გეომეტრიული ფორმების მსგავსად. ძირითადი გეომეტრიული ცნებები. გეომეტრიული მყარი

გეომეტრიული ფიგურაგანისაზღვრება, როგორც პუნქტების ნებისმიერი ნაკრები.

თუ გეომეტრიული ფიგურის ყველა წერტილი ეკუთვნის ერთ სიბრტყეს, მას ბრტყელი ეწოდება. მაგალითად, სეგმენტი, მართკუთხედი ბრტყელი ფიგურებია. არის ფიგურები, რომლებიც არ არის ბრტყელი. ეს არის, მაგალითად, კუბი, ბურთი, პირამიდა.

ვინაიდან გეომეტრიული ფიგურის ცნება განისაზღვრება სიმრავლის კონცეფციით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ერთი ფიგურა შედის მეორეში (ან შეიცავს მეორეში), შეგვიძლია განვიხილოთ ფიგურების კავშირი, გადაკვეთა და განსხვავება.

საქმე განუსაზღვრელი ცნებაა. პუნქტი, როგორც წესი, ინერგება მისი დახატვით ან ფურცელში კალმით გახვრეტით. პუნქტს არ აქვს არც სიგრძე, არც სიგანე და არც ფართობი.

ხაზიგანუსაზღვრელი ცნებაა. ხაზს ნერგავენ კაბიდან მოდელირებით ან დაფაზე, ფურცელზე დახატვით. სწორი ხაზის მთავარი თვისება: სწორი ხაზი უსასრულოა. მრუდი ხაზები შეიძლება იყოს დახურული ან ღია.

რეიარის ერთი მხრიდან შემოსაზღვრული სწორი ხაზის ნაწილი.

ხაზის სეგმენტი- ორ წერტილს შორის მოქცეული სწორი ხაზის ნაწილი - სეგმენტის ბოლოები.

გატეხილი ხაზი- სეგმენტების ხაზი, რომლებიც დაკავშირებულია სერიულად ერთმანეთთან კუთხით. გატეხილი ხაზის ბმული არის სეგმენტი. ბმულების შეერთების წერტილებს პოლიხაზის წვეროები ეწოდება.

ინექცია- ეს არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება წერტილისა და ამ წერტილიდან გამომავალი ორი სხივისგან. სხივებს კუთხის გვერდებს უწოდებენ და მათი საერთო დასაწყისია მისი წვერო. კუთხე აღინიშნება სხვადასხვა გზით: მითითებულია ან მისი წვერო, ან მისი გვერდები, ან სამი წერტილი: წვერო და ორი წერტილი კუთხის გვერდებზე.

კუთხეს მართალი ეწოდება, თუ მისი გვერდები ერთსა და იმავე სწორ ხაზზეა. კუთხეს, რომელიც არის ნახევრად სწორი კუთხე, მართი კუთხე ეწოდება. მართ კუთხეზე ნაკლებ კუთხეს მახვილი კუთხე ეწოდება. მართკუთხა კუთხეზე მეტი, მაგრამ სწორ კუთხეზე ნაკლები, ბლაგვი კუთხე ეწოდება.

ორ კუთხეს მეზობლად უწოდებენ, თუ მათ ერთი გვერდი აქვთ საერთო და ამ კუთხის მეორე მხარე არის დამატებითი ნახევარხაზები.

სამკუთხედიარის ერთ-ერთი უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურა. სამკუთხედი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება სამი წერტილისგან, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და სამი წყვილი სეგმენტი, რომელიც მათ აკავშირებს. ნებისმიერ სამკუთხედში გამოიყოფა შემდეგი ელემენტები: გვერდები, კუთხეები, სიმაღლეები, ბისექტრები, შუახაზები, შუახაზები.

მახვილი სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელშიც ყველა კუთხე მახვილია. მარჯვენა კუთხე - სამკუთხედი, რომელსაც აქვს მართი კუთხე. სამკუთხედს, რომელსაც აქვს ბლაგვი კუთხე, ეწოდება ბლაგვი სამკუთხედი. ამბობენ, რომ სამკუთხედები თანმიმდევრულია, თუ მათი შესაბამისი გვერდები და შესაბამისი კუთხეები ტოლია. ამ შემთხვევაში, შესაბამისი კუთხეები უნდა იყოს შესაბამისი გვერდების წინააღმდეგ. სამკუთხედს ტოლფერდა ეწოდება, თუ მისი ორი გვერდი ტოლია. ამ ტოლ გვერდებს გვერდები ეწოდება, ხოლო მესამე მხარეს სამკუთხედის ფუძე.

ოთხკუთხედიფიგურას ეწოდება ფიგურა, რომელიც შედგება ოთხი წერტილისა და ოთხი სეგმენტისგან, რომლებიც აკავშირებს მათ რიგზე და ამ წერტილებიდან სამი არ უნდა იყოს ერთ სწორ ხაზზე და მათი დამაკავშირებელი სეგმენტები არ უნდა იკვეთებოდეს. ამ წერტილებს ოთხკუთხედის წვეროები ეწოდება, ხოლო მათ დამაკავშირებელ სეგმენტებს გვერდები.

დიაგონალი არის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მრავალკუთხედის საპირისპირო წვეროებს.

მართკუთხედიოთხკუთხედს ეწოდება, რომელშიც ყველა კუთხე მართია.

მოედანი m არის მართკუთხედი, რომელშიც ყველა გვერდი თანაბარია.

მრავალკუთხედიუბრალო დახურულ გაწყვეტილ ხაზს უწოდებენ, თუ მისი მიმდებარე რგოლები არ დევს იმავე სწორ ხაზზე. მრავალწრფის წვეროებს უწოდებენ მრავალკუთხედის წვეროებს, ხოლო მის ბმულებს - გვერდებს. არამეზობლების დამაკავშირებელ სეგმენტებს დიაგონალები ეწოდება.

გარშემოწერილობაეწოდება ფიგურა, რომელიც შედგება სიბრტყის ყველა წერტილისგან, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ეწოდება ცენტრი. მაგრამ რადგან ეს კლასიკური განმარტება არ არის მოცემული დაწყებით კლასებში, წრის გაცნობა ხორციელდება ჩვენების მეთოდით, რომელიც აკავშირებს მას პირდაპირ პრაქტიკულ საქმიანობასთან კომპასით წრის დახატვაში. მანძილს წერტილებიდან მის ცენტრამდე რადიუსი ეწოდება. წრფის მონაკვეთს, რომელიც აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს, ეწოდება აკორდი. ცენტრში გამავალ აკორდს დიამეტრი ეწოდება.

Წრესიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია წრით.

პარალელეპიპედიპრიზმა, რომლის ფუძე არის პარალელოგრამი.

კუბიარის მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომლის ყველა კიდე ტოლია.

პირამიდა- მრავალკუთხედი, რომელშიც ერთი სახე (მას ფუძეს უწოდებენ) არის ერთგვარი მრავალკუთხედი, ხოლო დარჩენილი სახეები (მათ გვერდითი ეწოდება) არის სამკუთხედები საერთო წვერით.

ცილინდრი- გეომეტრიული სხეული, რომელიც წარმოიქმნება ყველა პარალელური წრფის სეგმენტებით, რომლებიც ჩაკეტილია ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის, რომელიც კვეთს წრეს ერთ-ერთ სიბრტყეში და პერპენდიკულარულია ფუძის სიბრტყეებზე. კონუსი არის სხეული, რომელიც წარმოიქმნება ყველა სეგმენტით, რომელიც აკავშირებს მოცემულ წერტილს - მის ზედა - გარკვეული წრის წერტილებს - კონუსის ფუძეს.

ბურთიარის წერტილების ერთობლიობა სივრცეში, რომელიც მდებარეობს მოცემული წერტილიდან რომელიმე მოცემულ პოზიტიურ მანძილზე. მოცემული წერტილი არის ბურთის ცენტრი, ხოლო მოცემული მანძილი არის რადიუსი.

გაკვეთილზე გაიგებთ რა არის გეომეტრიული ფორმები. ვისაუბრებთ თვითმფრინავზე გამოსახულ ფიგურებზე, მათ თვისებებზე. თქვენ გაეცნობით გეომეტრიული ფიგურების ისეთ მარტივ ფორმებს, როგორიცაა წერტილი და ხაზი. განვიხილოთ, როგორ იქმნება წრფის სეგმენტი და სხივი. გაეცანით განმარტებას და სხვადასხვა ტიპის კუთხეებს. შემდეგი ფიგურა, რომლის განსაზღვრება და თვისებები განიხილება გაკვეთილზე, არის წრე. შემდეგ განიხილება სამკუთხედის და მრავალკუთხედის განმარტება და მათი ვარიაციები.

ბრინჯი. 10. წრე და წრე

დაფიქრდით, რომელი წერტილები მიეკუთვნება წრეს და რომელი წრეები (იხ. სურ. 11).

ბრინჯი. 11. წერტილებისა და წრის, წერტილებისა და წრის ურთიერთგანლაგება

სწორი პასუხია: წერტილები, მიეკუთვნება წრეს და მხოლოდ მიუთითებს და ეკუთვნის წრეს.

წერტილი არის წრის ან წრის ცენტრი. სეგმენტები არის წრის ან წრის რადიუსი, ანუ სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებს ცენტრს და წრეზე მდებარე ნებისმიერ წერტილს. სეგმენტი არის წრის ან წრის დიამეტრი, ანუ ეს არის წრეზე მოთავსებული ორი წერტილის დამაკავშირებელი და ცენტრის გავლით. რადიუსი არის დიამეტრის ნახევარი (იხ. სურ. 12).

ბრინჯი. 12. რადიუსი და დიამეტრი

ახლა გავიხსენოთ რა ფორმას ჰქვია სამკუთხედი. სამკუთხედი არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება სამი წერტილისგან, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე და სამი ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წერტილებს წყვილებში. სამკუთხედს სამი კუთხე აქვს.

განვიხილოთ სამკუთხედი (იხ. სურ. 13).

ბრინჯი. 13. სამკუთხედი

მას აქვს სამი კუთხე - კუთხე, კუთხე და კუთხე. წერტილებს , , სამკუთხედის წვეროებს უწოდებენ. სამი სეგმენტი - სეგმენტი , არის სამკუთხედის გვერდები.

გავიმეოროთ, რა ტიპის სამკუთხედები გამოიყოფა (იხ. სურ. 14).

ბრინჯი. 14. სამკუთხედების სახეები

კუთხის ტიპების მიხედვით სამკუთხედები შეიძლება დაიყოს მახვილკუთხა, მართკუთხა და ბლაგვკუთხა სამკუთხედებად. სამკუთხედში ყველა კუთხე მახვილია, ასეთ სამკუთხედს მახვილი სამკუთხედი ეწოდება. სამკუთხედს აქვს მართი კუთხე, ასეთ სამკუთხედს მართკუთხა სამკუთხედი ეწოდება. სამკუთხედს აქვს ბლაგვი კუთხე, ასეთ მართკუთხედს ბლაგვი სამკუთხედი ეწოდება.

იმის მიხედვით, არის თუ არა გვერდების სიგრძეები, განასხვავებენ სამკუთხედებს:

მრავალმხრივი - ასეთ სამკუთხედებს აქვთ ყველა მხარის სხვადასხვა სიგრძე;

ტოლგვერდა - ამ სამკუთხედებს ყველა გვერდის ერთნაირი სიგრძე აქვთ;

ტოლფერდა - მათ აქვთ ორივე მხარის ერთნაირი სიგრძე. თანაბარი სიგრძის ორ გვერდს ეწოდება სამკუთხედის გვერდები, ხოლო მესამე გვერდი არის სამკუთხედის ფუძე (იხ. სურ. 15).

ბრინჯი. 15. სამკუთხედების სახეები

რა ფორმებს უწოდებენ მრავალკუთხედებს? თუ რამდენიმე წერტილს ზედიზედ დააკავშირებთ ისე, რომ მათი შეერთება იძლევა დახურულ გაწყვეტილ ხაზს, მაშინ იქმნება მრავალკუთხედის, ოთხკუთხედის, ხუთკუთხედის ან ექვსკუთხედის გამოსახულება და ა.შ.

მრავალკუთხედებს ასახელებენ კუთხეების რაოდენობის მიხედვით. თითოეულ მრავალკუთხედს აქვს იმდენი წვერო და გვერდი, რამდენიც კუთხე აქვს (იხ. სურათი 16).

ბრინჯი. 16. მრავალკუთხედები

ყველა გამოსახულ ფიგურას (იხ. სურ. 17) ოთხკუთხედი ეწოდება. რატომ?

ბრინჯი. 17. ოთხკუთხედები

თქვენ ალბათ შენიშნეთ, რომ ყველა ფიგურას აქვს ოთხი კუთხე, მაგრამ ისინი შეიძლება დაიყოს ორ ჯგუფად. როგორ გააკეთებდი ამას?

თქვენ, ალბათ, ცალკე ჯგუფში გამოყავით ოთხკუთხედები, რომლებშიც ყველა კუთხე სწორია და ასეთ ოთხკუთხედებს მართკუთხა ოთხკუთხედები ეწოდებოდათ. მართკუთხედების მოპირდაპირე მხარეები ტოლია (იხ. სურ. 18).

ბრინჯი. 18. მართკუთხა ოთხკუთხედები

მართკუთხედში და არიან მოპირდაპირე გვერდები, და ისინი ტოლია და ასევე მოპირდაპირე გვერდებია და ისინი ტოლია (იხ. სურ. 19).

ნაწარმოების ტექსტი განთავსებულია გამოსახულების და ფორმულების გარეშე.
ნამუშევრის სრული ვერსია ხელმისაწვდომია ჩანართში "სამუშაო ფაილები" PDF ფორმატში

შესავალი

გეომეტრია არის მათემატიკური განათლების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი კომპონენტი, რომელიც აუცილებელია სივრცის შესახებ სპეციფიკური ცოდნისა და პრაქტიკულად მნიშვნელოვანი უნარების შეძენისთვის, ენის ფორმირებისთვის მიმდებარე სამყაროს ობიექტების აღწერისთვის, სივრცითი წარმოსახვისა და ინტუიციის განვითარებისთვის, მათემატიკური კულტურისთვის. , ასევე ესთეტიკური აღზრდისთვის. გეომეტრიის შესწავლა ხელს უწყობს ლოგიკური აზროვნების განვითარებას, მტკიცების უნარების ჩამოყალიბებას.

მე-7 კლასის გეომეტრიის კურსი სისტემატიზებს ცოდნას უმარტივესი გეომეტრიული ფორმებისა და მათი თვისებების შესახებ; შემოღებულია ფიგურათა თანასწორობის ცნება; განვითარებულია შესწავლილი ნიშნების დახმარებით სამკუთხედების ტოლობის დამტკიცების უნარი; შემოღებულია კონსტრუქციული პრობლემების კლასი კომპასისა და სტრიქონის დახმარებით; შემოტანილია ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნება - პარალელური წრფეების ცნება; განიხილება სამკუთხედების ახალი საინტერესო და მნიშვნელოვანი თვისებები; განიხილება გეომეტრიის ერთ-ერთი უმნიშვნელოვანესი თეორემა - თეორემა სამკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ, რომელიც საშუალებას გვაძლევს მივცეთ სამკუთხედების კლასიფიკაცია კუთხეების მიხედვით (მწვავე-კუთხოვანი, მართკუთხა, ბლაგვი-კუთხოვანი).

გაკვეთილების დროს, განსაკუთრებით გაკვეთილის ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადასვლისას, აქტივობების შეცვლისას, ჩნდება კითხვა კლასებისადმი ინტერესის შენარჩუნების შესახებ. ამრიგად, შესაბამისიჩნდება კითხვა გეომეტრიაში საკლასო ოთახში დავალებების გამოყენების შესახებ, რომელშიც არის პრობლემური სიტუაციის პირობა და შემოქმედების ელემენტები. ამრიგად, მიზანიამ კვლევის არის გეომეტრიული შინაარსის ამოცანების სისტემატიზაცია კრეატიულობის ელემენტებით და პრობლემური სიტუაციებით.

კვლევის ობიექტი: გეომეტრიის პრობლემები შემოქმედებითობის, გართობის და პრობლემური სიტუაციების ელემენტებით.

კვლევის მიზნები:გეომეტრიაში არსებული პრობლემების გაანალიზება, რომელიც მიმართულია ლოგიკის, წარმოსახვისა და შემოქმედებითი აზროვნების განვითარებაზე. აჩვენეთ, როგორ შეიძლება გასართობმა ტექნიკამ განავითაროს ინტერესი საგნის მიმართ.

კვლევის თეორიული და პრაქტიკული მნიშვნელობამდგომარეობს იმაში, რომ შეგროვებული მასალა შეიძლება გამოყენებულ იქნას გეომეტრიის დამატებითი გაკვეთილების პროცესში, კერძოდ, ოლიმპიადებზე და გეომეტრიაში შეჯიბრებებზე.

კვლევის სფერო და სტრუქტურა:

კვლევა შედგება შესავლისგან, ორი თავისგან, დასკვნისგან, ბიბლიოგრაფიული ნუსხისგან, შეიცავს 14 გვერდის ძირითად საბეჭდი ტექსტს, 1 ცხრილს, 10 ფიგურას.

თავი 1. ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურები. ძირითადი ცნებები და განმარტებები

1.1. ძირითადი გეომეტრიული ფორმები შენობებისა და ნაგებობების არქიტექტურაში

ჩვენს ირგვლივ სამყაროში ბევრია სხვადასხვა ფორმისა და ზომის მატერიალური ობიექტი: საცხოვრებელი კორპუსები, მანქანების ნაწილები, წიგნები, სამკაულები, სათამაშოები და ა.შ.

გეომეტრიაში სიტყვის ობიექტის ნაცვლად ამბობენ გეომეტრიულ ფიგურას, ხოლო გეომეტრიულ ფიგურებს ყოფენ ბრტყელ და სივრცულებად. ამ ნაშრომში განხილული იქნება გეომეტრიის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო მონაკვეთი - პლანიმეტრია, რომელშიც განხილულია მხოლოდ სიბრტყე ფიგურები. პლანიმეტრია(ლათინური planum - "თვითმფრინავი", სხვა ბერძნული μετρεω - "მე ვზომავ") - ევკლიდური გეომეტრიის მონაკვეთი, რომელიც სწავლობს ორგანზომილებიან (ერთ სიბრტყეზე) ფიგურებს, ანუ ფიგურებს, რომლებიც შეიძლება განთავსდეს იმავე სიბრტყეში. ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურა არის ის, რომლის ყველა წერტილი ერთ სიბრტყეზეა. ასეთი ფიგურის იდეა მოცემულია ფურცელზე შესრულებული ნებისმიერი ნახატით.

მაგრამ სანამ ბრტყელ ფიგურებს განვიხილავთ, აუცილებელია გაეცნოთ მარტივ, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვან ფიგურებს, რომელთა გარეშე ბრტყელი ფიგურები უბრალოდ ვერ იარსებებს.

უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურაა წერტილი.ეს არის გეომეტრიის ერთ-ერთი მთავარი ფიგურა. ის ძალიან პატარაა, მაგრამ ყოველთვის გამოიყენება თვითმფრინავზე სხვადასხვა ფორმის ასაგებად. წერტილი არის მთავარი ფიგურა აბსოლუტურად ყველა კონსტრუქციისთვის, თუნდაც ყველაზე მაღალი სირთულისთვის. მათემატიკის თვალსაზრისით, წერტილი არის აბსტრაქტული სივრცითი ობიექტი, რომელსაც არ აქვს ისეთი მახასიათებლები, როგორიცაა ფართობი, მოცულობა, მაგრამ ამავე დროს რჩება გეომეტრიის ფუნდამენტურ კონცეფციად.

პირდაპირ- გეომეტრიის ერთ-ერთი ფუნდამენტური ცნება გეომეტრიის სისტემატური წარმოდგენისას, როგორც წესი, სწორი ხაზი აღებულია, როგორც ერთ-ერთი საწყისი ცნება, რომელიც მხოლოდ ირიბად განისაზღვრება გეომეტრიის აქსიომებით (ევკლიდური). თუ გეომეტრიის აგების საფუძველი არის სივრცეში ორ წერტილს შორის მანძილის კონცეფცია, მაშინ სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ხაზი, რომლის გასწვრივ გზა უდრის ორ წერტილს შორის მანძილს.

სივრცეში სწორ ხაზებს შეუძლიათ დაიკავონ სხვადასხვა პოზიციები, განვიხილავთ ზოგიერთ მათგანს და მოვიყვანთ მაგალითებს, რომლებიც გვხვდება შენობებისა და ნაგებობების არქიტექტურულ იერსახეში (ცხრილი 1):

ცხრილი 1

Პარალელური ხაზები	პარალელური წრფეების თვისებები
	თუ ხაზები პარალელურია, მაშინ მათი ამავე სახელწოდების პროგნოზები პარალელურია:	ესენტუკი, ტალახის აბანოების შენობა (ავტორის ფოტო)
გადაკვეთის ხაზები	გადაკვეთის ხაზების თვისებები	მაგალითები შენობებისა და ნაგებობების არქიტექტურაში
	გადაკვეთის ხაზებს აქვთ საერთო წერტილი, ანუ მათი პროგნოზების იმავე სახელწოდების გადაკვეთის წერტილები დევს კომუნიკაციის საერთო ხაზზე:	მთის შენობები ტაივანში https://www.sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane
გადაკვეთილი ხაზები	დახრილი ხაზების თვისებები	მაგალითები შენობებისა და ნაგებობების არქიტექტურაში
	სწორი ხაზები, რომლებიც არ დევს ერთ სიბრტყეში და არ არიან ერთმანეთის პარალელურად, იკვეთება. არცერთი არ არის საერთო კომუნიკაციის ხაზი. თუ გადამკვეთი და პარალელური წრფეები დევს ერთ სიბრტყეში, მაშინ დახრილი ხაზები დევს ორ პარალელურ სიბრტყეში.	რობერტი, ჰუბერტი ვილა მადამა რომის მახლობლად https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287

1.2. ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურები. თვისებები და განმარტებები

მცენარეთა და ცხოველთა ფორმებზე, მდინარეთა მთებსა და მეანდერებზე, ლანდშაფტისა და შორეული პლანეტების თავისებურებებზე დაკვირვებით, ადამიანმა ბუნებისგან ისესხა მისი სწორი ფორმები, ზომები და თვისებები. მატერიალურმა მოთხოვნილებებმა აიძულა ადამიანი აეშენებინა საცხოვრებლები, გაეკეთებინა შრომისა და ნადირობის იარაღები, თიხისგან ჭურჭლის გამოძერწვა და ა.შ. ყოველივე ამან თანდათან შეუწყო ხელი იმ ფაქტს, რომ ადამიანი მივიდა ძირითადი გეომეტრიული ცნებების რეალიზებამდე.

ოთხკუთხედები:

პარალელოგრამი(ძველი ბერძნული παραλληλόγραμμον დან παράλληλος - პარალელურად და γραμμή - წრფე, წრფე) არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილად პარალელურია, ანუ პარალელურ წრფეებზე დევს.

პარალელოგრამის მახასიათებლები:

ოთხკუთხედი პარალელოგრამია, თუ დაკმაყოფილებულია ერთ-ერთი შემდეგი პირობა: 1. თუ ოთხკუთხედში მოპირდაპირე გვერდები წყვილად ტოლია, მაშინ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია. 2. თუ ოთხკუთხედში დიაგონალები იკვეთება და გადაკვეთის წერტილი შუაზე იყოფა, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია. 3. თუ ოთხკუთხედში ორი გვერდი ტოლია და პარალელურია, მაშინ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

პარალელოგრამი ყველა მართი კუთხით ეწოდება მართკუთხედი.

პარალელოგრამი, რომლის ყველა გვერდი ტოლია, ეწოდება რომბი.

ტრაპეცია -არის ოთხკუთხედი, რომელშიც ორი გვერდი პარალელურია, ხოლო დანარჩენი ორი გვერდი არ არის პარალელური. ასევე ოთხკუთხედს უწოდებენ ტრაპეციას, რომელშიც მოპირდაპირე გვერდების ერთი წყვილი პარალელურია, ხოლო გვერდები ერთმანეთის ტოლი არ არის.

სამკუთხედი- ეს არის უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც ჩამოყალიბებულია სამი სეგმენტით, რომლებიც აკავშირებენ სამ წერტილს, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე. ამ სამ წერტილს წვეროები ეწოდება. სამკუთხედიდა სეგმენტები გვერდებია სამკუთხედი.მისი სიმარტივის გამო სამკუთხედი იყო მრავალი გაზომვის საფუძველი. მიწის ამზომველები მიწის ფართობების გამოთვლებში და ასტრონომები პლანეტებსა და ვარსკვლავებამდე მანძილის პოვნისას იყენებენ სამკუთხედების თვისებებს. ასე გაჩნდა მეცნიერება ტრიგონომეტრიის შესახებ - მეცნიერება სამკუთხედების გაზომვის, მისი კუთხით გვერდების გამოხატვის შესახებ. ნებისმიერი მრავალკუთხედის ფართობი გამოიხატება სამკუთხედის ფართობის მიხედვით: საკმარისია ეს მრავალკუთხედი დავყოთ სამკუთხედებად, გამოვთვალოთ მათი ფართობი და დავამატოთ შედეგები. მართალია, მაშინვე ვერ მოხერხდა სამკუთხედის ფართობის სწორი ფორმულის პოვნა.

სამკუთხედის თვისებები განსაკუთრებით აქტიურად იყო შესწავლილი XV-XVI საუკუნეებში. აქ არის იმ დროის ერთ-ერთი ყველაზე ლამაზი თეორემა, ლეონჰარდ ეილერის გამო:

სამკუთხედის გეომეტრიაზე უზარმაზარმა მუშაობამ, რომელიც ჩატარდა XY-XIX საუკუნეებში, შექმნა შთაბეჭდილება, რომ სამკუთხედის შესახებ ყველაფერი უკვე ცნობილია.

პოლიგონი -ეს არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც ჩვეულებრივ განისაზღვრება როგორც დახურული პოლიხაზი.

Წრე- სიბრტყეში წერტილების ადგილი, მანძილი, საიდანაც მოცემულ წერტილამდე, რომელსაც წრის ცენტრს უწოდებენ, არ აღემატება მოცემულ არაუარყოფით რიცხვს, რომელსაც ეწოდება ამ წრის რადიუსი. თუ რადიუსი არის ნული, მაშინ წრე გადაგვარდება წერტილად.

გეომეტრიული ფიგურების დიდი რაოდენობაა, ისინი ყველა განსხვავდება პარამეტრებითა და თვისებებით, ზოგჯერ გასაკვირი მათი ფორმებით.

ბრტყელი ფიგურების თვისებებისა და თვისებების მიხედვით უკეთ დასამახსოვრებლად და გამორჩევის მიზნით, მოვიფიქრე გეომეტრიული ზღაპარი, რომელიც მინდა მოგაწოდოთ თქვენს ყურადღებას მომდევნო აბზაცში.

თავი 2

2.1 თავსატეხები კომპლექსური ფიგურის ასაგებად ბრტყელი გეომეტრიული ელემენტების ნაკრებიდან.

ბრტყელი ფიგურების შესწავლის შემდეგ ვიფიქრე, არის თუ არა რაიმე საინტერესო პრობლემა ბრტყელ ფიგურებთან, რომლებიც შეიძლება გამოვიყენოთ როგორც ამოცანები-თამაშები ან ამოცანები-თავსატეხები. და პირველი პრობლემა, რომელიც აღმოვაჩინე, იყო ტანგრამის თავსატეხი.

ეს არის ჩინური თავსატეხი. ჩინეთში მას უწოდებენ "ჩი ტაო ტუ", ანუ შვიდი ნაწილის გონებრივ თავსატეხს. ევროპაში სახელი "ტანგრამი" სავარაუდოდ წარმოიშვა სიტყვიდან "tan", რაც ნიშნავს "ჩინურს" და ძირიდან "გრამს" (ბერძნული - "ასო").

ჯერ უნდა დახაზოთ კვადრატი 10 x10 და გაყოთ შვიდ ნაწილად: ხუთ სამკუთხედად 1-5 , კვადრატი 6 და პარალელოგრამი 7 . თავსატეხის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ შვიდივე ნაწილის გამოყენება მე-3 ფიგურაში ნაჩვენები ფიგურების დასალაგებლად.

ნახ.3. თამაშის "ტანგრამის" ელემენტები და გეომეტრიული ფორმები

ნახ.4. ამოცანები "ტანგრამი"

განსაკუთრებით საინტერესოა ბრტყელი ფიგურებისგან „ფიგურული“ მრავალკუთხედების გაკეთება, საგნების მხოლოდ კონტურების ცოდნით (სურ. 4). მე თვითონ მოვიფიქრე რამდენიმე ეს სახაზავი დავალება და ვაჩვენე ეს დავალებები ჩემს კლასელებს, რომლებმაც სიამოვნებით დაიწყეს ამოცანების ამოხსნა და შეადგინეს ბევრი საინტერესო მრავალწახნაგოვანი ფიგურა, რომელიც მსგავსია ჩვენს გარშემო არსებული ობიექტების კონტურებზე.

ფანტაზიის გასავითარებლად ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ გასართობი თავსატეხების ისეთი ფორმები, როგორც ამოცანები მოცემული ფორმების ჭრისა და რეპროდუცირებისთვის.

მაგალითი 2. ჭრის (პარკეტის) პრობლემები, ერთი შეხედვით, შეიძლება ძალიან მრავალფეროვანი ჩანდეს. თუმცა, მათი უმეტესობა იყენებს მხოლოდ რამდენიმე ძირითად ტიპს (ჩვეულებრივ, ისეთებს, რომელთა გამოყენება შესაძლებელია ერთი პარალელოგრამიდან მეორეს მისაღებად).

მოდით შევხედოთ ჭრის რამდენიმე ტექნიკას. ამ შემთხვევაში, მოჭრილი ფიგურები დაერქმევა მრავალკუთხედები.

ბრინჯი. 5. ჭრის ტექნიკა

სურათი 5 გვიჩვენებს გეომეტრიულ ფორმებს, საიდანაც შეგიძლიათ სხვადასხვა ორნამენტული კომპოზიციების აწყობა და საკუთარი ხელით ორნამენტის გაკეთება.

მაგალითი 3. კიდევ ერთი საინტერესო დავალება, რომელიც შეგიძლიათ მოიფიქროთ და გაუზიაროთ სხვა მოსწავლეებს, ხოლო ვინც ყველაზე მეტს აგროვებს, გამარჯვებულად გამოცხადდება. ამ ტიპის საკმაოდ ბევრი დავალება შეიძლება იყოს. კოდირებისთვის შეგიძლიათ აიღოთ ყველა არსებული გეომეტრიული ფორმა, რომლებიც სამ ან ოთხ ნაწილად არის დაჭრილი.

ნახ.6 ჭრის ამოცანების მაგალითები:

------ - ხელახლა შექმნილი მოედანი; - მაკრატლით დაჭრილი;

მთავარი ფიგურა

2.2 თანაბარი ზომის და თანაბრად შედგენილი ფიგურები

განვიხილოთ ბრტყელი ფიგურების ჭრის კიდევ ერთი საინტერესო ტექნიკა, სადაც ჭრის მთავარი „გმირები“ მრავალკუთხედები იქნებიან. მრავალკუთხედების ფართობის გამოთვლისას გამოიყენება მარტივი ხრიკი, რომელსაც ეწოდება დაყოფის მეთოდი.

ზოგადად, მრავალკუთხედებს ამბობენ, რომ თანაბრად შედგენილია, თუ მრავალკუთხედის გარკვეული გზით მოჭრის შემდეგ ფ ნაწილების სასრულ რაოდენობად, შესაძლებელია ამ ნაწილების განსხვავებულად განლაგებით, მათგან ჩამოყალიბდეს მრავალკუთხედი H.

აქედან გამომდინარეობს შემდეგი თეორემა:თანაბრად შედგენილ მრავალკუთხედებს აქვთ იგივე ფართობი, ამიტომ ისინი განიხილება თანაბარ ფართობზე.

თანაბრად შედგენილი მრავალკუთხედების მაგალითის გამოყენებით შეიძლება ისეთი საინტერესო ჭრაც მივიჩნიოთ, როგორიც არის „ბერძნული ჯვრის“ კვადრატად გადაქცევა (სურ. 7).

ნახ.7. "ბერძნული ჯვრის" ტრანსფორმაცია

ბერძნული ჯვრებისგან შემდგარი მოზაიკის (პარკეტის) შემთხვევაში წერტილი პარალელოგრამი არის კვადრატი. პრობლემის გადაჭრა შეგვიძლია კვადრატების კრამიტის გადაფარვით ჯვრების ფილაზე ისე, რომ ერთი კრამიტის კონგრუენტული წერტილები ემთხვევა მეორის შესაბამის წერტილებს (ნახ. 8).

ნახატზე ჯვრების მოზაიკის კონგრუენტური წერტილები, კერძოდ ჯვრების ცენტრები, ემთხვევა „კვადრატული“ მოზაიკის კონგრუენტულ წერტილებს - კვადრატების წვეროებს. კვადრატული კრამიტის პარალელურად გადაადგილებით, ყოველთვის ვიღებთ პრობლემის გადაწყვეტას. უფრო მეტიც, ამოცანას აქვს რამდენიმე გამოსავალი, თუ პარკეტის ორნამენტის მომზადებისას გამოყენებულია ფერი.

სურ.8. ბერძნული ჯვრიდან აწყობილი პარკეტი

თანაბრად შედგენილი ფიგურების კიდევ ერთი მაგალითი შეიძლება განვიხილოთ პარალელოგრამის მაგალითზე. მაგალითად, პარალელოგრამი თანაბრად არის დაშორებული მართკუთხედთან (სურ. 9).

ეს მაგალითი ასახავს დაყოფის მეთოდს, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ მრავალკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად, ცდილობს მისი დაყოფა სასრულ ნაწილებად ისე, რომ ამ ნაწილებიდან შესაძლებელი იყოს ჩამოყალიბება. უფრო მარტივი მრავალკუთხედი, რომლის ფართობი უკვე ვიცით.

მაგალითად, სამკუთხედი თანაბარი მანძილით არის დაშორებული პარალელოგრამთან, რომელსაც აქვს იგივე ფუძე და ნახევარი სიმაღლე. ამ პოზიციიდან ადვილად გამოდის სამკუთხედის ფართობის ფორმულა.

გაითვალისწინეთ, რომ ზემოაღნიშნული თეორემისთვის ასევე გვაქვს ურთიერთობის თეორემა:თუ ორი მრავალკუთხედი ტოლია ზომით, მაშინ ისინი ტოლია.

ეს თეორემა დადასტურდა XIX საუკუნის პირველ ნახევარში. უნგრელი მათემატიკოსის ფ. ბოლიაის და გერმანელი ოფიცრისა და მათემატიკოსის პ. გერვინის მიერ ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ამ ფორმით: თუ არის მრავალკუთხედის ფორმის ტორტი და სრულიად განსხვავებული ფორმის მრავალკუთხა ყუთი, მაგრამ იგივე. ფართობზე, შემდეგ შეგიძლიათ დაჭრათ ნამცხვარი სასრული რაოდენობის ნაჭრებად (ისინი კრემის გარეშე), რომლებიც შეიძლება მოათავსოთ ამ ყუთში.

დასკვნა

დასასრულს, მე აღვნიშნავ, რომ ბრტყელი ფიგურების პრობლემები საკმარისად არის წარმოდგენილი სხვადასხვა წყაროებში, მაგრამ ის, რაც ჩემთვის საინტერესო იყო, რის საფუძველზეც მომიწია საკუთარი თავსატეხის პრობლემების მოფიქრება.

ყოველივე ამის შემდეგ, ასეთი პრობლემების გადაჭრით, თქვენ შეგიძლიათ არა მხოლოდ ცხოვრებისეული გამოცდილების დაგროვება, არამედ ახალი ცოდნისა და უნარების შეძენა.

თავსატეხებში, როდესაც ვაგებდი მოქმედებებს-მოძრაობებს ბრუნვის, ცვლის, გადაცემის თვითმფრინავებზე ან მათ კომპოზიციებზე, მე მივიღე ახალი სურათები, რომლებიც შექმნილია ჩემს მიერ, მაგალითად, პოლიედრონული ფიგურები ტანგრამის თამაშიდან.

ცნობილია, რომ ადამიანის აზროვნების მობილურობის მთავარი კრიტერიუმია გარკვეული მოქმედებების განხორციელების უნარი დროის დადგენილ მონაკვეთში, ჩვენ შემთხვევაში კი ფიგურების მოძრაობა თვითმფრინავზე, ხელახალი და შემოქმედებითი წარმოსახვის საშუალებით. ამიტომ მათემატიკის და, კერძოდ, გეომეტრიის სკოლაში შესწავლა კიდევ უფრო მეტ ცოდნას მომცემს, რათა შემდგომ პროფესიულ საქმიანობაში გამოვიყენო.

ბიბლიოგრაფიული სია

1. პავლოვა, ლ.ვ. ხატვის სწავლების არატრადიციული მიდგომები: სახელმძღვანელო / L.V. პავლოვა. - ნიჟნი ნოვგოროდი: NGTU-ს გამომცემლობა, 2002. - 73 გვ.

2. ახალგაზრდა მათემატიკოსის ენციკლოპედიური ლექსიკონი / შედ. ა.პ. სავინი. - მ .: პედაგოგიკა, 1985. - 352გვ.

3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane

4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053

დანართი 1

კითხვარი თანაკლასელებისთვის

1. იცით, რა არის ტანგრამის თავსატეხი?

2. რა არის „ბერძნული ჯვარი“?

3. გაინტერესებთ რა არის „ტანგრამი“?

4. გაინტერესებთ რა არის „ბერძნული ჯვარი“?

გამოკითხული იქნა მე-8 კლასის 22 მოსწავლე. შედეგები: 22-მა მოსწავლემ არ იცის რა არის „ტანგრამი“ და „ბერძნული ჯვარი“. 20 სტუდენტი დაინტერესებული იქნება 7 ბრტყელი ფიგურისგან შემდგარი ტანგრამის თავსატეხის გამოყენებით უფრო რთული ფიგურის მიღება.გამოკითხვის შედეგები შეჯამებულია დიაგრამაზე.

დანართი 2

თამაშის "ტანგრამის" ელემენტები და გეომეტრიული ფორმები

"ბერძნული ჯვრის" ტრანსფორმაცია

გეომეტრიაარის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც შეისწავლის ფორმებსა და მათ თვისებებს.

გეომეტრიას, რომელსაც სკოლაში სწავლობენ, ძველი ბერძენი მეცნიერის ევკლიდეს (ძვ. წ. III ს.) სახელით ევკლიდეს ეძახიან.

გეომეტრიის შესწავლა იწყება პლანიმეტრიით. პლანიმეტრია- ეს არის გეომეტრიის დარგი, რომელშიც შესწავლილია ფიგურები, რომელთა ყველა ნაწილი ერთ სიბრტყეშია.

გეომეტრიული ფიგურები

ჩვენს ირგვლივ სამყაროში ბევრია სხვადასხვა ფორმისა და ზომის მატერიალური ობიექტი: საცხოვრებელი კორპუსები, მანქანების ნაწილები, წიგნები, სამკაულები, სათამაშოები და ა.შ.

გეომეტრიაში სიტყვის ობიექტის ნაცვლად გეომეტრიულ ფიგურას ამბობენ. გეომეტრიული ფიგურა(ან მოკლედ: ფიგურა) არის რეალური საგნის გონებრივი გამოსახულება, რომელშიც ინახება მხოლოდ ფორმა და ზომები და მხედველობაში მიიღება მხოლოდ ისინი.

გეომეტრიული ფორმები იყოფა ბინადა სივრცითი. პლანიმეტრიაში განიხილება მხოლოდ სიბრტყის ფიგურები. ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურა არის ის, რომლის ყველა წერტილი ერთ სიბრტყეზეა. ასეთი ფიგურის იდეა მოცემულია ფურცელზე შესრულებული ნებისმიერი ნახატით.

გეომეტრიული ფორმები ძალიან მრავალფეროვანია, მაგალითად, სამკუთხედი, კვადრატი, წრე და ა.შ.:

ნებისმიერი გეომეტრიული ფიგურის ნაწილი (პუნქტის გარდა) ასევე გეომეტრიული ფიგურაა. რამდენიმე გეომეტრიული ფორმის გაერთიანება ასევე იქნება გეომეტრიული ფიგურა. ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში მარცხენა ფიგურა შედგება კვადრატისა და ოთხი სამკუთხედისგან, ხოლო მარჯვენა ფიგურა შედგება წრისა და წრის ნაწილებისგან.

გეომეტრიული ფიგურა- წერტილების ნაკრები ზედაპირზე (ხშირად სიბრტყეზე), რომელიც ქმნის ხაზების სასრულ რაოდენობას.

თვითმფრინავის მთავარი გეომეტრიული ფიგურებია წერტილიდა სწორი ხაზი. სეგმენტი, სხივი, გატეხილი ხაზი უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურებია სიბრტყეზე.

Წერტილი- ყველაზე პატარა გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც ეფუძნება სხვა ფიგურებს ნებისმიერ გამოსახულებასა თუ ნახატზე.

ყოველი უფრო რთული გეომეტრიული ფიგურაარის პუნქტების ნაკრები, რომლებსაც აქვთ გარკვეული თვისება, დამახასიათებელი მხოლოდ ამ ფიგურისთვის.

Სწორი ხაზი, ან სწორი -ეს არის უსასრულო ნაკრები, რომელიც მდებარეობს პირველ ხაზზე, რომელსაც არ აქვს დასაწყისი და დასასრული. ფურცელზე ხედავთ მხოლოდ სწორი ხაზის ნაწილს, რადგან. მას არ აქვს ლიმიტი.

ხაზი გავლებულია ასე:

სწორი ხაზის ნაწილს, რომელიც 2 მხრიდან არის შემოსაზღვრული წერტილებით, ეწოდება სეგმენტისწორი ან დაჭრილი. ის ასეა გამოსახული:

რეიარის მიმართული ნახევარხაზი, რომელსაც აქვს საწყისი წერტილი და რომელსაც არ აქვს დასასრული. სხივი ნაჩვენებია ასე:

თუ წერტილს სწორ ხაზზე დააყენებთ, მაშინ ეს წერტილი სწორ ხაზს გაყოფს 2 საპირისპირო მიმართულ სხივად. ამ სხივებს ე.წ დამატებითი.

გატეხილი ხაზი- რამდენიმე სეგმენტი, რომლებიც დაკავშირებულია ერთმანეთთან ისე, რომ 1-ლი სეგმენტის დასასრული არის მე-2 სეგმენტის დასაწყისი, ხოლო მე-2 სეგმენტის დასასრული არის მე-3 სეგმენტის დასაწყისი და ა.შ. რომლებსაც აქვთ 1-ჭის საერთო წერტილი) სეგმენტები განლაგებულია სხვადასხვა სწორ ხაზებზე. როდესაც ბოლო სეგმენტის დასასრული არ ემთხვევა 1-ის დასაწყისს, მაშინ ეს გატეხილი ხაზი დაერქმევა. გახსნა:

როდესაც პოლიწრფის ბოლო სეგმენტის დასასრული ემთხვევა 1-ის დასაწყისს, მაშინ ეს პოლიხაზი იქნება დახურული. დახურული პოლიხაზის მაგალითია ნებისმიერი მრავალკუთხედი:

ოთხწახნაგიანი დახურული პოლიხაზი - ოთხკუთხედი (მართკუთხედი):

სამი რგოლი დახურული პოლიხაზი -