বিক্ষিপ্ত বৈশিষ্ট্য

অবস্থানের বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে - গাণিতিক প্রত্যাশা, মধ্যমা, মোড - আসুন একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিস্তারের বৈশিষ্ট্যগুলিতে এগিয়ে যাই এক্স.বিচ্ছুরণ D(X)= a 2 , আদর্শ বিচ্যুতি a এবং প্রকরণের সহগ v. বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য প্রকরণের সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য পূর্ববর্তী অধ্যায়ে বিবেচনা করা হয়েছিল। ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য

প্রমিত বিচ্যুতি হল প্রকরণের বর্গমূলের অ-ঋণাত্মক মান:

প্রকরণের সহগ হল গাণিতিক প্রত্যাশার মানক বিচ্যুতির অনুপাত:

প্রকরণের সহগ - যখন প্রয়োগ করা হয় M(X)> O - আপেক্ষিক ইউনিটে বিস্তার পরিমাপ করে, যখন আদর্শ বিচ্যুতি - পরম।

উদাহরণ 6. একটি অভিন্নভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য এক্সপ্রকরণ, প্রমিত বিচ্যুতি এবং প্রকরণের সহগ নির্ণয় কর। বিচ্ছুরণ হল:

পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন এটা লিখতে সম্ভব করে তোলে:

কোথায় সঙ্গে = f - aU2।

অতএব, মান বিচ্যুতি হয় এবং প্রকরণের সহগ হল:

র‍্যান্ডম মূল্যের রূপান্তর

প্রতিটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল জন্য এক্সআরও তিনটি পরিমাণ সংজ্ঞায়িত করুন - কেন্দ্রিক Y,স্বাভাবিক করা ভিএবং দেওয়া uকেন্দ্রীভূত এলোমেলো পরিবর্তনশীল Yপ্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে পার্থক্য এক্সএবং এর গাণিতিক প্রত্যাশা M(X),সেগুলো. Y=X - M(X)।একটি কেন্দ্রীভূত এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা Y 0 এর সমান, এবং প্রকরণ হল প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণ:

বিতরণ ফাংশন Fy(x)কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম পরিবর্তনশীল Yবিতরণ ফাংশন সম্পর্কিত F(x) মূল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের এক্সঅনুপাত:

এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ঘনত্বের জন্য, সমতা

স্বাভাবিক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল ভিপ্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অনুপাত এক্সএর আদর্শ বিচ্যুতিতে a, i.e. V = XIo।একটি স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং তারতম্য ভিবৈশিষ্ট্যের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় এক্সতাই:

যেখানে v হল মূল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রকরণের সহগ এক্স.বিতরণ ফাংশন জন্য Fv(x)এবং ঘনত্ব fv(x)স্বাভাবিক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল ভিআমাদের আছে:

কোথায় F(x)- মূল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন এক্স; ঠিক করা)এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব।

এলোমেলো পরিবর্তনশীল হ্রাস উএকটি কেন্দ্রীভূত এবং স্বাভাবিক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল:

একটি হ্রাস র্যান্ডম পরিবর্তনশীল জন্য

তাত্ত্বিক গবেষণা এবং অ্যালগরিদম, সফ্টওয়্যার পণ্য, নিয়ন্ত্রক এবং প্রযুক্তিগত এবং শিক্ষামূলক এবং পদ্ধতিগত ডকুমেন্টেশন উভয় ক্ষেত্রেই স্বাভাবিক, কেন্দ্রীভূত এবং হ্রাসকৃত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি ক্রমাগত ব্যবহৃত হয়। বিশেষ করে, কারণ সমতা এম(ইউ) = 0, D(lf) = 1 পদ্ধতির প্রমাণ, উপপাদ্যের সূত্র এবং গণনার সূত্রকে সরল করা সম্ভব করে তোলে।

এলোমেলো ভেরিয়েবলের রূপান্তর এবং আরও সাধারণ পরিকল্পনা ব্যবহার করা হয়। সুতরাং, যদি ইউ = aX + খ,কোথায় কএবং খকিছু সংখ্যা, তারপর

উদাহরণ 7. যদি ক= 1/জি, খ = -M(X)/G,তাহলে Y হল একটি হ্রাসকৃত এলোমেলো পরিবর্তনশীল, এবং সূত্র (8) সূত্রে রূপান্তরিত হয় (7)।

প্রতিটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল সঙ্গে এক্সসূত্র Y = দ্বারা প্রদত্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল Y এর সেটকে সংযোগ করা সম্ভব উহু + খবিভিন্ন এ a > 0 এবং খ.এই সেট বলা হয় স্কেল-শিয়ার পরিবার,একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল দ্বারা উত্পন্ন এক্স.বিতরণ ফাংশন Fy(x) ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন দ্বারা উত্পন্ন ডিস্ট্রিবিউশনের একটি স্কেল-শিফ্ট পরিবার গঠন করে F(x)। Y= এর পরিবর্তে aX + bপ্রায়শই ব্যবহৃত স্বরলিপি

সংখ্যা সঙ্গেশিফট প্যারামিটার এবং সংখ্যা বলা হয় d- স্কেল পরামিতি। সূত্র (9) তা দেখায় এক্স- একটি নির্দিষ্ট মান পরিমাপের ফলাফল - K-তে যায় - একই মান পরিমাপের ফলাফল, যদি পরিমাপের শুরুটি একটি বিন্দুতে সরানো হয় সঙ্গে,এবং তারপর পরিমাপের নতুন একক ব্যবহার করুন, ইন dপুরানোটির চেয়ে গুণ বেশি।

স্কেল-শিফ্ট পরিবারের জন্য (9), বিতরণ এক্সস্ট্যান্ডার্ড বলা হয়। সম্ভাব্য-পরিসংখ্যানগত সিদ্ধান্ত গ্রহণের পদ্ধতি এবং অন্যান্য ফলিত গবেষণায়, স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক বন্টন, স্ট্যান্ডার্ড ওয়েইবুল-গ্নেডেনকো ডিস্ট্রিবিউশন, স্ট্যান্ডার্ড গামা ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করা হয়।

বিতরণ, ইত্যাদি (নীচে দেখুন)।

এলোমেলো ভেরিয়েবলের অন্যান্য রূপান্তরও ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি ধনাত্মক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য এক্সবিবেচনা Y = IgX,কোথায় আইজিএক্স- একটি সংখ্যার দশমিক লগারিদম এক্স.সমতার চেইন

বন্টন ফাংশন সম্পর্কিত এক্সএবং Y.

উপরে আমরা এলোমেলো ভেরিয়েবলের বন্টনের আইনের সাথে পরিচিত হয়েছি। প্রতিটি বণ্টন আইন সম্পূর্ণরূপে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতার বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করে এবং একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে যুক্ত যেকোন ঘটনার সম্ভাব্যতা গণনা করা সম্ভব করে তোলে। যাইহোক, অনুশীলনের অনেক প্রশ্নে এই ধরনের একটি সম্পূর্ণ বিবরণের প্রয়োজন নেই এবং এটি প্রায়শই শুধুমাত্র পৃথক সংখ্যাগত পরামিতিগুলি নির্দেশ করার জন্য যথেষ্ট যা বিতরণের প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্যগুলিকে চিহ্নিত করে। উদাহরণস্বরূপ, গড়, যার চারপাশে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানগুলি ছড়িয়ে ছিটিয়ে রয়েছে, এটি এমন কিছু সংখ্যা যা এই বিস্তারের মাত্রাকে চিহ্নিত করে। এই সংখ্যাগুলি বন্টনের সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্যগুলিকে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশ করার উদ্দেশ্যে এবং বলা হয় একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য।

র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে, প্রথমত, তারা এমন বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করে যা সংখ্যা অক্ষের উপর একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের অবস্থান ঠিক করে, যেমন একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কিছু গড় মান যার চারপাশে এর সম্ভাব্য মানগুলিকে গোষ্ঠীভুক্ত করা হয়েছে। সম্ভাব্যতা তত্ত্বে অবস্থানের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে, সর্বাধিক ভূমিকা পালন করে প্রত্যাশিত মান, যাকে কখনও কখনও র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় মান বলা হয়।

ধরা যাক যে বিযুক্ত SW?, মান নেয় x ( , x 2 ,..., x pসম্ভাবনা সহ আরজে, p 2 , ...y Ptvসেগুলো. বিতরণ সিরিজ দ্বারা প্রদত্ত

এটা সম্ভব যে এই পরীক্ষায় মান x xপর্যবেক্ষণ করা হয়েছে N(বার, মান x 2 - N 2বার,..., মান x n - N nএকদা. একই সময়ে + N 2 +... + N n = N.

পর্যবেক্ষণ ফলাফলের পাটিগণিত গড়

যদি এনবড়, যেমন এন-"ওহ তাহলে

বিতরণ কেন্দ্রের বর্ণনা। এইভাবে প্রাপ্ত একটি এলোমেলো চলকের গড় মানকে গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হবে। আসুন সংজ্ঞাটির একটি মৌখিক সূত্র দেওয়া যাক।

সংজ্ঞা 3.8। গাণিতিক প্রত্যাশা (MO) বিচ্ছিন্ন SV% হল একটি সংখ্যা যার সম্ভাব্য সমস্ত মানের পণ্যের যোগফল এবং এই মানের সম্ভাব্যতার সমান (স্বরলিপি M;):

এখন বিবেচনা করুন যখন পৃথক সিভির সম্ভাব্য মানের সংখ্যা গণনাযোগ্য, যেমন আমাদের আরআর আছে

গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্রটি একই থাকে, শুধুমাত্র যোগফলের উপরের সীমাতে পৃ oo দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, i.e.

এই ক্ষেত্রে, আমরা ইতিমধ্যে একটি সিরিজ পেয়েছি যা ভিন্ন হতে পারে, যেমন সংশ্লিষ্ট সিভি ^ একটি গাণিতিক প্রত্যাশা নাও থাকতে পারে.

উদাহরণ 3.8। CB?, বিতরণ সিরিজ দ্বারা প্রদত্ত

আসুন এই SW এর MO খুঁজে বের করি।

সমাধান।সংজ্ঞানুসারে. সেগুলো. মাউন্ট,এটির অস্তিত্ব নেই.

এইভাবে, SW মানগুলির একটি গণনাযোগ্য সংখ্যার ক্ষেত্রে, আমরা নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি পাই।

সংজ্ঞা 3.9। গাণিতিক প্রত্যাশা, বা গড় মান, বিচ্ছিন্ন SW,একটি গণনাযোগ্য সংখ্যক মান থাকাকে, এটির সমস্ত সম্ভাব্য মানের পণ্যগুলির একটি সিরিজের সমষ্টির সমান একটি সংখ্যা বলা হয় এবং সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা, শর্ত থাকে যে এই সিরিজটি একেবারে একত্রিত হয়, যেমন

যদি এই সিরিজটি শর্তসাপেক্ষে বিচ্ছিন্ন বা একত্রিত হয়, তাহলে আমরা বলি যে CV ^ এর কোন গাণিতিক প্রত্যাশা নেই।

আসুন ঘনত্বের সাথে বিযুক্ত থেকে অবিচ্ছিন্ন SW-তে পাস করি p(x)।

সংজ্ঞা 3.10। গাণিতিক প্রত্যাশা, বা গড় মান, ক্রমাগত SWসমান একটি সংখ্যা বলা হয়

প্রদান করা হয় যে এই অবিচ্ছেদ্য একেবারে একত্রিত হয়।

যদি এই অবিচ্ছেদ্যটি শর্তসাপেক্ষে বিচ্ছিন্ন বা একত্রিত হয়, তবে তারা বলে যে ক্রমাগত CB? এর কোন গাণিতিক প্রত্যাশা নেই।

মন্তব্য 3.8.যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত সম্ভাব্য মান J;

শুধুমাত্র ব্যবধানের অন্তর্গত ( ক; খ)তারপর

গাণিতিক প্রত্যাশা সম্ভাব্যতা তত্ত্বে ব্যবহৃত একমাত্র অবস্থান বৈশিষ্ট্য নয়। কখনও কখনও যেমন মোড এবং মধ্যমা ব্যবহার করা হয়।

সংজ্ঞা 3.11। ফ্যাশন CB ^ (পদবী মট,)এর সবচেয়ে সম্ভাব্য মান বলা হয়, অর্থাৎ একটি যার জন্য সম্ভাবনা পাইবা সম্ভাবনার ঘনত্ব p(x)সর্বোচ্চ মূল্যে পৌঁছায়।

সংজ্ঞা 3.12। মধ্যমাএসভি?, (পদবী মিলিত)যার জন্য যেমন একটি মান বলা হয় P(t>মেট) = পি(? > মিলিত) = 1/2.

জ্যামিতিকভাবে, একটি অবিচ্ছিন্ন SW-এর জন্য, মধ্যক হল অক্ষের সেই বিন্দুর অবসিসা উহু,যার জন্য এর বাম এবং ডানদিকের ক্ষেত্রগুলি একই এবং 1/2 এর সমান।

উদাহরণ 3.9। SWটি,একটি বিতরণ নম্বর আছে

আসুন SW এর গাণিতিক প্রত্যাশা, মোড এবং মধ্যমা খুঁজে বের করি

সমাধান। এমবি,= 0-0.1 + 1 0.3 + 2 0.5 + 3 0.1 = 1.6। L/o? = 2. আমার(?) অস্তিত্ব নেই।

উদাহরণ 3.10। ক্রমাগত CB % এর ঘনত্ব আছে

আসুন গাণিতিক প্রত্যাশা, মধ্যমা এবং মোড খুঁজে বের করি।

সমাধান।

p(x)সর্বাধিক পৌঁছায়, তারপর স্পষ্টতই, মধ্যমাটিও সমান, যেহেতু বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া লাইনের ডান এবং বাম দিকের ক্ষেত্রগুলি সমান।

সম্ভাব্যতার তত্ত্বে অবস্থানের বৈশিষ্ট্যগুলি ছাড়াও, বিভিন্ন উদ্দেশ্যে বেশ কয়েকটি সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্যও ব্যবহৃত হয়। তাদের মধ্যে, মুহূর্ত - প্রাথমিক এবং কেন্দ্রীয় - বিশেষ গুরুত্ব।

সংজ্ঞা 3.13। kth অর্ডারের প্রাথমিক মুহূর্ত SW?, গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয় k-thএই মানের ডিগ্রী: =M(t > k)।

এটি বিযুক্ত এবং ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যা

মন্তব্য 3.9।স্পষ্টতই, 1ম ক্রমটির প্রাথমিক মুহূর্তটি গাণিতিক প্রত্যাশা।

কেন্দ্রীয় মুহূর্ত সংজ্ঞায়িত করার আগে, আমরা একটি কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম পরিবর্তনশীলের একটি নতুন ধারণা প্রবর্তন করি।

সংজ্ঞা 3.14। কেন্দ্রীভূত CV হল তার গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বিচ্যুতি, যেমন

এটা যাচাই করা সহজ

একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে কেন্দ্রীভূত করা, স্পষ্টতই, মূলকে M বিন্দুতে স্থানান্তরিত করার সমতুল্য। কেন্দ্রীভূত র‍্যান্ডম চলকের মুহূর্তগুলোকে বলা হয় কেন্দ্রীয় পয়েন্ট।

সংজ্ঞা 3.15। kth অর্ডারের কেন্দ্রীয় মুহূর্ত SW % কে গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয় k-thএকটি কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ডিগ্রী:

এটি গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে

স্পষ্টতই, যেকোনো র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য ^ ১ম ক্রমটির কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি শূন্যের সমান: x এর সাথে= M(? 0) = 0।

অনুশীলনের জন্য বিশেষ গুরুত্ব হল দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পয়েন্ট 2 থেকেএকে বলে বিচ্ছুরণ।

সংজ্ঞা 3.16। বিচ্ছুরণ CB?, সংশ্লিষ্ট কেন্দ্রীভূত মানের বর্গক্ষেত্রের গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয় (স্বরলিপি ডি?)

বৈচিত্র গণনা করতে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি সরাসরি সংজ্ঞা থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে:

রূপান্তরকারী সূত্র (3.4), আমরা গণনার জন্য নিম্নলিখিত সূত্রটি পেতে পারি ডি.এল.

SW এর বিচ্ছুরণ একটি বৈশিষ্ট্য বিক্ষিপ্ত, তার গাণিতিক প্রত্যাশার চারপাশে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মানের বিস্তার।

ভ্যারিয়েন্সের একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বর্গক্ষেত্রের মাত্রা রয়েছে, যা সবসময় সুবিধাজনক নয়। অতএব, স্পষ্টতার জন্য, বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্য হিসাবে, এমন একটি সংখ্যা ব্যবহার করা সুবিধাজনক যার মাত্রা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সাথে মিলে যায়। এটি করার জন্য, বিচ্ছুরণের বর্গমূল নিন। ফলের মান বলা হয় আদর্শ বিচ্যুতিদৈব চলক. আমরা এটিকে a হিসাবে চিহ্নিত করব: a = l/w।

একটি অ-নেতিবাচক CB? জন্য, কখনও কখনও এটি একটি বৈশিষ্ট্য হিসাবে ব্যবহৃত হয় প্রকরণের সহগ, গাণিতিক প্রত্যাশার মান বিচ্যুতির অনুপাতের সমান:

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং মানক বিচ্যুতি জেনে, কেউ এর সম্ভাব্য মানের পরিসর সম্পর্কে আনুমানিক ধারণা পেতে পারে। অনেক ক্ষেত্রে, আমরা অনুমান করতে পারি যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান % শুধুমাত্র মাঝে মাঝে ব্যবধান M অতিক্রম করে; ± জন্য। স্বাভাবিক বন্টনের জন্য এই নিয়ম, যা আমরা পরে ন্যায়সঙ্গত করব, বলা হয় তিনটি সিগমা নিয়ম।

গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণ হল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের সর্বাধিক ব্যবহৃত সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্য। গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণের সংজ্ঞা থেকে, এই সংখ্যাসূচক বৈশিষ্ট্যগুলির কিছু সহজ এবং মোটামুটি সুস্পষ্ট বৈশিষ্ট্য অনুসরণ করে।

প্রোটোজোয়াগাণিতিক প্রত্যাশা এবং বিচ্ছুরণের বৈশিষ্ট্য।

1. একটি নন-এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা সঙ্গে c এর মানের সমান: M(s) = s.

প্রকৃতপক্ষে, মান থেকে সঙ্গেসম্ভাব্যতা 1 সহ শুধুমাত্র একটি মান নেয়, তারপর М(с) = সঙ্গে 1 = সে.

2. নন-র্যান্ডম ভেরিয়েবল c এর ভ্যারিয়েন্স শূন্যের সমান, অর্থাৎ D(c) = 0.

সত্যিই, Dc \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s)- গ) 2 = M( 0) = 0.

3. একটি নন-এলোমেলো গুণক প্রত্যাশা চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে: M(c^) = c M(?,)।

আসুন একটি পৃথক RV-এর উদাহরণে এই সম্পত্তির বৈধতা দেখাই।

ডিস্ট্রিবিউশন সিরিজ দ্বারা আরভি দেওয়া হোক

তারপর

তাই,

একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সম্পত্তি একইভাবে প্রমাণিত হয়।

4. একটি নন-এলোমেলো গুণক বর্গাকার বৈচিত্র্য চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে:

এলোমেলো ভেরিয়েবলের যত বেশি মুহূর্ত জানা যায়, আমাদের বন্টন আইন সম্পর্কে তত বেশি বিস্তারিত ধারণা।

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং এর প্রয়োগগুলিতে, 3য় এবং 4র্থ ক্রমগুলির কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলির উপর ভিত্তি করে, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের আরও দুটি সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা হয়, অসমতি সহগ বা m x।

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য প্রত্যাশিত মান :

র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা দ্বারা সংশ্লিষ্ট মানের মানের সমষ্টি।

ফ্যাশন একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর (Mod) এর সবচেয়ে সম্ভাব্য মান বলা হয়।

একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল জন্য. একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল জন্য.

ইউনিমোডাল বিতরণ

মাল্টি মডেল বিতরণ

সাধারণভাবে, মোড এবং প্রত্যাশিত মান না

মেলে

মধ্যমা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল X এর (মেড) এমন একটি মান যার জন্য সম্ভাব্যতা P(X মেড)। যেকোনো মেড বিতরণে শুধুমাত্র একটি থাকতে পারে।

মেড বক্ররেখার নিচের এলাকাটিকে 2টি সমান অংশে ভাগ করে। ইউনিমোডাল এবং প্রতিসম বন্টনের ক্ষেত্রে

মুহূর্ত.

প্রায়শই, অনুশীলনে দুটি ধরণের মুহূর্ত ব্যবহৃত হয়: প্রাথমিক এবং কেন্দ্রীয়।

শুরুর মুহূর্ত। একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর তম ক্রম হল ফর্মের একটি সমষ্টি:

একটি অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো পরিবর্তনশীল X-এর জন্য, অর্ডারের প্রাথমিক মুহূর্তটি অবিচ্ছেদ্য , এটা স্পষ্ট যে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের গাণিতিক প্রত্যাশা প্রথম প্রাথমিক মুহূর্ত।

চিহ্ন (অপারেটর) M ব্যবহার করে, -ম ক্রমটির প্রাথমিক মুহূর্তটিকে একটি মাদুর হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। কিছু র্যান্ডম ভেরিয়েবলের তম শক্তির প্রত্যাশা।

কেন্দ্রীভূত অনুরূপ র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর গাণিতিক প্রত্যাশা থেকে বিচ্যুতি:

একটি কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা হল 0।

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য আমাদের আছে:

কেন্দ্রীভূত র‍্যান্ডম চলকের মুহূর্তগুলোকে বলা হয় কেন্দ্রীয় মুহূর্ত

আদেশের কেন্দ্রীয় মুহূর্ত এলোমেলো চলক X কে সংশ্লিষ্ট কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম চলকের তম শক্তির গাণিতিক প্রত্যাশা বলা হয়।

বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য:

ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য:

বিভিন্ন আদেশের কেন্দ্রীয় এবং প্রাথমিক মুহুর্তের মধ্যে সম্পর্ক

সমস্ত মুহূর্তগুলির মধ্যে, প্রথম মুহূর্ত (গণিত। প্রত্যাশা) এবং দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্তটি প্রায়শই একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলের বৈশিষ্ট্য হিসাবে ব্যবহৃত হয়।

দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্ত বলা হয় বিচ্ছুরণ দৈব চলক. এর উপাধি রয়েছে:

সংজ্ঞানুসারে

একটি পৃথক র্যান্ডম পরিবর্তনশীল জন্য:

একটি অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য:

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিচ্ছুরণ হল তার গাণিতিক প্রত্যাশার চারপাশে র্যান্ডম ভেরিয়েবল X এর বিচ্ছুরণ (বিচ্ছুরণ) একটি বৈশিষ্ট্য।

বিচ্ছুরণবিক্ষিপ্ত মানে। ভ্যারিয়েন্সের একটি এলোমেলো চলকের বর্গক্ষেত্রের মাত্রা রয়েছে।

বিচ্ছুরণের চাক্ষুষ বৈশিষ্ট্যের জন্য, র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মাত্রার মতো m y মান ব্যবহার করা আরও সুবিধাজনক। এই উদ্দেশ্যে, বিচ্ছুরণ থেকে একটি মূল নেওয়া হয় এবং একটি মান পাওয়া যায়, যাকে বলা হয় - স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন (RMS) র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স, পদবী প্রবর্তন করার সময়: