারামিটার)

যদি প্যারাবোলা সি (α, β) এর শীর্ষবিন্দু হয়, তবে প্যারাবোলা সমীকরণ (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

ফোকাল অক্ষটি যদি অ্যারিনেট অক্ষ হিসাবে গ্রহণ করা হয় তবে প্যারাবোলা সমীকরণটি রূপটি গ্রহণ করবে: x 2 \u003d 2qу

দুটি পয়েন্ট দেওয়া যাক এম(এক্স1 ,আছে1) এবং এন(এক্স2, y2)। আসুন এই পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে সরানো রেখার সমীকরণটি সন্ধান করি।

যেহেতু এই লাইনটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এম, তারপরে সূত্র অনুযায়ী (1.13) এর সমীকরণটির ফর্ম রয়েছে

আছে – ওয়াই1 = কে(এক্স - এক্স1),

কোথায় কে - অজানা opeাল।

এই সহগের মান শর্তটি নির্ধারণ করা হয় যে চাওয়া রেখাটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এন, এবং তাই এর সমন্বয়কারী সমীকরণটি পূরণ করে (1.13)

ওয়াই2 – ওয়াই1 = কে(এক্স2 – এক্স1),

এখান থেকে আপনি এই লাইনের opeাল খুঁজে পেতে পারেন:

,

বা রূপান্তর পরে

(1.14)

সূত্র (1.14) নির্ধারণ করে দুটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে সরানো লাইনের সমীকরণ এম(এক্স1, ওয়াই1) এবং এন(এক্স2, ওয়াই2).

বিশেষ ক্ষেত্রে যখন পয়েন্ট এম(ক, 0), এন(0, খ), এবং ¹ 0, খ ¹ 0, স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর থাকা, সমীকরণ (1.14) একটি সহজ রূপ নেয়

সমীকরণ (1.15) বলা হয় বিভাগগুলিতে একটি সরল রেখার সমীকরণ, এখানে এবং এবং খ অক্ষের উপর একটি সরল রেখা দ্বারা বিভক্ত অংশগুলিকে বোঝায় (চিত্র 1.6)।

চিত্র 1.6

উদাহরণ 1.10। পয়েন্টগুলির মাধ্যমে একটি সরলরেখার সমান করুন এম(1, 2) এবং খ(3, –1).

. (1.14) অনুসারে, চাওয়া লাইনের সমীকরণের ফর্ম রয়েছে

2(ওয়াই – 2) = -3(এক্স – 1).

সমস্ত পদ বাম-হাত দিকে স্থানান্তরিত করে, আমরা শেষ পর্যন্ত পছন্দসই সমীকরণটি পাই

3এক্স + 2ওয়াই – 7 = 0.

উদাহরণ 1.11। একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরলরেখার সমান করুন এম(2, 1) এবং রেখার ছেদ বিন্দু এক্স+ Y -1 = 0, এক্স - ওয়াই+ 2 = 0.

. প্রদত্ত সমীকরণগুলি একসাথে সমাধান করে আমরা সরলরেখার ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি পাই

যদি আমরা এই সমীকরণগুলিকে শব্দ অনুসারে যুক্ত করি তবে আমরা 2 পাই এক্স + 1 \u003d 0, কোথা থেকে। যে কোনও সমীকরণের মধ্যে পাওয়া মানটি প্রতিস্থাপন করে আমরা অর্ডিনেটের মান খুঁজে পাই আছে:

এখন আমরা পয়েন্টগুলি (2, 1) এর মধ্য দিয়ে সরানো রেখার সমীকরণটি লিখি এবং:

বা।

অতএব, বা –5 ( ওয়াই – 1) = এক্স – 2.

পরিশেষে, আমরা ফর্মটিতে চাওয়া লাইনের সমীকরণটি পাই এক্স + 5ওয়াই – 7 = 0.

উদাহরণ 1.12। বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে সরানো রেখার সমীকরণটি সন্ধান করুন এম(2,1) এবং এন(2,3).

সূত্র (1.14) ব্যবহার করে আমরা সমীকরণটি অর্জন করি

দ্বিতীয় ডিনমিনেটর শূন্য হওয়ায় এটি কোনও অর্থবোধ করে না। সমস্যা বিবৃতি থেকে দেখা যায় যে উভয় পয়েন্টের অ্যাবসিসাসের একই মান রয়েছে। অতএব, চাওয়া রেখাটি অক্ষের সমান্তরাল ও এবং এর সমীকরণটি হ'ল: এক্স = 2.

মন্তব্য . সূত্র (১.১৪) অনুসারে একটি সরলরেখার সমীকরণটি লেখার সময়, ডিনোমিনেটরগুলির মধ্যে একটি শূন্য হতে দেখা যায়, তবে সংশ্লিষ্ট সংখ্যাটিকে শূন্যের সাথে সমান করে পছন্দসই সমীকরণ প্রাপ্ত করা যেতে পারে।

বিমানে স্ট্রেইট লাইন নির্ধারণের অন্যান্য উপায় বিবেচনা করুন।

1. একটি ননজারো ভেক্টরকে প্রদত্ত লাইনের সাথে লম্ব থাকুক এলএবং পয়েন্ট এম0(এক্স0, ওয়াই0) এই সরলরেখায় অবস্থিত (চিত্র 1.7)।

চিত্র 1.7

আমরা বোঝাচ্ছি এম(এক্স, ওয়াই) লাইনে একটি স্বেচ্ছাসেবী বিন্দু এল... ভেক্টর এবং অরথোগোনাল। এই ভেক্টরগুলির জন্য orthogonality শর্তাদি ব্যবহার করে, আমরা উভয়ই পাই এবং(এক্স – এক্স0) + খ(ওয়াই – ওয়াই0) = 0.

আমরা একটি বিন্দু দিয়ে যাচ্ছি একটি সরল রেখার সমীকরণ পেয়েছি এম0 ভেক্টরের লম্ব। এই ভেক্টর বলা হয় সাধারণ ভেক্টর সরাসরি এল... ফলস্বরূপ সমীকরণটি আবার লিখতে পারে

উহু + উও + থেকে \u003d 0, যেখানে থেকে = –(এবংএক্স0 + দ্বারা0), (1.16),

কোথায় এবং এবং ভিতরে- সাধারণ ভেক্টরের স্থানাঙ্ক।

আমরা প্যারামেট্রিক আকারে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ পাই।

২. প্লেনের একটি সরলরেখা নিম্নরূপে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে: একটি ননজারো ভেক্টরকে প্রদত্ত সরল রেখার সমান্তরাল হতে দিন এল এবং পয়েন্ট এম0(এক্স0, ওয়াই0) এই সরলরেখায় থাকে। আবার একটি নির্বিচারে বিন্দু নিন এম(এক্স, y) সরলরেখায় (চিত্র 1.8)।

চিত্র 1.8

ভেক্টর এবং কলিনারি

আমরা এই ভেক্টরগুলির জন্য সহপাঠের শর্তটি লিখি: কোথায় where টি - একটি স্বেচ্ছাসেবী নামাকে প্যারামিটার বলে। এই সমতা স্থানাঙ্কে লিখি:

এই সমীকরণগুলি বলা হয় প্যারামেট্রিক সমীকরণ সোজা... আমরা এই সমীকরণগুলি প্যারামিটার থেকে বাদ দিই টি:

এই সমীকরণগুলি অন্যথায় ফর্মটিতে লেখা যেতে পারে

. (1.18)

ফলস্বরূপ সমীকরণ বলা হয় রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ... ভেক্টর বলা হয় সরলরেখার দিকনির্দেশক ভেক্টর .

মন্তব্য . এটি দেখতে সহজ যে লাইনের স্বাভাবিক ভেক্টর যদি হয় এল, তার নির্দেশিকা ভেক্টর ভেক্টর হতে পারে, যেহেতু, যেমন।

উদাহরণ 1.13। বিন্দু দিয়ে যাওয়ার সময় সরলরেখার সমীকরণটি লিখুন এম0 (1, 1) 3 টি সরলরেখার সমান্তরাল এক্স + 2আছে– 8 = 0.

সিদ্ধান্ত . ভেক্টর প্রদত্ত এবং পছন্দসই সরল রেখাগুলির স্বাভাবিক ভেক্টর। আমরা বিন্দু দিয়ে যাচ্ছি সরলরেখার সমীকরণটি ব্যবহার করব এম0 প্রদত্ত সাধারণ ভেক্টর 3 সহ ( এক্স –1) + 2(আছে - 1) \u003d 0 বা 3 এক্স + 2y - 5 \u003d 0. পছন্দসই সরলরেখার সমীকরণ পেয়েছি।