როგორ ამოხსნათ კუბების ჯამი და სხვაობა. განსხვავების კუბი და კუბური განსხვავება: შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების წესები. FSO-ს გამოყენების მაგალითები
შემოკლებული გამრავლების ფორმულები.
შემოკლებული გამრავლების ფორმულების შესწავლა: ჯამის კვადრატი და ორი გამონათქვამის სხვაობის კვადრატი; ორი გამონათქვამის კვადრატების განსხვავება; ჯამის კუბი და ორი გამონათქვამის სხვაობის კუბი; ორი გამონათქვამის კუბების ჯამები და განსხვავებები.
შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას.
გამონათქვამების გასამარტივებლად, მრავალწევრების ფაქტორიზაციისა და მრავალწევრების სტანდარტულ ფორმამდე დასაყვანად გამოიყენება გამრავლების შემოკლებული ფორმულები. გამრავლების შემოკლებული ფორმულები, რომლებიც ზეპირად უნდა იცოდეთ.
მოდით a, b R. შემდეგ:
1. ორი გამონათქვამის ჯამის კვადრატი არისპირველი გამოხატვის კვადრატს პლუს ორჯერ პირველი გამონათქვამის ნამრავლი და მეორეს პლუს მეორე გამოსახულების კვადრატი.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. ორი გამონათქვამის განსხვავების კვადრატი არისპირველი გამოხატვის კვადრატს გამოკლებული ორჯერ პირველი გამოსახულების ნამრავლი და მეორეს პლუს მეორე გამოსახულების კვადრატი.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. კვადრატების განსხვავებაორი გამონათქვამი ტოლია ამ გამონათქვამების სხვაობის ნამრავლისა და მათი ჯამის.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. ჯამის კუბიორი გამონათქვამის ტოლია პირველი გამოსახულების კუბის პლუს სამჯერ პირველი გამოსახულების კვადრატი გამრავლებული მეორეზე პლუს სამჯერ პირველი გამოსახულების ნამრავლი გამრავლებული მეორის კვადრატზე პლუს მეორე გამოსახულების კუბი.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. განსხვავება კუბიორი გამოსახულების ტოლია პირველი გამოსახულების კუბი მინუს სამჯერ პირველი გამოსახულების კვადრატის ნამრავლი და მეორე პლუს სამჯერ პირველი გამოსახულების ნამრავლი და მეორის კვადრატი გამოკლებული მეორე გამოსახულების კუბი.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. კუბურების ჯამიორი გამონათქვამი უდრის პირველი და მეორე გამონათქვამების ჯამის ნამრავლს ამ გამონათქვამების სხვაობის არასრული კვადრატით.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. კუბურების განსხვავებაორი გამონათქვამის ტოლია პირველი და მეორე გამოსახულებების სხვაობის ნამრავლი ამ გამონათქვამების ჯამის არასრული კვადრატით.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება მაგალითების ამოხსნისას.
მაგალითი 1
გამოთვალეთ
ა) ორი გამონათქვამის ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით გვაქვს
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
ბ) ორი გამონათქვამის კვადრატული სხვაობის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
მაგალითი 2
გამოთვალეთ
ორი გამონათქვამის კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ
მაგალითი 3
გამოხატვის გამარტივება
(x - y) 2 + (x + y) 2
ვიყენებთ ჯამის კვადრატისა და ორი გამონათქვამის სხვაობის კვადრატის ფორმულებს
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
შემოკლებული გამრავლების ფორმულები ერთ ცხრილში:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
კვადრატების განსხვავება
ჩვენ გამოვიყვანთ $a^2-b^2$ კვადრატების სხვაობის ფორმულას.
ამისათვის გახსოვდეთ შემდეგი წესი:
თუ გამონათქვამს რაიმე მონომი დაემატება და იგივე მონომი გამოვაკლდება, მაშინ მივიღებთ სწორ იდენტურობას.
მოდით დავუმატოთ ჩვენს გამოსახულებას და გამოვაკლოთ მონომი $ab$:
საერთო ჯამში, ჩვენ ვიღებთ:
ანუ ორი მონომის კვადრატების სხვაობა უდრის მათი სხვაობისა და ჯამის ნამრავლს.
მაგალითი 1
გამოხატეთ როგორც $(4x)^2-y^2$-ის ნამრავლი
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\მარცხნივ(2x-y\მარჯვნივ)(2x+y)\]
კუბურების ჯამი
ჩვენ გამოვიყვანთ $a^3+b^3$ კუბების ჯამის ფორმულას.
ავიღოთ საერთო ფაქტორები ფრჩხილებიდან:
ავიღოთ $\left(a+b\right)$ ფრჩხილებიდან:
საერთო ჯამში, ჩვენ ვიღებთ:
ანუ ორი მონომის კუბების ჯამი უდრის მათი ჯამის ნამრავლს მათი სხვაობის არასრული კვადრატით.
მაგალითი 2
გამოხატეთ როგორც პროდუქტი $(8x)^3+y^3$
ეს გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგი ფორმით:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
\[((2x))^3+y^3=\მარცხნივ(2x+y\მარჯვნივ)(4x^2-2xy+y^2)\]
კუბურების განსხვავება
ჩვენ გამოვიყვანთ $a^3-b^3$ კუბების სხვაობის ფორმულას.
ამისათვის ჩვენ გამოვიყენებთ იმავე წესს, როგორც ზემოთ.
მოდით დავუმატოთ ჩვენს გამოსახულებას და გამოვაკლოთ მონომები $a^2b\ და\ (ab)^2$:
ავიღოთ საერთო ფაქტორები ფრჩხილებიდან:
ავიღოთ $\left(a-b\right)$ ფრჩხილებიდან:
საერთო ჯამში, ჩვენ ვიღებთ:
ანუ ორი მონომის კუბების სხვაობა უდრის მათი სხვაობის ნამრავლს მათი ჯამის არასრული კვადრატით.
მაგალითი 3
გამოხატეთ როგორც $(8x)^3-y^3$-ის ნამრავლი
ეს გამოთქმა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგი ფორმით:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
\[((2x))^3-y^3=\მარცხნივ(2x-y\მარჯვნივ)(4x^2+2xy+y^2)\]
კვადრატების განსხვავებისა და კუბების ჯამისა და სხვაობის ფორმულების გამოყენების დავალებების მაგალითი
მაგალითი 4
გაამრავლე.
ა) $((a+5))^2-9$
გ) $-x^3+\frac(1)(27)$
გამოსავალი:
ა) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
\[((a+5))^2-3^2=\მარცხნივ(a+5-3\მარჯვნივ)\მარცხნივ(a+5+3\მარჯვნივ)=\მარცხნივ(a+2\მარჯვნივ)(a +8)\]
მოდით დავწეროთ ეს გამოთქმა ფორმაში:
გამოვიყენოთ კუბურების კუბურების ფორმულა:
გ) $-x^3+\frac(1)(27)$
მოდით დავწეროთ ეს გამოთქმა ფორმაში:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\მარჯვნივ))^3-x^3\]
გამოვიყენოთ კუბურების კუბურების ფორმულა:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\მარჯვნივ)\]
შემცირებული გამრავლების ფორმულები ან წესები გამოიყენება არითმეტიკაში და უფრო კონკრეტულად ალგებრაში დიდი ალგებრული გამონათქვამების გამოთვლის უფრო სწრაფი პროცესისთვის. თავად ფორმულები მომდინარეობს ალგებრაში არსებული წესებიდან რამდენიმე მრავალწევრის გამრავლებისთვის.
ამ ფორმულების გამოყენება იძლევა საკმაოდ სწრაფ გადაწყვეტას სხვადასხვა მათემატიკური ამოცანებისთვის და ასევე ეხმარება გამონათქვამების გამარტივებას. ალგებრული გარდაქმნების წესები საშუალებას გაძლევთ შეასრულოთ რამდენიმე მანიპულაცია გამონათქვამებით, რის შემდეგაც შეგიძლიათ მიიღოთ გამონათქვამი ტოლობის მარცხენა მხარეს, რომელიც არის მარჯვენა მხარეს, ან გარდაქმნათ ტოლობის მარჯვენა მხარე (გამოსახულების მისაღებად მარცხენა მხარე ტოლობის ნიშნის შემდეგ).
მოსახერხებელია მეხსიერებით შემოკლებული გამრავლებისთვის გამოყენებული ფორმულების ცოდნა, რადგან ისინი ხშირად გამოიყენება ამოცანებისა და განტოლებების ამოხსნისას. ამ სიაში შეტანილი ძირითადი ფორმულები და მათი სახელები ჩამოთვლილია ქვემოთ.
ჯამის კვადრატი
ჯამის კვადრატის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იპოვოთ ჯამი, რომელიც შედგება პირველი წევრის კვადრატისგან, პირველი წევრისა და მეორის ნამრავლის ორჯერ და მეორის კვადრატისგან. გამოთქმის სახით ეს წესი იწერება შემდეგნაირად: (a + c)² = a² + 2ac + c².
განსხვავების კვადრატი
სხვაობის კვადრატის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოვთვალოთ ჯამი, რომელიც შედგება პირველი რიცხვის კვადრატისგან, პირველი რიცხვის ნამრავლის ორჯერ მეორეზე (საპირისპირო ნიშნით აღებული) და მეორე რიცხვის კვადრატისგან. გამოხატვის სახით, ეს წესი ასე გამოიყურება: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².
კვადრატების განსხვავება
ორი რიცხვის კვადრატში სხვაობის ფორმულა ტოლია ამ რიცხვების ჯამის ნამრავლისა და მათი განსხვავებისა. გამოხატვის სახით, ეს წესი ასე გამოიყურება: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).
ჯამის კუბი
ორი წევრის ჯამის კუბის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი, რომელიც შედგება პირველი წევრის კუბისგან, გაასამმაგებს პირველი წევრის კვადრატის ნამრავლს და მეორეს, პირველი წევრის სამმაგ ნამრავლს და მეორეს. კვადრატში და მეორე წევრის კუბი. გამოხატვის სახით, ეს წესი ასე გამოიყურება: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
კუბურების ჯამი
ფორმულის მიხედვით, იგი უდრის ამ წევრთა ჯამის ნამრავლს და სხვაობის არასრულ კვადრატს. გამოხატვის სახით, ეს წესი ასე გამოიყურება: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).
მაგალითი.აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის მოცულობა, რომელიც იქმნება ორი კუბის დამატებით. ცნობილია მხოლოდ მათი მხარეების სიდიდეები.
თუ გვერდების მნიშვნელობები მცირეა, მაშინ ადვილია გამოთვლების შესრულება.
თუ გვერდების სიგრძე გამოიხატება უხერხულ რიცხვებში, მაშინ ამ შემთხვევაში უფრო ადვილია გამოიყენო "კუბების ჯამი" ფორმულა, რაც მნიშვნელოვნად გაამარტივებს გამოთვლებს.
განსხვავება კუბი
კუბური სხვაობის გამოთქმა ასე ჟღერს: როგორც პირველი წევრის მესამე ხარისხების ჯამი, გაასმამაგე პირველი წევრის კვადრატის უარყოფითი ნამრავლი მეორეზე, გაამემაგა პირველი წევრის ნამრავლი მეორის კვადრატზე. და მეორე წევრის უარყოფითი კუბი. მათემატიკური გამოხატვის სახით, განსხვავების კუბი ასე გამოიყურება: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
კუბურების განსხვავება
კუბების განსხვავების ფორმულა განსხვავდება კუბების ჯამისგან მხოლოდ ერთი ნიშნით. ამრიგად, კუბების სხვაობა არის ფორმულა, რომელიც ტოლია ამ რიცხვების სხვაობის ნამრავლს მათი ჯამის არასრული კვადრატით. ფორმით, კუბების განსხვავება ასე გამოიყურება: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).
მაგალითი.აუცილებელია გამოვთვალოთ ფიგურის მოცულობა, რომელიც დარჩება ყვითელი მოცულობითი ფიგურის გამოკლების შემდეგ, რომელიც ასევე კუბია, ლურჯი კუბის მოცულობას. ცნობილია მხოლოდ პატარა და დიდი კუბის მხარის ზომა.
თუ გვერდების მნიშვნელობები მცირეა, მაშინ გამოთვლები საკმაოდ მარტივია. და თუ გვერდების სიგრძე გამოიხატება მნიშვნელოვანი რიცხვებით, მაშინ ღირს ფორმულის გამოყენება სახელწოდებით "კუბების განსხვავება" (ან "განსხვავების კუბი"), რაც მნიშვნელოვნად გაამარტივებს გამოთვლებს.
შემოკლებული გამრავლების ფორმულები (FSU) გამოიყენება რიცხვებისა და გამონათქვამების გამოსათვლელად და გასამრავლებლად. ხშირად ეს ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ გამოთვლები უფრო კომპაქტურად და სწრაფად.
ამ სტატიაში ჩამოვთვლით შემოკლებული გამრავლების ძირითად ფორმულებს, დავაჯგუფებთ მათ ცხრილში, განვიხილავთ ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითებს და ასევე ვისაუბრებთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების დადასტურების პრინციპებზე.
მე-7 კლასის კურსის „ალგებრა“ ფარგლებში პირველად განიხილება ფსუ-ს თემა. ქვემოთ მოცემულია 7 ძირითადი ფორმულა.
შემოკლებული გამრავლების ფორმულები
- ჯამის კვადრატის ფორმულა: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- განსხვავების კვადრატული ფორმულა: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- ჯამის კუბის ფორმულა: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- განსხვავება კუბის ფორმულა: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- კვადრატების განსხვავება ფორმულა: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- კუბურების ჯამის ფორმულა: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- კუბის სხვაობის ფორმულა: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
ასოები a, b, c ამ გამონათქვამებში შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი, ცვლადი ან გამონათქვამი. მოხმარების სიმარტივისთვის უმჯობესია შვიდი ძირითადი ფორმულა ზეპირად ისწავლოთ. ჩვენ ვაჯამებთ მათ ცხრილში და ვაძლევთ მათ ქვემოთ, შემოხაზეთ ყუთით.
პირველი ოთხი ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ, შესაბამისად, ორი გამონათქვამის ჯამის ან სხვაობის კვადრატი ან კუბი.
მეხუთე ფორმულა ითვლის გამონათქვამების კვადრატების სხვაობას მათი ჯამისა და სხვაობის გამრავლებით.
მეექვსე და მეშვიდე ფორმულები, შესაბამისად, არის გამონათქვამების ჯამისა და სხვაობის გამრავლება სხვაობის არასრულ კვადრატზე და ჯამის არასრულ კვადრატზე.
გამრავლების შემოკლებულ ფორმულას ზოგჯერ ასევე უწოდებენ შემოკლებულ გამრავლების იდენტობებს. ეს გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა თანასწორობა არის იდენტობა.
პრაქტიკული მაგალითების ამოხსნისას ხშირად გამოიყენება შემოკლებული გამრავლების ფორმულები გადაწყობილი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებით. ეს განსაკუთრებით მოსახერხებელია მრავალწევრის ფაქტორინგის დროს.
დამატებითი შემოკლებული გამრავლების ფორმულები
ჩვენ არ შემოვიფარგლებით ალგებრის მე-7 კლასის კურსით და კიდევ რამდენიმე ფორმულას დავამატებთ ჩვენს FSU ცხრილს.
პირველ რიგში, განიხილეთ ნიუტონის ბინომიალური ფორმულა.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
აქ C n k არის ბინომიალური კოეფიციენტები, რომლებიც პასკალის სამკუთხედში n რიცხვშია. ბინომალური კოეფიციენტები გამოითვლება ფორმულით:
C nk = n! კ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
როგორც ხედავთ, სხვაობის კვადრატისა და კუბის FSU და ჯამი არის ნიუტონის ბინომიური ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა n=2 და n=3, შესაბამისად.
მაგრამ რა მოხდება, თუ ძალაუფლებამდე გასასვლელ თანხაში ორ ტერმინზე მეტია? სასარგებლო იქნება სამი, ოთხი ან მეტი წევრის ჯამის კვადრატის ფორმულა.
a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
კიდევ ერთი ფორმულა, რომელიც შეიძლება გამოგადგებათ, არის ფორმულა ორი წევრის n-ე ხარისხების სხვაობისთვის.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
ეს ფორმულა ჩვეულებრივ იყოფა ორ ფორმულად - შესაბამისად ლუწი და კენტი გრადუსებისთვის.
ლუწი ექსპონენტებისთვის 2 მ:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 მ - 2
კენტი მაჩვენებლებისთვის 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 მ
კვადრატების და კუბების სხვაობის ფორმულები, თქვენ წარმოიდგინეთ, არის ამ ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევები n = 2 და n = 3, შესაბამისად. კუბების სხვაობისთვის b ასევე იცვლება - b-ით.
როგორ წავიკითხოთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულები?
თითოეულ ფორმულას მივცემთ შესაბამის ფორმულირებებს, მაგრამ ჯერ ფორმულების წაკითხვის პრინციპს შევეხებით. ამის გაკეთების ყველაზე მარტივი გზა მაგალითია. ავიღოთ პირველივე ფორმულა ორი რიცხვის ჯამის კვადრატისთვის.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
ისინი ამბობენ: a და b ორი გამონათქვამის ჯამის კვადრატი უდრის პირველი გამონათქვამის კვადრატის ჯამს, გამონათქვამების ნამრავლისა და მეორე გამონათქვამის კვადრატის ორჯერ.
ყველა სხვა ფორმულა იკითხება ანალოგიურად. კვადრატული სხვაობისთვის a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 ჩვენ ვწერთ:
ორი გამონათქვამის განსხვავების კვადრატი a და b ტოლია ამ გამონათქვამების კვადრატების ჯამის გამოკლებით პირველი და მეორე გამონათქვამის ნამრავლის ორჯერ.
მოდით წავიკითხოთ ფორმულა a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. ორი გამონათქვამის a და b ჯამის კუბი უდრის ამ გამონათქვამების კუბების ჯამს, სამჯერ პირველი გამონათქვამის კვადრატის ნამრავლს და მეორეს და სამჯერ ნამრავლს მეორე გამოსახულების კვადრატზე. და პირველი გამოხატულება.
ჩვენ ვაგრძელებთ კუბების განსხვავების ფორმულის კითხვას a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. ორი გამონათქვამის განსხვავების კუბი a და b უდრის პირველი გამოსახულების კუბს მინუს სამჯერ პირველი გამოსახულების კვადრატი და მეორე, პლუს სამჯერ მეორე გამოსახულებისა და პირველი გამოსახულების კვადრატი, გამოკლებული კუბი. მეორე გამოხატვის.
მეხუთე ფორმულა a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (კვადრატების სხვაობა) ასე იკითხება: ორი გამონათქვამის კვადრატების სხვაობა უდრის განსხვავების ნამრავლს და ორი გამოსახულების ჯამს.
ისეთი გამონათქვამები, როგორიცაა a 2 + a b + b 2 და a 2 - a b + b 2 მოხერხებულობისთვის ეწოდება, შესაბამისად, ჯამის არასრული კვადრატი და სხვაობის არასრული კვადრატი.
ამის გათვალისწინებით, კუბურების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები იკითხება შემდეგნაირად:
ორი გამონათქვამის კუბების ჯამი ტოლია ამ გამონათქვამების ჯამის ნამრავლისა და მათი სხვაობის არასრული კვადრატისა.
ორი გამონათქვამის კუბების სხვაობა ტოლია ამ გამონათქვამების სხვაობის ნამრავლის მათი ჯამის არასრული კვადრატით.
FSU მტკიცებულება
FSU-ს დადასტურება საკმაოდ მარტივია. გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე განვახორციელებთ ფორმულების ნაწილების გამრავლებას ფრჩხილებში.
მაგალითად, განიხილეთ სხვაობის კვადრატის ფორმულა.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
გამოხატვის მეორე ხარისხზე ასაყვანად, გამოხატულება თავისთავად უნდა გამრავლდეს.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
ფორმულა დადასტურებულია. სხვა FSOs დადასტურებულია ანალოგიურად.
FSO-ს გამოყენების მაგალითები
შემცირებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების მიზანია გამონათქვამების სწრაფად და ლაკონურად გამრავლება და გამოხატვა. თუმცა, ეს არ არის FSO-ს მთელი სფერო. ისინი ფართოდ გამოიყენება გამონათქვამების შემცირების, წილადების შემცირების, მრავალწევრების ფაქტორინგში. მოვიყვანოთ მაგალითები.
მაგალითი 1. FSO
გავამარტივოთ გამოთქმა 9 y - (1 + 3 y) 2 .
გამოიყენეთ კვადრატების ჯამის ფორმულა და მიიღეთ:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
მაგალითი 2. FSO
შეამცირეთ წილადი 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.
ჩვენ ვამჩნევთ, რომ მრიცხველში გამოსახვა არის კუბების სხვაობა, ხოლო მნიშვნელში - კვადრატების სხვაობა.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
ვამცირებთ და ვიღებთ:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU ასევე დაგეხმარებათ გამოთვალოთ გამონათქვამების მნიშვნელობები. მთავარია შევძლოთ შეამჩნიოთ სად გამოვიყენოთ ფორმულა. მოდით ვაჩვენოთ ეს მაგალითით.
რიცხვი 79-ის კვადრატში ავიყვანოთ. რთული გამოთვლების ნაცვლად, ჩვენ ვწერთ:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
როგორც ჩანს, რთული გაანგარიშება განხორციელდა სწრაფად, მხოლოდ შემოკლებული გამრავლების ფორმულებისა და გამრავლების ცხრილის გამოყენებით.
კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი არის ბინომის კვადრატის შერჩევა. გამოთქმა 4 x 2 + 4 x - 3 შეიძლება გარდაიქმნას 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4. ასეთი ტრანსფორმაციები ფართოდ გამოიყენება ინტეგრაციისას.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
