একটি মডিউল দিয়ে সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ। সংখ্যা মডিউল (সংখ্যার পরম মান), সংজ্ঞা, উদাহরণ, বৈশিষ্ট্য। সংখ্যা মডিউল - সংজ্ঞা, স্বরলিপি এবং উদাহরণ

আমরা গণিত পছন্দ করি নাতার পেশা, এবং তিনি আমাদের চয়ন।

রাশিয়ান গণিতবিদ ইউ.আই. মানিন

মডুলাস সঙ্গে সমীকরণ

স্কুল গণিতের সমস্যাগুলি সমাধান করা সবচেয়ে কঠিন হ'ল মডুলাস সাইন এর নীচে ভেরিয়েবল সমীকরণ। এই জাতীয় সমীকরণগুলি সফলভাবে সমাধান করার জন্য, আপনাকে মডিউলটির সংজ্ঞা এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি জানতে হবে। স্বাভাবিকভাবেই, শিক্ষার্থীদের এই ধরণের সমীকরণগুলি সমাধান করার দক্ষতা থাকতে হবে।

বেসিক ধারণা এবং বৈশিষ্ট্য

একটি আসল সংখ্যার মডুলাস (পরম মান) চিহ্নিত এবং নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

মডিউলটির সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি অন্তর্ভুক্ত থাকে:

বিঃদ্রঃ, শেষ দুটি বৈশিষ্ট্য যে কোনও ডিগ্রির জন্য বৈধ।

এছাড়াও, যদি, যেখানে, তারপর

আরও জটিল মডিউল বৈশিষ্ট্য, যা কার্যকরভাবে মডিউলগুলির সাথে সমীকরণগুলি সমাধান করতে ব্যবহৃত হতে পারে, নিম্নলিখিত উপপাদ্যগুলির মাধ্যমে তৈরি করা হয়:

উপপাদ্য ঘ। কোন বিশ্লেষণমূলক ফাংশন জন্য এবং বৈষম্য ধরে

উপপাদ্য 2। সাম্য বৈষম্যের সমান।

উপপাদ্য ঘ। সমতা বৈষম্যের সমান.

আসুন "সমীকরণগুলি" বিষয়টিতে সমস্যা সমাধানের সাধারণ উদাহরণ বিবেচনা করুন, মডিউল সাইন এর অধীনে ভেরিয়েবলগুলি "।

মডুলাস সহ সমীকরণগুলি সমাধান করা

একটি মডিউল দিয়ে সমীকরণ সমাধানের জন্য স্কুল গণিতে সর্বাধিক প্রচলিত পদ্ধতি হ'ল পদ্ধতি, মডিউলগুলির সম্প্রসারণের ভিত্তিতে। এই পদ্ধতিটি বহুমুখী, তবে, সাধারণভাবে, এর প্রয়োগটি খুব জটিল গণনার দিকে নিয়ে যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, শিক্ষার্থীদের অন্যান্য জানা উচিত, যেমন সমীকরণ সমাধানের জন্য আরও কার্যকর পদ্ধতি এবং কৌশল নির্দিষ্টভাবে, উপপাদাগুলি প্রয়োগে আপনার দক্ষতা থাকতে হবে, এই নিবন্ধে দেওয়া।

উদাহরণ 1।সমীকরণটি সমাধান করুন। (1)

সিদ্ধান্ত। সমীকরণ (1) "শাস্ত্রীয়" পদ্ধতি - মডিউলগুলি প্রসারিত করার পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হবে। এটি করার জন্য, আমরা সংখ্যাটি অক্ষরকে বিভক্ত করি পয়েন্ট এবং অন্তর মধ্যে এবং তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা।

1. যদি, তবে ,,, এবং সমীকরণ (1) রূপ নেয়। সুতরাং এটি অনুসরণ করে। তবে, এখানে, সুতরাং, প্রাপ্ত মানটি সমীকরণের মূল নয় (1)।

২. যদি, তারপরে সমীকরণ (1) থেকে আমরা পাই বা।

তখন থেকে সমীকরণের মূল (1)।

৩. যদি, তারপরে সমীকরণ (1) রূপ নেয় বা। মনে রাখবেন যে.

উত্তর:,.

মডিউল সহ পরবর্তী সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, আমরা এই জাতীয় সমীকরণগুলি সমাধানের দক্ষতা বাড়াতে সক্রিয়ভাবে মডিউলগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করব।

উদাহরণ 2। সমীকরণটি সমাধান করুন.

সিদ্ধান্ত। যেহেতু এবং, তারপরে সমীকরণটি বোঝায়... এই বিষয়ে ,,, এবং সমীকরণটি রূপ নেয়... সুতরাং আমরা পেতে... কিন্তু, সুতরাং, মূল সমীকরণের কোনও শিকড় নেই।

উত্তর: শিকড় নেই।

উদাহরণ 3। সমীকরণটি সমাধান করুন.

সিদ্ধান্ত। তখন থেকে. যদি, তবে, এবং সমীকরণটি রূপ নেয়.

এখান থেকে আমরা পাই

উদাহরণ 4। সমীকরণটি সমাধান করুন.

সিদ্ধান্ত।আমরা সমীকরণটি সমতুল্য আকারে পুনর্লিখন করি. (2)

ফলাফলের সমীকরণটি ধরণের সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত।

উপপাদ্য 2 বিবেচনায় নিয়ে যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে সমীকরণ (2) একটি বৈষম্যের সমতুল্য। এখান থেকে আমরা পাই

উত্তর:.

উদাহরণ 5। সমীকরণটি সমাধান করুন।

সিদ্ধান্ত। এই সমীকরণটির ফর্ম রয়েছে... অতএব, থিওরেম 3 অনুযায়ী, এখানে আমাদের অসমতা আছে বা।

উদাহরণ 6। সমীকরণটি সমাধান করুন.

সিদ্ধান্ত। আসুন আমরা ধরে নিই কারণ , তারপরে প্রদত্ত সমীকরণটি চতুর্ভুজ সমীকরণের রূপ নেয়, (3)

কোথায় ... যেহেতু সমীকরণ (3) এর একক ধনাত্মক মূল রয়েছে এবং তারপর ... সুতরাং, আমরা মূল সমীকরণের দুটি মূল পেয়েছি: এবং.

উদাহরণ 7। সমীকরণটি সমাধান করুন. (4)

সিদ্ধান্ত। যেহেতু সমীকরণ দুটি সমীকরণের সংমিশ্রণের সমতুল্য: এবং, তারপরে, সমীকরণ (4) সমাধান করার সময়, দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা প্রয়োজন।

1. যদি, তবে বা।

এখান থেকে আমরা পাই, এবং।

2. যদি, তবে বা।

তখন থেকে.

উত্তর:,,,.

উদাহরণ 8। সমীকরণটি সমাধান করুন . (5)

সিদ্ধান্ত। যেহেতু এবং, তখন থেকে। এটি থেকে এবং একা থেকে (5) এটি অনুসরণ করে এবং, যেমন। এখানে আমাদের সমীকরণের ব্যবস্থা আছে

তবে এই সমীকরণের ব্যবস্থাটি বেমানান।

উত্তর: শিকড় নেই।

উদাহরণ 9। সমীকরণটি সমাধান করুন. (6)

সিদ্ধান্ত।যদি আমরা চিহ্নিত করি, তবে এবং সমীকরণ থেকে (6) আমরা প্রাপ্ত

বা। (7)

যেহেতু সমীকরণের (7) ফর্ম রয়েছে তাই এই সমীকরণটি একটি বৈষম্যের সমতুল্য। এখান থেকে আমরা পাই যেহেতু, তখনই বা।

উত্তর:.

উদাহরণ 10। সমীকরণটি সমাধান করুন. (8)

সিদ্ধান্ত। উপপাদ্য 1 অনুযায়ী আমরা লিখতে পারি can

(9)

অ্যাকাউন্ট সমীকরণ (8) গ্রহণ করে, আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে উভয় বৈষম্য (9) সমতাতে পরিণত হয়, অর্থাৎ। সমীকরণ সিস্টেম ধরে

তবে, থিওরেম 3 দ্বারা, উপরোক্ত সমীকরণের সিস্টেমটি অসমতার ব্যবস্থার সমতুল্য

(10)

অসমতার সিস্টেমটি সমাধান করা (10), আমরা পাই। যেহেতু অসমতার ব্যবস্থা (10) সমীকরণের সাথে সমান (8), মূল সমীকরণটির একক মূল থাকে has

উত্তর:.

উদাহরণ 11। সমীকরণটি সমাধান করুন. (11)

সিদ্ধান্ত। আসুন এবং তারপরে সাম্যতা সমীকরণ (11) থেকে অনুসরণ করে।

সুতরাং এটি অনুসরণ করে এবং। সুতরাং, এখানে আমাদের অসমতার ব্যবস্থা আছে

অসমতার এই ব্যবস্থাটির সমাধান is এবং.

উত্তর:,.

উদাহরণ 12। সমীকরণটি সমাধান করুন. (12)

সিদ্ধান্ত। সমীকরণ (12) মডিউলগুলির ক্রমিক প্রসারণের পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হবে। এটি করার জন্য, বেশ কয়েকটি কেস বিবেচনা করুন।

1. যদি, তারপর।

1.1। যদি, তারপর এবং ,.

১.২ যদি, তবে। কিন্তু, সুতরাং, এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের (12) এর কোনও শিকড় নেই।

2. যদি, তারপর।

2.1। যদি, তারপর এবং ,.

2.2। যদি, তবে এবং।

উত্তর:,,,,.

উদাহরণ 13। সমীকরণটি সমাধান করুন. (13)

সিদ্ধান্ত। যেহেতু একা (13) এর বাম দিকটি অ-নেতিবাচক, এবং। এই বিষয়ে, এবং সমীকরণ (13)

রূপ নেয় বা।

এটা সমীকরণ যে জানা দুটি সমীকরণের সংমিশ্রণের সমতুল্য এবং, আমরা যা পাই তা স্থির করছি,। কারণ , তারপরে সমীকরণের (13) এর একটি মূল রয়েছে.

উত্তর:.

উদাহরণ 14। সমীকরণ সিস্টেম সমাধান করুন (14)

সিদ্ধান্ত। যেহেতু এবং, তখন এবং। সুতরাং, সমীকরণের সিস্টেম থেকে (14) আমরা সমীকরণের চারটি সিস্টেম পেয়েছি:

উপরের সমীকরণের সিস্টেমগুলির মূলগুলি সমীকরণের ব্যবস্থার শিকড় (14)।

উত্তর: ,,,,,,,.

উদাহরণ 15। সমীকরণ সিস্টেম সমাধান করুন (15)

সিদ্ধান্ত। তখন থেকে. এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের সিস্টেম থেকে (15), আমরা সমীকরণের দুটি সিস্টেম পাই

প্রথম সমীকরণের সিস্টেমের মূলগুলি হ'ল, এবং দ্বিতীয় সমীকরণের সিস্টেম থেকে আমরা পাই এবং।

উত্তর:,,,.

উদাহরণ 16। সমীকরণ সিস্টেম সমাধান করুন (16)

সিদ্ধান্ত। সিস্টেমের প্রথম সমীকরণ থেকে (16) এটি অনুসরণ করে।

তখন থেকে ... সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণ বিবেচনা করুন। যতটুকুতারপর, এবং সমীকরণটি রূপ নেয়, বা।

যদি আপনি মান বিকল্প সিস্টেমের প্রথম সমীকরণের মধ্যে (16), তারপর, বা।

উত্তর:,.

সমস্যা সমাধানের পদ্ধতির গভীর অধ্যয়নের জন্য, সমাধান সমীকরণ সম্পর্কিত, মডিউল সাইন অধীনে ভেরিয়েবল সমন্বিত, আমি কি পরামর্শ দিতে পারি? টিউটোরিয়াল প্রস্তাবিত সাহিত্যের তালিকা থেকে।

কারিগরি কলেজ / এডিতে আবেদনকারীদের জন্য গণিতে সমস্যা সংগ্রহ। এম.আই. স্কানভি। - এম।: শান্তি ও শিক্ষা, 2013 .-- 608 পি।

2. সুপারন ভি.পি. উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য গণিত: বর্ধিত জটিলতার সমস্যা। - এম .: সিডি "লিব্রোকম" / ইউআরএসএস, 2017 .-- 200 পি।

৩. সুপ্রুন ভিপি উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য গণিত: অ-মানক সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি। - এম .: সিডি "লিব্রোকম" / ইউআরএসএস, 2017 .-- 296 পি।

এখনও প্রশ্ন আছে?

কোনও শিক্ষিকার কাছ থেকে সহায়তা পেতে - নিবন্ধন করুন।

সাইট, সামগ্রীর সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উত্সের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

মডুলাস হল এক্সপ্রেশনটির পরম মান। কমপক্ষে কোনওভাবে মডিউলটি বোঝাতে, এটি সোজা বন্ধনী ব্যবহার করার প্রথাগত। সোজা বন্ধনীগুলিতে আবদ্ধ মানটি হল মডুলো নেওয়া। যে কোনও মডিউল সমাধানের প্রক্রিয়াটি খুব সঠিক বন্ধনী সম্প্রসারণের মধ্যে থাকে, যাকে গাণিতিক ভাষায় মডুলার বন্ধনী বলে called তাদের প্রকাশ একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক নিয়ম অনুসারে ঘটে। এছাড়াও, মডিউলগুলি সমাধানের ক্রমে, সেই সমস্ত এক্সপ্রেশনগুলির মানগুলির সেটও রয়েছে যা মডিউল বন্ধনীতে ছিল। বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই মডিউলটি এমনভাবে প্রসারিত হয় যে একটি অভিব্যক্তি যা সাবমোডুলার ছিল তা মান শূন্য সহ ধনাত্মক এবং নেতিবাচক উভয় মানই পায়। যদি আমরা মডিউলটির প্রতিষ্ঠিত বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে শুরু করি, তবে প্রক্রিয়াটিতে মূল এক্সপ্রেশন থেকে বিভিন্ন সমীকরণ বা বৈষম্যগুলি অঙ্কিত হয়, যার সমাধান করা দরকার। আসুন কীভাবে মডিউলগুলি সমাধান করবেন তা নির্ধারণ করুন।

সমাধান প্রক্রিয়া

মডিউলটির সমাধানটি মডিউলটির সাথে মূল সমীকরণটি লিখে শুরু হয়। একটি মডিউল দিয়ে সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন সে প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আপনাকে এটিকে পুরোপুরি প্রসারিত করতে হবে। যেমন একটি সমীকরণ সমাধান করতে, মডিউল প্রসারিত করা হয়। সমস্ত মডুলার এক্সপ্রেশন বিবেচনা করা উচিত। এটির সংমিশ্রণে অজানা পরিমাণগুলির কী মানগুলি অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে তা নির্ধারণ করা দরকার, বন্ধনীগুলিতে মডুলার প্রকাশটি শূন্যে পরিণত হয়। এটি করার জন্য, মডুলার বন্ধনীগুলিতে শূন্যের সাথে এক্সপ্রেশনকে সমান করা যথেষ্ট এবং তারপরে ফলাফল সমীকরণের সমাধান গণনা করুন। প্রাপ্ত মানগুলি অবশ্যই রেকর্ড করা উচিত। একইভাবে, এই সমীকরণের সমস্ত মডিউলগুলির জন্য সমস্ত অজানা ভেরিয়েবলের মান নির্ধারণ করাও প্রয়োজনীয়। এর পরে, আপনাকে ভ্যারিয়েবলের অস্তিত্বের সমস্ত ক্ষেত্রে সংজ্ঞা এবং বিবেচনার সাথে ডিল করতে হবে যখন তারা মান শূন্য থেকে আলাদা হয়। এটি করার জন্য, আপনাকে মূল বৈষম্যের সমস্ত মডিউল অনুসারে কিছু বৈষম্য লিখতে হবে। বৈষম্যগুলি এমনভাবে ডিজাইন করা উচিত যাতে তারা নম্বর লাইনে পাওয়া যায় এমন একটি চলকটির জন্য সমস্ত উপলব্ধ এবং সম্ভাব্য মানগুলি কভার করে। তারপরে আপনাকে ভিজ্যুয়ালাইজেশনের জন্য এটি খুব সংখ্যাসূচক রেখাটি আঁকতে হবে, যার ভিত্তিতে ভবিষ্যতে আপনি প্রাপ্ত সমস্ত মান স্থগিত করবেন।

প্রায় সব কিছুই এখন ইন্টারনেটে করা যায়। মডিউলটি নিয়মের ব্যতিক্রম নয়। আপনি অনেক আধুনিক সংস্থানগুলির মধ্যে একটিতে এটি অনলাইনে সমাধান করতে পারেন। ভেরিয়েবলের সেই সমস্ত মানগুলি যা শূন্য মডিউলে রয়েছে তা একটি বিশেষ বাধা হয়ে উঠবে যা মডুলার সমীকরণটি সমাধানের প্রক্রিয়াতে ব্যবহৃত হবে। মূল সমীকরণে, এক্সপ্রেশনটির সাইন পরিবর্তন করার সময়, সমস্ত উপলভ্য মডুলার বন্ধনীগুলি প্রসারিত করা প্রয়োজন যাতে পছন্দসই ভেরিয়েবলের মানগুলি সেই মানগুলির সাথে মিলিত হয় যা সংখ্যা লাইনে দেখা যায়। ফলস্বরূপ সমীকরণ অবশ্যই সমাধান করা উচিত। সমীকরণটি সমাধানের সময় যে ভেরিয়েবলের মানটি পাওয়া যাবে তা মডিউল নিজেই নির্ধারিত প্রতিবন্ধকতার জন্য অবশ্যই পরীক্ষা করতে হবে। যদি ভেরিয়েবলের মান শর্তটিকে পুরোপুরি সন্তুষ্ট করে, তবে এটি সঠিক। সমীকরণের সমাধানের সময় যে সমস্ত শিকড় পাওয়া যাবে, তবে সীমাবদ্ধতাগুলির সাথে ফিট করে না, অবশ্যই তা বাতিল করতে হবে।

শিক্ষার্থীদের জন্য সবচেয়ে কঠিন বিষয়গুলির মধ্যে একটি হল মডুলাস সাইন এর অধীনে একটি চলকযুক্ত সমীকরণগুলি সমাধান করা। আসুন শুরু করা যাক, এটি কিসের সাথে যুক্ত? কেন, উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি বেশিরভাগ বাচ্চার জন্য বাদামের মতো ক্লিকগুলি, তবে মডিউল হিসাবে জটিল ধারণা থেকে দূরে এত সমস্যা রয়েছে কেন?

আমার মতে, এই সমস্ত অসুবিধাগুলি একটি মডুলাসের সাথে সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য সুস্পষ্টভাবে সূচিত নিয়মের অভাবের সাথে জড়িত। সুতরাং, সিদ্ধান্ত দ্বিঘাত সমীকরণ, শিক্ষার্থী নিশ্চিতভাবে জানে যে তাকে প্রথমে বৈষম্যমূলক সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে এবং তারপরে চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্রটি প্রয়োগ করা উচিত। তবে যদি সমীকরণের কোনও মডিউল থাকে? সমীকরণটিতে মডুলাস সাইন-এর নিচে থাকা কোনও অজানা থাকলে আমরা মামলার জন্য প্রয়োজনীয় কর্ম পরিকল্পনাটি স্পষ্টভাবে বর্ণনা করার চেষ্টা করব। প্রতিটি মামলার জন্য এখানে কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া হল।

তবে প্রথমে মনে রাখা যাক মডিউল সংজ্ঞা... সুতরাং, সংখ্যার মডুলাস ক এই সংখ্যাটি নিজেই যদি বলা হয় ক অ-নেতিবাচক এবং -এযদি সংখ্যা ক শূন্যের চেয়ে কম আপনি এটি লিখতে পারেন:

| ক | \u003d a যদি a ≥ 0 এবং | a | \u003d -এ যদি ক< 0

মডিউলের জ্যামিতিক বোধ সম্পর্কে কথা বলার সময়, এটি মনে রাখা উচিত যে প্রতিটি আসল সংখ্যাটি সংখ্যাীয় অক্ষের একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের সাথে মিলে যায় - এর কে সমন্বয় করা। সুতরাং, সংখ্যার মডুলাস বা পরম মান হ'ল এই বিন্দু থেকে সংখ্যার অক্ষের উত্সের দূরত্ব। দূরত্ব সর্বদা একটি ধনাত্মক সংখ্যা হিসাবে নির্দিষ্ট করা হয়। সুতরাং, যে কোনও নেতিবাচক সংখ্যার পরম মান একটি ধনাত্মক সংখ্যা। যাইহোক, এমনকি এই পর্যায়ে, অনেক শিক্ষার্থী বিভ্রান্ত হতে শুরু করে। যে কোনও সংখ্যা মডিউলে থাকতে পারে, তবে মডিউল প্রয়োগের ফলাফল সর্বদা একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

এখন আসুন সরাসরি সমীকরণগুলি সমাধান করার দিকে।

1. ফর্মের একটি সমীকরণ বিবেচনা করুন | x | \u003d সি, যেখানে সি একটি আসল সংখ্যা। এই সমীকরণটি মডুলাস সংজ্ঞা ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।

আমরা সমস্ত আসল সংখ্যাকে তিনটি গ্রুপে বিভক্ত করি: সেগুলি শূন্যের চেয়ে বড়, তৃতীয় গ্রুপটি শূন্যের চেয়ে কম এবং তৃতীয় দলটি সংখ্যাটি ০. আসুন সমাধানটি একটি চিত্রের আকারে লিখি:

(If সি যদি সি\u003e 0)

যদি | এক্স | \u003d সি, তারপরে এক্স \u003d (0, যদি সি \u003d 0 হয়)

(সঙ্গে যদি শিকড় নেই< 0

1) | এক্স | \u003d 5, কারণ 5\u003e 0, তারপরে x \u003d ± 5;

2) | এক্স | \u003d -5, কারণ -ফাইভ< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | এক্স | \u003d 0, তারপরে x \u003d 0

2. ফর্মের একটি সমীকরণ | চ (এক্স) | \u003d বি, যেখানে বি\u003e ০. এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, মডুলাস থেকে মুক্তি পাওয়া দরকার। আমরা এটি এর মতো করে করি: f (x) \u003d b বা f (x) \u003d -b। এখন প্রাপ্ত প্রতিটি সমীকরণ আলাদাভাবে সমাধান করা দরকার। যদি মূল সমীকরণে খ< 0, решений не будет.

1) | এক্স + 2 | \u003d 4, কারণ 4\u003e 0, তারপর

x + 2 \u003d 4 বা x + 2 \u003d -4

2) | এক্স 2 - 5 | \u003d 11, কারণ 11\u003e 0, তারপর

এক্স 2 - 5 \u003d 11 বা এক্স 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 শিকড় নেই

3) | এক্স 2 - 5 এক্স | \u003d -8, কারণ -আাইট< 0, то уравнение не имеет корней.

3. রূপের একটি সমীকরণ | চ (এক্স) | \u003d জি (এক্স) মডিউলটির অর্থের মধ্যে, যদি এর ডান হাতের দিকটি শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান হয় তবে এই জাতীয় সমীকরণের সমাধান হবে i g (x) ≥ 0. তারপরে আমাদের কাছে থাকবে:

f (x) \u003d g (x)বা f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | | \u003d 5x - 10. এই সমীকরণের মূল হবে 5x - 10 ≥ 0 যদি এখান থেকেই এই জাতীয় সমীকরণের সমাধান শুরু হয়।

1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. সমাধান:

2x - 1 \u003d 5x - 10 বা 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

৩. আমরা ওডিজেডকে একত্রিত করি। এবং সমাধানটি হ'ল:

মূল x \u003d 11/7 O.D.Z. অনুযায়ী ফিট করে না, এটি 2 এরও কম, এবং x \u003d 3 এই শর্তটিকে সন্তুষ্ট করে।

উত্তর: এক্স \u003d 3

2) | এক্স - 1 | | \u003d 1 - এক্স 2।

1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. আসুন অন্তরগুলির পদ্ধতি দ্বারা এই বৈষম্যটি সমাধান করুন:

(1 - এক্স) (1 + এক্স) ≥ 0

2. সমাধান:

x - 1 \u003d 1 - x 2 বা x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 বা x \u003d 1 x \u003d 0 বা x \u003d 1

3. আমরা সমাধান এবং ODZ একত্রিত:

কেবলমাত্র শিকড় x \u003d 1 এবং x \u003d 0 উপযুক্ত।

উত্তর: x \u003d 0, এক্স \u003d 1

4. ফর্মের একটি সমীকরণ | চ (এক্স) | \u003d | ছ (এক্স) | এই সমীকরণটি নিম্নলিখিত দুটি সমীকরণ f (x) \u003d g (x) বা f (x) \u003d -g (x) এর সমান।

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 | এই সমীকরণটি নিম্নলিখিত দু'টির সমতুল্য:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 বা x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 বা x \u003d 4 x \u003d 2 বা x \u003d 1

উত্তর: এক্স \u003d 1, এক্স \u003d 2, এক্স \u003d 3, এক্স \u003d 4

5. প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন) দ্বারা সমাধান সমীকরণ। এই সমাধান পদ্ধতিটি একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা করা সবচেয়ে সহজ। সুতরাং, একটি মডুলাস সহ একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ দেওয়া যাক:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. মডিউলটির সম্পত্তি দ্বারা x 2 \u003d | x | 2, সুতরাং নীচে সমীকরণটি পুনরায় লেখা যেতে পারে:

| এক্স | 2 - 6 | এক্স | + 5 \u003d 0. আসুন | এক্স | প্রতিস্থাপন করা যাক \u003d t ≥ 0, তারপরে আমাদের থাকবে:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. এই সমীকরণটি সমাধান করে আমরা সেই টি \u003d 1 বা টি \u003d 5 পাই the প্রতিস্থাপনে ফিরে আসি:

| এক্স | \u003d 1 বা | এক্স | \u003d 5

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

উত্তর: x \u003d -5, এক্স \u003d -1, এক্স \u003d 1, এক্স \u003d 5

আসুন অন্য উদাহরণটি দেখুন:

x 2 + | এক্স | - 2 \u003d 0. মডিউলটির সম্পত্তি দ্বারা x 2 \u003d | x | 2, সুতরাং

| এক্স | 2 + | এক্স | - 2 \u003d 0. এর প্রতিস্থাপন করা যাক | এক্স | \u003d t ≥ 0, তারপরে:

t 2 + t - 2 \u003d 0. এই সমীকরণটি সমাধান করে আমরা t \u003d -2 বা t \u003d 1 পাই Let's আসুন প্রতিস্থাপনে ফিরে আসি:

| এক্স | \u003d -2 বা | এক্স | \u003d 1

কোনও শিকড় নেই x \u003d ± 1

উত্তর: x \u003d -1, এক্স \u003d 1।

6. অন্য ধরনের সমীকরণ - "জটিল" মডিউল সহ সমীকরণ। এই সমীকরণগুলির মধ্যে এমন একটি সমীকরণ রয়েছে যা "মডিউলটিতে মডিউল" রয়েছে। এই ধরণের সমীকরণগুলি মডিউলটির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।

1) | 3 - | এক্স || \u003d ৪. আমরা দ্বিতীয় ধরণের সমীকরণের মতো একই পথে এগিয়ে যাব। কারণ 4\u003e 0, তারপরে আমরা দুটি সমীকরণ পেয়েছি:

3 - | এক্স | \u003d 4 বা 3 - | এক্স | \u003d -4।

এখন আমরা প্রতিটি সমীকরণে মডুলাস এক্স প্রকাশ করি, তারপরে | x | \u003d -1 বা | এক্স | \u003d 7।

আমরা প্রাপ্ত প্রতিটি সমীকরণ সমাধান করি। প্রথম সমীকরণের কোনও শিকড় নেই, কারণ -1< 0, а во втором x = ±7.

উত্তরটি x \u003d -7, x \u003d 7।

2) | 3 + | এক্স + 1 || \u003d 5. আমরা এই সমীকরণটি একইভাবে সমাধান করি:

3 + | এক্স + 1 | \u003d 5 বা 3 + | এক্স + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | এক্স + 1 | \u003d -8

x + 1 \u003d 2 বা x + 1 \u003d -2। শিকড় নেই।

উত্তর: x \u003d -3, এক্স \u003d 1।

একটি মডুলাসের সাথে সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য একটি সর্বজনীন পদ্ধতিও রয়েছে। এটি ব্যবধান পদ্ধতি। তবে আমরা পরে এটি বিবেচনা করব।

সাইট, সামগ্রীর সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উত্সের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

শব্দ (মডিউল) আক্ষরিকভাবে লাতিন থেকে অনুবাদ করা অর্থ "পরিমাপ"। এই ধারণাটি গণিতের প্রবর্তন করেছিলেন ইংরেজ বিজ্ঞানী আর। কোটেস। এবং জার্মান গণিতবিদ কে। ওয়েয়ারস্ট্রেস মডুলাস সাইনটি প্রবর্তন করেছিলেন - এটি প্রতীক যা লেখার সময় এই ধারণাটিকে বোঝায়।

সঙ্গে যোগাযোগ

প্রথমবারের মতো, এই ধারণাটি 6th ষ্ঠ শ্রেণির মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের প্রোগ্রামে গণিতে অধ্যয়ন করা হয়। একটি সংজ্ঞা অনুসারে, মডুলাস হল একটি আসল সংখ্যার পরম মান value অন্য কথায়, একটি আসল সংখ্যার পরম মানটি জানতে, আপনাকে অবশ্যই তার চিহ্নটি বাতিল করতে হবে discard

গ্রাফিক্যালি পরম মান এবং হিসাবে চিহ্নিত | ক |.

এই ধারণার মূল স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্যটি হ'ল এটি সর্বদা একটি নেতিবাচক পরিমাণ।

যে চিহ্নগুলি কেবলমাত্র সাইন ইন একে অপরের থেকে পৃথক হয় তাদের বিপরীত বলা হয়। মানটি যদি ইতিবাচক হয় তবে এর বিপরীতটি নেতিবাচক হবে এবং শূন্যটি তার বিপরীত।

জ্যামিতিক অর্থ

যদি আমরা জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে একটি মডিউলের ধারণাটি বিবেচনা করি, তবে এটি দূরত্বকে চিহ্নিত করবে, যা উত্স থেকে ইউনিট বিভাগগুলিতে পরিমাপ করা হয় চিহ্নিত করা... এই সংজ্ঞাটি অধ্যয়নের অধীনে শব্দটির জ্যামিতিক অর্থ পুরোপুরি প্রকাশ করে।

এটি গ্রাফিকালি নিম্নলিখিতভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: | ক | \u003d ওএ।

পরম মাত্রার বৈশিষ্ট্য

নীচে আমরা এই ধারণার সমস্ত গাণিতিক বৈশিষ্ট্য এবং আক্ষরিক ভাবের আকারে লেখার পদ্ধতিগুলি বিবেচনা করব:

একটি মডিউল দিয়ে সমীকরণ সমাধানের বৈশিষ্ট্য

আমরা যদি মডিউলযুক্ত গাণিতিক সমীকরণ এবং বৈষম্যগুলি সমাধান করার বিষয়ে কথা বলি, তবে আপনাকে মনে রাখতে হবে যে এগুলি সমাধান করার জন্য আপনাকে এই সাইনটি খোলার দরকার।

উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি নিখুঁত মানের চিহ্নটিতে কিছু গাণিতিক প্রকাশ থাকে তবে মডিউলটি খোলার আগে, বর্তমান গাণিতিক সংজ্ঞাগুলি বিবেচনায় নেওয়া প্রয়োজন।

| এ + 5 | \u003d এ + 5যদি, এ শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান।

5-এযদি, এবং মান শূন্যের চেয়ে কম হয়।

কিছু ক্ষেত্রে, ভেরিয়েবলের কোনও মানগুলির জন্য সাইনটি দ্ব্যর্থহীনভাবে প্রসারিত করা যায়।

আরেকটি উদাহরণ নেওয়া যাক। আসুন একটি সমন্বিত লাইন তৈরি করুন যার উপর আমরা সমস্ত সংখ্যাসম্যকে চিহ্নিত করব যার পরম মান 5 হবে value

প্রথমত, আপনাকে একটি স্থানাঙ্ক রেখা আঁকতে হবে, এটিতে মূলটি চিহ্নিত করুন এবং ইউনিট বিভাগের আকার নির্ধারণ করুন। এছাড়াও, লাইনটির অবশ্যই একটি দিক থাকতে হবে must এখন এই সরল রেখায় চিহ্নিতকরণগুলি প্রয়োগ করা প্রয়োজন, যা ইউনিট বিভাগের আকারের সমান হবে।

সুতরাং, আমরা দেখতে পারি যে এই সমন্বিত লাইনে 5 এবং -5 মানের সাথে আমাদের দুটি আগ্রহের পয়েন্ট থাকবে।

একটি সংখ্যার একক খুঁজে পাওয়া সহজ এবং সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় এর পিছনের তত্ত্বটি গুরুত্বপূর্ণ।

অনুশীলন সমাধানে এবং পরীক্ষায় প্রকাশের বৈশিষ্ট্য এবং বিধিগুলি স্কুলছাত্রী এবং শিক্ষার্থীদের জন্য কার্যকর হবে। আপনার জ্ঞান দিয়ে https://teachs.ru এ অর্থোপার্জন করুন!

গণিতে একটি মডিউল কী

কোনও সংখ্যার মডুলাস শূন্য থেকে বিন্দুতে বিন্দুতে বিন্দুতে বিন্দুতে কোনও সংখ্যা রেখার দূরত্ব বর্ণনা করে। গাণিতিক স্বরলিপি : | এক্স |

অন্য কথায়, এটি সংখ্যার পরম মান। সংজ্ঞা প্রমাণ করে যে মানটি কখনও নেতিবাচক নয় is

মডিউল বৈশিষ্ট্য

নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ:

জটিল নম্বর মডিউল

একটি জটিল সংখ্যার পরম মান হল জটিল সমুদ্রের শুরু থেকে বিন্দুতে (ক, খ) টানা নির্দেশিত অংশের দৈর্ঘ্য।

এই নির্দেশিক রেখাটি একটি জটিল সংখ্যার প্রতিনিধিত্বকারী ভেক্টরও ক + দ্বিসুতরাং কোনও জটিল সংখ্যার পরম মান ভেক্টরের প্রতিনিধিত্বকারীতার परिमाण (বা দৈর্ঘ্য) এর সমান ক + দ্বি.

একটি মডিউল দিয়ে সমীকরণ কীভাবে সমাধান করবেন

মডুলাসের সাথে একটি সমীকরণ একটি সমতা যা একটি নিখুঁত মান প্রকাশ করে। যদি, কোনও আসল সংখ্যার জন্য, এটি সংখ্যা লাইনের উত্স থেকে তার দূরত্বকে উপস্থাপন করে, তবে মডুলো বৈষম্য হ'ল এক ধরণের বৈষম্য যা পরম মান সমন্বিত।

| এক্স | এর মতো সমীকরণ \u003d ক

সমীকরণ | এক্স | \u003d একটি আছে দুটি উত্তর x \u003d a এবং x \u003d –aকারণ উভয় বিকল্প 0 থেকে একটি দূরত্বে স্থানাঙ্ক লাইনে অবস্থিত।

মানটি নেতিবাচক হলে নিখুঁত মানের সমতার কোনও সমাধান নেই।

যদি | এক্স |< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

প্রকারের সমীকরণ | x | \u003d | y | |

সমীকরণের উভয় পাশে যখন নিখুঁত মান থাকে, আপনাকে গ্রহণযোগ্য সংজ্ঞা - ইতিবাচক এবং নেতিবাচক অভিব্যক্তিগুলির উভয় সম্ভাবনা বিবেচনা করতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, সমতার জন্য | x - a | \u003d | এক্স + বি | দুটি বিকল্প রয়েছে: (এক্স - এ) \u003d - (এক্স + বি) বা (এক্স - এ) \u003d (এক্স + বি)।

প্রকারের সমীকরণ | x | \u003d y

এই জাতীয় সমীকরণে শূন্যের বামে পরিবর্তনশীল এবং ডানদিকে অন্য একটি অজানা সহ অভিব্যক্তির পরম মান থাকে। Y ভেরিয়েবল শূন্যের চেয়ে বড় বা কম হতে পারে।

এই জাতীয় সাম্যের উত্তর পেতে আপনাকে বেশ কয়েকটি সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে, যাতে আপনাকে নিশ্চিত করতে হবে যে y একটি অ-নেতিবাচক মান:

মডুলাস দিয়ে বৈষম্য সমাধান করা

বিভিন্ন ধরণের সাম্য এবং বৈষম্যগুলিতে মডিউলটি কীভাবে প্রসারিত করা যায় তা আরও ভালভাবে বুঝতে, আপনাকে উদাহরণগুলি বিশ্লেষণ করতে হবে।

রূপের সমীকরণ | x | \u003d ক

উদাহরণ 1 (বীজগণিত গ্রেড 6)। সমাধান: | এক্স | + 2 \u003d 4।

সিদ্ধান্ত।

এ জাতীয় সমীকরণগুলি নিখুঁত মান ব্যতীত সমতার হিসাবে একইভাবে সমাধান করা হয়। এর অর্থ হ'ল অজানাগুলি বাম দিকে এবং কনস্ট্যান্টগুলি ডানে সরিয়ে দিয়ে অভিব্যক্তিটি পরিবর্তন হয় না।

ডানদিকে ধ্রুবক সরানোর পরে, আমরা পেয়েছি: | এক্স | \u003d 2.

যেহেতু অজানাগুলি পরম মানের সাথে সম্পর্কিত, এই সাম্যের দুটি উত্তর রয়েছে: 2 এবং −2 .

উত্তর: 2 এবং −2 .

উদাহরণ 2(বীজগণিত গ্রেড 7)। অসমতার সমাধান করুন | x + 2 | । 1।

সিদ্ধান্ত।

প্রথমে করণীয় হ'ল পয়েন্টগুলি যেখানে পরম মান পরিবর্তিত হয় find এটি করার জন্য, এক্সপ্রেশনটি সমান হয় 0 ... প্রাপ্ত: x \u003d –2.

এর অর্থ –2 - সন্ধিক্ষণ.

ব্যবধানটি 2 ভাগে বিভক্ত করুন:

1. এক্স + 2 ≥ 0 এর জন্য

[−1; + ∞).

1. এক্স + 2 এর জন্য< 0

এই দুটি অসমতার জন্য সাধারণ উত্তর অন্তর অন্তর (−∞; –3].

চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত – পৃথক অংশের উত্তর একত্রিত:

এক্স∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

উত্তর: এক্স∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .

রূপের সমীকরণ | x | \u003d | y | |

উদাহরণ 1 (বীজগণিত গ্রেড 8)। সমীকরণটি দুটি মডিউল দিয়ে সমাধান করুন: 2 * | x \u200b\u200b- 1 | + 3 \u003d 9 - | এক্স - 1 |

সিদ্ধান্ত:

উত্তর: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d − 1.

উদাহরণ 2 (বীজগণিত গ্রেড 8)। অসমতার সমাধান করুন:

সিদ্ধান্ত:

রূপের সমীকরণ | x | \u003d y

উদাহরণ 1 (বীজগণিত গ্রেড 10)। এক্স খুঁজুন:

সিদ্ধান্ত:

ডান দিকটি যাচাই করা খুব গুরুত্বপূর্ণ, অন্যথায় আপনি প্রতিক্রিয়াতে ভ্রান্ত শিকড় লিখতে পারেন। সিস্টেম থেকে আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে ফাঁকে কোনটি পড়ে না।

উত্তর: x \u003d 0.

যোগফল মডিউল

পার্থক্য মডুলাস

দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্যের নিখুঁত মান এক্স এবং y স্থানাঙ্ক সহ পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্বের সমান এক্স এবং ওয়াই স্থানাঙ্ক লাইনে।

উদাহরণ 1।

উদাহরণ 2।

Gণাত্মক সংখ্যা মডুলাস

যে সংখ্যাটি শূন্যের চেয়ে কম তার নিখুঁত মান খুঁজতে, আপনাকে এটি শূন্য থেকে কতটা দূরে রয়েছে তা জানতে হবে। যেহেতু দূরত্ব সর্বদা ইতিবাচক হয় ("নেতিবাচক" পদক্ষেপের মধ্য দিয়ে যাওয়া অসম্ভব, তারা কেবল অন্য দিকের ধাপ), ফল সর্বদা ইতিবাচক হয়। আমি,

সহজ কথায় বলতে গেলে aণাত্মক সংখ্যার পরম মানের বিপরীত অর্থ রয়েছে।

জিরো মডুলাস

জ্ঞাত সম্পত্তি:

এ কারণেই পরম মানটিকে ধনাত্মক সংখ্যা বলা যায় না: শূন্যটি নেতিবাচক বা ধনাত্মক নয়।

স্কোয়ার মডিউল

স্কোয়ার মডুলাসটি সর্বদা স্কোয়ার এক্সপ্রেশনের সমান:

মডিউল সহ গ্রাফের উদাহরণ

প্রায়শই পরীক্ষা এবং পরীক্ষায় এমন কাজ রয়েছে যা কেবল গ্রাফগুলি বিশ্লেষণ করে সমাধান করা যায়। আসুন এই ধরনের কাজগুলি বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ 1।

একটি ফাংশন f (x) \u003d | x | দেওয়া আছে। 1 এর ধাপে 3 - 3 থেকে কোনও গ্রাফ তৈরি করা প্রয়োজন।

সিদ্ধান্ত:

ব্যাখ্যা: চিত্রটি দেখায় যে গ্রাফটি ওয়াই-অক্ষ সম্পর্কে সমান্তরাল।

উদাহরণ 2... ফ (x) \u003d | x - 2 | ফাংশনের গ্রাফগুলি আঁকতে এবং তুলনা করা প্রয়োজন এবং g (x) \u003d | x | .2।

সিদ্ধান্ত:

ব্যাখ্যা: একটি নিখুঁত মানের অভ্যন্তরে একটি ধ্রুবক এর মানটি নেতিবাচক হলে পুরো গ্রাফটিকে ডানদিকে নিয়ে যায় এবং যদি এটি ইতিবাচক হয় তবে বাম দিকে। তবে ধ্রুবক বাহিরের মানটি ধনাত্মক হলে গ্রাফটিকে উপরে সরানো হবে, এবং যদি এটি নেতিবাচক হয় তবে নীচে (যেমন - 2 কার্যরত ছ (এক্স).

ভার্টেক্স সমন্বয় এক্স (যে বিন্দুতে দুটি রেখাগুলি সংযুক্ত হয়, গ্রাফের শীর্ষস্থানীয়) হ'ল গ্রাফটি বাম বা ডানে স্থানান্তরিত হয়। এবং সমন্বয় y মানটি যা গ্রাফটি উপরে বা নীচে চলে যায়।

অনলাইন প্লটিং অ্যাপ্লিকেশন ব্যবহার করে আপনি এই জাতীয় গ্রাফ তৈরি করতে পারেন। তাদের সহায়তায়, আপনি দৃশ্যের সাথে দেখতে পাচ্ছেন যে ধ্রুবকরা কীভাবে কার্যাদি প্রভাবিত করে।

একটি মডিউল সহ কার্যগুলিতে বিরতি পদ্ধতি

মডিউল সমস্যাগুলির উত্তর খুঁজে পাওয়ার জন্য ব্যবধান পদ্ধতি হ'ল একটি সর্বোত্তম উপায়, বিশেষত যদি অভিব্যক্তিতে বেশ কয়েকটি থাকে।

পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে, আপনাকে নিম্নলিখিতগুলি করতে হবে:

1. প্রতিটি অভিব্যক্তি শূন্যতে সেট করুন।
2. ভেরিয়েবলের মানগুলি সন্ধান করুন।
3. পদক্ষেপ 2 এ প্রাপ্ত পয়েন্টগুলি সংখ্যার লাইনে প্রয়োগ করুন।
4. বিরতিতে অভিব্যক্তির চিহ্ন (negativeণাত্মক বা ধনাত্মক মান) নির্ধারণ করুন এবং যথাক্রমে - বা + চিহ্নটি আঁকুন। সাইনটি নির্ধারণের সবচেয়ে সহজ উপায় হ'ল বিকল্প ব্যবস্থার (অন্তর থেকে কোনও মান প্রতিস্থাপন) ব্যবহার করা।
5. প্রাপ্ত লক্ষণগুলির সাথে বৈষম্যগুলি সমাধান করুন।

উদাহরণ 1... অন্তর অন্তর পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করুন।

সিদ্ধান্ত: