কোন সরলরেখাকে ক্রসিং বলা হয়। মহাকাশে সরলরেখার পারস্পরিক বিন্যাস। মহাকাশে একটি সরল রেখা নিয়ে সমস্যা উপবৃত্ত সংজ্ঞা, প্রান্তিক সমীকরণ। ক্যানোনিকাল সমীকরণের ব্যয়। সম্পত্তি
পাঠের পাঠ্য কোড:
মহাকাশে সরলরেখার পারস্পরিক বিন্যাসের দুটি ক্ষেত্রে আপনি ইতিমধ্যে জানেন:
1. সরল রেখা ছেদ করা;
2. সমান্তরাল লাইন।
আসুন আমরা তাদের সংজ্ঞাগুলি স্মরণ করি।
সংজ্ঞা। যদি একই প্লেনে শুয়ে থাকে এবং একটি সাধারণ পয়েন্ট থাকে তবে মহাকাশে রেখাগুলি ছেদ করা হয়
সংজ্ঞা। যদি একই প্লেনে শুয়ে থাকে এবং কোনও সাধারণ পয়েন্ট না থাকে তবে মহাকাশে রেখাগুলিকে সমান্তরাল বলা হয়।
এই সংজ্ঞাগুলির সাথে সাধারণ হল লাইনগুলি একই সমতলটিতে পড়ে।
মহাকাশে সর্বদা এটি হয় না। আমরা বেশ কয়েকটি প্লেন নিয়ে কাজ করতে পারি, এবং প্রতিটি দু'টি সরল রেখা একই বিমানে পড়ে না।
উদাহরণস্বরূপ, ঘনক্ষেত্রের প্রান্ত ABCDA1B1C1D1
এবি এবং এ 1 ডি 1 বিভিন্ন প্লেনে পড়ে আছে।
সংজ্ঞা। এই লাইনের মধ্য দিয়ে যাওয়ার মতো কোনও বিমান না থাকলে দুটি লাইনকে ছেদ করা বলা হয়। সংজ্ঞা থেকে এটি স্পষ্ট যে এই লাইনগুলি ছেদ করে না এবং সমান্তরাল হয় না।
আসুন আমরা একটি উপপাদ্য প্রমাণ করি যা ছেদকারী রেখার মানদণ্ডকে প্রকাশ করে।
উপপাদ্য (ছেদ করা রেখার চিহ্ন)।
যদি সরল রেখাগুলির একটি একটি নির্দিষ্ট বিমানের মধ্যে থাকে এবং অন্য সরল রেখা এই সোজা রেখার সাথে সম্পর্কিত না এমন বিন্দুতে এই বিমানটিকে ছেদ করে, তবে এই রেখাগুলি ছেদ করছে।
লাইন এ বি বিমানটিতে পড়ে আছে α। লাইন সিডিটি প্লেনকে ছেদ করে point বিন্দু সি তে, যা লাইন AB এর অন্তর্গত নয়।
প্রমাণ করুন যে AB এবং DC লাইনগুলি অতিক্রম করেছে।
প্রমান
প্রমাণ বৈপরীত্য দ্বারা চালিত করা হবে।
ধরুন, এ বি এবং সিডি একই বিমানে রয়েছে, আসুন এটি β দ্বারা চিহ্নিত করুন β
তারপরে বিমান line রেখাটি AB এবং বিন্দু সি দিয়ে যায়
অ্যালকোমিসের সমান্তরাল দ্বারা, একটি বিমানটি লাইন AB এর মাধ্যমে এবং একটি বিন্দু সি এর উপরে পড়ে না, এবং এরপরে কেবল একটিতেও আঁকতে পারে।
তবে ইতিমধ্যে আমাদের এমন বিমান রয়েছে - বিমান α α
ফলস্বরূপ, বিমানগুলি β এবং α মিলিত হয়।
তবে এটি অসম্ভব, কারণ লাইন সিডি inters ছেদ করে তবে এতে থাকে না।
আমরা একটি বৈপরীত্যে এসেছি, সুতরাং, আমাদের অনুমানটি ভুল। এবি এবং সিডি থাকা
বিভিন্ন প্লেন এবং পার হয়ে গেছে।
উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।
সুতরাং, মহাকাশে সরলরেখার পারস্পরিক বিন্যাসের সম্ভাব্য তিনটি উপায় রয়েছে:
ক) রেখাগুলি ছেদ করে, অর্থাৎ তাদের কেবল একটি সাধারণ পয়েন্ট রয়েছে।
খ) লাইনগুলি সমান্তরাল, অর্থাত্\u200d একই বিমানে থাকা এবং কোন সাধারণ পয়েন্ট নেই।
গ) সোজা লাইনগুলি অতিক্রম করা হয়, অর্থাৎ একই বিমানে শুয়ে থাকবেন না।
আরেকটি ছেদযুক্ত রেখার উপপাদ্যটি বিবেচনা করুন
উপপাদ্য। দুটি ছেদকৃত রেখার মধ্য দিয়েই অন্য লাইনের সমান্তরাল একটি বিমান চলে যায় এবং তদুপরি, কেবল একটি।
এবি এবং সিডি - সোজা লাইনগুলি অতিক্রম করে
প্রমাণ করুন যে কোনও বিমান রয়েছে α যেমন রেখাটি AB বিমানের মধ্যে থাকে and এবং লাইন সিডি সমতল হয় সমতল α
প্রমান
আসুন আমরা এই জাতীয় বিমানের অস্তিত্ব প্রমাণ করি।
1) পয়েন্ট এ এর \u200b\u200bমাধ্যমে, সিডির সমান্তরালে একটি লাইন আঁকুন।
2) যেহেতু সরল রেখাগুলি এই এবং এবি ছেদ করে, সুতরাং তাদের মাধ্যমে একটি বিমান আঁকতে পারে। আসুন α দ্বারা এটি বোঝান α
৩) যেহেতু লাইন সিডিটি এই এর সমান্তরাল, এবং এই সমুদ্রের মধ্যে lies, সুতরাং লাইন সিডি the প্লেনে α (রেখার লম্ব এবং সমতলটির উপপাদ্য দ্বারা)।
প্লেন the কাঙ্ক্ষিত বিমান।
আসুন আমরা প্রমাণ করি যে বিমানটি the একমাত্র শর্তটি সন্তুষ্ট করে।
লাইন AB এর মধ্য দিয়ে যাওয়া অন্য যে কোনও প্লেন AE কে ছেদ করবে এবং সুতরাং এটির সমান্তরাল লাইন সিডি করবে। অর্থাৎ, এবি দিয়ে যাওয়া অন্য কোনও বিমান লাইন সিডির সাথে ছেদ করে, সুতরাং এটি সমান্তরাল নয়।
ফলস্বরূপ, বিমান unique অনন্য। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।
এই নিবন্ধে, আমরা প্রথমে ক্রস করা লাইনের মধ্যবর্তী কোণটির সংজ্ঞা দেব এবং একটি গ্রাফিক চিত্রণ দেব। এর পরে, আমরা প্রশ্নের উত্তর দেব: "আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় এই সরলরেখার দিকনির্দেশক ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি জানা থাকলে, সরলরেখাগুলি অতিক্রম করার মধ্যবর্তী কোণটি কীভাবে সন্ধান করতে হবে?" উপসংহারে, উদাহরণ এবং সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় আমরা ক্রসিং লাইনগুলির মধ্যে কোণ অনুসন্ধান করার অনুশীলন করব।
পৃষ্ঠা নেভিগেশন।
সংযুক্ত রেখার মধ্যে কোণ - সংজ্ঞা।
ক্রমান্বিত রেখার মধ্যবর্তী কোণের সংজ্ঞাটি আমরা ধীরে ধীরে পৌঁছে দেব
প্রথমে ছেদকারী রেখার সংজ্ঞাটি স্মরণ করুন: ত্রি-মাত্রিক জায়গাতে দুটি লাইন বলা হয় প্রজননযদি তারা একই বিমানে শুয়ে না থাকে। এই সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ক্রসিং লাইনগুলি ছেদ করে না, সমান্তরাল হয় না এবং তদ্ব্যতীত, একসাথে হয় না, অন্যথায় তারা উভয়ই কোনও কোনও বিমানে শুয়ে থাকবে।
এখানে আরও কিছু সহায়ক তর্ক রয়েছে।
দুটি ছেদযুক্ত সরল রেখা ক এবং খ ত্রি-মাত্রিক স্থানে দেওয়া হোক Let আসুন একটি 1 এবং b 1 লাইনগুলি তৈরি করুন যাতে তারা যথাক্রমে a এবং b কে ছেদ করে রেখার সমান্তরাল হয় এবং স্থান M 1 এর কিছু বিন্দু দিয়ে যায়। সুতরাং, আমরা দুটি ছেদ করে রেখাগুলি পাই 1 এবং বি 1। ছেদ করা সরল রেখার মধ্যবর্তী কোণটি 1 এবং b 1 কোণের সমান হতে দিন। এখন আমরা একটি 2 এবং b 2 লাইনগুলি আঁকবো, যথাক্রমে a এবং b ছেদ করার রেখার সমান্তরাল, বিন্দু М 2 এর মধ্য দিয়ে, বিন্দু М 1 থেকে পৃথক হবে। ছেদ করা সরল রেখার একটি 2 এবং b 2 এর মধ্যবর্তী কোণটিও কোণের সমান হবে। এই বিবৃতিটি সত্য, যেহেতু সরল রেখাগুলি 1 এবং b 1 যথাক্রমে সরল রেখা 2 এবং b 2 এর সাথে মিলে যায়, যদি আপনি একটি সমান্তরাল স্থানান্তর সম্পাদন করেন, যার বিন্দু M 1 পয়েন্ট M 2 তে যায়। সুতরাং, যথাক্রমে প্রদত্ত ছেদকৃত সরল রেখার সমান্তরাল, বিন্দু M তে দুটি ছেদকৃত সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাপ, এম বিন্দুর পছন্দের উপর নির্ভর করে না M.
এখন আমরা ক্রসিং লাইনগুলির মধ্যে কোণ নির্ধারণ করতে প্রস্তুত।
সংজ্ঞা।
ক্রসিং রেখার মধ্যবর্তী কোণ দুটি ছেদকারী সরল রেখার মধ্যবর্তী কোণটি যা যথাক্রমে প্রদত্ত ছেদকৃত সরলরেখার সমান্তরাল হয়।
এটি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে ক্রসিং রেখার মধ্যবর্তী কোণটি পয়েন্ট এম এর নির্বাচনের উপরও নির্ভর করবে না সুতরাং, পয়েন্ট এম হিসাবে, আপনি ছেদকারী রেখার একটিতে যে কোনও পয়েন্ট নিতে পারেন।
এখানে অতিক্রম করা রেখার মধ্যবর্তী কোণটির সংজ্ঞা একটি চিত্রণ।
অতিক্রমকৃত রেখার মধ্যে কোণ আবিষ্কার করা।
যেহেতু ছেদকৃত সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণটি ছেদ করা সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণের মাধ্যমে নির্ধারিত হয়, তারপরে ছেদকৃত সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণটি ত্রি-মাত্রিক স্থানে সংশ্লিষ্ট ছেদকারী সরল রেখার মধ্যবর্তী কোণ খুঁজে বের করতে হ্রাস করা হয়।
নিঃসন্দেহে, উচ্চ বিদ্যালয়ে জ্যামিতির পাঠে যে পদ্ধতিগুলি শেখানো হয় সেগুলি ক্রস করা লাইনের মধ্যবর্তী কোণ খুঁজে পাওয়ার জন্য উপযুক্ত। তা হল, প্রয়োজনীয় নির্মাণগুলি শেষ করে, আপনি শর্ত থেকে পরিচিত কোনও কোণের সাথে কাঙ্ক্ষিত কোণটি সংযুক্ত করতে পারেন, পরিসংখ্যানের সাম্যতা বা মিলের ভিত্তিতে কিছু ক্ষেত্রে এটি সহায়তা করবে কোসাইন উপপাদ্য, এবং কখনও কখনও ফলাফল হয় সাইন, কোসাইন এবং একটি কোণের স্পর্শক সংজ্ঞা সঠিক ত্রিভুজ.
যাইহোক, স্থানাঙ্ক পদ্ধতিতে সোজা লাইনগুলি অতিক্রম করার মধ্যবর্তী কোণটি খুঁজে পাওয়ার সমস্যাটি সমাধান করা খুব সুবিধাজনক। এটিই আমরা বিবেচনা করব।
অক্সিজকে ত্রি-মাত্রিক স্থানে পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক (তবে অনেক সমস্যায় এটি স্বতন্ত্রভাবে প্রবেশ করতে হবে)।
আসুন আমরা নিজেরাই টাস্কটি সেট করি: আড়াআড়ি স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সিজ-এ স্থানের একটি সরলরেখার কিছু সমীকরণের সাথে সমান্তরাল সরলরেখা ক এবং খ এর মধ্যবর্তী কোণটি সন্ধান করুন।
এর সমাধান করা যাক।
ত্রি-মাত্রিক স্থান এম এর একটি স্বেচ্ছাসেবী বিন্দু ধরুন এবং ধরে নিন যে সরল রেখাগুলি 1 এবং b 1 এর মধ্য দিয়ে যথাক্রমে ছেদ করা রেখার a এবং b এর সমান্তরাল হয়ে যায়। তারপরে ছেদ করা সরল রেখাগুলির a এবং b এর মধ্যে প্রয়োজনীয় কোণটি সংজ্ঞা অনুসারে ছেদ করা সরলরেখা 1 এবং b 1 এর সমান কোণ।
সুতরাং, এটি পরস্পরকে ছেদ করা সরল রেখার একটি 1 এবং b 1 এর মধ্যে কোণ খুঁজে পাওয়া আমাদের পক্ষে রয়ে গেছে। মহাশূন্যে দুটি ছেদকৃত সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণটি আবিষ্কার করার সূত্রটি প্রয়োগ করার জন্য, আমাদের সরল রেখার দিকের ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি 1 এবং খ 1 টি জানতে হবে।
সেগুলি আমরা কীভাবে পেতে পারি? এটা খুবই সাধারণ. একটি সরল রেখার দিকনির্দেশক ভেক্টরের সংজ্ঞা আমাদের দাবী করতে দেয় যে সমান্তরাল সরল রেখার দিকনির্দেশক ভেক্টরের সেট মিলছে। সুতরাং, লাইন a এবং b 1 এর দিকের ভেক্টর হিসাবে আমরা দিক ভেক্টরগুলি নিতে পারি 
এবং 
যথাক্রমে a এবং b রেখাগুলি।
সুতরাং, দুটি এবং অতিক্রমকৃত সরল রেখার মধ্যবর্তী কোণটি সূত্র ধরে গণনা করা হয় 
কোথায় এবং - যথাক্রমে সরলরেখার a এবং b এর দিকনির্দেশক ভেক্টর।
অতিক্রম করা সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন অনুসন্ধানের সূত্র a এবং b এর ফর্ম রয়েছে 
.
আপনাকে যদি কোসাইনটি জানা থাকে তবে অতিক্রম করা লাইনের মধ্যবর্তী কোণটির সাইনটি সন্ধান করার অনুমতি দেয়: 
.
এটি উদাহরণগুলির সমাধানগুলি বিশ্লেষণের অবধি রয়েছে।
উদাহরণ।
আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাংক সিস্টেম অক্সিজ সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত সরলরেখা অ এবং বি এর মধ্যবর্তী কোণটি সন্ধান করুন 
এবং 
.
সিদ্ধান্ত।
মহাকাশে একটি সরল রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণগুলি আপনাকে এই সরল রেখার নির্দেশক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি অবিলম্বে নির্ধারণ করতে দেয় - এগুলি ভগ্নাংশের বিভাজনে সংখ্যার দ্বারা দেওয়া হয়, 
... মহাকাশে একটি সরল রেখার প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি তত্ক্ষণাত দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি লিখে ফেলতে সক্ষম করে - এগুলি প্যারামিটারের সামনের সহগের সমান, অর্থাৎ, 
- একটি সরলরেখার ভেক্টরকে পরিচালনা করছে ... সুতরাং, সূত্রটি প্রয়োগ করার জন্য আমাদের কাছে সমস্ত প্রয়োজনীয় ডেটা রয়েছে যার মাধ্যমে ক্রসিং লাইনের মধ্যবর্তী কোণটি গণনা করা হয়: 
উত্তর:
প্রদত্ত ক্রসিং রেখার মধ্যবর্তী কোণ।
উদাহরণ।
পিরামিড এবিসিডি এর খ্রিস্টাব্দ এবং খ্রিস্টের প্রান্তটি যে রেখাযুক্ত রেখাংশের স্থানাঙ্কগুলি জানা থাকে তার মধ্যে নির্ধারিত সরল রেখার মধ্যবর্তী কোণের সাইন এবং কোসাইন সন্ধান করুন:
সিদ্ধান্ত।
AD এবং BC কে ক্রসিং লাইনগুলির পরিচালনা ভেক্টরগুলি ভেক্টর এবং। আসুন এবং তাদের ভেক্টরের শুরুর পয়েন্টগুলির সাথে সম্পর্কিত স্থানাঙ্কগুলির পার্থক্য হিসাবে তাদের স্থানাঙ্কগুলি গণনা করুন: 
সূত্র অনুযায়ী 
আমরা নির্দিষ্ট ক্রসিং লাইনের মধ্যে কোণটির কোসাইন গণনা করতে পারি:
এখন ক্রসিং রেখার মাঝে কোণটির সাইন গণনা করা যাক: 
উত্তর:
উপসংহারে, আমরা সেই সমস্যার সমাধান বিবেচনা করব যেখানে সরলরেখাগুলি অতিক্রম করার মধ্যবর্তী কোণটি অনুসন্ধান করা দরকার, এবং আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থাটি স্বাধীনভাবে প্রবেশ করতে হবে।
উদাহরণ।
একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরালিত এবিসিডিএ 1 বি 1 সি 1 ডি 1 প্রদান করা হয়েছে, এতে AB \u003d 3, AD \u003d 2 এবং এএ 1 \u003d 7 ইউনিট রয়েছে। পয়েন্ট ই প্রান্ত এ এ 1 এ অবস্থিত এবং এটি বিন্দু এ থেকে গণনা 5 থেকে 2 অনুপাতের মধ্যে ভাগ করে দেয় অতিক্রম করা রেখাগুলির BE এবং A 1 C এর মধ্যবর্তী কোণটি সন্ধান করুন
সিদ্ধান্ত।
যেহেতু একটি সমান্তরালে সমান্তরাল সমান্তরাল কোণগুলি পরস্পর লম্ব হয় তাই একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে প্রবেশ করা সুবিধাজনক এবং এই রেখার দিকের ভেক্টরগুলির মধ্যবর্তী কোণের মাধ্যমে স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্দেশিত ক্রসিং রেখার মধ্যবর্তী কোণ নির্ধারণ করা সুবিধাজনক।
আসুন নিম্নরূপে একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থা ওক্সিজ প্রবর্তন করা যাক: উত্সটিটি শীর্ষবিন্দু এ এর \u200b\u200bসাথে মিলিত হোক, অক্স অক্ষটি এডি সরলরেখার সাথে মিলিত হয়, এবি সরলরেখার সাথে ওয়ে অক্ষ এবং ওএজ অক্ষ - এএ 1 স্ট্রাইক লাইনের সাথে।
তারপরে পয়েন্ট বি এর স্থানাঙ্ক রয়েছে, পয়েন্ট E - (প্রয়োজন হলে নিবন্ধটি দেখুন), বিন্দু A1 -, এবং বিন্দু সি -। এই পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি থেকে আমরা ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি গণনা করতে পারি এবং। আমাদের আছে 
, 
.
দিকনির্দেশক ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্ক বরাবর ক্রসিং লাইনের মধ্যবর্তী কোণটি খুঁজে পেতে সূত্রটি প্রয়োগ করা অবশেষ: 
উত্তর:
রেফারেন্স এর তালিকা.
- আতানসায়ান এল.এস., বুতুজভ ভি.এফ., কাদোমসেভ এস.বি., কিসেলোয়া এল.এস., পোজনিয়াক ই.জি. জ্যামিতি. মাধ্যমিক বিদ্যালয়ের 10-11 গ্রেডের পাঠ্যপুস্তক।
- পোগোরেলভ এ.ভি., জ্যামিতি। শিক্ষাপ্রতিষ্ঠানের -11-১০ গ্রেডের পাঠ্যপুস্তক।
- বুগরোভ ওয়াইএস, নিকলস্কি এসএম। উচ্চতর গণিত। প্রথম খণ্ড: লিনিয়ার বীজগণিত এবং বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির উপাদানসমূহ।
- ইলিন ভি.এ., পোজন্যাক ই.জি. বিশ্লেষণী জ্যামিতি।
ক্রস করা সোজা লাইনগুলি এই বৈশিষ্ট্যগুলি দ্বারা সনাক্ত করা সহজ। সাইন ইন 1. দুটি লাইনে যদি চারটি পয়েন্ট থাকে যা একই সমতলে থাকে না তবে এই রেখাগুলি ছেদ করে (চিত্র 1.21)।
প্রকৃতপক্ষে, যদি এই রেখাগুলি ছেদ করে বা সমান্তরাল হয়, তবে তারা একই প্লেনে শুয়ে থাকবে, এবং তারপরে এই পয়েন্টগুলি একই বিমানের মধ্যে শুয়ে থাকবে, যা শর্তের বিপরীতে রয়েছে।
সাইন ২. যদি লাইন O বিমানে থাকে, এবং রেখা খ কোনও কোনও সময় বিমানটিকে ছেদ করে
এম, সরলরেখায় শুয়ে নেই a, তারপরে সরল রেখা ক এবং খ ছেদ করবে (চিত্র 1.22)।
প্রকৃতপক্ষে, লাইনে a এবং দুটি লাইনের বি বিন্দুতে দুটি বিন্দু নিয়ে আমরা বৈশিষ্ট্য 1 এ পৌঁছেছি, অর্থাৎ। a এবং b পার হয়ে গেছে।
সরলরেখাগুলি ছেদ করার প্রকৃত উদাহরণ পরিবহন আন্তঃবঞ্চন দ্বারা দেওয়া হয়েছে (চিত্র 1.23)।
স্থানগুলিতে, সমান্তরাল বা ছেদ করা সরল রেখার জোড়ের তুলনায় সরলরেখাকে ছেদ করার আরও বেশি জোড় রয়েছে। এটি নিম্নলিখিত হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে।
স্থানটিতে কিছু বিন্দু A এবং কিছু সরল রেখা একটি যা বিন্দু A এর মধ্য দিয়ে যায় না বিন্দু A এর সমান্তরাল বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখা আঁকতে এটি বিন্দু A এবং সোজা রেখা a (ধারা 1.1 এর প্রস্তাব 2) এর মধ্য দিয়ে একটি বিমান আঁকতে প্রয়োজনীয়, এবং তারপরে বিমানটিতে একটি সরলরেখের সমান্তরাল একটি সরলরেখ আঁকো a (চিত্র 1.24)।
এরকম একটিই সরল রেখা আছে খ। A বিন্দু এবং ছেদকৃত রেখা O এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমস্ত রেখাগুলিও বিমানটিতে অবস্থিত এবং ল খ এর ব্যতিক্রমগুলি দিয়ে সমস্ত পূরণ করুন। এ এর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমস্ত লাইনের অংশ এবং বিমান a বাদে সমস্ত স্থান পূরণ করে, রেখার সাথে ছেদ করবে। আমরা বলতে পারি যে মহাকাশে ছেদ করা রেখাগুলি একটি সাধারণ ক্ষেত্রে এবং ছেদযুক্ত এবং সমান্তরাল লাইনগুলি বিশেষ ক্ষেত্রে cases ক্রসিং লাইনগুলির "ক্ষুদ্র বিচক্ষণতা" এগুলি অতিক্রম করে। তবে মহাকাশে "ছোট্ট প্রতিচ্ছবি" দিয়ে সমান্তরাল বা ছেদ করার বৈশিষ্ট্যগুলি সংরক্ষিত নেই।
পারস্পরিক ব্যবস্থা মহাকাশে দুটি সরল রেখা।
দুটি সরল রেখা এবং স্থানের আপেক্ষিক অবস্থান নিম্নলিখিত তিনটি সম্ভাবনার দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
রেখাগুলি একটি বিমানের মধ্যে পড়ে এবং সাধারণ পয়েন্ট থাকে না - সমান্তরাল লাইন।
লাইনগুলি একই বিমানে থাকে এবং একটি সাধারণ পয়েন্ট থাকে - লাইনগুলি ছেদ করে।
মহাশূন্যে দুটি সরল রেখাও অবস্থিত হতে পারে যাতে তারা কোনও বিমানের মধ্যে পড়ে না। এই জাতীয় সরলরেখাকে ক্রসিং বলা হয় (ছেদ না এবং সমান্তরাল নয়)।
উদাহরণ:
সমস্যা 434 বিমানে একটি ত্রিভুজটি এবিসি, একটি
ত্রিভুজ এবিসি বিমানে রয়েছে, এবং বিন্দু ডি এই বিমানে নেই। পয়েন্টগুলি এম, এন এবং কে যথাক্রমে বিভাগগুলি ডিএ, ডিবি এবং ডিসির মিডপয়েন্টউপপাদ্য। দুটি সরল রেখার একটি যদি একটি নির্দিষ্ট বিমানের মধ্যে থাকে এবং অন্যটি এই বিমানটিকে ছেদ করে এবং এমন কোনও বিন্দুতে প্রবেশ করে যা প্রথম সরলরেখায় থাকে না, তবে এই সরল রেখাগুলি ছেদ করে।
ডুমুর মধ্যে। ২ straight সরলরেখার সমতলটিতে একটি মিথ্যা চিহ্ন থাকে এবং সরলরেখার সিটি বিন্দুতে ছেদ করে N. লাইনের ক এবং সি ছেদ করছে।
উপপাদ্য।দুটি রেখাটির সমান্তরাল দুটি রেখাংশের মধ্য দিয়ে কেবল একটি বিমান চলে যায় ralle
ডুমুর মধ্যে। 26 সরল রেখা ক এবং খ ক্রস। কালো সরল রেখা এবং টানা বিমানটি (আলফা) || বি (লাইন এ 1 || বি প্লেন বি (বিটা) এ নির্দেশিত হয়েছে)।
উপপাদ্য ৩.২।
দুটি সরল রেখা, তৃতীয়টির সমান্তরাল সমান্তরাল।
এই সম্পত্তি বলা হয় সংক্রামকতাসরলরেখার সমান্তরালতা।
প্রমান
ল এবং এ এবং বি রেখা এক সাথে লাইন সি এর সমান্তরাল হোক be ধরুন যে a বি এর সমান্তরাল নয়, তারপরে কোন একটি বিন্দুতে রেখা খ এর সাথে একটি ছেদ করুন যা অনুমানের দ্বারা লাইন সিতে মিথ্যা থাকে না। অতএব, আমাদের দুটি এবং দুটি বিন্দু A বিন্দু দিয়ে গেছে যা প্রদত্ত রেখাটি সি তে পড়ে নেই এবং একই সাথে এর সমান্তরাল হয়। এটি অজিওম ৩.১ এর সাথে স্ববিরোধী উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।
উপপাদ্য ৩.৩।
একটি প্রদত্ত সরল রেখার উপরে অবস্থিত না এমন একটি বিন্দুর মাধ্যমে, প্রদত্ত একটির সাথে সমান্তরালভাবে একটি এবং কেবল একটি সরল রেখা আঁকতে পারে।
প্রমান
(এবি) একটি প্রদত্ত রেখা হোক, সি এটি বিন্দুতে না পড়ে point লাইন এসি বিমানটিকে দুটি হাফ-প্লেনে বিভক্ত করে। পয়েন্ট বি এর মধ্যে একটিতে রয়েছে। অ্যাক্সিয়ম ৩.২ অনুসারে, রে সি এ থেকে অন্য অর্ধ-সমতলতে কোণ (সিএবি) সমান কোণ (এসিডি) স্থগিত করা সম্ভব। এসিডি এবং সিএবি সমান অভ্যন্তরীণ ক্রস-লাইনগুলি AB এবং CD এবং সেকেন্ড (এসি) লাইনের অধীনে তত্ত্বের পরে 3.1 (এবি) || (সিডি) অ্যাকাউন্টে axiom গ্রহণ 3.1। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।
সমান্তরাল রেখাগুলির সম্পত্তি নিম্নলিখিত উপপাদ্য দ্বারা দেওয়া হয়, যা তত্ত্বের ৩.১ এর সাথে সংলাপ।
উপপাদ্য 3.4।
যদি দুটি সমান্তরাল রেখা একটি তৃতীয় রেখার দ্বারা ছেদ করা হয়, তবে ক্রসওয়াইস থাকা অভ্যন্তরীণ কোণগুলি সমান।
প্রমান
আসুন (এবি) || (সিডি) ধরুন ACD ≠ BAC। AE বিন্দুর মধ্য দিয়ে লাইন আঁকুন যাতে EAC \u003d ACD থাকে। তবে তারপরে, উপপাদ্যটি ৩.১ (এই) || (সিডি), এবং অনুমান দ্বারা - (এবি) || (সিডি) উপপাদ্য অনুসারে 3.2 (এই) || (এবি) এটি উপপাদ্য ৩.৩ এর সাথে স্ববিরোধী, যার অনুসারে এর সমান্তরাল একক সরল রেখাটি বিন্দু এ-এর মাধ্যমে আঁকা যায় যা সিডিতে থাকে না। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।
চিত্র 3.3.1।এই উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে, নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সহজেই ন্যায়সঙ্গত হয়।
যদি দুটি সমান্তরাল রেখা তৃতীয় রেখার মধ্য দিয়ে অতিক্রম করা হয় তবে সংশ্লিষ্ট কোণগুলি সমান হয়।
যদি দুটি সমান্তরাল রেখা একটি তৃতীয় রেখার দ্বারা ছেদ করা হয়, তবে অভ্যন্তরের একতরফা কোণগুলির যোগফল 180 ° হয় °
করোলারি 3.2।
যদি কোনও রেখা সমান্তরাল রেখার একটিতে লম্ব হয় তবে এটি অন্যটির সাথে লম্ব হয়।
সমান্তরাল ধারণাটি আমাদের নীচের নতুন ধারণাটি প্রবর্তন করতে সহায়তা করে, যা পরে 11 অধ্যায়ে প্রয়োজন হবে।
দুটি বিম বলা হয় সমানভাবে নির্দেশিতযদি কোনও সরল রেখা থাকে তবে প্রথমত, তারা এই সরলরেখার সাথে লম্ব হয় এবং দ্বিতীয়ত, রেগুলি এই সরলরেখার তুলনায় একই অর্ধ-সমতলতে থাকে।
দুটি বিম বলা হয় বিপরীতভাবে পরিচালিতযদি তাদের প্রত্যেকে অন্যের পরিপূরক সহ সমানভাবে পরিচালিত হয়।
সমানভাবে পরিচালিত রে এবি এবং সিডি চিহ্নিত করা হবে: এবং বিপরীতভাবে পরিচালিত রে এবি এবং সিডি -
চিত্র 3.3.2।
ক্রস লাইন একটি চিহ্ন।
দুটি সরল রেখার একটি যদি একটি নির্দিষ্ট বিমানের মধ্যে থাকে, এবং অন্য সরল রেখাটি এই বিমানটিকে প্রথম সোজা রেখায় পড়ে না এমন একটি জায়গায় ছেদ করে, তবে এই রেখাগুলি ছেদ করছে।
মহাশূন্যে সরলরেখার পারস্পরিক বিন্যাসের ক্ষেত্রে।
দুটি স্পেস লাইনে দুটি পৃথক ক্ষেত্রে রয়েছে:
- সোজা ক্রসিং, অর্থাত্ একই বিমানে শুয়ে থাকবেন না;
- সরলরেখাগুলি ছেদ করে, অর্থাত্ একই বিমানে থাকা এবং একটি সাধারণ পয়েন্ট আছে;
- সোজা লাইন সমান্তরাল, অর্থাত্ একই বিমানে থাকা এবং ছেদ করবেন না;
- সোজা লাইন একত্রিত।
আসুন নীতিগত সমীকরণের দ্বারা প্রদত্ত সরল রেখাগুলির পারস্পরিক বিন্যাসের এই ক্ষেত্রে লক্ষণগুলি পাওয়া যাক
কোথায় - সরল রেখার সাথে সম্পর্কিত পয়েন্টস এবং যথাক্রমে ক - দিকের ভেক্টর (চিত্র 4.34)। আমাদের দ্বারা চিহ্নিত করা যাক প্রদত্ত পয়েন্টগুলি সংযোগকারী একটি ভেক্টর।উপরের ঘটনাগুলি সোজা লাইনের পারস্পরিক বিন্যাস এবং নিম্নলিখিত লক্ষণগুলির সাথে মিলে যায়:
- প্রত্যক্ষ এবং অতিক্রমকারী ভেক্টরগুলি কপ্লানার নয়;
- সোজা লাইন এবং ছেদকারী ভেক্টরগুলি কোপল্যানার, তবে ভেক্টরগুলি কোলাইনারি নয়;
- প্রত্যক্ষ এবং সমান্তরাল ভেক্টরগুলি কোলাইনারি, তবে ভেক্টরগুলি কোলাইনারি নয়;
- স্ট্রেট এবং কাকনাইড ভেক্টরগুলি কোলাইনারি।
এই শর্তগুলি মিশ্র এবং ভেক্টর পণ্যগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে লেখা যেতে পারে। স্মরণ করুন যে সঠিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে ভেক্টরগুলির মিশ্র পণ্যটি সূত্রটির দ্বারা পাওয়া গেছে:
এবং নির্ধারকটি ছেদ করে শূন্য এবং এর দ্বিতীয় এবং তৃতীয় রেখাগুলি সমানুপাতিক নয়, অর্থাৎ।- নির্ধারকের সোজা এবং সমান্তরাল দ্বিতীয় এবং তৃতীয় রেখাগুলি সমানুপাতিক, অর্থাৎ। এবং প্রথম দুটি লাইন সমানুপাতিক নয়, অর্থাত্\u200d
- নির্ধারকের সমস্ত লাইনগুলি সরল এবং সমানুপাতিক সমান, অর্থাৎ
দুটি সরল রেখার একটি যদি একটি বিমানের মধ্যে থাকে এবং অন্যটি এই বিমানটিকে এমন একটি বিন্দুতে ছেদ করে যা প্রথম সোজা রেখার সাথে সম্পর্কিত না হয়, তবে এই দুটি সরল রেখা ছেদ করে।
প্রমান
একটি α, b ছেদ করুন to \u003d A এর সাথে যুক্ত হওয়া যাক, A এর কোনও (অঙ্কিত ২.১.২) এর সাথে সম্পর্কিত নয়। আসুন ধরে নেওয়া যাক যে a এবং b রেখাগুলি ছেদ করছে না, অর্থাৎ তারা ছেদ করছে। তারপরে একটি বিমান রয়েছে β যার সাথে ক এবং বি রেখাগুলি অন্তর্ভুক্ত। এই প্লেনে একটি এবং বিন্দু A কে মিথ্যা করুন Since। যেহেতু লাইন a এবং বিন্দু A এর বাহিরে এটি একটি অনন্য বিমানের সংজ্ঞা দেয়, তারপরে β \u003d α α তবে বি নেতৃত্ব দেয় β এবং বি α এর সাথে সম্পর্কিত নয়, সুতরাং সমতা β \u003d α অসম্ভব।
এক মিনিটেরও কম সময়ে আমি একটি নতুন ভর্ড ফাইল তৈরি করেছিলাম এবং এ জাতীয় উত্তেজনাপূর্ণ বিষয়টি চালিয়েছি। কাজের মেজাজের মুহুর্তগুলি আপনার ধরতে হবে, তাই কোনও গীতিকর ভূমিকা থাকবে না। সেখানে প্রসাইক হুইপিং থাকবে \u003d)
দুটি সোজা স্পেস করতে পারে:
1) হস্তান্তর;
2) এক পর্যায়ে ছেদ করা;
3) সমান্তরাল হতে;
4) ম্যাচ।
মামলা নং 1 অন্যান্য ক্ষেত্রে থেকে মৌলিকভাবে পৃথক। দুটি সমতল লাইন ছেদ করে যদি তারা একই বিমানে শুয়ে না থাকে... এক হাত উপরে উঠান, এবং অন্য হাতটি সামনের দিকে প্রসারিত করুন - সোজা লাইনগুলি অতিক্রম করার উদাহরণ এখানে's 2-4 পয়েন্টগুলিতে, সরলরেখা অবশ্যই মিথ্যা বলে এক বিমানে.
মহাকাশে সরলরেখার আপেক্ষিক অবস্থানটি কীভাবে সন্ধান করবেন?
দুটি সোজা স্থান বিবেচনা করুন:
- সোজা, প্রদত্ত বিন্দু এবং দিক ভেক্টর;
- একটি সরল রেখা একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর দ্বারা প্রদত্ত।
আরও ভাল বোঝার জন্য আসুন একটি স্কিম্যাটিক অঙ্কন সম্পাদন করা যাক: 
উদাহরণ হিসাবে অঙ্কনটি সোজা লাইনগুলি অতিক্রম করে shows
এই সোজা লাইন মোকাবেলা কিভাবে?
যেহেতু পয়েন্টগুলি জানা যায়, তাই ভেক্টরটি খুঁজে পাওয়া সহজ।
যদি সোজা হয় আন্তঃজাততারপর ভেক্টর কোপলনার নয় (পাঠ দেখুন রৈখিক (নন) ভেক্টরগুলির নির্ভরতা। ভেক্টর ভিত্তি), এবং, সুতরাং, তাদের স্থানাঙ্কগুলির সমন্বিত নির্ধারকটি ননজারো o বা, যা আসলে একই, তা ননজারো হবে: 
.
2 নং ক্ষেত্রে, আমাদের নির্মাণগুলি একটি প্লেনে "পতিত" হয়, অন্যদিকে ভেক্টররা কোপলার, এবং রৈখিকভাবে নির্ভর ভেক্টরগুলির মিশ্র পণ্যটি শূন্যের সমান: 
.
আমরা আরও অ্যালগরিদম স্পিন। এর ভান করা যাক 
অতএব, রেখাগুলি হয় ছেদ করে, বা সমান্তরাল হয়, বা একই হয়।
দিক ভেক্টর যদি কলিনারি, তারপরে লাইনগুলি হয় সমান্তরাল বা একত্রিত। চূড়ান্ত পেরেক হিসাবে, আমি নিম্নলিখিত কৌশলটি প্রস্তাব করছি: একটি সরলরেখার কিছুটা বিন্দু নিয়ে তার স্থানাঙ্ককে দ্বিতীয় সোজা রেখার সমীকরণের পরিবর্তে; স্থানাঙ্কগুলি যদি "ফিট" হয় তবে সরলরেখাগুলি মিলে যায়; যদি "ফিট না করে", তবে সরল রেখাগুলি সমান্তরাল হয় are
অ্যালগরিদমের প্রবাহটি সহজ, তবে ব্যবহারিক উদাহরণগুলি এখনও আঘাত করে না:
উদাহরণ 11
দুটি সোজা লাইনের আপেক্ষিক অবস্থানটি সন্ধান করুন
সিদ্ধান্ত: অনেক জ্যামিতির সমস্যার মতো, পয়েন্টগুলি অনুসারে সমাধানটি আঁকতে সুবিধাজনক:
1) আমরা সমীকরণগুলি থেকে পয়েন্ট এবং দিকনির্দেশক ভেক্টরগুলি বের করি:
2) ভেক্টরটি সন্ধান করুন:
সুতরাং, ভেক্টরগুলি কোপল্যানার, যার অর্থ লাইনগুলি একই সমতলে থাকে এবং ছেদ করতে পারে, সমান্তরাল হতে পারে বা সমান হতে পারে।
4) কোলাইনারিটির জন্য দিকের ভেক্টরগুলি পরীক্ষা করুন।
আসুন এই ভেক্টরগুলির সম্পর্কিত স্থানাঙ্কগুলির একটি সিস্টেম রচনা করুন:
এর প্রতিটি সমীকরণটি বোঝায় যে, অতএব, সিস্টেমটি সুসংগত, ভেক্টরগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি আনুপাতিক, এবং ভেক্টরগুলি কোলাইনারি হয়।
উপসংহার: সরল রেখাগুলি সমান্তরাল বা একত্রিত হয়।
5) আসুন লাইনগুলিতে সাধারণ পয়েন্ট রয়েছে কিনা তা সন্ধান করি। প্রথম সরলরেখার সাথে সম্পর্কিত একটি বিন্দু নিন এবং এর স্থানাঙ্কগুলি সরল রেখার সমীকরণে স্থান দিন: 
সুতরাং, লাইনগুলির কোনও সাধারণ পয়েন্ট নেই এবং তাদের সমান্তরাল হওয়া ছাড়া কোনও বিকল্প নেই।
উত্তর:
একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য একটি আকর্ষণীয় উদাহরণ:
উদাহরণ 12
সরল রেখার আপেক্ষিক অবস্থানটি সন্ধান করুন
এটি নিজেই করণীয় সমাধানের উদাহরণ। নোট করুন যে দ্বিতীয় লাইনের একটি প্যারামিটার হিসাবে একটি চিঠি রয়েছে। এটা যৌক্তিক। সাধারণভাবে, এটি দুটি পৃথক সরল রেখা, সুতরাং প্রতিটি সরলরেখার নিজস্ব প্যারামিটার থাকে।
এবং আবারও আমি আপনাকে অনুরোধ করি যে উদাহরণগুলি এড়িয়ে চলবেন না, আমি যে সমস্যাগুলির প্রস্তাব দিচ্ছি তা এলোমেলোভাবে অনেক দূরে ;-)
মহাকাশে একটি সরল রেখা নিয়ে সমস্যা
পাঠের চূড়ান্ত অংশে, আমি স্থানিক লাইনগুলি সহ বিভিন্ন সমস্যার সর্বাধিক সংখ্যা বিবেচনা করার চেষ্টা করব। এই ক্ষেত্রে, আখ্যানটির প্রারম্ভিক ক্রমটি সম্মানিত হবে: প্রথমে আমরা ছেদ করার জন্য সরাসরি সরলরেখাগুলি নিয়ে সমস্যাগুলি বিবেচনা করব, তার পরে ছেদ করা সরল রেখাগুলির সাথে এবং শেষে আমরা স্থানের সমান্তরাল লাইনগুলি নিয়ে কথা বলব। যাইহোক, আমি অবশ্যই বলতে পারি যে এই পাঠের কিছু কাজ এক সাথে একবারে সরল রেখাগুলির বিন্যাসের বেশ কয়েকটি ক্ষেত্রে প্রণয়ন করা যেতে পারে এবং এ ক্ষেত্রে অনুচ্ছেদে অনুচ্ছেদটি বিভক্ত করা কিছুটা স্বেচ্ছাচারী। আরো আছে সহজ উদাহরণ, আরও জটিল উদাহরণ রয়েছে এবং আশা করি প্রত্যেকে তাদের প্রয়োজনীয় জিনিসগুলি খুঁজে পাবেন।
ক্রসড সোজা লাইন
আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে যদি কোনও বিমান থাকে যেখানে তারা উভয় মিথ্যা বলে থাকে তবে সরলরেখাগুলি ছেদ করে। আমি যখন অনুশীলনটি নিয়ে ভাবছিলাম, তখন আমার মনে একটি দানবীয় সমস্যা এসেছিল এবং এখন আমি আপনার মাথা চারটি মাথা নিয়ে একটি ড্রাগন উপস্থাপন করতে পেরে আনন্দিত:
উদাহরণ 13
দেওয়া সরল রেখা আছে। প্রয়োজনীয়:
ক) প্রমাণ করুন যে সরলরেখাগুলি ছেদ করে;
খ) এই সরলরেখার সাথে লম্ব লম্বা বিন্দুতে পার হয়ে সরলরেখার সমীকরণগুলি সন্ধান করুন;
গ) সরল রেখার সমীকরণগুলি রচনা করো সাধারণ লম্ব সরল রেখা অতিক্রম;
d) রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সন্ধান করুন।
সিদ্ধান্ত: রাস্তাটি হাঁটার মাধ্যমে আয়ত্ত হবে:
ক) আসুন প্রমাণ করি যে লাইনগুলি ছেদ করে। এই রেখার পয়েন্ট এবং দিকনির্দেশক ভেক্টরগুলি সন্ধান করুন: 
ভেক্টরটি সন্ধান করুন:
আসুন গণনা করা যাক ভেক্টরগুলির মিশ্র পণ্য:
এইভাবে ভেক্টর কোপলনার নয়, যার অর্থ লাইনগুলি ছেদ করে, প্রয়োজন অনুসারে।
সম্ভবত, প্রত্যেকেই বহু আগে লক্ষ্য করেছেন যে রেখাগুলি অতিক্রম করার জন্য, যাচাইকরণ অ্যালগরিদমটি সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত হিসাবে দেখা দেয়।
খ) সরলরেখার সমীকরণগুলি সন্ধান করুন যা একটি বিন্দু দিয়ে যায় এবং সরলরেখার সাথে লম্ব হয়। আসুন একটি স্কিম্যাটিক অঙ্কন কার্যকর করুন: 
পরিবর্তনের জন্য, আমি একটি সরল রেখা রেখেছি পিছনে সোজা হয়ে দেখুন, ক্রসিং পয়েন্টগুলিতে এটি কীভাবে সামান্য মুছে যায়। ক্রসব্রিডস? হ্যাঁ, সাধারণ ক্ষেত্রে, সরল রেখাটি "ডি" মূল সোজা রেখার সাথে ছেদ করে। যদিও আমরা এই মুহুর্তে আগ্রহী নই, আমাদের কেবল একটি লম্ব লাইন তৈরি করা দরকার এবং এটিই।
সরাসরি "ডি" সম্পর্কে কী জানা যায়? তার সাথে সম্পর্কিত বিষয়টি জানা যায়। দিকনির্দেশক ভেক্টর অনুপস্থিত।
শর্ত অনুসারে, সরল রেখাটি অবশ্যই সরলরেখার লম্ব হতে হবে, যার অর্থ এটির দিকের ভেক্টরটি দিকের ভেক্টরগুলির সাথে অর্থেগোনাল হবে। উদাহরণ নং 9 এর উদ্দেশ্য থেকে ইতিমধ্যে পরিচিত, ক্রস পণ্যটি সন্ধান করুন:
আসুন বিন্দু এবং দিক ভেক্টর দ্বারা সরলরেখা "ডি" এর সমীকরণ রচনা করুন:
সম্পন্ন. নীতিগতভাবে, আপনি ডিনোমিনেটরগুলিতে চিহ্নগুলি পরিবর্তন করতে এবং ফর্মের উত্তর লিখতে পারেন 
, তবে এটির জন্য কোনও প্রয়োজন নেই।
পরীক্ষা করার জন্য, সরাসরি বিন্যাসের প্রাপ্ত সমীকরণগুলিতে বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি স্থানান্তর করা প্রয়োজন, তারপরে ব্যবহার করে ভেক্টরের বিন্দু পণ্য"ভোক্তার দিকনির্দেশক ভেক্টর" পেই ওয়ান "এবং" পি টু "এর পক্ষে সত্যিকার অর্থেগোনাল কিনা তা নিশ্চিত করুন।
একটি সাধারণ লম্ব লম্বিত একটি সরল রেখার সমীকরণগুলি কীভাবে সন্ধান করবেন?
গ) এই কাজটি আরও কঠিন হবে। ডামিগুলি এই পয়েন্টটি এড়িয়ে যাওয়ার পরামর্শ দেয়, আমি বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির প্রতি আপনার আন্তরিক সহানুভূতিটি শীতল করতে চাই না \u003d) উপায় দ্বারা, আরও প্রস্তুত পাঠকদের জন্য, আরও অপেক্ষা করা ভাল হতে পারে, সত্যটি জটিলতার ক্ষেত্রে নিবন্ধে শেষ উদাহরণ দেওয়া উচিত, তবে উপস্থাপনার যুক্তি অনুসারে এটি এখানে অবস্থিত করা উচিত।
সুতরাং, এটি সরলরেখার সমীকরণগুলি সন্ধান করা প্রয়োজন, যাতে ছেদকারী সরল রেখার সাধারণ লম্ব থাকে।
প্রদত্ত রেখাগুলি এবং প্রদত্ত রেখার সাথে লম্বকে সংযোগকারী একটি রেখাংশ রয়েছে: 
আমাদের সুদর্শন মানুষটি এখানে: - অতিক্রম করা লাইনের সাধারণ লম্ব। তিনিই একমাত্র। এরকম আর কোনও নেই। আমাদের সরলরেখার সমীকরণ রচনা করা দরকার যা প্রদত্ত বিভাগটিকে অন্তর্ভুক্ত করে।
সোজা "আহ" সম্পর্কে কী জানা যায়? পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে পাওয়া এর দিকনির্দেশক ভেক্টরটি জানা যায়। তবে, দুর্ভাগ্যক্রমে, আমরা সরলরেখার "উহ" এর সাথে সম্পর্কিত একটি বিন্দু জানি না, আমরা লম্ব - পয়েন্টগুলির শেষগুলি জানি না। এই লম্ব লাইনটি দুটি মূল রেখাকে ছেদ করে কোথায়? আফ্রিকাতে, অ্যান্টার্কটিকায়? শর্তটির প্রাথমিক পর্যালোচনা এবং বিশ্লেষণ থেকে সমস্যাটি কীভাবে সমাধান করা যায় তা মোটেও পরিষ্কার নয়। তবে একটি সরলরেখার প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণের ব্যবহারের সাথে যুক্ত একটি কৌতুকপূর্ণ পদক্ষেপ রয়েছে।
আমরা পয়েন্ট অনুযায়ী সিদ্ধান্ত জারি করব:
1) আসুন প্যারামেট্রিক আকারে প্রথম সোজা রেখার সমীকরণগুলি আবার লিখি: 
একটি বিষয় বিবেচনা করুন। আমরা স্থানাঙ্কগুলি জানি না। কিন্তু... যদি কোনও বিন্দু প্রদত্ত সরল রেখার সাথে সম্পর্কিত হয়, তবে এটি এর স্থানাঙ্কের সাথে মিলে যায়, আমরা এটি দ্বারা চিহ্নিত করি। তারপরে বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি ফর্মটিতে লেখা হবে: 
জীবন ভাল হচ্ছে, এক অজানা - সর্বোপরি, তিনটি অজানা নয়।
২) একই আক্রোশটি দ্বিতীয় দফায় চালাতে হবে। আসুন প্যারামেট্রিক আকারে দ্বিতীয় সরল রেখার সমীকরণগুলি আবার লিখি: 
যদি কোনও বিন্দু প্রদত্ত সরল রেখার সাথে থাকে তবে একটি খুব নির্দিষ্ট মান সহএর স্থানাঙ্কগুলি অবশ্যই প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণগুলি পূরণ করতে পারে:
বা: 
3) ভেক্টর, পূর্বে পাওয়া ভেক্টরের মতো, সরলরেখার দিকনির্দেশক ভেক্টর হবে। দুটি পয়েন্ট দ্বারা কীভাবে কোনও ভেক্টর রচনা করা যায় তা প্রাচীন কালীন পাঠে বিবেচনা করা হত ডমি জন্য ভেক্টর... এখন পার্থক্যটি হ'ল ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি অজানা প্যারামিটার মানগুলির সাথে লেখা হয়। তাতে কি? ভেক্টরের শেষের স্থানাঙ্কগুলি থেকে ভেক্টরের শুরুর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি থেকে কেউ বিয়োগ নিষিদ্ধ করে।
দুটি পয়েন্ট রয়েছে: 
.
ভেক্টরটি সন্ধান করুন:
৪) যেহেতু দিকের ভেক্টরগুলি কোলাইনারি, সুতরাং একটি ভেক্টর নির্দিষ্ট অনুপাত সহগ "ল্যাম্বডা" সহ অন্যটির মধ্য দিয়ে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয়:
বা সমন্বয়মূলকভাবে: 
এটি সর্বাধিক প্রমাণিত, এটিও স্বাভাবিক নয় রৈখিক সমীকরণ সিস্টেম তিনটি অজানা সহ, যা স্ট্যান্ডার্ডে দ্রবণীয়, উদাহরণস্বরূপ, ক্র্যামার পদ্ধতি... তবে এখানে একটি সামান্য রক্ত \u200b\u200bথেকে মুক্তি পাওয়ার সুযোগ রয়েছে, তৃতীয় সমীকরণ থেকে আমরা "ল্যাম্বডা" প্রকাশ করি এবং এটি প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণের পরিবর্তিত করি:
এইভাবে: 
, এবং আমাদের একটি ল্যাম্বডা লাগবে না। প্যারামিটারগুলির মানগুলি একই হিসাবে পরিণত হয়েছিল তা খাঁটি কাকতালীয় বিষয়।
5) আকাশ সম্পূর্ণ পরিষ্কার, পাওয়া মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন 
আমাদের বক্তব্য:
দিকনির্দেশক ভেক্টরের বিশেষত প্রয়োজন নেই, কারণ এর সহকর্মী ইতিমধ্যে খুঁজে পাওয়া গেছে।
দীর্ঘ ভ্রমণের পরে, এটি চেক করা সর্বদা মজাদার।
:
সঠিক সমতা প্রাপ্ত হয়।
পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন 
:
সঠিক সমতা প্রাপ্ত হয়।
)) চূড়ান্ত জ্যা: বিন্দু বরাবর সরলরেখার সমীকরণ রচনা করুন (আপনি এটি নিতে পারেন) এবং একটি দিক ভেক্টর:
নীতিগতভাবে, আপনি পূর্ণসংখ্যার স্থানাঙ্কগুলির সাথে একটি "ভাল" পয়েন্ট তুলতে পারেন তবে এটি ইতিমধ্যে একটি প্রসাধনী।
ক্রসড লাইনের মধ্যে দূরত্বটি কীভাবে খুঁজে পাবেন?
d) চতুর্থ ড্রাগনের মাথা কেটে ফেলুন।
পদ্ধতি এক... এমনকি কোনও উপায় নয়, তবে একটি ছোট বিশেষ কেস। ক্রসিং রেখার মধ্যবর্তী দূরত্বগুলি তাদের সাধারণ লম্বের দৈর্ঘ্যের সমান: 
.
সাধারণ উল্লম্বের চরম পয়েন্টগুলি 
পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে পাওয়া গেছে, এবং কার্যটি প্রাথমিক:
পদ্ধতি দুটি... অনুশীলনে, প্রায়শই সাধারণ লম্বের শেষ প্রান্ত অজানা, তাই আলাদা পদ্ধতির ব্যবহার করা হয়। সমান্তরাল বিমান দুটি ক্রসিং রেখার মধ্য দিয়ে আঁকতে পারে এবং এই বিমানগুলির মধ্যকার দূরত্ব এই লাইনের মধ্যবর্তী দূরত্বের সমান। বিশেষত, এই বিমানগুলির মধ্যে একটি সাধারণ লম্ব লম্ব থাকে।
বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির কোর্সে উপরের বিবেচনাগুলি থেকে, সরলরেখাগুলি অতিক্রম করার মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণের জন্য একটি সূত্র তৈরি করা হয়েছিল: 
(আমাদের পয়েন্টগুলির পরিবর্তে "উহ এক, দুটি" আপনি স্বেচ্ছাসেদী পয়েন্টগুলি নিতে পারেন)।
ভেক্টরগুলির মিশ্র পণ্য "ক" অনুচ্ছেদে ইতিমধ্যে পাওয়া গেছে: 
.
ভেক্টরগুলির ভেক্টর পণ্য আইটেম "bae" পাওয়া যায়: 
এর দৈর্ঘ্য গণনা করা যাক:
এইভাবে:
আসুন গর্বের সাথে ট্রফিগুলি এক সারিতে রেখে দিন:
উত্তর:
এবং) 
, যার অর্থ লাইনগুলি ছেদ করে, যা প্রমাণ করার প্রয়োজন হয়েছিল;
খ) 
;
ভিতরে) 
;
d) 
সরলরেখাগুলি অতিক্রম করার বিষয়ে আর কী বলতে পারেন? একটি কোণ তাদের মধ্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়। তবে আমরা পরবর্তী অনুচ্ছেদে সর্বজনীন কোণ সূত্রটি বিবেচনা করব:
স্থানের সরল রেখাগুলি ছেদ করা অগত্যা একই বিমানে থাকা: 
প্রথম চিন্তাটি আপনার সমস্ত শক্তি দিয়ে ছেদ বিন্দুতে ঝাঁকুনি দেওয়া। আর সাথে সাথে ভাবলাম, নিজেকে কেন সঠিক আকাঙ্ক্ষা অস্বীকার করবেন ?! আসুন এখন তার উপর ঝাঁপ দাও!
স্থানিক রেখার ছেদ বিন্দুটি কীভাবে খুঁজে পাবেন?
উদাহরণ 14
রেখার ছেদ বিন্দু সন্ধান করুন
সিদ্ধান্ত: আসুন প্যারামেট্রিক আকারে সরলরেখার সমীকরণগুলি আবার লিখি: 
এই পাঠের এই পাঠের 7 নং উদাহরণে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছিল (দেখুন। মহাকাশে একটি সরল রেখার সমীকরণ)। এবং সরাসরি সরলরেখাগুলি, উপায় দ্বারা, আমি উদাহরণ নং 12 থেকে নিয়েছি I আমি মিথ্যা বলব না, আমি নতুন আবিষ্কার করতে খুব অলস।
সমাধানটি মানসম্পন্ন এবং ইতিমধ্যে যখন আমরা ছেদকারী রেখার সাধারণ লম্বের সমীকরণগুলি গ্রিড আউট করি তখন ইতিমধ্যে এর সম্মুখীন হয়েছিল।
সরলরেখার ছেদ বিন্দুটি সরলরেখার সাথে সম্পর্কিত, সুতরাং এর স্থানাঙ্কগুলি প্রদত্ত সরলরেখার প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণগুলি পূরণ করে এবং তারা এর সাথে মিলিয়ে যায় বেশ নির্দিষ্ট পরামিতি মান:
তবে একই পয়েন্টটি দ্বিতীয় সরল রেখার সাথে সম্পর্কিত, সুতরাং: 
আমরা সমীকরণগুলি সমীকরণ করি এবং সরলীকরণ করি: 
দুটি অজানা সহ তিনটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাওয়া যায়। যদি লাইনগুলি ছেদ করে (উদাহরণ 12 হিসাবে প্রমাণিত) তবে সিস্টেমটি প্রয়োজনীয়ভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং এর একটি অনন্য সমাধান রয়েছে। এটি সমাধান করা যেতে পারে গাউসিয়া পদ্ধতি, তবে আমরা এই ধরনের কিন্ডারগার্টেন ফেটিশিজম দিয়ে পাপ করব না, আমরা আরও সহজ করব: প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা "তে শূন্য" প্রকাশ করি এবং এটি দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণে স্থান করি: 
শেষ দুটি সমীকরণ বাস্তবে একই, এবং এটি তাদের থেকে অনুসরণ করে। তারপরে:
প্যারামিটারের পাওয়া মানটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন: 
উত্তর:
পরীক্ষা করার জন্য, আমরা প্যারামিটারের প্রাপ্ত মানটিকে সমীকরণগুলিতে প্রতিস্থাপন করি: 
যাচাইকরণের জন্য একই স্থানাঙ্কগুলি প্রাপ্ত হয়েছিল। চৌকস পাঠকরা সরলরেখার মূল নীতিগত সমীকরণের কোনও বিন্দুর স্থানাঙ্ককে প্রতিস্থাপন করতে পারেন।
উপায় দ্বারা, এটি বিপরীতে করা সম্ভব ছিল: "এস শূন্য" এর মাধ্যমে পয়েন্টটি খুঁজে পেতে, এবং "তে শূন্য" মাধ্যমে পরীক্ষা করুন।
একটি সুপরিচিত গাণিতিক চিহ্ন বলে: যেখানে সরলরেখার ছেদটি আলোচনা করা হয়, সেখানে সর্বদা লম্বের মতো গন্ধ থাকে।
প্রদত্তটির জন্য লম্ব স্থানের লাইন কীভাবে তৈরি করবেন?
(লাইনগুলি ছেদ করে)
উদাহরণ 15
ক) সরলরেখার লম্বের লম্বের মধ্য দিয়ে সরানো রেখার সমীকরণগুলি তৈরি করুন 
(লাইনগুলি ছেদ করে)
খ) একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্বটি সন্ধান করুন।
বিঃদ্রঃ
: ধারা "লাইনগুলি ছেদ করে" - অপরিহার্য... পয়েন্ট মাধ্যমে
আপনি অসীম অনেকগুলি লম্ব সোজা লাইন আঁকতে পারেন যা সোজা "এল" দিয়ে ছেদ করবে। লম্ব খণ্ড যখন এই বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা আঁকানো হয় তখনই একমাত্র সমাধান ঘটে দুই একটি সরল রেখা দ্বারা প্রদত্ত (উদাহরণ নং 13 দেখুন, পয়েন্ট "খ")।
এবং) সিদ্ধান্ত: অজানা রেখাটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। আসুন একটি স্কিম্যাটিক অঙ্কন কার্যকর করুন:
সরলরেখা সম্পর্কে কী জানা যায়? শর্ত দ্বারা, একটি পয়েন্ট দেওয়া হয়। একটি সরলরেখার সমীকরণ রচনা করতে, দিক ভেক্টরটি সন্ধান করা প্রয়োজন। একটি ভেক্টর যেমন ভেক্টর হিসাবে যথেষ্ট উপযুক্ত, এবং আমরা এটি মোকাবেলা করব। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলা যাক ভ্রূকের দ্বারা ভ্রূণের অজানা প্রান্তটি নেওয়া যাক।
1) আসুন সরলরেখা "এল" এর সমীকরণগুলি থেকে এর দিকনির্দেশক ভেক্টরটি বের করি এবং সমীকরণগুলি প্যারাম্যাট্রিক আকারে আবার লিখি: 
অনেকে অনুমান করেছেন যে এখন পাঠের মধ্যে তৃতীয়বারের মতো যাদুকর তার টুপি থেকে একটি সাদা রাজহাঁস পাবেন। অজানা স্থানাঙ্কের সাথে একটি বিষয় বিবেচনা করুন। বিন্দু থেকে, তারপরে স্থানাঙ্কগুলি সরলরেখার "এল" এর প্যারাম্যাট্রিক সমীকরণগুলি পূরণ করে এবং সেগুলি প্যারামিটারের একটি নির্দিষ্ট মানের সাথে মিল করে: 
বা এক লাইনে:
2) শর্ত অনুসারে, সরল রেখাগুলি অবশ্যই লম্ব হতে হবে, সুতরাং, তাদের দিকের ভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল। এবং যদি ভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল হয় তবে তাদের স্কালে পণ্য সমান শূন্য: 
কি হলো? সহজতম একঘাত সমীকরণ এক অজানা সঙ্গে: 
3) প্যারামিটারের মানটি জানা যায়, আমরা বিষয়টিটি খুঁজে পাই:
এবং দিক ভেক্টর:
.
4) আসুন একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর দ্বারা একটি সরল রেখার সমীকরণ রচনা করি:
অনুপাতের ডিনোমিনেটরগুলি ভগ্নাংশ হিসাবে প্রমাণিত হয়েছিল এবং ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পাওয়ার উপযুক্ত হলে ঠিক এটি ঘটে। আমি কেবল এগুলিকে -2 দিয়ে গুণ করব: 
উত্তর: 
বিঃদ্রঃ : সমাধানটির আরও কঠোর সমাপ্তি নীচে তৈরি হয়: আমরা একটি পয়েন্ট এবং একটি দিক ভেক্টর বরাবর একটি সরলরেখার সমীকরণ রচনা করি। প্রকৃতপক্ষে, যদি কোনও ভেক্টর একটি সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টর হয়, তবে এটির জন্য একটি ভেক্টর কলাইনার স্বাভাবিকভাবেই প্রদত্ত সরলরেখার প্রত্যক্ষ ভেক্টরও হবে।
চেকটি দুটি পর্যায়ে গঠিত:
1) অরথোগোনালটির জন্য সোজা রেখার দিকের ভেক্টরগুলি পরীক্ষা করুন;
2) আমরা প্রতিটি সোজা রেখার সমীকরণগুলিতে পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি প্রতিস্থাপন করি, তাদের অবশ্যই সেখানে এবং সেখানে উভয়ই "ফিট" হবে।
সাধারণ ক্রিয়া সম্পর্কে অনেক কিছু বলা হয়েছিল, তাই আমি একটি খসড়া পরীক্ষা করেছি।
যাইহোক, আমি বিন্দুটি ভুলে গিয়েছি - সরলরেখার "এল" এর সাথে সম্পর্কিত "এন" বিন্দুর সাথে একটি বিন্দু "সিউ" প্রতিসাম্য তৈরি করতে। তবে, একটি ভাল "ফ্ল্যাট অ্যানালগ" রয়েছে, যা নিবন্ধে পাওয়া যাবে প্লেনে সোজা লাইন নিয়ে সবচেয়ে সহজ সমস্যা... এখানে সমস্ত পার্থক্য অতিরিক্ত "জিতা" স্থানাঙ্কে থাকবে।
মহাকাশে একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্বটি কীভাবে খুঁজে পাবেন?
খ) সিদ্ধান্ত: একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্বটি সন্ধান করুন।
পদ্ধতি এক... এই দূরত্বটি লম্ব দৈর্ঘ্যের ঠিক সমান:। সমাধানটি সুস্পষ্ট: পয়েন্টগুলি জানা থাকলে 
তারপরে:
পদ্ধতি দুটি... ব্যবহারিক কাজে, লম্বের গোড়ালি প্রায়শই সাতটি সিলের পিছনে একটি গোপন থাকে, তাই প্রস্তুত সূত্র ব্যবহার করা আরও যুক্তিযুক্ত।
একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্ব সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়: 
, সরল রেখার "এল" এর নির্দেশক ভেক্টরটি কোথায় এবং - ইচ্ছামতএই লাইনের অন্তর্গত পয়েন্ট।
1) সরলরেখার সমীকরণ থেকে 
আমরা দিক ভেক্টর এবং সর্বাধিক অ্যাক্সেসযোগ্য পয়েন্ট পাই।
2) বিন্দুটি অবস্থা থেকে জানা যায়, ভেক্টরটিকে তীক্ষ্ণ করুন:
3) সন্ধান করুন ক্রস পণ্য এবং এর দৈর্ঘ্য গণনা করুন: 
4) দিক ভেক্টরের দৈর্ঘ্য গণনা করুন:
5) সুতরাং, একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্ব:
