გაზომეთ ბურთი. პერელმანის სფეროების მრავალგანზომილებიანი მუსიკა. ზოგიერთი სასარგებლო პროგრამა სხვა წყაროებიდან
რამდენიმე ხნის წინ, წინასწარ დაბეჭდვის საიტზე arXiv.org ერთდროულად გამოჩნდა ორი ნაშრომი, რომელიც მიეძღვნა 8 და 24 განზომილებების სივრცეებში ბურთების უახლოესი შეფუთვის პრობლემას. აქამდე მსგავსი შედეგები ცნობილი იყო მხოლოდ 1, 2 განზომილებებისთვის. და 3 (და ყველაფერი ასე მარტივი არ არის აქ, მაგრამ უფრო მეტი ამის შესახებ ქვემოთ). გარღვევა - ა ჩვენ ვსაუბრობთნამდვილი რევოლუციური გარღვევის შესახებ - შესაძლებელი გახდა უკრაინული წარმოშობის მათემატიკოსის მარინა ვიაზოვსკაიას მუშაობის წყალობით, რომელიც ახლა მუშაობს გერმანიაში. ამ მიღწევის ისტორიას ათ მოთხრობაში მოგიყვებით.
1.
მე-16 საუკუნეში ინგლისში ცხოვრობდა ცნობილი სასამართლო მოღვაწე და პოეტი სერ უოლტერ რალი. ის განთქმული იყო, პირველ რიგში, იმით, რომ ერთხელ მან დედოფალს თავისი ძვირადღირებული მოსასხამი გუბეში ესროლა, რათა მისმა უდიდებულესობამ ფეხები არ დაბინძურებინა. მაგრამ ამიტომ არ გვაინტერესებს ეს.
სერ უოლტერ რალის გატაცება ჰქონდა - მას ძალიან უყვარდა ესპანური გემების ძარცვა და ელდორადოს ძებნა. და ერთ დღეს რალიმ გემზე დაინახა დაწყობილი ქვემეხის ბურთულები. და მე ვიფიქრე (ეს დაემართა ბრიტანელ კარისკაცებს), ამბობენ, კარგი იქნებოდა, თუ გაარკვევდით რამდენი ბირთვია გროვაში მათი დათვლის გარეშე. ასეთი ცოდნის სარგებელი, განსაკუთრებით თუ ესპანეთის ფლოტის ძარცვა გსიამოვნებთ, აშკარაა.
უოლტერ რალი
თავად რალეი მათემატიკაში არც თუ ისე კარგად ერკვეოდა, ამიტომ ეს პრობლემა თავის ასისტენტ თომას ჰარიოტს მისცა. ის, თავის მხრივ, ძლიერი იყო მათემატიკაში (ჰარიოტი, სხვათა შორის, არის ნიშნების გამომგონებელი ">" და "<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.
კომენტარისთვის მან თავისი დროის ცნობილ მათემატიკოსს, იოჰანეს კეპლერს - იმ დროს ტიხო ბრაჰეს თანაშემწეს მიმართა. კეპლერმა პასუხი არ გასცა, მაგრამ პრობლემა გაახსენდა. 1611 წელს მან გამოაქვეყნა პატარა ბროშურა, რომელშიც განიხილავდა ოთხ კითხვას: რატომ არის თაფლი ფუტკრებში ექვსკუთხა, რატომ არის ყვავილების ფურცლები ყველაზე ხშირად დაჯგუფებული ხუთებად ( კეპლერი ალბათ მხოლოდ გულისხმობდავარდისფერ - დაახლ. N+1რატომ აქვს ბროწეულის მარცვლებს თორმეტკუთხედის ფორმა (თუმცა არარეგულარული) და რატომ აქვთ ფიფქებს ექვსკუთხედის ფორმა.
იოჰანეს კეპლერი
ბროშურა გამიზნული იყო საჩუქრად, ამიტომ ის უფრო ფილოსოფიური და გასართობი საკითხავი იყო, ვიდრე ნამდვილი სამეცნიერო ნაშრომი. კეპლერმა პირველ კითხვაზე პასუხი ორ პირობას დაუკავშირა - უჯრედებს შორის არ უნდა იყოს უფსკრული და უჯრედის ფართობების ჯამი მინიმალური უნდა იყოს. ავტორმა მეორე შეკითხვა ფიბონაჩის რიცხვებს დაუკავშირა და ფიფქების შესახებ საუბარმა კეპლერს ატომური სიმეტრიების შესახებ მსჯელობა უბიძგა.
მესამე კითხვამ წარმოშვა ჰიპოთეზა, რომ ექვსკუთხა მჭიდრო შეფუთვა(ეს ქვემოთ სურათზეა) ყველაზე მკვრივია (რაც იმას ნიშნავს, რომ მათემატიკური გაგებითაც უფრო დაბალია). რასაკვირველია, კეპლერმა საჭიროდ არ ჩათვალა ჰარიოტის მოხსენიება. ამიტომ ამ განცხადებას კეპლერის ჰიპოთეზა ეწოდება. სტიგლერის კანონი - იგივე არნოლდის პრინციპი - მოქმედებაში.
დიახ, ამ ბროშურის გამოქვეყნებიდან 7 წლის შემდეგ სერ უოლტერ რალის თავი მოჰკვეთეს. თუმცა, ამას არანაირი კავშირი არ ჰქონდა მკვრივი შეფუთვის პრობლემასთან.
2.
თანამედროვე სტანდარტებით, ამოცანა, რომელიც ჰარიოტმა გადაჭრა, არ იყო რთული. ამიტომ, ჩვენ მას უფრო დეტალურად გავაანალიზებთ. და ამავდროულად, ჩვენ უკეთ გავიგებთ, თუ როგორ მუშაობს ექვსკუთხა მჭიდრო შეფუთვა.
ასე რომ, მთავარი პირობაა, რომ ბირთვების თაიგული არ დატრიალდეს პიჩინგის დროს. ასე რომ, დაალაგეთ ბირთვები ზედიზედ გემბანზე. შემდეგ რიგში ვდებთ ბირთვებს ისე, რომ ბურთები მოთავსდეს პირველი რიგის სფეროებს შორის ჭრილებში. თუ პირველ რიგში არის n ბურთი, მაშინ მეორეში არის n - 1 (რადგან ბურთებს შორის ერთით ნაკლები უფსკრულია, ვიდრე თავად ბურთებს). შემდეგი რიგი იქნება ერთი ნაკლები ბირთვი. და ასე შემდეგ, სანამ არ მივიღებთ ასეთ სამკუთხედს (თუ განლაგებას ზემოდან შეხედავთ):
ვისაც ახსოვს, რა არის არითმეტიკული პროგრესია, ადვილად გამოთვლის, რომ თუ პირველ რიგში იყო n ბურთი, მაშინ ასეთ სამკუთხედში არის n (n + 1)/2 ბურთი. ზემოდან დათვალიერებისას, ბურთებს შორის არის მოსახერხებელი ჩაღრმავები. იქვე დავამატებთ ბურთულების მეორე ფენას. ეს გამოიწვევს სამკუთხედის ორგანიზებას, როგორც პირველი, მხოლოდ ერთი ბურთით ნაკლები გვერდით. ასე რომ, წყობაში ჩავყარეთ n(n - 1)/2 მეტი ბურთი.
ვაგრძელებთ ფენების დალაგებას, სანამ არ მივიღებთ ერთი ბურთის ფენას. მივიღეთ ბირთვების სამკუთხა პირამიდა. იმის გასარკვევად, თუ რამდენი ბირთვი აქვს მას, თქვენ უნდა დაამატოთ ბირთვების რაოდენობა თითოეულ ფენაში. თუ პირველი ფენა იყო n გვერდით, მაშინ მივიღებთ n ფენას, რომელიც ჯამში მისცემს n(n + 1)(n + 2)/6. ცნობისმოყვარე მკითხველი შეამჩნევს, რომ ეს არის ზუსტად C 3 n + 2 ბინომიალური კოეფიციენტი. ეს კომბინატორიული დამთხვევა არ არის უსაფუძვლო, მაგრამ ჩვენ არ ჩავუღრმავდებით მას.
სხვათა შორის, ამ ამოცანის გარდა, ჰარიოტმა შეძლო დაედგინა დაახლოებით რა წილი უჭირავს ბირთვებს საკმარისად დიდ კონტეინერში, თუ ამ უკანასკნელის ფორმას ავიღებთ კუბისთვის. აღმოჩნდა, რომ პროპორცია არის π/(3√2) ≈ 0,74048.
3.
რას ნიშნავს სიტყვა ყველაზე მკვრივიპრობლემის განცხადებაში? რალეიმ, ჰარიოტმა და თვით კეპლერმაც კი ამაზე ზუსტი პასუხი არ გასცეს. ყველაზე მკვრივი რაღაც გონივრული გაგებით იგულისხმებოდა. თუმცა, ეს ფორმულირება არ არის შესაფერისი მათემატიკისთვის. საჭიროა დაზუსტება.
მოდით, ჯერ ქვემოთ ჩამოვწიოთ განზომილება და ვნახოთ, როგორ მუშაობს ყველაფერი თვითმფრინავში. ორგანზომილებიანი შემთხვევისთვის, პრობლემა გადაიქცევა შემდეგნაირად: დაე, სიბრტყეზე იყოს მოცემული წრეების უსასრულო ნაკრები, რომლებიც არ იკვეთება შიგნიდან (მაგრამ, შესაძლოა, ეხებოდეს - ანუ აქვს საერთო წერტილი საზღვარზე). . დავხატოთ კვადრატი. ჩვენ ვიანგარიშებთ კვადრატის შიგნით ჩავარდნილი წრეების ფართობების ჯამს. ავიღოთ ამ ჯამის შეფარდება კვადრატის ფართობთან და გავზრდით კვადრატის გვერდს, შევხედოთ შეფარდების ცვლილებას.
ჩვენ ვიღებთ ფუნქციას ვ(ა), სადაც ა- კვადრატის მხარე. თუ ჩვენ გაგვიმართლა, მაშინ ეს ფუნქცია ზრდასთან ერთად არგუმენტი ასიმპტომურად მიუახლოვდება ზოგიერთ რიცხვს. ამ რიცხვს ეწოდება მოცემული შეფუთვის სიმკვრივე. მნიშვნელოვანია, რომ ფუნქციამ გარკვეულ მომენტში შეიძლება მისცეს სიმკვრივეზე მეტი მნიშვნელობა. მართლაც, თუ კვადრატი პატარაა, მაშინ ის მთლიანად ჯდება წრეში და გარკვეული თანაფარდობა არის 1. მაგრამ ჩვენ გვაინტერესებს სიმკვრივე საშუალოდ, ანუ, არაფორმალურად რომ ვთქვათ, "საკმარისად დიდი გვერდის მქონე კვადრატისთვის".
ყველა ასეთ სიმკვრივეს შორის შეგიძლიათ იპოვოთ მაქსიმუმი. ეს არის ის, ისევე როგორც შეფუთვა, რომელიც ახორციელებს მას, ყველაზე მკვრივს უწოდებენ.
„ყველაზე მკვრივი შეფუთვა სულაც არ არის უნიკალური (ასიმპტოტური გაგებით). სამგანზომილებიან სივრცეში უსაზღვროდ ბევრი მკვრივი შეფუთვაა და ეს კეპლერმაც კი იცოდა“, - ამბობს ოლეგ მუსინი ბრაუნსვილის ტეხასის უნივერსიტეტიდან.
მას შემდეგ რაც ჩვენ განვსაზღვრეთ ყველაზე მკვრივი შეფუთვის კონცეფცია, ადვილი გასაგებია, რომ ასეთი განმარტება ადვილად შეიძლება გავრცელდეს თვითნებური განზომილების n სივრცეში. მართლაც, მოდით შევცვალოთ წრეები შესაბამისი განზომილების ბურთებით, ანუ წერტილების კომპლექტით, საიდანაც ფიქსირებულ წერტილამდე (რომელსაც ცენტრს უწოდებენ) არ აღემატება გარკვეულ მნიშვნელობას, რომელსაც ბურთის რადიუსი ეწოდება. კიდევ ერთხელ, მოდით მოვაწყოთ ისინი ისე, რომ ნებისმიერ ორს, საუკეთესო შემთხვევაში, შეეხოს, უარეს შემთხვევაში - საერთოდ არ ჰქონდეს საერთო წერტილები. ჩვენ განვსაზღვრავთ იგივე ფუნქციას, რაც წინა შემთხვევაში n-განზომილებიანი კუბის მოცულობის და შესაბამისი n-განზომილებიანი ბურთების მოცულობების ჯამის აღებით.
4.
ამრიგად, ჩვენ გავიგეთ, რომ კეპლერის ვარაუდი არის სამგანზომილებიანი ბურთების უახლოესი შეფუთვის პრობლემა სამგანზომილებიან სივრცეში. და რაც შეეხება თვითმფრინავს (მას შემდეგ რაც ჩვენ დავიწყეთ)? ან თუნდაც პირდაპირ? სწორი ხაზით ყველაფერი მარტივია: სწორ ხაზზე ბურთი არის სეგმენტი. სწორი ხაზი შეიძლება მთლიანად დაფარული იყოს ბოლოებზე გადაკვეთილი იდენტური სეგმენტებით. ამ დაფარვით, ფუნქცია ვ(ა)მუდმივია და 1-ის ტოლია.
თვითმფრინავში ყველაფერი უფრო რთული აღმოჩნდა. მაშ ასე, დავიწყოთ სიბრტყეზე წერტილების ნაკრებით. ჩვენ ვამბობთ, რომ წერტილების ეს ნაკრები ქმნის გისოსს, თუ ჩვენ ვიპოვით ვექტორების წყვილს v და w ისეთი, რომ ყველა წერტილი მიიღება როგორც N*v + M*w, სადაც N და M არის მთელი რიცხვები. ანალოგიურად, გისოსი შეიძლება განისაზღვროს თვითნებურად დიდი ზომების სივრცეში - უბრალოდ მეტი ვექტორია საჭირო.
გისოსები მნიშვნელოვანია მრავალი მიზეზის გამო (მაგალითად, გისოსების ადგილებზე ატომები ურჩევნიათ განთავსდეს მყარ მასალებთან დაკავშირებით), მაგრამ მათემატიკოსებისთვის ისინი კარგია, რადგან მათთან მუშაობა ძალიან მოსახერხებელია. ამიტომ, ყველა შეფუთვიდან, ცალკე გამოირჩევა კლასი, რომელშიც ბურთების ცენტრები განლაგებულია გისოსების კვანძებში. თუ ამ შემთხვევით შემოვიფარგლებით, მაშინ თვითმფრინავში მხოლოდ ხუთი ტიპის გისოსებია. მათი ყველაზე მკვრივი შეფუთვა მიიღება ისე, რომ წერტილები განლაგებულია რეგულარული ექვსკუთხედების წვეროებზე - როგორც თაფლი ფუტკრებში ან ატომები გრაფენში. ეს ფაქტი ლაგრანჟმა დაამტკიცა 1773 წელს. უფრო ზუსტად: ლაგრანჟს არ აინტერესებდა მკვრივი შეფუთვები, მაგრამ დაინტერესებული იყო კვადრატული ფორმებით. უკვე მე-20 საუკუნეში გაირკვა, რომ ორგანზომილებიანი გისოსების შეფუთვის სიმკვრივის შედეგი გამომდინარეობს მისი პროფორმული შედეგებიდან.
1831 წელს ლუდვიგ ზიბერმა დაწერა წიგნი სამეული კვადრატული ფორმების შესახებ. ამ წიგნში წარმოდგენილია ვარაუდი, რომელიც ექვივალენტურია კეპლერის ვარაუდის გისოსების შეფუთვისთვის. თავად ზიბერმა შეძლო დაემტკიცებინა თავისი ჰიპოთეზის მხოლოდ სუსტი ფორმა და გამოსცადა იგი უამრავი მაგალითისთვის. ეს წიგნი განიხილა დიდმა კარლ ფრიდრიხ გაუსმა. ამ მიმოხილვაში, გაუსი გთავაზობთ მართლაც გასაოცარ მტკიცებულებას, რომელიც ჯდება 40 სტრიქონში. ეს, როგორც ახლა ვამბობთ, არის საშუალო სკოლის მოსწავლისთვის გასაგები „ოლიმპიადის“ დასტური. ბევრი მათემატიკოსი ცდილობდა გაუსის მტკიცებულებაში ფარული მნიშვნელობის პოვნას, მაგრამ ჯერჯერობით ვერავინ მიაღწია წარმატებას“, - ამბობს ოლეგ მუსინი.
თუმცა, რა მოხდება, თუ ქსელის მდგომარეობა მიტოვებული იქნება? აქ საქმეები ცოტა უფრო რთულდება. ამ საქმესთან გამკლავების პირველი სრულფასოვანი მცდელობა იყო ნორვეგიელი მათემატიკოსი აქსელ ტუუ. თუ გადახედავთ ტუსადმი მიძღვნილ გვერდს ვიკიპედიაში, იქ ვერაფერს ვიპოვით მჭიდრო შეფუთვაზე. ეს გასაგებია - ტუუმ გამოაქვეყნა ორი ნაშრომი, უფრო ესეების მსგავსი, ვიდრე ჩვეულებრივი მათემატიკური ნაშრომები, რომლებშიც, როგორც მას მოეჩვენა, მან მთლიანად გადაჭრა მკვრივი შეფუთვის პრობლემა. ერთადერთი პრობლემა ის იყო, რომ ტუუს გარდა არავინ იყო დარწმუნებული მის მსჯელობაში.
ლასლო ფეიეს ტოტი
Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons
პრობლემა საბოლოოდ გადაჭრა უნგრელმა მათემატიკოსმა ლასლო ფეიეს ტოტმა 1940 წელს. სხვათა შორის, აღმოჩნდა, რომ თვითმფრინავზე წრეების მოწყობა, ყველაზე მკვრივი შეფუთვის გაცნობიერებით, უნიკალურია.
5.
შეფუთვის პრობლემასთან მჭიდრო კავშირშია საკონტაქტო ნომრის პრობლემა. მოდით, კვლავ განვიხილოთ წრე სიბრტყეზე. ერთი და იგივე რადიუსის რამდენი წრე შეიძლება მოეწყოს მის გარშემო ისე, რომ ყველა ეხებოდეს ცენტრალურს? პასუხი არის ექვსი. მართლაც, მოდით შევხედოთ ორ მეზობელ წრეს, რომლებიც კავშირშია ჩვენს ცენტრალურ წრესთან. მოდით შევხედოთ მანძილს ცენტრალური წრის ცენტრიდან ამ ორის ცენტრებამდე. უდრის 2R, სადაც რარის წრის რადიუსი. მიმდებარე წრეების ცენტრებს შორის მანძილი არ აღემატება 2R.ცენტრალური წრის ცენტრში კუთხის გამოთვლა კოსინუსების თეორემის მიხედვით მივიღებთ, რომ ის არანაკლებ 60 გრადუსია. ყველა ცენტრალური კუთხის ჯამი უნდა იყოს 360 გრადუსი, რაც იმას ნიშნავს, რომ არ შეიძლება იყოს 6-ზე მეტი ასეთი კუთხე და ჩვენ ვიცით წრეების მდებარეობა ექვსი კუთხით.
მიღებულ ნომერს თვითმფრინავის საკონტაქტო ნომერი ეწოდება. მსგავსი კითხვა შეიძლება დაისვას ნებისმიერი განზომილების სივრცეებისთვის. დაე, თვითმფრინავში გადაწყვეტის სიმარტივე არ შეიყვანოს შეცდომაში მკითხველი - საკონტაქტო ნომრების პრობლემა, თუ უფრო მარტივია, ვიდრე მკვრივი შეფუთვის პრობლემა, არ არის ბევრი. მაგრამ ამ მიმართულებით უფრო მეტი შედეგია მიღებული.
სამგანზომილებიანი სივრცისთვის საკონტაქტო ნომერი გახდა საჯარო დავის საგანი თავად ისააკ ნიუტონსა და ჯეიმს გრეგორის შორის 1694 წელს. პირველს სჯეროდა, რომ საკონტაქტო ნომერი უნდა იყოს 12, ხოლო მეორე - 13. საქმე ის არის, რომ ძნელი არ არის 12 ბურთის მოწყობა ცენტრალურის ირგვლივ - ასეთი ბურთების ცენტრები დევს რეგულარული იკოსაედონის წვეროებზე ( მას აქვს მხოლოდ 12 მათგანი). მაგრამ ეს ბურთები არ ეხება! ერთი შეხედვით ჩანს, რომ ისინი შეიძლება ისე გადაიტანონ, რომ კიდევ ერთი, მე-13 ბურთი შემოვიდეს. ეს თითქმის მართალია: თუ ბურთები ოდნავ დაშორებულია ერთმანეთისგან, ადგენს მანძილს მათ ცენტრებსა და ცენტრალურ ცენტრს შორის. 2R,მაგრამ მხოლოდ 2.06R,მაშინ 13 ბურთი უკვე მოერგება. მაგრამ ბურთების შეხებისას გრიგორი შეცდა - ეს ფაქტი დაადასტურეს ვან დერ ვაარდენმა და შუტემ 1953 წელს.
მე-4 განზომილებისთვის ეს პრობლემა ოლეგ მუსინმა გადაჭრა 2003 წელს. იქ საკონტაქტო ნომერი 24 აღმოჩნდა.
6.
გარდა ამ ზომებისა 1, 2, 3 და 4, საკონტაქტო ნომრები ასევე ცნობილია 8 და 24 განზომილებაში. რატომ არის ეს ზომები? ფაქტია, რომ მათთვის არის ძალიან საინტერესო გისოსები სახელწოდებით E8 და Leech გისოსი.
ასე რომ, ჩვენ უკვე გავარკვიეთ რა არის გისოსი. მათემატიკისთვის გისოსის მნიშვნელოვანი მახასიათებელია მისი სიმეტრია. სიმეტრიაში, რა თქმა უნდა, ჩვენ ვგულისხმობთ არა სუბიექტურ შეგრძნებებს (და ვინ წარმოაჩენს ამ გისოსს, მაგალითად, ოთხ განზომილებაში?), არამედ სივრცის სხვადასხვა ტიპის მოძრაობის რაოდენობას, რომელიც ამ გისოსს თავისთავად თარგმნის. ავხსნათ მაგალითით.
ავიღოთ იგივე ექვსკუთხა გისოსი, რომელიც ახორციელებს ყველაზე მკვრივ შეფუთვას თვითმფრინავში. ადვილი გასაგებია, რომ გისოსი გარდაიქმნება საკუთარ თავში, თუ იგი გადაინაცვლებს განსაზღვრებაში მყოფი v და w ვექტორებით. მაგრამ, გარდა ამისა, გისოსი შეიძლება შემობრუნდეს ექვსკუთხედის ცენტრის გარშემო. და არის 6 ასეთი ბრუნვა: 0, 60, 120, 180, 240, 300 გრადუსი. გარდა ამისა, გისოსი შეიძლება იყოს სიმეტრიულად გამოსახული ნაერთის ექვსკუთხედის სიმეტრიის ნებისმიერი ღერძის მიმართ. მცირე სავარჯიშო გვიჩვენებს, რომ ცვლებს არ ჩავთვლით, ვიღებთ 12 ტრანსფორმაციას. სხვა გისოსებში ასეთი გარდაქმნები ნაკლებია, ამიტომ ვამბობთ, რომ ისინი ნაკლებად სიმეტრიულია.
ახლა, E8 და ლიჩის გისოსები წარმოუდგენლად სიმეტრიული გისოსებია. E8 მდებარეობს 8 განზომილებიან სივრცეში. ეს გისოსი გამოიგონეს რუსმა მათემატიკოსებმა კორკინმა და ზოლოტარევმა 1877 წელს. იგი შედგება ვექტორებისგან, რომელთა ყველა კოორდინატი მთელი რიცხვია და მათი ჯამი ლუწია. ასეთ გისოსს, მინუს ძვრები, აქვს 696,729,600 ტრანსფორმაცია. Leach Grid არსებობს ოცდაოთხ განზომილებაში. იგი შედგება ვექტორებისგან მთელი რიცხვის კოორდინატებით და პირობით - კოორდინატების ჯამი გამოკლებული ნებისმიერი კოორდინატი გამრავლებული 4-ზე იყოფა 8-ზე. მას აქვს მხოლოდ კოლოსალური რაოდენობის სიმეტრია - 8,315,553,613,086,720,000 ცალი.
ასე რომ, 8-განზომილებიან და 24-განზომილებიან სივრცეში იმავე გისოსების წვეროებზე მდებარე ბურთები ეხებიან, შესაბამისად, 240 და 19650 ბურთებს. გასაკვირია, რომ ზუსტად ეს არის საკონტაქტო ნომრები (იხ. პუნქტი 5) შესაბამისი განზომილების სივრცეებისთვის.
7.
ახლა დავუბრუნდეთ სამგანზომილებიან შემთხვევას და კეპლერის ჰიპოთეზას (ის, რაზეც თავიდანვე ვისაუბრეთ). ეს ამოცანა ბევრჯერ უფრო რთული აღმოჩნდა, ვიდრე მისი წინამორბედები.
დავიწყოთ იმით, რომ არსებობს უსასრულოდ ბევრი შეფუთვა იგივე სიმკვრივით, როგორც ექვსკუთხა მკვრივი. ჩვენ დავიწყეთ მისი განლაგება, დაწყებული ექვსკუთხა გისოსების კვანძებზე დალაგებული ბურთულებიდან. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ სხვაგვარად გააკეთოთ: მაგალითად, პირველ დონეზე, დაკეცეთ ბურთები კვადრატად, ანუ ისე, რომ ბურთების ზედა ნაწილი განლაგდეს უკვე კვადრატული გისოსის კვანძებში. ამ შემთხვევაში, თითოეული ბურთი ეხება ოთხ მეზობელს. მეორე ფენა, როგორც ექვსკუთხას შემთხვევაში, ზემოდან განთავსდება პირველი ფენის ბურთებს შორის არსებულ ხარვეზებში. ასეთ პაკეტს ე.წ სახეზე ორიენტირებული კუბური შეფუთვა.სხვათა შორის, ეს არის ერთადერთი მკვრივი გისოსები სივრცეში.
ერთი შეხედვით, როგორც ჩანს, ეს შეფუთვა უარესი უნდა იყოს, რადგან პირველ ფენაში ოთხ ბურთულს შორის უფსკრული გაცილებით დიდია (სენსაციების მიხედვით), ვიდრე ექვსკუთხა მკვრივ შეფუთვაში არსებული ხარვეზები. მაგრამ, როდესაც მეორე რიგს ვდებთ, ბურთები - ზუსტად იმიტომ, რომ ხარვეზები უფრო დიდია - უფრო ღრმად იძირება. შედეგად, როგორც ირკვევა, სიმკვრივე იგივეა, რაც ადრე. სინამდვილეში, რა თქმა უნდა, ხრიკი იმაში მდგომარეობს, რომ ასეთი შეფუთვა მიიღება, თუ ექვსკუთხას სხვა კუთხით უყურებთ.
გამოდის, რომ სამგანზომილებიან სივრცეში არ არის ისეთი ლამაზი უნიკალური გისოსები, როგორიცაა, მაგალითად, ექვსკუთხა თვითმფრინავზე ან E8 8 განზომილებიან სივრცეში. ერთი შეხედვით, სრულიად გაუგებარია, როგორ უნდა მოძებნოთ მკვრივი შეფუთვა სამგანზომილებიან სივრცეში.
8.
კეპლერის ჰიპოთეზის ამოხსნა რამდენიმე ეტაპად დაიბადა.
პირველ რიგში, ფეიშ ტოტმა, იგივე უნგრელმა, რომელმაც გადაჭრა სიბრტყეში მკვრივი შეფუთვის პრობლემა, გამოთქვა შემდეგი ვარაუდი: იმისათვის, რომ გავიგოთ შეფუთვა მკვრივია თუ არა, საკმარისია განვიხილოთ ბურთების სასრული მტევნები. როგორც გავარკვიეთ, თვითმფრინავისგან განსხვავებით, თუ ცენტრალური ბურთი 12 მეზობელს ეხება, მაშინ მათ შორის ხარვეზებია. ამიტომ, ფეიშ ტოტმა შესთავაზა შესწავლილიყო მტევანი, რომელიც შედგება ცენტრალური ბურთისგან, მისი მეზობლებისა და მეზობლების მეზობლებისგან.
საქმე ისაა, რომ ეს ვარაუდი გასული საუკუნის 60-იან წლებში გაკეთდა. და ასეთი კლასტერის მოცულობის მინიმიზაციის პრობლემა, ფაქტობრივად, არაწრფივი ოპტიმიზაციის პრობლემაა დაახლოებით 150 ცვლადის ფუნქციისთვის (თითოეულ ბურთს აქვს ცენტრი, იგი მოცემულია სამი კოორდინატით). უხეშად რომ ვთქვათ, ასეთმა ფუნქციამ უნდა მოიძებნოს მინიმუმი რამდენიმე დამატებით პირობებში. ერთი მხრივ, დავალება სასრული გახდა, მეორე მხრივ კი, გამოთვლითი თვალსაზრისით სრულიად აუტანელია ადამიანისთვის. მაგრამ ფეიშ ტოტი არ იყო განაწყენებული და თქვა, რომ ძალიან მალე კომპიუტერებს ექნებათ საჭირო გამოთვლითი ძალა. ისინი დაეხმარებიან.
მათემატიკოსებს ძალიან მოეწონათ ფეჯეს ტოტის ჰიპოთეზა და აქტიურად დაიწყეს ამ მიმართულებით მუშაობა. 1990-იანი წლების დასაწყისისთვის, სამგანზომილებიან სივრცეში სფეროების მაქსიმალური შეფუთვის სიმკვრივის შეფასებები თანდათან მცირდებოდა. იდეა იყო, რომ რაღაც მომენტში შეფასება ტოლი იქნებოდა სახეზე ორიენტირებული კუბური შეფუთვის სიმკვრივისა და, შესაბამისად, დადასტურდებოდა კეპლერის ვარაუდი. ამ დროის განმავლობაში მათემატიკოსმა თომას ჰეილსმა გამოაქვეყნა თავისი პირველი ნაშრომები შეფუთვაზე. სამუშაოდ მან აირჩია ობიექტი, სახელწოდებით Delaunay stars (საბჭოთა მათემატიკოსის ბორის დელონეს პატივსაცემად). ეს გაბედული ნაბიჯი იყო - იმ მომენტში ასეთი ობიექტების ეფექტურობა შეფუთვის პრობლემის შესასწავლად საეჭვო იყო.
მხოლოდ 8 წლის მძიმე შრომის შემდეგ, 1998 წელს, ჰეილსმა დაასრულა კეპლერის ვარაუდის მტკიცებულება. მან მტკიცებულება შეამცირა სხვადასხვა სტრუქტურების სასრულ კომბინატორულ ჩამოთვლამდე, როგორიცაა დელონეს ვარსკვლავები. თითოეული ასეთი კომბინატორიული სტრუქტურისთვის საჭირო იყო სიმკვრივის მაქსიმალური გაზრდა. ვინაიდან კომპიუტერი ნორმალურად მუშაობს მხოლოდ მთელი რიცხვებით (უბრალოდ იმიტომ, რომ მათემატიკაში რიცხვები ყველაზე ხშირად უსასრულო წილადებია), ყოველი შემთხვევისთვის დელონე ავტომატურად ქმნიდა მიახლოებას ზემოდან სიმბოლური რაციონალური გამოთვლების გამოყენებით (რაციონალური რიცხვები, ბოლოს და ბოლოს, თუ მათ ათწილადად არ გადათარგმნით. წილადები, მხოლოდ რამდენიმე მთელი რიცხვი). ამ მიახლოებით მან მიიღო სიმკვრივის მაქსიმუმის ზედა შეფასება. შედეგად, ყველა შეფასება უფრო ნაკლები აღმოჩნდა ვიდრე სახეზე ორიენტირებული კუბური შეფუთვა.
თუმცა, ბევრი მათემატიკოსი დაბნეული იყო იმ სიტუაციით, როდესაც კომპიუტერი აშენდა მიახლოების შესაქმნელად. იმის დასამტკიცებლად, რომ მას არ ჰქონდა შეცდომები მტკიცებულების კომპიუტერულ ნაწილში, ჰეილსმა ჩაატარა ფორმალიზაცია და გადამოწმება, თუმცა ასევე კომპიუტერის დახმარებით. ეს სამუშაო, რომელზეც საკმაოდ დიდი საერთაშორისო გუნდი მუშაობდა, 2014 წლის აგვისტოში დასრულდა. მტკიცებულებაში შეცდომები არ აღმოჩნდა.
9.
8 და 24 ზომების მტკიცებულებები არ საჭიროებს კომპიუტერს და გარკვეულწილად მარტივია. რამდენიმე ხნის წინ, ძალიან კარგი შეფასებები იქნა მიღებული ამ ზომებში შეფუთვის მაქსიმალური სიმკვრივის შესაფასებლად. ეს გააკეთეს მათემატიკოსებმა კონმა და ელკისმა 2003 წელს. სხვათა შორის, ეს შეფასება (მას ასევე უწოდებენ კონ-ელკის საზღვრებს) კონ და თავად ელკისამდე რამდენიმე წლით ადრე იპოვა რუსმა მათემატიკოსმა დიმიტრი გორბაჩოვმა ტულადან. თუმცა მან ეს ნაშრომი რუსულად და ტულას ჟურნალში გამოაქვეყნა. კონმა და ელკისმა არ იცოდნენ ამ ნაწარმოების შესახებ და როდესაც მათ უთხრეს, მათ, სხვათა შორის, მოიხსენიეს.
”კონ-ელკის საზღვარი გაჩნდა ჟან ფრედერიკ დელსარტისა და ჩვენი შესანიშნავი მათემატიკოსების გრიგორი კაბატიანსკისა და ვლადიმერ ლევენშტეინის ნაშრომების საფუძველზე. კაბატიანსკისა და ლევენშტეინის მიერ მიღებული ასიმპტოტური (სივრცის განზომილების თვალსაზრისით) შეფასება ბურთების შეფუთვის სიმკვრივისთვის n-განზომილებიან სივრცეში, "ტარდება" 1978 წლიდან. სხვათა შორის, ეს არის ლევენშტეინი და, დამოუკიდებლად, ამერიკელებმა ოდლიჟკომ და სლოანმა გადაჭრეს საკონტაქტო ნომრების პრობლემა 8 და 24 განზომილებაში 1979 წელს. ისინი პირდაპირ იყენებდნენ დელსარტე-კაბატიანსკი-ლევენშტეინის მეთოდს“, - ამბობს ოლეგ მუსინი.
Kohn-ისა და Elkies-ის შეფასებები ფაქტობრივად სწორია ყველა შეფუთვაზე, მაგრამ 8 და 24 ზომებში ისინი ძალიან კარგ მიახლოებას იძლევა. მაგალითად, მათემატიკოსის შეფასება მხოლოდ დაახლოებით 0,0001 პროცენტით აღემატება E8 სიმკვრივეს რვა განზომილებაში. მაშასადამე, გაჩნდა ამოცანა ამ შეფასების გასაუმჯობესებლად - ბოლოს და ბოლოს, გამოსავალი, როგორც ჩანს, უკვე ახლოს არის. უფრო მეტიც, 2012 წელს იგივე დიმიტრი გორბაჩოვმა მიმართა (და მოიგო) ფონდი დინასტიის გრანტისთვის. განაცხადში მან ცალსახად განაცხადა, რომ აპირებდა დაამტკიცოს E8-ის შეფუთვის სიმკვრივე რვაგანზომილებიან სივრცეში.
ისინი ამბობენ, რომ კიდევ ერთმა მათემატიკოსმა, ანდრეი ბონდარენკომ, აიძულა გორბაჩოვი ასეთი თამამი განცხადების გაკეთებისკენ, ფაქტობრივად, მენტორმა, მარინა ვიაზოვსკაიას ერთ-ერთმა სამეცნიერო ხელმძღვანელმა, ვინც გადაჭრა პრობლემა 8-განზომილებიანი სივრცისთვის (და თანაავტორი 24-განზომილებიანი სივრცე). ეს არის ბონდარენკო, რომელსაც იგი მადლობას უხდის თავისი წარმატებული მუშაობის დასასრულს. ასე რომ, ბონდარენკომ და გორბაჩოვი ვერ შეძლეს, მაგრამ ვიაზოვსკაიამ წარმატებას მიაღწია. რატომ?
მარინა ვიაზოვსკაია
ბერლინის ჰუმბოლდტის უნივერსიტეტი
Kohn-Elkies-ის შეფასება აკავშირებს შეფუთვის სიმკვრივეს რაიმე ფუნქციის თვისებას შესაბამისი ნაკრებიდან. უხეშად რომ ვთქვათ, ყოველი ასეთი ფუნქციისთვის კეთდება შეფასება. ანუ, მთავარი ამოცანაა ვიპოვოთ შესაფერისი ფუნქცია, რათა მიღებული შეფასება აღმოჩნდეს ის, რაც გვჭირდება. ასე რომ, ვიაზოვსკაიას მშენებლობაში მთავარი ინგრედიენტია მოდულური ფორმები. ჩვენ უკვე ვახსენეთ ისინი ფერმას ბოლო თეორემის მტკიცებულებასთან დაკავშირებით, რისთვისაც . ეს არის საკმაოდ სიმეტრიული ობიექტი, რომელიც მუდმივად ჩნდება მათემატიკის სხვადასხვა დარგში. სწორედ ამ ინსტრუმენტთა ნაკრების საშუალებით შესაძლებელი გახდა სასურველი ფუნქციის პოვნა.
24-განზომილებიან სივრცეში შეფასებაც ანალოგიურად იქნა მიღებული. ამ ნაშრომს მეტი ავტორი ჰყავს, მაგრამ ეფუძნება ვიაზოვსკაიას იმავე მიღწევას (თუმცა, რა თქმა უნდა, ოდნავ ადაპტირებული). სხვათა შორის, ნაშრომში კიდევ ერთი საყურადღებო ფაქტია დადასტურებული: ლიჩის გისოსი ახორციელებს უნიკალურ პერიოდულ მკვრივ შეფუთვას. ანუ ყველა სხვა პერიოდულ შეფუთვას აქვს ამაზე ნაკლები სიმკვრივე. ოლეგ მუსინის თქმით, მსგავსი შედეგი პერიოდული შეფუთვებისთვის შეიძლება იყოს 4 და 8 ზომებში.
10.
აპლიკაციების თვალსაზრისით, მაღალგანზომილებიან სივრცეებში მკვრივი შეფუთვის პრობლემა, პირველ რიგში, არის ოპტიმალური კოდირების პრობლემა შეცდომის კორექტირებით.
წარმოიდგინეთ, რომ ალისა და ბობი ცდილობენ კომუნიკაციას რადიოსიგნალების გამოყენებით. ალისა ამბობს, რომ ბობს გაუგზავნის სიგნალს, რომელიც შედგება 24 სხვადასხვა სიხშირისგან. ბობი გაზომავს თითოეული სიხშირის ამპლიტუდას. შედეგად, ის მიიღებს 24 ამპლიტუდის კომპლექტს. მათ, რა თქმა უნდა, 24-განზომილებიანი სივრცეში წერტილი დაუსვეს - ბოლოს და ბოლოს, 24 მათგანია. ბობი და ალისა იღებენ, ვთქვათ, დალის ლექსიკონს და თითოეულ სიტყვას ანიჭებენ 24 ამპლიტუდის საკუთარ კომპლექტს. გამოდის, რომ დალის ლექსიკონის სიტყვები 24-განზომილებიანი სივრცის წერტილებით დავაშიფრეთ.
იდეალურ სამყაროში მეტი არაფერია საჭირო. მაგრამ რეალური მონაცემთა გადაცემის არხები ამატებენ ხმაურს, რაც ნიშნავს, რომ დეკოდირების დროს ბობს შეუძლია მიიღოს ამპლიტუდების ნაკრები, რომელიც არ ემთხვევა არცერთ სიტყვას. მაგრამ შემდეგ მას შეუძლია შეხედოს გაშიფრულ ვერსიასთან ყველაზე ახლოს მყოფ სიტყვას. თუ არის ერთი, მაშინ ალბათ არის. იმისათვის, რომ ყოველთვის შეძლოთ ამის გაკეთება, აუცილებელია, რომ სივრცის წერტილები განლაგდეს რაც შეიძლება შორს. ანუ, მაგალითად, თუ ხმაურის დონე ისეთია, რომ შემოღებულია დამახინჯება, რომელიც ცვლის შედეგს მაქსიმუმ ერთი სიგრძის ვექტორით, მაშინ ორი კოდის წერტილი უნდა იყოს ერთმანეთისგან მინიმუმ ორი დაშორებული. მაშინ, თუნდაც დამახინჯებით, ბობის შედეგი ყოველთვის ახლოს იქნება ერთ სიტყვასთან - ის, რაც საჭიროა.
ამავდროულად, არც მინდა ბევრი სიტყვის გაბერვა - ჩვენ გვაქვს საკმაოდ შეზღუდული დიაპაზონი, რომელშიც შეგვიძლია ინფორმაციის გადაცემა. ვთქვათ, უცნაური იქნება (და არც თუ ისე ეფექტური) თუ ალისა და ბობ რენტგენის სხივებით კომუნიკაციას დაიწყებენ. ამიტომ, იდეალურ შემთხვევაში, მანძილი მეზობელ კოდურ სიტყვებს შორის უნდა იყოს ზუსტად ორი. და ეს ნიშნავს, რომ სიტყვები განლაგებულია 1 რადიუსის ბურთების წვეროებზე, მჭიდროდ შეფუთული 24 განზომილებიან სივრცეში.
მე ცოტა ხნის წინ გავაკეთე მარტივი სხივების ტრასერი 3D სცენებისთვის. ის დაიწერა JavaScript-ში და არც თუ ისე სწრაფი იყო. გასართობად დავწერე raytracer C-ში და მივეცი 4D რენდერის რეჟიმი - ამ რეჟიმში მას შეუძლია 4D სცენის პროექცია ბრტყელ ეკრანზე. ჭრილის ქვეშ ნახავთ რამდენიმე ვიდეოს, რამდენიმე სურათს და სხივების ტრასერის კოდს.
რატომ უნდა დავწეროთ ცალკე პროგრამა 4D სცენის დასახატად? შეგიძლიათ აიღოთ ჩვეულებრივი სხივების ტრასერი, განათავსოთ მასზე 4D სცენა და მიიღოთ საინტერესო სურათი, მაგრამ ეს სურათი საერთოდ არ იქნება მთელი სცენის პროექცია ეკრანზე. პრობლემა ის არის, რომ სცენას აქვს 4 განზომილება, ეკრანი კი მხოლოდ 2, და როდესაც სხივების მკვლევარი ასხივებს სხივებს ეკრანზე, ის მოიცავს მხოლოდ 3-განზომილებიან ქვესივრცეს და მხოლოდ 4-განზომილებიანი სცენის 3-განზომილებიანი ნაჭერი. ხილული იყოს ეკრანზე. მარტივი ანალოგია: სცადეთ 3D სცენის პროექცია 1D სეგმენტზე.
გამოდის, რომ 2-განზომილებიანი ხედვის მქონე 3-განზომილებიანი დამკვირვებელი ვერ ხედავს მთელ 4-განზომილებიან სცენას - საუკეთესო შემთხვევაში, ის დაინახავს მხოლოდ მცირე ნაწილს. ლოგიკურია ვივარაუდოთ, რომ უფრო მოსახერხებელია 4-განზომილებიანი სცენის ყურება 3-განზომილებიანი ხედვით: გარკვეული 4-განზომილებიანი დამკვირვებელი უყურებს ზოგიერთ ობიექტს და 3-განზომილებიანი პროექცია იქმნება მის 3-განზომილებიან ანალოგზე. ბადურა. ჩემი პროგრამა გამოავლენს ამ 3D პროექციას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩემი სხივების ტრასერი ასახავს რას ხედავს 4D დამკვირვებელი თავისი 3D ხედვით.
3D ხედვის მახასიათებლები
წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ უყურებთ ქაღალდის წრეს, რომელიც თქვენს თვალწინ არის - ამ შემთხვევაში, თქვენ დაინახავთ წრეს. თუ ამ წრეს მაგიდაზე დადებთ, დაინახავთ ელიფსს. თუ ამ წრეს შორიდან შეხედავთ, ის უფრო პატარა გამოჩნდება. ანალოგიურად, სამგანზომილებიანი ხედვისთვის: ოთხგანზომილებიანი ბურთი დამკვირვებელს მოეჩვენება, როგორც სამგანზომილებიანი ელიფსოიდი. ქვემოთ მოცემულია რამდენიმე მაგალითი. პირველზე ბრუნავს 4 ერთნაირი ორმხრივი პერპენდიკულარული ცილინდრი. მეორეზე 4 განზომილებიანი კუბის ჩარჩო ბრუნავს.
მოდით გადავიდეთ რეფლექსიებზე. როდესაც უყურებთ ამრეკლავი ზედაპირის მქონე ბურთს (მაგალითად, საშობაო დეკორაცია), ანარეკლი თითქოს სფეროს ზედაპირზეა დახატული. ასევე 3D ხედვისთვის: თქვენ უყურებთ 4D ბურთს და ანარეკლები დახატულია თითქოს მის ზედაპირზე. მხოლოდ ახლა 4-განზომილებიანი ბურთის ზედაპირი სამგანზომილებიანია, ასე რომ, როდესაც ვუყურებთ ბურთის 3-განზომილებიან პროექციას, ანარეკლი იქნება შიგნით და არა ზედაპირზე. თუ სხივის ტრასერს ვაქცევთ სხივს და ვიპოვით უახლოეს კვეთას ბურთის 3D პროექციასთან, მაშინ დავინახავთ შავ წრეს - 3D პროექციის ზედაპირი შავი იქნება (ეს გამომდინარეობს ფრენელის ფორმულებიდან). ეს ასე გამოიყურება:
3D ხედვისთვის ეს არ არის პრობლემა, რადგან მისთვის მთელი 3D ბურთი ჩანს და შიდა წერტილები ჩანს ისევე, როგორც ზედაპირზე, მაგრამ მე მჭირდება როგორმე გადმოვცე ეს ეფექტი ბრტყელ ეკრანზე, ამიტომ გავაკეთე სხივების ტრასერის დამატებითი რეჟიმი, როდესაც ის მიიჩნევს, რომ სამგანზომილებიანი ობიექტები თითქოს შებოლილია: სხივი გადის მათში და თანდათან კარგავს ენერგიას. გამოდის ასე:
იგივე ეხება ჩრდილებს: ისინი ეცემა არა ზედაპირზე, არამედ 3D პროგნოზების შიგნით. გამოდის, რომ 3-განზომილებიანი ბურთის შიგნით - 4 განზომილებიანი ბურთის პროექცია - შეიძლება იყოს ჩაბნელებული ადგილი 4 განზომილებიანი კუბის პროექციის სახით, თუ ეს კუბი ჩრდილს აყენებს ბურთს. მე ვერ მივხვდი, როგორ გადმოვცე ეს ეფექტი ბრტყელ ეკრანზე.
ოპტიმიზაცია
4D სცენის Raytracing უფრო რთულია, ვიდრე 3D: 4D-ის შემთხვევაში, თქვენ უნდა იპოვოთ 3D არეალის ფერები და არა ბრტყელი. თუ დაწერთ სხივების ტრასერს "შუბლზე", მისი სიჩქარე უკიდურესად დაბალი იქნება. არსებობს რამდენიმე მარტივი ოპტიმიზაცია, რომელსაც შეუძლია შეამციროს 1000x1000 სურათის გადაღების დრო რამდენიმე წამამდე.
პირველი, რაც თვალს იპყრობს ასეთი სურათების ყურებისას, არის შავი პიქსელების თაიგული. თუ ასახავთ იმ ადგილს, სადაც სხივების მიკვლევის სხივი ურტყამს მინიმუმ ერთ ობიექტს, ეს ასე გამოიყურება:
ჩანს, რომ დაახლოებით 70% არის შავი პიქსელი და რომ თეთრი ზონა დაკავშირებულია (ის დაკავშირებულია, რადგან 4D სცენა დაკავშირებულია). თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ პიქსელების ფერები მწყობრიდან, მაგრამ გამოიცანით ერთი თეთრი პიქსელი და შეავსოთ მისგან. ეს მხოლოდ თეთრ პიქსელებს + რამდენიმე შავ პიქსელს ასახავს, რომელიც წარმოადგენს თეთრი ზონის 1 პიქსელის საზღვარს.
მეორე ოპტიმიზაცია მიღებულია იქიდან, რომ ფიგურები - ბურთები და ცილინდრები - ამოზნექილია. ეს ნიშნავს, რომ ასეთი ფიგურის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის, მათი დამაკავშირებელი სეგმენტი ასევე მთლიანად დევს ფიგურის შიგნით. თუ სხივი კვეთს ამოზნექილ ობიექტს, ხოლო A წერტილი დევს ობიექტის შიგნით და წერტილი B არის გარეთ, მაშინ B მხარის სხივის დარჩენილი ნაწილი არ გადაკვეთს ობიექტს.
კიდევ რამდენიმე მაგალითი
აქ კუბი ბრუნავს ცენტრის გარშემო. ბურთი არ ეხება კუბს, მაგრამ 3D პროექციაზე მათ შეუძლიათ გადაკვეთა.
ამ ვიდეოში კუბი სტაციონარულია და კუბში 4 განზომილებიანი დამკვირვებელი დაფრინავს. ეს 3 განზომილებიანი კუბი, რომელიც უფრო დიდი ჩანს, უფრო ახლოს არის დამკვირვებელთან, ხოლო ის, რომელიც უფრო პატარაა, უფრო შორს.
ქვემოთ მოცემულია კლასიკური ბრუნვა 1-2 და 3-4 ღერძების სიბრტყეში. ასეთი ბრუნვა მოცემულია ორი გივენს მატრიცის ნამრავლით.
როგორ მუშაობს ჩემი სხივების ტრასერი
კოდი დაწერილია ANSI C 99-ში. შეგიძლიათ გადმოწეროთ. მე გამოვცადე ICC+Windows-ზე და GCC+Ubuntu-ზე.
პროგრამა იღებს ტექსტურ ფაილს სცენის აღწერილობით, როგორც შეყვანის სახით.
სცენა = ( ობიექტები = -- ობიექტების სია სცენაზე ( ჯგუფს -- ობიექტების ჯგუფს შეიძლება ჰქონდეს მინიჭებული აფინური ტრანსფორმაცია ( axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), განათება = -- განათების სია ( light((0.2, 0.1, 0.4, 0.7), 1), მსუბუქი ((7, 8, 9, 10), 1), ) ) ღერძი = 0.1 -- ცილინდრის რადიუსი ღერძი1 = ცილინდრი ( (-2, 0, 0, 0), ( 2, 0, 0, 0), ღერძი, მასალა = (ფერი = (1, 0, 0))) ღერძი2 = ცილინდრი ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), ღერძი, მასალა = (ფერი = (0, 1, 0)) ) ღერძი3 = ცილინდრი ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), ღერძი, მასალა = (ფერი = (0) , 0, 1)) ) ღერძი4 = ცილინდრი ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), ღერძი, მასალა = (ფერი = (1, 1, 0)) )
ამის შემდეგ ის აანალიზებს ამ აღწერას და ქმნის სცენას მის შიდა წარმოდგენაში. სივრცის განზომილებიდან გამომდინარე, ის ასახავს სცენას და იღებს ან ოთხგანზომილებიან გამოსახულებას, როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითებში, ან ჩვეულებრივ სამგანზომილებიან გამოსახულებას. 4D ray tracer-ის 3D raytracer-ად გადაქცევისთვის, vector.h ფაილში უნდა შეცვალოთ vec_dim პარამეტრი 4-დან 3-მდე. ასევე შეგიძლიათ დააყენოთ იგი კომპილერის ბრძანების სტრიქონში. შედგენა GCC-ში:
cd /სახლი/ მომხმარებლის სახელი/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt
სატესტო გაშვება:
/სახლი/ მომხმარებლის სახელი/rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp
თუ raytracer-ს შეადგენთ vec_dim = 3-ით, მაშინ ის გამოიმუშავებს ჩვეულებრივ კუბს სცენაზე cube3d.scene.
როგორ გაკეთდა ვიდეო
ამისათვის მე დავწერე ლუას სკრიპტი, რომელიც გამოთვლიდა ბრუნვის მატრიცას თითოეული კადრისთვის და დავამატებდი საცნობარო სცენას.
ღერძი = ( (0.933, 0.358, 0, 0), -- ღერძი 1 (-0.358, 0.933, 0, 0), -- ღერძი 2 (0, 0, 0.933, 0.358), -- ღერძი 3 (0, 0 , -0.358, 0.933) -- ღერძი 4 ) სცენა = ( ობიექტები = ( ჯგუფი ( ღერძი = ცულები, ღერძი1, ღერძი2, ღერძი3, ღერძი4 ) ), )
ჯგუფურ ობიექტს, ობიექტების სიის გარდა, აქვს ორი აფინური ტრანსფორმაციის პარამეტრი: ცულები და საწყისი. ღერძების შეცვლით შეგიძლიათ ჯგუფში ყველა ობიექტის როტაცია.
შემდეგ სკრიპტმა დაარქვა შედგენილი raytracer. როდესაც ყველა კადრის რენდერი მოხდა, სკრიპტმა დაარქვა mencoder და შეაგროვა ვიდეო ცალკეული სურათებიდან. ვიდეო ისეა გადაღებული, რომ ავტომატურ გამეორებაზე დადგეს - ე.ი. ვიდეოს დასასრული იგივეა რაც დასაწყისი. სკრიპტი ასე მუშაობს:
ითამაშეთ animate.lua
და ბოლოს, ამ არქივში არის 4 avi ფაილი 1000 × 1000. ყველა მათგანი ციკლურია - შეგიძლიათ განათავსოთ ის ავტომატურ გამეორებაზე და მიიღებთ ნორმალურ ანიმაციას.
ტეგები:
- სხივების მიკვლევა
- ოთხგანზომილებიანი სივრცე
მაშინაც კი, როცა პირველ კურსზე ვიყავი, ერთ-ერთ თანაკლასელთან ცხარე კამათი მქონდა. მან თქვა, რომ ოთხგანზომილებიანი კუბი ვერანაირი ფორმით ვერ გამოისახებოდა და მე დავრწმუნდი, რომ მისი წარმოდგენა საკმაოდ მკაფიოდ შეიძლებოდა. შემდეგ მე კი გავაკეთე ჰიპერკუბის პროექცია ჩვენს სამგანზომილებიან სივრცეზე ქაღალდის სამაგრებიდან... მაგრამ მოდით ვისაუბროთ ყველაფერზე თანმიმდევრობით.
რა არის ჰიპერკუბი და ოთხგანზომილებიანი სივრცე
ჩვენს ჩვეულ სივრცეში სამი განზომილებაა. გეომეტრიული თვალსაზრისით, ეს ნიშნავს, რომ მასში შეიძლება მიეთითოს სამი ერთმანეთის პერპენდიკულური ხაზი. ანუ, ნებისმიერი ხაზისთვის შეგიძლიათ იპოვოთ მეორე ხაზი პირველის პერპენდიკულარული, ხოლო წყვილისთვის შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე ხაზი პირველი ორის პერპენდიკულარული. უკვე შეუძლებელი იქნება მეოთხე სწორი ხაზის პოვნა სამი არსებულის პერპენდიკულარული.
4D სივრცეჩვენგან განსხვავდება მხოლოდ იმით, რომ მას აქვს კიდევ ერთი დამატებითი მიმართულება. თუ თქვენ უკვე გაქვთ სამი ერთმანეთის პერპენდიკულური ხაზი, მაშინ შეგიძლიათ იპოვოთ მეოთხე, ისეთი, რომ ის სამივეს პერპენდიკულარული იყოს.
ჰიპერკუბიეს მხოლოდ კუბია ოთხ განზომილებაში.
შესაძლებელია თუ არა წარმოიდგინოთ ოთხგანზომილებიანი სივრცე და ჰიპერკუბი?
ეს კითხვა ემსგავსება კითხვას: „შესაძლებელია თუ არა წარმოვიდგინოთ ბოლო ვახშამი ლეონარდო და ვინჩის (1452-1519) ამავე სახელწოდების ნახატის (1495-1498) ნახატის დათვალიერებით?
ერთის მხრივ, თქვენ ნამდვილად ვერ წარმოიდგენთ, რა დაინახა იესომ (ის ზის მნახველის პირისპირ), მით უმეტეს, რომ ფანჯრის მიღმა ბაღის სუნი და სუფრაზე საკვების გემო არ გესმით, ჩიტების გალობას ვერ გაიგონებთ.. სრულ სურათს ვერ მიიღებთ იმის შესახებ, რაც მოხდა იმ საღამოს, მაგრამ არ შეიძლება ითქვას, რომ ახალს ვერაფერს გაიგებთ და სურათი არ არის საინტერესო.
მსგავსი სიტუაციაა ჰიპერკუბის საკითხთან დაკავშირებით. შეუძლებელია მისი სრულად წარმოდგენა, მაგრამ შეგიძლიათ უფრო ახლოს გაიგოთ რა არის ეს.
ჰიპერკუბის აგება
0-განზომილებიანი კუბი
დავიწყოთ თავიდან - 0-განზომილებიანი კუბით. ეს კუბი შეიცავს 0 ორმხრივ პერპენდიკულარულ სახეს, ანუ ის მხოლოდ წერტილია.
1 განზომილებიანი კუბი
ერთგანზომილებიან სივრცეში მხოლოდ ერთი მიმართულება გვაქვს. წერტილს ამ მიმართულებით ვცვლით და ვიღებთ სეგმენტს.
ეს არის ერთგანზომილებიანი კუბი.
2 განზომილებიანი კუბი
გვაქვს მეორე განზომილება, გადავიტანთ ჩვენს ერთგანზომილებიან კუბს (სეგმენტს) მეორე განზომილების მიმართულებით და ვიღებთ კვადრატს.
ეს არის კუბი ორ განზომილებაში.
3 განზომილებიანი კუბი
მესამე განზომილების მოსვლასთან ერთად ჩვენ იგივეს ვაკეთებთ: ვცვლით კვადრატს და ვიღებთ ჩვეულებრივ სამგანზომილებიან კუბს.
4 განზომილებიანი კუბი (ჰიპერკუბი)
ახლა ჩვენ გვაქვს მეოთხე განზომილება. ანუ ჩვენს განკარგულებაშია სამივე წინაზე პერპენდიკულარული მიმართულება. მოდით გამოვიყენოთ იგი იმავე გზით. 4D კუბი ასე გამოიყურება.
ბუნებრივია, სამგანზომილებიანი და ოთხგანზომილებიანი კუბები არ შეიძლება იყოს გამოსახული ორგანზომილებიან ეკრანზე. რაც დავხატე არის პროგნოზები. პროგნოზებზე ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებთ, მაგრამ ჯერ-ჯერობით, რამდენიმე შიშველი ფაქტი და ციფრი.
წვეროების, კიდეების, სახეების რაოდენობა
გაითვალისწინეთ, რომ ჰიპერკუბის სახე არის ჩვენი ჩვეულებრივი 3D კუბი. თუ ყურადღებით დააკვირდებით ჰიპერკუბის ნახატს, რეალურად შეგიძლიათ იპოვოთ რვა კუბი.
ოთხგანზომილებიანი სივრცის მკვიდრის პროგნოზები და ხედვა
რამდენიმე სიტყვა მხედველობის შესახებ
ჩვენ ვცხოვრობთ სამგანზომილებიან სამყაროში, მაგრამ ვხედავთ მას, როგორც ორგანზომილებიანს. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ჩვენი თვალების ბადურა მდებარეობს თვითმფრინავში, რომელსაც აქვს მხოლოდ ორი განზომილება. სწორედ ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია აღვიქვათ ორგანზომილებიანი სურათები და ვიპოვოთ ისინი რეალობის მსგავსი.
(რა თქმა უნდა, განსახლების წყალობით, თვალს შეუძლია შეაფასოს მანძილი ობიექტამდე, მაგრამ ეს უკვე გვერდითი მოვლენაა, რომელიც დაკავშირებულია ჩვენს თვალში ჩაშენებულ ოპტიკასთან.)
ოთხგანზომილებიანი სივრცის მაცხოვრებლის თვალებს უნდა ჰქონდეს სამგანზომილებიანი ბადურა. ასეთ არსებას შეუძლია დაუყოვნებლივ დაინახოს სამგანზომილებიანი ფიგურა მთლიანად: მთელი მისი სახე და შიგნით. (ასევე, ჩვენ შეგვიძლია დავინახოთ ორგანზომილებიანი ფიგურა, მისი ყველა სახე და შიგნით.)
ამრიგად, ჩვენი მხედველობის ორგანოების დახმარებით, ჩვენ არ შეგვიძლია აღვიქვათ ოთხგანზომილებიანი კუბი ისე, როგორც ამას ოთხგანზომილებიანი სივრცის მკვიდრი აღიქვამს. ვაი. რჩება მხოლოდ გონების თვალსა და ფანტაზიაზე დაყრდნობა, რომელსაც, საბედნიეროდ, არანაირი ფიზიკური შეზღუდვა არ გააჩნია.
თუმცა, სიბრტყეზე ჰიპერკუბის გამოსახვისას, უბრალოდ უნდა გავაპროექტო ის ორგანზომილებიან სივრცეში. გაითვალისწინეთ ეს ნახატების შესწავლისას.
კიდეების კვეთები
ბუნებრივია, ჰიპერკუბის კიდეები არ იკვეთება. კვეთა მხოლოდ ფიგურებში ჩანს. თუმცა ეს გასაკვირი არ უნდა იყოს, რადგან ფიგურებში ჩვეულებრივი კუბის კიდეებიც იკვეთება.
ნეკნების სიგრძე
აღსანიშნავია, რომ ოთხგანზომილებიანი კუბის ყველა სახე და კიდე თანაბარია. ფიგურაში, ისინი არ არიან თანაბარი მხოლოდ იმიტომ, რომ ისინი განლაგებულია ხედვის მიმართულებით სხვადასხვა კუთხით. თუმცა, შესაძლებელია ჰიპერკუბის გაშლა ისე, რომ ყველა პროგნოზს ჰქონდეს იგივე სიგრძე.
სხვათა შორის, ამ ფიგურაში აშკარად ჩანს რვა კუბი, რომლებიც ჰიპერკუბის სახეებია.
ჰიპერკუბი შიგნით ცარიელია
ძნელი დასაჯერებელია, მაგრამ კუბებს შორის, რომლებიც აკავშირებენ ჰიპერკუბს, არის გარკვეული სივრცე (ოთხგანზომილებიანი სივრცის ფრაგმენტი).
ამის უკეთ გასაგებად, მოდით განვიხილოთ ჩვეულებრივი 3D კუბის 2D პროექცია (მე მიზანმიმართულად გავაკეთე ის გარკვეულწილად ესკიზურად).
შესაძლებელია თუ არა მისგან გამოცნობა, რომ კუბის შიგნით არის გარკვეული სივრცე? დიახ, მაგრამ მხოლოდ ფანტაზიით. თვალი ვერ ხედავს ამ სივრცეს.
ეს იმიტომ ხდება, რომ მესამე განზომილებაში მდებარე კიდეები (რომლებიც არ შეიძლება გამოსახული იყოს ბრტყელ ნახატზე) ახლა გადაიქცა ნახატის სიბრტყეში მდებარე სეგმენტებად. ისინი აღარ უზრუნველყოფენ მოცულობას.
კვადრატები, რომლებიც ზღუდავდნენ კუბის სივრცეს, ერთმანეთს გადაფარავდნენ. მაგრამ შეიძლება წარმოვიდგინოთ, რომ თავდაპირველ ფიგურაში (სამგანზომილებიანი კუბი) ეს კვადრატები განლაგებული იყო სხვადასხვა სიბრტყეში და არა ერთი მეორეზე ერთსა და იმავე სიბრტყეში, როგორც ეს ფიგურაში აღმოჩნდა.
იგივე ეხება ჰიპერკუბს. ჰიპერკუბის კუბური სახეები ფაქტობრივად არ ემთხვევა ერთმანეთს, როგორც ეს ჩვენ გვეჩვენება პროექციაზე, არამედ განლაგებულია ოთხგანზომილებიან სივრცეში.
რეიმერები
ასე რომ, ოთხგანზომილებიანი სივრცის მაცხოვრებელს შეუძლია სამგანზომილებიანი ობიექტის დანახვა ერთდროულად ყველა მხრიდან. შეგვიძლია დავინახოთ სამგანზომილებიანი კუბი ყველა მხრიდან ერთდროულად? თვალით არა. მაგრამ ხალხმა მოიფიქრა გზა, რომ სამგანზომილებიანი კუბის ყველა სახე ერთდროულად გამოესახათ ბრტყელ ნახატზე. ასეთ გამოსახულებას სვიპი ეწოდება.
3D კუბის გაშლა
ყველამ ალბათ იცის, როგორ წარმოიქმნება სამგანზომილებიანი კუბის გაშლა. ეს პროცესი ნაჩვენებია ანიმაციაში.
სიცხადისთვის, კუბის სახეების კიდეები გამჭვირვალე ხდება.
აღსანიშნავია, რომ ამ ორგანზომილებიანი სურათის აღქმას მხოლოდ ფანტაზიის წყალობით ვახერხებთ. თუ გაშლის ფაზებს განვიხილავთ წმინდა ორგანზომილებიანი თვალსაზრისით, მაშინ პროცესი უცნაურად და სულაც არ ვიზუალურად გამოიყურება.
როგორც ჩანს, ჯერ დამახინჯებული კვადრატების კონტურების თანდათანობით გამოჩენა, შემდეგ კი მათი გავრცელება საჭირო ფორმის ერთდროული მიღებით.
თუ უყურებთ გაშლილ კუბს მისი ერთ-ერთი სახის მიმართულებით (ამ თვალსაზრისით, კუბი კვადრატს ჰგავს), მაშინ განვითარების ფორმირების პროცესი კიდევ უფრო ნაკლებად ნათელია. ყველაფერი ჰგავს თავდაპირველი კვადრატიდან კვადრატებიდან გამოსულს (გაშლილი კუბი კი არა).
მაგრამ არა ვიზუალურიწმენდა მხოლოდ თვალი.
როგორ გავიგოთ 4 განზომილებიანი სივრცე?
მხოლოდ ფანტაზიის წყალობით, მისგან ბევრი ინფორმაციის მოპოვებაა შესაძლებელი.
4D კუბის გაშლა
უბრალოდ შეუძლებელია ჰიპერკუბის გაშლის ანიმაციური პროცესი ოდნავ მაინც ვიზუალური იყოს. მაგრამ ეს პროცესი შეიძლება წარმოიდგინოთ. (ამისთვის, თქვენ უნდა შეხედოთ მას ოთხგანზომილებიანი არსების თვალით.)
გავრცელება ასე გამოიყურება.
ჰიპერკუბის შემოსაზღვრული რვავე კუბი აქ ჩანს.
სახეები შეღებილია იმავე ფერებით, რომლებიც დაკეცვისას უნდა იყოს გასწორებული. სახეები, რომლებისთვისაც დაწყვილებული სახეები არ ჩანს, რჩება ნაცრისფერი. დაკეცვის შემდეგ, ზედა კუბის ყველაზე ზედა სახე უნდა გასწორდეს ქვედა კუბის ქვედა სახესთან. (მსგავსად, სამგანზომილებიანი კუბის განვითარება იშლება.)
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ დაკეცვის შემდეგ, რვა კუბის ყველა სახე კონტაქტში შედის, დახურავს ჰიპერკუბს. და ბოლოს, დაკეცვის პროცესის წარმოდგენისას არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ დაკეცვისას კუბები არ არის გადახურული, არამედ შემოხვეული გარკვეული (ჰიპერკუბური) ოთხგანზომილებიანი ფართობის გარშემო.
სალვადორ დალიმ (1904-1989) მრავალჯერ გამოსახა ჯვარცმა და მის ბევრ ნახატში ჯვრები ჩანს. ნახატში ჯვარცმა (1954) გამოყენებულია ჰიპერკუბის წმენდა.
სივრცე-დრო და ევკლიდეს ოთხგანზომილებიანი სივრცე
იმედი მაქვს, თქვენ მოახერხეთ ჰიპერკუბის წარმოდგენა. მაგრამ მოახერხეთ მიახლოება იმის გაგებასთან, თუ როგორ მუშაობს ოთხგანზომილებიანი სივრცე-დრო, რომელშიც ჩვენ ვცხოვრობთ? ვაი, ნამდვილად არა.
აქ ვისაუბრეთ ევკლიდეს ოთხგანზომილებიან სივრცეზე, მაგრამ სივრცე-დროს ძალიან განსხვავებული თვისებები აქვს. კერძოდ, ნებისმიერი ბრუნვისას, სეგმენტები ყოველთვის რჩებიან მიდრეკილნი დროის ღერძისკენ, ან 45 გრადუსზე ნაკლები კუთხით, ან 45 გრადუსზე მეტი კუთხით.
მე მივუძღვენი ჩანაწერების სერია სივრცე-დროის თვისებებს.
3D გამოსახულება
სამყარო სამგანზომილებიანია. მისი გამოსახულება ორგანზომილებიანია. ფერწერის და ახლა ფოტოგრაფიის მნიშვნელოვანი ამოცანაა სივრცის სამგანზომილებიანობის გადმოცემა. რომაელებმა უკვე აითვისეს გარკვეული ტექნიკა, შემდეგ ისინი დაივიწყეს და რენესანსით დაიწყეს კლასიკურ მხატვრობაში დაბრუნება.
ფერწერაში სამგანზომილებიანი სივრცის შექმნის მთავარი ტექნიკა პერსპექტივაა. რკინიგზის რელსები, მნახველისგან მოშორებით, ვიზუალურად ვიწრო. ფერწერაში რელსები შეიძლება ფიზიკურად შევიწროვდეს. ფოტოგრაფიაში პერსპექტივა ავტომატურად ჩნდება: კამერა გადაიღებს რელსებს ისე ვიწრო, როგორც თვალი ხედავს მათ. თუმცა, ნუ მისცემთ მას თითქმის დახურვას: ის აღარ ჰგავს პერსპექტივას, არამედ უცნაურ ფიგურას; ლიანდაგს, ქუჩის გვერდებს, მდინარის ნაპირებს შორის უნდა შენარჩუნდეს შესამჩნევი უფსკრული.
მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ხაზოვანი პერსპექტივა არის ყველაზე პრიმიტიული, რეალისტური გზა სამყაროს გადმოსაცემად.
ნავიგაციის პოსტი
შემთხვევითი არ არის, რომ მისი გარეგნობა ასოცირდება თეატრალურ პეიზაჟებთან (ფლორენსკი, საპირისპირო პერსპექტივა). პირობითობა, მცირე სიღრმის თეატრალური სცენის გადაცემის სიმარტივე ძალიან შესაფერისია ფოტოგრაფიისთვის, მოკლებულია ფერწერაში არსებულ მრავალფეროვან ტექნიკას.
არის პერსპექტივები, რომლებიც ბევრად უფრო საინტერესოა, ვიდრე ხაზოვანი. ჩინელი ოსტატების ნამუშევრებში არის მცურავი პერსპექტივა, როდესაც ობიექტები ერთდროულად არის გამოსახული ქვემოდან, ზემოდან და წინიდან. ეს არ იყო არაკომპეტენტური მხატვრების ტექნიკური შეცდომა: ამ ტექნიკის ლეგენდარული ავტორი, გუო სი, წერდა, რომ ასეთი ჩვენება საშუალებას აძლევს ადამიანს გააცნობიეროს სამყარო მის მთლიანობაში. მსგავსია რუსული ხატწერის ტექნიკა, რომელშიც მაყურებელს შეუძლია ერთდროულად დაინახოს პერსონაჟის სახე და უკანა მხარე. ხატწერის საინტერესო ტექნიკა, რომელიც ასევე გვხვდება დასავლეთ ევროპელ მხატვრებში, იყო საპირისპირო პერსპექტივა, რომელშიც შორეული ობიექტები, პირიქით, უფრო დიდია, ვიდრე ახლო, რაც ხაზს უსვამს მათ მნიშვნელობას. მხოლოდ ჩვენს დღეებში დადგინდა, რომ ასეთი პერსპექტივა სწორია: შორეული ობიექტებისგან განსხვავებით, წინა პლანი მართლაც აღიქმება საპირისპირო პერსპექტივით (რაუშენბახი). Photoshop-ის გამოყენებით შეგიძლიათ მიაღწიოთ საპირისპირო პერსპექტივას ფონის ობიექტების გადიდებით. ფოტოგრაფიის კანონებს მიჩვეული მაყურებლისთვის ასეთი სურათი უცნაურად გამოიყურება.
შენობის კუთხის ჩარჩოში შეყვანა, საიდანაც კედლები ორივე მიმართულებით განსხვავდება, ქმნის იზომეტრიული პერსპექტივის მსგავსებას. ტვინი ესმის, რომ კედლები სწორი კუთხით არის და შესაბამისად აყალიბებს დანარჩენ სურათს. ასეთი პერსპექტივა უფრო დინამიურია ვიდრე ფრონტალური და უფრო ბუნებრივი წინა პლანზე. უბრალოდ შეიყვანეთ ობიექტების ბოლო კუთხეები და მჭიდროდ დაშორებული შენობები ჩარჩოში.
გაფართოების გამო, იზომეტრიული პერსპექტივა მთავარია, რაც იშვიათად არის შესაფერისი კლასიკური პორტრეტისთვის. ხაზოვანი პერსპექტივა, შევიწროების გამო, უკეთესად გადმოსცემს უმნიშვნელო ემოციებს.
გადაღების ეტაპზე ფოტოგრაფისთვის ხელმისაწვდომია მრავალი ინსტრუმენტი, რათა ხაზი გაუსვას პერსპექტივას. თანაბარი სიგანის ობიექტები (ლიანდაგი, ქუჩა, სვეტები, ბურღები), რომლებიც შორს მიდიან, მათი შევიწროვებით და თუნდაც უბრალოდ მოშორებით, მნახველს მიანიშნებს სივრცის სამგანზომილებიანობაზე. ეფექტი უფრო ძლიერია დაბალი კუთხიდან გადაღებისას პერსპექტივის დამახინჯების გაზრდის მიზნით. ეს საკმარისია ლანდშაფტის გადაღებისთვის, მაგრამ ინტერიერის გადაღების მცირე სიღრმით, ეფექტი ძნელად შესამჩნევია. ის შეიძლება ცოტათი გაუმჯობესდეს შემდგომი დამუშავებისას გამოსახულების ზედა ნაწილის შევიწროვებით (Transform Perspective). თუმცა, ლანდშაფტშიც კი, ჰიპერტროფიული პერსპექტივა შეიძლება საინტერესოდ გამოიყურებოდეს.
სიღრმე შეიძლება იყოს მკაფიო გამოსახულების მნიშვნელობით: შენობები გამოყოფილია ქუჩებით ან მდინარეებით. დიაგონალი ხაზს უსვამს სამგანზომილებიანობას; როგორც ხიდი მდინარეზე.
ფონზე მაყურებლისთვის ცნობილი ზომის ობიექტები ადგენენ მასშტაბს და, შესაბამისად, ქმნიან პერსპექტივას. ლანდშაფტის ფოტოგრაფიაში ასეთი საგანი შეიძლება იყოს მანქანა, მაგრამ პორტრეტულ ფოტოგრაფიაში სცადეთ მოხაროთ და მოხვიდეთ ფეხი (კამერისგან მოშორებით) სავარძლის ქვეშ ისე, რომ ის, ხილული დარჩეს, უფრო პატარა ჩანდეს. თქვენ შეგიძლიათ ოდნავ შეამციროთ ეს ფეხი შემდგომი დამუშავების დროს.
ორნამენტი გადმოსცემს პერსპექტივას ელემენტების ვიზუალურად შემცირებით. მაგალითი იქნება დიდი ფილები იატაკზე, გზაზე ხაზების მონიშვნა.
არსებობს ჰიპერტროფიული წინა პლანის ტექნიკა. არაპროპორციულად დიდი, ის ქმნის გამოსახულების სიღრმეს. წინა პლანისა და მოდელის მასშტაბის შედარებისას თვალი ასკვნის, რომ მოდელი გაცილებით შორს არის ვიდრე ჩანს. ჰიპერტროფია უნდა დარჩეს დახვეწილი ისე, რომ სურათი არ აღიქმებოდეს შეცდომად. ეს ტექნიკა შესაფერისია არა მხოლოდ შემდგომი დამუშავებისთვის, არამედ გადაღებისთვისაც: დაამახინჯეთ პროპორციები 35 ან 50 მმ ლინზებით გადაღებისას. ფართოკუთხიანი ლინზებით გადაღება აჭიმავს სივრცეს, აძლიერებს მის სამგანზომილებიანობას პროპორციების დარღვევის გამო. ეფექტი უფრო ძლიერია, თუ მოდელს გადაიღებთ ახლო მანძილიდან, მაგრამ უფრთხილდით გროტესკულ პროპორციებს: მხოლოდ რელიგიური გამოსახულების ავტორებს შეუძლიათ შენობაზე დიდი ადამიანის გამოსახვა.
კროსოვერი მშვენივრად მუშაობს. თუ ვაშლი ნაწილობრივ ფარავს მსხალს, მაშინ ტვინი არ ცდება: ვაშლი მსხლის წინ არის. მოდელი, რომელიც ნაწილობრივ ფარავს ავეჯს, ამით ქმნის ინტერიერის სიღრმეს.
ნათელი და მუქი ლაქების მონაცვლეობა სურათს სიღრმესაც ანიჭებს. ტვინმა გამოცდილებიდან იცის, რომ ახლომდებარე ობიექტები დაახლოებით თანაბრად განათებულია, ამიტომ განსხვავებულად განათებულ ობიექტებს განმარტავს, როგორც სხვადასხვა მანძილზე. ამ ეფექტისთვის ლაქები ერთმანეთს ენაცვლება პერსპექტიული ღერძის მიმართულებით - გამოსახულების სიღრმეში და არა მის გასწვრივ. მაგალითად, კამერისგან მოშორებით მოშორებული მოდელის ბნელ ჩარჩოში გადაღებისას, განათავსეთ შუქი დუნდულოებთან და ფეხებთან ახლოს. თქვენ შეგიძლიათ გაანათოთ/დაბნელოთ ადგილები შემდგომი დამუშავებისას.
სულ უფრო ბნელი ობიექტების თანმიმდევრობა მცირდება. აქტიური ხაზის გასწვრივ ობიექტების თანდათანობით დაჩრდილვით, შეგიძლიათ მიიღოთ პერსპექტივის დახვეწილი გრძნობა. ანალოგიურად, სიღრმე გადაიცემა დამამცირებელი შუქით: გადაიტანეთ სინათლის ზოლი ავეჯზე ან იატაკზე.
სამგანზომილებიანი გამოსახულების მიღება შესაძლებელია არა მხოლოდ სინათლის, არამედ ფერის კონტრასტის გამო. ეს ტექნიკა ცნობილი იყო ფლამანდიელი მხატვრებისთვის, რომლებიც თავიანთ ნატურმორტებზე ნათელ ფერად ლაქებს ათავსებდნენ. წითელი ბროწეული და ყვითელი ლიმონი გვერდიგვერდ სამგანზომილებიანად გამოიყურება ბრტყელ ფრონტალურ განათებაშიც კი. ისინი განსაკუთრებით კარგად გამოირჩევიან მეწამული ყურძნის ფონზე: თბილი ფერი ცივ ფონზე. ნათელი ფერის ზედაპირები კარგად იშლება სიბნელიდან თუნდაც ნატურმორტისთვის დამახასიათებელი სუსტი შუქით. ფერების კონტრასტი უკეთესად მუშაობს წითელ, ყვითელ, ლურჯ ძირითად ფერებთან, ვიდრე ელფერით.
შავ ფონზე ყვითელი მოდის წინ, ლურჯი უკან მალავს. თეთრ ფონზე - პირიქით. ფერის გაჯერება აძლიერებს ამ ეფექტს. Რატომ ხდება ეს? ყვითელი ფერი არასოდეს არის მუქი, ამიტომ ტვინი უარს ამბობს იმის დაჯერებაზე, რომ ყვითელი ობიექტი შეიძლება ჩაეფლო მუქ ფონში და არა განათებული. ლურჯი, მეორეს მხრივ, მუქია.
დამუშავების შემდგომი პერსპექტივის გაუმჯობესება ატმოსფერული აღქმის სიმულაციაზე მოდის: შორეული ობიექტები ჩვენთვის უფრო მსუბუქი, ბუნდოვანი, შემცირებული კონტრასტით სიკაშკაშეში, გაჯერებასა და ტონში გვეჩვენება.
გარდა დიდი მანძილებისა, ატმოსფერული ეფექტები ბუნებრივად გამოიყურება დილის ნისლში, ნისლში, კვამლზე. გაითვალისწინეთ ამინდი: მოღრუბლულ დღეს ან შებინდებისას, წინა პლანსა და ფონს შორის მნიშვნელოვანი განსხვავება არ შეიძლება იყოს.
ფაქტორებიდან ყველაზე ძლიერი არის სიკაშკაშის კონტრასტი. პარამეტრებში ეს ჩვეულებრივი კონტრასტია. შეამცირეთ შორეული ობიექტების კონტრასტი, ასწიეთ წინა პლანზე კონტრასტი - და გამოსახულება ხდება ამობურცული. აქ საუბარია არა წინა პლანზე და ფონის კონტრასტზე, არამედ ფონის კონტრასტზე, რომელიც წინა პლანის კონტრასტზე დაბალი უნდა იყოს. ეს მეთოდი შესაფერისია არა მხოლოდ პეიზაჟებისა და ჟანრის გადაღებისთვის, არამედ სტუდიური პორტრეტებისთვისაც: აამაღლეთ სახის წინა მხარე, შეამცირეთ კონტრასტი თმაზე და ლოყებზე, ტანსაცმელზე. პორტრეტის ფილტრები აკეთებენ მსგავსს, აბუნდოვანებენ საგნის კანს და ტოვებენ თვალებსა და ტუჩებს მკვეთრს.
კონტრასტის კორექტირება არის გამოსახულების 3D შემდგომი დამუშავების უმარტივესი გზა. სხვა პროცესებისგან განსხვავებით, მაყურებელი ძნელად შეამჩნევს ცვლილებებს, რაც მაქსიმალურ ბუნებრიობას შეინარჩუნებს.
დაბინდვა კონტრასტის შემცირების მსგავსია, მაგრამ ეს განსხვავებული პროცესებია. გამოსახულება შეიძლება იყოს დაბალი კონტრასტი, ხოლო მკვეთრი რჩება. ველის შეზღუდული სიღრმის გამო, შორეული ობიექტების დაბინდვა რჩება ყველაზე პოპულარულ გზად სამგანზომილებიანობის გადმოსაცემად ფოტოგრაფიაში და ადვილია მისი გაძლიერება შემდგომი დამუშავების დროს ფონის დაბინდვით. ამიტომ, ნაკლები დეტალი უნდა განთავსდეს ფონზე - ტვინი არ ელის განსხვავებულ ობიექტებს მანძილზე. იმავდროულად, კონტრასტის დაქვეითება უკეთესად შეესაბამება ბუნებრივ აღქმას: შორეული მთები აღიქმება როგორც დაბალი კონტრასტი და არა ბუნდოვანი, რადგან ლანდშაფტის სკანირებისას თვალი გამუდმებით ფოკუსირებულია, ველის სიღრმის პრობლემა მისთვის უცხოა. ფონის დაბინდვით, თქვენ შეგიძლიათ ამავდროულად გაამახვილოთ წინა პლანზე. გარდა ამისა, წინა პლანზე, შეგიძლიათ გააუმჯობესოთ გამოსახულების ხაზები (High Pass Filter ან Clarity). ეს არის წინა პლანზე მაღალი სიმკვეთრე, რომელიც ხსნის მაღალი ხარისხის ლინზების გამოსახულების დამახასიათებელ ამობურცულობას. სიფრთხილე: სამგანზომილებიანობის უმნიშვნელო გაზრდის მიზნით, შეგიძლიათ სურათი ძალიან რთული გახადოთ.
მსუბუქი ობიექტები უფრო შორს ჩანს. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ბუნებაში ჩვენ ვხედავთ შორეულ ობიექტებს სინათლის გაფანტული ჰაერის სისქით; შორეული მთები ნათელი ჩანს. ამიტომ ლანდშაფტის ფოტოგრაფიაში ფრთხილად უნდა იყოთ სინათლის ობიექტების პოზიციაზე წინა პლანზე.
გაანათეთ შორეული ობიექტები. რაც უფრო შორს არიან, მით უფრო ერწყმის ცის სიკაშკაშეს და ტონს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჰორიზონტალური ობიექტები (ხმელეთი, ზღვა) უკეთესად არის განათებული, ვიდრე ვერტიკალური (კედლები, ხეები), ამიტომ არ გადააჭარბოთ ამ უკანასკნელის განათებას. ნებისმიერ შემთხვევაში, ობიექტები ცაზე შესამჩნევად ნაკლებად კაშკაშა უნდა დარჩეს.
კარგად, თუ შეამჩნევთ, რომ გაკაშკაშე კიდევ ერთი გზაა ფონის სიკაშკაშის კონტრასტის შესამცირებლად. ოდნავ დაბნელეთ წინა პლანზე, რათა გააძლიეროს ბალჯის ეფექტი.
როგორც ჩანს, ინტერიერში პირიქითაა. თუ ქუჩაში თვალი მიჩვეულია იმ ფაქტს, რომ მანძილი მსუბუქია, მაშინ ოთახში სინათლე ხშირად ფოკუსირებულია ადამიანზე, ინტერიერი კი სიბნელეშია ჩაძირული; ტვინი შეჩვეულია განათებას წინა პლანზე და არა ფონზე.
არაღრმა სცენის სიღრმის მქონე ინტერიერის გამოსახულებებში, ლანდშაფტის სურათებისგან განსხვავებით, განათებული მოდელი მუქი ფონიდან გამოდის. მაგრამ არსებობს საპირისპირო ფაქტორიც: მისი ევოლუციის 99%-ში ადამიანი აკვირდებოდა პერსპექტივას ღია სივრცეში და ოთახების გამოჩენასთან ერთად ტვინს ჯერ არ ჰქონდა დრო რეორგანიზაციისთვის. ვერმეერმა პორტრეტებისთვის მსუბუქი ფონი ამჯობინა და ისინი მართლაც ამოზნექილია. ვერტიკალური ფონის განათება, რეკომენდირებულია ფოტოგრაფიაში, არა მხოლოდ გამოყოფს მოდელს მისგან, არამედ, ფონის განათებით, გამოსახულებას ანიჭებს მცირე სამგანზომილებიანობას. აქ ჩვენ ვაწყდებით იმ ფაქტს, რომ ტვინი აანალიზებს ობიექტების მდებარეობას რამდენიმე ფაქტორის მიხედვით და ისინი შეიძლება იყვნენ კონფლიქტში.
საინტერესოდ გამოიყურება სტუდიის განათება, რომელშიც სინათლის ლაქები დევს მოდელის კამერიდან დაშორებულ ადგილებში. მაგალითად, ხაზგასმულია მკერდი, რომელიც კამერიდან შორს არის.
შეამცირეთ ფერის გაჯერება შორეულ ობიექტებზე: ჰაერის სისქის გამო, რომელიც გვაშორებს, შორეული მთები თითქმის მონოქრომულის დონეზეა გაჯერებული და დაფარულია ლურჯი ნისლით. წინა პლანზე გაჯერება შეიძლება გაიზარდოს.
ვინაიდან ყვითელი არის ღია, ხოლო ლურჯი და წითელი მუქი, ფერის კონტრასტი ასევე არის სიკაშკაშის კონტრასტი.
შორეული ფონის გაჯერება, არ დაუშვათ ის გაქრეს ხედიდან. ხშირად, პირიქით, თქვენ უნდა გაზარდოთ ფონის გაჯერება, რათა გამოიტანოთ იგი. ეს უფრო მნიშვნელოვანია, ვიდრე სამგანზომილებიანი.
3D ფოტოგრაფიისთვის ბევრი რჩევა ეხება ტემპერატურის კონტრასტს. სინამდვილეში, ეს ეფექტი ძალიან სუსტია, ადვილად წყდება სიკაშკაშის კონტრასტით. გარდა ამისა, ტემპერატურის კონტრასტი შემაშფოთებელი, გასაოცარია.
ძალიან შორეული ობიექტები უფრო გრილი ჩანს, რადგან თბილი ნარინჯისფერი შუქი შეიწოვება ჰაერით. სანაპიროზე მოდელის გადაღებისას ჰორიზონტზე გემების ფონზე, შეამცირეთ შორეული ზღვის და გემების ფერის ტემპერატურა შემდგომი დამუშავების დროს. ლურჯი ზღვიდან გამოდის მოდელი წითელ საცურაო კოსტუმში, ხოლო მოლურჯო ბინდიდან ქუჩის ნათურის ყვითელ შუქზე მოდელი.
ეს არის ცალკე შერბილება: ჩვენ ვაკეთებთ მოდელს უფრო თბილს, ფონს უფრო ცივ. ტვინს ესმის, რომ ერთსა და იმავე სიბრტყეში სხვადასხვა ფერის ტემპერატურა არ არის და ასეთ სურათს სამგანზომილებიანად აღიქვამს, რომელშიც მოდელი ფონიდან გამოდის. ცალკე ტონირება მატებს სიღრმეს პეიზაჟებს: გახადეთ წინა პლანი უფრო თბილი, ფონი უფრო ცივი.
მნიშვნელოვანი გამონაკლისი გაყოფილი შერბილებისას: მზის ამოსვლისა და მზის ჩასვლისას, შორეული ფონი საერთოდ არ არის ცივი, არამედ თბილი, ყვითელი და წითელ-ნარინჯისფერი ტონებით. აშკარა გამოსავალი - იასამნისფერ საცურაო კოსტუმში თეთრი მოდელის გამოყენება - არ მუშაობს, რადგან მზის ჩასვლის შუქი თბილ ელფერს ანიჭებს მოდელის სხეულსაც.
შეჯამებისთვის, ატმოსფერულ ეფექტებზე დაფუძნებული ფოტოს სამგანზომილებიანი მისაცემად, აუცილებელია წინა პლანზე და ფონის კონტრასტირება. მთავარი ოპოზიცია ჩვეულებრივი კონტრასტია: წინა პლანი კონტრასტულია, ფონი დაბალი კონტრასტული. მეორე ოპოზიცია სიმკვეთრეშია: წინა პლანი მკვეთრია, ფონი ბუნდოვანი. მესამე ოპოზიცია არის სიმსუბუქის მიხედვით: წინა პლანი მუქია, ფონი მსუბუქი. მეოთხე წინააღმდეგობა გაჯერებულია: წინა პლანზე ფერები გაჯერებულია, ფონის ფერები გაჯერებულია. მეხუთე ოპოზიცია ტემპერატურაშია: წინა პლანი თბილია, ფონი ცივი.
ეს ფაქტორები ხშირად მრავალმხრივია. ყვითელი უფრო ნათელია, ვიდრე ლურჯი, ხოლო მსუბუქი ობიექტები უფრო შორს ჩნდება ვიდრე მუქი. ბუნებრივი იქნებოდა მოლოდინი, რომ ყვითელი უკან დაიხევს და ლურჯი მიუახლოვდება მაყურებელს. სინამდვილეში კი პირიქითაა: ცივი ფონიდან თბილი ფერი ჩნდება. ანუ ფერი უფრო ძლიერი ფაქტორია ვიდრე სიკაშკაშე. რაც, ანარეკლზე გასაკვირი არ არის: ყვითელი და წითელი მკაფიოდ განასხვავებენ მხოლოდ ახლოდან და მაყურებელი არ ელის მათ დიდ მანძილზე შეხვედრას.
დედააზრი: შეინახეთ ფონი დაბალი კონტრასტული, გარეცხილი, მსუბუქი, გაჯერებული, მოლურჯო. და მოემზადეთ იმისთვის, რომ ჰიპერტროფიულ 3D ფილმებს მიჩვეული მაყურებელი აღმოაჩენს თქვენს მიერ შექმნილ სამგანზომილებიანობას ძლივს შესამჩნევად ან არარსებული.
პორტრეტში უმჯობესია დაეყრდნოთ დადასტურებულ ქიაროსკუროს ეფექტს, სინათლისა და ჩრდილის თამაშს საგნის სახეზე, რაც გამოსახულებას საკმაოდ თვალსაჩინო გახდის. ჟანრულ ფოტოგრაფიაში პერსპექტივა იძლევა ყველაზე შესამჩნევ სამგანზომილებიან ეფექტს. ნატურმორტში მთავარი ფაქტორი იქნება ობიექტების გადაკვეთა (გადაფარვა).
არ გაიტაცეს პერსპექტივამ; ეს არის მხოლოდ ფონი ფრონტალური სიბრტყისთვის, რომელზეც თქვენი გამოსახულება კანკალებს. თანამედროვე მხატვრობაში, რეალიზმისგან შორს, პერსპექტივა დიდ პატივს არ სცემენ.
ჩამოტვირთეთ მთელი წიგნი: pdfepubazw3mobifb2lit სარჩევი
|
|||||||||||||||||||||
|
1904 წელს ჰენრი პუანკარემ თქვა, რომ ნებისმიერი სამგანზომილებიანი ობიექტი, რომელსაც აქვს სამგანზომილებიანი სფეროს გარკვეული თვისებები, შეიძლება გარდაიქმნას 3 სფეროდ. ამ ჰიპოთეზის დამტკიცებას 99 წელი დასჭირდა. (ყურადღება! სამგანზომილებიანი სფერო არ არის ის, რაც თქვენ გგონიათ.) რუსმა მათემატიკოსმა გრიგორი პერელმანმა დაამტკიცა ასი წლის წინ გაკეთებული პუანკარეს ვარაუდი და დაასრულა სამგანზომილებიანი სივრცის ფორმების კატალოგის შექმნა.
პუანკარემ ვარაუდობს, რომ 3-სფერო უნიკალურია და არცერთ სხვა კომპაქტურ 3 მრავალფეროვნებას (არაკომპაქტური მრავალფეროვნება უსასრულოა ან აქვთ კიდეები. შემდეგში განიხილება მხოლოდ კომპაქტური მრავალფეროვნება) არ გააჩნია ის თვისებები, რაც მას ასე მარტივს ხდის. უფრო რთულ 3-მაიფოლდებს აქვთ საზღვრები, რომლებიც დგას აგურის კედლის მსგავსად, ან მრავალჯერადი კავშირი ზოგიერთ უბანს შორის, მაგალითად, ტყის ბილიკი, რომელიც კვეთს და ხელახლა აკავშირებს. ნებისმიერი სამგანზომილებიანი ობიექტი, რომელსაც აქვს 3 სფეროს თვისებები, შეიძლება გარდაიქმნას თავად 3 სფეროდ, ამიტომ ტოპოლოგებისთვის ის უბრალოდ მისი ასლია. პერელმანის მტკიცებულება ასევე საშუალებას გვაძლევს ვუპასუხოთ მესამე კითხვას და დავახარისხოთ ყველა არსებული 3 მრავალმხრივი.
3 სფეროს წარმოსადგენად საკმარისი ფანტაზია გჭირდებათ. საბედნიეროდ, მას ბევრი საერთო აქვს 2-სფეროსთან, რომლის ტიპიური მაგალითია მრგვალი ბუშტის რეზინა: ის ორგანზომილებიანია, რადგან მასზე ნებისმიერი წერტილი მოცემულია მხოლოდ ორი კოორდინატით - გრძედი და განედი. თუ გავითვალისწინებთ მის საკმარისად მცირე მონაკვეთს ძლიერი გამადიდებელი შუშის ქვეშ, მაშინ ის ბრტყელი ფურცლის ნაჭერს ჰგავს. პატარა მწერს, რომელიც ცოცავს ბუშტზე, ის ბრტყელ ზედაპირად გამოიყურება. მაგრამ თუ ბუგერი საკმარისად დიდხანს მოძრაობს სწორი ხაზით, ის საბოლოოდ დაუბრუნდება საწყის წერტილს. ანალოგიურად, ჩვენ აღვიქვამთ ჩვენი სამყაროს ზომის 3 სფეროს, როგორც "ჩვეულებრივ" სამგანზომილებიან სივრცეს. საკმარისად შორს ვიფრინავდით ნებისმიერი მიმართულებით, ჩვენ საბოლოოდ "მოვუვლიდით სამყაროს" მასზე და დავბრუნდებოდით საწყის წერტილში.
როგორც თქვენ მიხვდით, n-განზომილებიან სფეროს ეწოდება n-სფერო. მაგალითად, 1-სფერო ყველასთვის ნაცნობია: ეს მხოლოდ წრეა.
მათემატიკოსებს, რომლებიც ამტკიცებენ თეორემებს უფრო მაღალი განზომილებიანი სივრცის შესახებ, არ უნდა წარმოიდგინონ კვლევის ობიექტი: მათ აქვთ საქმე აბსტრაქტულ თვისებებთან, ხელმძღვანელობენ ინტუიციებით, რომლებიც დაფუძნებულია ნაკლები განზომილებების მქონე ანალოგიებზე (ასეთ ანალოგიებს სიფრთხილით უნდა მოეპყროთ და არა სიტყვასიტყვით). ჩვენ ასევე განვიხილავთ 3-სფეროს უფრო მცირე რაოდენობის განზომილებების მქონე ობიექტების თვისებებზე დაყრდნობით.
1. დავიწყოთ წრის და მისი შემოსაზღვრული წრის განხილვით. მათემატიკოსებისთვის წრე ორგანზომილებიანი ბურთია, წრე კი ერთგანზომილებიანი სფეროა. გარდა ამისა, ნებისმიერი განზომილების ბურთი არის შევსებული ობიექტი, რომელიც წააგავს საზამთროს, ხოლო სფერო მისი ზედაპირია, უფრო ბუშტს ჰგავს. წრე არის ერთგანზომილებიანი, რადგან მასზე წერტილის პოზიცია შეიძლება განისაზღვროს ერთი რიცხვით.
2. ორი წრიდან შეგვიძლია ავაშენოთ ორგანზომილებიანი სფერო, ერთი მათგანი ჩრდილოეთ ნახევარსფეროში, მეორე კი სამხრეთში გადააქციოთ. რჩება მათი წებოვნება და 2-სფერო მზადაა.
3. წარმოიდგინეთ ჭიანჭველა, რომელიც ცოცავს ჩრდილოეთ პოლუსიდან დიდ წრეში, რომელიც ჩამოყალიბებულია ნულოვანი და 180-ე მერიდიანით (მარცხნივ). თუ მის გზას გავაფორმებთ ორ ორიგინალურ წრეზე (მარჯვნივ), დავინახავთ, რომ მწერი მოძრაობს სწორი ხაზით (1) ჩრდილოეთ წრის კიდემდე (a), შემდეგ კვეთს საზღვარს, ურტყამს შესაბამის წერტილს. სამხრეთის წრე და აგრძელებს სწორ ხაზს (2 და 3). შემდეგ ჭიანჭველა ისევ მიაღწევს ზღვარს (ბ), გადაკვეთს მას და კვლავ აღმოჩნდება ჩრდილოეთ წრეზე, მიეჩქარება საწყისი წერტილისკენ - ჩრდილოეთ პოლუსს (4). გაითვალისწინეთ, რომ 2-სფეროზე მსოფლიოს გარშემო მოგზაურობისას მოძრაობის მიმართულება იცვლება ერთი წრიდან მეორეზე გადასვლისას.
4. ახლა განიხილეთ ჩვენი 2-სფერო და მასში შემავალი მოცულობა (სამგანზომილებიანი ბურთი) და გააკეთეთ მათთან იგივე, რაც წრესა და წრეში: აიღეთ ბურთის ორი ეგზემპლარი და მიამაგრეთ მათი საზღვრები. შეუძლებელია და არ არის აუცილებელი, ნათლად აჩვენო, თუ როგორ არის დამახინჯებული ბურთები ოთხ განზომილებაში და გადაიქცევა ნახევარსფეროების ანალოგად. საკმარისია ვიცოდეთ, რომ ზედაპირებზე შესაბამისი წერტილები, ე.ი. 2 სფერო ერთმანეთთან დაკავშირებულია ისე, როგორც წრეების შემთხვევაში. ორი ბურთის შეერთების შედეგია 3 სფერო – ოთხგანზომილებიანი ბურთის ზედაპირი. (ოთხ განზომილებაში, სადაც 3-სფეროსანი და 4-ბურთი არსებობს, ობიექტის ზედაპირი სამგანზომილებიანია.) მოდით ერთ ბურთულს ვუწოდოთ ჩრდილოეთ ნახევარსფერო, მეორეს კი სამხრეთ ნახევარსფერო. წრეების ანალოგიით, ბოძები ახლა ბურთების ცენტრებშია.
5. წარმოიდგინეთ, რომ განსახილველი ბურთები სივრცის დიდი ცარიელი ადგილებია. ვთქვათ, ასტრონავტი რაკეტით ტოვებს ჩრდილოეთ პოლუსს. დროთა განმავლობაში ის აღწევს ეკვატორს (1), რომელიც ახლა ჩრდილოეთ გლობუსის მიმდებარე სფეროა. მისი გადაკვეთით, რაკეტა შედის სამხრეთ ნახევარსფეროში და მოძრაობს სწორი ხაზით მისი ცენტრის - სამხრეთ პოლუსის - ეკვატორის მოპირდაპირე მხარეს (2 და 3). იქ ისევ ხდება ჩრდილოეთ ნახევარსფეროზე გადასვლა და მოგზაური ბრუნდება ჩრდილოეთ პოლუსზე, ე.ი. საწყის წერტილამდე (4). ეს არის 4 განზომილებიანი ბურთის ზედაპირზე მსოფლიოს გარშემო მოგზაურობის სცენარი! განხილული სამგანზომილებიანი სფერო არის სივრცე, რომელიც მოხსენიებულია პუანკარის ვარაუდში. შესაძლოა ჩვენი სამყარო მხოლოდ 3 სფეროა.
მსჯელობა შეიძლება გაფართოვდეს ხუთ განზომილებაში და ავაშენოთ 4 სფერო, მაგრამ ამის წარმოდგენა უკიდურესად რთულია. თუ მათ მიმდებარე (n-1)-სფეროების გასწვრივ დავაწებებთ ორ n-ბურთს, მივიღებთ n-სფეროს, რომელიც ზღუდავს (n+1)-ბურთს.
ნახევარი საუკუნე გავიდა მანამ, სანამ პუანკარის ვარაუდი არ დადგა. 60-იან წლებში. მე -20 საუკუნე მათემატიკოსებმა დაამტკიცეს მსგავსი განცხადებები ხუთი ან მეტი განზომილების სფეროებისთვის. თითოეულ შემთხვევაში, n-სფერო მართლაც ერთადერთი და უმარტივესი n-განმასხვავებელია. უცნაურად საკმარისი აღმოჩნდა, რომ შედეგის მიღება უფრო ადვილი იყო მრავალგანზომილებიანი სფეროებისთვის, ვიდრე 3- და 4-სფეროებისთვის. ოთხი განზომილების მტკიცებულება გამოჩნდა 1982 წელს. და მხოლოდ პუანკარეს თავდაპირველი ვარაუდი 3 სფეროს შესახებ დარჩა დაუდასტურებელი.
გადამწყვეტი ნაბიჯი გადადგა 2002 წლის ნოემბერში, როდესაც გრიგორი პერელმანი, მათემატიკოსი სანქტ-პეტერბურგის მათემატიკური ინსტიტუტის დეპარტამენტიდან. სტეკლოვმა გაგზავნა სტატია საიტზე www.arxiv.org, სადაც ფიზიკოსები და მათემატიკოსები მთელი მსოფლიოდან განიხილავენ თავიანთი სამეცნიერო საქმიანობის შედეგებს. ტოპოლოგებმა მაშინვე დაიჭირეს კავშირი რუსი მეცნიერის ნაშრომსა და პუანკარეს ჰიპოთეზას შორის, თუმცა ავტორს ეს პირდაპირ არ უხსენებია.
ფაქტობრივად, პერელმანის მტკიცებულება, რომლის სისწორეში ჯერ ვერავინ ეჭვქვეშ დააყენებს, ხსნის კითხვების ბევრად უფრო ფართო სპექტრს, ვიდრე პუანკარის რეალური ვარაუდი. კორნელის უნივერსიტეტის უილიამ პ. ტურსტონის მიერ შემოთავაზებული გეომეტრიზაციის პროცედურა საშუალებას იძლევა 3 მრავალფეროვნების სრული კლასიფიკაცია 3 სფეროზე დაყრდნობით, რაც უნიკალურია თავისი ამაღლებული სიმარტივით. თუ პუანკარის ვარაუდი მცდარი იყო, ე.ი. სფეროსავით მარტივი ბევრი სივრცე რომ იყოს, მაშინ 3 მრავალფეროვნების კლასიფიკაცია უსასრულოდ უფრო რთული გახდებოდა. პერელმანისა და ტურსტონის წყალობით, ჩვენ გვაქვს მათემატიკის მიერ დაშვებული სამგანზომილებიანი სივრცის ყველა ფორმის სრული კატალოგი, რომელიც ჩვენს სამყაროს შეუძლია (თუ განვიხილავთ მხოლოდ სივრცეს დროის გარეშე).
პუანკარეს ვარაუდისა და პერელმანის მტკიცებულების უკეთ გასაგებად, უფრო დეტალურად უნდა შევხედოთ ტოპოლოგიას. მათემატიკის ამ ფილიალში საგნის ფორმას მნიშვნელობა არ აქვს, თითქოს ის ცომისაგან იყოს დამზადებული, რომლის დაჭიმვა, შეკუმშვა და მოღუნვა ნებისმიერნაირად შეიძლება. რატომ უნდა ვიფიქროთ საგნებზე ან სივრცეებზე წარმოსახვითი ტესტიდან? ფაქტია, რომ ობიექტის ზუსტი ფორმა - მანძილი მის ყველა წერტილს შორის - ეხება სტრუქტურულ დონეს, რომელსაც გეომეტრია ჰქვია. ტესტიდან ობიექტის შესწავლით, ტოპოლოგები ავლენენ მის ფუნდამენტურ თვისებებს, რომლებიც არ არის დამოკიდებული გეომეტრიულ სტრუქტურაზე. ტოპოლოგიის შესწავლა ჰგავს ყველაზე გავრცელებულ მახასიათებლებს, რაც ადამიანებს აქვთ „პლასტილინის კაცის“ შეხედვით, რომელიც შეიძლება გადაიქცეს ნებისმიერ კონკრეტულ ინდივიდად.
პოპულარულ ლიტერატურაში, ხშირად არის გაურკვეველი მტკიცება, რომ ტოპოლოგიის თვალსაზრისით, ჭიქა არაფრით განსხვავდება დონატისგან. ფაქტია, რომ ცომის ჭიქა შეიძლება დონატად გადაიქცეს მასალის უბრალოდ დაწურვით, ე.ი. არაფერია წებოვანი ან ხვრელის გაკეთება. მეორეს მხრივ, ბურთისგან დონატის გასაკეთებლად, აუცილებლად უნდა გააკეთოთ მასში ხვრელი ან გააბრტყელოთ იგი ცილინდრში და დააბრმავოთ ბოლოები, ასე რომ, ბურთი სულაც არ არის დონატი.
ტოპოლოგებს ყველაზე მეტად აინტერესებთ სფეროსა და დონატის ზედაპირები. ამიტომ მყარი სხეულების ნაცვლად ბუშტები უნდა წარმოვიდგინოთ. მათი ტოპოლოგია ჯერ კიდევ განსხვავებულია, ვინაიდან სფერული ბუშტი არ შეიძლება გარდაიქმნას რგოლოვან ბუშტად, რომელსაც ტორს უწოდებენ. პირველ რიგში, მეცნიერებმა გადაწყვიტეს გაერკვნენ, რამდენი ობიექტი არსებობს სხვადასხვა ტოპოლოგიით და როგორ შეიძლება მათი დახასიათება. 2 კოლექტორზე, რომელსაც ჩვენ მიჩვეული ვართ ზედაპირების გამოძახებას, პასუხი ელეგანტური და მარტივია: ყველაფერი განისაზღვრება „ხვრელების“ რაოდენობით ან ექვივალენტურად სახელურების რაოდენობით. XIX საუკუნის ბოლოსთვის. მათემატიკოსებმა გაარკვიეს, თუ როგორ უნდა კლასიფიცირდეს ზედაპირები და აღმოაჩინეს, რომ მათგან ყველაზე მარტივი სფერო იყო. ბუნებრივია, ტოპოლოგებმა დაიწყეს ფიქრი 3 მრავალფეროვნებაზე: არის თუ არა 3 სფერო უნიკალური თავისი სიმარტივით? პასუხის ძიების უძველესი ისტორია სავსეა მცდარი ნაბიჯებითა და მცდარი მტკიცებულებებით.
ანრი პუანკარე ამ საკითხს სერიოზულად შეეხო. ის იყო მე-20 საუკუნის დასაწყისის ორი ყველაზე ძლიერი მათემატიკოსიდან ერთ-ერთი. (მეორე იყო დევიდ ჰილბერტი). მას უწოდეს ბოლო გენერალისტი - წარმატებით მუშაობდა როგორც წმინდა, ისე გამოყენებითი მათემატიკის ყველა განყოფილებაში. გარდა ამისა, პუანკარემ დიდი წვლილი შეიტანა ციური მექანიკის განვითარებაში, ელექტრომაგნიტიზმის თეორიაში, ასევე მეცნიერების ფილოსოფიაში, რომლის შესახებაც მან დაწერა რამდენიმე პოპულარული წიგნი.
პუანკარე გახდა ალგებრული ტოპოლოგიის ფუძემდებელი და მისი მეთოდების გამოყენებით 1900 წელს ჩამოაყალიბა ობიექტის ტოპოლოგიური მახასიათებელი, რომელსაც ჰომოტოპია ეწოდა. მანიფოლდის ჰომოტოპიის დასადგენად, გონებრივად უნდა ჩაეფლო მასში დახურული მარყუჟი. შემდეგ ჩვენ უნდა გავარკვიოთ ყოველთვის შესაძლებელია თუ არა მარყუჟის შეკუმშვა წერტილამდე მისი მანიფოლდის შიგნით გადაადგილებით. ტორისთვის პასუხი უარყოფითი იქნება: თუ ტორუსის წრეწირის გარშემო მოათავსებთ მარყუჟს, მაშინ შეუძლებელი იქნება მისი შეკუმშვა წერტილამდე, რადგან დონატის "ხვრელი" ხელს შეუშლის. ჰომოტოპია არის სხვადასხვა ბილიკის რაოდენობა, რომელსაც შეუძლია ხელი შეუშალოს მარყუჟის შეკუმშვას.
n-სფეროზე ნებისმიერი, თუნდაც რთულად დაგრეხილი, მარყუჟი ყოველთვის შეიძლება ამოიხსნას და მიიწიოს წერტილამდე. (მარყუჟს ნებადართული აქვს გაიაროს თავისთავად.) პუანკარემ ივარაუდა, რომ 3-სფერო არის ერთადერთი 3 მრავალმხრივი, რომელზეც ნებისმიერი მარყუჟი შეიძლება შეკუმშული იყოს წერტილამდე. სამწუხაროდ, მან ვერასოდეს შეძლო დაემტკიცებინა თავისი ვარაუდი, რომელიც მოგვიანებით ცნობილი გახდა, როგორც პუანკარეს ვარაუდი.
პერელმანის მიერ 3 მრავალმხრივი ანალიზი მჭიდროდ არის დაკავშირებული გეომეტრიიზაციის პროცედურასთან. გეომეტრია ეხება საგნების და მანიფოლტების რეალურ ფორმას, რომელიც უკვე ცომისაგან კი არ არის დამზადებული, არამედ კერამიკისგან. მაგალითად, ჭიქა და ბაგელი გეომეტრიულად განსხვავებულია, რადგან მათი ზედაპირი განსხვავებულად არის მოხრილი. ამბობენ, რომ თასი და დონატი არის ტოპოლოგიური ტორუსის ორი მაგალითი, რომლებსაც სხვადასხვა გეომეტრიული ფორმები აქვთ.
იმის გასაგებად, თუ რატომ გამოიყენა პერელმანმა გეომეტრიზაცია, განიხილეთ 2 მრავალფეროვნების კლასიფიკაცია. თითოეულ ტოპოლოგიურ ზედაპირს ენიჭება უნიკალური გეომეტრია, რომლის გამრუდება ერთნაირად ნაწილდება მრავალფეროვნებაზე. მაგალითად, სფეროსთვის ეს არის იდეალურად სფერული ზედაპირი. ტოპოლოგიური სფეროს კიდევ ერთი შესაძლო გეომეტრია არის კვერცხუჯრედი, მაგრამ მისი გამრუდება ყველგან ერთნაირად არ არის განაწილებული: მკვეთრი ბოლო უფრო მრუდია, ვიდრე ბლაგვი.
2 კოლექტორები ქმნიან სამ გეომეტრიულ ტიპს. სფერო ხასიათდება დადებითი გამრუდებით. გეომეტრიზებული ტორსი ბრტყელია და აქვს ნულოვანი გამრუდება. ყველა დანარჩენ 2 კოლექტორს ორი ან მეტი "ხვრელით" აქვს უარყოფითი გამრუდება. ისინი შეესაბამება უნაგირის მსგავს ზედაპირს, რომელიც იხრება ზევით წინ და უკან, და ქვემოთ მარცხნივ და მარჯვნივ. 2 მრავალფეროვნების ეს გეომეტრიული კლასიფიკაცია (გეომეტრიზაცია) შეიმუშავა პუანკარემ პოლ კობესთან და ფელიქს კლაინთან ერთად, რომელთა საპატივცემულოდ დაარქვეს კლაინის ბოთლი.
არსებობს ბუნებრივი სურვილი, რომ მსგავსი მეთოდი გამოვიყენოთ 3-მანიფოლტებზე. შესაძლებელია თუ არა თითოეული მათგანისთვის ისეთი უნიკალური კონფიგურაციის პოვნა, რომლის დროსაც გამრუდება თანაბრად გადანაწილდება მთელ კოლექტორზე?
გაირკვა, რომ 3 მრავალმხრივი კოლეგები ბევრად უფრო რთულია, ვიდრე მათი ორგანზომილებიანი ანალოგი და მათი უმეტესობა არ შეიძლება ასოცირებული იყოს ერთგვაროვან გეომეტრიასთან. ისინი უნდა დაიყოს ნაწილებად, რომლებიც შეესაბამება რვა კანონიკური გეომეტრიიდან ერთ-ერთს. ეს პროცედურა წააგავს რიცხვის პირველ ფაქტორებად დაშლას.
როგორ შეიძლება მანიფოლტის გეომეტრიიზაცია და ყველგან ერთგვაროვანი გამრუდება? თქვენ უნდა აიღოთ რაიმე თვითნებური გეომეტრია სხვადასხვა გამონაყარებით და ჩაღრმავებებით, შემდეგ კი გაასწოროთ ყველა მუწუკები. 90-იანი წლების დასაწყისში. მე -20 საუკუნე ჰამილტონმა დაიწყო 3 მრავალფეროვნების ანალიზი რიჩის ნაკადის განტოლების გამოყენებით, მათემატიკოს გრეგორიო რიჩი-კურბასტროს სახელით. ის გარკვეულწილად ჰგავს სითბოს განტოლებას, რომელიც აღწერს სითბოს ნაკადებს, რომლებიც მიედინება არათანაბრად გაცხელებულ სხეულში, სანამ მისი ტემპერატურა ყველგან ერთნაირი გახდება. ანალოგიურად, რიჩის ნაკადის განტოლება განსაზღვრავს მრავალფეროვნების მრუდის ცვლილებას, რაც იწვევს ყველა ბორცვისა და დეპრესიის გასწორებას. მაგალითად, თუ კვერცხით დაიწყებთ, ის თანდათან სფერული გახდება.
პერელმანმა დაამატა ახალი ტერმინი რიჩის ნაკადის განტოლებას. ამ ცვლილებამ არ აღმოფხვრა სინგულარობის პრობლემა, მაგრამ გაცილებით ღრმა ანალიზის საშუალება მისცა. რუსმა მეცნიერმა აჩვენა, რომ "ქირურგიული" ოპერაცია შეიძლება ჩატარდეს ჰანტელის ფორმის კოლექტორზე: ამოჭრილი წვრილი მილი ორივე მხრიდან ამომავალი მწკრივისგან და დალუქეთ ბურთებიდან გამოსული ღია მილები სფერული ქუდებით. შემდეგ თქვენ უნდა გააგრძელოთ „ოპერაციული“ მანიფოლდის შეცვლა რიჩის ნაკადის განტოლების შესაბამისად და გამოიყენოთ ზემოაღნიშნული პროცედურა ყველა წარმოქმნილ პინჩზე. პერელმანმა ასევე აჩვენა, რომ სიგარის ფორმის ნიშნები არ ჩანს. ამრიგად, ნებისმიერი 3 მრავალმხრივი შეიძლება შემცირდეს ერთგვაროვანი გეომეტრიის მქონე ნაწილებად.
როდესაც რიჩის ნაკადი და "ოპერაცია" გამოიყენება ყველა შესაძლო 3 მრავალფეროვნებაზე, რომელიმე მათგანი, თუ ის ისეთივე მარტივია, როგორც 3 სფერო (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აქვს იგივე ჰომოტოპია), აუცილებლად მცირდება იმავე ერთგვაროვან გეომეტრიამდე. , რომელიც არის და 3-სფერული. მაშასადამე, ტოპოლოგიური თვალსაზრისით განხილული მრავალფეროვნება არის 3 სფერო. ამრიგად, 3 სფერო უნიკალურია.
პერელმანის სტატიების ღირებულება მდგომარეობს არა მხოლოდ პუანკარეს ვარაუდის მტკიცებულებაში, არამედ ანალიზის ახალ მეთოდებშიც. რუსი მათემატიკოსის მიერ მიღებულ შედეგებს უკვე მთელ მსოფლიოში მეცნიერები თავიანთ მუშაობაში იყენებენ და მის მიერ შემუშავებულ მეთოდებს სხვა სფეროებში იყენებენ. აღმოჩნდა, რომ რიჩის ნაკადი ასოცირდება ეგრეთ წოდებულ რენორმალიზაციის ჯგუფთან, რომელიც განსაზღვრავს თუ როგორ იცვლება ურთიერთქმედების სიძლიერე ნაწილაკების შეჯახების ენერგიის მიხედვით. მაგალითად, დაბალ ენერგიებზე, ელექტრომაგნიტური ურთიერთქმედების სიძლიერე ხასიათდება რიცხვით 0.0073 (დაახლოებით 1/137). თუმცა, როდესაც ორი ელექტრონი პირდაპირ ეჯახება სინათლის სიჩქარით, ეს ძალა უახლოვდება 0,0078-ს. მათემატიკა, რომელიც აღწერს ფიზიკური ძალების ცვლილებას, ძალიან ჰგავს მათემატიკას, რომელიც აღწერს მრავალფეროვნების გეომეტრიზაციას.
შეჯახების ენერგიის გაზრდა უფრო მოკლე დისტანციებზე სწავლის ძალის ტოლფასია. მაშასადამე, რენორმალიზაციის ჯგუფი ჰგავს მიკროსკოპს ცვლადი გადიდების ფაქტორით, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეისწავლოთ პროცესი დეტალების სხვადასხვა დონეზე. ანალოგიურად, რიჩის ნაკადი არის მიკროსკოპი მრავალფეროვნების დასათვალიერებლად. ერთი გადიდებით ხილული გამონაზარდები და დეპრესიები ქრება მეორეზე. სავარაუდოა, რომ პლანკის სიგრძის მასშტაბით (დაახლოებით 10-35 მ) სივრცე, რომელშიც ჩვენ ვცხოვრობთ, ჰგავს ქაფს რთული ტოპოლოგიური სტრუქტურით. გარდა ამისა, ფარდობითობის ზოგადი განტოლებები, რომლებიც აღწერს გრავიტაციის მახასიათებლებს და სამყაროს ფართომასშტაბიან სტრუქტურას, მჭიდრო კავშირშია რიჩის ნაკადის განტოლებასთან. პარადოქსულია, მაგრამ ჰამილტონის მიერ გამოყენებულ გამოთქმას დამატებული ტერმინი პერელმანი ჩნდება სიმების თეორიაში, რომელიც აცხადებს, რომ არის გრავიტაციის კვანტური თეორია. შესაძლებელია, რომ რუსი მათემატიკოსის სტატიებში მეცნიერებმა იპოვონ ბევრად უფრო სასარგებლო ინფორმაცია არა მხოლოდ აბსტრაქტული 3 მრავალფეროვნების შესახებ, არამედ იმ სივრცის შესახებ, რომელშიც ჩვენ ვცხოვრობთ.
