সম্ভাব্যতা তত্ত্ব সূত্র এবং সমস্যা সমাধানের উদাহরণ। প্রোগ্রামারদের জন্য গণিত: সম্ভাব্যতা তত্ত্ব সম্ভাব্যতা তত্ত্বে p a কী

"দুর্ঘটনাগুলি আকস্মিক নয়"... এটি একটি দার্শনিকের কথার মতো শোনাচ্ছে, কিন্তু আসলে, এলোমেলোভাবে অধ্যয়ন করা গণিতের মহান বিজ্ঞানের নিয়তি। গণিতে, সম্ভাবনা তত্ত্ব দ্বারা মোকাবিলা করা হয়। সূত্র এবং কাজের উদাহরণ, সেইসাথে এই বিজ্ঞানের মৌলিক সংজ্ঞা নিবন্ধে উপস্থাপন করা হবে।

সম্ভাবনা তত্ত্ব কি?

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব হল গাণিতিক শাখাগুলির মধ্যে একটি যা এলোমেলো ঘটনাগুলি অধ্যয়ন করে।

এটিকে একটু পরিষ্কার করার জন্য, আসুন একটি ছোট উদাহরণ দেওয়া যাক: আপনি যদি একটি মুদ্রা উপরে ফেলে দেন তবে এটি মাথা বা লেজের উপর ল্যান্ড করতে পারে। মুদ্রা বাতাসে থাকাকালীন, এই উভয় সম্ভাবনাই সম্ভব। অর্থাৎ, সম্ভাব্য পরিণতির সম্ভাবনা 1:1। যদি 36টি কার্ডের একটি ডেক থেকে একটি টানা হয়, তাহলে সম্ভাব্যতা 1:36 হিসাবে নির্দেশিত হবে। দেখে মনে হবে এখানে অন্বেষণ এবং ভবিষ্যদ্বাণী করার কিছু নেই, বিশেষ করে গাণিতিক সূত্রের সাহায্যে। যাইহোক, যদি আপনি একটি নির্দিষ্ট ক্রিয়াকে অনেকবার পুনরাবৃত্তি করেন, আপনি একটি নির্দিষ্ট প্যাটার্ন সনাক্ত করতে পারেন এবং এটির উপর ভিত্তি করে, অন্যান্য অবস্থার ঘটনাগুলির ফলাফলের পূর্বাভাস দিতে পারেন।

উপরের সমস্তটির সংক্ষিপ্তসার করার জন্য, শাস্ত্রীয় অর্থে সম্ভাব্যতা তত্ত্ব একটি সংখ্যাসূচক মানের সম্ভাব্য ঘটনাগুলির মধ্যে একটি হওয়ার সম্ভাবনা অধ্যয়ন করে।

ইতিহাসের পাতা থেকে

সম্ভাব্যতার তত্ত্ব, সূত্র এবং প্রথম কাজের উদাহরণগুলি দূরবর্তী মধ্যযুগে উপস্থিত হয়েছিল, যখন তাস গেমের ফলাফলের ভবিষ্যদ্বাণী করার প্রচেষ্টা প্রথম শুরু হয়েছিল।

প্রাথমিকভাবে, সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সাথে গণিতের কোন সম্পর্ক ছিল না। এটি অভিজ্ঞতামূলক তথ্য বা একটি ঘটনার বৈশিষ্ট্য দ্বারা ন্যায়সঙ্গত ছিল যা অনুশীলনে পুনরুত্পাদন করা যেতে পারে। গাণিতিক শৃঙ্খলা হিসাবে এই এলাকায় প্রথম কাজ 17 শতকে আবির্ভূত হয়েছিল। প্রতিষ্ঠাতা ছিলেন ব্লেইস প্যাসকেল এবং পিয়েরে ফার্মাট। তারা দীর্ঘ সময় ধরে জুয়া নিয়ে অধ্যয়ন করেছিল এবং কিছু নিদর্শন দেখেছিল, যা তারা জনসাধারণকে বলার সিদ্ধান্ত নিয়েছে।

একই কৌশল আবিষ্কার করেছিলেন ক্রিস্টিয়ান হাইজেনস, যদিও তিনি প্যাসকেল এবং ফার্মাটের গবেষণার ফলাফলের সাথে পরিচিত ছিলেন না। "সম্ভাব্যতা তত্ত্ব" এর ধারণা, সূত্র এবং উদাহরণ, যা শৃঙ্খলার ইতিহাসে প্রথম বলে বিবেচিত হয়, তার দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল।

জ্যাকব বার্নোলির কাজ, ল্যাপ্লেস এবং পয়সনের উপপাদ্যগুলিও খুব কম গুরুত্বপূর্ণ নয়। তারা সম্ভাব্যতা তত্ত্বকে গাণিতিক শৃঙ্খলার মতো করে তুলেছিল। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, সূত্র এবং মৌলিক কাজের উদাহরণগুলি কলমোগোরভের স্বতঃসিদ্ধের জন্য তাদের বর্তমান রূপ পেয়েছে। সমস্ত পরিবর্তনের ফলস্বরূপ, সম্ভাব্যতা তত্ত্বটি গাণিতিক শাখাগুলির মধ্যে একটি হয়ে ওঠে।

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণা। ঘটনা

এই শৃঙ্খলার মূল ধারণাটি হল "ঘটনা"। ইভেন্ট তিন ধরনের আছে:

• নির্ভরযোগ্য।যেগুলো যেভাবেই হোক ঘটবে (মুদ্রা পড়ে যাবে)।
• অসম্ভব।কোন অবস্থাতেই ঘটবে না এমন ঘটনা (মুদ্রা বাতাসে ঝুলে থাকবে)।
• এলোমেলো।যেগুলো ঘটবে বা ঘটবে না। তারা বিভিন্ন কারণ দ্বারা প্রভাবিত হতে পারে যা ভবিষ্যদ্বাণী করা খুব কঠিন। যদি আমরা একটি মুদ্রা সম্পর্কে কথা বলি, তাহলে ফলাফলকে প্রভাবিত করতে পারে এমন এলোমেলো কারণ রয়েছে: মুদ্রার শারীরিক বৈশিষ্ট্য, এর আকৃতি, এর আসল অবস্থান, নিক্ষেপের শক্তি ইত্যাদি।

উদাহরণের সমস্ত ঘটনা বড় ল্যাটিন অক্ষরে নির্দেশিত হয়, P বাদে, যার একটি ভিন্ন ভূমিকা রয়েছে। উদাহরণ স্বরূপ:

• A = "ছাত্ররা বক্তৃতা দিতে এসেছিল।"
• Ā = "ছাত্ররা বক্তৃতায় আসেনি।"

ব্যবহারিক কাজে, ঘটনাগুলো সাধারণত কথায় লেখা হয়।

ইভেন্টগুলির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হল তাদের সমান সম্ভাবনা। অর্থাৎ, আপনি যদি একটি মুদ্রা টস করেন, প্রাথমিক পতনের সমস্ত রূপগুলি এটি পড়ে না হওয়া পর্যন্ত সম্ভব। কিন্তু ঘটনাগুলিও সমানভাবে সম্ভব নয়। এটি ঘটে যখন কেউ ইচ্ছাকৃতভাবে একটি ফলাফল প্রভাবিত করে। উদাহরণস্বরূপ, "চিহ্নিত" তাস বা পাশা খেলা, যেখানে মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র স্থানান্তরিত হয়।

ইভেন্টগুলিও সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং বেমানান হতে পারে। সামঞ্জস্যপূর্ণ ঘটনা একে অপরের ঘটনা বাদ দেয় না. উদাহরণ স্বরূপ:

• A = "ছাত্রটি বক্তৃতায় এসেছিল।"
• B = "ছাত্রটি বক্তৃতায় এসেছিল।"

এই ঘটনাগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীন, এবং তাদের একটির ঘটনা অন্যটির সংঘটনকে প্রভাবিত করে না। অসামঞ্জস্যপূর্ণ ঘটনাগুলিকে এই সত্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যে একটির ঘটনা অন্যটির ঘটনাকে বাদ দেয়। যদি আমরা একই মুদ্রা সম্পর্কে কথা বলি, তাহলে "লেজ" হারানো একই পরীক্ষায় "মাথা" এর উপস্থিতি অসম্ভব করে তোলে।

ইভেন্টের উপর কর্ম

ইভেন্টগুলি গুণিত এবং যোগ করা যেতে পারে; সেই অনুযায়ী, যৌক্তিক সংযোগকারী "AND" এবং "OR" শৃঙ্খলায় চালু করা হয়।

পরিমাণটি এই সত্য দ্বারা নির্ধারিত হয় যে ঘটনা A বা B, বা দুটি একই সাথে ঘটতে পারে। যদি তারা বেমানান হয়, শেষ বিকল্পটি অসম্ভব; হয় A বা B রোল করা হবে।

ইভেন্টের গুন একই সময়ে A এবং B এর উপস্থিতিতে গঠিত।

এখন আমরা বেসিক, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং সূত্রগুলি আরও ভালভাবে মনে রাখার জন্য বেশ কয়েকটি উদাহরণ দিতে পারি। নিচে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ।

অনুশীলনী 1: কোম্পানী তিন ধরনের কাজের চুক্তি পাওয়ার জন্য একটি প্রতিযোগিতায় অংশ নেয়। সম্ভাব্য ঘটনা ঘটতে পারে:

• A = "ফার্মটি প্রথম চুক্তি পাবে।"
• A 1 = "ফার্ম প্রথম চুক্তি পাবে না।"
• B = "ফার্মটি একটি দ্বিতীয় চুক্তি পাবে।"
• B 1 = "ফার্মটি দ্বিতীয় চুক্তি পাবে না"
• C = "ফার্ম একটি তৃতীয় চুক্তি পাবে।"
• C 1 = "ফার্ম তৃতীয় চুক্তি পাবে না।"

ইভেন্টগুলিতে ক্রিয়া ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত পরিস্থিতিগুলি প্রকাশ করার চেষ্টা করব:

• K = "কোম্পানি সমস্ত চুক্তি পাবে।"

গাণিতিক আকারে, সমীকরণের নিম্নলিখিত ফর্ম থাকবে: K = ABC।

• M = "কোম্পানি একটি চুক্তি পাবে না।"

M = A 1 B 1 C 1.

আসুন কাজটি জটিল করি: H = "কোম্পানি একটি চুক্তি পাবে।" যেহেতু কোম্পানিটি কোন চুক্তিটি পাবে তা জানা নেই (প্রথম, দ্বিতীয় বা তৃতীয়), সম্ভাব্য ইভেন্টগুলির সম্পূর্ণ সিরিজ রেকর্ড করা প্রয়োজন:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C।

এবং 1 বিসি 1 হল একটি সিরিজের ঘটনা যেখানে ফার্ম প্রথম এবং তৃতীয় চুক্তি পায় না, কিন্তু দ্বিতীয়টি পায়। অন্যান্য সম্ভাব্য ঘটনা যথাযথ পদ্ধতি ব্যবহার করে রেকর্ড করা হয়েছিল। অনুশাসনে υ চিহ্নটি সংযোগকারী "OR" নির্দেশ করে। যদি আমরা উপরের উদাহরণটিকে মানুষের ভাষায় অনুবাদ করি, তাহলে কোম্পানিটি হয় তৃতীয় চুক্তি, বা দ্বিতীয় বা প্রথমটি পাবে। একইভাবে, আপনি "সম্ভাব্যতা তত্ত্ব" শৃঙ্খলার অন্যান্য শর্তগুলি লিখতে পারেন। উপরে উপস্থাপিত সমস্যা সমাধানের সূত্র এবং উদাহরণগুলি আপনাকে এটি নিজে করতে সহায়তা করবে।

আসলে, সম্ভাবনা

সম্ভবত, এই গাণিতিক শৃঙ্খলায়, একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা হল কেন্দ্রীয় ধারণা। সম্ভাব্যতার 3টি সংজ্ঞা রয়েছে:

• ক্লাসিক;
• পরিসংখ্যানগত;
• জ্যামিতিক

সম্ভাব্যতার অধ্যয়নে প্রত্যেকেরই জায়গা আছে। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, সূত্র এবং উদাহরণ (9ম গ্রেড) প্রধানত শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা ব্যবহার করে, যা এইরকম শোনায়:

• পরিস্থিতি A এর সম্ভাব্যতা ফলাফলের সংখ্যার অনুপাতের সমান যা সম্ভাব্য সমস্ত ফলাফলের সংখ্যার সাথে তার উপস্থিতির পক্ষে।

সূত্রটি দেখতে এইরকম: P(A)=m/n.

A আসলে একটি ঘটনা। যদি A এর বিপরীতে একটি কেস উপস্থিত হয় তবে এটি Ā বা A 1 হিসাবে লেখা যেতে পারে।

m হল সম্ভাব্য অনুকূল মামলার সংখ্যা।

n - ঘটতে পারে এমন সমস্ত ঘটনা।

উদাহরণস্বরূপ, A = "হার্ট স্যুটের একটি কার্ড আঁকুন।" একটি স্ট্যান্ডার্ড ডেকে 36টি কার্ড রয়েছে, তাদের মধ্যে 9টি হৃদয়ের। তদনুসারে, সমস্যা সমাধানের সূত্রটি দেখতে হবে:

P(A)=9/36=0.25।

ফলস্বরূপ, হার্ট স্যুটের একটি কার্ড ডেক থেকে টানা হওয়ার সম্ভাবনা 0.25 হবে।

উচ্চতর গণিতের দিকে

এখন এটা একটু জানা হয়ে গেছে যে সম্ভাব্যতার তত্ত্ব কি, সূত্র এবং সমস্যা সমাধানের উদাহরণ যা স্কুলের পাঠ্যক্রমে আসে। যাইহোক, উচ্চতর গণিতেও সম্ভাব্যতা তত্ত্ব পাওয়া যায়, যা বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে পড়ানো হয়। প্রায়শই তারা তত্ত্বের জ্যামিতিক এবং পরিসংখ্যানগত সংজ্ঞা এবং জটিল সূত্রগুলির সাথে কাজ করে।

সম্ভাবনার তত্ত্বটি খুবই আকর্ষণীয়। সম্ভাব্যতার পরিসংখ্যানগত (বা ফ্রিকোয়েন্সি) সংজ্ঞা সহ - সূত্র এবং উদাহরণ (উচ্চতর গণিত) ছোট অধ্যয়ন শুরু করা ভাল।

পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি শাস্ত্রীয় একের সাথে বিরোধিতা করে না, তবে এটিকে কিছুটা প্রসারিত করে। যদি প্রথম ক্ষেত্রে কোন ঘটনা ঘটবে তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন ছিল, তবে এই পদ্ধতিতে এটি কত ঘন ঘন ঘটবে তা নির্দেশ করা প্রয়োজন। এখানে "আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি" এর একটি নতুন ধারণা চালু করা হয়েছে, যা W n (A) দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। সূত্রটি ক্লাসিক থেকে আলাদা নয়:

যদি ভবিষ্যদ্বাণীর জন্য শাস্ত্রীয় সূত্র গণনা করা হয়, তাহলে পরিসংখ্যানটি পরীক্ষার ফলাফল অনুযায়ী গণনা করা হয়। উদাহরণ হিসেবে একটি ছোট কাজ নেওয়া যাক।

প্রযুক্তিগত নিয়ন্ত্রণ বিভাগ গুণমানের জন্য পণ্য পরীক্ষা করে। 100টি পণ্যের মধ্যে 3টি নিম্নমানের পাওয়া গেছে। কিভাবে একটি গুণমান পণ্যের ফ্রিকোয়েন্সি সম্ভাবনা খুঁজে পেতে?

A = "একটি মানসম্পন্ন পণ্যের উপস্থিতি।"

W n (A)=97/100=0.97

সুতরাং, একটি গুণমান পণ্যের ফ্রিকোয়েন্সি হল 0.97। আপনি কোথা থেকে 97 পেয়েছেন? পরীক্ষা করা ১০০টি পণ্যের মধ্যে ৩টি নিম্নমানের পাওয়া গেছে। আমরা 100 থেকে 3 বিয়োগ করে 97 পাই, এটি মানসম্পন্ন পণ্যের পরিমাণ।

কম্বিনেটরিক্স সম্পর্কে একটু

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের আরেকটি পদ্ধতিকে কম্বিনেটরিক্স বলা হয়। এর মূল নীতি হল যে যদি একটি নির্দিষ্ট পছন্দ A কে m বিভিন্ন উপায়ে করা যায় এবং একটি পছন্দ B n ভিন্ন উপায়ে করা যায়, তাহলে A এবং B এর পছন্দটি গুণের মাধ্যমে করা যেতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, শহর A থেকে শহর B পর্যন্ত 5টি রাস্তা রয়েছে। শহর বি থেকে সিটি সি পর্যন্ত 4টি পথ রয়েছে। আপনি কয়টি উপায়ে শহর A থেকে সিটি C এ যেতে পারবেন?

এটা সহজ: 5x4=20, অর্থাৎ, বিশটি ভিন্ন উপায়ে আপনি বিন্দু A থেকে C বিন্দুতে পেতে পারেন।

এর টাস্ক জটিল করা যাক. সলিটায়ারে কার্ড রাখার কতগুলো উপায় আছে? ডেকে 36টি কার্ড রয়েছে - এটিই শুরুর পয়েন্ট। উপায় সংখ্যা খুঁজে বের করতে, আপনি শুরু বিন্দু থেকে একটি সময়ে একটি কার্ড "বিয়োগ" এবং গুণ করতে হবে.

অর্থাৎ, 36x35x34x33x32...x2x1= ফলাফলটি ক্যালকুলেটর স্ক্রিনে ফিট করে না, তাই এটিকে সহজভাবে 36 নির্ধারণ করা যেতে পারে! চিহ্ন "!" সংখ্যার পাশে নির্দেশ করে যে সংখ্যার সম্পূর্ণ সিরিজ একসাথে গুণ করা হয়েছে।

কম্বিনেটরিক্সে পারমুটেশন, প্লেসমেন্ট এবং কম্বিনেশনের মতো ধারণা রয়েছে। তাদের প্রত্যেকের নিজস্ব সূত্র আছে।

একটি সেটের উপাদানগুলির একটি আদেশকৃত সেটকে বিন্যাস বলে। প্লেসমেন্ট পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে, যে, একটি উপাদান বেশ কয়েকবার ব্যবহার করা যেতে পারে। এবং পুনরাবৃত্তি ছাড়া, যখন উপাদান পুনরাবৃত্তি হয় না। n হল সমস্ত উপাদান, m হল এমন উপাদান যা স্থান নির্ধারণে অংশগ্রহণ করে। পুনরাবৃত্তি ছাড়া বসানোর সূত্রটি দেখতে এরকম হবে:

A n m =n!/(n-m)!

n উপাদানগুলির সংযোগগুলি যেগুলি কেবল স্থাপনের ক্রম অনুসারে পৃথক হয় তাকে পারমুটেশন বলে। গণিতে এটির মতো দেখায়: P n = n!

m এর n উপাদানগুলির সংমিশ্রণ হল সেই যৌগগুলি যেখানে গুরুত্বপূর্ণ যে তারা কোন উপাদান ছিল এবং তাদের মোট সংখ্যা কত। সূত্রটি দেখতে এরকম হবে:

A n m =n!/m!(n-m)!

বার্নউলির সূত্র

সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, প্রতিটি শাখার মতো, তাদের ক্ষেত্রের অসামান্য গবেষকদের কাজ রয়েছে যারা এটিকে একটি নতুন স্তরে নিয়ে গেছে। এই কাজগুলির মধ্যে একটি হল Bernoulli সূত্র, যা আপনাকে স্বাধীন অবস্থার অধীনে একটি নির্দিষ্ট ঘটনার সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করতে দেয়। এটি পরামর্শ দেয় যে একটি পরীক্ষায় A এর উপস্থিতি পূর্ববর্তী বা পরবর্তী পরীক্ষায় একই ঘটনার সংঘটন বা অ-ঘটনার উপর নির্ভর করে না।

বার্নোলির সমীকরণ:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা (p) প্রতিটি ট্রায়ালের জন্য (A) ধ্রুবক। n সংখ্যক পরীক্ষায় পরিস্থিতিটি ঠিক m বার ঘটবে এমন সম্ভাবনা উপরে উপস্থাপিত সূত্র দ্বারা গণনা করা হবে। তদনুসারে, প্রশ্ন উঠছে কীভাবে q সংখ্যাটি বের করা যায়।

ঘটনা A যদি p সংখ্যক বার ঘটে, সেই অনুযায়ী, এটি ঘটতে পারে না। ইউনিট হল এমন একটি সংখ্যা যা একটি শৃঙ্খলায় একটি পরিস্থিতির সমস্ত ফলাফল নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়। অতএব, q হল এমন একটি সংখ্যা যা ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনাকে নির্দেশ করে।

এখন আপনি Bernoulli এর সূত্র (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব) জানেন। আমরা নীচে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ বিবেচনা করব (প্রথম স্তর)।

টাস্ক 2:একটি দোকান দর্শক সম্ভাব্যতা 0.2 সঙ্গে একটি ক্রয় করতে হবে. 6 দর্শক স্বাধীনভাবে দোকানে প্রবেশ করেছে. একটি দর্শক একটি ক্রয় করতে হবে যে সম্ভাবনা কি?

সমাধান: যেহেতু এটা অজানা যে কতজন দর্শক একটি ক্রয় করবেন, এক বা ছয়টি, তাই বার্নোলি সূত্র ব্যবহার করে সমস্ত সম্ভাব্য সম্ভাব্যতা গণনা করা প্রয়োজন।

A = "দর্শক একটি ক্রয় করবে।"

এই ক্ষেত্রে: p = 0.2 (কাজে নির্দেশিত হিসাবে)। তদনুসারে, q=1-0.2 = 0.8।

n = 6 (যেহেতু দোকানে 6 জন গ্রাহক আছে)। m সংখ্যাটি 0 থেকে পরিবর্তিত হবে (একজন গ্রাহক ক্রয় করবে না) থেকে 6 (স্টোরের সমস্ত দর্শক কিছু কিনবে)। ফলস্বরূপ, আমরা সমাধান পেতে পারি:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621।

ক্রেতাদের কেউই সম্ভাব্যতা 0.2621 সহ ক্রয় করবে না।

বার্নোলির সূত্র (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব) অন্য কিভাবে ব্যবহার করা হয়? নীচের সমস্যা সমাধানের উদাহরণ (দ্বিতীয় স্তর)।

উপরের উদাহরণের পরে, C এবং r কোথায় গেল তা নিয়ে প্রশ্ন ওঠে। p এর সাথে আপেক্ষিক, 0 এর ঘাতের সাথে একটি সংখ্যা একের সমান হবে। সি হিসাবে, এটি সূত্র দ্বারা পাওয়া যেতে পারে:

গ n m = n! /m!(n-m)!

যেহেতু প্রথম উদাহরণে m = 0, যথাক্রমে, C = 1, যা নীতিগতভাবে ফলাফলকে প্রভাবিত করে না। নতুন সূত্র ব্যবহার করে, দুই দর্শক পণ্য কেনার সম্ভাবনা কি তা খুঁজে বের করার চেষ্টা করি।

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246।

সম্ভাবনার তত্ত্ব তেমন জটিল নয়। বার্নোলির সূত্র, যার উদাহরণ উপরে উপস্থাপন করা হয়েছে, এর প্রত্যক্ষ প্রমাণ।

পয়সনের সূত্র

পয়সনের সমীকরণটি কম সম্ভাব্যতা এলোমেলো পরিস্থিতি গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।

মৌলিক সূত্র:

P n (m) =λ m/m! × e (-λ)।

এই ক্ষেত্রে λ = n x p। এখানে একটি সহজ পয়সন সূত্র (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব)। আমরা নীচে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ বিবেচনা করব।

টাস্ক 3: কারখানাটি 100,000 যন্ত্রাংশ তৈরি করেছে। ত্রুটিপূর্ণ অংশের সংঘটন = 0.0001। একটি ব্যাচে 5টি ত্রুটিপূর্ণ অংশ থাকার সম্ভাবনা কত?

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বিবাহ একটি অসম্ভাব্য ঘটনা, এবং তাই গণনার জন্য পয়সন সূত্র (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব) ব্যবহার করা হয়। এই ধরণের সমস্যা সমাধানের উদাহরণগুলি শৃঙ্খলার অন্যান্য কাজের থেকে আলাদা নয়; আমরা প্রদত্ত সূত্রে প্রয়োজনীয় ডেটা প্রতিস্থাপন করি:

A = "একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত অংশ ত্রুটিপূর্ণ হবে।"

p = 0.0001 (টাস্ক শর্ত অনুযায়ী)।

n = 100000 (অংশের সংখ্যা)।

m = 5 (ত্রুটিপূর্ণ অংশ)। আমরা সূত্রে ডেটা প্রতিস্থাপন করি এবং পাই:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375।

বার্নোলি সূত্রের মতো (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব), সমাধানের উদাহরণ যা ব্যবহার করে উপরে লেখা আছে, পয়সন সমীকরণের একটি অজানা ই আছে। আসলে, এটি সূত্র দ্বারা পাওয়া যেতে পারে:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n।

যাইহোক, এমন বিশেষ টেবিল রয়েছে যাতে ই এর প্রায় সমস্ত মান রয়েছে।

De Moivre-Laplace উপপাদ্য

যদি বার্নোলি স্কিমে ট্রায়ালের সংখ্যা যথেষ্ট পরিমাণে হয় এবং সমস্ত স্কিমে ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা একই হয়, তাহলে পরীক্ষার একটি সিরিজে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক বার ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা খুঁজে পাওয়া যাবে ল্যাপ্লেসের সূত্র:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m)।

X m = m-np/√npq.

ল্যাপ্লেসের সূত্র (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব) আরও ভালভাবে মনে রাখার জন্য, সাহায্য করার জন্য নিচে সমস্যার উদাহরণ দেওয়া হল।

প্রথমে, আসুন X m খুঁজে বের করি, সূত্রে ডেটা (এগুলি সব উপরে তালিকাভুক্ত) প্রতিস্থাপন করুন এবং 0.025 পান। টেবিল ব্যবহার করে, আমরা ϕ(0.025) সংখ্যাটি খুঁজে পাই, যার মান 0.3988। এখন আপনি সূত্রে সমস্ত ডেটা প্রতিস্থাপন করতে পারেন:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03।

এইভাবে, ফ্লায়ারটি ঠিক 267 বার কাজ করার সম্ভাবনা 0.03।

বেইস সূত্র

বেইস সূত্র (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব), যার সাহায্যে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ নীচে দেওয়া হবে, একটি সমীকরণ যা এটির সাথে যুক্ত হতে পারে এমন পরিস্থিতির উপর ভিত্তি করে একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা বর্ণনা করে। মৌলিক সূত্র নিম্নরূপ:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B)।

A এবং B নির্দিষ্ট ঘটনা।

P(A|B) হল একটি শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা, অর্থাৎ ঘটনা A ঘটতে পারে যদি ঘটনা B সত্য হয়।

P (B|A) - ঘটনা B এর শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা।

সুতরাং, সংক্ষিপ্ত কোর্স "সম্ভাব্যতা তত্ত্ব" এর চূড়ান্ত অংশ হল বেইস সূত্র, নিচের সমস্যাগুলির সমাধানের উদাহরণ।

টাস্ক 5: তিনটি কোম্পানির ফোন গুদামে আনা হয়েছে। একই সময়ে, প্রথম প্ল্যান্টে উত্পাদিত ফোনগুলির ভাগ 25%, দ্বিতীয়টিতে - 60%, তৃতীয়টিতে - 15%। এটি আরও জানা যায় যে প্রথম কারখানায় ত্রুটিযুক্ত পণ্যের গড় শতাংশ 2%, দ্বিতীয়টিতে - 4% এবং তৃতীয়টিতে - 1%। আপনাকে সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করতে হবে যে একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত ফোন ত্রুটিপূর্ণ হবে।

A = "এলোমেলোভাবে বাছাই করা ফোন।"

B 1 - ফোন যে প্রথম কারখানা উত্পাদিত. তদনুসারে, পরিচায়ক B 2 এবং B 3 উপস্থিত হবে (দ্বিতীয় এবং তৃতীয় কারখানার জন্য)।

ফলস্বরূপ আমরা পাই:

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - এইভাবে আমরা প্রতিটি বিকল্পের সম্ভাব্যতা খুঁজে পেয়েছি।

এখন আপনাকে পছন্দসই ইভেন্টের শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতাগুলি খুঁজে বের করতে হবে, অর্থাৎ কোম্পানিগুলিতে ত্রুটিপূর্ণ পণ্যগুলির সম্ভাবনা:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01।

এখন বেইস সূত্রে ডেটা প্রতিস্থাপন করা যাক এবং পান:

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305।

নিবন্ধটি সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, সূত্র এবং সমস্যা সমাধানের উদাহরণ উপস্থাপন করে, তবে এটি একটি বিশাল শৃঙ্খলার আইসবার্গের টিপ মাত্র। এবং যা কিছু লেখা হয়েছে তার পরে, জীবনে সম্ভাব্যতার তত্ত্বের প্রয়োজন আছে কিনা এই প্রশ্নটি করা যুক্তিযুক্ত হবে। একজন সাধারণ ব্যক্তির পক্ষে উত্তর দেওয়া কঠিন; জ্যাকপট জেতার জন্য একাধিকবার ব্যবহার করেছেন এমন কাউকে জিজ্ঞাসা করা ভাল।

গণিতের কোর্সটি স্কুলছাত্রীদের জন্য অনেক বিস্ময় তৈরি করে, যার মধ্যে একটি হল সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সমস্যা। প্রায় একশ শতাংশ ক্ষেত্রে ছাত্রদের এই ধরনের কাজগুলি সমাধান করতে সমস্যা হয়। এই সমস্যাটি বুঝতে এবং বোঝার জন্য, আপনাকে প্রাথমিক নিয়ম, স্বতঃসিদ্ধ এবং সংজ্ঞাগুলি জানতে হবে। বইয়ের টেক্সট বুঝতে হলে আপনাকে সব সংক্ষিপ্ত রূপ জানতে হবে। আমরা এই সব শিখতে প্রস্তাব.

বিজ্ঞান এবং এর প্রয়োগ

যেহেতু আমরা "ডামিগুলির জন্য সম্ভাব্যতা তত্ত্ব"-এ একটি ক্র্যাশ কোর্স অফার করছি, তাই আমাদের প্রথমে প্রাথমিক ধারণা এবং অক্ষর সংক্ষিপ্ত রূপগুলি উপস্থাপন করতে হবে। শুরু করার জন্য, আসুন "সম্ভাব্যতা তত্ত্ব" এর ধারণাটিকে সংজ্ঞায়িত করি। এটা কি ধরনের বিজ্ঞান এবং কেন এটি প্রয়োজন? সম্ভাব্যতা তত্ত্ব হল গণিতের একটি শাখা যা এলোমেলো ঘটনা এবং পরিমাণ অধ্যয়ন করে। তিনি এই র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সাথে সম্পাদিত নিদর্শন, বৈশিষ্ট্য এবং ক্রিয়াকলাপগুলিও বিবেচনা করেন। এটি কিসের জন্যে? প্রাকৃতিক ঘটনা অধ্যয়নে বিজ্ঞান ব্যাপক হয়ে উঠেছে। কোন প্রাকৃতিক এবং শারীরিক প্রক্রিয়া সুযোগের উপস্থিতি ছাড়া করতে পারে না। এমনকি পরীক্ষার সময় ফলাফলগুলি যথাসম্ভব নির্ভুলভাবে রেকর্ড করা হলেও, একই পরীক্ষার পুনরাবৃত্তি হলে, ফলাফল সম্ভবত একই হবে না।

আমরা অবশ্যই কাজের উদাহরণগুলি দেখব, আপনি নিজের জন্য দেখতে পারেন। ফলাফল অনেকগুলি বিভিন্ন কারণের উপর নির্ভর করে যেগুলিকে বিবেচনায় নেওয়া বা নিবন্ধন করা প্রায় অসম্ভব, তবে তবুও তারা পরীক্ষার ফলাফলের উপর বিশাল প্রভাব ফেলে। প্রাণবন্ত উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে গ্রহগুলির গতিপথ নির্ধারণ করা বা আবহাওয়ার পূর্বাভাস নির্ধারণ করা, কর্মক্ষেত্রে ভ্রমণের সময় একজন পরিচিত ব্যক্তির সাথে দেখা হওয়ার সম্ভাবনা এবং একজন ক্রীড়াবিদ লাফের উচ্চতা নির্ধারণ করা। সম্ভাবনার তত্ত্বটি স্টক এক্সচেঞ্জে ব্রোকারদেরও দারুণ সহায়তা প্রদান করে। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের একটি সমস্যা, যার সমাধান আগে অনেক সমস্যা ছিল, নীচে দেওয়া তিন বা চারটি উদাহরণের পরে আপনার জন্য একটি নিছক তুচ্ছ হয়ে যাবে।

ঘটনা

আগেই বলা হয়েছে, বিজ্ঞান ঘটনা অধ্যয়ন করে। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, আমরা একটু পরে সমস্যা সমাধানের উদাহরণগুলি দেখব, শুধুমাত্র এক প্রকার অধ্যয়ন করব - এলোমেলো। কিন্তু তবুও, আপনাকে জানতে হবে যে ঘটনাগুলি তিন ধরনের হতে পারে:

• অসম্ভব।
• নির্ভরযোগ্য।
• এলোমেলো।

আমরা তাদের প্রতিটি একটু আলোচনা করার প্রস্তাব. একটি অসম্ভব ঘটনা কোন পরিস্থিতিতে ঘটবে না. উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে: শূন্যের উপরে তাপমাত্রায় জল জমা করা, বলগুলির একটি ব্যাগ থেকে একটি ঘনক টেনে আনা।

একটি নির্ভরযোগ্য ইভেন্ট সর্বদা 100% গ্যারান্টি সহ ঘটে যদি সমস্ত শর্ত পূরণ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ: আপনি সম্পন্ন কাজের জন্য একটি বেতন পেয়েছেন, আপনি যদি আন্তরিকভাবে অধ্যয়ন করেন, পরীক্ষায় পাস করেন এবং আপনার ডিপ্লোমা রক্ষা করেন তবে উচ্চতর পেশাদার শিক্ষার একটি ডিপ্লোমা পেয়েছেন, ইত্যাদি।

সবকিছু একটু বেশি জটিল: পরীক্ষার সময় এটি ঘটতে পারে বা নাও হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, তিনটি প্রচেষ্টার বেশি না করার পরে একটি কার্ডের ডেক থেকে টেক্কা টানুন। আপনি প্রথম চেষ্টায় ফলাফল পেতে পারেন বা একেবারেই না। এটি একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা যা বিজ্ঞান অধ্যয়ন করে।

সম্ভাবনা

এটি একটি সাধারণ অর্থে, একটি অভিজ্ঞতার সফল ফলাফলের সম্ভাবনার একটি মূল্যায়ন যেখানে একটি ঘটনা ঘটে। সম্ভাব্যতা একটি গুণগত স্তরে মূল্যায়ন করা হয়, বিশেষ করে যদি পরিমাণগত মূল্যায়ন অসম্ভব বা কঠিন হয়। একটি সমাধান সহ সম্ভাব্যতা তত্ত্বের একটি সমস্যা, বা আরও সুনির্দিষ্টভাবে একটি অনুমানের সাথে, একটি সফল ফলাফলের খুব সম্ভাব্য অংশ খুঁজে পাওয়া জড়িত। গণিতে সম্ভাব্যতা হল একটি ঘটনার সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্য। এটি শূন্য থেকে এক পর্যন্ত মান নেয়, P অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যদি P শূন্যের সমান হয়, তাহলে ঘটনা ঘটতে পারে না; যদি এটি একটি হয়, তাহলে ঘটনাটি একশ শতাংশ সম্ভাবনার সাথে ঘটবে। যত বেশি P একটির কাছে যাবে, একটি সফল ফলাফলের সম্ভাবনা তত শক্তিশালী হবে এবং এর বিপরীতে, যদি এটি শূন্যের কাছাকাছি হয়, তাহলে ঘটনাটি কম সম্ভাবনার সাথে ঘটবে।

শব্দ সংক্ষেপ

আপনি শীঘ্রই যে সম্ভাব্য সমস্যার সম্মুখীন হবেন তাতে নিম্নলিখিত সংক্ষিপ্ত রূপ থাকতে পারে:

• P এবং P(X);
• A, B, C, ইত্যাদি;

কিছু অন্যও সম্ভব: প্রয়োজনে অতিরিক্ত ব্যাখ্যা করা হবে। আমরা প্রথমে উপস্থাপিত সংক্ষিপ্ত রূপগুলি পরিষ্কার করার পরামর্শ দিই। আমাদের তালিকার প্রথমটি ফ্যাক্টরিয়াল। এটি পরিষ্কার করার জন্য, আমরা উদাহরণ দিই: 5!=1*2*3*4*5 বা 3!=1*2*3। পরবর্তী, প্রদত্ত সেটগুলি কোঁকড়া বন্ধনীতে লেখা হয়, উদাহরণস্বরূপ: (1;2;3;4;..;n) বা (10;140;400;562)। নিম্নলিখিত স্বরলিপি হল প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট, যা প্রায়শই সম্ভাব্যতা তত্ত্বের কাজগুলিতে পাওয়া যায়। আগেই বলা হয়েছে, P হল একটি সম্ভাব্যতা, এবং P(X) হল একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা X। ঘটনাগুলি লাতিন বর্ণমালার বড় অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, উদাহরণস্বরূপ: A - একটি সাদা বল ধরা পড়েছিল, B - নীল , C - লাল বা, যথাক্রমে, . ছোট অক্ষর n হল সম্ভাব্য সমস্ত ফলাফলের সংখ্যা, এবং m হল সফলদের সংখ্যা। এখান থেকে আমরা প্রাথমিক সমস্যায় শাস্ত্রীয় সম্ভাব্যতা খোঁজার নিয়ম পাই: P = m/n। "ডামিদের জন্য" সম্ভাবনার তত্ত্ব সম্ভবত এই জ্ঞানের মধ্যে সীমাবদ্ধ। এখন, একত্রিত করতে, এর সমাধানের দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক।

সমস্যা 1. কম্বিনেটরিক্স

ছাত্র দলটি ত্রিশ জনের সমন্বয়ে গঠিত, যাদের থেকে একজন হেডম্যান, তার ডেপুটি এবং একজন ট্রেড ইউনিয়ন নেতা নির্বাচন করা প্রয়োজন। এই ক্রিয়াটি করার উপায়গুলির সংখ্যা খুঁজে বের করা প্রয়োজন। ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় একটি অনুরূপ কাজ প্রদর্শিত হতে পারে। সম্ভাব্যতার তত্ত্ব, যে সমস্যার সমাধান আমরা এখন বিবেচনা করছি, তাতে কম্বিনেটরিক্সের কোর্স, ক্লাসিক্যাল সম্ভাব্যতা, জ্যামিতিক সম্ভাবনা এবং মৌলিক সূত্রের সমস্যাগুলি অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে। এই উদাহরণে, আমরা একটি কম্বিনেটরিক্স কোর্স থেকে একটি টাস্ক সমাধান করছি। এর সমাধানের দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক। এই কাজটি সবচেয়ে সহজ:

1. n1=30 - ছাত্র গোষ্ঠীর সম্ভাব্য প্রিফেক্ট;
2. n2=29 - যারা ডেপুটি পদ নিতে পারে;
3. n3=28 জন ট্রেড ইউনিয়নের পদের জন্য আবেদন করে।

আমাদের যা করতে হবে তা হল সম্ভাব্য সংখ্যক বিকল্প খুঁজে বের করা, অর্থাৎ সমস্ত সূচককে গুণ করা। ফলস্বরূপ, আমরা পাই: 30*29*28=24360।

এই প্রশ্ন উত্থাপিত উত্তর হবে.

সমস্যা 2. পুনর্বিন্যাস

সম্মেলনে 6 জন অংশগ্রহণকারী বক্তব্য রাখেন, ক্রমটি লট অঙ্কনের মাধ্যমে নির্ধারিত হয়। আমাদের সম্ভাব্য ড্র অপশনের সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে। এই উদাহরণে, আমরা ছয়টি উপাদানের একটি স্থানান্তর বিবেচনা করছি, অর্থাৎ, আমাদের 6টি খুঁজে বের করতে হবে!

সংক্ষেপণ অনুচ্ছেদে, আমরা ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি এটি কী এবং কীভাবে এটি গণনা করা হয়। মোট, এটি দেখা যাচ্ছে যে 720টি অঙ্কন বিকল্প রয়েছে। প্রথম নজরে, একটি কঠিন কাজের একটি খুব সংক্ষিপ্ত এবং সহজ সমাধান আছে। এই কাজগুলি সম্ভাব্যতা তত্ত্ব বিবেচনা করে। আমরা নিম্নলিখিত উদাহরণগুলিতে উচ্চ-স্তরের সমস্যাগুলি কীভাবে সমাধান করব তা দেখব।

সমস্যা 3

পঁচিশ জন ছাত্রের একটি দলকে অবশ্যই ছয়, নয় এবং দশ জনের তিনটি উপগোষ্ঠীতে বিভক্ত করতে হবে। আমাদের আছে: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10। এটি প্রয়োজনীয় সূত্রে মানগুলিকে প্রতিস্থাপন করতে রয়ে গেছে, আমরা পাই: N25(6,9,10)। সাধারণ গণনার পরে, আমরা উত্তর পাই - 16,360,143,800। যদি টাস্কটি না বলে যে এটি একটি সংখ্যাসূচক সমাধান প্রাপ্ত করা প্রয়োজন, তবে এটি ফ্যাক্টরিয়াল আকারে দেওয়া যেতে পারে।

সমস্যা 4

তিনজন লোক এক থেকে দশ পর্যন্ত সংখ্যা অনুমান করেছে। কারো নম্বর মিলে যাওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন। প্রথমে আমাদের অবশ্যই সমস্ত ফলাফলের সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে - আমাদের ক্ষেত্রে এটি এক হাজার, অর্থাৎ দশ থেকে তৃতীয় শক্তি। এখন সবাই যখন বিভিন্ন সংখ্যা অনুমান করেছে তখন বিকল্পের সংখ্যা খুঁজে বের করা যাক, এটি করার জন্য আমরা দশ, নয় এবং আট গুণ করি। এই সংখ্যাগুলি কোথা থেকে এসেছে? প্রথমটি একটি সংখ্যা অনুমান করে, তার কাছে দশটি বিকল্প রয়েছে, দ্বিতীয়টির ইতিমধ্যে নয়টি রয়েছে এবং তৃতীয়টিকে বাকি আটটি থেকে চয়ন করতে হবে, তাই আমরা 720টি সম্ভাব্য বিকল্প পাই৷ যেমনটি আমরা ইতিমধ্যেই গণনা করেছি, মোট 1000টি বিকল্প রয়েছে এবং পুনরাবৃত্তি ছাড়াই 720টি রয়েছে, তাই, আমরা অবশিষ্ট 280টিতে আগ্রহী। এখন আমাদের ক্লাসিক্যাল সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করার জন্য একটি সূত্র প্রয়োজন: P = । আমরা উত্তর পেয়েছি: 0.28।

বাস্তবে বা আমাদের কল্পনায় ঘটে যাওয়া ঘটনাগুলোকে ৩টি দলে ভাগ করা যায়। এগুলি এমন কিছু ঘটনা যা অবশ্যই ঘটবে, অসম্ভব ঘটনা এবং এলোমেলো ঘটনা। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এলোমেলো ঘটনা অধ্যয়ন করে, যেমন ঘটনা যা ঘটতে পারে বা নাও হতে পারে। এই নিবন্ধটি সংক্ষিপ্তভাবে সম্ভাব্যতার সূত্রের তত্ত্ব এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ উপস্থাপন করবে, যা গণিতের (প্রোফাইল স্তর) ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার টাস্ক 4-এ থাকবে।

কেন আমরা সম্ভাব্যতা তত্ত্ব প্রয়োজন?

ঐতিহাসিকভাবে, 17 শতকে জুয়া খেলার বিকাশ এবং পেশাদারিকরণ এবং ক্যাসিনোগুলির উত্থানের সাথে এই সমস্যাগুলি অধ্যয়নের প্রয়োজনীয়তা দেখা দেয়। এটি একটি বাস্তব ঘটনা যা এর নিজস্ব অধ্যয়ন এবং গবেষণার প্রয়োজন ছিল।

তাস, পাশা এবং রুলেট খেলা এমন পরিস্থিতি তৈরি করেছে যেখানে সমান সংখ্যক সম্ভাব্য ঘটনা ঘটতে পারে। একটি নির্দিষ্ট ঘটনার সংঘটনের সম্ভাবনার সংখ্যাগত অনুমান দেওয়ার প্রয়োজন ছিল।

বিংশ শতাব্দীতে, এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে এই আপাতদৃষ্টিতে তুচ্ছ বিজ্ঞান মাইক্রোকসমের মধ্যে ঘটে যাওয়া মৌলিক প্রক্রিয়াগুলি বোঝার ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। সম্ভাবনার আধুনিক তত্ত্ব তৈরি হয়েছিল।

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণা

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের অধ্যয়নের উদ্দেশ্য হল ঘটনা এবং তাদের সম্ভাব্যতা। যদি একটি ঘটনা জটিল হয়, তবে এটিকে সাধারণ উপাদানগুলিতে বিভক্ত করা যেতে পারে, যার সম্ভাব্যতাগুলি খুঁজে পাওয়া সহজ।

ঘটনা A এবং B এর যোগফলকে ঘটনা C বলা হয়, যেটি ঘটনা A, বা ঘটনা B, অথবা ঘটনা A এবং B একই সাথে ঘটেছে।

ঘটনা A এবং B এর গুণফল হল একটি ঘটনা C, যার অর্থ হল ঘটনা A এবং B ঘটনা উভয়ই ঘটেছে।

ঘটনা A এবং B বেমানান বলা হয় যদি তারা একই সাথে ঘটতে না পারে।

একটি ঘটনা Aকে অসম্ভব বলা হয় যদি এটি ঘটতে না পারে। এই ধরনের ঘটনা প্রতীক দ্বারা নির্দেশিত হয়।

একটি ঘটনা A কে নিশ্চিত বলা হয় যদি এটি ঘটতে পারে। এই ধরনের ঘটনা প্রতীক দ্বারা নির্দেশিত হয়।

প্রতিটি ইভেন্ট A একটি সংখ্যা P(A) এর সাথে যুক্ত হোক। এই সংখ্যা P(A) কে ঘটনা A এর সম্ভাব্যতা বলা হয় যদি এই চিঠিপত্রের সাথে নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করা হয়।

একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ কেস হল পরিস্থিতি যখন সমানভাবে সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফল থাকে, এবং এই ফলাফলগুলির নির্বিচারে ঘটনা A গঠন করে। এই ক্ষেত্রে, সূত্র ব্যবহার করে সম্ভাব্যতা প্রবেশ করা যেতে পারে। এইভাবে প্রবর্তিত সম্ভাব্যতাকে শাস্ত্রীয় সম্ভাব্যতা বলে। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে এই ক্ষেত্রে বৈশিষ্ট্য 1-4 সন্তুষ্ট।

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সমস্যাগুলি যা গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় প্রদর্শিত হয় মূলত ক্লাসিক্যাল সম্ভাব্যতার সাথে সম্পর্কিত। এই ধরনের কাজ খুব সহজ হতে পারে. প্রদর্শন সংস্করণে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সমস্যাগুলি বিশেষ করে সহজ। অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা গণনা করা সহজ; সমস্ত ফলাফলের সংখ্যা ঠিক অবস্থায় লেখা হয়।

আমরা সূত্র ব্যবহার করে উত্তর পেতে.

সম্ভাব্যতা নির্ধারণে গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা থেকে একটি সমস্যার উদাহরণ

টেবিলে 20টি পাই রয়েছে - 5টি বাঁধাকপি, 7টি আপেল এবং 8টি ভাতের সাথে। মেরিনা পাই নিতে চায়। সে ভাতের পিঠা খাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান।

এখানে 20টি সমানভাবে সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফল রয়েছে, অর্থাৎ, মেরিনা 20টি পাইগুলির মধ্যে যেকোনো একটি নিতে পারে৷ কিন্তু আমাদের সম্ভাব্যতা অনুমান করতে হবে যে মেরিনা চালের পাই নেবে, অর্থাৎ, যেখানে A হল চালের পাইয়ের পছন্দ। এর মানে হল যে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা (ভাতের সাথে পাইয়ের পছন্দ) মাত্র 8। তারপর সম্ভাব্যতা সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হবে:

স্বাধীন, বিপরীত এবং স্বেচ্ছাচারী ঘটনা

যাইহোক, খোলা টাস্ক ব্যাংকে আরও জটিল কাজগুলি পাওয়া যেতে শুরু করে। অতএব, আসুন সম্ভাব্যতা তত্ত্বে অধ্যয়ন করা অন্যান্য বিষয়গুলির প্রতি পাঠকের দৃষ্টি আকর্ষণ করি।

ঘটনা A এবং B স্বাধীন বলা হয় যদি প্রতিটির সম্ভাব্যতা অন্য ঘটনা ঘটে কিনা তার উপর নির্ভর করে না।

ঘটনা B হল যে ঘটনা A ঘটেনি, অর্থাৎ ঘটনা B ঘটনা A এর বিপরীত। বিপরীত ঘটনার সম্ভাব্যতা সরাসরি ঘটনার সম্ভাব্যতা এক বিয়োগের সমান, যেমন .

সম্ভাবনা যোগ এবং গুণের উপপাদ্য, সূত্র

নির্বিচারে ইভেন্ট A এবং B এর জন্য, এই ইভেন্টগুলির যোগফলের সম্ভাবনা তাদের যৌথ ইভেন্টের সম্ভাবনা ছাড়াই তাদের সম্ভাব্যতার যোগফলের সমান, যেমন .

স্বাধীন ইভেন্ট A এবং B এর জন্য, এই ইভেন্টগুলির সংঘটনের সম্ভাবনা তাদের সম্ভাব্যতার গুণফলের সমান, যেমন এক্ষেত্রে .

শেষ 2টি বিবৃতিকে সম্ভাব্যতার যোগ এবং গুণের উপপাদ্য বলা হয়।

ফলাফলের সংখ্যা গণনা সবসময় এত সহজ নয়। কিছু ক্ষেত্রে কম্বিনেটরিক্স সূত্র ব্যবহার করা প্রয়োজন। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ করে এমন ইভেন্টের সংখ্যা গণনা করা। কখনও কখনও এই ধরনের গণনা স্বাধীন কাজ হয়ে উঠতে পারে।

6টি খালি আসনে 6 জন ছাত্রকে কতভাবে বসানো যাবে? প্রথম শিক্ষার্থী ৬টি স্থানের যেকোনো একটিতে অংশ নেবে। এই বিকল্পগুলির প্রত্যেকটি দ্বিতীয় ছাত্রের স্থান নেওয়ার জন্য 5টি উপায়ের সাথে মিলে যায়। তৃতীয় শিক্ষার্থীর জন্য 4টি বিনামূল্যে স্থান বাকি আছে, চতুর্থটির জন্য 3টি, পঞ্চমটির জন্য 2টি, এবং ষষ্ঠটি শুধুমাত্র অবশিষ্ট স্থানটি নেবে। সমস্ত বিকল্পের সংখ্যা খুঁজে পেতে, আপনাকে পণ্যটি খুঁজে বের করতে হবে, যা 6 প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়! এবং "ছয় ফ্যাক্টরিয়াল" পড়ে।

সাধারণ ক্ষেত্রে, এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয় n উপাদানের সংখ্যাক্রমের সূত্রের মাধ্যমে। আমাদের ক্ষেত্রে।

এখন আমাদের ছাত্রদের সাথে আরেকটি ঘটনা বিবেচনা করা যাক। 6টি খালি আসনে 2 জন ছাত্রকে কতভাবে বসানো যাবে? প্রথম শিক্ষার্থী ৬টি স্থানের যেকোনো একটিতে অংশ নেবে। এই বিকল্পগুলির প্রত্যেকটি দ্বিতীয় ছাত্রের স্থান নেওয়ার জন্য 5টি উপায়ের সাথে মিলে যায়। সমস্ত বিকল্পের সংখ্যা খুঁজে পেতে, আপনাকে পণ্যটি খুঁজে বের করতে হবে।

সাধারণভাবে, এই প্রশ্নের উত্তর k উপাদানের উপর n উপাদানের বসানো সংখ্যার সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়

আমাদের ক্ষেত্রে .

আর এই সিরিজের শেষ ঘটনা। আপনি কত উপায়ে 6 জনের মধ্যে তিনজন ছাত্র বেছে নিতে পারেন? প্রথম শিক্ষার্থীকে 6 উপায়ে, দ্বিতীয়টি - 5টি উপায়ে, তৃতীয়টি - চারটি উপায়ে নির্বাচন করা যেতে পারে। কিন্তু এই বিকল্পগুলির মধ্যে, একই তিন শিক্ষার্থী 6 বার উপস্থিত হয়। সমস্ত বিকল্পের সংখ্যা খুঁজে পেতে, আপনাকে মান গণনা করতে হবে: . সাধারণভাবে, এই প্রশ্নের উত্তরটি উপাদান দ্বারা উপাদানগুলির সংমিশ্রণের সংখ্যার সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়:

আমাদের ক্ষেত্রে .

সম্ভাব্যতা নির্ধারণের জন্য গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা থেকে সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

টাস্ক 1. দ্বারা সম্পাদিত সংগ্রহ থেকে. ইয়াশচেঙ্কো।

প্লেটে 30টি পাই রয়েছে: 3টি মাংসের সাথে, 18টি বাঁধাকপি এবং 9টি চেরি সহ। সাশা এলোমেলোভাবে একটি পাই বেছে নেয়। তিনি একটি চেরি দিয়ে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন।

.

উত্তর: 0.3।

টাস্ক 2. দ্বারা সম্পাদিত সংগ্রহ থেকে. ইয়াশচেঙ্কো।

1000টি বাল্বের প্রতিটি ব্যাচে গড়ে 20টি ত্রুটিপূর্ণ। একটি ব্যাচ থেকে এলোমেলোভাবে নেওয়া একটি আলোর বাল্ব কাজ করবে এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।

সমাধান: কার্যকরী আলোর বাল্বের সংখ্যা হল 1000-20=980। তারপর সম্ভাব্যতা যে একটি ব্যাচ থেকে এলোমেলোভাবে নেওয়া একটি লাইট বাল্ব কাজ করবে:

উত্তর: 0.98।

একটি গণিত পরীক্ষার সময় U শিক্ষার্থী 9টির বেশি সমস্যার সঠিকভাবে সমাধান করবে এমন সম্ভাবনা হল 0.67। U. সঠিকভাবে 8টির বেশি সমস্যার সমাধান করবে এমন সম্ভাবনা হল 0.73। U সঠিকভাবে 9টি সমস্যার সমাধান করার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন।

যদি আমরা একটি সংখ্যারেখা কল্পনা করি এবং তার উপর 8 এবং 9 বিন্দু চিহ্নিত করি, তাহলে আমরা দেখতে পাব যে "U. ঠিক 9টি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে" শর্তে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে "ইউ. 8টিরও বেশি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে", কিন্তু শর্তে প্রযোজ্য নয় "U. 9টিরও বেশি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে।"

তবে শর্ত “ইউ. 9টিরও বেশি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে" শর্তে রয়েছে "ইউ. 8টিরও বেশি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে।" এইভাবে, যদি আমরা ইভেন্টগুলি মনোনীত করি: "ইউ. ঠিক 9টি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে" - A, "U এর মাধ্যমে। 8টিরও বেশি সমস্যা সঠিকভাবে সমাধান করবে" - B, "U এর মাধ্যমে। সি এর মাধ্যমে 9টিরও বেশি সমস্যার সঠিকভাবে সমাধান করবে। সেই সমাধানটি দেখতে এরকম হবে:

উত্তর: 0.06।

জ্যামিতি পরীক্ষায়, একজন শিক্ষার্থী পরীক্ষার প্রশ্নের তালিকা থেকে একটি প্রশ্নের উত্তর দেয়। এটি একটি ত্রিকোণমিতি প্রশ্ন হওয়ার সম্ভাবনা 0.2। বাহ্যিক কোণে এটি একটি প্রশ্ন হওয়ার সম্ভাবনা 0.15। একই সাথে এই দুটি বিষয়ের সাথে সম্পর্কিত কোন প্রশ্ন নেই। পরীক্ষায় এই দুটি বিষয়ের একটিতে একজন শিক্ষার্থীর একটি প্রশ্ন পাওয়ার সম্ভাবনা খুঁজুন।

আসুন আমরা কি ঘটনা নিয়ে ভাবি। আমরা দুটি বেমানান ঘটনা দেওয়া হয়. অর্থাৎ, হয় প্রশ্নটি "ত্রিকোণমিতি" বিষয়ের সাথে বা "বাহ্যিক কোণ" বিষয়ের সাথে সম্পর্কিত হবে। সম্ভাব্যতা উপপাদ্য অনুসারে, অসামঞ্জস্যপূর্ণ ঘটনার সম্ভাবনা প্রতিটি ঘটনার সম্ভাব্যতার যোগফলের সমান, আমাদের অবশ্যই এই ঘটনার সম্ভাব্যতার যোগফল খুঁজে বের করতে হবে, অর্থাৎ:

উত্তর: 0.35।

ঘরটি তিনটি বাতি দিয়ে একটি লণ্ঠন দ্বারা আলোকিত হয়। এক বছরের মধ্যে একটি বাতি জ্বলে যাওয়ার সম্ভাবনা 0.29। বছরে অন্তত একটি বাতি জ্বলবে না এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।

আসুন সম্ভাব্য ঘটনা বিবেচনা করা যাক। আমাদের তিনটি আলোর বাল্ব রয়েছে, যার প্রতিটি অন্য কোনো আলোর বাল্ব থেকে স্বাধীনভাবে জ্বলতে পারে বা নাও পারে। এগুলো স্বাধীন ঘটনা।

তারপরে আমরা এই ধরনের ইভেন্টগুলির জন্য বিকল্পগুলি নির্দেশ করব। আসুন নিম্নলিখিত স্বরলিপি ব্যবহার করি: - আলোর বাল্ব চালু আছে, - আলোর বাল্বটি পুড়ে গেছে। এবং এর ঠিক পাশেই আমরা ঘটনার সম্ভাব্যতা গণনা করব। উদাহরণস্বরূপ, একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা যেখানে তিনটি স্বাধীন ইভেন্ট "আলোর বাল্ব জ্বলে গেছে", "আলোর বাল্ব চালু আছে", "আলোর বাল্ব চালু আছে" ঘটেছে: , যেখানে ঘটনার সম্ভাবনা "আলোর বাল্ব" is on" ইভেন্টের বিপরীতে ইভেন্টের সম্ভাব্যতা হিসাবে গণনা করা হয় "লাইট বাল্ব চালু নেই", যথা: .

সম্ভাব্যতা তত্ত্ব হল একটি গাণিতিক বিজ্ঞান যা কিছু র্যান্ডম ইভেন্টের সম্ভাব্যতা থেকে শুরু করে প্রথমটির সাথে সম্পর্কিত অন্যান্য এলোমেলো ঘটনার সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করতে দেয়।

একটি বিবৃতি যার সাথে একটি ঘটনা ঘটে সম্ভাবনা, সমান, উদাহরণস্বরূপ, ½, এখনও নিজের মধ্যে একটি চূড়ান্ত মান উপস্থাপন করে না, যেহেতু আমরা নির্ভরযোগ্য জ্ঞানের জন্য চেষ্টা করি। চূড়ান্ত জ্ঞানীয় মান হল সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সেই ফলাফল যা আমাদের বলতে দেয় যে কিছু ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা একতার খুব কাছাকাছি বা (যা একই জিনিস) ঘটনা A এর অ-ঘটনার সম্ভাবনা খুব বেশি ছোট "পর্যাপ্ত পরিমাণে ছোট সম্ভাবনাকে উপেক্ষা করা" নীতি অনুসারে, এই জাতীয় ঘটনাটি কার্যত নিশ্চিত হিসাবে বিবেচিত হয়। নীচে (সীমা উপপাদ্য বিভাগে) এটি দেখানো হয়েছে যে বৈজ্ঞানিক এবং ব্যবহারিক আগ্রহ রয়েছে এই ধরণের সিদ্ধান্তগুলি সাধারণত এই অনুমানের উপর ভিত্তি করে যে ঘটনা A এর সংঘটন বা অ-ঘটনা অনেক সংখ্যক এলোমেলো কারণের উপর নির্ভর করে যা খারাপভাবে আন্তঃসম্পর্কিত। নিজেদের সাথে. অতএব, আমরা এটাও বলতে পারি যে সম্ভাব্যতা তত্ত্ব হল একটি গাণিতিক বিজ্ঞান যা বিপুল সংখ্যক এলোমেলো কারণের মিথস্ক্রিয়া চলাকালীন উদ্ভূত প্যাটার্নগুলিকে ব্যাখ্যা করে।

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের বিষয়।

নির্দিষ্ট শর্ত S এবং ইভেন্ট A এর মধ্যে প্রাকৃতিক সংযোগ বর্ণনা করার জন্য, প্রদত্ত অবস্থার অধীনে ঘটনা বা অ-ঘটনা সঠিকভাবে প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে, প্রাকৃতিক বিজ্ঞান সাধারণত নিম্নলিখিত দুটি স্কিমগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করে:

ক) শর্ত S এর প্রতিটি পূর্ণতার সাথে, ঘটনা A ঘটে। এই ফর্মটিতে, উদাহরণস্বরূপ, ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সের সমস্ত আইন রয়েছে, যা বলে যে প্রাথমিক শর্ত এবং বাহিনী একটি শরীর বা দেহের সিস্টেমের উপর কাজ করে, আন্দোলন একটি অনন্যভাবে ঘটবে। সংজ্ঞায়িত উপায়।

b) শর্ত S এর অধীনে, ঘটনা A এর একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতা P (A / S), p এর সমান। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, তেজস্ক্রিয় বিকিরণের নিয়মগুলি বলে যে প্রতিটি তেজস্ক্রিয় পদার্থের জন্য একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা রয়েছে যে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ পদার্থ থেকে, একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক N পরমাণু ক্ষয় হবে।

আসুন n ট্রায়ালগুলির একটি প্রদত্ত সিরিজে ঘটনার A-এর ফ্রিকোয়েন্সিকে বলি (অর্থাৎ, n শর্ত S এর পুনরাবৃত্তি থেকে) অনুপাত h = m/n সংখ্যা m এর সেই ট্রায়ালগুলির সংখ্যা যেখানে A তাদের মোট সংখ্যা n এর সাথে ঘটেছে। . P এর সমান একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনার অবস্থা S এর অধীনে ইভেন্ট A এর উপস্থিতি এই সত্যে প্রকাশিত হয় যে প্রায় প্রতিটি পর্যাপ্ত দীর্ঘ সিরিজের পরীক্ষায় ঘটনা A এর ফ্রিকোয়েন্সি প্রায় p এর সমান।

পরিসংখ্যানগত নিদর্শন, অর্থাৎ, টাইপ (b) এর একটি স্কিম দ্বারা বর্ণিত নিদর্শনগুলি প্রথম পাশার মতো জুয়া খেলায় আবিষ্কৃত হয়েছিল। জন্ম এবং মৃত্যুর পরিসংখ্যানগত নিদর্শনগুলিও খুব দীর্ঘ সময়ের জন্য পরিচিত (উদাহরণস্বরূপ, একটি নবজাতকের একটি ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা 0.515)। 19 শতকের শেষের দিকে এবং 20 শতকের 1 ম অর্ধেক। পদার্থবিদ্যা, রসায়ন, জীববিদ্যা, ইত্যাদিতে প্রচুর পরিসংখ্যানগত আইনের আবিষ্কার দ্বারা চিহ্নিত।

পরস্পর থেকে খুব দূরে বিজ্ঞানের ক্ষেত্রগুলির সাথে সম্পর্কিত পরিসংখ্যানগত নিদর্শনগুলির অধ্যয়নে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের পদ্ধতিগুলি প্রয়োগ করার সম্ভাবনা এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে ঘটনাগুলির সম্ভাবনাগুলি সর্বদা কিছু সাধারণ সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে, যা নীচে আলোচনা করা হবে (দেখুন বিভাগ সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণা)। এই সরল সম্পর্কের ভিত্তিতে ঘটনার সম্ভাব্যতার বৈশিষ্ট্যের অধ্যয়ন হল সম্ভাব্যতা তত্ত্বের বিষয়।

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণা।

একটি গাণিতিক শৃঙ্খলা হিসাবে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণাগুলি তথাকথিত প্রাথমিক সম্ভাব্যতা তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে সবচেয়ে সহজভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্রাথমিক সম্ভাব্যতা তত্ত্বে বিবেচিত প্রতিটি পরীক্ষা T এমন যে এটি E1, E2,..., ES (কেসের উপর নির্ভর করে একটি বা অন্য) ইভেন্টগুলির একটি এবং শুধুমাত্র একটি দিয়ে শেষ হয়। এই ঘটনাগুলিকে ট্রায়াল ফলাফল বলা হয়। প্রতিটি ফলাফল Ek একটি ধনাত্মক সংখ্যা pk-এর সাথে যুক্ত - এই ফলাফলের সম্ভাবনা। সংখ্যা pk একটি পর্যন্ত যোগ করা আবশ্যক. তারপর ঘটনা A বিবেচনা করা হয়, যার মধ্যে থাকে যে "হয় Ei, বা Ej,..., বা Ek ঘটে।" ফলাফল Ei, Ej,..., Ek কে A এর অনুকূল বলা হয় এবং সংজ্ঞা অনুসারে, ঘটনা A এর সম্ভাব্যতা P (A) এর অনুকূল ফলাফলের সম্ভাব্যতার সমষ্টির সমান বলে ধরে নেওয়া হয়:

P (A) = pi + ps + … + pk। (1)

বিশেষ ক্ষেত্রে p1 = p2 =... ps = 1/S সূত্রের দিকে নিয়ে যায়

P(A) = r/s. (2)

সূত্র (2) সম্ভাব্যতার তথাকথিত ধ্রুপদী সংজ্ঞা প্রকাশ করে, যে অনুসারে যেকোন ঘটনার সম্ভাবনা A-এর অনুকূল ফলাফলের r সংখ্যার অনুপাতের সাথে সমস্ত "সমান সম্ভব" ফলাফলের সংখ্যার অনুপাতের সমান। সম্ভাবনার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা শুধুমাত্র "সম্ভাব্যতা" এর ধারণাটিকে "সমান সম্ভাবনা" এর ধারণায় হ্রাস করে, যা একটি স্পষ্ট সংজ্ঞা ছাড়াই থেকে যায়।

উদাহরণ। দুটি পাশা নিক্ষেপ করার সময়, 36টি সম্ভাব্য ফলাফলের প্রতিটিকে মনোনীত করা যেতে পারে (i, j), যেখানে i হল বিন্দুর সংখ্যা যা প্রথম পাশায় প্রদর্শিত হয়, দ্বিতীয়টিতে j। ফলাফল সমান সম্ভাব্য হতে অনুমান করা হয়. ইভেন্ট A - "বিন্দুর যোগফল হল 4", তিনটি ফলাফল (1; 3), (2; 2), (3; 1) দ্বারা অনুকূল। অতএব, P(A) = 3/36 = 1/12।

যে কোনো প্রদত্ত ইভেন্টের উপর ভিত্তি করে, দুটি নতুন ঘটনা নির্ধারণ করা যেতে পারে: তাদের মিলন (সমষ্টি) এবং সংমিশ্রণ (পণ্য)। ইভেন্ট B কে ঘটনাগুলির মিলন বলা হয় A 1, A 2,..., Ar, - যদি এর ফর্ম থাকে: "হয় A1, বা A2,..., বা Ar ঘটে।"

ইভেন্ট C কে ঘটনা A1, A.2,..., Ar এর সংমিশ্রণ বলা হয় যদি এর ফর্ম থাকে: "A1, A2,..., এবং Ar উভয়ই ঘটে।" ঘটনার মিলন È চিহ্ন দ্বারা এবং সংমিশ্রণটি Ç চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সুতরাং, তারা লেখেন:

B = A1 È A2 È … È Ar, C = A1 Ç A2 Ç … Ç Ar.

ঘটনা A এবং B কে বেমানান বলা হয় যদি তাদের একযোগে ঘটা অসম্ভব হয়, অর্থাৎ, যদি পরীক্ষার ফলাফলের মধ্যে A এবং B উভয়ের পক্ষে একটিও অনুকূল না থাকে।

ইভেন্টগুলিকে একত্রিত করা এবং একত্রিত করার প্রবর্তিত ক্রিয়াকলাপগুলি গাণিতিক তত্ত্বের দুটি প্রধান উপপাদ্যের সাথে যুক্ত - সম্ভাব্যতার যোগ এবং গুণনের উপপাদ্য।

সম্ভাব্যতা যোগ উপপাদ্য। যদি ঘটনা A1, A2,..., Ar এমন হয় যে তাদের প্রতিটি দুটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তাহলে তাদের মিলনের সম্ভাবনা তাদের সম্ভাব্যতার যোগফলের সমান।

সুতরাং, উপরের উদাহরণে দুটি পাশা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে, ঘটনা B - "বিন্দুর যোগফল 4 এর বেশি নয়", তিনটি বেমানান ইভেন্ট A2, A3, A4 এর মিলন, যা বিন্দুর যোগফল সমান যথাক্রমে 2, 3, 4 থেকে। এই ঘটনার সম্ভাবনা 1/36; 2/36; ৩/৩৬। যোগ উপপাদ্য অনুসারে, সম্ভাব্যতা P (B) এর সমান

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

ঘটনা B প্রদত্ত শর্ত A এর শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

যা, যেমন দেখানো যেতে পারে, ফ্রিকোয়েন্সির বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সম্পূর্ণ সঙ্গতিপূর্ণ। ঘটনা A1, A2,..., Ar স্বাধীন বলা হয় যদি তাদের প্রত্যেকের শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা, শর্ত থাকে যে অন্য যে কোনোটি ঘটেছে, তার "নিঃশর্ত" সম্ভাবনার সমান

সম্ভাব্যতা গুণন উপপাদ্য। ঘটনা A1, A2,..., Ar একত্রিত করার সম্ভাবনা ঘটনা A1 এর সম্ভাবনার সমান, ঘটনা A2 এর সম্ভাব্যতা দ্বারা গুণিত, A1 ঘটেছে এমন শর্তে নেওয়া হয়েছে,..., ঘটনার সম্ভাবনা দ্বারা গুণিত Ar, যদি A1, A2,... ., Ar-1 এসেছে। স্বাধীন ইভেন্টের জন্য, গুণন উপপাদ্য সূত্রের দিকে নিয়ে যায়:

P (A1 Ç A2 Ç … Ç Ar) = P (A1) Ї P (A2) Ї … Ї P (Ar), (3)

অর্থাৎ, স্বাধীন ইভেন্টগুলিকে একত্রিত করার সম্ভাবনা এই ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতার গুণফলের সমান। সূত্র (3) বৈধ থাকে যদি এর উভয় অংশে কিছু ঘটনা তাদের বিপরীতে প্রতিস্থাপিত হয়।

উদাহরণ। প্রতি শটে 0.2 এর আঘাতের সম্ভাবনা সহ লক্ষ্যবস্তুতে 4টি শট নিক্ষেপ করা হয়। বিভিন্ন শট থেকে টার্গেট হিটকে স্বাধীন ইভেন্ট বলে ধরে নেওয়া হয়। ঠিক তিনবার লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা কত?

প্রতিটি পরীক্ষার ফলাফল চারটি অক্ষরের একটি ক্রম দ্বারা নির্দেশিত হতে পারে [যেমন, (y, n, n, y) মানে প্রথম এবং চতুর্থ শট আঘাত (সফলতা), এবং দ্বিতীয় এবং তৃতীয় শট আঘাত করেনি (ব্যর্থতা)]। 2Ї2Ї2Ї2 = 16 ফলাফল হবে। স্বতন্ত্র শটগুলির ফলাফলের স্বাধীনতার অনুমান অনুসারে, এই ফলাফলগুলির সম্ভাব্যতা নির্ধারণের জন্য সূত্র (3) এবং এটিতে একটি নোট ব্যবহার করা উচিত। সুতরাং, ফলাফলের সম্ভাব্যতা (y, n. n, n) 0.2Ї0.8Ї0.8Ї0.8 = 0.1024 এর সমান সেট করা উচিত; এখানে 0.8 = 1-0.2 হল একটি শটে মিস হওয়ার সম্ভাবনা। ইভেন্ট "টার্গেট তিনবার আঘাত করা হয়েছে" ফলাফল দ্বারা অনুকূল হয় (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y)। (n, y, y, y), প্রতিটির সম্ভাব্যতা একই:

0.2Ї0.2Ї0.2Ї0.8 =...... = 0.8Ї0.2Ї0.2Ї0.2 = 0.0064;

অতএব, প্রয়োজনীয় সম্ভাব্যতা সমান

4Ї0.0064 = 0.0256।

বিশ্লেষিত উদাহরণের যুক্তিকে সাধারণীকরণ করে, আমরা সম্ভাব্যতা তত্ত্বের একটি মৌলিক সূত্র বের করতে পারি: যদি ঘটনা A1, A2,..., An স্বাধীন হয় এবং প্রত্যেকটির একটি সম্ভাব্যতা p থাকে, তাহলে তাদের ঠিক m ঘটার সম্ভাবনা সমান

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

এখানে Cnm m এর n উপাদানের সংমিশ্রণের সংখ্যা নির্দেশ করে। বড় n-এর জন্য, সূত্র (4) ব্যবহার করে গণনা করা কঠিন হয়ে পড়ে। আগের উদাহরণে শটের সংখ্যা 100 হতে দিন, এবং সম্ভাব্যতা x খুঁজে বের করতে প্রশ্নটি বলা হয়েছে যে হিটের সংখ্যা 8 থেকে 32 এর মধ্যে রয়েছে। সূত্রের প্রয়োগ (4) এবং সংযোজন উপপাদ্য একটি সঠিক দেয়, কিন্তু কাঙ্ক্ষিত সম্ভাবনার কার্যত অব্যবহারযোগ্য অভিব্যক্তি

ল্যাপ্লেসের উপপাদ্য ব্যবহার করে x সম্ভাব্যতার আনুমানিক মান পাওয়া যাবে

এবং ত্রুটি 0.0009 অতিক্রম করে না। প্রাপ্ত ফলাফল দেখায় যে ঘটনা 8 £ m £ 32 প্রায় নিশ্চিত। এটি সম্ভাব্যতা তত্ত্বে সীমা উপপাদ্য ব্যবহারের সবচেয়ে সহজ, কিন্তু সাধারণ উদাহরণ।

প্রাথমিক সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক সূত্রগুলি তথাকথিত মোট সম্ভাব্যতার সূত্রও অন্তর্ভুক্ত করে: যদি ঘটনা A1, A2,..., Ar জোড়াভাবে বেমানান হয় এবং তাদের মিলন একটি নির্ভরযোগ্য ঘটনা হয়, তাহলে যে কোনো ঘটনার জন্য B এর সম্ভাব্যতা সমান। যোগফল

যৌগিক পরীক্ষা বিবেচনা করার সময় সম্ভাব্যতা গুণন উপপাদ্যটি বিশেষভাবে কার্যকর। একটি ট্রায়াল T ট্রায়াল T1, T2,..., Tn-1, Tn দ্বারা গঠিত বলা হয় যদি একটি ট্রায়াল T-এর প্রতিটি ফলাফল সংশ্লিষ্ট কিছু ফলাফলের Ai, Bj,..., Xk, Yl এর সংমিশ্রণ হয় ট্রায়াল T1, T2,... , Tn-1, Tn. এক বা অন্য কারণ থেকে, সম্ভাবনা প্রায়ই পরিচিত হয়

সম্ভাব্য, সম্ভাব্য এবং এলোমেলোভাবে ঘটনাগুলির শ্রেণীবিভাগ। সাধারণ এবং জটিল প্রাথমিক ঘটনাগুলির ধারণা। ইভেন্টের উপর অপারেশন. একটি এলোমেলো ঘটনার সম্ভাব্যতার ক্লাসিক সংজ্ঞা এবং এর বৈশিষ্ট্য। সম্ভাব্যতা তত্ত্বে সমন্বয়বিদ্যার উপাদান। জ্যামিতিক সম্ভাবনা। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ।

ইভেন্ট শ্রেণীবিভাগ

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণাগুলির মধ্যে একটি হল একটি ঘটনার ধারণা। অধীন ঘটনাঅভিজ্ঞতা বা পরীক্ষার ফলে ঘটতে পারে এমন যেকোন সত্যকে বুঝতে পারে। অধীন অভিজ্ঞতা, বা পরীক্ষা, শর্তের একটি নির্দিষ্ট সেট বাস্তবায়ন বোঝায়।

ইভেন্টের উদাহরণ:

- বন্দুক থেকে গুলি চালানোর সময় লক্ষ্যে আঘাত করা (অভিজ্ঞতা - একটি গুলি করা; ঘটনা - লক্ষ্যে আঘাত করা);
- একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করার সময় দুটি প্রতীকের ক্ষতি (অভিজ্ঞতা - একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ; ঘটনা - দুটি প্রতীকের ক্ষতি);
- লক্ষ্যে পরিসীমা পরিমাপ করার সময় নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে একটি পরিমাপ ত্রুটির উপস্থিতি (অভিজ্ঞতা - পরিসর পরিমাপ; ঘটনা - পরিমাপের ত্রুটি)।

অনুরূপ অগণিত উদাহরণ দেওয়া যেতে পারে। ইভেন্টগুলি লাতিন বর্ণমালা ইত্যাদির বড় অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত হয়।

পার্থক্য করা যৌথ ঘটনাএবং বেমানান. ঘটনাগুলিকে যৌথ বলা হয় যদি তাদের একটির ঘটনা অন্যটির সংঘটনকে বাদ না দেয়। অন্যথায়, ঘটনাগুলিকে বেমানান বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, দুটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়। ইভেন্ট হল প্রথম ডাইতে তিন পয়েন্ট হারানো, ইভেন্ট হল দ্বিতীয় ডাইতে তিন পয়েন্ট হারানো। এবং - যৌথ ইভেন্ট। দোকান একই শৈলী এবং আকার জুতা একটি ব্যাচ পেতে দিন, কিন্তু বিভিন্ন রং. ইভেন্ট - এলোমেলোভাবে নেওয়া একটি বাক্সে কালো জুতা থাকবে, একটি ইভেন্ট থাকবে - বাক্সে বাদামী জুতা থাকবে, এবং - বেমানান ঘটনা।

অনুষ্ঠান বলা হয় নির্ভরযোগ্য, যদি এটি একটি প্রদত্ত পরীক্ষার অবস্থার অধীনে ঘটতে নিশ্চিত হয়।

একটি ঘটনাকে অসম্ভব বলা হয় যদি এটি একটি প্রদত্ত অভিজ্ঞতার শর্তে ঘটতে না পারে। উদাহরণ স্বরূপ, যে ইভেন্টটি স্ট্যান্ডার্ড অংশগুলির একটি ব্যাচ থেকে একটি আদর্শ অংশ নেওয়া হবে তা নির্ভরযোগ্য, কিন্তু একটি অ-মানক অংশ অসম্ভব।

অনুষ্ঠান বলা হয় সম্ভব, বা এলোমেলো, যদি অভিজ্ঞতার ফলস্বরূপ এটি প্রদর্শিত হতে পারে, তবে এটি প্রদর্শিত নাও হতে পারে। একটি র্যান্ডম ইভেন্টের একটি উদাহরণ হতে পারে সমাপ্ত পণ্যগুলির একটি ব্যাচ পরিদর্শনের সময় পণ্যের ত্রুটিগুলির সনাক্তকরণ, প্রক্রিয়াকৃত পণ্যের আকার এবং নির্দিষ্ট একটির মধ্যে একটি পার্থক্য, বা স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থার লিঙ্কগুলির একটির ব্যর্থতা।

ঘটনা বলা হয় সমানভাবে সম্ভব, যদি, পরীক্ষার শর্ত অনুযায়ী, এই ইভেন্টগুলির কোনটিই অন্যের চেয়ে বস্তুনিষ্ঠভাবে বেশি সম্ভব নয়। উদাহরণ স্বরূপ, একটি দোকানে বিভিন্ন উৎপাদনকারী প্ল্যান্টের দ্বারা লাইট বাল্ব (সমান পরিমাণে) সরবরাহ করা হোক। এই কারখানাগুলির যেকোনো একটি থেকে একটি লাইট বাল্ব কেনার সাথে জড়িত ইভেন্টগুলি সমানভাবে সম্ভব।

একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা ইভেন্টের সম্পূর্ণ গ্রুপ. একটি প্রদত্ত পরীক্ষার বেশ কয়েকটি ঘটনা একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে যদি তাদের মধ্যে অন্তত একটি পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে উপস্থিত হওয়ার বিষয়ে নিশ্চিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি কলসে দশটি বল থাকে, যার মধ্যে ছয়টি লাল, চারটি সাদা এবং পাঁচটি বলের সংখ্যা থাকে। - একটি ড্রয়ের সময় একটি লাল বলের উপস্থিতি, - একটি সাদা বলের উপস্থিতি, - একটি সংখ্যা সহ একটি বলের উপস্থিতি। ঘটনাগুলি যৌথ ইভেন্টগুলির একটি সম্পূর্ণ গ্রুপ গঠন করে।

আসুন একটি বিপরীত, বা অতিরিক্ত, ঘটনার ধারণাটি প্রবর্তন করি। অধীন বিপরীতএকটি ইভেন্ট একটি ঘটনা হিসাবে বোঝা যায় যা অবশ্যই ঘটতে হবে যদি কিছু ঘটনা ঘটে না। বিপরীত ঘটনাগুলি বেমানান এবং একমাত্র সম্ভব। তারা ইভেন্টের একটি সম্পূর্ণ গ্রুপ গঠন করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি উৎপাদিত পণ্যের একটি ব্যাচে ভাল এবং ত্রুটিপূর্ণ পণ্য থাকে, তাহলে যখন একটি পণ্য সরানো হয়, তখন তা হয় ভাল - ঘটনা বা ত্রুটিপূর্ণ - ঘটনা হতে পারে।

ইভেন্টের উপর অপারেশন

সম্ভাব্যতা তত্ত্বে এলোমেলো ঘটনা অধ্যয়নের জন্য একটি যন্ত্রপাতি এবং পদ্ধতি বিকাশ করার সময়, ঘটনার যোগফল এবং গুণফলের ধারণাটি খুবই গুরুত্বপূর্ণ।

বেশ কয়েকটি ইভেন্টের যোগফল বা মিলন হল একটি ইভেন্ট যা এই ইভেন্টগুলির মধ্যে অন্তত একটির সংঘটন নিয়ে গঠিত।

ঘটনার যোগফল নিম্নরূপ নির্দেশিত হয়:

উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি ইভেন্ট প্রথম শট দিয়ে লক্ষ্যে আঘাত করে, একটি ইভেন্ট - দ্বিতীয়টি দিয়ে, তাহলে ঘটনাটি সাধারণভাবে লক্ষ্যে আঘাত করছে, কোন শট দিয়ে তা বিবেচ্য নয় - প্রথম, দ্বিতীয় বা উভয়ই।

বেশ কয়েকটি ইভেন্টের পণ্য, বা ছেদ, এই সমস্ত ঘটনার যৌথ সংঘটন নিয়ে গঠিত একটি ঘটনা।

ঘটনা উৎপাদন নির্দেশিত হয়

উদাহরণস্বরূপ, যদি ঘটনাটি এমন হয় যে লক্ষ্যটি প্রথম শট দিয়ে আঘাত করা হয়েছে, ঘটনাটি হল যে লক্ষ্যটি দ্বিতীয় শট দিয়ে আঘাত করা হয়েছে, তাহলে ঘটনাটি হল লক্ষ্য দুটি শট দিয়ে আঘাত করা হয়েছে।

ঘটনার যোগফল এবং গুণফলের ধারণাগুলির একটি স্পষ্ট জ্যামিতিক ব্যাখ্যা রয়েছে। ঘটনাটি অঞ্চলে প্রবেশের একটি বিন্দু নিয়ে গঠিত যাক, ঘটনাটি অঞ্চলে প্রবেশ করা নিয়ে গঠিত, তারপর ঘটনাটি চিত্রে ছায়াযুক্ত অঞ্চলে প্রবেশের বিন্দু নিয়ে গঠিত। 1, এবং ইভেন্ট হল যখন একটি বিন্দু চিত্রে ছায়াযুক্ত এলাকায় আঘাত করে। 2.

একটি এলোমেলো ঘটনার সম্ভাব্যতার ক্লাসিক সংজ্ঞা

ইভেন্টগুলিকে তাদের সংঘটনের সম্ভাবনার মাত্রা অনুসারে পরিমাণগতভাবে তুলনা করার জন্য, একটি সংখ্যাসূচক পরিমাপ চালু করা হয়, যাকে একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা বলা হয়।

একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা এমন একটি সংখ্যা যা একটি ঘটনার সংঘটনের উদ্দেশ্যমূলক সম্ভাবনার পরিমাপ প্রকাশ করে।

একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হবে।

একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা তার পক্ষে অনুকূল মামলার সংখ্যার অনুপাতের সমান, অনন্যভাবে সম্ভব, সমানভাবে সম্ভব এবং অসামঞ্জস্যপূর্ণ ক্ষেত্রের সংখ্যার মধ্যেঅর্থাৎ

এটি সম্ভাব্যতার ক্লাসিক সংজ্ঞা। সুতরাং, একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করার জন্য, পরীক্ষার বিভিন্ন ফলাফল বিবেচনা করে, অনন্যভাবে সম্ভাব্য, সমানভাবে সম্ভব এবং বেমানান কেসগুলির একটি সেট খুঁজে বের করার জন্য, তাদের মোট সংখ্যা গণনা করা প্রয়োজন, একটি প্রদত্ত ক্ষেত্রে অনুকূল মামলার সংখ্যা। ঘটনা, এবং তারপর সূত্র ব্যবহার করে গণনা সঞ্চালন (1.1)।

সূত্র (1.1) থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা একটি নেতিবাচক সংখ্যা এবং মোট মামলার সংখ্যা থেকে অনুকূল সংখ্যার অনুপাতের উপর নির্ভর করে শূন্য থেকে এক পর্যন্ত পরিবর্তিত হতে পারে:

সম্ভাবনার বৈশিষ্ট্য

সম্পত্তি 1. যদি সমস্ত ক্ষেত্রে একটি প্রদত্ত ইভেন্টের পক্ষে অনুকূল হয়, তবে এই ঘটনাটি নিশ্চিত। ফলস্বরূপ, প্রশ্নে থাকা ঘটনাটি নির্ভরযোগ্য, এবং এর সংঘটনের সম্ভাবনা, যেহেতু এই ক্ষেত্রে

সম্পত্তি 2। যদি একটি প্রদত্ত ইভেন্টের জন্য একটি একক কেস অনুকূল না থাকে, তাহলে অভিজ্ঞতার ফলে এই ঘটনা ঘটতে পারে না। ফলস্বরূপ, প্রশ্নবিদ্ধ ইভেন্টটি অসম্ভব, এবং এর সংঘটনের সম্ভাবনা হল, যেহেতু এই ক্ষেত্রে:

সম্পত্তি 3. একটি সম্পূর্ণ দল গঠন করে এমন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা একের সমান।

সম্পত্তি 4. বিপরীত ঘটনার সংঘটনের সম্ভাব্যতা ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনার মতোই নির্ধারিত হয়:

যেখানে বিপরীত ঘটনা ঘটানোর পক্ষে অনুকূল মামলার সংখ্যা। তাই বিপরীত ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা একতা এবং ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মধ্যে পার্থক্যের সমান:

একটি ঘটনার সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞার একটি গুরুত্বপূর্ণ সুবিধা হল যে এর সাহায্যে একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা অভিজ্ঞতার আশ্রয় না নিয়ে, কিন্তু যৌক্তিক যুক্তির উপর ভিত্তি করে নির্ধারণ করা যেতে পারে।

উদাহরণ 1. একটি ফোন নম্বর ডায়াল করার সময়, গ্রাহক একটি সংখ্যা ভুলে যান এবং এলোমেলোভাবে এটি ডায়াল করেন৷ সঠিক নম্বর ডায়াল করার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন।

সমাধান। আমাদের ইভেন্টটি বোঝানো যাক যে প্রয়োজনীয় নম্বরটি ডায়াল করা হয়েছে। গ্রাহক 10টি সংখ্যার যেকোনো একটি ডায়াল করতে পারে, তাই সম্ভাব্য ফলাফলের মোট সংখ্যা 10। এই ফলাফলগুলিই একমাত্র সম্ভব (অঙ্কগুলির একটি ডায়াল করতে হবে) এবং সমানভাবে সম্ভব (অঙ্কটি এলোমেলোভাবে ডায়াল করা হয়)। শুধুমাত্র একটি ফলাফল ইভেন্টের পক্ষে (এখানে শুধুমাত্র একটি প্রয়োজনীয় সংখ্যা আছে)। প্রয়োজনীয় সম্ভাব্যতা ইভেন্টের অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা এবং সমস্ত ফলাফলের সংখ্যার অনুপাতের সমান:

কম্বিনেটরিক্সের উপাদান

সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, স্থান নির্ধারণ, স্থানান্তর এবং সংমিশ্রণগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। যদি একটি সেট দেওয়া হয়, তাহলে বসানো (সংমিশ্রণ)দ্বারা উপাদানগুলি হল সেটের উপাদানগুলির যেকোনো ক্রমবিন্যস্ত (অক্রমবিহীন) উপসেট। বসানো হলে বলা হয় পুনর্বিন্যাসউপাদান থেকে।

উদাহরণস্বরূপ, একটি সেট দেওয়া যাক। এই দুই সেটের তিনটি উপাদানের স্থাপনা হল , , , , , ; সংমিশ্রণ - , , .

দুটি সংমিশ্রণ কমপক্ষে একটি উপাদানের মধ্যে পৃথক, এবং স্থান নির্ধারণগুলি উপাদানগুলির মধ্যে বা যে ক্রমে সেগুলি প্রদর্শিত হয় তার মধ্যে পৃথক। দ্বারা উপাদানগুলির সংমিশ্রণের সংখ্যা সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়

দ্বারা উপাদান স্থাপনের সংখ্যা; - উপাদানগুলির ক্রমাগত সংখ্যা।

উদাহরণ 2. 10টি অংশের একটি ব্যাচে 7টি স্ট্যান্ডার্ড রয়েছে। এলোমেলোভাবে নেওয়া 6টি অংশের মধ্যে ঠিক 4টি স্ট্যান্ডার্ড রয়েছে এমন সম্ভাবনা খুঁজুন।

সমাধান। সম্ভাব্য পরীক্ষার ফলাফলের মোট সংখ্যা 10টি থেকে 6টি অংশ বের করা যায় এমন সংখ্যার সমান, অর্থাৎ 6টির 10টি উপাদানের সংমিশ্রণের সংখ্যার সমান। ইভেন্টের অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা (6টির মধ্যে নেওয়া অংশগুলি ঠিক 4টি স্ট্যান্ডার্ড রয়েছে) নিম্নরূপ নির্ধারণ করা হয়েছে: 4টি মানক অংশ 7টি আদর্শ অংশ থেকে বিভিন্ন উপায়ে নেওয়া যেতে পারে; এই ক্ষেত্রে, অবশিষ্ট অংশগুলি অবশ্যই অ-মানক হতে হবে; নন-স্ট্যান্ডার্ড অংশ থেকে 2টি অ-মানক অংশ নেওয়ার উপায় রয়েছে। অতএব, অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা সমান। প্রাথমিক সম্ভাবনা ইভেন্টের অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা এবং সমস্ত ফলাফলের সংখ্যার অনুপাতের সমান:

সম্ভাব্যতার পরিসংখ্যানগত সংজ্ঞা

সূত্র (1.1) শুধুমাত্র ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতাগুলিকে সরাসরি গণনা করতে ব্যবহৃত হয় যখন অভিজ্ঞতাকে কেসের প্যাটার্নে হ্রাস করা হয়। বাস্তবে, সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা প্রায়শই দুটি কারণে প্রযোজ্য নয়: প্রথমত, সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা অনুমান করে যে মোট ক্ষেত্রের সংখ্যা অবশ্যই সসীম হতে হবে। আসলে, এটা প্রায়ই সীমাবদ্ধ নয়। দ্বিতীয়ত, একটি পরীক্ষার ফলাফলকে সমানভাবে সম্ভব এবং বেমানান ঘটনা আকারে উপস্থাপন করা প্রায়ই অসম্ভব।

বারবার পরীক্ষা-নিরীক্ষার সময় ইভেন্টের সংঘটনের ফ্রিকোয়েন্সি কিছু ধ্রুবক মানের চারপাশে স্থিতিশীল হতে থাকে। এইভাবে, একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক মান বিবেচনাধীন ইভেন্টের সাথে যুক্ত করা যেতে পারে, যার চারপাশে ফ্রিকোয়েন্সিগুলিকে গোষ্ঠীভুক্ত করা হয় এবং যা পরীক্ষাগুলি এবং ঘটনার মধ্যে থাকা অবস্থার সেটের মধ্যে উদ্দেশ্যমূলক সংযোগের একটি বৈশিষ্ট্য।

একটি র্যান্ডম ইভেন্টের সম্ভাবনা হল সেই সংখ্যা যার চারপাশে এই ইভেন্টের ফ্রিকোয়েন্সিগুলি ট্রায়ালের সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে গোষ্ঠীবদ্ধ হয়৷

সম্ভাব্যতার এই সংজ্ঞা বলা হয় পরিসংখ্যানগত

সম্ভাব্যতা নির্ধারণের পরিসংখ্যান পদ্ধতির সুবিধা হল এটি একটি বাস্তব পরীক্ষার উপর ভিত্তি করে। যাইহোক, এর উল্লেখযোগ্য ত্রুটি হল সম্ভাব্যতা নির্ধারণের জন্য প্রচুর পরিমাণে পরীক্ষা-নিরীক্ষা করা প্রয়োজন, যা প্রায়শই উপাদান ব্যয়ের সাথে যুক্ত থাকে। একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতার পরিসংখ্যানগত নির্ণয়, যদিও এটি এই ধারণার বিষয়বস্তুকে পুরোপুরি প্রকাশ করে, প্রকৃতপক্ষে সম্ভাব্যতা গণনা করা সম্ভব করে না।

সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞাটি সমানভাবে সম্ভাব্য ঘটনার একটি সীমিত সংখ্যার সম্পূর্ণ গোষ্ঠীকে বিবেচনা করে। অনুশীলনে, প্রায়শই সম্ভাব্য পরীক্ষার ফলাফলের সংখ্যা অসীম। এই ধরনের ক্ষেত্রে, সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা প্রযোজ্য নয়। যাইহোক, কখনও কখনও এই ধরনের ক্ষেত্রে আপনি সম্ভাব্যতা গণনা করার অন্য পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন। সুনির্দিষ্টতার জন্য, আমরা দ্বি-মাত্রিক ক্ষেত্রে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখি।

ক্ষেত্রফলের একটি নির্দিষ্ট অঞ্চল, যেখানে ক্ষেত্রফলের অন্য একটি অঞ্চল রয়েছে, প্লেনে দেওয়া যাক (চিত্র 3)। এলোমেলোভাবে এলাকায় একটি বিন্দু নিক্ষেপ করা হয়। একটি বিন্দু অঞ্চলে পড়ার সম্ভাবনা কত? অনুমান করা হয় যে এলোমেলোভাবে নিক্ষিপ্ত একটি বিন্দু এই অঞ্চলের যে কোনও বিন্দুতে আঘাত করতে পারে এবং অঞ্চলের যে কোনও অংশে আঘাত করার সম্ভাবনা অংশটির ক্ষেত্রফলের সমানুপাতিক এবং এর অবস্থান এবং আকৃতির উপর নির্ভর করে না। এই ক্ষেত্রে, এলাকায় এলোমেলোভাবে একটি বিন্দু নিক্ষেপ করার সময় এলাকায় আঘাত করার সম্ভাবনা

সুতরাং, সাধারণ ক্ষেত্রে, যদি একটি রেখা, সমতলে বা মহাকাশে একটি নির্দিষ্ট এলাকার অভ্যন্তরে একটি বিন্দুর এলোমেলো উপস্থিতির সম্ভাবনা এই অঞ্চলের অবস্থান এবং এর সীমানা দ্বারা নয়, তবে শুধুমাত্র এর আকার, অর্থাৎ দৈর্ঘ্য দ্বারা নির্ধারিত হয়। , এলাকা বা আয়তন, তারপর একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলের অভ্যন্তরে একটি এলোমেলো বিন্দু পড়ার সম্ভাবনাকে এই অঞ্চলের আকারের সাথে সমগ্র অঞ্চলের আকারের অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু উপস্থিত হতে পারে। এটি সম্ভাব্যতার জ্যামিতিক সংজ্ঞা।

উদাহরণ 3. একটি বৃত্তাকার লক্ষ্য একটি ধ্রুবক কৌণিক বেগে ঘোরে। টার্গেটের এক পঞ্চমাংশ সবুজ রং করা হয়েছে, আর বাকিটা সাদা (চিত্র 4)। লক্ষ্যবস্তুতে এমনভাবে গুলি চালানো হয় যে লক্ষ্যে আঘাত করা একটি নির্ভরযোগ্য ঘটনা। আপনি লক্ষ্য সেক্টর আঘাত সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করতে হবে রঙিন সবুজ.

সমাধান। ধরা যাক "শটটি সেক্টরের রঙিন সবুজ।" তারপর সম্ভাব্যতা প্রাপ্ত করা হয় লক্ষ্যের অংশের ক্ষেত্রফলের অনুপাতের সাথে সবুজ আঁকা টার্গেটের পুরো এলাকার সাথে, কারণ লক্ষ্যের যে কোনও অংশে আঘাত সমানভাবে সম্ভব।

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ

একটি এলোমেলো ঘটনার সম্ভাব্যতার পরিসংখ্যানগত সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা হল সেই সংখ্যা যার চারপাশে পরীক্ষামূলকভাবে পর্যবেক্ষণ করা এই ঘটনার ফ্রিকোয়েন্সিগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করা হয়। অতএব, সম্ভাব্যতা তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ চালু করা হয়েছে যাতে একটি ঘটনার সম্ভাব্যতার কম্পাঙ্কের মৌলিক বৈশিষ্ট্য থাকে।

স্বতঃসিদ্ধ 1. প্রতিটি ইভেন্ট একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার সাথে মিলে যায় যা শর্তকে সন্তুষ্ট করে এবং এর সম্ভাব্যতা বলা হয়।