একটি মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে একটি শরীরের গতিবিধি বায়ু প্রতিরোধের হিসাব গ্রহণ করে। দিগন্ত রেঞ্জের একটি কোণে নিক্ষিপ্ত একটি দেহের গতিবিধি, সর্বোচ্চ উচ্চতা এবং দেহের উড়ার সময় অধ্যয়ন

নির্দেশনা

একটি দেহকে একটি প্রাথমিক গতি v0 দিয়ে দিগন্তের α কোণে নিক্ষেপ করা হোক। শরীরের প্রাথমিক স্থানাঙ্ক শূন্য হতে দিন: x(0)=0, y(0)=0। স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর অনুমানে, প্রাথমিক বেগ দুটি উপাদানে বিভক্ত হবে: v0(x) এবং v0(y)। সাধারণভাবে একই গতি। অক্স অক্ষ বরাবর, গতি প্রচলিতভাবে ধ্রুবক হিসাবে বিবেচিত হয়, যখন Oy অক্ষ বরাবর এটি এর প্রভাবে পরিবর্তিত হয়। মাধ্যাকর্ষণ g এর ত্বরণকে প্রায় 10 m/s² ধরা যেতে পারে।

কোণ α যে শরীরে নিক্ষেপ করা হয় তা সুযোগ দ্বারা দেওয়া হয় না। এর মাধ্যমে আপনি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলিতে প্রাথমিক গতি বর্ণনা করতে পারেন। সুতরাং, v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α)। এখন আমরা বেগের স্থানাঙ্ক উপাদানগুলির ফাংশন পেতে পারি: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin( α)-g·t.

শরীরের x এবং y স্থানাঙ্ক সময়ের উপর নির্ভর করে। এইভাবে, আমরা দুটি নির্ভরতা সমীকরণ তৈরি করতে পারি: x=x0+v0(x) t+a(x) t²/2, y=y0+v0(y) t+a(y) t²/2। যেহেতু x0=0, a(x)=0, তারপর x=v0(x) t=v0 cos(α) t। এটাও জানা যায় যে y0=0, a(y)=-g (“ ” চিহ্নটি দেখা যাচ্ছে কারণ g মহাকর্ষের ত্বরণের দিক এবং Oy অক্ষের ধনাত্মক দিক বিপরীত)। অতএব y=v0·sin(α)·t-g·t²/2।

ফ্লাইটের সময়কে গতির সূত্র থেকে প্রকাশ করা যেতে পারে, জেনে রাখা যায় যে সর্বোচ্চ বিন্দুতে শরীরটি তাৎক্ষণিক (v = 0) জন্য থেমে যায় এবং "অর্ঘ্য" এবং "উতরণ" এর সময়কাল সমান। সুতরাং, v(y)=0 সমীকরণে প্রতিস্থাপন করার সময় v(y)=v0·sin(α)-g·t দেখা যাচ্ছে: 0=v0·sin(α)-g·t(p), যেখানে t (p) - পিক টাইম, "t vertex"। তাই t(p)=v0·sin(α)/g। মোট ফ্লাইটের সময়কে তখন t=2·v0·sin(α)/g হিসাবে প্রকাশ করা হবে।

একই সূত্রটি অন্যভাবে পাওয়া যেতে পারে, গাণিতিকভাবে, স্থানাঙ্ক y=v0·sin(α)·t-g·t²/2 এর সমীকরণ থেকে। এই সমীকরণটি সামান্য পরিবর্তিত আকারে পুনরায় লেখা যেতে পারে: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t। এটি দেখা যায় যে এটি একটি দ্বিঘাত নির্ভরতা, যেখানে y একটি ফাংশন, t একটি যুক্তি। ট্র্যাজেক্টোরি বর্ণনা করে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু হল বিন্দু t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2]। বিয়োগ এবং দুই বাতিল, তাই t(p)=v0·sin(α)/g। যদি আমরা সর্বোচ্চ উচ্চতাকে H হিসাবে চিহ্নিত করি এবং মনে রাখি যে পিক পয়েন্ট হল প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু যার সাথে শরীর চলে, তাহলে H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g। অর্থাৎ, উচ্চতা পেতে, আপনাকে y স্থানাঙ্কের সমীকরণে "t শীর্ষবিন্দু" প্রতিস্থাপন করতে হবে।

সুতরাং, ফ্লাইটের সময় লেখা হয় t=2·v0·sin(α)/g। এটি পরিবর্তন করতে, আপনাকে সেই অনুযায়ী প্রাথমিক গতি এবং প্রবণতা কোণ পরিবর্তন করতে হবে। স্পিড যত বেশি, শরীর তত বেশি উড়ে যায়। একটি কোণের সাথে এটি কিছুটা জটিল, কারণ সময় নিজেই কোণের উপর নির্ভর করে না, তবে তার সাইনের উপর নির্ভর করে। সর্বাধিক সম্ভাব্য সাইন মান - একতা - 90° প্রবণতার একটি কোণে অর্জন করা হয়। এর মানে হল যে একটি দেহ যখন উল্লম্বভাবে উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত হয় তখন সবচেয়ে বেশি সময় ধরে উড়ে যায়।

ফ্লাইট পরিসীমা চূড়ান্ত x স্থানাঙ্ক। যদি আমরা ইতিমধ্যেই পাওয়া উড্ডয়নের সময়টিকে x=v0·cos(α)·t সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি, তাহলে এটি পাওয়া সহজ যে L=2v0²sin(α)cos(α)/g। এখানে আমরা ত্রিকোণমিতিক দ্বিকোণ সূত্র 2sin(α)cos(α)=sin(2α), তারপর L=v0²sin(2α)/g প্রয়োগ করতে পারি। 2α=n/2, α=n/4 হলে দুটি আলফার সাইন একের সমান। এইভাবে, ফ্লাইট পরিসীমা সর্বাধিক হয় যদি শরীরটি 45° কোণে নিক্ষেপ করা হয়।

এই নিবন্ধে আমরা এমন একটি পরিস্থিতির বিশ্লেষণ বিবেচনা করব যেখানে একটি দেহ অনুভূমিক কোণে নিক্ষিপ্ত হয়। এটি হাত দিয়ে একটি পাথর নিক্ষেপ করা, একটি কামান থেকে একটি শেল নিক্ষেপ, একটি ধনুক থেকে একটি তীর নিক্ষেপ, এবং তাই হতে পারে. এই সমস্ত পরিস্থিতি গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে একইভাবে বর্ণনা করা হয়েছে।

দিগন্তের একটি কোণে চলাচলের বৈশিষ্ট্য

পদার্থবিজ্ঞানের দৃষ্টিকোণ থেকে উপরের উদাহরণগুলির মধ্যে মিল কী? এটি শরীরের উপর কাজ করে এমন শক্তির প্রকৃতির মধ্যে রয়েছে। একটি শরীরের বিনামূল্যে ফ্লাইটের সময়, শুধুমাত্র দুটি শক্তি এটিতে কাজ করে:

• মহাকর্ষ।
• উইন্ডেজ।

যদি শরীরের ভর যথেষ্ট বড় হয় এবং এর আকৃতিটি নির্দেশিত হয় (প্রক্ষেপণ, তীর), তাহলে বায়ু প্রতিরোধের উপেক্ষা করা যেতে পারে।

এইভাবে, দিগন্তের একটি কোণে নিক্ষিপ্ত একটি শরীরের নড়াচড়া একটি সমস্যা যেখানে শুধুমাত্র মাধ্যাকর্ষণ প্রদর্শিত হয়। এটিই গতিপথের আকৃতি নির্ধারণ করে, যা একটি প্যারাবোলিক ফাংশন দ্বারা ভাল নির্ভুলতার সাথে বর্ণনা করা হয়।

একটি প্যারাবোলিক ট্রাজেক্টোরি বরাবর গতির সমীকরণ। গতি

দেহটি দিগন্তের কোণে ফেলে দেওয়া হয়েছিল। আপনি কিভাবে তার আন্দোলন বর্ণনা করতে পারেন? যেহেতু একটি দেহের উড্ডয়নের সময় কাজ করে একমাত্র বলটি নীচের দিকে পরিচালিত হয়, তাই এর অনুভূমিক উপাদানটি শূন্য। এই বাস্তবতার মানে হল যে বস্তুর অনুভূমিক গতি স্বতন্ত্রভাবে প্রাথমিক অবস্থার (থ্রো বা শট অ্যাঙ্গেল θ এবং গতি v) দ্বারা নির্ধারিত হয়। একটি দেহের উল্লম্ব নড়াচড়া হল অভিন্ন ত্বরিত গতির একটি উজ্জ্বল উদাহরণ, যেখানে ত্বরণের ভূমিকা ধ্রুবক g (9.81 m/s2) দ্বারা পরিচালিত হয়।

উপরোক্ত বিষয়গুলি বিবেচনায় নিয়ে, আমরা টি সময়ে একটি উড়ন্ত দেহের গতির জন্য দুটি উপাদান লিখতে পারি:

v x = v * cos(θ);

v y = v * sin(θ) - g * t

যেমন দেখা যায়, v x উপাদানটি সময়ের উপর নির্ভর করে না এবং পুরো ফ্লাইট পাথ জুড়ে স্থির থাকে (x অক্ষের দিকে বাহ্যিক শক্তির অনুপস্থিতির পরিণতি)। কম্পোনেন্ট v y সময়ের প্রাথমিক মুহুর্তে সর্বাধিক থাকে। এবং তারপরে এটি কমতে শুরু করে যতক্ষণ না এটি শরীরের টেকঅফের সর্বোচ্চ পয়েন্টে শূন্য হয়ে যায়। এর পরে, এটি চিহ্ন পরিবর্তন করে এবং পতনের মুহুর্তে এটি প্রাথমিক উপাদান v y, অর্থাৎ v*sin(θ) এর মডুলাসের সমান হতে দেখা যায়।

লিখিত সমীকরণগুলি টি যেকোন মুহুর্তে অনুভূমিক কোণে নিক্ষিপ্ত একটি দেহের গতি নির্ধারণ করা সম্ভব করে। এর মডিউল সমান হবে:

v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin(θ) * g * t + g 2 * t 2) =

= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)

একটি প্যারাবোলিক ট্রাজেক্টোরি বরাবর গতির সমীকরণ। ফ্লাইটের পরিসর

দেহটি দিগন্তের কোণে ফেলে দেওয়া হয়েছিল। কতদূর উড়ে যাবে? পরিসরের সমস্যাটি x স্থানাঙ্কের পরিবর্তনের সাথে সম্পর্কিত। সময়ের সাথে সাথে উভয় বেগের উপাদানকে একীভূত করে এই মানটি পাওয়া যেতে পারে। একীকরণের ফলস্বরূপ আমরা সূত্রগুলি পাই:

x = v * cos(θ) * t + x 0 ;

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + y 0

স্থানাঙ্ক x এবং x 0 এর মধ্যে পার্থক্য হল ফ্লাইট পরিসীমা। যদি আমরা অনুমান করি যে x 0 = 0, তাহলে পরিসীমাটি x এর সমান হবে, যা খুঁজে বের করার জন্য আপনাকে জানতে হবে t শরীরটি বাতাসে কতক্ষণ থাকবে।

দ্বিতীয় সমীকরণটি আপনাকে এই সময়টি গণনা করতে দেয়, শর্ত থাকে যে মান y 0 (উচ্চতা h যেখান থেকে শরীরটি নিক্ষেপ করা হয়) জানা যায়। যখন বস্তুটি তার নড়াচড়া শেষ করে (ভূমিতে পড়ে), তখন তার y স্থানাঙ্ক শূন্য হয়ে যাবে। আসুন সময় গণনা করা যাক কখন এটি ঘটবে। আমাদের আছে:

v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = 0

আমাদের সামনে সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমতা। আমরা বৈষম্যকারীর মাধ্যমে এটি সমাধান করি:

D = v 2 * sin 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h;

t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))

আমরা নেতিবাচক মূল বাতিল. আমরা নিম্নলিখিত ফ্লাইট সময় পাই:

t = (v * sin(θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

এখন আমরা এই মানটিকে ফ্লাইট পরিসরের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি। আমরা পেতে:

x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

যদি শরীরটি মাটি থেকে নিক্ষেপ করা হয়, অর্থাৎ h = 0, তাহলে এই সূত্রটি উল্লেখযোগ্যভাবে সরলীকৃত হবে। এবং এটি এর মত দেখাবে:

x = 2 * v 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/g

সাইন এবং কোসাইন (হ্রাস সূত্র) এর ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মধ্যে সম্পর্ক ব্যবহার করে শেষ অভিব্যক্তিটি প্রাপ্ত হয়েছিল।

যেহেতু সাইনের একটি সমকোণের জন্য সর্বাধিক মান রয়েছে, তাই 45° কোণে পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে দেহটি নিক্ষেপ করা হলে (শট) সর্বোচ্চ ফ্লাইট পরিসীমা অর্জন করা হয় এবং এই পরিসরটি এর সমান:

অনুভূমিক কোণে নিক্ষিপ্ত একটি দেহের উচ্চতা

এখন আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ প্যারামিটার নির্ধারণ করা যাক - একটি নিক্ষিপ্ত বস্তু যে উচ্চতায় উঠতে পারে। স্পষ্টতই, এর জন্য শুধুমাত্র y স্থানাঙ্কের পরিবর্তন বিবেচনা করা যথেষ্ট।

সুতরাং, একটি দেহকে দিগন্তের একটি কোণে নিক্ষেপ করা হয়, এটি কত উচ্চতায় উড়ে যাবে? এই উচ্চতা v y থেকে শূন্য বেগের উপাদানের সমতার সাথে মিলবে। আমাদের সমীকরণ আছে:

v y = v * sin(θ) - g * t = 0

আসুন সমীকরণটি সমাধান করি। আমরা পেতে:

এখন আপনাকে y স্থানাঙ্কের অভিব্যক্তিতে এই সময় প্রতিস্থাপন করতে হবে। আমরা পেতে:

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ)/g - g/2* v 2 * sin 2 (θ)/g 2 + h =

V 2 * sin 2 (θ)/(2 * g) + h

এই সূত্রটি নির্দেশ করে যে সর্বোচ্চ উচ্চতা, ফ্লাইটের পরিসরের বিপরীতে, যদি শরীরকে কঠোরভাবে উল্লম্বভাবে নিক্ষেপ করা হয় (θ = 90)। এই ক্ষেত্রে আমরা সূত্রে পৌঁছেছি:

এটি লক্ষ্য করা আকর্ষণীয় যে এই নিবন্ধে দেওয়া সমস্ত সূত্রে, শরীরের ওজন প্রদর্শিত হয় না। প্যারাবোলিক ট্র্যাজেক্টোরির বৈশিষ্ট্যগুলি এটির উপর নির্ভর করে না, তবে কেবল বায়ু প্রতিরোধের অনুপস্থিতিতে।

যদি একটি দেহকে দিগন্তের একটি কোণে নিক্ষেপ করা হয়, তবে উড্ডয়নের সময় এটি মাধ্যাকর্ষণ শক্তি এবং বায়ু প্রতিরোধের শক্তি দ্বারা কাজ করে। যদি প্রতিরোধ শক্তিকে অবহেলা করা হয়, তবে একমাত্র শক্তি অবশিষ্ট থাকে তা হল মাধ্যাকর্ষণ। অতএব, নিউটনের ২য় সূত্রের কারণে, দেহটি মহাকর্ষের ত্বরণের সমান ত্বরণের সাথে চলে; স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর ত্বরণের অনুমান ax = 0, ay = - g।

চিত্র 1. অনুভূমিক কোণে নিক্ষিপ্ত একটি শরীরের গতিগত বৈশিষ্ট্য

বস্তুগত বিন্দুর যেকোন জটিল নড়াচড়াকে স্থানাঙ্ক অক্ষ বরাবর স্বাধীন নড়াচড়ার একটি সুপারপজিশন হিসেবে উপস্থাপিত করা যেতে পারে এবং বিভিন্ন অক্ষের দিকে গতিবিধির ধরন ভিন্ন হতে পারে। আমাদের ক্ষেত্রে, একটি উড়ন্ত দেহের গতিকে দুটি স্বাধীন গতির সুপারপজিশন হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে: অনুভূমিক অক্ষ (X-অক্ষ) বরাবর অভিন্ন গতি এবং উল্লম্ব অক্ষ (Y-অক্ষ) বরাবর অভিন্ন ত্বরিত গতি (চিত্র 1) .

শরীরের বেগ অনুমান তাই সময়ের সাথে নিম্নরূপ পরিবর্তিত হয়:

যেখানে $v_0$ হল প্রাথমিক গতি, $(\mathbf \alpha )$ হল নিক্ষেপের কোণ।

আমাদের পছন্দের উত্সের সাথে, প্রাথমিক স্থানাঙ্ক (চিত্র 1) হল $x_0=y_0=0$। তারপর আমরা পাই:

(1)

আসুন সূত্র বিশ্লেষণ করি (1)। নিক্ষিপ্ত দেহের নড়াচড়ার সময় নির্ধারণ করা যাক। এটি করার জন্য, y স্থানাঙ্ক শূন্যের সমান সেট করা যাক, কারণ অবতরণের মুহূর্তে শরীরের উচ্চতা শূন্য। এখান থেকে আমরা ফ্লাইট সময় পেতে পারি:

দ্বিতীয় সময়ের মান যেখানে উচ্চতা শূন্য হয় শূন্য, যা নিক্ষেপের মুহুর্তের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ এই মান একটি শারীরিক অর্থ আছে.

আমরা প্রথম সূত্র (1) থেকে ফ্লাইট পরিসীমা প্রাপ্ত করি। ফ্লাইট পরিসীমা হল ফ্লাইটের শেষে x স্থানাঙ্কের মান, অর্থাৎ সময়ে $t_0$ এর সমান। প্রথম সূত্রে (1) মান (2) প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

এই সূত্র থেকে এটি দেখা যায় যে 45 ডিগ্রির একটি নিক্ষেপ কোণে সর্বশ্রেষ্ঠ ফ্লাইট পরিসীমা অর্জন করা হয়।

নিক্ষিপ্ত শরীরের সর্বোচ্চ উত্তোলন উচ্চতা দ্বিতীয় সূত্র (1) থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, আপনাকে এই সূত্রে অর্ধেক ফ্লাইট সময়ের (2) সমান সময়ের মান প্রতিস্থাপন করতে হবে, কারণ এটি ট্রাজেক্টোরির মধ্যবিন্দুতে যে ফ্লাইটের উচ্চতা সর্বাধিক। গণনা আউট বহন, আমরা পেতে

সমীকরণ (1) থেকে কেউ শরীরের গতিপথের সমীকরণ পেতে পারে, যেমন গতির সময় একটি শরীরের x এবং y স্থানাঙ্ক সম্পর্কিত একটি সমীকরণ। এটি করার জন্য, আপনাকে প্রথম সমীকরণ (1) থেকে সময় প্রকাশ করতে হবে:

এবং এটিকে দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন। তারপর আমরা পাই:

এই সমীকরণটি গতি ট্রাজেক্টরি সমীকরণ। এটি দেখা যায় যে এটি একটি প্যারাবোলার সমীকরণ যার শাখাগুলি নীচে রয়েছে, যেমনটি দ্বিঘাত শব্দের সামনে "-" চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত। এটা মনে রাখা উচিত যে নিক্ষেপ কোণ $\alpha $ এবং এর ফাংশনগুলি এখানে কেবল ধ্রুবক, যেমন ধ্রুবক সংখ্যা।

একটি বডিকে গতি v0 দিয়ে একটি কোণ $(\mathbf \alpha )$ দিয়ে অনুভূমিক দিকে নিক্ষেপ করা হয়। ফ্লাইট সময় $t = 2 s$। Hmax শরীর কত উচ্চতায় উঠবে?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

শরীরের গতির নিয়মের ফর্ম আছে:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(অ্যারে) \right.$ $

প্রাথমিক বেগ ভেক্টর OX অক্ষের সাথে একটি কোণ $(\mathbf \alpha )$ গঠন করে। তাই,

\ \ \

একটি পাথরকে পাহাড়ের চূড়া থেকে একটি কোণ = 30$()^\circ$ দিগন্তে ছুড়ে দেওয়া হয় যার প্রাথমিক গতি $v_0 = 6 m/s$। আনত সমতল কোণ = 30$()^\circ$। পাথর নিক্ষেপ বিন্দু থেকে কত দূরে অবতরণ করবে?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

চলুন নিক্ষেপের বিন্দুতে স্থানাঙ্কের উৎপত্তি স্থাপন করি, OX - ঝুঁকে থাকা সমতল বরাবর নিচের দিকে, OY - উপরের দিকে ঝুঁকে থাকা সমতলের লম্ব। আন্দোলনের গতিগত বৈশিষ্ট্য:

গতির নিয়ম:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ -\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

ফলের মান $t_В$ প্রতিস্থাপন করে, আমরা $S$ খুঁজে পাই:

তত্ত্ব

যদি একটি দেহকে দিগন্তের একটি কোণে নিক্ষেপ করা হয়, তবে উড্ডয়নের সময় এটি অভিকর্ষ বল এবং বায়ু প্রতিরোধের শক্তি দ্বারা কাজ করে। যদি প্রতিরোধ শক্তিকে অবহেলা করা হয়, তবে একমাত্র শক্তি অবশিষ্ট থাকে তা হল মাধ্যাকর্ষণ। অতএব, নিউটনের ২য় সূত্রের কারণে, দেহটি মহাকর্ষের ত্বরণের সমান ত্বরণের সাথে চলে; স্থানাঙ্ক অক্ষে ত্বরণ অভিক্ষেপ সমান একটি x = 0, এবং y=-জি.

বস্তুগত বিন্দুর যেকোন জটিল নড়াচড়াকে স্থানাঙ্ক অক্ষ বরাবর স্বাধীন নড়াচড়ার একটি সুপারপজিশন হিসেবে উপস্থাপিত করা যেতে পারে এবং বিভিন্ন অক্ষের দিকে গতিবিধির ধরন ভিন্ন হতে পারে। আমাদের ক্ষেত্রে, একটি উড়ন্ত দেহের গতিকে দুটি স্বাধীন গতির সুপারপজিশন হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে: অনুভূমিক অক্ষ (X-অক্ষ) বরাবর অভিন্ন গতি এবং উল্লম্ব অক্ষ (Y-অক্ষ) বরাবর অভিন্ন ত্বরিত গতি (চিত্র 1) .

শরীরের বেগ অনুমান তাই সময়ের সাথে নিম্নরূপ পরিবর্তিত হয়:

,

প্রাথমিক গতি কোথায়, α হল নিক্ষেপ কোণ।

শরীরের স্থানাঙ্কগুলি এইভাবে পরিবর্তিত হয়:

স্থানাঙ্কের উত্স আমাদের পছন্দের সাথে, প্রাথমিক স্থানাঙ্ক (চিত্র 1) তারপর

দ্বিতীয় সময়ের মান যেখানে উচ্চতা শূন্য হয় শূন্য, যা নিক্ষেপের মুহুর্তের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ এই মান একটি শারীরিক অর্থ আছে.

আমরা প্রথম সূত্র (1) থেকে ফ্লাইট পরিসীমা প্রাপ্ত করি। ফ্লাইট পরিসীমা হল স্থানাঙ্ক মান এক্সফ্লাইট শেষে, অর্থাৎ সমান সময়ে টি 0. প্রথম সূত্রে (1) মান (2) প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

.

(3)

এই সূত্র থেকে এটি দেখা যায় যে 45 ডিগ্রির একটি নিক্ষেপ কোণে সর্বশ্রেষ্ঠ ফ্লাইট পরিসীমা অর্জন করা হয়।

নিক্ষিপ্ত শরীরের সর্বোচ্চ উত্তোলন উচ্চতা দ্বিতীয় সূত্র (1) থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, আপনাকে এই সূত্রে অর্ধেক ফ্লাইট সময়ের (2) সমান সময়ের মান প্রতিস্থাপন করতে হবে, কারণ এটি ট্রাজেক্টোরির মধ্যবিন্দুতে যে ফ্লাইটের উচ্চতা সর্বাধিক। গণনা আউট বহন, আমরা পেতে

এটি FEFU-তে স্কুলছাত্রীদের জন্য কম্পিউটার বিজ্ঞানের মাস্টার ক্লাসের জন্য একটি সৃজনশীল কাজ।
কাজের উদ্দেশ্য হল বায়ু প্রতিরোধের বিবেচনায় নেওয়া হলে শরীরের গতিপথ কীভাবে পরিবর্তিত হবে তা খুঁজে বের করা। যদি বায়ু প্রতিরোধকে বিবেচনায় নেওয়া হয় তবে ফ্লাইটের দূরত্ব এখনও 45° কোণে তার সর্বোচ্চ মান পৌঁছাবে কিনা সেই প্রশ্নের উত্তর দেওয়াও প্রয়োজন।

"বিশ্লেষণমূলক গবেষণা" বিভাগটি তত্ত্বের রূপরেখা দেয়। এই বিভাগটি এড়ানো যেতে পারে, তবে এটি আপনার কাছে বেশিরভাগই পরিষ্কার হওয়া উচিত কারণ... ওএর বেশিরভাগই আপনি স্কুলে শিখেছেন।
"সংখ্যাসূচক অধ্যয়ন" বিভাগে অ্যালগরিদমের একটি বিবরণ রয়েছে যা একটি কম্পিউটারে প্রয়োগ করা আবশ্যক৷ অ্যালগরিদমটি সহজ এবং সংক্ষিপ্ত, তাই প্রত্যেকেরই এটি করতে সক্ষম হওয়া উচিত।

বিশ্লেষণাত্মক গবেষণা

চিত্রে দেখানো হিসাবে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা চালু করা যাক। সময়ের প্রাথমিক মুহুর্তে ভর সহ একটি শরীর মিউৎপত্তিস্থলে অবস্থিত। মুক্ত পতনের ত্বরণ ভেক্টর উল্লম্বভাবে নীচের দিকে পরিচালিত হয় এবং এর স্থানাঙ্ক রয়েছে (0, - g).
- প্রাথমিক বেগ ভেক্টর। আসুন এই ভেক্টরটিকে এর ভিত্তিতে প্রসারিত করি: . এখানে, বেগ ভেক্টরের মাত্রা কোথায়, নিক্ষেপ কোণ।

আসুন নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রটি লিখি:।
সময়ের প্রতিটি মুহুর্তে ত্বরণ হল গতির পরিবর্তনের (তাত্ক্ষণিক) হার, অর্থাৎ সময়ের সাপেক্ষে গতির ডেরিভেটিভ:।

অতএব, নিউটনের ২য় সূত্রটি নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা যেতে পারে:
, যেখানে সমস্ত শক্তি শরীরের উপর অভিনয়ের ফলাফল.
যেহেতু মাধ্যাকর্ষণ শক্তি এবং বায়ু প্রতিরোধের শক্তি শরীরের উপর কাজ করে, তাহলে
.

আমরা তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করব:
1) বায়ু প্রতিরোধের শক্তি হল 0: .
2) বায়ু প্রতিরোধী শক্তি বেগ ভেক্টরের সাথে বিপরীতভাবে পরিচালিত হয় এবং এর মাত্রা গতির সমানুপাতিক: .
3) বায়ু প্রতিরোধী শক্তি বেগ ভেক্টরের সাথে বিপরীতভাবে পরিচালিত হয় এবং এর মাত্রা বেগের বর্গক্ষেত্রের সমানুপাতিক: .

প্রথমে ১ম ঘটনাটি বিবেচনা করা যাক।
এক্ষেত্রে , বা


এটা যে অনুসরণ করে (অভিন্নভাবে ত্বরিত গতি)।
কারণ ( r- ব্যাসার্ধ ভেক্টর), তারপর .
এখান থেকে .
এই সূত্রটি অভিন্নভাবে ত্বরিত গতির সময় একটি শরীরের গতির নিয়মের জন্য পরিচিত সূত্র ছাড়া আর কিছুই নয়।
তখন থেকে .
উভয় বিবেচনায় , আমরা শেষ ভেক্টর সমতা থেকে স্কেলার সমতা পাই:

আসুন ফলাফলের সূত্রগুলো বিশ্লেষণ করি।
চল খুঁজি ফ্লাইট সময়মৃতদেহ সমীকরণ yশূন্য, আমরা পেতে

ফ্লাইটের পরিসরস্থানাঙ্ক মানের সমান এক্সসময়ে একটি সময়ে t 0:

এই সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে সর্বোচ্চ ফ্লাইট পরিসীমা এ অর্জন করা হয়।
এবার খোঁজ নেওয়া যাক শরীরের ট্র্যাক্টর সমীকরণ. এটি করতে, আমাদের প্রকাশ করা যাক tমাধ্যম এক্স

এবং এর ফলে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিটিকে প্রতিস্থাপন করা যাক tজন্য সমতা মধ্যে y.

ফলাফল ফাংশন y(এক্স) একটি দ্বিঘাত ফাংশন, এর গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা, যার শাখাগুলি নীচের দিকে পরিচালিত হয়।
দিগন্তের একটি কোণে নিক্ষিপ্ত একটি দেহের গতিবিধি (একাউন্টে বায়ু প্রতিরোধের বিবেচনা না করে) এই ভিডিওতে বর্ণনা করা হয়েছে।

এখন দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন: .

দ্বিতীয় আইন রূপ নেয় ,
এখান থেকে .
আসুন আমরা এই সমতাটিকে স্কেলার আকারে লিখি:

আমরা পেয়েছি দুটি লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ.
প্রথম সমীকরণের একটি সমাধান আছে

এই ফাংশনটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে এটি যাচাই করা যেতে পারে v xএবং প্রাথমিক অবস্থায় .
এখানে e = 2.718281828459... হল অয়লারের সংখ্যা।
দ্বিতীয় সমীকরণের একটি সমাধান আছে

কারণ , , তারপর বায়ু প্রতিরোধের উপস্থিতিতে শরীরের আন্দোলন অভিন্ন হতে থাকে, কেস 1 এর বিপরীতে, যখন গতি সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়।
নিচের ভিডিওটি বলছে যে স্কাইডাইভার প্রথমে ত্বরিত গতিতে চলে, এবং তারপর সমানভাবে চলতে শুরু করে (এমনকি প্যারাসুট খোলার আগেই)।

এর জন্য অভিব্যক্তি খুঁজে এক্সএবং y.
কারণ এক্স(0) = 0, y(0) = 0, তারপর

এটা আমাদের কেস 3 বিবেচনা করার জন্য অবশেষ, কখন .
নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের রূপ আছে
, বা .
স্কেলার আকারে, এই সমীকরণটি এরকম দেখাচ্ছে:

এই অরৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেম. এই সিস্টেমটি স্পষ্টভাবে সমাধান করা যায় না, তাই এটি সংখ্যাসূচক সিমুলেশন ব্যবহার করা প্রয়োজন।

সংখ্যাগত অধ্যয়ন

পূর্ববর্তী বিভাগে আমরা দেখেছি যে প্রথম দুটি ক্ষেত্রে একটি শরীরের গতির নিয়মটি স্পষ্ট আকারে পাওয়া যেতে পারে। তবে তৃতীয় ক্ষেত্রে সংখ্যাগতভাবে সমস্যা সমাধান করা প্রয়োজন। সংখ্যাগত পদ্ধতি ব্যবহার করে আমরা শুধুমাত্র একটি আনুমানিক সমাধান পেতে পারি, কিন্তু আমরা একটি ছোট নির্ভুলতার সাথে বেশ সন্তুষ্ট হব। (যাইহোক, সংখ্যা π বা 2 এর বর্গমূল, একেবারে নিখুঁতভাবে লেখা যাবে না, তাই গণনা করার সময়, তারা একটি সসীম সংখ্যা গ্রহণ করে এবং এটি যথেষ্ট।)

আমরা দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বিবেচনা করব, যখন বায়ু প্রতিরোধের শক্তি সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয় . উল্লেখ্য যে যখন k= 0 আমরা প্রথম কেস পাই।

শরীরের গতি নিম্নলিখিত সমীকরণ মেনে চলে:

ত্বরণ উপাদানগুলি এই সমীকরণগুলির বাম দিকে লেখা হয় .
মনে রাখবেন যে ত্বরণ হল বেগের পরিবর্তনের (তাত্ক্ষণিক) হার, অর্থাৎ সময়ের সাপেক্ষে বেগের ডেরিভেটিভ।
সমীকরণের ডানদিকে বেগের উপাদান রয়েছে। সুতরাং, এই সমীকরণগুলি দেখায় যে বেগের পরিবর্তনের হার কীভাবে গতির সাথে সম্পর্কিত।

আসুন সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করে এই সমীকরণগুলির সমাধান খুঁজে বের করার চেষ্টা করি। এটি করার জন্য, আমরা সময় অক্ষে পরিচয় করিয়ে দিই জাল: আসুন একটি সংখ্যা নির্বাচন করি এবং ফর্মের সময়ের মুহূর্তগুলি বিবেচনা করি: .

আমাদের টাস্ক হল আনুমানিক মান গণনা করা গ্রিড নোড এ.

আসুন সমীকরণে ত্বরণ প্রতিস্থাপন করি ( তাত্ক্ষণিক গতিগতি পরিবর্তন) দ্বারা গড় গতিসময়ের সাথে সাথে শরীরের গতিবিধি বিবেচনা করে গতির পরিবর্তন:

এখন আমাদের সমীকরণে প্রাপ্ত অনুমানগুলি প্রতিস্থাপন করা যাক।

ফলস্বরূপ সূত্রগুলি আমাদের ফাংশনগুলির মান গণনা করতে দেয় পরবর্তী গ্রিড নোডে, যদি পূর্ববর্তী গ্রিড নোডে এই ফাংশনগুলির মানগুলি পরিচিত হয়।

বর্ণিত পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা বেগের উপাদানগুলির আনুমানিক মানগুলির একটি টেবিল পেতে পারি।

কিভাবে শরীরের গতির আইন খুঁজে বের করতে হয়, যেমন আনুমানিক স্থানাঙ্ক মানের টেবিল এক্স(t), y(t)? অনুরূপভাবে!
আমাদের আছে

vx[j] এর মান ফাংশনের মানের সমান, এবং অন্যান্য অ্যারের জন্যও একই।
এখন যা বাকি আছে তা হল একটি লুপ লিখতে, যার ভিতরে আমরা ইতিমধ্যেই গণনা করা মান vx[j] এর মাধ্যমে vx গণনা করব এবং বাকি অ্যারেগুলির সাথে একই। চক্রটি হবে j 1 থেকে এন.
সূত্র অনুযায়ী প্রাথমিক মান vx, vy, x, y শুরু করতে ভুলবেন না, এক্স 0 = 0, y 0 = 0.

Pascal এবং C-তে সাইন এবং কোসাইন গণনার জন্য sin(x) এবং cos(x) ফাংশন রয়েছে। মনে রাখবেন যে এই ফাংশনগুলি রেডিয়ানে একটি আর্গুমেন্ট নেয়।

আপনি সময় শরীরের আন্দোলন একটি গ্রাফ নির্মাণ করতে হবে k= 0 এবং k> 0 এবং ফলাফল গ্রাফ তুলনা. এক্সেলে গ্রাফ তৈরি করা যায়।
মনে রাখবেন যে গণনার সূত্রগুলি এত সহজ যে আপনি গণনার জন্য শুধুমাত্র এক্সেল ব্যবহার করতে পারেন এবং এমনকি একটি প্রোগ্রামিং ভাষাও ব্যবহার করতে পারবেন না।
যাইহোক, ভবিষ্যতে আপনাকে CATS-এ একটি সমস্যা সমাধান করতে হবে, যেখানে আপনাকে একটি শরীরের ফ্লাইটের সময় এবং পরিসীমা গণনা করতে হবে, যেখানে আপনি একটি প্রোগ্রামিং ভাষা ছাড়া করতে পারবেন না।

দয়া করে নোট করুন যে আপনি পারেন পরীক্ষাআপনার প্রোগ্রাম এবং গণনার ফলাফল তুলনা করে আপনার গ্রাফ পরীক্ষা করুন যখন k= 0 "বিশ্লেষণমূলক অধ্যয়ন" বিভাগে দেওয়া সঠিক সূত্র সহ।

আপনার প্রোগ্রাম সঙ্গে পরীক্ষা. নিশ্চিত করুন যে যদি বায়ু প্রতিরোধ না থাকে ( k= 0) একটি নির্দিষ্ট প্রাথমিক গতিতে সর্বোচ্চ ফ্লাইট পরিসীমা 45° কোণে অর্জিত হয়।
বায়ু প্রতিরোধের সম্পর্কে কি? সর্বোচ্চ ফ্লাইট পরিসীমা কোন কোণে অর্জিত হয়?

চিত্রে শরীরের গতিপথ দেখায় v 0 = 10 m/s, α = 45°, g= 9.8 m/s 2, মি= 1 কেজি, k= 0 এবং 1 Δ এ সংখ্যাসূচক সিমুলেশন দ্বারা প্রাপ্ত t = 0,01.

2011 সালে "স্টার্ট ইন সায়েন্স" কনফারেন্সে উপস্থাপিত ট্রয়েটস্কের 10 তম গ্রেডের বিস্ময়কর কাজের সাথে আপনি নিজেকে পরিচিত করতে পারেন। কাজটি দিগন্তের কোণে নিক্ষিপ্ত একটি টেনিস বলের নড়াচড়ার মডেলিংয়ের জন্য উত্সর্গীকৃত (হাওয়াকে বিবেচনায় নিয়ে) প্রতিরোধ)। সংখ্যাসূচক মডেলিং এবং পূর্ণ-স্কেল পরীক্ষা উভয়ই ব্যবহৃত হয়।

সুতরাং, এই সৃজনশীল কাজটি আপনাকে গাণিতিক এবং সংখ্যাসূচক মডেলিংয়ের পদ্ধতিগুলির সাথে পরিচিত হতে দেয়, যা অনুশীলনে সক্রিয়ভাবে ব্যবহৃত হয় তবে স্কুলে খুব কম অধ্যয়ন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, এই পদ্ধতিগুলি 20 শতকের মাঝামাঝি ইউএসএসআর-এ পারমাণবিক এবং মহাকাশ প্রকল্প বাস্তবায়নে ব্যবহৃত হয়েছিল।