ნატურალური რიცხვები (N). მარტივი და შედგენილი რიცხვები. გამყოფი, მრავლობითი. უდიდესი საერთო გამყოფი, უმცირესი საერთო ჯერადი. "მთლიანი რიცხვები. გაყოფის ნიშნები. GCD და LCM გამოკლება. minuend

ნატურალური რიცხვი მათემატიკის ერთ-ერთი ძირითადი და ალბათ ერთ-ერთი პირველი ცნებაა.

ნატურალური რიცხვების ნაკრები = (1, 2, 3…). ანუ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე არის ყველა დადებითი მთელი რიცხვის სიმრავლე. ნატურალურ რიცხვებზე განსაზღვრულია შეკრების, გამრავლების, გამოკლების და გაყოფის მოქმედებები. ორი ნატურალური რიცხვის შეკრების, გამრავლებისა და გამოკლების შედეგი არის მთელი რიცხვი. და ორი ნატურალური რიცხვის გაყოფის შედეგი შეიძლება იყოს მთელი ან წილადი რიცხვი.

მაგალითად: 20: 4 = 5 - გაყოფის შედეგი არის მთელი რიცხვი.
20: 3 \u003d 6 2/3 - გაყოფის შედეგი არის წილადი რიცხვი.
ნატურალური რიცხვი n იყოფა ნატურალურ რიცხვზე m თუ გაყოფის შედეგი მთელი რიცხვია. ამ შემთხვევაში m რიცხვს n რიცხვის გამყოფი ეწოდება, ხოლო n რიცხვს m რიცხვის ჯერადი.

პირველ მაგალითში 20 იყოფა 4-ზე, 4 არის 20-ის გამყოფი, 20 არის 4-ის ჯერადი.
მეორე მაგალითში რიცხვი 20 არ იყოფა 3 რიცხვზე, ამიტომ არ შეიძლება იყოს გამყოფების და ჯერადების საკითხი.

რიცხვს n ეწოდება მარტივი, თუ მას არ აქვს სხვა გამყოფები თავისი და ერთის გარდა. მარტივი რიცხვების მაგალითები: 2, 7, 11, 97 და ა.შ.
რიცხვს n ეწოდება შედგენილი, თუ მას აქვს გამყოფები, გარდა მისი და ერთისა.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება დაიშალოს მარტივი რიცხვების ნამრავლად და ეს დაშლა უნიკალურია ფაქტორების რიგითობის მიხედვით. მაგალითად: 36=2 2 3 3 = 2 3 2 3 = 3 2 3 2 - ყველა ეს გაფართოება განსხვავდება მხოლოდ ფაქტორების თანმიმდევრობით.

ორი m და n რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი არის უდიდესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის როგორც m-ის, ასევე n-ის გამყოფი. მაგალითად, 34 და 85 რიცხვებისთვის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი არის 17.

ორი რიცხვის m და n უმცირესი საერთო ჯერადი არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის როგორც m, ასევე n-ის ჯერადი. მაგალითად, 15 და 4 რიცხვებისთვის, უმცირესი საერთო ჯერადი იქნება 60.

ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა ორ მარტივ რიცხვზე, ასევე იყოფა მათ ნამრავლზე. მაგალითად, თუ რიცხვი იყოფა 2-ზე და 3-ზე, მაშინ ის ასევე იყოფა 6-ზე = 23-ზე, თუ 11-ზე და 7-ზე, მაშინ 77-ზე.

მაგალითი: რიცხვი 6930 იყოფა 11-ზე - 6930: 11 \u003d 630 და იყოფა 7-ზე - 6930: 7 \u003d 990. თამამად შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს რიცხვიც იყოფა 77-ზე. მოდით შევამოწმოთ: 67 \u003d: u003d 90.

n რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლის ალგორითმი:

1. იპოვეთ n-ის (გარდა 1-ის) უმცირესი მარტივი გამყოფი - a1.
2. რიცხვი n გაყავით a1-ზე, აღნიშნეთ კოეფიციენტი n1-ზე.
3. n=a1 n1.
4. იგივე ოპერაციას ვაკეთებთ n1-ით, სანამ არ მივიღებთ მარტივ რიცხვს.

მაგალითი: რიცხვის ფაქტორირება 17136 მარტივ ფაქტორებად

1. 1-ის გარდა უმცირესი მარტივი გამყოფი არის 2.

2. 17 136: 2 = 8 568;

3. 17 136 = 8 568 2.

4. 8568-ის ყველაზე პატარა გამყოფი არის 2.

5. 8 568: 2 = 4284;

6. 17 136 = 4284 2 2.

7. 4284-ის ყველაზე პატარა გამყოფი არის 2.

8. 4284: 2 = 2142;

9. 17 136 = 2142 2 2 2.

10. 2142-ის უმცირესი მარტივი გამყოფი არის 2.

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 2 2 2 2.

13. 1071-ის ყველაზე პატარა გამყოფი არის 3.

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136 = 357 3 2 2 2 2.

16. 357-ის უმცირესი მარტივი გამყოფი არის 3.

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136 = 119 3 3 2 2 2 2.

19. 119-ის უმცირესი მარტივი გამყოფი არის 7.

20. 119: 7 = 17;

21. 17 არის მარტივი რიცხვი, ამიტომ 17 136 = 17 7 3 3 2 2 2 2.

ჩვენ მივიღეთ 17136 რიცხვის დაშლა პირველ ფაქტორებად.

ნატურალური რიცხვების საერთო ჯერადიადაბარის რიცხვი, რომელიც არის თითოეული მოცემული რიცხვის ჯერადი.

ყველა საერთო ჯერადების უმცირესი რიცხვი მაგრამდა ბდაურეკა ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი.

რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი მაგრამდა ბმოდი ავღნიშნოთ K( მაგრამ, ბ).

მაგალითად, ორი რიცხვი 12 და 18 არის საერთო ჯერადი: 36, 72, 108, 144, 180 და ა.შ. რიცხვი 36 არის 12 და 18 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი. შეგიძლიათ დაწეროთ: K (12, 18) \u003d 36.

უმცირესი საერთო ჯერადისთვის, შემდეგი განცხადებები მართალია:

1. რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი მაგრამდა ბ

2. რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი მაგრამდა ბმოცემული რიცხვებიდან არანაკლებ დიდი, ე.ი. თუ a >ბ, შემდეგ K( მაგრამ, ბ) ≥ მაგრამ.

3. რიცხვების ნებისმიერი საერთო ჯერადი მაგრამდა ბიყოფა მათ უმცირეს საერთო ჯერადზე.

უდიდესი საერთო გამყოფი

a და ნატურალური რიცხვების საერთო გამყოფიბარის რიცხვი, რომელიც არის თითოეული მოცემული რიცხვის გამყოფი.

რიცხვების ყველა საერთო გამყოფის უდიდესი რაოდენობა მაგრამდა ბეწოდება მოცემული რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი.

რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი მაგრამდა ბმოდი ავღნიშნოთ D( მაგრამ, ბ).

მაგალითად, 12 და 18 რიცხვებისთვის საერთო გამყოფებია რიცხვები: 1, 2, 3, 6. რიცხვი 6 არის 12 და 18. შეგიძლიათ დაწეროთ: D(12, 18) = 6.

რიცხვი 1 არის ნებისმიერი ორი ნატურალური რიცხვის საერთო გამყოფი ადა ბ. თუ ამ რიცხვებს არ აქვთ სხვა საერთო გამყოფები, მაშინ D( მაგრამ, ბ) = 1 და რიცხვები მაგრამდა ბდაურეკა კოპრაიმი.

მაგალითად, რიცხვები 14 და 15 არის თანაპრომიტი, რადგან D(14, 15) = 1.

ყველაზე დიდი საერთო გამყოფისთვის, შემდეგი განცხადებები მართალია:

1. რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ადა ბყოველთვის არსებობს და უნიკალურია.

2. რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი მაგრამდა ბარ აღემატება მოცემული რიცხვებიდან უმცირესს, ე.ი. თუ ა< ბ, მაშინ დ(ა, ბ) ≤ ა.

3. რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ადა ბიყოფა ამ რიცხვების ნებისმიერ საერთო გამყოფზე.

რიცხვების უდიდესი საერთო ჯერადი მაგრამდა ბდა მათი უდიდესი საერთო გამყოფი დაკავშირებულია: უმცირესი საერთო ჯერადისა და რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის ნამრავლი მაგრამდა ბუდრის ამ რიცხვების ნამრავლს, ე.ი. K( ა, ბ)დ( ა, ბ) = ა· ბ.

შედეგები მოჰყვება ამ განცხადებას:

ა) ორი შედარებით მარტივი რიცხვის უმცირესი საერთო ჯერადი უდრის ამ რიცხვების ნამრავლს, ე.ი. დ( ა, ბ) = 1 => K( ა, ბ) = ა· ბ;

მაგალითად, 14 და 15 რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადის საპოვნელად, საკმარისია მათი გამრავლება, რადგან D(14, 15) = 1.

ბ) მაგრამიყოფა თანმხლები რიცხვების ნამრავლზე მდა ნ, აუცილებელია და საკმარისია, რომ იყოფა მ, და შემდეგ ნ.

ეს დებულება არის რიცხვებით გაყოფის ნიშანი, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი თანმხლები რიცხვის ნამრავლად.

გ) ორი მოცემული რიცხვის მათ უდიდეს საერთო გამყოფზე გაყოფის შედეგად მიღებული კოეფიციენტები არის თანაპირდაპირი რიცხვები.

ეს თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას მოცემული რიცხვების ნაპოვნი უდიდესი საერთო გამყოფის სისწორის შემოწმებისას. მაგალითად, შევამოწმოთ რიცხვი 12 არის თუ არა 24 და 36 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი. ამისათვის ბოლო დებულების მიხედვით ვყოფთ 24 და 36 12-ზე. ვიღებთ შესაბამისად 2 და 3 რიცხვებს, რომლებიც არიან კოპრაიმები. ამიტომ, D(24, 36)=12.

ამოცანა 32.ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ 6-ზე გაყოფის ტესტი.

გამოსავალი xიყოფა 6-ზე, აუცილებელი და საკმარისია, რომ გაიყოს 2-ზე და 3-ზე.

დაუშვით ნომერი xიყოფა 6-ზე. მაშინ იქიდან რომ x 6 და 62, აქედან გამომდინარეობს x 2. და იქიდან, რომ x 6 და 63, აქედან გამომდინარეობს x 3. დავამტკიცეთ, რომ რიცხვი რომ გაიყოს 6-ზე, ის უნდა გაიყოს 2-ზე და 3-ზე.

მოდით ვაჩვენოთ ამ მდგომარეობის საკმარისობა. იმიტომ რომ x 2 და x 3, მაშინ x- 2 და 3 რიცხვების საერთო ჯერადი. რიცხვების ნებისმიერი საერთო ჯერადი იყოფა მათ უმცირეს ჯერადზე, რაც ნიშნავს xკ(2;3).

ვინაიდან D(2, 3)=1, მაშინ K(2, 3)=2 3=6. შესაბამისად, x 6.

ამოცანა 33.ჩამოაყალიბეთ 12, 15 და 60.

გამოსავალი. ნატურალური რიცხვის მიზნით xიყოფა 12-ზე, აუცილებელი და საკმარისია ის იყოფა 3-ზე და 4-ზე.

ნატურალური რიცხვის მიზნით xიყოფა 15-ზე, აუცილებელი და საკმარისია ის იყოფა 3-ზე და 5-ზე.

ნატურალური რიცხვის მიზნით xიყოფა 60-ზე, აუცილებელი და საკმარისია, რომ გაიყოს 4-ზე, 3-ზე და 5-ზე.

ამოცანა 34.იპოვნეთ ნომრები ადა ბთუ K( ა, ბ)=75, ა· ბ=375.

გამოსავალი.ფორმულის გამოყენებით K( ა, ბ)დ( ა, ბ)=ა· ბ, ვპოულობთ სასურველი რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფს მაგრამდა ბ:

დ( ა, ბ) === 5.

შემდეგ სასურველი რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მაგრამ= 5რ, ბ= 5ქ, სად გვდა ქ გვდა 5 ქთანასწორობაში a b= 275. მიიღეთ 5 გვ· ხუთი ქ=375 ან გვ· ქ=15. მიღებულ განტოლებას ორი ცვლადით ვხსნით შერჩევით: ვპოულობთ თანაპირდაპირი რიცხვების წყვილებს, რომელთა ნამრავლი უდრის 15-ს. არსებობს ორი ასეთი წყვილი: (3, 5) და (1, 15). ამიტომ სასურველი ნომრები მაგრამდა ბესენია: 15 და 25 ან 5 და 75.

ამოცანა 35.იპოვნეთ ნომრები მაგრამდა ბთუ ცნობილია, რომ D( ა, ბ) = 7 და ა· ბ= 1470.

გამოსავალი. მას შემდეგ, რაც D( ა, ბ) = 7, მაშინ სასურველი რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მაგრამ= 7რ, ბ= 7ქ, სად გვდა ქშედარებით მარტივი რიცხვებია. შემცვლელი გამონათქვამები 5 რდა 5 ქთანასწორობაში a b = 1470. შემდეგ 7 გვ 7 ქ= 1470 ან გვ· ქ= 30. მიღებულ განტოლებას ორი ცვლადით ვხსნით შერჩევით: ვპოულობთ თანაპირდაპირი რიცხვების წყვილებს, რომელთა ნამრავლი უდრის 30-ს. არსებობს ოთხი ასეთი წყვილი: (1, 30), (2, 15), (3, 10) , (5, 6). ამიტომ სასურველი ნომრები მაგრამდა ბესენია: 7 და 210, 14 და 105, 21 და 70, 35 და 42.

ამოცანა 36.იპოვნეთ ნომრები მაგრამდა ბთუ ცნობილია, რომ D( ა, ბ) = 3 და მაგრამ:ბ= 17:14.

გამოსავალი. იმიტომ რომ ა:ბ= 17:14, მაშინ მაგრამ= 17რდა ბ= 14გვ, სად რ- რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი მაგრამდა ბ. შესაბამისად, მაგრამ= 17 3 = 51, ბ= 14 3 = 42.

პრობლემა 37.იპოვნეთ ნომრები მაგრამდა ბთუ ცნობილია, რომ კ( ა, ბ) = 180, ა:ბ= 4:5.

გამოსავალი. იმიტომ რომ ა: ბ=4: 5, მაშინ მაგრამ=4რდა ბ=5რ, სად რ- რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ადა ბ. მერე რ 180=4 რ· ხუთი რ. სად რ=9. შესაბამისად, a= 36 და ბ=45.

პრობლემა 38.იპოვნეთ ნომრები მაგრამდა ბთუ ცნობილია, რომ D( ა, ბ)=5, K( ა, ბ)=105.

გამოსავალი. მას შემდეგ, რაც D( ა, ბ) K( ა, ბ) = ა· ბ, მაშინ ა· ბ= 5 105 = 525. გარდა ამისა, სასურველი რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მაგრამ= 5რდა ბ= 5ქ, სად გვდა ქშედარებით მარტივი რიცხვებია. შემცვლელი გამონათქვამები 5 რდა 5 ქთანასწორობაში მაგრამ· ბ= 525. შემდეგ 5 გვ· ხუთი ქ=525 ან გვ· ქ=21. ვპოულობთ თანაპრომტ რიცხვთა წყვილებს, რომელთა ნამრავლი უდრის 21-ს. არსებობს ორი ასეთი წყვილი: (1, 21) და (3, 7). ამიტომ სასურველი ნომრები მაგრამდა ბესენია: 5 და 105, 15 და 35.

ამოცანა 39.დაამტკიცეთ რომ რიცხვი ნ(2ნ+ 1)(7ნ+ 1) იყოფა 6-ზე ნებისმიერი ბუნებრივისთვის ნ.

გამოსავალი. რიცხვი 6 არის კომპოზიტური, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი თანმხლები რიცხვის ნამრავლი: 6 = 2 3. თუ დავამტკიცებთ, რომ მოცემული რიცხვი იყოფა 2-ზე და 3-ზე, მაშინ შედგენილ რიცხვზე გაყოფის ტესტის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ იგი იყოფა 6-ზე.

იმის დასამტკიცებლად რომ რიცხვი ნ(2ნ+ 1)(7ნ+ 1) იყოფა 2-ზე, გასათვალისწინებელია ორი შესაძლებლობა:

1) ნიყოფა 2-ზე, ე.ი. ნ= 2კ. შემდეგ პროდუქტი ნ(2ნ+ 1)(7ნ+ 1) ასე გამოიყურება: 2 კ(4კ+ 1)(14კ+ 1). ეს პროდუქტი იყოფა 2-ზე, რადგან პირველი ფაქტორი იყოფა 2-ზე;

2) ნარ იყოფა 2-ზე, ე.ი. ნ= 2კ+ 1. შემდეგ პროდუქტი ნ(2ნ+ 1 )(7ნ+ 1) ასე გამოიყურება: (2 კ+ 1)(4კ+ 3)(14კ+ 8). ეს პროდუქტი იყოფა 2-ზე, რადგან ბოლო კოეფიციენტი იყოფა 2-ზე.

იმის დასამტკიცებლად, რომ ნაწარმოები ნ(2ნ+ 1)(7ნ+ 1) იყოფა 3-ზე, გასათვალისწინებელია სამი შესაძლებლობა:

1) ნიყოფა 3-ზე, ე.ი. ნ= 3კ. შემდეგ პროდუქტი ნ(2ნ+ 1)(7ნ+ 1) ასე გამოიყურება: 3 კ(6კ+ 1)(21კ+ 1). ეს პროდუქტი იყოფა 3-ზე, რადგან პირველი ფაქტორი იყოფა 3-ზე;

2) ნროდესაც იყოფა 3-ზე, ნაშთი არის 1, ე.ი. ნ= 3კ+ 1. შემდეგ პროდუქტი ნ(2ნ+ 1)(7ნ+ 1) ასე გამოიყურება: (3 კ+ 1)(6კ+ 3)(21კ+ 8). ეს პროდუქტი იყოფა 3-ზე, რადგან მეორე ფაქტორი იყოფა 3-ზე;

3) ნროდესაც იყოფა 3-ზე, ის იძლევა ნაშთს 2-ს, ე.ი. ნ= 3კ+ 2. შემდეგ პროდუქტი ნ(2ნ+ 1)(7ნ+ 1) ასე გამოიყურება: (3 კ+ 2)(6კ+ 5)(21კ+ 15). ეს პროდუქტი იყოფა 3-ზე, რადგან ბოლო კოეფიციენტი იყოფა 3-ზე.

ასე რომ, დადასტურებულია, რომ პროდუქტი ნ(2ნ+ 1)(7ნ+ 1) იყოფა 2-ზე და 3-ზე. ასე რომ, ის იყოფა 6-ზე.

სავარჯიშოები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის

1. მოცემულია ორი რიცხვი: 50 და 75. ჩამოწერეთ სიმრავლე:

ა) 50 რიცხვის გამყოფები; ბ) 75 რიცხვის გამყოფები; გ) ამ რიცხვების საერთო გამყოფები.

რა არის 50-ისა და 75-ის ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი?

2. რიცხვი 375 არის რიცხვების საერთო ჯერადი: ა) 125 და 75; ბ) 85 და 15?

3. იპოვე რიცხვები მაგრამდა ბთუ ცნობილია, რომ კ( ა, ბ) = 105, ა· ბ= 525.

4. იპოვე რიცხვები მაგრამდა ბთუ ცნობილია, რომ D( ა, ბ) = 7, ა· ბ= 294.

5. იპოვე რიცხვები მაგრამდა ბთუ ცნობილია, რომ D( ა, ბ) = 5, ა:ბ= 13:8.

6. იპოვე რიცხვები მაგრამდა ბთუ ცნობილია, რომ კ( ა, ბ) = 224, ა:ბ= 7:8.

7. იპოვე რიცხვები ადა ბთუ ცნობილია, რომ D( ა, ბ) = 3, K( ა; ბ) = 915.

8. დაამტკიცეთ 15-ზე გაყოფის ტესტი.

9. 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 რიცხვების სიმრავლიდან ჩამოწერეთ ისინი, რომლებიც იყოფა 12-ზე.

10. ჩამოაყალიბეთ 18, 36, 45, 75-ზე გაყოფის ნიშნები.

სინოფსისის საკვანძო სიტყვები:მთელი რიცხვები. არითმეტიკული მოქმედებები ნატურალურ რიცხვებზე. ნატურალური რიცხვების გაყოფა. მარტივი და შედგენილი რიცხვები. ნატურალური რიცხვის დაშლა მარტივ ფაქტორებად. გაყოფის ნიშნები 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. უდიდესი საერთო გამყოფი (GCD), ისევე როგორც უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM). გაყოფა ნაშთით.

მთელი რიცხვებიარის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება ობიექტების დასათვლელად - 1, 2, 3, 4 , … მაგრამ ნომერი 0 არ არის ბუნებრივი!

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე არის ნ. ჩაწერა "3 ∈ N"ნიშნავს, რომ რიცხვი სამი ეკუთვნის ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს და აღნიშვნას "0 ∉ N"ნიშნავს, რომ რიცხვი ნული არ ეკუთვნის ამ სიმრავლეს.

ათწილადი რიცხვების სისტემა- პოზიციური რიცხვების სისტემა, რომელიც ეფუძნება 10 .

არითმეტიკული მოქმედებები ნატურალურ რიცხვებზე

ნატურალური რიცხვებისთვის განსაზღვრულია შემდეგი მოქმედებები: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა,ექსპონენტაცია, ფესვის მოპოვება. პირველი ოთხი ნაბიჯი არის არითმეტიკა.

მოდით a, b და c იყოს ნატურალური რიცხვები, მაშინ

1. დამატება. ვადა + ვადა = ჯამი

დანამატის თვისებები
1. კომუტატივი a + b = b + a.
2. კომბინაცია a + (b + c) \u003d (a + b) + c.
3. a + 0= 0 + a = a.

2. გამოკლება. შემცირებული - გამოკლებული = სხვაობა

გამოკლების თვისებები
1. ჯამის გამოკლება რიცხვიდან a - (b + c) \u003d a - b - c.
2. რიცხვის გამოკლება ჯამიდან (a + b) - c \u003d a + (b - c); (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
3. a - 0 = a.
4. a - a \u003d 0.

3. გამრავლება. **მულტიპლიკატორი * მულტიპლიკატორი = პროდუქტი**

გამრავლების თვისებები
1. კომუტატივი a * b \u003d b * a.
2. კომბინატივი a * (b * c) \u003d (a * b) * c.
3. 1 * a = a * 1 = a.
4. 0 * a = a * 0 = 0.
5. განაწილება (a + b) * c \u003d ac + bc; (a - b) * c \u003d ac - bc.

4. განყოფილება. დივიდენდი: გამყოფი = კოეფიციენტი

გაყოფის თვისებები
1. ა: 1 = ა.
2. a: a = 1. ნულზე ვერ გაყოფ!
3. 0: a=0.

Პროცედურა

1. უპირველეს ყოვლისა, მოქმედებები ფრჩხილებში.
2. შემდეგ გამრავლება, გაყოფა.
3. და მხოლოდ შეკრების ბოლოს გამოკლება.

ნატურალური რიცხვების გაყოფა. მარტივი და შედგენილი რიცხვები.

ნატურალური რიცხვის გამყოფი მაგრამეწოდება ნატურალური რიცხვი, რომლითაც მაგრამგაყოფილი ნარჩენების გარეშე. ნომერი 1 არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვის გამყოფი.

ნატურალურ რიცხვს უწოდებენ მარტივითუ აქვს მხოლოდ ორიგამყოფი: ერთი და თავად რიცხვი. მაგალითად, რიცხვები 2, 3, 11, 23 არის მარტივი რიცხვები.

ორზე მეტი გამყოფის მქონე რიცხვს უწოდებენ კომპოზიტური. მაგალითად, რიცხვები 4, 8, 15, 27 არის შედგენილი რიცხვები.

გაყოფის ნიშანი მუშაობსრამდენიმე რიცხვი: თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც იყოფა რომელიმე რიცხვზე, მაშინ ნამრავლი ასევე იყოფა ამ რიცხვზე. მუშაობა 24 15 77 იყოფა 12 ამ რიცხვის ფაქტორიდან გამომდინარე 24 იყოფა 12 .

ჯამის გაყოფის ნიშანი (განსხვავება)რიცხვები: თუ თითოეული წევრი იყოფა რომელიმე რიცხვზე, მაშინ მთელი ჯამი იყოფა ამ რიცხვზე. თუ ა:ბდა გ:ბ, მაშინ (ა + გ) : ბ. Და თუ ა:ბ, მაგრამ გარ იყოფა ბ, მაშინ ა+გრიცხვით არ იყოფა ბ.

თუ ა: გდა გ:ბ, მაშინ ა:ბ. იმის საფუძველზე, რომ 72:24 და 24:12, ჩვენ დავასკვნათ, რომ 72:12.

რიცხვის წარმოდგენა, როგორც მარტივი რიცხვების ხარისხების ნამრავლი, ეწოდება რიცხვის დაშლა პირველ ფაქტორებად.

არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა: ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი (გარდა 1 ) ან არის მარტივი, ან ის შეიძლება დაიშალოს პირველ ფაქტორებად მხოლოდ ერთი გზით.

რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლისას გამოიყენება გაყოფის ნიშნები და აღნიშვნა „სვეტი“, ამ შემთხვევაში გამყოფი მდებარეობს ვერტიკალური ზოლის მარჯვნივ, ხოლო კოეფიციენტი იწერება დივიდენდის ქვეშ.

მაგალითად, დავალება: რიცხვის დაშლა მარტივ ფაქტორებად 330 . გამოსავალი:

გაყოფის ნიშნები 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 და 11.

არსებობს გაყოფის ნიშნები 6, 15, 45 და ა.შ., ანუ რიცხვებად, რომელთა პროდუქტის ფაქტორირება შესაძლებელია 2, 3, 5, 9 და 10 .

უდიდესი საერთო გამყოფი

უდიდეს ნატურალურ რიცხვს, რომლითაც თითოეული მოცემული ორი ნატურალური რიცხვი იყოფა, ეწოდება ყველაზე დიდი საერთო გამყოფიეს ნომრები ( GCD). მაგალითად, gcd (10; 25) = 5; და GCD (18; 24) = 6; GCD (7; 21) = 1.

თუ ორი ნატურალური რიცხვის უდიდესი საერთო გამყოფი არის 1 , მაშინ ამ ნომრებს ეძახიან კოპრაიმი.

ალგორითმი უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნისთვის(GCD)

GCD ხშირად გამოიყენება პრობლემების დროს. მაგალითად, 155 რვეული და 62 კალამი თანაბრად იყოფა იმავე კლასის მოსწავლეებს შორის. რამდენი მოსწავლეა ამ კლასში?

გამოსავალი: ამ კლასში მოსწავლეთა რაოდენობის პოვნა მცირდება 155 და 62 რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფის პოვნამდე, რადგან რვეულები და კალმები თანაბრად იყოფა. 155 = 531; 62 = 231. GCD (155; 62) = 31.

პასუხი: კლასში 31 მოსწავლეა.

უმცირესი საერთო ჯერადი

ნატურალური რიცხვის მრავლობითი მაგრამარის ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა მაგრამუკვალოდ. მაგალითად, ნომერი 8 აქვს მრავლობითი: 8, 16, 24, 32 , … ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვს აქვს უსასრულოდ ბევრი ჯერადი.

უმცირესი საერთო ჯერადი(LCM) არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომელიც არის ამ რიცხვების ჯერადი.

უმცირესი საერთო ჯერადი პოვნის ალგორითმი ( NOC):

LCM ასევე ხშირად გამოიყენება პრობლემების დროს. მაგალითად, ორი ველოსიპედისტი ერთდროულად დაიწყო ველობილიკზე ერთი მიმართულებით. ერთი წრეს აკეთებს 1 წუთში, მეორე კი 45 წამში. მოძრაობის დაწყებიდან რამდენ წუთში შეიკრიბებიან ისინი დასაწყისში?

გამოსავალი: წუთების რაოდენობა, რომლის შემდეგაც ისინი სტარტზე კვლავ შეხვდებიან, უნდა დაიყოს 1 წუთი, ისევე როგორც 45 წ. 1 წუთში = 60 წმ. ანუ აუცილებელია LCM-ის პოვნა (45; 60). 45 = 325; 60 = 22 3 5. NOC (45; 60) = 22 32 5 = 4 9 5 = 180. შედეგად, გამოდის, რომ ველოსიპედისტები სტარტზე შეხვდებიან 180 წამის შემდეგ = 3 წთ.

პასუხი: 3 წთ.

გაყოფა ნაშთით

თუ ნატურალური რიცხვია მაგრამარ იყოფა ნატურალურ რიცხვზე ბ, მაშინ შეგიძლია გააკეთო დაყოფა ნაშთით. ამ შემთხვევაში, მიღებული კოეფიციენტი ეწოდება არასრული. სწორი თანასწორობა არის:

a = b n + r,

სადაც მაგრამ- გაყოფადი ბ- გამყოფი, ნ- არასრული კოეფიციენტი, რ- დარჩენილი. მაგალითად, დივიდენდი იყოს 243 , გამყოფი - 4 , მაშინ 243: 4 = 60 (დარჩენილი 3). ანუ, a \u003d 243, b \u003d 4, n \u003d 60, r \u003d 3, შემდეგ 243 = 60 4 + 3 .

რიცხვები, რომლებიც იყოფა 2 უკვალოდ, ეძახიან თუნდაც: a = 2n,ნ ∈ ნ.

დანარჩენ ნომრებს ეძახიან კენტი: b = 2n + 1,ნ ∈ ნ.

ეს არის მოკლე შინაარსი თემაზე. "მთლიანი რიცხვები. გაყოფის ნიშნები». გასაგრძელებლად აირჩიეთ შემდეგი ნაბიჯები:

გადადით შემდეგ აბსტრაქტზე:

უდიდესი საერთო გამყოფი