সম্ভাব্যতা গ্রহণ. সম্ভাব্যতা তত্ত্ব. একটি ঘটনার সম্ভাবনা, এলোমেলো ঘটনা (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব)। সম্ভাব্যতা তত্ত্বে স্বাধীন এবং বেমানান ঘটনা। শাস্ত্রীয় সম্ভাব্যতার উপর সমস্যার সমাধানের উদাহরণ

তারপর আমরা বলি যে র্যান্ডম পরিবর্তনশীল ξ ইহা ছিল সম্ভাব্যতা বন্টন ঘনত্ব f(x).

সংজ্ঞা।দিন . একটি ক্রমাগত বন্টন ফাংশন জন্য চ তাত্ত্বিক α-পরিমাণসমীকরণের সমাধান বলা হয়।

এই সমাধান একমাত্র নাও হতে পারে।

লেভেল কোয়ান্টাইল ½ তাত্ত্বিক বলা হয় মধ্যমা , লেভেল কোয়ান্টাইল ¼ এবং ¾ -নিম্ন এবং উপরের চতুর্থাংশ যথাক্রমে

অ্যাকচুয়ারিয়াল অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে, একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করা হয় চেবিশেভের অসমতা:

কোন জন্য

গাণিতিক প্রত্যাশা প্রতীক।

এটি এই মত পড়া হয়:সম্ভাব্যতা যে মডুলাস দ্বারা ভাগ করা মডুলাসের প্রত্যাশার চেয়ে কম বা সমান।

একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হিসাবে জীবনকাল

মৃত্যুর মুহূর্তের অনিশ্চয়তা জীবন বীমার একটি বড় ঝুঁকির কারণ।

একজন ব্যক্তির মৃত্যুর মুহূর্ত সম্পর্কে নির্দিষ্ট কিছু বলা যায় না। যাইহোক, যদি আমরা মানুষের একটি বৃহৎ সমজাতীয় গোষ্ঠীর সাথে কাজ করি এবং এই গোষ্ঠীর পৃথক ব্যক্তিদের ভাগ্যের বিষয়ে আগ্রহী না হই, তবে আমরা ফ্রিকোয়েন্সি স্থিতিশীলতার বৈশিষ্ট্য সহ ভর র্যান্ডম ঘটনাগুলির একটি বিজ্ঞান হিসাবে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে আছি।

যথাক্রমে, আমরা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল T হিসাবে আয়ু সম্পর্কে কথা বলতে পারি।

বেঁচে থাকার ফাংশন

সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, তারা যেকোনো র্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্টোকাস্টিক প্রকৃতি বর্ণনা করে টিবিতরণ ফাংশন F(x),যা সম্ভাব্যতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে র্যান্ডম পরিবর্তনশীল টিসংখ্যার চেয়ে কম এক্স:

.

অ্যাকচুয়ারিয়াল গণিতে, বিতরণ ফাংশনের সাথে নয়, অতিরিক্ত বিতরণ ফাংশনের সাথে কাজ করা আনন্দদায়ক . দীর্ঘায়ুর পরিপ্রেক্ষিতে, একজন ব্যক্তির বয়স পর্যন্ত বেঁচে থাকার সম্ভাবনা এক্সবছর

ডাকা বেঁচে থাকার ফাংশন(বেঁচে থাকার ফাংশন):

বেঁচে থাকার ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

জীবন সারণিতে, এটা সাধারণত কিছু আছে যে অনুমান করা হয় বয়স সীমা (সীমিত বয়স) (একটি নিয়ম হিসাবে, বছর) এবং সেই অনুযায়ী, এ x>।

বিশ্লেষণাত্মক আইন দ্বারা মৃত্যুহার বর্ণনা করার সময়, সাধারণত ধরে নেওয়া হয় যে জীবনকাল সীমাহীন, তবে, আইনের ধরন এবং পরামিতিগুলি নির্বাচন করা হয় যাতে একটি নির্দিষ্ট বয়সের বেশি জীবনের সম্ভাবনা নগণ্য হয়।

বেঁচে থাকার ফাংশনের একটি সাধারণ পরিসংখ্যানগত অর্থ রয়েছে।

ধরা যাক যে আমরা একদল নবজাতকের (সাধারণত) পর্যবেক্ষণ করছি যাদের আমরা পর্যবেক্ষণ করি এবং তাদের মৃত্যুর মুহূর্ত রেকর্ড করতে পারি।

এর মাধ্যমে বয়সে এই গোষ্ঠীর জীবিত প্রতিনিধিদের সংখ্যা নির্দেশ করা যাক। তারপর:

.

প্রতীক ইএখানে এবং নীচে গাণিতিক প্রত্যাশা বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।

সুতরাং, বেঁচে থাকার ফাংশন একটি নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট গোষ্ঠীর নবজাতক থেকে বয়স পর্যন্ত বেঁচে থাকাদের গড় অনুপাতের সমান।

অ্যাকচুয়ারিয়াল গণিতে, কেউ প্রায়শই বেঁচে থাকার ফাংশন দিয়ে কাজ করে না, তবে একটি মান দিয়ে কাজ করে যা এইমাত্র চালু করা হয়েছে (প্রাথমিক গোষ্ঠীর আকার ঠিক করে)।

বেঁচে থাকার ফাংশন ঘনত্ব থেকে পুনর্গঠন করা যেতে পারে:

জীবনকালের বৈশিষ্ট্য

ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে, নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি গুরুত্বপূর্ণ:

1 . গড়জীবনকাল

,
2 . বিচ্ছুরণজীবনকাল

,
কোথায়
,

গণিতের (mathege.ru) সমস্যার উন্মুক্ত ব্যাঙ্কে আজ পর্যন্ত উপস্থাপন করা হয়েছে, যার সমাধান শুধুমাত্র একটি সূত্রের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে, যা সম্ভাব্যতার একটি শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা।

সূত্রটি বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায় হল উদাহরণ দিয়ে।
উদাহরণ 1ঝুড়িতে 9টি লাল বল এবং 3টি নীল বল রয়েছে। বল শুধুমাত্র রঙের মধ্যে পার্থক্য. এলোমেলোভাবে (না দেখে) আমরা তাদের মধ্যে একটি পাই। এইভাবে বেছে নেওয়া বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

মন্তব্য করুন।সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সমস্যায়, এমন কিছু ঘটে (এই ক্ষেত্রে, বল টানার আমাদের ক্রিয়া) যার একটি ভিন্ন ফলাফল হতে পারে - একটি ফলাফল। এটি লক্ষ করা উচিত যে ফলাফলটি বিভিন্ন উপায়ে দেখা যেতে পারে। "আমরা একটি বল টানা" এছাড়াও একটি ফলাফল. "আমরা নীল বল টানা" ফলাফল. "আমরা এই নির্দিষ্ট বলটিকে সম্ভাব্য সমস্ত বল থেকে আঁকিয়েছি" - ফলাফলের এই ন্যূনতম সাধারণীকৃত দৃশ্যটিকে প্রাথমিক ফলাফল বলা হয়। এটি হল প্রাথমিক ফলাফল যা সম্ভাব্যতা গণনার সূত্রে বোঝানো হয়।

সমাধান।এখন আমরা একটি নীল বল বেছে নেওয়ার সম্ভাব্যতা গণনা করি।
ইভেন্ট A: "নির্বাচিত বলটি নীল হয়ে গেছে"
সম্ভাব্য সকল ফলাফলের মোট সংখ্যা: 9+3=12 (আমরা যতগুলো বল আঁকতে পারি তার সংখ্যা)
ইভেন্ট A-এর জন্য অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা: 3 (এ ধরনের ফলাফলের সংখ্যা যেখানে ঘটনা A ঘটেছে - অর্থাৎ নীল বলের সংখ্যা)
P(A)=3/12=1/4=0.25
উত্তর: 0.25

আসুন আমরা একই সমস্যার জন্য একটি লাল বল বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা গণনা করি।
সম্ভাব্য ফলাফলের মোট সংখ্যা একই থাকবে, 12. অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা: 9. কাঙ্ক্ষিত সম্ভাব্যতা: 9/12=3/4=0.75

যেকোনো ঘটনার সম্ভাবনা সবসময় 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
কখনও কখনও দৈনন্দিন বক্তৃতায় (কিন্তু সম্ভাব্যতা তত্ত্বে নয়!) ঘটনাগুলির সম্ভাবনা শতাংশ হিসাবে অনুমান করা হয়। গাণিতিক এবং কথোপকথন মূল্যায়নের মধ্যে রূপান্তরটি 100% দ্বারা গুণ (বা ভাগ) দ্বারা সম্পন্ন হয়।
তাই,
এই ক্ষেত্রে, সম্ভাব্যতা শূন্য যে ঘটনা ঘটতে পারে না - অসম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের উদাহরণে, এটি ঝুড়ি থেকে একটি সবুজ বল আঁকার সম্ভাবনা হবে। (সুত্র অনুযায়ী গণনা করলে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা 0, P(A)=0/12=0)
সম্ভাব্যতা 1-এ এমন ঘটনা রয়েছে যা অবশ্যই ঘটবে, বিকল্প ছাড়াই। উদাহরণস্বরূপ, "নির্বাচিত বলটি হয় লাল বা নীল" হওয়ার সম্ভাবনা আমাদের সমস্যার জন্য। (অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা: 12, P(A)=12/12=1)

আমরা একটি ক্লাসিক উদাহরণ দেখেছি যা সম্ভাব্যতার সংজ্ঞাকে ব্যাখ্যা করে। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সমস্ত অনুরূপ USE সমস্যা এই সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়।
লাল এবং নীল বলের পরিবর্তে, আপেল এবং নাশপাতি, ছেলে এবং মেয়ে, শেখা এবং অশিক্ষিত টিকিট, একটি বিষয়ের উপর একটি প্রশ্ন ধারণ করা এবং না থাকা টিকিট (প্রোটোটাইপ , ), ত্রুটিপূর্ণ এবং উচ্চ মানের ব্যাগ বা বাগানের পাম্প (প্রোটোটাইপ , ) - নীতি একই থাকে।

ইউএসই সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সমস্যা তৈরিতে এগুলি কিছুটা আলাদা, যেখানে আপনাকে একটি নির্দিষ্ট দিনে ঘটতে পারে এমন একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা গণনা করতে হবে। ( , ) আগের কাজগুলির মতো, আপনাকে প্রাথমিক ফলাফল কী তা নির্ধারণ করতে হবে এবং তারপরে একই সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।

উদাহরণ 2সম্মেলন চলবে তিন দিন। প্রথম এবং দ্বিতীয় দিনে, 15 জন করে বক্তা, তৃতীয় দিনে - 20। লটারির মাধ্যমে রিপোর্টের ক্রম নির্ধারণ করা হলে তৃতীয় দিনে অধ্যাপক এম. এর রিপোর্ট পড়ার সম্ভাবনা কত?

এখানে প্রাথমিক ফলাফল কি? - একটি বক্তৃতার জন্য সমস্ত সম্ভাব্য সিরিয়াল নম্বরগুলির একটিতে একজন অধ্যাপকের প্রতিবেদন বরাদ্দ করা। 15+15+20=50 জন ড্রতে অংশগ্রহণ করে। সুতরাং, প্রফেসর এম এর রিপোর্ট 50 সংখ্যার একটি পেতে পারে. এর মানে হল যে শুধুমাত্র 50টি প্রাথমিক ফলাফল রয়েছে।
অনুকূল ফলাফল কি? - যেগুলোতে দেখা যাচ্ছে প্রফেসর তৃতীয় দিনে কথা বলবেন। অর্থাৎ শেষ 20টি সংখ্যা।
সূত্র অনুসারে, সম্ভাব্যতা P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
উত্তর: 0.4

এখানে লটের অঙ্কন হল মানুষ এবং আদেশকৃত স্থানগুলির মধ্যে একটি এলোমেলো চিঠিপত্রের প্রতিষ্ঠা। উদাহরণ 2-এ, একটি নির্দিষ্ট ব্যক্তি কোন স্থান নিতে পারে তার পরিপ্রেক্ষিতে মিল বিবেচনা করা হয়েছিল। আপনি অন্য দিক থেকে একই পরিস্থিতির সাথে যোগাযোগ করতে পারেন: কোন ব্যক্তি কোন সম্ভাব্যতার সাথে একটি নির্দিষ্ট জায়গায় যেতে পারে (প্রোটোটাইপ , , , ):

উদাহরণ 3ড্রতে 5 জার্মান, 8 ফরাসি এবং 3 এস্তোনিয়ান অংশগ্রহণ করে। প্রথম (/সেকেন্ড/সপ্তম/শেষ - এটা কোন ব্যাপার না) একজন ফরাসি হওয়ার সম্ভাবনা কত।

প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা হল সম্ভাব্য সমস্ত লোকের সংখ্যা যারা লটের মাধ্যমে একটি নির্দিষ্ট স্থানে যেতে পারে। 5+8+3=16 জন।
অনুকূল ফলাফল - ফরাসি. 8 জন।
কাঙ্ক্ষিত সম্ভাবনা: 8/16=1/2=0.5
উত্তর: 0.5

প্রোটোটাইপ কিছুটা ভিন্ন। কয়েন () এবং ডাইস () সম্পর্কে কাজ রয়েছে যা কিছুটা সৃজনশীল। এই সমস্যার সমাধান প্রোটোটাইপ পৃষ্ঠাগুলিতে পাওয়া যাবে।

এখানে কয়েন টসিং বা ডাইস টসিংয়ের কিছু উদাহরণ রয়েছে।

উদাহরণ 4আমরা যখন একটি মুদ্রা টস করি, তখন লেজ পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
ফলাফল 2 - মাথা বা লেজ। (এটা বিশ্বাস করা হয় যে মুদ্রা কখনই ধারে পড়ে না) অনুকূল ফলাফল - লেজ, 1.
সম্ভাবনা 1/2=0.5
উত্তর: 0.5।

উদাহরণ 5যদি আমরা একটি মুদ্রা দুবার উল্টাতে পারি? এটা উভয় সময় মাথা আপ আসবে সম্ভাবনা কি?
দুটি কয়েন টস করার সময় আমরা কোন প্রাথমিক ফলাফল বিবেচনা করব তা নির্ধারণ করা প্রধান জিনিস। দুটি কয়েন টস করার পরে, নিম্নলিখিত ফলাফলগুলির মধ্যে একটি ঘটতে পারে:
1) পিপি - উভয় সময় এটি লেজ পর্যন্ত এসেছিল
2) PO - প্রথমবার লেজ, দ্বিতীয়বার মাথা
3) OP - প্রথমবার মাথা, দ্বিতীয়বার লেজ
4) OO - উভয় সময় মাথা আপ
অন্য কোন বিকল্প নেই. এর মানে হল 4টি প্রাথমিক ফলাফল। শুধুমাত্র প্রথমটি অনুকূল, 1.
সম্ভাবনা: 1/4=0.25
উত্তর: 0.25

একটি মুদ্রার দুটি ছোঁড়া লেজের উপর অবতরণ করার সম্ভাবনা কত?
প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা একই, 4. অনুকূল ফলাফল হল দ্বিতীয় এবং তৃতীয়, 2.
একটি লেজ পাওয়ার সম্ভাবনা: 2/4=0.5

এই ধরনের সমস্যায়, আরেকটি সূত্র কাজে আসতে পারে।
যদি একটি মুদ্রার একটি টসে আমাদের 2টি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে, তবে দুটি টসের ফলাফলের জন্য 2 2=2 2 =4 (যেমন 5 উদাহরণ হিসাবে), তিনটি টসের জন্য 2 2 2 = 2 3 =8, চারটির জন্য হবে : 2·2·2·2=2 4 =16, … সম্ভাব্য ফলাফলের N নিক্ষেপের জন্য 2·2·...·2=2 N হবে।

সুতরাং, আপনি 5টি কয়েন টসের মধ্যে 5টি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে পেতে পারেন।
প্রাথমিক ফলাফলের মোট সংখ্যা: 2 5 =32।
অনুকূল ফলাফল: 1. (RRRRRR - সব 5 বার লেজ)
সম্ভাবনা: 1/32=0.03125

একই পাশা জন্য সত্য. একটি নিক্ষেপে, 6টি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে। সুতরাং, দুটি নিক্ষেপের জন্য: 6 6=36, তিনটির জন্য 6 6 6=216, ইত্যাদি।

উদাহরণ 6আমরা একটি পাশা নিক্ষেপ. জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

মোট ফলাফল: 6, মুখের সংখ্যা অনুযায়ী।
অনুকূল: 3টি ফলাফল। (2, 4, 6)
সম্ভাবনা: 3/6=0.5

উদাহরণ 7দুটি পাশা নিক্ষেপ. মোট রোলস 10 হওয়ার সম্ভাবনা কত? (বৃত্তাকার থেকে শততম)

একজনের মৃত্যুর জন্য 6টি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে। সুতরাং, দুইজনের জন্য, উপরের নিয়ম অনুসারে, 6·6=36।
মোট 10 জনের জন্য কোন ফলাফল অনুকূল হবে?
10 কে 1 থেকে 6 পর্যন্ত দুটি সংখ্যার যোগফলের মধ্যে পচতে হবে। এটি দুটি উপায়ে করা যেতে পারে: 10=6+4 এবং 10=5+5। সুতরাং, কিউবগুলির জন্য, বিকল্পগুলি সম্ভব:
(প্রথমটিতে 6 এবং দ্বিতীয়টিতে 4টি)
(প্রথমটিতে 4টি এবং দ্বিতীয়টিতে 6টি)
(প্রথমটিতে 5 এবং দ্বিতীয়টিতে 5)
মোট, 3টি বিকল্প। কাঙ্ক্ষিত সম্ভাবনা: 3/36=1/12=0.08
উত্তর: 0.08

অন্যান্য ধরণের B6 সমস্যাগুলি নিম্নলিখিত "কীভাবে সমাধান করবেন" নিবন্ধগুলির মধ্যে একটিতে আলোচনা করা হবে।

সম্ভাবনা 0 থেকে 1 পর্যন্ত একটি সংখ্যা যা একটি এলোমেলো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে প্রতিফলিত করে, যেখানে 0 হল ঘটনার সংঘটনের সম্ভাবনার সম্পূর্ণ অনুপস্থিতি, এবং 1 এর মানে হল যে ঘটনাটি অবশ্যই ঘটবে।

একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা E এবং 1 এর মধ্যে একটি সংখ্যা।
পারস্পরিক একচেটিয়া ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতার যোগফল হল 1।

অভিজ্ঞতামূলক সম্ভাবনা- সম্ভাব্যতা, যা অতীতে ইভেন্টের আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি হিসাবে গণনা করা হয়, ঐতিহাসিক তথ্য বিশ্লেষণ থেকে বের করা হয়।

খুব বিরল ঘটনার সম্ভাবনাকে অভিজ্ঞতামূলকভাবে গণনা করা যায় না।

বিষয়গত সম্ভাবনা- ঐতিহাসিক তথ্য নির্বিশেষে ইভেন্টের ব্যক্তিগত বিষয়গত মূল্যায়নের উপর ভিত্তি করে সম্ভাব্যতা। বিনিয়োগকারীরা যারা স্টক কেনা এবং বিক্রি করার সিদ্ধান্ত নেয় তারা প্রায়ই বিষয়গত সম্ভাবনার ভিত্তিতে কাজ করে।

পূর্ব সম্ভাবনা -

সম্ভাবনা 1 এর মধ্যে… (বিজোড়) যে একটি ঘটনা সম্ভাব্যতার ধারণার মাধ্যমে ঘটবে। একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা নিম্নরূপ সম্ভাব্যতার পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়: P/(1-P)।

উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা 0.5 হয়, তাহলে একটি ঘটনার সম্ভাবনা 2 এর মধ্যে 1টি, যেহেতু 0.5/(1-0.5)।

ঘটনাটি ঘটবে না এমন সম্ভাবনা সূত্র (1-P)/P দ্বারা গণনা করা হয়

অসামঞ্জস্যপূর্ণ সম্ভাবনা- উদাহরণস্বরূপ, কোম্পানি A-এর শেয়ারের দামে, সম্ভাব্য ইভেন্টের 85% E বিবেচনায় নেওয়া হয় এবং B কোম্পানির শেয়ারের দামে, শুধুমাত্র 50%। একে অমিল সম্ভাব্যতা বলে। ডাচ বেটিং থিওরেম অনুসারে, অমিল সম্ভাব্যতা লাভের সুযোগ তৈরি করে।

শর্তহীন সম্ভাবনাপ্রশ্নটির উত্তর হল "ঘটনার সম্ভাবনা কত?"

শর্তাধীন সম্ভাবনাপ্রশ্নের উত্তর হল: "ঘটনা B ঘটলে ঘটনা A এর সম্ভাবনা কত।" শর্তাধীন সম্ভাব্যতা P(A|B) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

যৌথ সম্ভাবনাঘটনা A এবং B একই সময়ে ঘটবে এমন সম্ভাবনা। P(AB) হিসাবে মনোনীত।

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

সম্ভাব্যতা সমষ্টি নিয়ম:

ইভেন্ট A বা ইভেন্ট B ঘটবে এমন সম্ভাবনা

P(A বা B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

যদি ঘটনা A এবং B পারস্পরিক একচেটিয়া হয়, তাহলে

P(A বা B) = P(A) + P(B)

স্বাধীন ঘটনা- ঘটনা A এবং B যদি স্বাধীন হয়

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

অর্থাৎ, এটি ফলাফলের একটি ক্রম যেখানে সম্ভাব্যতার মান এক ইভেন্ট থেকে পরবর্তীতে স্থির থাকে।
একটি মুদ্রা টস এই ধরনের একটি ইভেন্টের একটি উদাহরণ - প্রতিটি পরবর্তী টসের ফলাফল আগেরটির ফলাফলের উপর নির্ভর করে না।

নির্ভরশীল ঘটনাএগুলি এমন ঘটনা যেখানে একটি ঘটার সম্ভাবনা অন্যটি ঘটার সম্ভাবনার উপর নির্ভর করে।

স্বাধীন ইভেন্টের সম্ভাবনা গুন করার নিয়ম:
ঘটনা A এবং B যদি স্বাধীন হয়, তাহলে

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

মোট সম্ভাব্যতা নিয়ম:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S এবং S" পারস্পরিক একচেটিয়া ঘটনা

প্রত্যাশিত মানর‍্যান্ডম ভেরিয়েবল হল র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য ফলাফলের গড়। ইভেন্ট X এর জন্য, প্রত্যাশাকে E(X) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

ধরুন আমাদের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনার সাথে পারস্পরিক একচেটিয়া ইভেন্টের 5টি মান আছে (উদাহরণস্বরূপ, কোম্পানির আয়ের পরিমাণ অমুক এবং এইরকম একটি সম্ভাবনার পরিমাণ)। প্রত্যাশা হল সম্ভাব্যতা দ্বারা গুণিত সমস্ত ফলাফলের সমষ্টি:

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ হল প্রত্যাশিত মান থেকে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বর্গ বিচ্যুতির প্রত্যাশিত মান:

s 2 = E( 2 ) (6)

শর্তাধীন প্রত্যাশিত মান - একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর প্রত্যাশা, যদি ইভেন্ট S ইতিমধ্যেই ঘটেছে।

ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে, ঘটনা সম্ভাবনাসেই সমস্ত পর্যবেক্ষণের সংখ্যার অনুপাত যেখানে প্রশ্নযুক্ত ঘটনাটি পর্যবেক্ষণের মোট সংখ্যার সাথে ঘটেছে। পর্যাপ্ত সংখ্যক পর্যবেক্ষণ বা পরীক্ষার ক্ষেত্রে এই ধরনের ব্যাখ্যা গ্রহণযোগ্য। উদাহরণস্বরূপ, রাস্তায় আপনি যাদের সাথে দেখা করেন তাদের প্রায় অর্ধেক যদি মহিলা হন, তবে আপনি বলতে পারেন যে আপনি রাস্তায় যার সাথে দেখা করেন তার সম্ভাবনা 1/2 জন। অন্য কথায়, একটি এলোমেলো পরীক্ষার স্বাধীন পুনরাবৃত্তির দীর্ঘ সিরিজে এর সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি একটি ঘটনার সম্ভাব্যতার অনুমান হিসাবে কাজ করতে পারে।

গণিতে সম্ভাবনা

আধুনিক গাণিতিক পদ্ধতিতে, ক্লাসিক্যাল (অর্থাৎ কোয়ান্টাম নয়) সম্ভাব্যতা কোলমোগোরভের অ্যাক্সিওম্যাটিক্স দ্বারা দেওয়া হয়। সম্ভাবনা একটি পরিমাপ পৃ, যা সেটে সেট করা হয় এক্স, সম্ভাব্য স্থান বলা হয়। এই পরিমাপের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য থাকতে হবে:

এটি এই শর্তগুলি থেকে অনুসরণ করে যে সম্ভাব্যতা পরিমাপ পৃএছাড়াও সম্পত্তি আছে সংযোজন: যদি সেট করে ক 1 এবং ক 2 ছেদ করবেন না, তাহলে। এটা প্রমাণ করতে, আপনি সবকিছু করা প্রয়োজন ক 3 , ক 4, … খালি সেটের সমান এবং গণনাযোগ্য সংযোজন বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করুন।

সম্ভাব্যতা পরিমাপ সেটের সমস্ত উপসেটের জন্য সংজ্ঞায়িত নাও হতে পারে এক্স. সেটের কিছু উপসেট নিয়ে গঠিত সিগমা-বীজগণিতে এটি সংজ্ঞায়িত করার জন্য যথেষ্ট এক্স. এই ক্ষেত্রে, এলোমেলো ঘটনাগুলিকে স্থানের পরিমাপযোগ্য উপসেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এক্স, অর্থাৎ, সিগমা বীজগণিতের উপাদান হিসাবে।

সম্ভাব্যতা বোধ

যখন আমরা দেখি যে কিছু সম্ভাব্য ঘটনা ঘটার কারণগুলি আসলে বিপরীত কারণগুলির চেয়ে বেশি, আমরা এই সত্যটিকে বিবেচনা করি সম্ভাব্য, অন্যথায় - অবিশ্বাস্য. নেতিবাচকগুলির উপর ইতিবাচক ভিত্তিগুলির এই প্রাধান্য, এবং তদ্বিপরীত, ডিগ্রীর একটি অনির্দিষ্ট সেট উপস্থাপন করতে পারে, যার ফলস্বরূপ সম্ভাবনা(এবং অসম্ভবতা) ঘটে আরোবা কম .

জটিল একক তথ্য তাদের সম্ভাব্যতার মাত্রার সঠিক গণনার অনুমতি দেয় না, তবে এখানেও কিছু বড় উপবিভাগ স্থাপন করা গুরুত্বপূর্ণ। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, আইনের ক্ষেত্রে, যখন সাক্ষীর সাক্ষ্যের ভিত্তিতে বিচার সাপেক্ষে একটি ব্যক্তিগত তথ্য প্রতিষ্ঠিত হয়, তখন এটি সর্বদাই থাকে, কঠোরভাবে বলতে গেলে, শুধুমাত্র সম্ভাব্য, এবং এই সম্ভাবনা কতটা তাৎপর্যপূর্ণ তা জানা প্রয়োজন; রোমান আইনে, একটি চতুর্গুণ বিভাগ এখানে গৃহীত হয়েছিল: probatio plena(যেখানে সম্ভাব্যতা কার্যত পরিণত হয় সত্যতা), আরও - probatio বিয়োগ plena, তারপর - প্রোবেটিও সেমিপ্লেনা মেজরএবং পরিশেষে প্রোবেটিও সেমিপ্লেনা নাবালক .

মামলার সম্ভাব্যতার প্রশ্ন ছাড়াও, আইনের ক্ষেত্রে এবং নৈতিকতার ক্ষেত্রে উভয় ক্ষেত্রেই (একটি নির্দিষ্ট নৈতিক দৃষ্টিকোণ সহ) প্রশ্ন উঠতে পারে যে একটি নির্দিষ্ট ঘটনাটি কতটা সম্ভব। সাধারণ আইন লঙ্ঘন গঠন করে। এই প্রশ্নটি, যা তালমুডের ধর্মীয় আইনশাস্ত্রে প্রধান উদ্দেশ্য হিসাবে কাজ করে, রোমান ক্যাথলিক নৈতিক ধর্মতত্ত্বে (বিশেষত 16 শতকের শেষ থেকে) খুব জটিল পদ্ধতিগত নির্মাণ এবং একটি বিশাল সাহিত্য, গোঁড়ামী এবং বিতর্কিত (সম্ভাব্যতা দেখুন )

সম্ভাব্যতার ধারণাটি কেবলমাত্র নির্দিষ্ট একজাতীয় সিরিজের অংশ এমন তথ্যের ক্ষেত্রে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তিকে স্বীকার করে। সুতরাং (সরল উদাহরণে), যখন কেউ একটি সারিতে একশবার একটি মুদ্রা ছুঁড়ে ফেলে, তখন আমরা এখানে একটি সাধারণ বা বড় সিরিজ (একটি মুদ্রার সমস্ত পতনের সমষ্টি) দেখতে পাই, যা দুটি ব্যক্তিগত বা ছোট দ্বারা গঠিত। কেস সংখ্যাগতভাবে সমান, সিরিজ (পতন " ঈগল" এবং পতনশীল "লেজ"); এইবার মুদ্রাটির লেজ পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা, অর্থাৎ সাধারণ সিরিজের এই নতুন সদস্য দুটি ছোট সিরিজের এই অংশের হবে, এই ছোট সিরিজ এবং বড় সিরিজের মধ্যে সংখ্যাগত অনুপাত প্রকাশকারী একটি ভগ্নাংশের সমান, যথা 1/2, অর্থাৎ, একই সম্ভাবনা দুটি ব্যক্তিগত সিরিজের একটি বা অন্যটির জন্য। কম সাধারণ উদাহরণে, উপসংহারটি সরাসরি সমস্যার ডেটা থেকে আঁকতে পারে না, তবে পূর্বে অন্তর্ভুক্তি প্রয়োজন। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, এটি জিজ্ঞাসা করা হয়: একটি প্রদত্ত নবজাতকের 80 বছর পর্যন্ত বেঁচে থাকার সম্ভাবনা কী? এখানে অনুরূপ পরিস্থিতিতে জন্মগ্রহণকারী এবং বিভিন্ন বয়সে মারা যাওয়া পরিচিত সংখ্যক লোকের একটি সাধারণ বা বড় সিরিজ থাকতে হবে (এই সংখ্যাটি র্যান্ডম বিচ্যুতি দূর করার জন্য যথেষ্ট বড় এবং সিরিজের একজাতীয়তা রক্ষা করার জন্য যথেষ্ট ছোট হতে হবে, কারণ একটি ব্যক্তি, উদাহরণস্বরূপ, সেন্ট পিটার্সবার্গে একটি ভাল-টু-ডু সাংস্কৃতিক পরিবারে জন্মগ্রহণ করেন, শহরের পুরো মিলিয়ন-শক্তিশালী জনসংখ্যা, যার একটি উল্লেখযোগ্য অংশ বিভিন্ন গোষ্ঠীর লোক নিয়ে গঠিত যারা অকালে মারা যেতে পারে - সৈনিক, সাংবাদিক , বিপজ্জনক পেশায় কর্মীরা - সম্ভাব্যতার একটি বাস্তব সংজ্ঞার জন্য একটি গোষ্ঠীকে খুব ভিন্ন ভিন্ন প্রতিনিধিত্ব করে) ; এই সাধারণ সিরিজ দশ হাজার মানুষের জীবন গঠিত যাক; এটি এই বা সেই বয়সে বসবাসকারীদের সংখ্যার প্রতিনিধিত্বকারী ছোট সারিগুলি অন্তর্ভুক্ত করে; এই ছোট সারিগুলির মধ্যে একটি 80 বছর বয়সী জীবিতদের সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে। কিন্তু এই ছোট সিরিজের আকার নির্ধারণ করা অসম্ভব (পাশাপাশি অন্য সব)। অবরোহী; এটি পরিসংখ্যানের মাধ্যমে সম্পূর্ণরূপে প্রবর্তক উপায়ে করা হয়। ধরুন পরিসংখ্যানগত গবেষণায় প্রতিষ্ঠিত হয়েছে যে মধ্যবিত্তের 10,000 পিটার্সবার্গারের মধ্যে, মাত্র 45 জন 80 বছর বয়স পর্যন্ত বেঁচে থাকে; এইভাবে, এই ছোট সারিটি 45 থেকে 10,000 হিসাবে বড়টির সাথে সম্পর্কিত, এবং প্রদত্ত ব্যক্তির এই ছোট সারির অন্তর্ভুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা, অর্থাৎ 80 বছর বয়স পর্যন্ত বেঁচে থাকার সম্ভাবনা 0.0045 এর ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। একটি গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে সম্ভাব্যতার অধ্যয়ন একটি বিশেষ শৃঙ্খলা গঠন করে, সম্ভাব্যতার তত্ত্ব।

আরো দেখুন

মন্তব্য

সাহিত্য

উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশন। 2010

বিপরীতার্থক শব্দ:

অন্যান্য অভিধানে "সম্ভাব্যতা" কী তা দেখুন:

সাধারণ বৈজ্ঞানিক এবং দার্শনিক। তাদের আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির স্থায়িত্বকে চিহ্নিত করে নির্দিষ্ট পর্যবেক্ষণের অবস্থার অধীনে ভর র্যান্ডম ইভেন্টগুলির উপস্থিতির সম্ভাবনার পরিমাণগত মাত্রা নির্দেশ করে একটি বিভাগ। যুক্তিতে, শব্দার্থিক ডিগ্রী ... ... দার্শনিক বিশ্বকোষ

সম্ভাবনা, শূন্য থেকে এক পর্যন্ত পরিসরের একটি সংখ্যা, সমন্বিত, এই ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে প্রতিনিধিত্ব করে। একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতাকে সংজ্ঞায়িত করা হয় সম্ভাব্য মোট সংখ্যার সাথে একটি ঘটনা ঘটতে পারে এমন সম্ভাবনার সংখ্যার অনুপাত হিসাবে ... ... বৈজ্ঞানিক এবং প্রযুক্তিগত বিশ্বকোষীয় অভিধান

সমস্ত সম্ভাবনায় .. রাশিয়ান প্রতিশব্দ এবং অর্থের অনুরূপ অভিব্যক্তির অভিধান। অধীন এড এন. আব্রামোভা, এম.: রাশিয়ান অভিধান, 1999. সম্ভাব্যতা, সম্ভাবনা, সম্ভাবনা, সুযোগ, উদ্দেশ্যমূলক সম্ভাবনা, মাজা, গ্রহণযোগ্যতা, ঝুঁকি। পিঁপড়া অসম্ভবতা...... সমার্থক অভিধান

সম্ভাবনা- একটি পরিমাপ যা একটি ঘটনা ঘটতে পারে। দ্রষ্টব্য সম্ভাব্যতার গাণিতিক সংজ্ঞা হল "একটি এলোমেলো ঘটনার সাথে সম্পর্কিত 0 এবং 1 এর মধ্যে একটি বাস্তব সংখ্যা।" সংখ্যাটি পর্যবেক্ষণের একটি সিরিজে আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিফলিত করতে পারে ... ... প্রযুক্তিগত অনুবাদকের হ্যান্ডবুক

সম্ভাবনা- "একটি গাণিতিক, নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে যে কোনও ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মাত্রার সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য যা সীমাহীন সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে।" এই ক্লাসিকের উপর ভিত্তি করে…… অর্থনৈতিক এবং গাণিতিক অভিধান

- (সম্ভাব্যতা) একটি ঘটনা বা একটি নির্দিষ্ট ফলাফল ঘটার সম্ভাবনা। এটিকে 0 থেকে 1 পর্যন্ত বিভাজন সহ একটি স্কেল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। যদি একটি ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য হয় তবে এটির উপস্থিতি অসম্ভব। 1 এর সমান সম্ভাবনা সহ, এর সূত্রপাত ... ব্যবসায়িক পদের শব্দকোষ

গণিতের USE অ্যাসাইনমেন্টগুলিতে, আরও জটিল সম্ভাব্যতা কাজ রয়েছে (আমরা অংশ 1 এ বিবেচনা করার চেয়ে), যেখানে আপনাকে যোগ করার নিয়ম, সম্ভাবনার গুণন এবং যৌথ এবং বেমানান ঘটনাগুলির মধ্যে পার্থক্য করতে হবে।

সুতরাং, তত্ত্ব।

যৌথ এবং অ-যৌথ ঘটনা

ঘটনাগুলিকে বেমানান বলা হয় যদি তাদের একটির ঘটনা অন্যদের ঘটনাকে বাদ দেয়। অর্থাৎ, শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট ঘটনা ঘটতে পারে, বা অন্য।

উদাহরণস্বরূপ, একটি ডাই নিক্ষেপ করে, আপনি একটি জোড় সংখ্যা এবং বিজোড় সংখ্যক বিন্দুর মতো ঘটনাগুলির মধ্যে পার্থক্য করতে পারেন। এই ঘটনাগুলো বেমানান।

ঘটনাগুলিকে যৌথ বলা হয় যদি তাদের একটির ঘটনা অন্যটির সংঘটনকে বাদ না দেয়।

উদাহরণস্বরূপ, একটি ডাই নিক্ষেপ করার সময়, আপনি একটি বিজোড় সংখ্যক বিন্দুর সংঘটন এবং তিনটির গুণিতক সংখ্যার বিন্দু হারানোর মতো ঘটনাগুলির মধ্যে পার্থক্য করতে পারেন। যখন তিনটি রোল করা হয়, উভয় ঘটনা উপলব্ধি করা হয়।

ঘটনার যোগফল

বেশ কয়েকটি ইভেন্টের যোগফল (বা মিলন) হল একটি ইভেন্ট যা এই ইভেন্টগুলির মধ্যে অন্তত একটির সংঘটন নিয়ে গঠিত।

যার মধ্যে দুটি বিচ্ছিন্ন ঘটনার যোগফল এই ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতার যোগফল হল:

উদাহরণস্বরূপ, একটি থ্রোতে একটি পাশায় 5 বা 6 পয়েন্ট পাওয়ার সম্ভাবনা হবে কারণ উভয় ইভেন্ট (ড্রপ 5, ড্রপ 6) বেমানান এবং একটি বা দ্বিতীয় ইভেন্টের সম্ভাব্যতা নিম্নরূপ গণনা করা হয়:

সম্ভাবনা দুটি যৌথ ইভেন্টের যোগফল তাদের যৌথ ঘটনা বিবেচনা না করে এই ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতার যোগফলের সমান:

উদাহরণস্বরূপ, একটি শপিং মলে, দুটি অভিন্ন ভেন্ডিং মেশিন কফি বিক্রি করে। দিনের শেষে মেশিনে কফি ফুরিয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 0.3। উভয় মেশিনে কফি ফুরিয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 0.12। আসুন সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করি যে দিনের শেষে কফি কমপক্ষে একটি মেশিনে শেষ হবে (অর্থাৎ হয় একটিতে, বা অন্যটিতে, বা উভয়েই একবারে)।

প্রথম ইভেন্টের সম্ভাব্যতা "কফি প্রথম মেশিনে শেষ হবে" সেই সাথে দ্বিতীয় ইভেন্টের সম্ভাবনা "দ্বিতীয় মেশিনে কফি শেষ হবে" শর্ত অনুসারে 0.3 এর সমান। ইভেন্টগুলি সহযোগিতামূলক।

প্রথম দুটি ঘটনার যৌথ উপলব্ধির সম্ভাবনা শর্ত অনুযায়ী 0.12 এর সমান।

এর মানে হল যে দিনের শেষে অন্তত একটি মেশিনে কফি ফুরিয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা

নির্ভরশীল এবং স্বাধীন ঘটনা

দুটি এলোমেলো ঘটনা A এবং B কে স্বাধীন বলা হয় যদি তাদের একটির সংঘটন অন্যটির ঘটার সম্ভাবনার পরিবর্তন না করে। অন্যথায়, ঘটনা A এবং B কে নির্ভরশীল বলা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, যখন দুটি পাশা একই সময়ে ঘূর্ণিত হয়, তাদের মধ্যে একটি, বলুন 1, এবং অন্য 5টি স্বাধীন ঘটনা।

সম্ভাবনার পণ্য

বিভিন্ন ইভেন্টের একটি পণ্য (বা ছেদ) হল একটি ইভেন্ট যা এই সমস্ত ইভেন্টের যৌথ সংঘটনে গঠিত।

যদি দুটি ঘটে স্বাধীন ঘটনাযথাক্রমে P(A) এবং P(B) সম্ভাব্যতা সহ A এবং B, তারপর A এবং B ঘটনাগুলির উপলব্ধির সম্ভাবনা একই সাথে সম্ভাব্যতার গুণফলের সমান:

উদাহরণস্বরূপ, আমরা একটি সারিতে দুবার একটি পাশায় একটি ছক্কা হারাতে আগ্রহী। উভয় ঘটনাই স্বতন্ত্র এবং তাদের প্রত্যেকের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাবনা। এই দুটি ঘটনা ঘটবে এমন সম্ভাবনা উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা হবে:

বিষয়ের উপর কাজ করার জন্য কাজের একটি নির্বাচন দেখুন।